ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή στην (β) περίπτωση q Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής. q Η ροπή αδράνειας ορίζεται ως προς κάποιο σταθερό άξονα Ø Η τιµή της εξαρτάται από την θέση και τον προσανατολισµό του άξονα περιστροφής
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 2 Ροπή αδράνειας για στερεά συνεχούς κατανοµής q Για στερεά σώµατα συνεχούς κατανοµής µάζας η ροπή αδράνειας υπολογίζεται αντικαθιστώντας το άθροισµα µε ολοκλήρωµα: (αντικαθιστούµε όλες τις µάζες m i µε dm) 2 I =! m i r i " lim i #m i " 0! r 2 i #m i $ I = r 2 dm Ροπή αδράνειας i Θυµίζει τον υπολογισµό του κέντρου µάζας ενός σώµατος r CM = q Για παράδειγµα: έστω ρ η πυκνότητα = m/v για ένα στερεό! = dm / dv " dm =!dv " I = # r 2!dV Για οµοιογενή κατανοµή µάζας, η πυκνότητα είναι σταθερή και έχουµε: I =!" r 2 dv Περισσότερη µάζα πιο αποµακρυσµένη από τον άξονα περιστροφής, µεγαλύτερη η ροπή αδράνειας Ι, και εποµένως µεγαλύτερη η αντίσταση του σώµατος στο να αλλάξει την περιστροφική του κίνηση %! rdm
Παράδειγµα υπολογισµού ροπής αδράνειας q Οµοιογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R και µήκους L. ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 3 y dr r R Θεωρήστε ένα κυλινδρικό φλοιό ακτίνας r και πάχους dr. Αυτό το κάνουµε για να έχουµε την ίδια ακτίνα για όλες τις στοιχειώδεις µάζες dm. Το εµβαδό του δακτυλίου του κυλινδρικού φλοιού είναι: L da = 2!rdr I y =! dv = LdA! r 2 dm =! r 2 "dv R I y = 2!"L # r 3 dr 0! I y = 2"#L R4 4! I y = 1 2 "#LR4 z x Αλλά V!"#. = $R 2 L και! = " V = M # R 2 L Εποµένως I y = 1 2!"LR4 = 1 2 MR2 Αυτή είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα συµµετρίας y. Ποια θα ναι η Ι ως προς ένα άξονα παράλληλο προς τον y?
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 4 Θεώρηµα παράλληλων αξόνων z y dm(x,y) D CM y' CM y I =! r 2 dm =! ( x 2 + y 2 )dm x = x! + x CM y = y! + y CM x [ ] y CM I = " ( x! + x CM ) 2 + ( y! + y ) 2 dm # CM D xcm I = ( x! 2 + y! 2 2 2 " )dm + 2x CM " x! dm + 2y CM " y! dm + ( x CM + y CM )" dm Επομένως: I = I CM + 0 + 0 + MD 2 x x' I = I CM + MD 2 Θεώρηµα παράλληλων αξόνων
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 5 Εφαρµογή του θεωρήµατος παράλληλων αξόνων q Κυκλικό στεφάνι ακτίνας R και µάζας Μ κρέµεται από ένα σηµείο στην περιφέρειά του Θέλουµε την ροπή αδράνειας γύρω από αυτό το σηµείο R I!"#$. = % CM + MR 2 & MR 2 + MR 2 I!"#$. = 2%R 2 q Οµοιόµορφη λεπτή ράβδος µάζας Μ και µήκους L µε άξονα κάθετο στο µήκος της Έστω dm στοιχειώδης µάζα µήκους dx σε απόσταση x από τον άξονα περιστροφής Ο. I O = Από την εξίσωση της ροπής αδράνειας: x 2 L#h! dm = "! x 2 dx = M #h L x 3 L#h 3 #h $ I O = 1 3 M ( L2 # 3Lh + 3h 2 ) Για h = 0!"# h = L $ I O,L = 1 3 ML2 Για L h =! IC = 2 1 12 ML 2
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 6 Ροπή αδράνειας - Σηµεία προσοχής Ø Δεν έχει νόηµα να αναφέρεστε στη ροπή αδράνειας ενός σώµατος χωρίς να προσδιορίζετε την θέση και προσανατολισµό του άξονα ως προς τον οποίο υπολογίζετε την ροπή αδράνειας Ø Για συνεχείς κατανοµές µάζας χρειάζεται να υπολογίσουµε τα ολοκληρώµατα για την εύρεση της ροπής αδράνειας. q Μην προσπαθήσετε να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας θεωρώντας ότι όλη η µάζα βρίσκεται στο κέντρο µάζας του σώµατος και παίρνοντας την απόσταση του κέντρου µάζας από τον άξονα περιστροφής ΛΑΘΟΣ ü Η ροπή αδράνειας της ράβδου στο προηγούµενο παράδειγµα είναι Ι=ΜL 3 /3 ως προς άξονα που περνά από ένα άκρο της. Αν υποθέσω το κέντρο µάζας το οποίο βρίσκεται στο µέσο της η ροπή αδράνειας θα ήταν Μ(L/2) 2 =ML 2 /4 που είναι λάθος.
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 7 Περισσότερες περιπτώσεις (α) ομοιογενής ράβδος άξονας στο κέντρο (β) ομοιογενής ράβδος άξονας στο άκρο της (γ) ομοιογενές φύλλο άξονας στο μέσο (δ) ομοιογενές φύλλο άξονας σε πλευρά (ε) συμπαγής κυλινδρικός δακτύλιος (στ) συμπαγής κύλινδρος (ζ) κοίλος κύλινδρος (λεπτά τοιχώματα) (η) ομοιογενής σφαίρα (η) κοίλη σφαίρα
Δυναµική στην περιστροφική κίνηση στερεού ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 8 q Μέχρι τώρα είδαµε: ü Ροπή αδράνειας: I! = " r 2 dm ü σε αντιστοιχία µε τη θέση του CM: q Θεώρηµα παράλληλων αξόνων I! = " CM + MD 2 r CM = 1! M rdm D CM q Κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόµενου στερεού γύρω από σταθερό άξονα K = 1 2 I! 2 q Όλα τα σημεία του στερεού κινούνται με ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 9 Ενέργεια περιστροφής - µεθοδολογία προβληµάτων Ότι έχουµε δει µέχρι τώρα σε προβλήµατα ενέργειας ισχύουν και για την περίπτωση ενός περιστρεφόµενου στερεού. Ø Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα έργου-ενέργειας και διατήρηση της µηχανικής ενέργειας µπορούν να βρεθούν εξισώσεις για τη θέση και κίνηση του στερεού. v Μόνη διαφορά ότι τη θέση της µάζας και ταχύτητας παίρνουν η ροπή αδράνειας και γωνιακή ταχύτητα. K = 1 2 m! 2 K = 1 2 I! 2 Ø Πολλά προβλήµατα περιέχουν σχοινιά γύρω από στερεά σώµατα που δρουν σα τροχαλίες: ü Το σηµείο της επαφής του σχοινιού στην τροχαλία έχει την ίδια γραµµική ταχύτητα µε αυτή του σχοινιού (το σχοινί δεν γλιστρά στην τροχαλία) ü Από τις σχέσεις µεταξύ εφαπτοµενικής και ακτινικής επιτάχυνσης βρίσκουµε τις γωνιακές ταχύτητες και επιταχύνσεις! v =! " r "! a = d! dt " r! +! " d! r dt! a! =! " # r " + $! # v! εφαπτοµενική ακτινική
Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 10 Νήµα αµελητέας µάζας είναι τυλιγµένο γύρω από κύλινδρο µάζας 50kg και διαµέτρου 0.12m, ο οποίος µπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που στηρίζεται σε σηµεία χωρίς τριβές. Τραβούµε το ελεύθερο άκρο του νήµατος µε σταθερή δύναµη F=9.0N κατά απόσταση 2.0m. To νήµα ξετυλίγεται χωρίς να γλιστρά προκαλώντας περιστροφή στον κύλινδρο. Να βρεθεί η τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου και τελική γραµµική ταχύτητα του νήµατος αν ο κύλινδρος αρχικά είναι ακίνητος. Από το θεώρηµα έργου-ενέργειας: Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι: I = 1 2 MR2 W F = F! s = 1 2 " 1 % # $ 2 MR2 2 & ' ( f! " f = 2 R Ο κύλινδρος περιστρέφεται επειδή υπάρχει τριβή µεταξύ του νήµατος και κυλίνδρου Επειδή το νήµα δεν γλιστρά, δεν υπάρχει ολίσθηση του νήµατος ως προς το κύλινδρο Άρα δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας λόγω τριβών W F = F! s = K f " K i = 1 2 I# 2 f " 1 2 I# i2 Fs M! " f = 20rad /s ενώ ω i = 0 και εποµένως έχουµε: Η υ f του νήµατος είναι η τελική εφαπτοµενική του κυλίνδρου:! f = " f r =1.2 m s
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 11 Δυναµική στερεού σώµατος - Ροπή q Η ικανότητα µιας δύναµης να περιστρέφει ένα σώµα γύρω από ένα άξονα περιγράφεται από ένα καινούριο µέγεθος που ονοµάζεται ροπή. Η ροπή µιας δύναµης ορίζεται:! F = m a! = d! p dt ροπή:! = r! " F! = Fr sin# = Fd Ø Στην παραπάνω εξίσωση ορισµού F η δύναµη και d η απόσταση του σηµείου εφαρµογής της από τον άξονα περιστροφής Ø Χρησιµοποιούµε τον κανόνα του δεξιού χεριού για να βρούµε τη διεύθυνση της ροπής. Μονάδες: Νm q Εµπειρικά έχει βρεθεί ότι είναι πιο εύκολα να περιστρέψουµε ένα σώµα αν εφαρµόσουµε µια δύναµη µακριά από τον άξονα στροφής και εποµένως d µεγάλη. Αν d=0 τότε η ροπή είναι µηδέν q Δυνάµεις που η διεύθυνσή τους περνά από τον άξονα ή σηµείο περιστροφής έχουν µηδενική ροπή
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 12 Παραδείγµατα ροπών q Για ένα µόνο σωµατίδιο που κινείται σε κύκλο κάτω από την επίδραση µιας δύναµης F είναι:! r F = m a! = ma!". = m#r $ F Ανάλογο του F=mα 2 q Για ένα στερεό σώµα I =! m i r i και για οµοιογενές στερεό: I = r 2 dm i rf = m!r 2 = (mr 2 )! " rf = I! " # = I! Aπό τις δυνάµεις που ενεργούν σε κάθε στοιχειώδη µάζα έχουµε: df!" = (dm)a!" = (dm)!r = (rdm)!! rdf "# = r(rdm)$! d" = r 2 dm# Όλα τα σηµεία όµως έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση α εποµένως ολοκληρώνουµε την τελευταία σχέση:! "#$%"!&µ'$( = ) (r 2 dm)& = &) r 2 dm = I&! Οποιαδήποτε στιγµή το στερεό περιγράφεται από ω, α και τ συνισταµένη
Παράδειγµα q Εκκρεµές εξαρτάται από αβαρή ράβδο. Ποια είναι η ροπή στη µάζα m? θ l T Μ! = r! " M g! = lmgsin# Προς το εσωτερικό του χαρτιού ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 13 Μg q Θέλετε να ξεβιδώσετε µια βίδα και το κλειδί που χρησιµοποιείται είναι κοντό. Βάζετε ένα σωλήνα και πατάτε πάνω του µε όλο το βάρος σας (900kg). Η απόσταση του άκρου του σωλήνα από τη βίδα είναι 0.8m, ενώ η γωνία του κλειδιού µε οριζόντιο είναι 19. Ποια η ροπή l = r! sin71 = 0.76! = lf = 900" 0.76 = 680N " m Διαφορετικά! = r! " F! = rf sin# $! = 0.8" 900sin(109 ) Η δύναµη προκαλεί περιστροφή προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού και εποµένως η ροπή είναι κάθετη στη διαφάνεια και προς το εσωτερικό
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 14 Παράδειγµα F 2 L F 3 F 1 = F 2 = F 3 = F 4 F 1 L θ L L F 4 Ποια από τις δυνάµεις έχει την µεγαλύτερη ροπή ως προς το σηµείο θ? κλειδί βίδα κλειδί βίδα ράβδος κλειδί βίδα ράβδος κλειδί βίδα Θέλετε να ξεβιδώσετε µια σκουριασµένη βίδα. Ποια η καλύτερη διάταξη που µπορείτε να χρησιµοποιήσετε; 2-1-4-3 Επειδή η δύναµη είναι ίδια σε όλες τις περιπτώσεις χρειάζεται να συγκρίνουµε την απόσταση του σηµείου εφαρµογής της από το σηµείο περιστροφής (βίδα)
Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 15 Ένα στεφάνι και ένας κύλινδρος και τα δυο µάζας Μ και ακτίνας R κυλούν κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου κλίσης θ από ύψος h. Ποιό από τα δυό σώµατα φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου µε την µεγαλύτερη κινητική ενέργεια; (Α) Στεφάνι (Β) Κύλινδρος (Γ) Ίδια ΚΕ h
Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 16 Ένα στεφάνι και ένας κύλινδρος και τα δυο µάζας Μ και ακτίνας R κυλούν κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου κλίσης θ από ύψος h. Ποιo από τα δυό σώµατα φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου µε την µεγαλύτερη ταχύτητα (Α) Στεφάνι (Β) Κύλινδρος (Γ) Ίδια ΚΕ I = MR 2 I = 1 2 MR2 h
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 17 Παράδειγµα Θεωρήστε δυο σώµατα τα οποία συνδέονται µέσω µιας αβαρούς τροχαλίας όπως στο σχήµα. Από διατήρηση ενέργειας υπολογίστε την ταχύτητα των δυο σωµάτων όταν η µάζα m 2 έχει κατέβει ένα ύψος h. Από διατήρηση µηχανικής ενέργειας: (δεν υπάρχουν µη συντηρητικές δυνάµεις)!e µ"#. = 0 $!E %&' +!E ()'. = 0 Τροχαλία i! E "#$ i + E %&$ f = E "#$ f + E %&$ Θεωρούµε την αρχική θέση της m 2 σαν επίπεδο µε Ε δυν = 0 ενώ οι ταχύτητες των σωµάτων είναι αρχικά µηδέν. Οπότε: 0 + 0 = 1 2 m 1! 1 2 + 1 2 m 2! 2 2 " m 2 gh Αλλά υ 1 =υ 2 m 2 gh = 1 ( 2 m + m 1 2 )! 2 "! = 2m 2 gh ( ) m 1 + m 2 Προσέξτε ότι η τάση του σχοινιού εκτελεί θετικό έργο στη µάζα m 1 και αρνητικό έργο στη µάζα m 2. Το συνολικό της έργο είναι µηδέν
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 18 Παράδειγµα Θεωρήστε δυο σώµατα τα οποία συνδέονται µέσω µιας τροχαλίας µάζας Μ όπως στο σχήµα. Όταν η µάζα m 2 έχει κατέβει ένα ύψος h, οι δυο µάζες θα κινούνται: (Α) Με µεγαλύτερη ταχύτητα (Β) Με µικρότερη ταχύτητα (Γ) Με ίδια ταχύτητα µε αυτή που είχαν όταν η τροχαλία ήταν αβαρής Κινούνται µε µικρότερη ταχύτητα επειδή ένα µέρος της ενέργειας πηγαίνει στην περιστροφή της τροχαλίας Τροχαλία i E!"# i + E $%# f = E!"# f + E $%# 0 + 0 =!m 2 gh + 1 2 m 1" 2 1 + 1 2 m 2" 2 2 + 1 2 I# 2 m 2 gh = 1! 2 m + m + I $ 1 2 " # R 2 % & ' 2 (! 1 =! 2 =! "#. " 1 % (Τα σηµεία της περιφέρειας της τροχαλίας! m έχουν την ίδια ταχύτητα µε το σχοινί) 2 gh = 1 $ 2 m + m + 2 MR2 ' $ 1 2 R 2 '! = " # $ & ' #$. 2m R! " = 2 gh m 1 + m 2 + M 2 ( 2
Πως η ροπή δύναµης µπαίνει σε ασκήσεις Θεωρήστε µια τροχαλία µε µια µάζα εξαρτηµένη από ένα νήµα. Αφήνετε τη µάζα να πέσει. Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας µάζας Μ? ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 19 Λύση M R m Άξονας περιστροφής T mg Διαλέγουµε κάποιο σηµείο για αρχή. Στην προκειµένη περίπτωση τον άξονα περιστροφής "! = I# I = 1 2 MR2 "! = TR = I# $ T = I# R Αλλά δεν ξέρουµε την τάση Τ!! Χρησιµοποιούµε 2 ο νόµο Newton: "F y =!ma m = T! mg ( α m προς τα κάτω) %& Αφού το σκοινί δεν γλιστρά: a m = a!"#$. (1) (2) = R' (3) (1),(3) (2)!m"R = I" R! mg! " = (3) mg mr + 1 2 MR2! a m = g 1+ 1 M 2 m R