ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική ένταση (σ v σ h ) πριν τη διάνοιξη της σήραγγας Έδαφος ελαστικό-απολύτως πλαστικό. Αστοχία κατά Mh-Culmb µε παραµέτρους αντοχής, φ: σ σ3 + όπου tan 45 + () Παραµόρφωση υπό σταθερό όγκο µετά την αστοχία Μέθοδος προσοµοίωσης της εκσκαφής της σήραγγας: Η αρχική εσωτερική πίεση ( ) µειώνεται βαθµιαία σε () και τελικώς µηδενίζεται. Σχέσεις τάσεων-παραµορφώσεων στην ελαστική περιοχή (επίπεδη παραµόρφωση και κυλινδρικές συντεταγµένες): {& σ K & } ε {& σ K & σ } ε σ θ θ θ () Λ Λ όπου: ν E K, Λ ν ( + ν)( ν) και & σ σ, & σθ σθ Επιλύοντας τις σχέσεις () ως προς τις τάσεις προκύπτει: όπου: & σ D { ε + Kε θ } σ θ D{ εθ + K ε } E ( ν ) ( + ν )( ν ) & (3α) D (3β) dσ σ σ Εξίσωση ισορροπίας (κατά τον άξονα ): + θ 0 (4) d Σηµείωση: Λόγω συµµετρίας οι υπόλοιπες εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται αυτοµάτως. Σχέσεις παραµορφώσεων-µετακινήσεων: du ε ε d θ u ε z 0 (5) όπου (u) είναι η ακτινική µετακίνηση (θετική προς το εσωτερικό της σήραγγας). Μ. Καββαδάς, 3/5/004 3-
3. Επίλυση στην πλαστική περιοχή ( < < ) Γύρω από τη σήραγγα αναπτύσσεται βαθµιαία µια πλαστική περιοχή, δηλαδή µια περιοχή όπου ικανοποιείται το κριτήριο αστοχίας Mh-Culmb. ακτίνα της πλαστικής περιοχής, δηλαδή η παραµόρφωση του εδάφους είναι ελαστική για > και πλαστική για < <. dσ σ σ + θ 0 (ισορροπία) d σθ σ + (σχέση αστοχίας µε µέγιστη τάση στη σ θ ) Απαλειφή της σ θ : dσ ( ) σ 0 (6) d Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (6) δίνει: 3.. Περίπτωση φ 0 (δηλαδή Ν φ ): Η διαφορική εξίσωση (6) έχει τη λύση (k σταθερά): [( ) σ ] ( ) ln + ln + k Συνοριακή συνθήκη: σ ( ) Οπότε: σ + (7α) σθ σ + (7β) 3.. Περίπτωση φ 0 (δηλαδή Ν φ ): Η διαφορική εξίσωση (6) δίνει: dσ σ ln + k d Συνοριακή συνθήκη: σ ( ) Άρα: σ + ln (8α) σθ σ + (8β) Παρατήρηση: σ σταθερά σ θ 3.3 Επίλυση στην ελαστική περιοχή ( > ) Εξίσωση ισορροπίας (σχέση 4): dσ σ σ d & σ & θ σ & σθ + 0 + 0 d d Επιπλέον ισχύουν (σχέσεις 3 και 5): σ D ε + K & σ D ε & [ ] [ ε ] ε θ θ θ + K 3- Μ. Καββαδάς, 3/5/004
du ε d ε θ u Από τις ανωτέρω, µε απαλειφή των τάσεων και παραµορφώσεων προκύπτει: du du u + d d 0 (9) Η σχέση αυτή επιλύεται και δίνει (, σταθερές): u + (0) Συνοριακή συνθήκη: u( ) 0, άρα: 0 ηλαδή: u () Συνεπώς η κατανοµή των τάσεων στην ελαστική περιοχή δίνεται από τις σχέσεις: σ D ( K ) (α) σ θ + D ( K) (β) Παρατήρηση : σ + σ θ σταθερά Παρατήρηση : Η σταθερά προσδιορίζεται από την απαίτηση ισότητας των τάσεων στο όριο µεταξύ ελαστικής και πλαστικής περιοχής. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει πλαστική περιοχή, η σταθερά προσδιορίζεται από τη σχέση: σ ( ) (βλέπε παρακάτω). 3.4 Προσδιορισµός της σταθεράς (α) Περίπτωση όπου δεν υπάρχει πλαστική περιοχή, δηλαδή το σύνολο του εδάφους γύρω από την οπή παραµένει στην ελαστική περιοχή. ( ) σ ( ) (3) D K οπότε: u ( + ) E ν (4α) σ σ θ + (4β) (4γ) (β) Περίπτωση όπου υπάρχει πλαστική περιοχή, δηλαδή το κριτήριο αστοχίας Mh- Culmb ικανοποιείται για <, όπου είναι η ακτίνα της πλαστικής περιοχής (προφανώς το έδαφος παραµένει ελαστικό για > ). Στην περίπτωση αυτή, η ακτινική τάση (σ ) και η περιφερειακή τάση (σ θ ) στην θέση είναι ίδιες, είτε υπολογισθούν µε τη σχέση που ισχύει στην ελαστική περιοχή (σχέση 4) είτε υπολογισθούν µε τη σχέση που ισχύει στην πλαστική περιοχή (σχέση 7 εφόσον φ 0 και σχέση 8 εφόσον φ 0). Η εξίσωση των Μ. Καββαδάς, 3/5/004 3-3
Μ. Καββαδάς, 3/5/004 3-4 ανωτέρω τιµών δίνει δυο σχέσεις από τις οποίες υπολογίζονται οι τιµές των ( ) και ( ) ως κατωτέρω:. Περίπτωση φ 0 Η ακτίνα ( ) της πλαστικής περιοχής προσδιορίζεται από τη σχέση: + + + (5α) Η ανωτέρω σχέση µπορεί να γραφεί και ως: + + + (5β) όπου ο συντελεστής: m σ ονοµάζεται συντελεστής υπερφόρτισης (velad fat). Σηµειώνεται ότι σ m είναι η αντοχή της βραχόµαζας σε µοναξονική θλίψη. Η σταθερά ( ) προσδιορίζεται από τη σχέση: E ++ + ν (6) Στη συνέχεια, οι τάσεις (σ, σ θ ) υπολογίζονται ως εξής: Σχήµα : Κατανοµή τάσεων γύρω από κυκλική οπή. Παραδοχή γραµµικώς ελαστικού εδάφους.
Στην ελαστική περιοχή: Σχέσεις Στην πλαστική περιοχή: Σχέσεις 7 Παρατήρηση : Υπολογισµός της τιµής της εσωτερικής πίεσης ( e ) της οπής, για την οποία αρχίζει να παρουσιάζεται πλαστική περιοχή, δηλαδή υπολογισµός της τιµής της πίεσης () για την οποία. Από τη σχέση (5), για προκύπτει: e (7α) + Παρατήρηση : Υπολογισµός της ελάχιστης τιµής της συνοχής της βραχόµαζας για την οποία δεν εµφανίζεται πλαστική περιοχή γύρω από την οπή. Από τη σχέση (7α) προκύπτει: ( ) min + (7β) Η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται ώστε να µην εµφανισθεί πλαστική περιοχή γύρω από την οπή ακόµη και για µηδενισµό της εσωτερικής πίεσης ( 0), δηλαδή για πλήρη εκσκαφή της οπής χωρίς καµία υποστήριξη είναι: Ο παράγων ( ) ισούται µε το ήµισυ της αντοχής του υλικού σε ανεµπόδιστη θλίψη (σ ). Πράγµατι: σ σ σ3 + (επειδή σ 3 0) Συνεπώς, η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται ώστε να µην εµφανισθεί πλαστική περιοχή γύρω από την οπή ακόµη και για µηδενισµό της εσωτερικής πίεσης είναι: Σχήµα : Κατανοµή τάσεων γύρω από κυκλική οπή. Παραδοχή ελαστικού-απολύτως πλαστικού εδάφους. Μ. Καββαδάς, 3/5/004 3-5
σ Σηµείωση: ο συντελεστής (Ν ) ονοµάζεται συντελεστής υπερφόρτισης (velad fat). Συνεπώς, η βραχόµαζα γύρω από τη σήραγγα παραµένει ελαστική εάν. Παρατήρηση 3: Γενικότερα, η συνθήκη µή-ανάπτυξης πλαστικής περιοχής γύρω από τη σήραγγα (δηλαδή ) για κάποια τιµή της εσωτερικής πίεσης () είναι (από τη σχέση 7β): (7γ) ( + ) Σηµείωση: Για 0, η σχέση αυτή δίνει:. Η σχέση (7γ) δίνει τη µέγιστη τιµή του συντελεστή υπερφόρτισης ( ) για τον οποίο δεν αναπτύσσονται πλαστικές περιοχές γύρω από τη σήραγγα συναρτήσει της εσωτερικής πίεσης (). Παράδειγµα εφαρµογής: ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΓΙΑ ΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΗ ΣΗΡΑΓΓΑ φ Τιµές του / (µοίρες) 0 0.0 0.40 0.50 0.60 0.0.44.55 4.7.36 5.0.53 3.6 7.46 5.5 30.0.67 5.00 * * 35.0.88 6.4 * * 40.0.7 * * * * δηλαδή δεν αναπτύσσεται πλαστική περιοχή γύρω από τη σήραγγα. Περίπτωση φ 0 Η ακτίνα ( ) της πλαστικής περιοχής προσδιορίζεται από τη σχέση: ex ex (8) Σηµείωση: Στην περίπτωση όπου φ 0, ο συντελεστής υπερφόρτισης είναι:. Συνεπώς, η βραχόµαζα γύρω από την οπή παραµένει ελαστική για 0 εάν. Η σταθερά ( ) προσδιορίζεται από τη σχέση: ( ) + ν (9) E Στη συνέχεια, οι τάσεις (σ, σ θ ) υπολογίζονται ως εξής: Στην ελαστική περιοχή: Σχέσεις Στην πλαστική περιοχή: Σχέσεις 7 Παρατήρηση : Υπολογισµός της τιµής της εσωτερικής πίεσης ( e ) της οπής, για την οποία αρχίζει να παρουσιάζεται πλαστική περιοχή, δηλαδή υπολογισµός της τιµής της πίεσης () για την οποία. Από τη σχέση (8), για προκύπτει: 3-6 Μ. Καββαδάς, 3/5/004
e (0α) Παρατήρηση : Υπολογισµός της ελάχιστης τιµής της συνοχής της βραχόµαζας για την οποία δεν εµφανίζεται πλαστική περιοχή γύρω από την οπή. Από τη σχέση (0α) προκύπτει: min (0β) 3.5 Υπολογισµός των εδαφικών µετακινήσεων Λόγω συµµετρίας, η µετακίνηση είναι µόνον ακτινική (u). 3.5. Μετακίνηση στην ελαστική περιοχή Η µετακίνηση δίνεται από τη σχέση (): u () Η σχέση αυτή εξειδικεύεται ως εξής: (α) Περίπτωση όπου δεν υπάρχει πλαστική περιοχή, δηλαδή όταν το έδαφος γύρω από την οπή είναι ελαστικό (βλέπε σχέση 4α): u ( + ) E ν (α) Ειδικώς στο όριο της σήραγγας ( ): u ( + ν ) (β) E (β) Περίπτωση όπου υπάρχει και πλαστική περιοχή γύρω από τη σήραγγα: u (β.) Εάν φ 0: Η σταθερά ( ) υπολογίζεται από τις σχέσεις (6) και (5). (β.) Εάν φ 0: Η σταθερά ( ) υπολογίζεται από τις σχέσεις (9) και (8). Με βάση τα ανωτέρω, η µετακίνηση στο όριο της πλαστικής περιοχής ( ) δίνεται από τη σχέση (για οποιοδήποτε φ): u ( ) + ν + + E (3) 3.5. Μετακίνηση στην πλαστική περιοχή Με την παραδοχή ότι στην πλαστική περιοχή η µετακίνηση γίνεται υπό σταθερό όγκο, προκύπτει για < < : ( ) ( ) u u ( u) π π π u π u (4α) Συνεπώς η µετακίνηση στο τοίχωµα της σήραγγας ( ) δίνεται από τη σχέση: u u u (4β) Στις ανωτέρω σχέσεις, το (u ) υπολογίζεται από τη σχέση (3) και το ( ) από τις σχέσεις (5) (για φ 0) και (8) (για φ 0). Από τις σχέσεις (β) και (4β) µπορεί να υπολογισθεί η µετακίνηση (σύγκλιση) του τοιχώµατος της σήραγγας συναρτήσει της εσωτερικής πίεσης (), δηλαδή κατά τη µείωση της εσωτερικής πίεσης από την αρχική της τιµή ( ) έως το Μ. Καββαδάς, 3/5/004 3-7
µηδενισµό της. Το διάγραµµα αυτό φαίνεται στο Σχήµα 3 και ονοµάζεται καµπύλη σύγκλισης-αποτόνωσης (nvegene-nfinement uve). Η γωνία (α) υπολογίζεται µέσω της σχέσης (β) ως εξής: u ( + ν) tanα tanα (5) E Η εσωτερική πίεση ( e ) για την οποία αρχίζει να αναπτύσσεται πλαστική περιοχή γύρω από τη σήραγγα δίνεται από τη σχέση (7α): e (6) + και η αντίστοιχη µετακίνηση του τοιχώµατος της σήραγγας στην κατάσταση αυτή είναι: u e ( + ) ( ) + E ( + ) ν Μετά την έναρξη ανάπτυξης πλαστικής περιοχής γύρω από τη σήραγγα, η σύγκλιση του τοιχώµατος αυξάνει µε ρυθµό µεγαλύτερο απ ότι στην ελαστική κατάσταση. Η µέγιστη τιµή (u ) της σύγκλισης προκύπτει για µηδενισµό της εσωτερικής πίεσης (πλήρης εκσκαφή της σήραγγας). Παρατήρηση: Η καµπύλη σύγκλισης-αποτόνωσης του Σχήµατος 3 αντιστοιχεί σε βραχόµαζα µε συµπεριφορά ελαστική-απολύτως πλαστική. Στην περίπτωση βραχόµαζας µε συµπεριφορά τύπου χαλάρωσης, η καµπύλη σύγκλισης αποτόνωσης φαίνεται στο Σχήµα 4. Σε περιπτώσεις έντονης χαλάρωσης, προκαλείται κατάρρευση της οροφής της σήραγγας όταν η εσωτερική πίεση µειωθεί πέραν κάποιας τιµής. Η ανωτέρω εκτίµηση των µετακινήσεων του τοιχώµατος της σήραγγας στην ελαστική και την πλαστική περιοχή επιτρέπει τον προσδιορισµό της καµπύλης σύγκλισης-αποτόνωσης της βραχόµαζας. Η καµπύλη αυτή χρησιµοποιείται στο σχεδιασµό των µέτρων υποστήριξης της σήραγγας όπως περιγράφεται στο επόµενο (7) Σχήµα 3: Καµπύλη σύγκλισης-αποτόνωσης κυκλικής σήραγγας (ακτίνα ). 3-8 Μ. Καββαδάς, 3/5/004
Κεφάλαιο. Σχήµα 4: Καµπύλες σύγκλισης-αποτόνωσης για διάφορους τύπους συµπεριφοράς τάσεων-παραµορφώσεων της βραχόµαζας. Στην περίπτωση έντονης χαλάρωσης προκαλείται κατάρρευση της οροφής της σήραγγας. Μ. Καββαδάς, 3/5/004 3-9
3-0 Μ. Καββαδάς, 3/5/004