4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 4 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Αα. (γ) Αβ. (β) Αα. (β) Αβ. (γ) Α3α. (α) Α3β. (δ) Α4α. (δ) Α4β. (α) Α5. α.σ β.λ γ.σ δ.σ ε.λ ΘΕΜΑ B Β. Σωστή απάντηση είναι η (α). Με κλειστό το άκρο Γ του σωλήνα, έχουμε υγρό σε ισορροπία και η πίεση στο άκρο Γ είναι p = p at+ρgh. Ανοίγοντας το άκρο Γ του οριζόντιου σωλήνα, το νερό βρίσκεται σε επαφή με την ατμόσφαιρα με αποτέλεσμα η πίεση στο Γ να γίνει ίση με p =p at. Επομένως η πίεση μεταβλήθηκε κατά Δp= p - p =-ρgh. Β. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Για το δοχείο Α Eφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία και της ίδιας ρευματικής γραμμής. p gh p Για το σημείο που βρίσκεται κάτω από το διάφραγμα ισχύει p =ρ gh+p ατμ και υ =0 αφού η επιφάνεια βάσης του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερη αυτής της οπής. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Bernoulli παίρνουμε gh () Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία για το δοχείο Β. Eφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία 3 και 4 της ίδιας ρευματικής γραμμής. p3 3 gh p Για το σημείο 3 που βρίσκεται κάτω από το διάφραγμα ισχύει p 3=ρ gh+p ατμ και υ 3=0, αφού η επιφάνεια βάσης του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή της οπής. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Bernoulli παίρνουμε gh, () Συγκρίνοντας τις (),() παίρνουμε ή 4 ή Β3. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Σελίδα από 7
4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Eφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία και της ίδιας οριζόντιας ρευματικής γραμμής. p p () όπου p =ρgh +p ατμ, () και p =ρgh +p ατμ, (3) Aντικαθιστώντας τις (), (3) στην () παίρνουμε gh p gh p ή g(h h ) ή g h ή h g Aν η παροχή διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί το μέτρο των ταχυτήτων υ, υ και η διαφορά ύψους θα γίνει 4 h ή h 4h g g Β4. Σωστή απάντηση είναι η (β). Η προσφερόμενη ενέργεια ανά μονάδα όγκου για τη μετακίνηση του υγρού από το τμήμα Α στο τμήμα Β ισούται με το άθροισμα των μεταβολών της δυναμικής ενέργειας λόγω βαρύτητας και της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου. E U K V V V Επομένως, η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου είναι K E U V V V Από την εκφώνηση, η προσφερόμενη ενέργεια ανά μονάδα όγκου για τη μετακίνηση του υγρού από το τμήμα Α στο τμήμα Β είναι μικρότερη από την προκαλούμενη αύξηση της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου του υγρού, άρα K 0 ή K K ή V Εφόσον η παροχή διατηρείται σταθερή ισχύει ή ή A A A B Σελίδα από 7
4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ) Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για δύο σημεία μιας ρευματικής γραμμής που διέρχεται από την εσωτερική περιοχή Δ του σωλήνα, σημείο 3 και από το σημείο, όπου η φλέβα νερού εξέρχεται στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα μέτρου υ. p3 3 gh p gh p3 3 p () Επαναλαμβάνουμε το ίδιο για τη ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία 4 και (βλέπε σχήμα). p4 4 gh p gh p4 4 p () Στην περιοχή Δ οι πιέσεις στα σημεία 3 και 4 είναι ίδιες, επομένως, συγκρίνοντας τις () και (), προκύπτει ότι υ =υ =0/. Γ) H κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στα σημεία εκροής του από τις τρύπες δίνεται από τη σχέση K kg K J 000 0 50.000 3 ή 3 V V V Γ3) H παροχή του σωλήνα είναι σταθερή, επομένως σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας έχουμε: ή A A A ή 3 4 4 0 0 00 0 A A ή 0,5 4 A 6000 H πίεση στο Δ (p 3) θα υπολογιστεί από τη σχέση () N kg p3 p 3 00.000 000 0 0,5 3 N p3 49.875 ή Γ4) Η αιτία κίνησης των ρευστών είναι η διαφορά πίεσης. Η ροή του νερού από το ένα δοχείο προς το άλλο θα σταματήσει όταν οι πιέσεις εκατέρωθεν του διακόπτη γίνουν ίσες. Αυτό θα συμβεί όταν η ελεύθερες στάθμες του νερού στα δύο δοχεία φθάσουν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Σελίδα 3 από 7
4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Αρχικά, βρίσκουμε το ύψος του νερού στο δοχείο Β, όταν στο πρώτο δοχείο είναι h Α=,. Αν με V A, V B, συμβολίσουμε τον όγκο νερού που συλλέγεται αντίστοιχα στα δοχεία Α και Β, τότε για το λόγο τους ισχύει: V t A V AhB,5A AhB V t A V A h A h A A A A A A A hb ha, hb, 6,5,5 Αν με A, B, συμβολίσουμε τις μάζες νερού που συλλέγονται αντίστοιχα στα δοχεία Α και Β και τις μάζες νερού που αποκτούν τελικά τα δοχεία, τότε από την αρχή διατήρησης της ύλης μπορούμε να γράψουμε: V V V V, A B A B A B A B A B A h A h A h A h h A A B B A A A B A A B B A B AA AB AA,5A A h,5h,,5, 6,5,5 A B h h, 44 A h A h A h,5a h ΘΕΜΑ Δ Δ. Όταν η τάπα αφαιρεθεί, το νερό που θα βγει από την οπή θα εκτελέσει οριζόντια βολή από ύψος H-h με ταχύτητα Torricelli (το ύψος του νερού στη δεξαμενή παραμένει σταθερό). της οποίας το μέτρο βρίσκεται από το θεώρημα Προκύπτει gh 0 5 ή 0 Όταν το νερό φθάνει στο έδαφος, σημείο Δ, έχει ταχύτητα που προκύπτει από το διανυσματικό άθροισμα των ταχυτήτων του στους δύο άξονες. Σελίδα 4 από 7
4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα αναφοράς xoy, που έχει x=0, y=0 το σημείο Ο που βρίσκεται στη βάση της δεξαμενής και είναι πλησιέστερα προς την κατακόρυφη δοκό. Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση της ης σταγόνας νερού που εξέρχεται από την οπή γράφονται: Άξονας Οx: υ x= υ A=0/ () x= υ At ή x= 0t (SI) () Άξονας Οy: υ y= -gt ή υ y= -0t (SI) (3) y (H h ) gt ή y 0 5t (SI) (4) Όταν το νερό φθάνει στο έδαφος έχει y=0, οπότε με αντικατάσταση στη σχέση (4) y=0 βρίσκουμε τη χρονική στιγμή t που η η σταγόνα φθάνει στο έδαφος. Προκύπτει, 0 0 5t t Mε αντικατάσταση στη σχέση (3) βρίσκουμε την κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας ελάχιστα πριν φθάσει στο έδαφος. Προκύπτει, υ y= -0 / To μέτρο της ταχύτητας της φλέβας λίγο πριν κτυπήσει στο δάπεδο, σημείο Δ, είναι y 0 0 ή 5 0 με κατεύθυνση που σχηματίζει με το οριζόντιο δάπεδο γωνία φ για την οποία ισχύει: y x Δ. Από την εξίσωση συνέχειας, για τη φλέβα νερού έχουμε 4 5 0 0 ή ή ή 5 0 0 4 Δ3. Τη χρονική στιγμή t o=0 που αφαιρούμε την τάπα, η δοκός ξεκινά από τη θέση x o=4 και τη στιγμή t = φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Δ (θέση x ) η πρώτη σταγόνα και η βάση της δοκού. Η θέση x αντιστοιχεί στην οριζόντια μετατόπιση της σταγόνας και βρίσκεται με αντικατάσταση στη σχέση (), t=t =. x 0t 0 ή x 0 H δοκός στο ίδιο χρονικό διάστημα (0-) εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα και η κίνησή της περιγράφεται από τις εξισώσεις : t 0 t (5) x xo t ή x 4 t (SI) με 0 t (6) Σελίδα 5 από 7
4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η επιτάχυνση α βρίσκεται με αντικατάσταση στη σχέση (6), x x 0 και t=t=, προκύπτει, 0 4 ή Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει την κατεύθυνση του διανύσματος της επιτάχυνσης. Δ4. Τη στιγμή t η δοκός έχει αποκτήσει ταχύτητα, υ, που βρίσκεται από τη σχέση (5), αν αντικαταστήσουμε t=t = και t ή 4 Από τη στιγμή t και μετά η δοκός επιβραδύνεται ομαλά και σταματά τη χρονική στιγμή t στη θέση x όπου η φλέβα νερού περνά οριακά πάνω από ψηλότερο σημείο της σημείο Μ, (βλέπε σχήμα). Το σημείο Μ έχει συντεταγμένες, x Μ= x και y Μ=h δοκού=5 Από την εξίσωση τροχιάς της φλέβας νερού, υπολογίζουμε την απόσταση x. Ο συνδυασμός των σχέσεων () και (4) δίνει:, προκύπτει x 5 y 0 5 y 0 x 0 00 5 Και με αντικατάσταση, y= y Μ=h δοκού=5 προκύπτει 5 0 x x 0 00 Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση της δοκού στη φάση της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι t ή 4 (t ) (SI) (7) Σελίδα 6 από 7
4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 08: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ x x t t ή x 0 4(t ) (t ) (SI) (8) Όταν 0, x 0. Έτσι, οι σχέσεις (7) και (8) γίνονται αντίστοιχα: 0 4 (t ) (SI), 0 0 4(t ) (t ) (SI) H λύση του συστήματος των δύο τελευταίων εξισώσεων δίνει: 0,8 και t=7 Άρα, η συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα της δοκού σε σχέση με το χρόνο είναι: t(si) 0 t 4 0,8 t (SI) t 7 To διάγραμμα ταχύτητας- χρόνου για τη δοκό φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Σελίδα 7 από 7