Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1
Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό σημείο της περιοχής των εφικτών λύσεων οδηγούμαστε σε κάθε επανάληψη από ένα ακραίο σημείο (κορυφή) της περιοχής των εφικτών λύσεων σε ένα άλλο, γειτονικό με το προηγούμενο, το οποίο αντιστοιχεί σε καλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να εντοπισθεί η βέλτιστη λύση Ο αλγόριθμος Simplex μπορεί να περιγραφεί προγραμματιστικά είτε με μορφή ταμπλό είτε με μορφή πινάκων Ο αλγόριθμος Simplex έχει εκθετική πολυπλοκότητα στη χειρότερη περίπτωση αλλά μόνο πολυωνυμική πολυπλοκότητα στη μέση περίπτωση Εντοπισμός βέλτιστης λύσης Ταχύτατη εκτέλεση στις περισσότερες περιπτώσεις Παροχή επιπλέον πληροφοριών «οικονομικής φύσεως» σε σχέση με τη λύση 2
Μετατροπή του προβλήματος ΓΠ σε τυπική μορφή Οι υπολογισμοί της μεθόδου Simplex επιβάλλουν δύο απαιτήσεις στους περιορισμούς του μοντέλου ΓΠ: Όλοι οι περιορισμοί να είναι ισότητες με μη αρνητικό δεξί μέλος Όλες οι μεταβλητές να είναι μη αρνητικές Για να μετατραπεί ένα πρόβλημα ΓΠ σε τυπική μορφή (standard form) χρησιμοποιούνται χαλαρές (slack) και πλεονασματικές (surplus) μεταβλητές έτσι ώστε οι ανισότητες των περιορισμών να μετατραπούν σε ισότητες και το πρόβλημα να λάβει την ακόλουθη μορφή: max z = C T X s. t. AX = B X 0 Προκειμένου να μετατραπεί μια ανισότητα σε εξίσωση θα πρέπει να προστεθεί μια χαλαρή μεταβλητή s1 στο αριστερό μέλος του περιορισμού (π.χ.) 3x1 + 2x2 10 3x1 + 2x2 + s1 = 10 Αντίστοιχα για να μετατραπεί μια ανισότητα σε εξίσωση θα πρέπει να αφαιρεθεί μια μεταβλητή πλεονασμού s1 από το αριστερό μέλος του περιορισμού (π.χ.) 2x1 + 5x2 + 2x3 11 2x1 + 5x2 + 2x3 s1 = 11 Αν το αριστερό μέλος μιας εξίσωσης είναι μη αρνητικό τότε μπορεί να μετατραπεί σε θετικό πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το -1 (π.χ.) 2x1 3x2 + s1 = 3 2x1 + 3x2 s1 = 3 3
Σημασία των χαλαρών και των πλεονασματικών μεταβλητών Οι χαλαρές μεταβλητές (ή μεταβλητές περιθωρίου) αφορούν περιορισμούς τύπου και αναπαριστούν την ποσότητα κατά την οποία το αριστερό μέλος ενός περιορισμού υπολείπεται του μέγιστου ορίου του περιορισμού Οι πλεονασματικές μεταβλητές αφορούν περιορισμούς τύπου και αναπαριστούν την ποσότητα κατά την οποία το αριστερό μέλος ενός περιορισμού ξεπερνά το ελάχιστο όριο του περιορισμού Τόσο για τις χαλαρές όσο και για τις πλεονασματικές μεταβλητές ισχύει ότι: αντιπροσωπεύουν την ποσότητα ενός πόρου που δεν χρησιμοποιείται μπορούν να συμπεριληφθούν στην αντικειμενική συνάρτηση με μηδενικούς συντελεστές 4
Μη περιορισμένες (ελεύθερες) μεταβλητές Μια μη υποκείμενη σε περιορισμούς μεταβλητή x μπορεί να αναπαρασταθεί με χρήση δύο μη αρνητικών μεταβλητών ως εξής: x = x + x, x + 0, x 0 Η θεωρία του ΓΠ αποδεικνύει ότι δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα θετικές και οι δύο μεταβλητές x + και x 5
Αριθμός πιθανών λύσεων Σε ένα σύστημα εξισώσεων με m εξισώσεις και n μη αρνητικές μεταβλητές για το οποίο m < n, οι βασικές λύσεις αντιστοιχούν σε κορυφές του χώρου της γραφικής λύσης Αν θέσουμε τις n m από τις μεταβλητές ίσες με μηδέν τότε προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων m m που μπορεί να έχει μια λύση (εφόσον η λύση είναι μοναδική) Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε n m μεταβλητές από n μεταβλητές είναι: n choose(n, n m) = n m = n! n m! m! Άρα το μέγιστο πλήθος των γωνιακών σημείων που μπορούν να είναι υποψήφια για βέλτιστη λύση είναι n! n m!m! Για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα με m = 2 εξισώσεις και 4! n = 4 μη αρνητικές μεταβλητές υπάρχουν = 4! = 6 4 2!2! 2!2! γωνιακά σημεία Ο αριθμός των γωνιακών σημείων αυξάνεται δραματικά καθώς αυξάνεται ο αριθμός των μεταβλητών και των περιορισμών (π.χ. για m=10 και n=20 τα γωνιακά σημεία είναι 184.756) Η απαρίθμηση όλων των γωνιακών σημείων είναι υπολογιστικά ασύμφορη, αλλά η μέθοδος Simplex εντοπίζει τη βέλτιστη λύση εξετάζοντας ένα μικρό υποσύνολο από το σύνολο όλων των σημείων 6
Βασικές και μη βασικές μεταβλητές Βασικές (BV= Basic Variables) λέγονται οι μεταβλητές που λαμβάνουν μη μηδενικές τιμές και Mη βασικές (NBV=Non Basic Variables) λέγονται οι μεταβλητές που λαμβάνουν μηδενικές τιμές στην τρέχουσα λύση του προβλήματος ΓΠ Το σύνολο των βασικών μεταβλητών καλείται βάση (basis) της λύσης που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο πίνακα Ο αριθμός των βασικών μεταβλητών ισούται με το πλήθος των περιορισμών του προβλήματος Ο αριθμός των μη βασικών μεταβλητών ισούται με το πλήθος των μεταβλητών του προβλήματος 7
Η επαναληπτική διαδικασία Simplex 1. Έλεγχος κριτηρίου βελτιστοποίησης 2. Επιλογή από τις μη βασικές μεταβλητές της μεταβλητής που θα γίνει βασική Αντί να απαριθμεί όλες τις βασικές λύσεις, ο αλγόριθμος Simplex διερευνά έναν ελάχιστο αριθμό επιλεγμένων λύσεων 3. Επιλογή της βασικής μεταβλητής που θα αντικατασταθεί 4. Υπολογισμός νέων τιμών στο ταμπλό με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς και επιστροφή στο βήμα 1 8
Εφαρμογή της Simplex σε πρόβλημα ΓΠ (παράδειγμα 1) Πρόβλημα s1μεγιστοποίησης Τυπική Μορφή 9
Αναπαράσταση ταμπλό συντελεστές κόστους για όλες τις μεταβλητές μοναδιαίος πίνακας συντελεστές κόστους για τις βασικές μεταβλητές Cj 5 4 0 0 0 0 C j Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s1 6 4 1 0 0 0 24 0 s2 1 2 0 1 0 0 6 0 s3-1 1 0 0 1 0 1 0 s4 0 1 0 0 0 1 2 Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 5 4 0 0 0 0 υπολογίζεται όταν επιλεγεί η μη βασική μεταβλητή που θα μπει στη βάση τιμές των βασικών μεταβλητών δυϊκές τιμές υπολειμματικό κόστος κόστος της λύσης 10
Ταμπλό 1 στοιχείο οδηγός στήλη οδηγός γραμμή οδηγός Cj 5 4 0 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s1 6 4 1 0 0 0 24 24/6=4 0 s2 1 2 0 1 0 0 6 6/1=6 0 s3-1 1 0 0 1 0 1-0 s4 0 1 0 0 0 1 2 - Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 5 4 0 0 0 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x1) {s1,s2,s3,s4}={24/6=4, 6/1=6, -, -} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s1 11
Μετασχηματισμοί γραμμών Gauss-Jordan Στη γραμμή οδηγό Αντικατάσταση της εξερχόμενης μεταβλητής στη στήλη με τις βασικές μεταβλητές με την εισερχόμενη μεταβλητή Διαίρεση των στοιχείων της γραμμής οδηγού με το στοιχείο οδηγό προκειμένου να προκύψει η νέα γραμμή οδηγού Στις γραμμές των υπόλοιπων βασικών μεταβλητών Νέα γραμμή = τρέχουσα γραμμή συντελεστής στήλης οδηγού στη τρέχουσα γραμμή * νέα γραμμή οδηγού Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής x1 θα πρέπει να έχει 1 στη γραμμή οδηγό και 0 σε όλα τα στοιχεία της στήλης οδηγού που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες βασικές μεταβλητές R1 R2 R3 R4 Cj 5 4 0 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s1 6 4 1 0 0 0 24 24/6=4 0 s2 1 2 0 1 0 0 6 6/1=6 0 s3-1 1 0 0 1 0 1-0 s4 0 1 0 0 0 1 2 - Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 5 4 0 0 0 0 R1 R1/6, R2 R2-R1, R3 R3+R1, R4 R4 Cj 5 4 0 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 4/6 1/6 0 0 0 24/6 0 s2 1-1 2-4/6 0-1/6 1-0 0-0 0-0 6-24/6 0 s3-1+1 1+4/6 0+1/6 0+0 1+0 0+0 1+24/6 0 s4 0 1 0 0 0 1 2 Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 5 4 0 0 0 0 12
Ταμπλό 1 Ταμπλό 2 R1 R1/6 R2 R2-R1 R3 R3+R1 Cj 5 4 0 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s1 6 4 1 0 0 0 24 4 0 s2 1 2 0 1 0 0 6 6 0 s3-1 1 0 0 1 0 1-0 s4 0 1 0 0 0 1 2 - Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 5 4 0 0 0 0 Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 1 είναι: x1=0, x2=0, z=0 Cj 5 4 0 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 2/3 1/6 0 0 0 4 4/(2/3)=6 0 s2 0 4/3-1/6 1 0 0 2 2/(4/3)=1.5 0 s3 0 5/3 1/6 0 1 0 5 5/(5/3)=3 0 s4 0 1 0 0 0 1 2 2/1=2 Wj 5 10/3 5/6 0 0 0 20 Cj-Wj 0 2/3-5/6 0 0 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x2 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {x1,s2,s3,s4}={6, 1.5, 3, 2} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x2 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s2 13
Ταμπλό 2 Ταμπλό 3 Cj 5 4 0 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 2/3 1/6 0 0 0 4 6 0 s2 0 4/3-1/6 1 0 0 2 1.5 0 s3 0 5/3 1/6 0 1 0 5 3 0 s4 0 1 0 0 0 1 2 2 Wj 5 10/3 5/6 0 0 0 20 Cj-Wj 0 2/3-5/6 0 0 0 R2 R2/(4/3) R1 R1-(2/3)*R2 R3 R3-(5/3)*R2 R4 R4-R2 Cj 5 4 0 0 0 0 C j Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 0 0.25-0.5 0 0 3 4 x2 0 1-0.125 0.75 0 0 1.5 0 s3 0 0 0.375-1.25 1 0 2.5 0 s4 0 0 0.125-0.75 0 1 0.5 Wj 5 4 0.75 0.5 0 0 21 Cj-Wj 0 0-0.75-0.5 0 0 Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=4, x2=2, z=20 Η βέλτιστη λύση είναι: x1 = 3 x2=1.5 z=21 Όλες οι τιμές είναι μη θετικές, άρα καθώς το πρόβλημα είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση 14
Γραφική Παρουσίαση της Simplex Η SIMPLEX ξεκινά από την λύση (0,0) και διαγράφει το πολύγωνο OBCIKJ μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη. Στο παράδειγμά μας ξεκινά από το O(0,0) στον πρώτο κύκλο προσεγγίζεται το B(4,0) και στον δεύτερο κύκλο το C(3, 1.5) που είναι η Βέλτιστη λύση 15
Επίλυση με το LiPS Αντιστοιχήσεις ονομάτων μαθηματικού μοντέλου και LiPS x1 x1 x2 x2 s1 s3 s2 s4 s3 s5 s4 s6 https://sourceforge.net/projects/lipside/ 16
Σύνοψη της μεθόδου Simplex Συνθήκη βελτιστότητας: Η εισερχόμενη μεταβλητή σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης είναι η μη βασική μεταβλητή με την πιο θετική τιμή στη γραμμή υπολειμματικού κόστους του πίνακα Simplex (οι ισοπαλίες επιλύονται αυθαίρετα). Η βέλτιστη τιμή έχει επιτευχθεί όταν όλοι οι τιμές στη γραμμή υπολειμματικού κόστους είναι αρνητικοί ή μηδέν Συνθήκη εφικτότητας: Τόσο για τα προβλήματα μεγιστοποίησης όσο και για τα προβλήματα ελαχιστοποίησης, η εξερχόμενη μεταβλητή είναι η βασική μεταβλητή που έχει τον μικρότερο μη αρνητικό λόγο με αυστηρά θετικό παρονομαστή (οι ισοπαλίες επιλύονται αυθαίρετα) Μετασχηματισμοί γραμμών Gauss-Jordan Στη γραμμή οδηγό (pivot) Αντικατάσταση της εξερχόμενης μεταβλητής στην στήλη Basis με την εισερχόμενη μεταβλητή (νέα γραμμή οδηγός) = (τρέχουσα γραμμή οδηγός) / (στοιχείο οδηγό) Στις υπόλοιπες γραμμές (νέα γραμμή) = (τρέχουσα γραμμή) (συντελεστής τρέχουσας γραμμής στη στήλη οδηγό)*(νέα γραμμή οδηγός) 17
Παράδειγμα 2 (ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ) Το σύστημα εξισώσεων έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις, άρα έχει άπειρες λύσεις Θέτοντας x1 = 0 και x2 = 0 προκύπτει ως λύση: s1 = 960, s2 = 400, s3 = 420 που θα αποτελέσει και την αρχική λύση της Simplex 18
Ταμπλό 1 Cj 140 100 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s1 8 8 1 0 0 960 960/8 0 s2 4 2 0 1 0 400 400/4 0 s3 4 3 0 0 1 420 420/4 Wj 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 140 100 0 0 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x1) {s1,s2,s3}={120,100,105} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s2 Για να αυξηθεί η τιμή της x1 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθούν οι τιμές των s1, s2, s3 κατά 8,4,4 μονάδες αντίστοιχα Η γραμμή Wj υποδηλώνει το κατά πόσο θα μειωθεί το συνολικό κέρδος αν η αντίστοιχη μεταβλητή αυξηθεί κατά μια μονάδα (μόνο μείωση, δεν εξετάζεται η πιθανή αύξηση) Η γραμμή Cj Wj υποδηλώνει την καθαρή επίπτωση στο συνολικό κέρδος (αύξηση κέρδους ή μείωση κέρδους) που θα σημειωθεί αν η αντίστοιχη μεταβλητή αυξηθεί κατά μια μονάδα 19
Ταμπλό 1 Ταμπλό 2 Cj 140 100 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s1 8 8 1 0 0 960 120 0 s2 4 2 0 1 0 400 100 0 s3 4 3 0 0 1 420 105 Wj 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 140 100 0 0 0 Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 1 είναι: x1=0, x2=0, z=0 R2 R2/4 R1 R1 8*R2 R3 R3 4*R2 Cj 140 100 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s1 0 4 1-2 0 160 160/4 140 x1 1 1/2 0 1/4 0 100 100/(1/2) 0 s3 0 1 0-1 1 20 20/1 Wj 140 70 0 35 0 14000 Cj-Wj 0 30 0-35 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x2 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {s1,x1,s3}={40,200,20} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x2 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s3 20
Ταμπλό 2 Ταμπλό 3 Cj 140 100 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s1 0 4 1-2 0 160 40 140 x1 1 1/2 0 1/4 0 100 200 0 s3 0 1 0-1 1 20 20 Wj 140 70 0 35 0 14000 Cj-Wj 0 30 0-35 0 Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=100, x2=0, z=14000 Η γραμμή R3 μένει ως έχει διότι έχει ήδη συντελεστή στη στήλη x2 που είναι 1 R1 R1 4*R3 R2 R2 (1/2)*R3 Cj 140 100 0 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s1 0 0 1 2-4 80 140 x1 1 0 0 3/4-1/2 90 100 x2 0 1 0-1 1 20 Wj 140 100 0 5 30 14600 Cj-Wj 0 0 0-5 -30 Όλες οι τιμές της γραμμής Cj-Wj είναι αρνητικές ή μηδέν, άρα ο αλγόριθμος Simplex τερματίζει Η λύση που περιγράφει το τελικό ταμπλό (ταμπλό 3) είναι x1=90, x2=20, z=14600 21
Επίλυση με το LiPS 22
Προβλήματα ελαχιστοποίησης Στα προβλήματα ελαχιστοποίησης η μέθοδος Simplex τροποποιείται στα ακόλουθα σημεία σε σχέση με τη μέθοδο Simplex για τα προβλήματα μεγιστοποίησης: Κριτήριο εισερχόμενης μεταβλητής: επιλέγεται από τη γραμμή υπολειμματικού κόστους η μεταβλητή με την πλέον αρνητική τιμή Κριτήριο βελτιστότητας: η μέθοδος σταματά όταν δεν υπάρχουν πλέον αρνητικές τιμές στη γραμμή υπολειμματικού κόστους Εναλλακτικά μπορεί να πολλαπλασιαστεί η συνάρτηση κόστους με το 1 έτσι ώστε το πρόβλημα να γίνει μεγιστοποίησης Τα προβλήματα πρέπει να έχουν μόνο περιορισμούς με μη αρνητικά δεξιά μέλη αλλιώς θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν επιπλέον τεχνικές έτσι ώστε να επιτευχθεί η εκκίνηση του αλγορίθμου Simplex 23
Εφαρμογή της Simplex σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης 24
Ταμπλό 1 Το κριτήριο τερματισμού της Simplex σε προβλήματα ελαχιστοποίησης είναι ότι θα πρέπει όλα τα στοιχεία της γραμμής Cj-Wj να είναι θετικά ή μηδέν Cj -4-2 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s1 5 1 1 0 5 5/5=1 0 s2 5 3 0 1 10 10/5=2 Wj 0 0 0 0 0 Cj-Wj -4-2 0 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x1) {s1,s2}={1, 2} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s1 25
Ταμπλό 1 Ταμπλό 2 R1 R1/5 R2 R2-5*R1 Cj -4-2 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s1 5 1 1 0 5 1 0 s2 5 3 0 1 10 2 Wj 0 0 0 0 0 Cj-Wj -4-2 0 0 Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=0, x2=0, z=0 Cj -4-2 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio -4 x1 1 0.2 0.2 0 1 1/0.2=5 0 s2 0 2-1 1 5 5/2=2.5 Wj -4-0.8-0.8 0-4 Cj-Wj 0-1.2 0.8 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x2 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {x1,s2}={5, 2.5} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x2 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s2 26
Ταμπλό 2 Ταμπλό 3 Cj -4-2 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio -4 x1 1 0.2 0.2 0 1 1/0.2=5 0 s2 0 2-1 1 5 5/2=2.5 Wj -4-0.8-0.8 0-4 Cj-Wj 0-1.2 0.8 0 Cj -4-2 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio -4 x1 1 0 0.3-0.1 0.5-2 x2 0 1-0.5 0.5 2.5 Wj -4-2 -0.2-0.6-7 Cj-Wj 0 0 0.2 0.6 Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=1, x2=0, z=-4 Όλες οι τιμές είναι μη αρνητικές άρα έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση (καθώς πρόκειται για πρόβλημα ελαχιστοποίησης) Η λύση είναι: x1 = 0.5 x2 = 2.5 z = -7 27
Εναλλακτική προσέγγιση στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης μετατροπή σε πρόβλημα μεγιστοποίησης 28
Τεχνητές μεταβλητές Αν το μοντέλο ΓΠ περιέχει περιορισμούς με ισότητες ή με ανισότητες τύπου τότε θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν τεχνητές μεταβλητές (artificial variables) που θα «παίξουν» το ρόλο των χαλαρών μεταβλητών στις πρώτες επαναλήψεις της μεθόδου Simplex Στις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου Simplex οι τεχνητές μεταβλητές καταργούνται Οι μέθοδοι που μπορούν να χειριστούν τέτοιου είδους προβλήματα είναι η μέθοδος του μεγάλου M και η μέθοδος των δύο φάσεων 29
Η μέθοδος Big-M Στη μέθοδο του μεγάλου Μ αν μια εξίσωση δεν έχει χαλαρή μεταβλητή τότε προστίθεται μια τεχνητή μεταβλητή A έτσι ώστε να δημιουργηθεί μια αρχική λύση στην οποία να συμμετέχουν όλες οι χαλαρές μεταβλητές Για να εξαναγκαστούν οι τεχνητές μεταβλητές να έχουν μηδενικές τιμές όταν θα βρεθεί η βέλτιστη λύση, επιβάλλεται ποινή για αυτές τις μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση Ο συντελεστής των μεταβλητών στη συνάρτηση κόστους είναι μια μεγάλη θετική τιμή Μ και το πρόσημό του εξαρτάται από το εάν το πρόβλημα είναι μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης Κανόνες εφαρμογής της μεθόδου του μεγάλου Μ: Αν ένας περιορισμός έχει μορφή ισότητας τότε προστίθεται μια τεχνητή μεταβλητή στον περιορισμό Αν ένας περιορισμός είναι της μορφής τότε αφαιρείται μια πλεονασματική μεταβλητή και προστίθεται μια τεχνητή μεταβλητή στον περιορισμό Σε προβλήματα μεγιστοποίησης κάθε τεχνητή μεταβλητή προστίθεται στη συνάρτηση κόστους με συντελεστή το -Μ Σε προβλήματα ελαχιστοποίησης κάθε τεχνητή μεταβλητή προστίθεται στη συνάρτηση κόστους με συντελεστή το +Μ Αν στην τελευταία επανάληψη της μεθόδου υπάρχει τουλάχιστον μια τεχνητή μεταβλητή με θετική τιμή τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση 30
Παράδειγμα της μεθόδου Μ 1 2 3 Η 3 η εξίσωση έχει τη δική της χαλαρή μεταβλητή, αλλά η 1 η και η 2 η δεν έχουν Προσθέτουμε την τεχνητή μεταβλητή A1 στη 1 η εξίσωση Προσθέτουμε την τεχνητή μεταβλητή A2 στη 2 η εξίσωση Προσθέτουμε τις τεχνητές μεταβλητές με τον όρο M*A1+M*A2 στην αντικειμενική συνάρτηση (καθώς το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίησης) Η αρχική βάση είναι οι μεταβλητές Α1,Α2,s2 με τιμές 3,6,4 αντίστοιχα 31
Αρχικό ταμπλό μέθοδος μεγάλου Μ Cj 4 1 0 0 M M Cj Basis x1 x2 s1 s2 A1 A2 RHS Ratio M Α1 3 1 0 0 1 0 3 3/3=1 M Α2 4 3-1 0 0 1 6 6/4=1.5 0 s2 1 2 0 1 0 0 4 4/1=4 Wj 7M 4M -M 0 M M 0 Cj-Wj 4-7M 1-4M M 0 0 0 Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {A1,A2,s2}={1,1.5,4} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η τεχνητή μεταβλητή Α1 32
Η μέθοδος των δύο φάσεων Στη μέθοδο Μ, η χρήση του μεγάλου αριθμού Μ μπορεί να δημιουργήσει σφάλματα στρογγυλοποίησης κατά την εκτέλεση σε Η/Υ Η μέθοδος των δύο φάσεων εξαλείφει εξ ολοκλήρου τη χρήση της σταθεράς Μ Η μέθοδος των δύο φάσεων είναι αυτή η οποία χρησιμοποιείται στην πράξη Σύνοψη της μεθόδου των δύο φάσεων Φάση Ι: Το πρόβλημα διατυπώνεται με τη μορφή εξισώσεων και προστίθενται (όπως στη μέθοδο του μεγάλου Μ) στις εξισώσεις των περιορισμών οι τεχνητές μεταβλητές όπου απαιτούνται. Στη συνέχεια βρίσκεται μια βασική λύση οι οποία ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τεχνητών μεταβλητών. Αν η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι θετική τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση, αλλιώς η μέθοδος συνεχίζεται στη φάση ΙΙ Φάση ΙΙ: Χρήση της εφικτής λύσης που εντοπίστηκε στη φάση Ι ως βασικής εφικτής λύσης για το αρχικό πρόβλημα 33
Παράδειγμα με τη μέθοδο δύο φάσεων Phase I η ολοκλήρωση της φάσης Ι θα δώσει z = 0 x1 = 0.6 x2 = 1.2 s2 = 1 Phase II η ολοκλήρωση της φάσης ΙΙ θα δώσει z = 3.4 x1 = 0.4 x2 = 1.8 34
Επίλυση με το LiPS (μέθοδος δύο φάσεων) Αντιστοιχήσεις ονομάτων μαθηματικού μοντέλου και LiPS x1 x1 x2 x2 A1 s5 s1 s3 A2 s6 s2 s4 Στο τέλος της φάσης ΙΙ αποχωρούν οι μεταβλητές s5 και S6 35
Εκφυλισμός Όταν μια βασική μεταβλητή λάβει την τιμή μηδέν τότε η λύση λέγεται εκφυλισμένη (degenerate) Η βασική μεταβλητή λαμβάνει την τιμή μηδέν όταν στην προηγούμενη επανάληψη της Simplex έχει προκύψει ισοπαλία για το ελάχιστο πηλίκο και έχει επιλεγεί μια από τις βασικές μεταβλητές για εξαγωγή από τη βάση Ο εκφυλισμός μπορεί, θεωρητικά, να προκαλέσει τις επαναλήψεις της Simplex να εισέλθουν σε άπειρο βρόχο με αποτέλεσμα ο αλγόριθμος να μην τερματίζει ποτέ Η κατάσταση αυτή είναι μια ένδειξη ότι το μοντέλο διαθέτει τουλάχιστον ένα πλεονάζοντα περιορισμό 36
Παράδειγμα εκφυλισμού Cj 3 9 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s1 1 4 1 0 8 8/4=2 0 s2 1 2 0 1 4 4/2=2 Wj 0 0 0 0 0 Cj-Wj 3 9 0 0 Cj 3 9 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 9 x2 1/4 1 1/4 0 2 8 0 s2 1/2 0-1/2 1 0 0 Wj 9/4 9 9/4 0 18 Cj-Wj 3/4 0-9/4 0 Cj 3 9 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 9 x2 0 1 1/2-1/2 2 3 x1 1 0-1 2 0 Wj 3 9 3/2 3/2 18 Cj-Wj 0 0-3/2-3/2 η x2 εισέρχεται στη βάση και η s1 επιλέγεται αυθαίρετα ανάμεσα στις s1 και s2 και αποχωρεί από τη βάση η x1 εισέρχεται στη βάση και η s2 αποχωρεί από τη βάση η λύση είναι βέλτιστη με z=18, x1=0, x2=2 37
Πλεονασμός περιορισμών Προκύπτει ότι x2 0 από τους περιορισμούς: x3 0 x2 + x3 0 x2 x3 38
Μη πλεονασμός περιορισμών Η μοναδική εφικτή λύση είναι το σημείο: x = 1, y = 1 Αν αφαιρεθεί οποιοσδήποτε περιορισμός τότε ο χώρος των εφικτών λύσεων γίνεται μια περιοχή 39
Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Σε ένα πρόβλημα ΓΠ μπορεί να υπάρχουν άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Αυτό συμβαίνει όταν η αντικειμενική συνάρτηση είναι παράλληλη προς κάποιο μη πλεονάζοντα δεσμευτικό περιορισμό max z 2x 4x 1 2 s. t. x 2x 5 x 1 2 1 2 x, x 0 1 2 x 4 Δεσμευτικοί περιορισμοί είναι οι περιορισμοί οι οποίοι ικανοποιούνται ως εξισώσεις στη βέλτιστη λύση 40
Άπειρες βέλτιστες λύσεις- Τελικός Π. Simplex Cj 2 4 0 0 Τελικό Ταμπλό 2 ο Τελικό Ταμπλό Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS 4 x2 1/2 1 1/2 0 2.5 0 s2 1/2 0-1/2 1 1.5 Wj 2 4 2 0 10 Cj-Wj 0 0-2 0 Η μη-βασική μεταβλητή x1 έχει υπολειμματικό κόστος 0. Μια δεύτερη βέλτιστη λύση μπορεί να προκύψει αν επιλέξουμε να εισέλθει η x1 στη βάση Άπειρες λύσεις της μορφής: x1=0*λ+(1-λ)*3 x2=2,5*λ+(1-λ)*1, 0 λ 1 41
Μη φραγμένες λύσεις Σε ένα πρόβλημα ΓΠ μπορεί ο χώρος των λύσεων να μην είναι φραγμένος για μια τουλάχιστον μεταβλητή και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να μπορεί να αυξάνεται απεριόριστα (σε πρόβλημα μεγιστοποίησης) χωρίς να παραβιάζεται κάποιος περιορισμός Ένας μη φραγμένος χώρος είναι μια ένδειξη ότι το μοντέλο είναι ανεπαρκώς διατυπωμένο (αυτό μπορεί να έχει συμβεί διότι κάποιοι περιορισμοί δεν έχουν ληφθεί υπόψη) 42
Μη φραγμένες λύσεις και Simplex Cj 2 1 0 0 Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s1 1-1 1 0 10 0 s2 2 0 0 1 40 Wj 0 0 0 0 0 Cj-Wj 2 1 0 0 Όλοι οι συντελεστές των περιορισμών της x2 είναι <=0 η x2 μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα χωρίς να παραβιάζεται κανένας από τους περιορισμούς 43
Μη φραγμένες λύσεις και Simplex (συνέχεια) Ταμπλό 3 δεν υπάρχει βασική μεταβλητή με θετικό λόγο που θα μπορούσε να εξέλθει 44
Μη εφικτές λύσεις Αν οι περιορισμοί σε ένα πρόβλημα ΓΠ είναι ανακόλουθοι μεταξύ τους τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση Ένα πρόβλημα χωρίς εφικτές λύσεις υποδεικνύει ότι το πρόβλημα πιθανότατα δεν είναι ορθά διατυπωμένο Αν μια τουλάχιστον τεχνητή μεταβλητή είναι θετική όταν έχει εντοπιστεί η βέλτιστη λύση τότε αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση 45
Σύνοψη-Συμπεριφορά της Simplex σε ειδικές περιπτώσεις Περίπτωση Εκφυλισμένες λύσεις Άπειρες λύσεις Μη φραγμένο πρόβλημα Μη εφικτές λύσεις Ταμπλό Simplex Μια βασική μεταβλητή λαμβάνει τιμή μηδέν (υποδηλώνει ύπαρξη πλεονασματικού περιορισμού) Μια μη βασική μεταβλητή με μη μηδενικό συντελεστή στη συνάρτηση κόστους έχει τιμή 0 στη γραμμή Cj-Wj (υπολειμματικό κόστος) Για τη μη βασική μεταβλητή που πρόκειται να εισαχθεί στη βάση δεν υπάρχει βασική μεταβλητή με θετικό λόγο που θα μπορούσε να εξέλθει Μια τεχνητή μεταβλητή είναι βασική μεταβλητή στο τελικό ταμπλό Simplex 46