ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η µία είναι η βάση του και η άλλη η αντίστοιχη διάµεσος στη βάση ή η διχοτόµος. 4. είχνω ότι τέµνονται από µία άλλη ευθεία η οποία σχηµατίζει µε αυτές δύο γωνίες συµπληρωµατικές (δηλ. σχηµατίζεται ορθ. τρίγωνο) 5. είχνω ότι η διάµεσος που έχει κορυφή το σηµείο τοµής τους σε ένα τρίγωνο είναι ίση µε το µισό της αντίστοιχης πλευράς. 6. είχνω ότι είναι διαδοχικές πλευρές σε ορθογώνιο ή σε τετράγωνο. 7. είχνω ότι σε τρίγωνο η µία είναι πλευρά του και η άλλη περνά από την απέναντι κορυφή και από το ορθόκεντρό του. 8. είχνω ότι είναι διαγώνιες σε ρόµβο ή σε τετράγωνο. 9. είχνω ότι η µία είναι παράλληλή και η άλλη κάθετη σε µία τρίτη ευθεία 10. είχνω ότι είναι πλευρές εγγεγραµµένης γωνίας που βαίνει σε ηµικύκλιο. 1 ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες εντός εναλλάξ ίσες ή εντός και επί τα αυτά παραπληρωµατικές 2. είχνω ότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία 3. είχνω ότι είναι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράµµου 4. είχνω ότι η µία είναι πλευρά σε ένα τρίγωνο και η άλλη συνδέει τα µέσα των άλλων δύο πλευρών του 5. είχνω ότι η µία είναι βάση σε τραπέζιο και η άλλη η διάµεσός του. ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΤΡΙΑ ΣΗΜΕΙΑ Α,Β,Γ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ 1. Ενώνω το µεσαίο µε τα δύο διπλανά και δείχνω ότι η γωνία που σχηµατίζεται είναι 180 ο.
2. είχνω ότι δύο τµήµατα που συνδέουν δύο από αυτά π.χ. τα ΑΒ και ΒΓ είναι παράλληλα ή κάθετα προς την ίδια ευθεία. 2 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Τυχαία τρίγωνα ( 3 στοιχεία) π π-π π γ-π γ - π-γ ή γ γ-π Ορθογώνια τρίγωνα ( 2 στοιχεία) Κάθετη - κάθετη Κάθετη - υποτείνουσα Κάθετη -οξεία γωνία Υποτείνουσα - οξεία γωνία. ΣΧΗΜΑ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ ΣΥΝΘΗΚΗ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΙΑΚΕΝΤΡΟΥ - ΑΚΤΙΝΩΝ Κ R Ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου ΚΛ > R + ρ Οι κύκλοι Κ Λ εφάπτονται εξωτερικά ΚΛ = R + ρ Οι κύκλοι Κ Λ τέµνονται R ρ < ΚΛ < R + ρ Κ Λ Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ΚΛ = R - ρ
3 Κ Λ Ο ένας είναι εσωτερικός του άλλου ΚΛ < R - ρ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (γ.τ.) 1.Ο γ.τ. των σηµείων που απέχουν από ένα σηµείο Κ απόσταση ρ, είναι κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ. 2. Ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν από τα άκρα ενός τµήµατος είναι η µεσοκάθετος του τµήµατος. 3. Ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν από τις πλευρές µιας γωνίας είναι η διχοτόµος της. 4. Ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες είναι η µεσοπαράλληλή τους. ΣΕ ΚΑΘΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΕΧΟΥΜΕ: Περίκεντρο (Ο): σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων των πλευρών (είναι το κέντρο του κύκλου που περνά από τις κορυφές του) ( περιγεγραµµένος) Έγκεντρο (Ι) : σηµείο τοµής των διχοτόµων (είναι το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές του) (εγγεγραµµένος) Βαρύκεντρο (Θ) : σηµείο τοµής των διαµέσων (απέχει από κάθε κορυφή τα 2/3 της αντίστοιχης διαµέσου) Ορθόκεντρο (Η): σηµείο τοµής των φορέων των υψών.
ΒΑΣΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 4 1. Αν στο παρακάτω σχήµα,ισχύει µία από τις διπλανές προτάσεις,τότε ισχύουν και οι άλλες α. ΟΚ κάθετη στην ΑΒ β. Κ µέσο της ΑΒ Α Β γ. Μ µέσο του τόξου ΑΒ Β Ο Κ Μ δ. ΟΜ διχοτόµος της ˆ ΑΟΒ 2. Στο παρακάτω σχήµα οι ΜΑ και ΜΒ είναι εφαπτόµενες του κύκλου. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: Α Ο > // Μ Γ Μ > // Β i. ΜΑ=ΜΒ ii. ΟΜ µεσοκάθετη της ΑΒ iii. ΟΜ διχοτόµος της γωνίας ΑΜΒ και της ΑΟΒ iv. Γ, µέσα των τόξων ΑΓΒ και Α Β αντίστοιχα v. Οι γωνίες ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ορθές 3. Σε ορθογώνιο σχηµατίζονται Ο Α // // // // Β B 4 ισοσκελή τρίγωνα,ίσα ανά δύο Γ
4. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο (Α=90 ο ) Β ω // η Α διάµεσος, τότε έχουµε 2φ δύο άνισα ισοσκελή τρίγωνα. ω // 2ω // Α φ φ Γ 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΕΣ ΗΜΙΕΥΘΕΙΕΣ: δύο ηµιευθείες µε κοινό σηµείο την αρχή τους και µε κοινό φορέα ΜΗ ΕΝΙΚΗ ΓΩΝΙΑ : η κυρτή γωνία ΧΟΨ της οποίας οι πλευρές ΟΧ και ΟΨ ταυτίζονται. ΠΛΗΡΗΣ ΓΩΝΙΑ : η µη κυρτή γωνία ΧΟΨ της οποίας οι πλευρές ΟΧ και ΟΨ ταυτίζονται. ΕΥΘΕΙΑ ΓΩΝΙΑ : η γωνία ΧΟΨ της οποίας οι πλευρές ΟΧ και ΟΨ είναι αντικείµενες ηµιευθείες ΕΦΕΞΗΣ : δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, µία κοινά πλευρά και τις µη κοινές πλευρές εκατέρωθεν της κοινής πλευράς. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ : δύο γωνίες που έχουν άθροισµα µία ορθή γωνία. ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ : δύο γωνίες που έχουν άθροισµα µία ευθεία γωνία. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ : δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείµενες ηµιευθείες ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ : η γωνία που η κορυφή της είναι στο κέντρο ενός κύκλου. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ : το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που έχουν µία χαρακτηριστική ιδιότητα. παραδείγµατα γεωµετρικών τόπων: Ο κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι ο γ.τ. των σηµείων που απέχουν από το σηµείο Ο απόσταση ρ. Η µεσοκάθετος ενός τµήµατος ΑΒ είναι ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν από τα Α,Β. Η διχοτόµος µιάς γωνίας είναι ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Η µεσοπαράλληλη ευθεία δύο παραλλήλων ευθειών (ε) και (δ) είναι ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες. ΑΠΟΣΤΗΜΑ χορδής ενός κύκλου (Ο,ρ) :το κάθετο τµήµα από το κέντρο του κύκλου προς τη χορδή. ΚΥΡΤΗ ΤΕΘΛΑΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ: όταν ο φορέας κάθε πλευράς της αφήνει προς το ίδιο µέρος του όλες τις άλλες κορυφές της.
ΣΚΑΛΗΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : όταν έχει όλες του τις πλευρές άνισες 6 ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ : όταν έχει όλες του τις πλευρές ίσες όταν έχει δύο πλευρές ίσες. ΟΞΥΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : όταν έχει όλες του τις γωνίες οξείες ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : όταν έχει µία γωνία ορθή ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : όταν έχει µία γωνία αµβλεία ΙΑΜΕΣΟΣ ενός τριγώνου είναι το τµήµα που ενώνει µία του κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς ΙΧΟΤΟΜΟΣ µιας γωνίας ενός τριγώνου είναι το τµήµα της διχοτόµου της γωνίας από την κορυφή της µέχρι την απέναντι πλευρά. ΥΨΟΣ ενός τριγώνου είναι το κάθετο τµήµα φέρεται από µία κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Τα τρίγωνα πρέπει να έχουν: 1 Ο : δύο πλευρές ίσες µία προς µία και τις περιεχόµενες σαυτές γωνίες ίσες ( Π- Γ- Π ) 2 Ο : µία πλευρά και δύο γωνίες ίσες µία προς µία. ( Γ- Π- Γ ) ή (Γ- Γ- Π) 3 Ο : και τις τρεις πλευρές τους ίσες µία προς µία. ( Π -Π- Π ) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Τα τρίγωνα πρέπει να έχουν: 1 Ο : τις κάθετες πλευρές ίσες µία προς µία. 2 Ο : µία κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίσες µία προς µία 3 Ο : µία κάθετη πλευρά και µία οξεία γωνία ίσες µία προς µία 4 Ο : την υποτείνουσα και µία οξεία γωνία ίσες µία προς µία
ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Έστω δ η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία και ρ η ακτίνα του 7 1. Αν δ>ρ τότε η ευθεία µε τον κύκλο δεν έχουν κοινά σηµεία ( εξωτερική ευθεία του κύκλου ) 2. Αν δ=ρ τότε η ευθεία έχει ένα µόνο κοινό σηµείο µε τον κύκλο ( εφαπτόµενη ευθεία ). 3. Αν δ<ρ τότε η ευθεία έχει δύο κοινά σηµεία µε τον κύκλο ( τέµνουσα ευθεία ) ΘΕΣΕΙΣ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Έστω οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) Αν ΚΛ< R-ρ τότε ο ένας βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου Αν ΚΛ> R+ρ τότε ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου Αν ΚΛ = R ρ τότε εφάπτονται εσωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σηµείο και ο ένας βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου. Αν ΚΛ = R +ρ τότε εφάπτονται εξωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σηµείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου. Αν R-ρ < ΚΛ < R+ρ τότε τέµνονται δηλ. έχουν δύο κοινά σηµεία Α, Β και το ΑΒ λέγεται κοινή χορδή. ΤΕΣΣΕΡΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟ τριγώνου : σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων και κέντρο ενός κύκλου που περνά από τις κορυφές του τριγώνου ( περιγεγραµµένος κύκλος) ΕΓΚΕΝΤΡΟ τριγώνου: σηµείο τοµής των διχοτόµων και κέντρο ενός κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές του τριγώνου (εγγεγραµµένος κύκλος) ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΟ τριγώνου : σηµείο τοµής των φορέων των υψών ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ τριγώνου: σηµείο τοµής των διαµέσων και απέχει από κάθε κορυφή τα 2/3 της αντίστοιχης διαµέσου.
ΠΑΡΑΛΛΉΛΟΓΡΑΜΜΑ 8 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ : λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες ιδιότητες παρ/µου : οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται. κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο παρ/µο : οι απέναντι πλευρές ανά δύο να είναι ίσες δύο απέναντι πλευρές να είναι παράλληλες και ίσες οι απέναντι γωνίες ανά δύο να είναι ίσες οι διαγώνιοί του να διχοτοµούνται. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ : λέγεται το παρ/µο που έχει µία γωνία ορθή. Ιδιότητες του ορθογωνίου οι διαγώνιοί του είναι ίσες οι γωνίες του είναι ορθές κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο να είναι παρ/µο και να έχει µία ορθή γωνία να είναι παρ/µο και οι διαγώνιοί του να είναι ίσες να έχει τρεις ορθές γωνίες όλες του οι γωνίες να είναι ίσες
ΡΟΜΒΟΣ :λέγεται το παρ/µο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες 9 ιδιότητες ρόµβου : 1 η :οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα 2 η : οι διαγώνιοί του διχοτοµούν τις γωνίες του. κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόµβος: να έχει όλες του τις πλευρές του ίσες να είναι παρ/µο και δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες να είναι παρ/µο και οι διαγώνιοί του να τέµνονται κάθετα να είναι παρ/µο και µία διαγώνιος να διχοτοµεί µία του γωνία. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ : λέγεται το παρ/µο που είναι ορθογώνιο και ρόµβος ιδιότητες τετραγώνου : οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες όλες οι πλευρές του είναι ίσες όλες οι γωνίες του είναι ορθές οι διαγώνιοί του είναι ίσες,τέµνονται κάθετα, διχοτοµούνται και διχοτοµούν τις γωνίες του. κριτήρια για να είναι ένα παρ/µο τετράγωνο µια γωνία ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες µία γωνία ορθή και µία διαγώνιος να διχοτοµεί µία του γωνία µία γωνία ορθή και οι διαγώνιοι κάθετες οι διαγώνιοι να είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες οι διαγώνιοι να είναι ίσες και η µία να διχοτοµεί µία του γωνία οι διαγώνιοι να είναι ίσες και κάθετες ΤΡΑΠΕΖΙΟ :λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ λέγεται το τµήµα που συνδέει τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του και ισούται µε το ηµιάθροισµα των βάσεων ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ : το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες (ιδιότητες : οι γωνίες κάθε βάσης είναι ίσες και οι διαγώνιοί του είναι ίσες )
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ 10 1. Κάθε γωνία της οποίας οι πλευρές της συµπίπτουν είναι µηδενική 2. Μεσοκάθετος ενός τµήµατος λέγεται η ευθεία που περνά από το µέσο του τµήµατος 3. ύο αµβλείες γωνίες µπορεί να είναι παραπληρωµατικές 4. ύο γωνίες µε κοινή κορυφή λέγονται κατακορυφήν 5. ύο γωνίες µε άθροισµα µία ορθή λέγονται συµπληρωµατικές 6. ύο γωνίες µε µία κοινή πλευρά λέγονται εφεξής ή διαδοχικές 7. Το 1/3 της ορθής είναι 30 ο 8. ύο τόξα 50 ο είναι πάντα ίσα 9. Αν οι δύο χορδές σε ένα κύκλο είναι ίσες τότε και τα αντίστοιχα τόξα θα είναι πάντα ίσα 10. Η διάµετρος είναι το µισό του κύκλου 11. ύο τρίγωνα µε όλες τις γωνίες ίσες,είναι ίσα 12. ύο τρίγωνα µε µία πλευρά και δύο γωνίες ίσες µία προς µία είναι ίσα 13. ύο τρίγωνα µε δύο πλευρές και µια γωνία ίσες µία προς µία είναι ίσα 14. ύο ισόπλευρα τρίγωνα µε ίσες περιµέτρους είναι ίσα 15. Αν ένα τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες τότε είναι οξυγώνιο 16. Σε ισοσκελές τρίγωνο δύο τυχαίες διάµεσοι είναι ίσες 17. Αν σε ένα τρίγωνο µία διάµεσος είναι και ύψος τότε είναι ισόπλευρο 18. Τα σηµεία της µεσοκαθέτου ενός τµήµατος, ισαπέχουν από τα άκρα του 19. Τα σηµεία της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της 20. Η εξωτερική γωνία είναι µεγαλύτερη από όλες τις γωνίες του τριγώνου 21. Η µεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου βρίσκεται από την µεγαλύτερη πλευρά του 22. Κάθε πολύγωνο µε ν πλευρές έχει ν εξωτερικές γωνίες 23. ύο κύκλοι µε δύο κοινά σηµεία,εφάπτονται 24. Αν δύο κύκλοι τέµνονται τότε η κοινή χορδή τους είναι µεσοκάθετη της διακέντρου 25. Από τρία σηµεία περνά ένας µόνο κύκλος 26. Αν η διάκεντρος των κύκλων (Κ,4) και (Λ,7) είναι 3,οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά 27. Αν σε δύο τρίγωνα δύο πλευρές είναι άνισες τότε και οι απέναντι γωνίες είναι οµοίως άνισες 28. Αν σε ισοσκελές η γωνία της βάσης του είναι 70 ο,τότε η γωνία της κορυφής του είναι 40 ο 29. Το άθροισµα των γωνιών ενός πολυγώνου µε ν πλευρές είναι : (ν-2).90 ο 30. Αν σε ένα τρίγωνο µία εξωτερική του γωνία είναι οξεία, τότε το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο 31. Ο περιγεγραµµένος κύκλος σε ένα τρίγωνο εφάπτεται στις πλευρές του 32. Ο εγγεγραµµένος κύκλος σε ένα τρίγωνο περνά από τις κορυφές του 33. Το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σηµείο τοµής των υψών του 34. Το έγκεντρο ενός τριγώνου είναι το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων του
35. Το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου είναι το βαρύκεντρο 36. Το κέντρο του εγγεγραµµένου κύκλου είναι το έγκεντρο 37. Το τµήµα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων,λέγεται διάµετρος των κύκλων 38. ύο γωνίες έχουν µε πλευρές παράλληλες και η µία είναι 40 ο.η άλλη είναι 140 ο 39. Οι διχοτόµοι των εντός εναλλάξ γωνιών είναι κάθετες 40. Οι διαγώνιοι χωρίζουν ένα παραλληλόγραµµο σε 4 ίσα τρίγωνα 41. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράµµου είναι και διχοτόµοι των γωνιών του 42. Οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράµµου είναι παραπληρωµατικές 43. Αν ένα τετράπλευρο έχει δύο πλευρές παράλληλες,είναι παραλληλόγραµµο 44. Οι διαγώνιοι του ρόµβου είναι και διχοτόµοι των γωνιών του 45. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι και διχοτόµοι των γωνιών του 46. Το τετράγωνο είναι και ρόµβος 47. Ο ρόµβος είναι και παραλληλόγραµµο 48. Το τετράγωνο είναι και ορθογώνιο 49. Το ορθογώνιο είναι και παραλληλόγραµµο 50. Το ορθογώνιο είναι και ρόµβος 51. Το παραλληλόγραµµο είναι και ορθογώνιο 52. ΟΙ διαγώνιες του τετραγώνου και του ρόµβου είναι ίσες 53. Το βαρύκεντρο στο αµβλυγώνιο τρίγωνο είναι έξω από το τρίγωνο 54. Τα µέσα των πλευρών ενός ισοπλεύρου είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου 55. Σε αµβλυγώνιο τρίγωνο τα ύψη τέµνονται έξω από το τρίγωνο 11 56. Η διάµεσος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι το µισό της κάθετης πλευράς του 57. Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει τις δύο απέναντι πλευρές του παράλληλες 58. ιάµεσος τραπεζίου είναι το τµήµα που συνδέει τα µέσα των βάσεων 59. Αν η µικρή βάση ενός τραπεζίου είναι 6 και η µεγάλη 10 τότες η διάµεσος είναι 8 και το τµήµα που συνδέει τα µέσα των διαγωνίων είναι 2. 60. Το τραπέζιο έχει 4 βάσεις 61. Στο ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιες είναι πάντα ίσες 62. Η διαγώνιος του τραπεζίου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα 63. Το τµήµα που συνδέει τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών ισοσκελούς τραπεζίου χωρίζει το τραπέζιο σε δύο ισοσκελή τραπέζια 64. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοι µπορούν να διχοτοµούνται 65. Αν στο παρ/µο ΑΒΓ είναι : Β+Γ+ =270 ο τότε είναι ορθογώνιο 66. Αν ένας ρόµβος έχει δύο απέναντι γωνίες παρ/κές τότε είναι τετράγωνο
12 67. Η περίµετρος ενός τριγώνου,είναι διπλάσια από την περίµετρο του τριγώνου που ορίζουν τα µέσα των πλευρών του 68. Σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάµεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορίζει δύο ισοσκελή τρίγωνα 69. Υπάρχει τρίγωνο που το ορθόκεντρο να συµπίπτει µε µια από τις κορυφές του. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Αν στο παρ/µο ΑΒΓ είναι ΑΒ=3λ+7 και Γ =2λ+20 τότε λ=: 2, 3, 4, 5 2. Αν στο παρ/µο ΑΒΓ είναι =80 ο και Ε σηµείο της ΑΒ τέτοιο ώστε ΒΕ=ΒΓ τότε η γωνία ΒΓΕ είναι: 30 ο 40 ο 50 ο 60 ο 3. Στο ορθογώνιο ΑΒΓ είναι Β =12.Αν Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων τότε ΟΓ=: 6 7 12 24 4. Αν στο ρόµβο ΑΒΓ είναι ΓΑΒ=25 ο τότε η γωνία ΑΒΓ=120 ο 155 ο 140 ο 130 ο 5. Τα µέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου σχηµατίζουν: παρ/µο ρόµβο ορθογώνιο τετράγωνο 6.Αν ΑΜ=µ α και Κ το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ τότε ο λόγος ΚΜ/ΚΑ ε είναι ίσος µε : 1/3 2 2/3