ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o Θέμα Προσδιορίστε το κέντρο μάζας τριών σημειακών μαζών =kg, = kg και = kg πο βρίσκονται στις κορφές ενός ισόπλερο τριγώνο πλεράς. (Τμήμα Ηλεκτρολογίας Τ.Ε.Ι. Επιλέγοντας σύστημα σντεταγμένων Ο έτσι ώστε ο άξονας να σμπίπτει με τη μια πλερά το τριγώνο, όπως φαίνεται στο σχήμα, προκύπτον οι σντεταγμένες των τριών μαζών ως: (,, (, και (/, / Άρα οι σντεταγμένες το κέντρο μάζας είναι: 7 / / Επομένως το διάνσμα θέσης το κέντρο μάζας είναι: ( ˆ ˆ 7 ˆ ˆ / / 7 C O

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Το σχήμα δείχνει τρεις μάζες, και πο κινούνται με ταχύτητες (ως προς το Ο, και αντίστοιχα. Οι θέσεις των μαζών τη χρονική στιγμή t είναι, - και αντίστοιχα. Το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο. α Ποια είναι η θέση, ορμή και ταχύτητα το ΚΜ τη χρονική στιγμή t; β Τη στιγμή t ποια είναι η ταχύτητα το κάθε σωματιδίο ως προς το ΚΜ; Ποια είναι η ολική ορμή ως προς το ΚΜ; γ Δείξτε ότι τα σωματίδια θα σγκροστούν τατόχρονα. Πο και πότε θα σμβεί ατό; δ Αν η κρούση είναι τελείως πλαστική, βρείτε την κινητική ενέργεια το ΚΜ και το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας πο χάνεται σε θερμότητα. (Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. C - - Ο α Η θέση το ΚΜ τη χρονική στιγμή t είναι: ( ( Η ταχύτητα το ΚΜ είναι: Και η ορμή το ΚΜ είναι: β Σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο η ταχύτητα κάθε σωματιδίο ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας δίνεται από τη σχέση: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Άρα:, και Η ολική ορμή ως προς το ΚΜ είναι: γ Προφανώς τα τρία σωματίδια δύναται να σγκροστούν τατόχρονα στη θέση =. Ατό μπορεί να επιβεβαιωθεί από τα δεδομένα κινηματικά μεγέθη των σωματιδίων. Δηλαδή επειδή το ένα σωματίδιο βρίσκεται σε διπλάσια απόσταση από το Ο και κινείται με διπλάσια σταθερή ταχύτητα από ότι το άλλο σωματίδιο, τότε τα δύο ατά σωματίδια θα σναντηθούν τατόχρονα στο σημείο =. Σνεπώς τα τρία σωματίδια θα σγκροστούν τατόχρονα στο σημείο =. Τη χρονική στιγμή της σύγκροσης tσ η θέση το κέντρο μάζας είναι =, οπότε: d dt d dt d t dt t t δ Αν η κρούση των σωματιδίων είναι πλαστική τότε ατά θα κινούνται ως ένα σώμα μάζας Μ = Σ = με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα το ΚΜ ( όπως προκύπτει κι από την αρχή διατήρησης της ορμής: αρχ τελ Άρα η κινητική ενέργεια το ΚΜ μετά την κρούση είναι: K τελ M Η αρχική κινητική ενέργεια το σστήματος είναι: K αρχ K τελ 8 K αρχ 9 Άρα το ποσοστό της Καρχ πο χάνεται σε θερμότητα λόγω της πλαστικής κρούσης είναι: αρχ αρχ τελ 9 8 (9 / /8 9 /, 6 (ή % ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Ένα σύστημα αποτελείται από δύο σημειακές μάζες =kg και =6kg πο έχον σνδεθεί μεταξύ τος με στερεά ράβδο αμελητέας μάζας όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο, ενώ στη σνέχεια πό την επίδραση των δνάμεων : 8ˆ ( και F 6 ( το σύστημα αρχίζει να κινείται. F ˆ F F α Υπολογίστε τις σντεταγμένες το κέντρο μάζας των δο μαζών σαν σνάρτηση το χρόνο. β Υπολογίστε την ολική ορμή το σστήματος σαν σνάρτηση το χρόνο. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α. O α Ο ος νόμος το ewton για το σύστημα δίνει: d d Fet M F F ( dt dt 8ˆ 6ˆ d 6 dt d t (,ˆ,7dt ˆ Δηλαδή η ταχύτητα το κέντρο μάζας έχει σνιστώσες : (t,tˆ,7tˆ (/se ( t,t ( και (t, 7t ( Αρχικά τη χρονική στιγμή t = οι σντεταγμένες το κέντρο μάζας είναι: 6 (, 6 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 6 (,87 6 6 d (, dt Άρα: (t d, tdt (t,t, t ( d (, 87 dt και (t d,7 tdt (t,87t,87 t ( β Επίσης είναι: F et F F dp 8 ˆ 6ˆ dt P dp 8ˆ 6ˆ dt t P(t 8tˆ 6tŷ (kg se - ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Έστω τρία σώματα με μάζες =kg, = kg και = kg. Το σύστημα των τριών μαζών είναι απομονωμένο. Οι τρεις μάζες βρίσκονται στις θέσεις (,, (., και (, αντίστοιχα. Κάποια χρονική στιγμή οι μάζες και σγκρούονται στο σημείο (,. Να βρεθεί η θέση της μάζας εκείνη τη χρονική στιγμή. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α. Το διάνσμα θέσης το κέντρο μάζας των τριών σωμάτων είναι: ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ 6ˆ ˆ ˆ 9,ˆ 6ˆ,9ˆ,6ˆ ( Επειδή το σύστημα των μαζών είναι απομονωμένο το κέντρο μάζας το σστήματος είναι σταθερό κι ακίνητο ( εφόσον δεν είχε αρχική ταχύτητα, δηλαδή το διάνσμα θέσης το είναι σταθερό. Οπότε αμέσως μετά την κρούση είναι: (ˆ ˆ (ˆ ˆ (ˆ ˆ,9ˆ,6ˆ ˆ,ˆ, (,ˆ, ˆ (,ˆ,ŷ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o Θέμα Δύο σώματα μαζών και έχον ταχύτητες και αντίστοιχα ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Βρείτε την ταχύτητα το κάθε σώματος και την ολική ορμή τος ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α. Η ταχύτητα το κέντρο μάζας είναι : ( Χρησιμοποιώντας τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο, η ταχύτητα κάθε σώματος στο σύστημα το κέντρο μάζας είναι : ( ( ( ( ( ( Άρα στο σύστημα το κέντρο μάζας τα δο σώματα φαίνονται να κινούνται σε αντίθετες κατεθύνσεις. Η ολική ορμή στο σύστημα το κέντρο μάζας είναι : P ( ( P (,(

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα 6 Υπολογίστε την ολική ορμή σστήματος Ν σωματιδίων ως προς το σύστημα αναφοράς το κέντρο μάζας. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α. Η ολική ορμή το σστήματος των σωματιδίων ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας είναι: P όπο η ταχύτητα κάθε σωματιδίο ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας. Αλλά η ταχύτητα το κέντρο μάζας ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας θα δίνεται από τη σχέση: ( M ( όπο M Επειδή όμως η είναι η ταχύτητα το ΚΜ σε σύστημα πο διαρκώς σμπίπτει με το ΚΜ είναι προφανώς, οπότε η ( δίνει: P ( M P Άρα η ολική ορμή σστήματος σωματιδίων ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας είναι πάντα μηδέν. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα 7 Έστω δύο σωματίδια με μάζες, και διανύσματα θέσης, αντίστοιχα ως προς σταθερό σύστημα αναφοράς Οz. Να αποδειχθεί ότι το κέντρο μάζας των δύο ατών σημειακών μαζών βρίσκεται πάνω στην εθεία πο τις ενώνει και οι αποστάσεις το από τις δύο μάζες είναι αντιστρόφως ανάλογες των μαζών. (Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. O C z Το διάνσμα θέσης το κέντρο μάζας είναι: ( Σύμφωνα με τη διανσματική άθροιση ισχύει: ( ( και ( ( ( ( Άρα όπως φαίνεται από τις ( και ( οι αποστάσεις το κέντρο μάζας από τις δύο μάζες είναι αντιστρόφως ανάλογες το αθροίσματος των μαζών. Στη σνέχεια πολογίζοντας το εξωτερικό γινόμενο των, προκύπτει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 (, ( ( ( ( ( επειδή Άρα αφού είναι // κι επομένως το κέντρο μάζας των δύο ατών μαζών βρίσκεται πάνω στην εθεία πο τις ενώνει. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o Θέμα 8 Απομονωμένο σύστημα αποτελείται από δο σωματίδια με μάζες και πο κινούνται με ταχύτητες και κάθετες μεταξύ τος. Δείξτε ότι το μέτρο της ορμής κάθε σωματιδίο ως προς το σύστημα αναφοράς το κέντρο μάζας είναι μ όπο μ = / + η ανηγμένη μάζα το σστήματος. (Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Η ορμή κάθε σωματιδίο ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας είναι: και ( όπο, οι ταχύτητες των σωματιδίων ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας. Η ταχύτητα το κέντρο μάζας είναι: ( Αλλά σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο ισχύον: ( ( και ( ( Άρα οι ( γίνονται: μ( ( μ( ( Επειδή τα διανύσματα και είναι κάθετα μεταξύ τος τα μέτρα των και είναι ίσα, δηλαδή : Άρα τα μέτρα των ορμών και είναι ίσα και ισχύει: μ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o Θέμα 9 Δείξτε ότι η στροφορμή ενός σστήματος Ν σωματιδίων ως προς το κέντρο μάζας το σστήματος δίνεται από τη σχέση, όπο η στροφορμή το σστήματος ως προς το ακίνητο σύστημα αναφοράς το εργαστηρίο και, τα διανύσματα θέσης το κέντρο μάζας και ορμής το σστήματος ως προς το ακίνητο σύστημα. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. Η στροφορμή σστήματος Ν σωματιδίων ως προς το κέντρο μάζας είναι: ( Αλλά σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο είναι: και οπότε η ( δίνει: ( ( ( ( Όμως από τον ορισμό το διανύσματος θέσης το κέντρο μάζας είναι: M όπο M η ολική μάζα το σστήματος. Άρα η ( γίνεται: M M

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o Θέμα Δείξτε ότι για τη στροφορμή σστήματος Ν σωματιδίων ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας ισχύει πάντα: όπο τα διανύσματα,,, αναφέρονται στο σύστημα το κέντρο μάζας, ενώ το διάνσμα αναφέρεται στο ακίνητο σύστημα το εργαστηρίο. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. Η στροφορμή σστήματος Ν σωματιδίων ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας είναι: ( Αλλά: οπότε η ( δίνει: ( Επειδή όμως το διάνσμα θέσης το κέντρο μάζας ως προς το σύστημα το κέντρο μάζας είναι πάντα μηδέν ισχύει: Σνεπώς η ( δίνει:

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Το κέντρο μάζας ενός σστήματος σωματιδίων σνολική μάζας M κινείται με ταχύτητα ν ως προς κάποιο ακίνητο σύστημα αναφοράς Oz. Αν Ε είναι η ολική κινητική ενέργεια των σωματιδίων ως προς το σύστημα αναφοράς το κέντρο μάζας, να πολογιστεί η ολική κινητική ενέργεια Κ των σωματιδίων ως προς Oz σναρτήσει των παραμέτρων πο δίνονται. (Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. Η κινητική ενέργεια το σστήματος ως προς το αδρανειακό σύστημα Oz είναι: K ( Αλλά από το μετασχηματισμό Γαλιλαίο είναι: v, όπο v η ταχύτητα το κέντρο μάζας. Αντικαθιστώντας στην ( προκύπτει: K ( v ( v v Αλλά η ολική ορμή των σωματιδίων πάντα μηδέν οπότε η τελεταία δίνει: στο σύστημα το κέντρο μάζας είναι K Mv K E Mv ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Τα σωματίδια, αλληλεπιδρούν αποτελώντας κλειστό σύστημα απομονωμένο από εξωτερικές επιδράσεις. Αν είναι η καμπύλη της τροχιάς το ως προς το σύστημα αναφοράς το κέντρο μάζας και οι θέσεις των, στο σχήμα αποτελούν στιγμιότπο της κίνησης και =, να σχεδιάσετε την τροχιά πο διαγράφει το (ως προς το σύστημα αναφοράς το κέντρο μάζας. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α. O C Έστω Ο η αρχή ενός αδρανειακού σστήματος αναφοράς και C το κέντρο μάζας των σωματιδίων. Είναι: ( ( Αλλά από τη διανσματική άθροιση ισχύον: ( ( ( και ( ( Διαιρώντας τις ( και ( κατά μέλη προκύπτει: Δηλαδή τα διανύσματα θέσης των δύο σωματιδίων ως προς το κέντρο μάζας είναι κάθε χρονική στιγμή παράλληλα με αντίθετες κατεθύνσεις κι επομένως θα έχον όμοιες γεωμετρικές τροχιές. Άρα η τροχιά πο διαγράφει το σωματίδιο είναι ελλειπτική όπως φαίνεται στο σχήμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Δύο σώματα μάζας και σνδέονται με ελατήριο σταθεράς k. Τοποθετούμε το σύστημα σε μια γωνία όπο το δάπεδο είναι ελεύθερο τριβών και μετατοπίζομε τη μάζα έτσι ώστε το ελατήριο να σμπιεστεί κατά (το τοίχωμα είναι ακλόνητο. Να βρεθεί η ταχύτητα το κέντρο μάζας τη στιγμή πο η μάζα αφήνει το τοίχωμα. (Κατατακτήριες εξετάσεις για Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α. k F Η ταχύτητα το κέντρο μάζας το σστήματος δίνεται από τη σχέση: ( Καθώς το ελατήριο είναι σμπιεσμένο κατά και η μάζα κινείται προς τα δεξιά θα ασκείται σε ατή η δύναμη το ελατηρίο F = k. Όταν η μάζα περάσει από την αρχική της θέση τότε η μάζα οριακά αφήνει το τοίχωμα και θεωρείται ότι. Η ταχύτητα της μάζας τη στιγμή ατή πολογίζεται μέσω το ο νόμο το ewton: d d d d F α k k dt d dt d d k d k k Άρα η ( δίνει για την ταχύτητα το κέντρο μάζας τη στιγμή ατή: k / k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Να προσδιοριστεί η θέση το κέντρο μάζας ομογενούς σύρματος πο έχει τη μορφή το ενός τετάρτο περιφέρειας κύκλο ακτίνας R. (Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. B ds Οι σντεταγμένες το κέντρο μάζας ως προς το καρτεσιανό σύστημα σντεταγμένων Ο στο επίπεδο της περιφέρειας με αρχή το κέντρο της περιφερείας είναι: R O dθ θ A d και d ( Αλλά από την σταθερή γραμμική πκνότητα λ το σύρματος ισχύει: Οπότε οι σχέσεις ( λόγω των ( γίνονται: B πr d λds και M λds λ ds λ πλr ( A ds και ds ( πr πr Με αλλαγή των καρτεσιανών σε πολικές σντεταγμένες, δηλαδή για = Rosθ, Rsnθ και ds Rdθ οι ( γράφονται: π / πr R osθdθ R snθ π π / R π πr R π και R snθdθ osθ π/ π/ Παρατηρείται ότι λόγω σμμετρίας το σχήματος, το κέντρο μάζας βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας των αξόνων O και O. R π ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα Να προσδιοριστεί το κέντρο μάζας λεπτού ομογενούς ημικκλίο ακτίνας R. (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φσικών Εφαρμογών Ε.Μ.Π. Λόγω σμμετρίας το σώματος το κέντρο μάζας το είναι πάνω στον άξονα κι έτσι θεωρούμε στοιχειώδη λωρίδα το σώματος μάζας d και πλάτος d. Είναι: O R φ d d=σds=σd ( Αλλά η σταθερή επιφανειακή πκνότητα το σώματος είναι: σ S πr / πr M οπότε η ( γίνεται: d d ( πr Επομένως το κέντρο μάζας το ημικκλίο είναι: R ( d d ( πr Μετασχηματίζοντας τις καρτεσιανές σε πολικές σντεταγμένες : Rosφ, Rsnφ και d Rosφdφ η ( γίνεται: πr / / π R π π R snφos φdφ snφos φdφ / R π π οs φ[-d(osφ] R os φ π π / R π R π ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα 6 Να προσδιοριστεί το κέντρο μάζας λεπτού επίπεδο ισοσκελούς τριγώνο ύψος h. (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φσικών Εφαρμογών Ε.Μ.Π. h α d O Λόγω σμμετρίας το σώματος το κέντρο μάζας το βρίσκεται στον άξονα κι έτσι θεωρούμε στοιχειώδη λωρίδα το σώματος μάζας d και πλάτος d. Είναι: d σds σd ( Αλλά: σ, όπο α η S αh/ αh βάση το ισοσκελούς τριγώνο. Οπότε η ( γίνεται: M d d ( αh Επομένως το κέντρο μάζας το ισοσκελούς τριγώνο είναι: h ( d d ( αh Αλλά από το σχήμα, λόγω της ομοιότητας των τριγώνων ισχύει: h α ( α / h Άρα η ( λόγω της ( δίνει: αh h d d α h h h h ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Θέμα 7 Να προσδιοριστεί το κέντρο μάζας ομογενούς στερεού ημισφαιρικού σώματος ακτίνας R. (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φσικών Εφαρμογών Ε.Μ.Π. dz γίνεται: z z R φ O Επιλέγοντας σύστημα σντεταγμένων Oz με αρχή Ο το κέντρο της βάσης το ημισφαιρίο, παρατηρείται ότι ο άξονας Οz είναι ο άξονας σμμετρίας το σώματος και το κέντρο μάζας θα βρίσκεται πάνω σε ατόν. Οπότε θεωρούμε στοιχειώδη δίσκο μάζας d, ακτίνας και πάχος dz σε ύψος z από τη βάση το ημισφαιρίο. Είναι: d ρdv ρπ dz ( Αλλά: ρ M V πr πr M d dz ( R οπότε η ( Επομένως το κέντρο μάζας το ημισφαιρικού σώματος είναι: z ( zd z R Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση: Rosφ, z Rsnφ, και dz Rosφdφ η ( γίνεται: R z dz ( z R / / π R π R snφos φdφ sn φos φdφ R π / os φ[-d(osφ ] R os φ π / R z R 8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o Θέμα 8 Μια λεπτή μη ομογενής ράβδος μήκος έχει γραμμική πκνότητα πο δίνεται από τη σχέση : α α λ( όπο α σταθερά και η απόσταση από το ένα άκρο της. Να προσδιοριστεί το κέντρο μάζας της. (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φσικών Εφαρμογών Ε.Μ.Π. Θεωρούμε στοιχειώδες τμήμα της ράβδο μάζας d και πλάτος d σε απόσταση από το Ο. Είναι: d α λ d d ( Και ολοκληρώνοντας την ( πολογίζεται η ολική μάζα της ράβδο. Δηλαδή: α α α M d α d ( Άρα το κέντρο μάζας της ράβδο είναι: d d α α d (,( 9 6 O d