ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 17 Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 1

2 Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί με τις βασικές έννοιες και τα μεγέθη που εμφανίζονται στην εντατική κατάσταση ενός λεπτότοιχου δοχείου πίεσης. Να είναι σε θέση ο φοιτητής να υπολογίσει τις τάσεις που αναπτύσσονται σε λεπτότοιχα δοχεία. Να γνωρίσει τις σχέσεις των παραμορφώσεων για τα λεπτότοιχα δοχεία. Να μπορεί να υπολογίσει την μεταβολή του όγκου τους λόγω εσωτερικής πίεσης. Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης

3 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγικές έννοιες Προσδιορισμός τάσεων Ακτίνες καμπυλότητας Σχέση μεταξύ Περιορισμοί Παραμορφώσεις λεπτότοιχων δοχείων Παραμορφώσεις σφαιρικών δοχείων Μεταβολή όγκου Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 3

4 Εισαγωγικές έννοιες Τα λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία για την αποθήκευση και τη μεταφορά υγρών και αερίων όταν είναι ρυθμισμένα ως δεξαμενές. Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης αποτελούν περίπτωση ομοιόμορφα κατανεμημένων ορθών τάσεων. Αποτελούν δηλαδή προβλήματα διαξονικού εφελκυσμού και θλίψης. Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 4

5 Κύρια είδη δοχείων Σφαιρικό (συμμετρικό) δοχείο Κυλινδρικό δοχείο Άλλα είδη δοχείων μπορεί να είναι κωνικά ή τοροειδή (σαν σαμπρέλα) Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 5

6 Περιγραφή λεπτότοιχων δοχείων πίεσης Τα δοχεία υπόκεινται σε εσωτερική πίεση από ρευστό ή αέρα Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 6

7 Υποθέσεις/ Περιορισμοί Πάχος τοιχώματος Θεωρούμε ότι το πάχος, t, είναι πολύ μικρότερο από την ακτίνα, R. t/r << 1, or R/t >> 1 Συμμετρίες Υπάρχει κυλινδρική συμμετρία στα κυλινδρικά δοχεία και σφαιρική στα σφαιρικά δοχεία (οι τάσεις είναι ίσες σε όλες τις διευθύνσεις). Εξυπακούεται ότι δεν πρέπει να υπάρχουν ασυνέχειες στην κατασκευή. Εσωτερική πίεση Ομοιόμορφη εντός του δοχείου και έχει παντού θετικό πρόσημο. Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 7

8 Προσδιορισμός τάσεων (κυλινδρικά δοχεία) (1/) Οι εσωτερικές και οι εξωτερικές ακτίνες μπορούν να θεωρηθούν ως R, αφού t<<r Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 8

9 Προσδιορισμός τάσεων (κυλινδρικά δοχεία) (/) Το εμβαδόν της επιφανείας που καταπονείται είναι Rt Οι εσωτερικές και οι εξωτερικές ακτίνες μπορούν να θεωρηθούν και οι ως R, αφού t<<r (αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν πάρουμε τις διαφορές μεταξύ δύο κύκλων ακτίνας Rt και R αντίστοιχα:[ ( Rt) R Rtt ~ Rt]). Οι ορθές δυνάμεις που εξασκούνται στη διαμήκη διεύθυνση, x, είναι: xx( Rt). Στην ίδια διεύθυνση η εσωτερική πίεση εξασκεί δύναμη: p( R ). Εξισώνοντας τις δύο αυτές δυνάμεις (διεύθυνση, x) έχουμε: pr xx( Rt) p( R ) x x (1) t Οι δύο ορθές (περιμετρικές ή εφαπτομενικές) δυνάμεις που εξασκούνται στη διατομή πάχους t είναι: ( tdx). Στο τόξο ύψους Rκαι πλάτους dx εξασκείται εσωτερική δύναμη ίση με p( Rdx) pr Εξισώνοντας τις δύο αυτές δυνάμεις (διεύθυνση, ) έχου με: ( tdx) p( Rdx) () t Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 9

10 Αστοχία σε κυλινδρικό δοχείο Από την (1) και την () προκύπτει ότι pr 1 xx (3) t Για την τάση στην ακτινική διεύθυνση ισχύει: rr για rr (ελεύθερη επιφάνεια) και rr pγια rrt (θλιπτική τάση που εξισσοροπεί την πίεση). Τυπική αστοχία (ρηγμάτωση) στην περιμετρική διεύθυνση Άρα η rr κυμαίνεται από σε - p R Επειδή γενικά το >1 ισχύουν οι ανισότητ ες xx rr t Αυτό σημαίνει ότι για δοχείο κατασκευασμένο από ισότροπο υλικό, η αστοχία στην περιμετρική (εφαπτομ ενική) διεύθυνση ((hoop, ) θα προηγείται ΠΑΝΤΑ της αστοχίας στη διαμήκη ή στην ακτινική διεύθυνση. Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 1

11 Παραμορφώσεις σε κυλινδρικά δοχεία Κάτω από την επίδραση εσωτερικής πίεσης το δοχείο διαστέλλεται. Οι κύριες παραμορφώσεις είναι η διαμήκης και η εφαπτομενική στο διδιάστατο επίπεδο της επιφανείας του κυλίνδρου και η ακτινική παραμόρφωση. Χρησιμοποιώντας τους τύπους από την Αντοχή Υλικών οι παραμορφώσεις (για v,5) θα είναι : 1 1 pr pr p R 1 xx ( xx v ) ( v ) xx ( v) (4) E E t t te 1 1 ( ) pr pr p R v v ( ) (1 ) xx v (5) E E t t te Παρατηρούμε ότι η περιμετρική παραμόρφωση στην επιφάνεια του κυλίνδρου μπορεί να υπολογιστεί και από τη μεταβολή του μήκους της d d( R) dr περιμέτρου : rr (6) επομένως R R rr p R v (1 ) (7) te Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 11

12 Μεταβολή όγκου σε κυλινδρικά δοχεία Εάν L είναι το αρχικός μήκος του κυλίνδρου τότε o αρχικός του όγκος, V R L (8). Όταν εξασκείται εσωτερική πίεση p ο νέος όγκος θα είναι: L V RdR L d (9) Η ογκομετρική παραμόρφωση δίνεται από: e = (1) V, θα είναι : (9) V V R L R L dr L d R R dl R dr dl dr dl R L ( 11) Θεωρούμε ότι: Ld R dr (11) dv R L dr R dl ( 13) (1) (1) (8),( 13) dv V, dl, R dr dl 1 (1) RL R L V V V RL dr R dl dr dl p R e e xx (54 v) (14) te Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 1

13 Προσδιορισμός τάσεων (σφαιρικά δοχεία) Στην περίπτωση σφαιρικού δοχείου χρησιμοποιούμε σφαιρικές συντεταγμένες r,, Για την τάση στην ακτινική διεύθυνση ισχύει όπως και πριν: rr rr για r R (ελεύθερη επιφάνεια) και p για r Rt (θλιπτική τάση που εξισσοροπεί την πίεση). Λόγω της συμμετρίας του σφαιρικού δοχείου και του τρόπου εφαρμογής της πίεσης, οι δύο ορθές τάσεις και λόγω συμμετρίας είναι ίσες και ίδιας τιμής σε όλο το δοχείο. Εξισώνοντας τις αντίστοιχες δυνάμεις έχουμε: pr ( Rt) ( Rt) p( R ) (15) t Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 13

14 Παραμορφώσεις σε σφαιρικά δοχεία Κάτω από την επίδραση εσωτερικής πίεσης το δοχείο διαστέλλεται. Οι κύριες παραμορφώσεις είναι οι εφαπτομενικές στο διδιάστατο επίπεδο της επιφανείας του σφαιρικού δοχείου και η ακτινική pr παραμόρφωση. Όπως έχουμε ήδη αποδείξει: (14) t p R Άρα οι D παραμορφώσεις θα δίνονται από το γνωστό τύπο: (1 v) (1 v) (15) E te Μια άλλη θεώρηση των παραμορφώσεων ή έχει να κάνει με τη μεταβολή του μήκους της περιμέτρου : d d( R) dr = rr (16) R R dv Η ογκομετρική παραμόρφωση δίνεται από: e (17) V 4 3 Ως γνωστό ο όγκος της σφαίρας δίνεται από: V R (18) 3 1 (18),(19) Οπότε (18) dv (19) και από την (17) 3 = 3 3 () 3 dv dr RdR e rr V R Συμπερασματικά από την (1) και (5) προκύπτει ότι η ογκομετρική παραμόρφωση είναι: 3 p R e (1 v) (1) te Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 14

15 Σύνοψη ογκομετρικής συμπεριφοράς Κυλινδρικά Δοχεία -ογκομετρική παραμόρφωση: e cylindrical p R xx (5 4 v) ( 14) te Σφαιρικά Δοχεία -ογκομετρική παραμόρφωση: e spherical 3 p R 3rr 3 (1 v) te (1) Για σχεδιαστικούς λόγους, είναι προφανές ότι αν κατασκευάσουμε δοχεία από το ίδιο υλικό και επειδή,5 τότε για παρόμοιες τιμές prt,, ισχύει ότι: e cylindrical e spherical Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 15

16 Τέλος Ενότητας Β7. Λεπτότοιχα Δοχεία Πίεσης 16