ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. II РАЗРЕД Друштво физичара Србије Министарство просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије ЗАДАЦИ - бозонска категорија ДРЖАВНИ НИВО КРАЉЕВО 6-7.4.4.. На глатку непроводну нит дужине l навучене су три наелектрисане куглице занемарљивих димензија, чија су наелектрисања q, q и q истог знака. Крајеви нити се споје и систем се препусти сам себи док не дође у равнотежу. У равнотежном положају куглице се налазе у теменима троугла. Одредити силу затезања нити када је систем у равнотежи. ( поена). Топлотна машина, чије је радно тело идеални једноатомски гас, ради по циклусу ---4--5- који је приказан на pv дијаграму (види слику ). Тачке, и леже на правој линији која пролази кроз координатни почетак, а тачка је на средини између тачака и. Пронађите коефицијент корисног дејства машине која ради по таквом циклусу ако је однос максималне и минималне температуре у том циклусу. ( поена) Слика. Слика.. Одредити силу којом млаз воде ватрогасног шмрка делује на кров куће. (слика ) Судар воде и крова је апсолутно нееластичан и занемарити ширење млаза. Задато је h.5 m, a 7. m, =7, запремински проток је Q= 7.9 l/s густина течности а нагиб крова =4. ( поена) kg/m, 4. На висини h = m се налази математичко клатно, које чине тело масе m = kg и неистегљива нит дужине l =m (ослонац клатна се налази на висини H= 4 m, слика ). Са земље треба да се погоди чеоно куглица математичког клатна телом масе m = kg и то тако, да приликом aпсолутно нееластичног судара који се одвија на максималној висини тела, клатно направи цео круг, а да при томе сила затезања нити у највишој тачки путање клатна буде = m g. Одредити брзину v и растојање x са којег је избачено тело. Слика.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. 5. На слици 4а приказана је експериментална апаратура у којој се налази гас затворен у конзерву газираног пића, а на сликама 4б и 4в је поједностављен шематски приказ експеримента. На температури апсолутне скале ( степени Целзијусове скале) течност која се налази у U цеви има исти ниво у обе гране, односно унутрашњи притисак p једнак је атмосферском притиску. При овим условима запремина коју заузима гас је V. l. Када се гас загреје до температуре на апсолутној скали (температура t на Целзијусовој скали), може се приметити да ниво течности опада у левој грани, а расте у десној грани. (a) (б) (в) Слика 4 :експерименталнa поставка за проучавање ширења гасова То се дешава јер повећање температуре на t изазива пораст притиска и запремине p p p, V=V V ). Сматрати да је гас идеалан. У табели, дате су разлике у нивоима ( течности h у функцији од температуре гаса t. Табела : Зависност разлике висина течности од температуре гаса t( C). 4. 6. 8.. h(cm) 5.8.6 7.. 8.8 За свако h, можемо одредити p и V и анализом ових података можемо одредити вредност апсолутне нуле на Целзијусовој скали (у литератури је познато да је -7,5 C). На основу датих експерименталних података, може се одредити и број молекула гаса. Задаци. ( поена) Користећи једначину идеалног гаса примењену на почетно стање ( p, V, ) и стања ( p, V, ), односно p p, V V, t успоставите везу облика Ah Bh Ct. Пошто је B занемарљиво, добили сте линеарну зависност.. (8 поена) Графички одредити (проверити) вредност и број молекула гаса. Проценити одговарајућу грешку. Висина се мери уз помоћ лењира баждареног милиметарском скалом, док се температура мери термометром чија је вредност најмањег подеока. C.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. Експерименталне константе Густина течности ρ= kg m - Гравитационо убрзање g = 9.8 m s - Унутрашњи пречник U цеви r = (.5±.) mm Атмосферски притисак p = atm = 5 Pa Запремина гаса на ºC V = (.±.) l Универзална гасна константа R = 8.4 JK - mol - Авогадров број N A = 6.67 mol - Напомена: Сва решења детаљно објаснити У свим задацима убрзање Земљине теже је g 9.8 m/s. Свим такмичарима желимо успешан рад! Задатке припремили: Александар Васиљковић, Универзитет у Кембриџу (,5); др Ненад Сакан, Институт за физику, Београд (4); Александра Димић, Физички факултет, Београд (,,5) Рецензент: др Ненад Сакан, Институт за физику, Београд (,,,5); Александра Димић, Физички факултет, Београд (4) Председник Комисије за такмичење ДФС: Проф. др Мићо Митровић,Физички факултет, Београд
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. Друштво физичара Србије Министарство просвете, науке и технолошког ДРЖАВНИ НИВО II РАЗРЕД КРАЉЕВО развоја Републике Србије 6-7.4.4. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА-бозонска категорија. Пошто је нит глатка, сила затезања је истог интензитета између сваке две куглице (нема трења између куглице и нити). Размотримо силе које делују на једну од куглица, на пример куглицу са наелектрисањем. На куглицу делују силе затезања интензитета дуж праваца - и - ка другим куглицама и електростатичке силе дуж истих праваца, али супротних смерова у односу на силе затезања. Резултујућа сила која потиче од сила затезања је дуж симетрале угла код куглице, па пошто је систем у равнотежи, укупна резултујућа сила која делује на куглицу је нула, онда је резултујућа сила од електростатичких сила дуж симетрале угла, што значи да су електростатичке силе qq qq истог интензитета. Исправна слика 4п.То значи да је, (4п) односно q l ql ql (последња 4 l 4 l једнакост следи аналогно) (п). Такође јеl l l l (п), односно l q q q q qq qq q q q q qq 4 l 4 l q q 4 l q q. (4п) (п), па је сила затезања. Написаћемо једначине стања идеалног гаса за процесе, и (на слици су задате ознаке за одговарајуће тачке). p V nr p V nr, p V nr (п). Из услова задатка да су, и на истој прави и да полови - Имамо, имамо: добијамо p p p (п), V V V V ( ) 4 (примљена топлота), а ot V V (п), p p p (п). Комбиновањем тих једначина са једначинама стања Qul Qot (п). Затим рачунамо коефицијент корисног дејства, где је Q ul уложена Q Q отпуштена (ослобођена) топлота у циклусу (п). Гас прима топлоту у процесу -- и на основу првог принципа термодинамике Qul U A nr( ) ( p p )( V V ) (п). Тај израз можемо помоћу једначина стања и познатих односа трансформисати у Qul nr( ) (п). Сада ћемо израчунати количину топлоте коју гас отпушта током процеса -4--5-: Qot U A54 nr( ) p ( V V ) p ( V V ) (п). Након трансформације добијамо: nr nr Qot ( 5 ) (7 9 ) (п). Сада можемо написати израз за 4 коефицијент корисног дејства што након замене односа температура износи 8( ) (п). 8( ) ul Слика
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ.. Искористимо једначине за коси хитац v ga.76 m/s ( atg h)cos v cos t a, v sin t gt / h (4п) и добијамо (+п). Време потребно да млаз воде удари о кров износи a t.895 s v cos.(п) Компоненте брзине млаза у тренутку удара у кров износе v v cos 8.47 m/s, v v sin gt.7 m/s. (п) Угао који млаз заклапа са хоризонталом износи x o y vy arctg 8.68.(п) Угао између млаза и нормале на кров износи /.8.(п) Кренемо од vx dp дефиниције силе F (п), а масу која удара у јединици времена о кров можемо изразити као m Q (п) и када dt узмемо у обзир нееластичност судара јасно је да постоји само компонента силе нормална на кров. Коначно добијамо F Q v v cos 57.68 N. (4+п) x y 4. Кретање у овом систему може се поделити на три дела. У првом се тело m испаљује по путањи која треба да задовољи да се у темену косог хица деси чеони удар са телом m. Потом се у нееластичном судару тела m и m спајају, а у трећем се тело m m креће по кружној путањи, коју одређује нит, својом силом затезања. Прво ћемо написати једначине за кретање m. За кретање до судара имамо: x y vy gh (п), h t (п), x vxt vt (п) и g v v v (п). За апсолутно нееластични судар можемо да напишемо закон одржања импулса: m v ( m m ) v. (п) Након тога ћемо записати закон одржања енергије за клатно: ( m m ) v ( m m ) v ( m m ) gl (п), где је v брзина клатна у највишој тачки и једначину кружног ( m m ) v m m 5m 7m кретања: ( m m) g v gl (п) Одатле следи v gl.(п) Када l m m m m вратимо добијени резултат у закон одржања импулса добијамо v ( m m ) (5m 7 m )( m m ) gl v v v gh 5.5 m/s. (п) А из закона кретања за коси хитац x m m (5m 7 m )( m m )hl x.5 m (п) m 5. (п) Напишемо једначину стања за почетни тренутак и за неки произвољни тренутак када дође до промене температуре: pv, nr pv nr. Када искористимо p p p, V=V V добијамо p V V p p V pv t. Такође је t односно p r h V gh gh r h p V p gh, V r h, одакле закључујемо pv p r gv h g r h t A B C. Како смо утврдили да је квадратни члан занемарљив, то можемо записати Ah Ct, односно видимо да можемо успоставити линеарну зависност између температуре и разлике висина воденог стуба. (п) За добро нацртан график у одговарајућој размери дати 5 поена. Са графика очитавамо експерименталне тачке A (.8 C,.4 cm), B ( 8.8 C, 5.6 cm ). Коефицијент правца рачунамо као y k x B B y x A A (5.6.4) cm =.9 cm/ C (п). Грешка за коефицијент правца износи (8.8.8) C
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. x y. cm. C k ( ), k ( ).9 cm/ C k.975 cm/ C k. cm/ C. x x y y. cm 8. C B A B A pv pv Стога имамо k (.9.) cm/ C. (4п) С друге стране је k, па ( p r gv ) ( p r gv ) k 5 Pa. l можемо израчунати 7, 4 C.(п) ( 5 Pa 6.5 mm kg/m 9.8 m/s. l).9 cm/ C k V p rr gv o o Грешку израчунавамо на следећи начин ( ) 5.96 C C. Коначно k V p r gv је (7 ) C (п). Укупан број молекула рачунамо из једначине стања за почетно стање: pv 5 Pa. l N N A 6.67 mol 8.954 R 8.4 J/molK 7 K V N N ( ).69 N.7 па имамо да је број молекула V Напомене везано за начин бодовања:. Када израчунамо грешку N (8.9.7). (п) Негативни поени за график, између осталог за: - Без наслова -.5 (наслов није h f ( t) ) - Лоша размера -.5 (график заузима мање од /4 простора папира) - Недостају јединице -.5 - Унете на осе мерене бројне вредности -.5 - Ако. и. изабрана тачка није између. и., односно претпоследње и последње експерименталне -.5 - Изабране тачке нису у мереном опсегу - - Нису уцртане грешке -.5 - Лоша размера подеока -.5 ( mm на милиметарском папиру може да одговара....5;.;.;.4;.5; ; ; 4; 5;... јединица величине која се приказује) Негативни поени за рачун, између осталог за: - Лоша размера за коефицијент правца 5% предвиђених бодова - Ако нису изабране добре тачке са графика за тражене величине 5% предвиђених бодова - Лоше заокруживање резултата или грешке, по -.5 поена. Коришћење експерименталних тачака уместо тачака са графика не доноси поене, осим поена за линеаризацију.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. II РАЗРЕД Друштво физичара Србије Министарство просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије ЗАДАЦИ - фермионска категорија ДРЖАВНИ НИВО КРАЉЕВО 6-7.4.4.. На глатку непроводну нит дужине l навучене су три наелектрисане куглице занемарљивих димензија, чија су наелектрисања q, q и q истог знака. Крајеви нити се споје и систем се препусти сам себи док не дође у равнотежу. У равнотежном положају куглице се налазе у теменима троугла. Одредити силу затезања нити када је систем у равнотежи. ( поена). Топлотна машина,чије је радно тело идеални једноатомски гас, ради по циклусу ---4--5- који је приказан на pv дијаграму (види слику ). Тачке, и леже на правој линији која пролази кроз координатни почетак, а тачка је на средини између тачака и. Пронађите коефицијент корисног дејства машине која ради по таквом циклусу ако је однос максималне и минималне температуре у том циклусу. ( поена) Слика. Слика. Слика.. Одредити силу којом млаз воде ватрогасног шмрка делује на кров куће. (слика ) Судар воде и крова је апсолутно нееластичан и занемарити ширење млаза. Задато је h.5 m, a 7. m, =7, запремински проток је Q= 7.9 l/s густина течности а нагиб крова =4. ( поена) kg/m, 4. Куглица занемарљивих димензија, пусти се да слободно пада из тачке која се налази на висини h у односу на тачку A непокретне стрме равни нагибног угла 45 (слика ). Одредити висину h са које пада куглица, тако да након њеног апсолутно еластичног судара са стрмом равни падне тачно у њено подножје (у тачку B ). Растојање између тачака A и B износи AB l 5 m. Све силе отпора занемарити. ( поена).
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. 5. На слици 4а приказана је експериментална апаратура у којој се налази гас затворен у конзерву газираног пића, а на сликама 4б и 4в је поједностављен шематски приказ експеримента. На температури апсолутне скале ( степени Целзијусове скале) течност која се налази у U цеви има исти ниво у обе гране, односно унутрашњи притисак p једнак је атмосферском притиску. При овим условима запремина коју заузима гас је V. l. Када се гас загреје до температуре на апсолутној скали (температура t на Целзијусовој скали), може се приметити да ниво течности опада у левој грани, а расте у десној грани. (a) (б) (в) Слика 4 :експерименталнa поставка за проучавање ширења гасова То се дешава јер повећање температуре на t изазива пораст притиска и запремине p p p, V=V V ). Сматрати да је гас идеалан. У табели, дате су разлике у нивоима ( течности h у функцији од температуре гаса t. Табела : Зависност разлике висина течности од температуре гаса t( C). 4. 6. 8.. h(cm) 5.8.6 7.. 8.8 За свако h, можемо одредити p и V и анализом ових података можемо одредити вредност апсолутне нуле на Целзијусовој скали (у литератури је познато да је -7,5 C). На основу датих експерименталних података, може се одредити и број молекула гаса. Задаци. ( поена) Користећи једначину идеалног гаса примењену на почетно стање ( p, V, ) и стања ( p, V, ), односно p p, V V, t успоставите везу облика Ah Bh Ct. Пошто је B занемарљиво, добили сте линеарну зависност.. (8 поена) Графички одредити (проверити) вредност и број молекула гаса. Проценити одговарајућу грешку. Висина се мери уз помоћ лењира баждареног милиметарском скалом, док се температура мери термометром чија је вредност најмањег подеока. C.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. Експерименталне константе Густина течности ρ= kg m - Гравитационо убрзање g = 9.8 m s - Унутрашњи пречник U цеви r = (.5±.) mm Атмосферски притисак p = atm = 5 Pa Запремина гаса на ºC V = (.±.) l Универзална гасна константа R = 8.4 JK - mol - Авогадров број N A = 6.67 mol - Напомена: Сва решења детаљно објаснити У свим задацима убрзање Земљине теже је g 9.8 m/s. Свим такмичарима желимо успешан рад! Задатке припремили: Александар Васиљковић, Универзитет у Кембриџу (,4,5); Александра Димић, Физички факултет, Београд (,,5) Рецензент: др Ненад Сакан, Институт за физику, Београд Председник Комисије за такмичење ДФС: Проф. др Мићо Митровић,Физички факултет, Београд
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. Друштво физичара Србије Министарство просвете, науке и технолошког ДРЖАВНИ НИВО II РАЗРЕД КРАЉЕВО развоја Републике Србије 6-7.4.4. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА-фермионска категорија. Пошто је нит глатка, сила затезања је истог интензитета између сваке две куглице (нема трења између куглице и нити). Размотримо силе које делују на једну од куглица, на пример куглицу са наелектрисањем. На куглицу делују силе затезања интензитета дуж праваца - и - ка другим куглицама и електростатичке силе дуж истих праваца, али супротних смерова у односу на силе затезања. Резултујућа сила која потиче од сила затезања је дуж симетрале угла код куглице, па пошто је систем у равнотежи, укупна резултујућа сила која делује на куглицу је нула, онда је резултујућа сила од електростатичких сила дуж симетрале угла, што значи да су електростатичке силе qq qq истог интензитета. Исправна слика 4п.То значи да је, (4п) односно q l ql ql (последња 4 l 4 l једнакост следи аналогно) (п). Такође је l l l l (п), односно l q q q q qq qq q q q q qq 4 l 4 l q q 4 l q q. (4п) (п), па је сила затезања. Написаћемо једначине стања идеалног гаса за процесе, и (на слици су задате ознаке за одговарајуће тачке). p V nr p V nr, p V nr (п). Из услова задатка да су, и на истој прави и да полови - Имамо, имамо: p p p (п), V V V V стања добијамо ( ) 4 уложена (примљена топлота), а V V (п), p p p (п). Комбиновањем тих једначина са једначинама Qul Qot (п). Затим рачунамо коефицијент корисног дејства, где је Q ul Q Q отпуштена (ослобођена) топлота у циклусу. (п) Гас прима топлоту у процесу ot -- и на основу првог принципа термодинамике Qul U A nr( ) ( p p )( V V ) (п). Тај израз можемо помоћу једначина стања и познатих односа трансформисати у Qul nr( ) (п). Сада ћемо израчунати количину топлоте коју гас отпушта током процеса -4--5-: Qot U A54 nr( ) p ( V V ) p ( V V ) (п). Након трансформације добијамо: nr nr Qot ( 5 ) (7 9 ) (п). Сада можемо написати израз за 4 коефицијент корисног дејства што након замене односа температура износи 8( ) (п). 8( ) ul Слика. Слика.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ.. Искористимо једначине за коси хитац v cos t a, v sin t gt / h (4п) и добијамо v ga.76 m/s ( atg h)cos (+п). Време потребно да млаз воде удари о кров износи a t.895 s v cos.(п) Компоненте брзине млаза у тренутку удара у кров износе v v cos 8.47 m/s, v v sin gt.7 m/s. (п) Угао који млаз заклапа са хоризонталом износи x o y vy arctg 8.68.(п) Угао између млаза и нормале на кров износи /.8.(п) Кренемо vx dp од дефиниције силе F (п) а масу која удара у јединици времена о кров можемо изразити као m Q (п) и dt када узмемо у обзир нееластичност судара јасно је да постоји само компонента силе нормална на кров. Коначно добијамо F Q v v cos 57.68 N. (4+п) x y 4. Непосредно пре судара, брзина куглице је усмерена вертикално наниже и њен интензитет је v gh (п), а v интензитети компоненти брзине су једнаки и износе vx vy gh (п). Пошто је судар апсолутно еластичан, интензитети компоненти брзине куглице непосредно после судара имају једнаке вредности као и пре судара, само што y компонента брзине након судара мења смер (п). Кретање куглице након судара посматрајмо у непокретном координатном систему xay (видети слику ). Кретање куглице у систему xay је равномерно убрзано дуж обе координатне осе, са убрзањима a x a y g / (п). Кинематичке једначине кретања куглице су y axt a t редом x t vxt и y t vyt. Да би куглица пала тачно у тачку B мора да важи axt p aytp x tp l vx tp () (п) и y t p vyt p () (п), где је t време које протекне од тренутка удара p vy 8h куглице у тачку A до тренутка удара у тачку B. Из једначине () добијамо да је t p (п), па кад дати a g израз заменимо у једначину () добијамо 4 l x tp h l (п), па је тражена висина h.88 m (п). 4 5. (п) Напишемо једначину стања за почетни тренутак и за неки произвољни тренутак када дође до промене температуре: pv, nr pv nr. Када искористимо p p p, V=V V добијамо p V V p p V pv t. Такође је t односно p r h V gh gh r h p V p gh, V r h, одакле закључујемо pv p r gv h g r h t A B C. Како смо утврдили да је квадратни члан занемарљив, то можемо записати Ah Ct, односно видимо да можемо успоставити линеарну зависност између температуре и разлике висина воденог стуба. (п) За добро нацртан график у одговарајућој размери дати 5 поена. Са графика очитавамо експерименталне тачке A (.8 C,.4 cm), B ( 8.8 C, 5.6 cm ). Коефицијент правца рачунамо као y k x B B y x A A (5.6.4) cm =.9 cm/ C (п). Грешка за коефицијент правца износи (8.8.8) C x y. cm. C k ( ), k ( ).9 cm/ C k.975 cm/ C k. cm/ C. x x y y. cm 8. C B A B A y
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ. pv pv Стога имамо k (.9.) cm/ C. (4п) С друге стране је k, па ( p r gv ) ( p r gv ) k 5 Pa. l можемо израчунати 7, 4 C.(п) ( 5 Pa 6.5 mm kg/m 9.8 m/s. l).9 cm/ C k V p rr gv o o Грешку израчунавамо на следећи начин ( ) 5.96 C C. Коначно k V p r gv је (7 ) C (п). Укупан број молекула рачунамо из једначине стања за почетно стање: pv 5 Pa. l N N A 6.67 mol 8.954 R 8.4 J/molK 7 K V N N ( ).69 N.7 па имамо да је број молекула V Напомене везано за начин бодовања:. Када израчунамо грешку N (8.9.7). (п) Негативни поени за график, између осталог за: - Без наслова -.5 (наслов није h f ( t) ) - Лоша размера -.5 (график заузима мање од /4 простора папира) - Недостају јединице -.5 - Унете на осе мерене бројне вредности -.5 - Ако. и. изабрана тачка није између. и., односно претпоследње и последње експерименталне -.5 - Изабране тачке нису у мереном опсегу - - Нису уцртане грешке -.5 - Лоша размера подеока -.5 ( mm на милиметарском папиру може да одговара....5;.;.;.4;.5; ; ; 4; 5;... јединица величине која се приказује) Негативни поени за рачун, између осталог за: - Лоша размера за коефицијент правца 5% предвиђених бодова - Ако нису изабране добре тачке са графика за тражене величине 5% предвиђених бодова - Лоше заокруживање резултата или грешке, по -.5 поена. Коришћење експерименталних тачака уместо тачака са графика не доноси поене, осим поена за линеаризацију.
ШКОЛСКЕ /4. ГОДИНЕ.