Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Transcript

1 ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2

3 ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα Σχηματα Με πολυ μερακι ια τους καλους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 15 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων

4 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ

5 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 1. Σ η μ ε ι ο Το σημειο δεν εχει διαστασεις. Το παριστανουμε με μια τελεια και το συμβολιζουμε με ενα κεφαλαιο γραμμα.. ρ α μ μ η Ειναι το ιχνος που αφηνει η μυτη ενος μολυβιου, αν το μετακινησουμε χωρις διακοπη. Ειναι δηλαδη μια συνεχης σειρα θεσεων (σημειων) που παιρνει ενα κινητο σημειο. 3. Ε π ι φ α ν ε ι α ( Ε π ι π ε δ ο ) Το συνολο των σημειων που χωριζουν ενα στερεο σωμα απο το περιβαλλον του. Ειδικη περιπτωση επιφανειας αποτελει το ε π ι π ε δ ο, η επιφανεια δηλαδη, που εφαρμοζει ο χαρακας και στις δυο διαστασεις του, το μηκος και το πλατος. Συμβολιζεται μ ενα παραλληλογραμμο. 4. Ε υ θ ε ι α Ειναι η γραμμη, που εκτεινεται απεριοριστα και προς τις δυο κατευθυνσεις, και εχει τη μορφη μιας ακτινας φωτος. Συμβολιζεται συνηθως με ενα μικρο γραμμα της αλφαβητου, π.χ. ε η (ε). ε 5. Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς υ ο Ε υ θ ε ι ω ν Τεμνονται (σ ενα σημειο) Ειναι παραλληλες (δεν εχουν κοινα σημεια) Ταυτιζονται (συμπιπτουν ολα τα σημεια τους) συμβατες (δεν ειναι ουτε παραλληλες, ουτε τεμνονται, πχ οι ακμες του ορθογωνιου (μπλε-κοκκινη) 6. Η μ ι ε υ θ ε ι α Ειναι το ενα απ τα δυο μερη που χωριζει ενα σημειο, εστω, την ευθεια x x. x x Οι ημιευθειες x και x λεγονται α ν τ ι κ ε ι μ ε ν ε ς.

6 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 7. E υ θ υ γ ρ α μ μ ο Τ μ η μ α Ειναι το μερος μιας ευθειας που περικλειεται απο δυο σημεια της, εστω και, με τα σημεια αυτα (ακρα). ι α δ ο χ ι κ α λεγονται τα ευθυγραμμα τμηματα που εχουν ενα κοινο ακρο, πχ και. Ι σ α λεγονται τα ευθυγραμμα τμηματα που με καταλληλη μετατοπιση συμπιπτουν. ια το ευθυγραμμο τμημα σε καθε ημιευθεια x υπαρχει σημειο, ωστε AB =. ε ε x 8. Μ ε σ ο E υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ Τ μ η μ α τ ο ς Ειναι ενα εσωτερικο του σημειο Μ, τετοιο ωστε : Μ = Μ. εχομαστε οτι το σημειο Μ ειναι μοναδικο. Μ 9. θ ρ ο ι σ μ α E υ θ. Τ μ η μ α τ ω ν Εστω δυο ευθυγραμμα τμηματα και. Μετατοπιζουμε τα, πανω σε ευθεια ε, ωστε να γι- ε Κ Λ Μ νουν διαδοχικα, με = ΚΛ και = ΛΜ. θροισμα των ευθ.τμηματων, ειναι το τμημα ΚΜ και ισχυει ΚΜ = ι α φ ο ρ α E υ θ. Τ μ η μ α τ ω ν ν >, τοτε υπαρχει εσωτερικο σημειο Ε του, ωστε = Ε. ε Ε ιαφορα του απ το λεγεται το τμημα Ε και ι- σχυει : Ε = ι ν ο μ ε ν ο E υ θ. Τ μ η μ α τ ο ς ε π ι Φ υ σ ι κ ο ρ ι θ μ ο ν Λεμε το ευθυγραμμο τμημα, που ειναι το αθροισμα ν διαδοχικων ευθυγραμμων τμηματων ισων με το και ισχυει : = ν. ν οροι

7 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 1. Μ η κ ο ς E υ θ. Τ μ η μ α τ ο ς ( π ο σ τ α σ η τ ω ν Σ η μ ε ι ω ν, ) Μ ο ν α δ α μ η κ ο υ ς λεμε το ευθυγραμμο τμημα με το οποιο συγκρινουμε ολα τα ευθυγραμμα τμηματα. Ο θετικος αριθμος κ, που δειχνει ποσες φορες ειναι μεγαλυτερο η μικροτερο ενα ευθ. τμημα απ τη μοναδα μηκους λεγεται μ η κ ο ς ε υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ τ μ η μ α - τ ο ς. κ φορες Μοναδα μηκους κ : θετικος οχι απαραιτητα ακεραιος 13. Σ η μ ε ι α Σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ( Κ ε ν τ ρ ο ) ν Ο ειναι σημειο του επιπεδου, τοτε για καθε σημειο υπαρχει μοναδικο σημειο, ωστε το σημειο Ο να ειναι Ο το μεσο του τμηματος. Τα σημεια, λεγονται σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ως προς το σημειο Ο. 14. Σ η μ ε ι α Σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ( Ε υ θ ε ι α ) Ειναι η γραμμη, που εκτεινεται απεριοριστα και προς τις ε δυο κατευθυνσεις και εχει τη μορφη μιας ακτινας φωτος. Ο Συμβολιζεται συνηθως με ενα μικρο γραμμα της αλφαβητου, π.χ. ε η (ε). 15. Η μ ι ε π ι π ε δ α ια το επιπεδο δεχομαστε: Μια ευθεια ε του επιπεδου Π το χωριζει σε δυο μερη Π1, Π, που βρισκονται εκατερωθεν αυτης. Π1 Ο Τα σημεια του Π1 (Π) και τα σημεια της ε, αποτελουν ενα σχημα που λεγεται η μ ι ε π ι π ε δ ο. Π Το ημιεπιπεδο οριζεται απο μια ευθεια και ενα σημειο. ν τα σημεια, του επιπεδου βρισκονται εκατερωθεν της ευθειας ε, τοτε η ευθεια τεμνει την ευθεια ε. 16. ω ν ι α K υ ρ τ η γ ω ν ι α ειναι το σχημα που αποτελειται απ τα κοινα σημεια δυο ημιεπιπεδων (Οι ημιευθειες Ox, Oy και τα περιεχομενα σ αυτες σημεια, σχ 1). Συμβολισμος: xoy η Ο η ω. x Σχ. 1 y ω O

8 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ Μ η κ υ ρ τ η γωνια ειναι το σχημα που αποτελειται απ τα σημεια του επιπεδου που δεν ανηκουν στη κυρτη γωνια xoy με τις ημιευθειες Οx, Oy, (σχ ). Κ ο ρ υ φ η της γωνιας λεγεται το σημειο Ο. Π λ ε υ ρ ε ς της γωνιας λεγονται οι ημιευθειες Οx, Oy. ν οι ημιευθειες Οx, Oy συμπιπτουν τοτε η κυρτη γωνια που σχηματιζεται λεγεται μ η δ ε ν ι κ η γ ω ν ι α, ενω η μη κυρτη λεγεται π λ η ρ η ς γ ω ν ι α. ν οι ημιευθειες Οx, Oy ειναι αντικειμενες τοτε η γωνια λεγεται ε υ θ ε ι α γ ω ν ι α, (σχ.3). θ Ο Σχ. Σχ.3 x y O x x y 17. Σ υ γ κ ρ ι σ η ω ν ι ω ν Εστω οι γωνιες O και O (κοινη κορυφη Ο και πλευρα Ο). ν οι ημιευθειες Ο, Ο ταυτιζονται : O = O ν η ημιευθεια Ο εξω απ τη γωνια : O : O < O ν η ημιευθεια Ο μεσα στη γωνια : O : O > O Ο 18. ι χ ο τ ο μ ο ς ω ν ι α ς x O y Ειναι η ημιευθεια Οδ που χωριζει την γωνια xoy σε δυο ισες γωνιες xo δ και δo y. Στη περιπτωση που η γωνια xoy ειναι η ευθεια γωνια, ω ω x δ y τοτε καθεμια απ τις γωνιες xo δ και δo y λεγεται ο ρ θ η γ ω ν ι α και συμβολιζεται με L, ενω οι φορεις των πλευρων της λεγονται κ α θ ε τ ε ς. δ x O y 19. E ι δ η ω ν ι ω ν Ο ρ θ η ειναι η κυρτη γωνια που εχει τις πλευρες της καθετες. Ο ξ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μικροτερη της ορθης. ορθη οξεια

9 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ μ β λ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μεγαλυτε- ρη της ορθης και μικροτερη απ την ευθεια γωνια. αμβλεια. Ε υ θ ε ι α Κ α θ ε τ η σ ε Σ η μ ε ι ο Ε υ θ ε ι α ς πο ενα σημειο ευθειας x x διερχεται μ ο ν α δ ι κ η ευθεια καθετη στη x x, που δεν ειναι αλλη απ τη διχοτο- μο της ευθειας γωνιας x'o x. Aν υπηρχε κι αλλη, θα ειχαμε δυο διχοτομους της γωνι- ας x'o x, ατοπο γιατι η διχοτομος ειναι μοναδικη. δ x x 1. π ο σ τ α σ η Σ η μ ε ι ο υ α π ο Ε υ θ ε ι α πο ενα σημειο εκτος της ευθειας x x διερχεται μοναδικη ευθεια καθετη στη x x. ν Ο το σημειο τομης της καθετης ευθειας και της ευθειας x x, το μηκος του ευθ. τμηματος Ο λεγεται α π ο σ τ α σ η του απ την ευθεια x x. x Ο x. Ε φ ε ξ η ς ω ν ι ε ς Λεγονται δυο γωνιες που εχουν μια κοινη πλευρα και τις μη κοινες πλευρες τους εκατερωθεν της κοινης. ι α δ ο χ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : τρεις η περισσοτερες γωνιες αν η 1η και η η ειναι εφεξης, η η και η 3η ειναι εφεξης, κ.λ.π. Εφεξης ιαδοχικες 3. θ ρ ο ι σ μ α Ε φ ε ξ η ς ω ν ι ω ν Λεγεται η γωνια που εχει μια κοινη κορυφη με τις εφε- ξης και πλευρες μη κοινες πλευρες τους. Ειναι A O + O = O Ο 4. ι α φ ο ρ α ω ν ι ω ν Μετατοπιζουμε τη μικρη γωνια ωστε να εχει κοινη κορυφη με τη μεγαλη γωνια και να συμπεσει η μια πλευρα τους, ενω η αλλη βρισκεται μεταξυ των πλευρων της μεγαλης. ι α φ ο ρ α τους ειναι η γωνια που εχει πλευρες τις μη Ο

10 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ κοινες πλευρες τους. Ειναι A O = O - O 5. Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς ω ν ι ε ς Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : Σχ. α Σχ. γ Ειναι δυο γωνιες που το αθροισμα τους ισουται με μια ορθη γωνια (Σχ. α). α Π α ρ α π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : β ε Ειναι δυο γωνιες που το αθροισμα τους ισουται με μια ζ ευθεια γωνια (Σχ. β). Σχ. β Κ α τ α κ ο ρ υ φ η ν γ ω ν ι ε ς : γ Ειναι δυο γωνιες με κοινη κορυφη και οι πλευρες της δ μιας ειναι αντικειμενες των πλευρων της αλλης (Σχ. γ). 6. Θ ε ω ρ η μ α υο εφεξης και παραπληρωματικες γωνιες εχουν τις μη κοινες πλευρες τους αντικειμενες ημιευθειες και αντιστροφα. ηλαδη: ν Ο, Ο αντικειμενες ημιευθειες τοτε οι γωνιες A O B και O ειναι παραπληρωματικες. Ο 7. Θ ε ω ρ η μ α Oι κατακορυφην γωνιες ειναι ισες. ποδειξη x+ω = 18 x+ω = y + ω x = y y+ω = 18 ω y x 8. Θ ε ω ρ η μ α Η προεκταση της διχοτομου γωνιας ειναι διχοτομος της κατακορυφην της γωνιας. ποδειξη Ο ˆ = Ο ˆ (κατακορυφη) 1 3 ˆ ˆ ˆ ˆ Ο = Ο 3 4 Ο = Ο (κατακορυφη) 4 Oδ' διχοτομος της x'oy' ˆ Ο ˆ = Ο ˆ (Oδ διχοτομος της xoy) ˆ 1 x y δ 4 1 δ 3 y x

11 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 9. Θ ε ω ρ η μ α Οι διχοτoμοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων ειναι καθετες. ποδειξη Εστω AOB, AOεφεξης και παραπληρωματικες και Ο, ΟΕ οι διχοτομοι τους. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ο Ο Ο 18 ΕΟ = ΕΟ + Ο = + = = = 9 ΟΕ Ο Ε Ο 3. Κ υ κ λ ο ς Κ υ κ λ ο ς με κεντρο Ο και ακτινα ρ ειναι το συνολο των σημειων του επιπεδου που απεχουν απ το Ο αποσταση ιση με ρ. Συμβολιζεται : (Ο, ρ). Κυκλος (Ο, ρ) ειναι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου για τα οποια ισχυει ΟΜ = ρ. M ρ Ο 31. Σ τ ο ι χ ε ι α Κ υ κ λ ο υ Τ ο ξ ο ειναι το ενα απο τα δυο μερη που χωριζεται ο κυκλος απο δυο σημεια του (Σχημα: A, A ). Χ ο ρ δ η ειναι το ευθυγραμμο τμημα που οριζεται απο δυο σημεια του κυκλου (Σχημα: ). π ο σ τ η μ α χορδης ειναι η αποσταση του κεντρου Ο απ τη χορδη (Σχημα: ΟΗ ). ι α μ ε τ ρ ο ς ειναι η χορδη που διερχεται απ το κεντρο (Σχημα: ΕΖ). ν τ ι δ ι α μ ε τ ρ ι κ α σ η μ ε ι α ειναι τα ακρα μιας διαμετρου (Σχημα: Ε, Ζ). Μ ρ Ο Ε Η Ζ 3. Θ ε σ η Σ η μ ε ι ο υ ω ς π ρ ο ς Κ υ κ λ ο Ενα σημειο Μ του επιπεδου ενος κυκλου (Ο, ρ) λεγεται ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σ η μ ε ι ο του κυκλου αν ΟΜ < ρ. ρ Μ Ενα σημειο Ν του επιπεδου ενος κυκλου (Ο, ρ) λεγεται Ο ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο σ η μ ε ι ο του κυκλου αν ΟΝ > ρ. Ν

12 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 33. Ι σ ο ι Κ υ κ λ ο ι υο κυκλοι ειναι ι σ ο ι, αν ο ενας με καταλληλη μετατοπιση ταυτιζεται με τον αλλο. ρ ρ υο κυκλοι ειναι ι σ ο ι, αν και μονον αν εχουν ισες Ο Ο ακτινες. 34. Ε π ι κ ε ν τ ρ η ω ν ι α Ε π ι κ ε ν τ ρ η γ ω ν ι α : Ειναι η γωνια που η κορυφη της ειναι το κεντρο ενος - κυκλου. A x ν τ ι σ τ ο ι χ ο τ ο ξ ο ε π ι κ ε ν τ ρ η ς γ ω ν ι α ς : Ο Ειναι το τοξο του κυκλου που περιεχεται στην επικεν- τρη γωνια. y Θα λεμε οτι η γωνια xo y βαινει στο τοξο AB. 35. Σ υ γ κ ρ ι σ η Τ ο ξ ω ν Σ υ γ κ ρ ι σ η τ ο ξ ω ν μ ε μ ε τ α τ ο π ι σ η : Συγκρινουμε τοξα του ι δ ι ο υ κυκλου η ι σ ω ν κυκλων: AB = και EZ < HΘ η HΘ > EZ Τοξα ανισων κυκλων δεν ειναι συγκρισιμα. Μ ε σ ο τ ο ξ ο υ : Το σημειο που χωριζει το τοξο σε δυο ισα τοξα. Το μεσο τοξου ειναι μοναδικο. ( Ε μεσο του ΙΖ) Η Θ Ι Ζ Ε 36. Θ ε ω ρ η μ α Σε ισα τοξα ενος κυκλου βαινουν ισες επικεντρες γωνι- ες και σε ισες επικεντρες γωνιες αντιστοιχουν ισα τοξα. Σχημα: AB = AOB = O Σε ανισα τοξα ενος κυκλου βαινουν ομοιως ανισες επι- Ο Η Ζ Κ Θ κεντρες γωνιες και αντιστροφα. Ε Σχημα: ΗΘ > ZE HKΘ > ΕKZ

13 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 37. Η μ ι κ υ κ λ ι ο Ειναι ενα απ τα δυο ισα τοξα που χωριζει η διαμετρος τον κυκλο. 38. Τ ε τ α ρ τ ο κ υ κ λ ι ο Ειναι ενα απ τα τεσσερα ισα τοξα που χωριζουν δυο κα- θετες διαμετροι τον κυκλο. 39. ι α δ ο χ ι κ α Τ ο ξ α Ειναι δυο τοξα ενος κυκλου που εχουν ενα κοινο ακρο και κανενα κοινο εσωτερικο σημειο. Σχημα :, Σε πολλα διαδοχικα τοξα, καθενα ειναι διαδοχικο με το επομενο του. 4. θ ρ ο ι σ μ α υ ο Τ ο ξ ω ν Μετατοπιζουμε τα τοξα, ωστε να γινουν διαδοχικα. Το τοξο A λεγεται α θ ρ ο ι σ μ α των τοξων A B και ισχυει : A + B = A και 41. ι α φ ο ρ α υ ο Τ ο ξ ω ν Μετατοπιζουμε τα τοξα, ωστε να γινουν διαδοχικα. Το τοξο A λεγεται δ ι α φ ο ρ α των τοξων A και ισχυει : A - B = A και B 4. ι ν ο μ ε ν ο Τ ο ξ ο υ μ ε Φ υ σ ι κ ο ν Παιρνουμε ν διαδοχικα τοξα ισα με A, ετσι ωστε να ισχυει A = AB + AB +...AB. ν φορες Το τοξο A ειναι το γινομενο του τοξου A επι τον φυσικο ν και ισχυει : A = ν A

14 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 43. Μ ε τ ρ η σ η Τ ο ξ ω ν κ α ι ω ν ι ω ν Τ ο ξ ο μ ι α ς μ ο ι ρ α ς : Ειναι το τοξο που ισουται με το 1/36 του κυκλου. Συμβολιζεται 1 ο (μοιρα) και ειναι το μοναδιαιο τοξο. Μ ε τ ρ ο τ ο ξ ο υ : Ειναι ο θετικος αριθμος που δειχνει μ ο ποσες φορες το τοξο ειναι μεγαλυτερο απ το μοναδιαιο τοξο. Σχημα: AB = ν τ η AB = ν ο Μ ε τ ρ ο γ ω ν ι α ς : Ειναι το μετρο του τοξου που ω Ο ν ο βαινει η γωνια αν γινει επικεντρη. Σχημα : ν = μ τοτε Χαρακτηριστικα μετρα: ω = O = μ Ι κυκλος, πληρης γωνια ημικυκλιο, ευθεια γωνια : 36 ο : 18 ο 1 ο =1/36 του κυκλου τεταρτοκυκλιο, ορθη γωνια : 9 ο 44. Τ ε θ λ α σ μ ε ν η ρ α μ μ η ποτελειται απο διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα, που οποιαδηποτε δυο διαδοχικα δεν ειναι συνευθειακα. Σχημα:,,, Ε. Συμβολιζεται : Ε. Κ ο ρ υ φ ε ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς : τα σημεια,,,, Ε. κ ρ α τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς : τα σημεια και Ε. Π λ ε υ ρ ε ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς : τα τμηματα,,, Ε. Π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς : το αθροισμα των πλευρων της. π λ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η : δεν εχει πλευρες που τεμνονται. Κ λ ε ι σ τ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η : τα ακρα της συμπιπτουν. Κ υ ρ τ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η : ο φορεας καθε πλευρας της αφηνει ολες τις κορυφες προς το ιδιο μερος του. Σε αντιθετη περιπτωση λεγεται μ η κ υ ρ τ η. Ε μη απλη απλη κυρτη Ε Ε Μη κυρτη Ε κλειστη

15 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Σ Χ Η Μ Τ 45. Π ο λ υ γ ω ν ο Ειναι μια κλειστη και απλη τεθλασμενη γραμμη. Κ υ ρ τ ο : αν η τεθλασμενη γραμμη ειναι κυρτη. Μ η κ υ ρ τ ο : αν η τεθλασμενη γραμμη ειναι μη κυρτη. ι α γ ω ν ι ο ς : το τμημα που εχει ακρα δυο μη διαδοχικες κορυφες. ω ν ι ε ς π ο λ υ γ ω ν ο υ : Σχηματιζονται απο δυο διαδοχικες πλευρες του (εσωτερικες του πολυγωνου. Σχημα : ω). Ε ξ ω τ ε ρ ι κ η γ ω ν ι α : ειναι καθε εφεξης και παραπληρωματικη μιας (εσωτερικης) γωνιας του (εξωτερικες του πολυγωνου. Σχημα : φ ). Ε Ε φ ω Κυρτο Μη κυρτο

16 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 1. π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς : Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα,,. ν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των και αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι i) EZ = i) A+ Ε Ζ / / // // Ειναι ΕΖ = Ε + + Ζ = + + ii) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, γωνιων η τοξων. ο σ μ ε ν α : οηθητικες ευθειες, γωνιες η τοξα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Εχουμε κατα νου το τροπο αποδειξης σχεσης. Ξεκινουμε απ το 1ο μελος και με λογικες πραξεις καταληγουμε στο ο μελος. Ξεκινουμε απ το ο μελος και με λογικες πραξεις καταληγουμε στο 1ο μελος. Ξεκινουμε απ το 1ο μελος και καταληγουμε σε μια παρασταση. Ξεκινουμε απ το ο μελος και καταληγουμε στην ιδια παρασταση. Ξεκινουμε απ τη προς αποδειξη σχεση και με λογικες πραξεις καταληγουμε σε μια σχεση που αληθευει (προφανη). Μετατρεπουμε τα τμηματα (γωνιες, τοξα) σε αθροισματα η διαφορες, ωστε να προκυψουν βολικα νεα τμηματα (γωνιες, τοξα). Χρησιμοποιουμε ιδιοτητες τμηματων ( γωνιων, τοξων ) και με πραξεις κατα- ληγουμε στο ζητουμενο. ii) + = + + = = ( + + ) + = + = + + ( + + ) + + = = Θεωρουμε κυρτη γωνια ρικη της γωνιας Ειναι ˆ Ο = ˆ Ο - ˆ Ο ˆ Ο, τη διχοτομο της Ο και τυχαια ημιευθεια Ο εσωτε- ˆ Ο. Να αποδειξετε οτι Ο διχοτομος = ˆ Ο - ˆ Ο Ο ˆ = Ο ˆ - Ο ˆ. Ο ˆ - Ο ˆ = = ˆ ˆ ˆ Ο - (Ο - Ο) =

17 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ = Ο ˆ - Ο ˆ λ λ ι ω ς Ο ˆ Ο ˆ = Ο ˆ - Ο ˆ = Ο ˆ - Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ - (Ο ˆ - Ο) ˆ Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ = = = Ο ˆ - ˆ Ο = Ο ˆ - Ο ˆ O Σε ημικυκλιο δινονται τα σημεια, και σημειο Μ του τοξου AB AB, ωστε MA = MB. i) ν Ρ σημειο του ημικυκλιου που δεν ανηκει στο τοξο, να αποδειξετε οτι 1 ΡΜ ( Ρ Ρ). ii) ν Σ σημειο του τοξου Μ, να αποδειξετε οτι ΣΜ 1 ( Σ- Σ) i) ρκει να δειχθει οτι : ΡΜ Eιναι = Ρ + Ρ Ρ = ΡΜ + MA (1) Ρ = ΡΜ - MB () Ετσι Μ Ρ (1) + () Ρ + Ρ = ΡΜ ii) ρκει να δειχθει οτι: ΣΜ = Σ Σ Ειναι Σ = ΣΜ + MA (3) Μ Σ Σ = MB - ΜΣ (4) Ετσι (3) (4) Σ Σ = ΣΜ

18 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ. Μ ο ν α δ ι κ ο τ η τ α ( α π ο δ ε ι ξ η σ ε α τ ο π ο ) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη μοναδικοτητας σημειου, ευθεια κλπ. ο σ μ ε ν α : Ιδιοτητα σημειου, ευθειας κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θεωρουμε οτι το ζητουμενο ΕΝ ειναι μοναδικο (υπαρχει και αλλο με την ιδιοτητα του ζητουμενου). Με λογικες πραξεις (η ιδιοτητες) καταληγουμε σε ατοπο. Να δειχτει οτι το μεσο Μ του τμηματος ειναι μοναδικο. Εστω οτι και το Μ (μεταξυ Μ και, αρα Μ > Μ) ειναι μεσο του τμηματος. Ετσι Μ = Μ Μ = Μ Μ = (1) Μ' = () πο (1) και () : Μ = Μ (Μ Μ ) ατοπο αφου Μ > Μ (Μ διαφορετικο Μ). Ομοια αν Μ ειναι μεταξυ και Μ. ρα Μ ειναι μοναδικο. 3. Ε υ θ υ - ν τ ι σ τ ρ ο φ ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη σχεσης και αντιστροφως. ο σ μ ε ν α : Σχεση η ιδιοτητα. Τροπος Λυσης : Ευθυ : Ξεκινωντας η χρησιμοποιωντας την υποθεση (δοσμενο) με λογικες πραξεις καταληγουμε στο συμπερασμα (ζητουμενο). ντιστροφο : Ξεκινωντας η χρησιμοποιωντας το συμπερασμα με λογικες πραξεις καταληγουμε στην υποθεση. Να αποδειχτει οτι οι διχοτομοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων σχηματιζουν ορθη γωνια και αντιστροφα. Εστω Ο, ΟΕ διχοτομοι των Ο και Ο αντιστοιχα. Ε υ θ υ :

19 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Υποθεση : Συμπερασμα : Ειναι Ο + Ο = 18 Ο + Ο = 18 Ο Ε = 9 Ο διχοτομος ΟΕ διχοτομος Ο + Ο Ε = 18 ( Ο + Ο Ε) = 18 Ο Ε = 18 Ο Ε = 9 ν τ ι σ τ ρ ο φ ο Υποθεση : Συμπερασμα : Ο Ε = 9 Ο + Ο = 18 Ο διχοτομος Ο Ο 1 Ο Ε = 9 Ο + Ο Ε = 9 + = 9 ( Ο + Ο ) = 9 ΟΕ διχοτομος Ο + Ο = Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ο υ γ ω ν ι α ς ( ω ν ) (με τη βοηθεια εξισωσης (συστηματος)) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση μετρου γωνιας (ων). ο σ μ ε ν α : Ιδιοτητες και σχεσεις μεταξυ γωνιων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θετουμε τη (τις) ζητουμενη (ες) γωνια (ες) με φ (ω, θ,...). Ε Ο Σχηματιζουμε εξισωση (συστημα), συμφωνα με τα δοσμενα, ως προς τις πιο πανω γωνιες. Λυνουμε την εξισωση (συστημα). Η παραπληρωματικη μιας γωνιας ειναι τριπλασια της συμπληρωματικης γωνιας της γωνιας αυτης. Να υπολογισετε την γωνια. Εστω ω η ζητουμενη γωνια, οποτε 18 - ω και 9 - ω η παραπληρωματικη και συμπληρωματικη γωνια της γωνιας ω αντιστοιχα. Ετσι 18 - ω = 3(9 - ω) 18 ο - ω = 7-3ω 3ω - ω = 7-18 ω = 9 ω = 45

20 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 5. Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ω ν γ ω ν ι ω ν α ν α λ ο γ ω ν π ρ ο ς α ρ ι θ μ ο υ ς : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση μετρων γωνιων. ο σ μ ε ν α : ριθμοι ως προς τους οποιους ειναι αναλογα τα μετρα των γωνιων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ν x, y, z, u ειναι τα μετρα των γωνιων που ειναι αναλογα προς τους αριθμους α, β, γ, δ αντιστοιχα, τοτε ισχυει : x y z u x + y + z + u = = = = α β γ δ α +β + γ + δ Τεσσερις ημιευθειες Ο, Ο, Ο, Ο σχηματιζουν τις διαδοχικες γωνιες ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ, που εχουν μετρα αναλογα με τους αριθμους 1,, 3, 4. Να υπολογισετε τις γωνιες αυτες. ˆΟ, Εστω Ετσι ˆΟ = ω, ˆΟ = φ, ˆΟ = ρ, ω φ ρ σ ω + φ + ρ + σ 36 = = = = = = ˆΟ = σ. ω = 1 36 φ = 36 ρ = 3 36 σ = 4 36 ω = 36 φ = 7 ρ = 18 σ = Ε π ι κ ε ν τ ρ η γ ω ν ι α - Κ υ κ λ ο ς : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη σχεσης - ιδιοτητας η ευρεση γωνιας - τοξου. ο σ μ ε ν α : Τοξα του κυκλου (σχεση μετρα). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η βασικη ιδιοτητα που χρησιμοποιουμε ειναι οτι το μετρο της επικεντρης γωνιας ειναι ισο με το μετρο του αντιστοιχου τοξου. Σε ημικυκλιο διαμετρου θεωρουμε σημειο τετοιο ωστε ρειτε: i) τα μετρα των τοξων και ii) τα μετρα των γωνιων ˆΟ και ˆΟ - = 8. (Ο ειναι το κεντρο του κυκλου)

21 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ i) (+ ) - = 8 = 6 = 13 (- ) + = 18 = 1 = 5 ii) ˆΟ = 13 και ˆΟ = 5 (αντιστοιχες επικεντρες). Ο Θεωρουμε κυκλο (Ο, R) και τα διαδοχικα σημεια του,,,, ωστε = 45 και = 15. Να αποδειξετε οτι η διχοτομος της γωνιας Ο = 15, ειναι αντικειμενη ημιευθεια της Ο. Εστω Μ το μεσο του Τοτε ΟΜ διχοτομος της. Ο. M = = 6. 6 Μ = = = 3 Μ = + Μ = = 18 ρα ΟΜ, Ο αντικειμενες. A Ο

22 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 1. Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια,, και Μ, Ν τα μεσα των και αντιστοιχα. Nα δειξετε οτι ΜΝ = A.. Πανω σε μια ευθεια δινονται κατα σειρα τα σημεια,,,, Ε ωστε = Ε. α) ν το μεσο του Ε και = 4 και Ε = 7 να βρειτε ποιοι απο τους παρακατω ισχυρισμους ειναι σωστοι και ποιοι λαθος : 1 i) Ε = β) Να υπολογισετε το μηκος του. ii) Ε = 14 iii) Ε = 8 3. Θεωρουμε αμβλεια γωνια Ο και στο εσωτερικο της την ημιευθεια Ο Ο. ν Ο, ΟΕ οι διχοτομοι των γωνιων Ο και οτι Ο Ε = 45. Ο αντιστοιχα, να αποδειξετε 4. ινονται οι διαδοχικες γωνιες Ο, Ο, Ο. ν ΟΕ, ΟΖ, ΟΗ, ΟΘ ειναι οι διχοτομοι των Ο, Ο, Ο, Ο αντιστοιχα να δειξετε οτι : Ε Ο Ζ + Η Ο Θ = Τα διαδοχικα τοξα,, εχουν μετρα αναλογα των αριθμων, 4, 6. α) Να υπολογισετε τα μετρα των τοξων β) Να αποδειξετε οτι το μεσο της χορδης ειναι το κεντρο του κυκλου. 6. Εστω οι γωνιες ω και φ, που εχουν κοινη κορυφη, μια κοινη πλευρα και δεν ειναι ε- φεξης. ν η διαφορα τους ειναι ιση με 9, να δειξετε οτι η διαφορα των διχοτομων τους ειναι ιση με Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια,,, με μεσο του. ειξτε οτι : >.

23 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 8. Μιας οξειας γωνιας το αθροισμα του τριπλασιου της συμπληρωματικης γωνιας και του διπλασιου της παραπληρωματικης της, ισουται με μια πληρη γωνια. Να βρειτε το μετρο της γωνιας αυτης. 9. Εστω οι ημιευθειες Ο, Ο, Ο και Ο, τετοιες ωστε η γωνια Να υπολογισετε τη γωνια οι γωνιες οι γωνιες Ο και Ο και Ο αν : Ο ειναι συμπληρωματικες. Ο ειναι παραπληρωματικες. Ο να ειναι ορθη. 1. Εστω κυκλος με κεντρο Ο και διαμετρο. Θεωρουμε τυχαιο σημειο του κυκλου διαφορετικο απο τα,. ν Ο, ΟΕ ειναι οι διχοτομοι των γωνιων Ο και Ο αντιστοιχως (, Ε σημεια του κυκλου), αποδειξτε οτι το τοξο Ε ειναι τεταρτοκυκλιο. 11. Εστω κυκλος με κεντρο Ο και, διαμετροι αυτου. ν το μετρο του τοξου ειναι 7, να βρειτε τα μετρα των : α) των τοξων,, β) ολων των επικεντρων γωνιων. 1. Εστω κυκλος (Ο, 1) και σημειο Ρ στο επιπεδο του κυκλου. ν ΟΡ = x + 4, να βρειτε για ποιες τιμες του θετικου ακεραιου x, το Ρ ειναι εσωτερικο σημειο του κυκλου. 13. ινεται τμημα ευθειας ε και ενα εσωτερικο σημειο Μ, τετοιο ωστε Μ = ν Σ ειναι σημειο στη προεκταση του προς το, τετοιο ωστε Σ = δειξτε οτι : = + () (Μ) (Σ). 5 3 Μ. 5 Σ, απο- 3

24 ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 14. Σε μια ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα,, με = 5, = x, = 8. ν Μ το μεσο του και Ν το μεσο του,να δειξετε οτι : α) Μ = β) Ν = x + 5 x + 8 γ) ΜΝ = 6,5

25 ΤΡΙΩΝ

26 ΤΡΙΩΝ 1. T ρ ι γ ω ν ο Ειναι το κυρτο πολυγωνο που εχει τρεις γωνιες. Τ ρ ι γ ω ν ο : κ ο ρ υ φ ε ς : τα σημεια,,. π λ ε υ ρ ε ς : τα τμηματα,, η γ, α, β αντιστοιχα. γ ω ν ι ε ς : τις,,. κ υ ρ ι α σ τ ο ι χ ε ι α : ειναι οι πλευρες και οι γωνιες του. π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς : ειναι το αθροισμα α+β+γ των πλευρων του. Συμβολιζεται τ (η ημιπεριμετρος του τ = (α + β + γ)/). Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς π λ ε υ ρ ε ς σ κ α λ η ν ο : αν εχει ολες τις πλευρες του ανισες (σχ. ). ι σ ο σ κ ε λ ε ς : αν εχει δυο πλευρες του ισες. Το κοινο σημειο των ισων πλευρων λεγεται κ ο ρ υ φ η και η πλευρα απεναντι του β α σ η (σχ. ΕΖ). ι σ ο π λ ε υ ρ ο : αν εχει ολες τις πλευρες του ισες (σχ. ΗΘΙ). (Ειναι και ισοσκελες με τρεις βασεις). γ β α Η Ε Ζ Θ Ι 3. Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς γ ω ν ι ε ς ο ξ υ γ ω ν ι ο : αν εχει ολες τις γωνιες του οξειες (σχ. ). ο ρ θ ο γ ω ν ι ο : αν εχει μια γωνια ορθη. Η πλευρα απεναντι απο την ορθη λεγεται υ π ο τ ε ι ν ο υ σ α και οι αλλες κ α - θ ε τ ε ς (σχ. ΕΖ). α μ β λ υ γ ω ν ι ο : αν εχει μια γωνια αμβλεια (σχ. ΗΘΙ). Σε καθε τριγωνο οι δυο γωνιες του ειναι παντα οξειες και το ονομα του το παιρνει απ τη τριτη γωνια. H Ε Ζ Θ Ι

27 ΤΡΙΩΝ Π α ρ α τ η ρ η σ η : Το σκαληνο τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο. Το ισοσκελες τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο. Το ισοπλευρο τριγωνο: ειναι παντα οξυγωνιο (ολες οι γωνιες του απο 6 ο ). 4. ι α μ ε σ ο ς Ειναι το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει μια κορυφη με το μεσο της απεναντι πλευρας. Οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις πλευρες α, β και γ συμβολιζονται με μα, μβ και μγ αντιστοιχα. Υπαρχουν τρεις διαμεσοι στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο σημειο (βαρυκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο. Μ μβ μα G μγ Λ K 5. ι χ ο τ ο μ ο ς Ειναι το ευθυγραμμο τμημα της διχοτομου μιας γωνιας, με ακρα την κορυφη και το σημειο τομης της διχοτομου με την απεναντι πλευρα. Οι διχοτομοι των γωνιων, και του τριγωνου συμβολιζονται με δα, δβ και δγ αντιστοιχα. Υπαρχουν τρεις διχοτομοι στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο σημειο (εγκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο. Μ δβ δα Θ δγ Λ K 6. Υ ψ ο ς Ειναι η αποσταση μιας κορυφης απ την απεναντι πλευρα. Τα υψη απ τις κορυφες, και του τριγωνου συμβολιζονται με υα, υβ και υγ αντιστοιχα. Υπαρχουν τρια υψη στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο σημειο (ορθοκεντρο) που βρισκεται: μεσα στο τριγωνο, αν αυτο ειναι οξυγωνιο. στη κορυφη της ορθης γωνιας, αν αυτο ειναι ορθογωνιο. εξω απ το τριγωνο, αν αυτο ειναι αμβλυγωνιο.

28 ΤΡΙΩΝ 7. Ι σ ο τ η τ α T ρ ι γ ω ν ω ν υο τριγωνα ειναι ισα αν μετα απο καταλληλη μετατοπιση ταυτιζονται. υο ισα τριγωνα εχουν τις πλευρες τους και τις γωνιες τους ισες μια προς μια. Σε δυο ισα τριγωνα απεναντι απο ισες πλευρες βρισκονται ισες γωνιες και αντιστροφα. Οι ισες πλευρες που βρισκονται απεναντι απο ισες γωνιες λεγονται α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ς η ο μ ο λ ο γ ε ς. 8. Ι σ ο τ η τ α Σ κ α λ η ν ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν = l = l 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π Π ) ν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα. ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π ) ν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. 3 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π Π Π ) ν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. 9. Ι σ ο τ η τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν τις καθετες πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγωνων αφου περιεχομενη γωνια των καθετων ειναι ορθη (Π--Π). ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν μια καθετη πλευρα και τη προσκειμενη σ αυτην οξεια γωνια, ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγωνων αφου η δευτερη προσκειμενη της καθετης ειναι ορθη γωνια (-Π-).

29 ΤΡΙΩΝ Θ ε ω ρ η μ α 1 ο ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα και μια καθετη πλευρα αντιστοιχα ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. Θ ε ω ρ η μ α ο ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα και μια οξεια γωνια αντιστοιχα ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. 1. Π ο ρ ι σ μ α 1 Σε καθε ισοσκελες τριγωνο οι προσκειμενες στη βαση γωνιες ειναι ισες και η διχοτομος της γωνιας της κορυφης ειναι διαμεσος και υψος. ποδειξη Φερνω διχοτομο. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι: 1. ειναι κοινη ˆ = ˆ ( διχοτομος) = ( ισοσκελες) Ετσι διαμεσος ˆ = ˆ ˆ = ˆ = 9 οποτε υψος Π ο ρ ι σ μ α Η διαμεσος ισοσκελους τριγωνου, που αντιστοιχει στη βαση του, ειναι διχοτομος και υψος. ποδειξη Φερνω διαμεσο. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι: 1. ειναι κοινη. = ( διαμεσος) 3. = ( ισοσκελες) Ετσι ˆ = ˆ οποτε διχοτομος. 1 ˆ = ˆ = 9 οποτε υψος

30 ΤΡΙΩΝ 1. Π ο ρ ι σ μ α 3 Το υψος ισοσκελους τριγωνου που αντιστοιχει στη βαση ειναι διαμεσος και διχοτομος της γωνιας της κορυφης. ποδειξη Φερνω το υψος. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι: 1. Τρ. ειναι ορθογωνιο. ειναι κοινη 3. = ( ισοσκελες) οποτε διαμεσος. 1 = οποτε διχοτομος Π ο ρ ι σ μ α 4 Καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμηματος ισαπεχει απο τα ακρα του. ποδειξη Φερνω μεσοκαθετη Μ. Τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισα γιατι: 1. Μ ειναι κοινη ˆ = ˆ = = (Μ μεσοκαθετη) ρα Μ = Μ Μ Π ο ρ ι σ μ α 5 Καθε σημειο που ισαπεχει απο τα ακρα ενος ευθυγραμμου τμηματος ανηκει στη μεσοκαθετο του. ποδειξη Εστω σημειο Μ με Μ=Μ. Φερνω διαμεσο Μ Το τριγωνο Μ ειναι ισοσκελες (Μ = Μ) και συμφωνα με προηγουμενο θεωρημα Μ ειναι και υψος. ρα Μ ειναι μεσοκαθετη και το Μ ανηκει σ αυτην. Μ 15. Π ο ρ ι σ μ α 6 Οι γωνιες ισοπλευρου τριγωνου ειναι ισες. ποδειξη

31 ΤΡΙΩΝ Το τριγωνο ειναι : ισοσκελες με βαση, αρα συμφωνα με προηγουμενο θεωρημα ειναι: ˆ = ˆ ισοσκελες με βαση, αρα συμφωνα με προηγουμενο θεωρημα ειναι: Τελικα ˆ ˆ ˆ A= = A= ˆ ˆ 16. Π ο ρ ι σ μ α 7 ν δυο τοξα ενος κυκλου ειναι ισα, τοτε και οι χορδες τους ειναι ισες. ποδειξη Τα τριγωνα Ο και Ο ειναι ισα γιατι : 1. Ο = Ο = ρ Ο. Ο = Ο = ρ 3. ˆ ˆ AOB = Ο (αφου = ) ρα = 17. Π ο ρ ι σ μ α 8 Aν οι χορδες δυο τοξων ενος κυκλου, μικροτερων του η- μικυκλιου, ειναι ισες, τοτε και τα τοξα ειναι ισα. ποδειξη Τα τριγωνα Ο και Ο ειναι ισα γιατι : Ο 1. Ο = Ο = Ο = Ο = ρ. = (υποθεση) ρα AOB ˆ = Ο ˆ οποτε και = 18. Π ο ρ ι σ μ α 9 Η καθετος που φερεται απο το κεντρο ενος κυκλου προς μια χορδη του διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της. ποδειξη Τα τριγωνα ΟΚ και ΟΚ ειναι ισα γιατι: 1. Ειναι ορθογωνια. ΟΚ ειναι κοινη 3. Ο = Ο = ρ ρα Κ = Κ δηλαδη Κ μεσο και ˆ ˆ AOΜ = ΜΟ, οποτε Ο 1 Κ Μ και Μ = Μ δηλαδη Μ μεσο του τοξου.

32 ΤΡΙΩΝ 19. Π ο ρ ι σ μ α 1 υο χορδες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα α- ποστηματα τους ειναι ισα. ποδειξη Τα τριγωνα ΟΕ και ΟΖ ειναι ισα γιατι: 1. Ορθογωνια. ΟΕ = ΟΖ (υποθεση) 3. Ο = Ο = ρ ρα Ε = Ζ και = ντιστροφα Τα τριγωνα ΟΕ και ΟΖ ειναι ισα γιατι: 1. Ορθογωνια. Ε = Ζ (υποθεση αφου = ) 3. Ο = Ο = ρ ρα ΟΕ = ΟΖ Ε Ο Ζ. Π ο ρ ι σ μ α 1 1 Kαθε σημειο της διχοτομου μιας γωνιας ισαπεχει απο τις πλευρες της και αντιστροφα καθε εσωτερικο σημειο της γωνιας που ισαπεχει απο τις πλευρες ειναι σημειο της διχοτομου. ποδειξη Τα τριγωνα ΟΜ και ΟΜ ειναι ισα γιατι: 1. Ορθογωνια. ΟΜ κοινη 3. ˆ ˆ MOA = MOB (Οδ διχοτομος) ρα Μ = Μ ντιστροφα Τα τριγωνα ΟΜ και ΟΜ ειναι ισα γιατι: 1. Ορθογωνια. ΟΜ κοινη 3. Μ = Μ (υποθεση) ρα ˆ ˆ MOA = MOB δηλαδη Οδ διχοτομος. Ο Μ δ

33 ΤΡΙΩΝ 1. α σ ι κ ο ι ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ι Τ ο π ο ι Κ υ κ λ ο ς : ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια του και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να απεχουν μια ορισμενη αποσταση απο ενα σταθερο σημειο. Μ ε σ ο κ α θ ε τ η τ μ η μ α τ ο ς : ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια της και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να ισαπεχουν α- πο τα ακρα του τμηματος. ι χ ο τ ο μ ο ς γ ω ν ι α ς : ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια της και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να ισαπεχουν α- πο τις πλευρες της γωνιας. Μ Ο Μ A y Μ Ο B x

34 ΤΡΙΩΝ ΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο Καθε εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη απο καθεμια απο τις απεναντι γωνιες του τριγωνου. ποδειξη Φερνουμε διαμεσο και τη προεκτεινουμε κατα Ε =. x Τα τριγωνα και Ε ειναι ισα γιατι: 1. = Ε (υποθεση). = ( διαμεσος) 3. ˆ = ˆ 1 ρα Ε ˆ =. ˆ Ομως Ε ˆ < ˆ ˆ < ˆ Ομοια ˆ < ˆ εξ εξ εξ B 1 E 3. Θ ε ω ρ η μ α ο Σε καθε τριγωνο απεναντι απο ανισες πλευρες βρισκον- ται ομοια ανισες γωνιες και αντιστροφα. ποδειξη Ειναι <. Εστω σημειο της, ωστε =. Το τριγωνο ειναι ισοσκελες. Ετσι ˆ = ˆ ˆ ˆ > ˆ > ˆ ˆ > ˆ 4. Θ ε ω ρ η μ α 3 ο ( Τ ρ ι γ. ν ι σ ο τ η τ α ) Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο τη διαφορα τους. ποδειξη Προεκτεινουμε την κατα = = β. Το τριγωνο ισοσκελες και ˆ = ˆ 1 ˆ < ˆ ˆ < ˆ < α < β + γ 1 Ομοια β < α + γ (β - γ < α, αν β γ) και γ < α + β (γ - β < α, αν β γ) Τελικα : β - γ < α < β + γ β γ β 1 α

35 ΤΡΙΩΝ ΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 5. Ε φ α ρ μ ο γ η 1 η ν Μ ειναι ενα εσωτερικο σημειο ενος τριγωνου θα ισχυει : M > A Μ + Μ < +. ποδειξη Στο τριγωνο Μ : Μ M > M (εξωτερικη γωνια) (1) Στο τριγωνο : Μ > A (εξωτερικη γωνια) () πο (1) και () : M > A 6. Ε φ α ρ μ ο γ η η Εστω τριγωνο και σημειο της πλευρας. ν ισχυουν δυο απο τις επομενες προτασεις: το τμημα ειναι διαμεσος, το τμημα ειναι διχοτομος, το τμημα ειναι υψος, τοτε το τριγωνο ειναι ισοσκελες με βαση. 7. Ε φ α ρ μ ο γ η 3 η ν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες και τις περιεχο- μενες γωνιες ανισες, τοτε και οι τριτες πλευρες θα ειναι ομοια ανισες και αντιστροφα, δηλαδη στα τριγωνα του σχηματος : ν =, =, > ' τοτε > ν =, =, > τοτε > ' = / = / Χ ρ η σ ι μ α Π ο ρ ι σ μ α τ α Καθε τριγωνο εχει το πολυ μια γωνια ορθη η αμβλεια. ν ενα τριγωνο εχει δυο γωνιες ισες, τοτε ειναι ισοσκελες. ν ενα τριγωνο εχει και τις τρεις γωνιες του ισες, τοτε ειναι ισοπλευρο. Το αθροισμα δυο γωνιων καθε τριγωνου ειναι μικροτερο των 18. ν μια γωνια ενος τριγωνου ειναι ορθη η αμβλεια, τοτε η απεναντι πλευρα της ειναι η μεγαλυτερη πλευρα του τριγωνου. Καθε χορδη κυκλου ειναι μικροτερη η ιση της διαμετρου.

36 ΤΡΙΩΝ ΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 8. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο Aν δυο πλαγια τμηματα ειναι ισα, τοτε τα ιχνη τους ι- σαπεχουν απο το ιχνος της καθετου, και αντιστροφα. ποδειξη Εστω και δυο ισα πλαγια τμηματα και Κ το καθετο τμημα. To τριγωνο ειναι ισοσκελες και το Κ υψος του, επομενως θα ειναι και διαμεσος, δηλαδη Κ = Κ. ντιστροφα. Εστω Κ = Κ. Στο τριγωνο το Κ ειναι υψος και διαμεσος, αρα το τριγωνο ειναι ισοσκελες. Κ 9. Θ ε ω ρ η μ α ο Το καθετο τμημα απο ενα σημειο εκτος ευθειας ειναι μικροτερο απο καθε πλαγιο απ το σημειο αυτο. ποδειξη Στο ορθογωνιο τριγωνο Κ, η γωνια Κ ειναι η μεγαλυτερη ως ορθη. Επομενως η πλευρά ειναι η μεγαλυτερη πλευρα του τριγωνου που σημαινει οτι > Κ. Κ 3. Θ ε ω ρ η μ α 3 ο ν απο ενα σημειο εκτος ευθειας ε φερουμε το καθε- το και δυο ανισα πλαγια ευθυγραμμα τμηματα,, τοτε : οι αποστασεις των ιχνων τους απο το ιχνος της καθετου ειναι ομοιοτροπως ανισες και αντιστροφα. ποδειξη Εστω Κ το ιχνος της καθετης στην ευθεια ε., στην ιδια ημιευθεια που οριζει το Κ : Εστω Κ > Κ. φου το ειναι μεταξυ των Κ,, η ειναι εξωτερικη του ορθογωνιου τριγωνου Κ, αρα > Κ 9, δηλαδη η αμβλεια και απεναντι της στο τριγωνο βρισκεται η μεγαλυτερη πλευρα του, που σημαινει >., εκατερωθεν του Κ : Παιρνουμε τμημα = με, εκατερωθεν του Κ, ο- ποτε συμφωνα με το προηγουμενο = >. Κ Κ

37 ΤΡΙΩΝ ΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ντιστροφα. Εστω >. ν ηταν Κ = Κ, τοτε θα ειχαμε =, που ειναι ατοπο. ν Κ < Κ, τοτε συμφωνα με το προηγουμενο θα ειχαμε οτι <, που ειναι επισης ατοπο. Επομενως Κ > Κ.

38 ΚΥΚΛΟΣ 31. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η Ε υ θ ε ι α ς Κ υ κ λ ο υ Η σχετικη θεση ευθειας ε και κυκλου (Ο,R) καθοριζεται απο την αποσταση δ = Ο του κεντρου του κυκλου απ την ευθεια και απ την ακτινα του R. Η ε ειναι ε ξ ω τ ε ρ ι κ η ευθεια του κυκλου : ε Μ Η ε δεν εχει κοινα σημεια με τον κυκλο. ν δ > R η ε ειναι εξωτερικη του κυκλου και αντιστροφα. δ ρ Ο ια καθε σημειο Μ της ε ισχυει ΟΜ > R. Η ευθεια που διερχεται απ τα σημεια Μ, Ο λεγεται ε δ ι α κ ε ν τ ρ ι κ η ε υ θ ε ι α του σημειου Μ. Η ε ειναι ε φ α π τ ο μ ε ν η του κυκλου : Η ε εχει ενα κοινο σημειο (σημειο επαφης) με τον κυ- ρ = δ Ο Ν κλο. ν δ = R η ε ειναι εφαπτομενη του κυκλου και αντιστροφα. Η ακτινα με ακρο το σημειο επαφης ειναι καθετη στην εφαπτομενη (Ο ε). ε δ ρ Ο Σε καθε σημείο Ν του κυκλου υπαρχει μοναδικη εφα- πτομενη. Η ε ειναι τ ε μ ν ο υ σ α του κυκλου : Η ε εχει δυο κοινα σημεια με τον κυκλο. ν δ < R η ε ειναι εξωτερικη του κυκλου και αντιστρο- φα. ν, τα σημεια τομης τοτε η αποσταση δ = Ο ει- ναι το αποστημα της χορδης. 3. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο Μια ευθεια και ενας κυκλος εχουν το πολυ δυο κοινα σημεια. ποδειξη Εστω μια ευθεια ε και ενας κυκλος (Ο,ρ) με τρια κοινα σημεια,,. Επειδη Ο = Ο (= ρ) και Ο = Ο (= ρ), οι μεσοκαθετοι κ, λ των, αντιστοιχα, διερχονται απ το Ο. ηλαδη απ το σημειο Ο εχουμε δυο διαφορετικες καθε- κ ε Ο λ τες στην ε, τις κ και λ, που ειναι ατοπο.

39 ΚΥΚΛΟΣ 33. Θ ε ω ρ η μ α ο Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο ση- μειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους. ποδειξη Τα τριγωνα ΟΡ και ΟΡ ισα: Ορθογωνια ΟΡ κοινη οποτε Ρ = Ρ Ο = Ο = ρ Ο 1 1 Ρ ΡΟ διακεντρικη του Ρ. ΡΟ μεσοκαθετη της χορδης. ΡΟ διχοτομος της Ρ. 34. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η υ ο Κ υ κ λ ω ν Η σχετικη θεση δυο κυκλων (Κ, R) και (Λ, ρ) καθοριζεται απο την διακεντρο δ (ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα κεντρα Κ,Λ), το αθροισμα και τη διαφορα των ακτινων Κ R δ ρ Λ τους, R + ρ και R ρ αντιστοιχα. 34α. Χ ω ρ ι ς Κ ο ι ν α Σ η μ ε ι α Ο ενας ε ξ ω τ ε ρ ι κ α του αλλου : Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εξωτερικο του αλλου, αν και μονο αν δ > R + ρ. υο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες (αφηνουν τους κυ- R δ ρ κλους προς το ιδιο μερος τους). υο κοινες εσωτερικες εφαπτομενες (αφηνουν τους κυ- κλους εκατερωθεν αυτων). Ο ενας ε ν τ ο ς του αλλου : δ R ρ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο ε- σωτερικο του αλλου, αν και μονο αν δ < R - ρ. εν υπαρχει κοινη εφαπτομενη.

40 ΚΥΚΛΟΣ 34β. Μ ε Κ ο ι ν ο Σ η μ ε ι ο Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ α : Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εξω- τερικο του αλλου και εχουν ενα κοινο σημειο (σημειο επαφης πανω στη διακεντρο), αν και μονο αν δ = R + ρ. υο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες. Κ R δ ρ Λ Μια κοινη εσωτερικη εφαπτομενη (διχοτομει τα κοινα εφαπτομενα τμηματα). Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε σ ω τ ε ρ ι κ α : Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εσωτερικο του αλλου και εχουν ενα κοινο σημειο (στη R δ ρ Κ Λ προεκταση της διακεντρου), αν και μονο αν δ < R - ρ. Μια κοινη εξωτερικη εφαπτομενη. 34γ. Μ ε Κ ο ι ν α Σ η μ ε ι α Τ ε μ ν ο μ ε ν ο ι : Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) τεμνονται (δυο σημεια κοινα), αν και μονο αν R ρ < δ < R + ρ. υο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες. Το τμημα με ακρα τα κοινα σημεια ειναι η κοινη χορδη. Κ Λ Η διακεντρος ειναι μεσοκαθετος της κοινης χορδης.

41 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 1. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας τμηματων. ο σ μ ε ν α : Ιδιοτητες τριγωνων, ισοτητα τμηματων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε πανω του. Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι πλευρες τους. ειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα. Συμβουλη : Συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων απαιτουνται 3 ισοτητες (τμηματων γωνιων). Ετσι ξεκινω απο αυτα που βγαζουν ματια. ηλαδη Τριγωνα ορθογωνια Κοινα τμηματα - γωνιες οσμενες ισοτητες (υποθεση) Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο και εστω Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε το Μ ετσι ωστε ΜΖ = Μ. Να δειξετε οτι Ζ =. Ζ Τα τριγωνα ΜΖ και Μ ειναι ισα γιατι : 1. Μ = Μ (Μ μεσο ). Μ = ΜΖ (υποθεση) 3. Μ 1 = Μ (κατακορυφη) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Ζ =. Μ. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν γ ω ν ι ω ν (σε ισοσκελες τριγωνο) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας τμηματων γωνιων σε ισοσκελες τριγωνο. ο σ μ ε ν α : Τριγωνο ισοσκελες. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε πανω του. Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι

42 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ πλευρες τους. ειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα. εν ξεχνουμε οτι στο ισοσκελες τριγωνο ( βαση) ειναι : = = Το υψος απ τη κορυφη ειναι διχοτομος και διαμεσος. Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ) προεκτεινω τις, κατα τμηματα = Ε αντιστοιχα. Να δειξετε οτι Ε =. Τα τριγωνα Ε και ειναι ισα γιατι : 1. A = κοινη. = (τριγ. ισοσκελες) 3. Ε = (αθροισματα ισων τμηματων) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και = Ε. Ε 3. π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ρ ι γ ω ν ο ε ι ν α ι ι σ ο σ κ ε λ ε ς : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη οτι τριγωνο ειναι ισοσκελες. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, δειχνουμε καποιο απ τα παρακατω : υο πλευρες του τριγωνου ειναι ισες. υο γωνιες του τριγωνου ειναι ισες. Το υψος απο μια κορυφη ειναι και διαμεσος η διχοτομος. ινεται ισοσκελες τριγωνο και, Ε τα υψη του. Να δειχτει οτι : Το τριγωνο Ε ειναι ισοσκελες. Τα τριγωνα Ε και ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. = (τριγ. ισοσκελες) 3. = κοινη Ε Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Ε = που σημαινει οτι το τριγωνο Ε ειναι ισοσκελες.

43 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 4. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ ρ ι γ ω ν ω ν (με βοηθητικη ισοτητα τριγωνων) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας τριγωνων. ο σ μ ε ν α : Συνηθως ισοτητα στοιχειων τριγωνων, διχοτομων, διαμεσων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε πανω του. Παρατηρουμε οτι για την ζητουμενη ισοτητα των τριγωνων δεν εχουμε τις α- παραιτητες ισοτητες ωστε να ικανοποιειται καποιο απ τα κριτηρια. Εχοντας υποψιν τα δοσμενα και τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων, ανακαλυπτουμε την ισοτητα (ες) που λειπει για την ζητουμενη ισοτητα τριγωνων. Η προηγουμενη ισοτητα (που λειπει) αποδεικνυεται απο ισοτητα βοηθητικων τριγωνων. ειξτε οτι τα τριγωνα και ειναι ισα αν: υα = υα υβ = υβ α = α Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια Ε = 'Ε'(υποθεση) = ''(υποθεση) Οποτε και τα υπολοιπα σημεια τους ισα, δηλαδη = ' Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια = ' (προηγ.αποδειξη) = ''(υποθεση) Οποτε και τα υπολοιπα σημεια τους ισα, δηλαδη = '' Ε A Ε Ειναι : = '', = '' και = ' που σημαινει οτι τα τριγωνα και ''' ειναι ισα.

44 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 5. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν τ ρ ι γ ω ν ω ν: Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : φου τα τριγωνα ειναι ορθογωνια αρκουν δυο ισοτητες τμηματων - γωνιων, προκειμενου να αποδειξουμε την ισοτητα τους, οπως παρακατω : Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε καθετη πλευρα. Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια. Οι δυο καθετες πλευρες. Οποιαδηποτε καθετη πλευρα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια. Να δειξετε οτι τα μεσα των ισων πλευρων ισοσκελους τριγωνου ισαπεχουν απο: τη βαση του απ τις ισες πλευρες του. Τα τριγωνα ΜΚ και ΝΛ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. Μ = Ν ( = και Μ, Ν μεσα τους) 3. = (τριγ. ισοσκελες) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΚ = ΝΛ. Τα τριγωνα Μ και ΕΝ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. = κοινη 3. Μ = Ν ( = και Μ, Ν μεσα τους) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Μ = ΝΕ. Ε Μ Ν Κ Λ 6. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς (απ τη μεσοκαθετη τμηματος (διχοτομο γωνιας)) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα : της μεσοκαθετης οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ τα ακρα του ευθυγραμμου τμηματος. της διχοτομου οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ τις πλευρες της γωνιας.

45 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ινεται ισοσκελες τριγωνο ( = ) και σημειο στο εσωτερικο του που ισαπεχει απ τα ακρα της βασης του. Να αποδειξετε οτι το σημειο ισαπεχει απ τις πλευρες και. φου το ισαπεχει απο τα και, σημαινει οτι βρισκεται στη μεσοκαθετη του τμηματος. Η μεσοκαθετη της βασης διερχεται απ'τη κορυφη ισοσκελους τριγωνου. Μ Ν Στο τριγωνο (με βαση ) η μεσοκαθετη της βασης διερχεται απ'τη κορυφη. Ετσι η Κ ειναι και διαμεσος, αρα και διχοτομος της γωνιας. Καθε σημειου της διχοτομου της γωνιας ισαπεχει Κ απ'τις πλευρες της, αρα και το, που σημαινει οτι Μ = Ν. 7. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς γ ω ν ι α ς δ ι χ ο τ ο μ ω ν (εσωτερικων - εξωτερικων) τριγωνου : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας γωνιας διχοτομων τριγωνου, εστω. ο σ μ ε ν α : ιχοτομοι τριγωνου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θεωρουμε το τριγωνο, εστω ΚΛΜ, του οποιου γωνια ειναι η ζητουμενη. Ξεκινουμε απ την ισοτητα : η ζητουμενη). Κ + Λ + Μ = 18 (οπου μια απ τις γωνιες ειναι Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα : Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι ιση με το α- θροισμα των δυο απενατι εσωτερικων γωνιων του. ντικαθιστουμε γωνιες συμφωνα με τις ισοτητες του αρχικου τριγωνου : + + = = 18. ν διχοτομος τριγωνου με <, να δειχτει οτι: = 9 - και =

46 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Στο τριγωνο ειναι : + + = = = 9 - Στο τριγωνο ειναι : + + = = = 9 + = 9 + = ν ι σ ο τ ι κ ε ς σ χ ε σ ε ι ς μ ε τ α ξ υ τ μ η μ α τ ω ν γ ω ν ι ω ν : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ανισοτικης σχεσης μεταξυ τμηματων - γωνιων. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα ανισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου να αποδειξουμε τη ζητουμενη σχεση εχουμε υποψιν μας : Η εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη απο καθεμια απ τις απεναντι εσωτερικες. Σε καθε τριγωνο απεναντι απο μεγαλυτερη πλευρα βρισκεται μεγαλυτερη γωνια και αντιστροφα. Σε πολλες ασκησεις ενα κολπο ειναι να μεταφερουμε με ισοτητες, τα τμηματα και τις γωνιες που μας ενδιαφερουν στο ιδιο τριγωνο. ν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια, τοτε οι περιχομενες γωνιες ειναι ομοιομορφα ανισες οπως οι τριτες πλευρες των τριγωνων και αντιστροφα. Σε καθε τριγωνο ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα: β γ < α < β + γ Συνηθως εφαρμοζουμε τριγωνικη ανισοτητα για καθε ορο του μικρου μελους της προς αποδειξη ανισοτητας και προσθετουμε κατα μελη. Υπενθυμιζουμε οτι η περιμετρος του πιο πανω τριγωνου ειναι : τ = α + β + γ ια πλαγια τμηματα που αγονται απο κοινο σημειο και τεμνουν ευθεια, πιο μικρο ειναι αυτο που το ιχνος του εχει μικροτερη αποσταση απ το ιχνος της καθετης απ το κοινο σημειο προς την ευθεια. ν διχοτομος τριγωνου και Ε ενα σημειο στη προεκταση του τετοιο ωστε Ε =, να δειχτει οτι < Ε.

47 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Τα τριγωνα Ε και ειναι ισα γιατι : = κοινη Ε = (υποθεση) 1 = ( διχοτομος) Οποτε και τα υπολοιπα σημεια τους ισα,δηλαδη Ε = (1) Η Ε εξωτερικη στο τριγωνο, οποτε : 1 (1) Ε > Ε > Ε, που σημαινει οτι Ε >. Ε ν Μ ειναι διαμεσος τριγωνου με <,να δειξετε οτι : Μ > Μ β - γ < μα < β + γ μα + μβ +μγ < τ Προεκτεινουμε την Μ κατα τμημα Μ = Μ. Τα τριγωνα Ε και ειναι ισα γιατι : Μ = Μ (υποθεση) Μ = Μ (Μ μεσο ) Μ 1 = Μ (κατακορυφη) = (1) και Μ = Μ () (1) < < (τριγ.) α β () Μ < Μ Μ < Μ. Οποτε... ισα, δηλαδη πο τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο προκυπτει : ( =) < - < < + β - γ < μ < β + γ Ειναι μ Ομοια μ Ομοια μ γ < β + γ (+) < α + γ < α + β (μ +μ +μ ) < (α + β + γ) α β γ μ +μ +μ α β γ < τ α 1 Μ ν Κ τυχαιο σημειο της πλευρας τριγωνου, να δειξετε οτι : τ - α < Κ < τ. πο τριγωνικη ανισοτητα στα τριγωνα Κ, Κ προκυπτει : (+) + < Κ + Κ+ Κ γ + β < α+ Κ < Κ + Κ < Κ + Κ α + γ + β < α + Κ τ < α + Κ τ - α < Κ (1) πο τριγωνικη ανισοτητα στα τριγωνα Κ, Κ προκυπτει: (+) Κ < Κ + Κ < Κ + Κ + + Κ < α + γ + β Κ < Κ + Κ < τ Κ < τ () πο(1),() : τ - α < Κ < τ Κ

48 ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ν Μ η διαμεσος και η διχοτομος τριγωνου με <, να δειξετε οτι : < δα < μα Παιρνουμε στην τμημα Ε =. Τα τριγωνα και Ε ειναι ισα γιατι: = κοινη Οποτε... ισα, δηλαδη : Ε = (κατασκευη) = Ε (1) και = Ε 1 () 1 = ( διχοτομος) (1) () : εξ = Ε, ομως εξ > Ε > > Ε >. ν Κ υψος, απ'τη προηγουμενη αποδειξη : < < + < < (*) : φου τα ιχνη δυο πλαγιων τμημα - των απεχουν ανισα απ'το ιχνος της κα - θετου, ομοια ανισα ειναι και τα τμηματα. < Μ - Κ < Μ - Κ Κ < ΚΜδ < μ ( * ) α α Κ Μ 9. Σ υ ν ε υ θ ε ι α κ α σ η μ ε ι α : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Τα σημεια,, ειναι συνευθειακα. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Τα σημεια,, ειναι συνευθειακα αν : δυο απ τα τμηματα με ακρα τα,, ειναι παραλληλα. τα τμηματα, ειναι καθετα στο, στε ευθεια που διερχεται απ το. υο κυκλοι με κεντρα Κ, Λ τεμνονται στα και. ν Μ το μεσο της χορδης, να δειχτει οτι Κ, Μ, Λ ειναι συνευθειακα. Φερνουμε το μεσο Μ της και τα τμηματα ΚΜ, ΛΜ. Στο ισοσκελες τριγωνο Κ (Κ = Κ = ακτινα) ΚΜ ειναι διαμεσος, αρα και υψος, οποτε ΚΜ (1) Στο ισοσκελες τριγωνο Λ (Λ = Λ = ακτινα) ΛΜ ειναι διαμεσος, αρα και υψος, οποτε ΛΜ () Κ Μ Λ πο (1), () τα Κ, Μ, Λ συνευθειακα, γιατι απ'το ιδιο σημειο ευθειας διερχεται μια μονο καθετη.

49 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 1. Στις πλευρες,, ισοπλευρου τριγωνου, παιρνουμε σημεια, Ε, Ζ αντιστοιχα, ωστε = Ε = Ζ. ποδειξτε οτι το τριγωνο ΕΖ ειναι ισοπλευρο.. ν Ε, Ζ ειναι σημεια της διχοτομου τριγωνου, τετοια ωστε Ε = και Ζ =, να δειξετε οτι A Ε = Ζ. 3. Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο και εστω Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε το Μ ετσι ωστε ΜΖ = Μ. Να δειξετε οτι Ζ = 4. Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο και εστω Ε, Ζ τα μεσα των και αντιστοιχα. Προεκτεινουμε τα Ζ, Ε ετσι ωστε ΖΗ = Ζ και ΕΘ = Ε. Να δειξετε οτι Θ = Η. 5. Σε ευθεια ε παιρνουμε διαδοχικα τα σημεια,, και παιρνουμε τα ισοπλευρα τριγω- να Ζ και Ε (στο ιδιο ημιεπιπεδο ως προς ε). Να δειξετε οτι Ε = Ζ. 6. Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ( = ), οι διχοτομοι του και Ε και οι διαμεσοι του Ζ και Η. Να δειξετε οτι: = Ε Ζ = Η 7. Εστω κυρτο τετραπλευρο με = και =. Να δειξετε οτι =. 8. Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο. Προεκτεινουμε τις πλευρες και ετσι ωστε Ε = και Ζ =. Να δειξετε οτι = ΖΕ.

50 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 9. Εστω το ισοσκελες τριγωνο ( = ) και Μ το μεσο της. Παιρνουμε σημειο 1 1 της και σημειο Ε της ετσι ωστε = και Ε =. 3 3 Να δειξετε οτι το τριγωνο ΜΕ ειναι ισοσκελες. 1. Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και μια χορδη του. Προεκτεινουμε την εκατερωθεν κατα ισα τμηματα και. Να δειξετε οτι Ο = Ο. 11. Εστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο. Φερνουμε το καθετο στην πλευρα και το Ε καθετο στην πλευρα ετσι ωστε = και Ε =. Να δειξετε οτι = Ε. 1. υο ισοσκελη τριγωνα και Ε ( με βασεις και Ε) εχουν κοινη την κορυφη και τις γωνιες της κορυφης ισες. Να δειξετε οτι : = Ε (η Ε = ). 13. Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και, και τρεις διαμετροι του. Να δειξετε οτι τα τριγωνα, ειναι ισα. 14. Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ( = ) και Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε την κατα και την κατα Ε ετσι ωστε = Ε. Να αποδειξετε οτι Μ = ΜΕ. 15. Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ( = ). Προεκτεινουμε την προς την πλευρα του κατα και προς την πλευρα του κατα Ε ετσι ωστε = Ε. Επιπλεον, προεκτεινουμε την κατα Ζ και την κατα Η ετσι ωστε Ζ = Η. Να αποδειξετε οτι Ζ = ΕΗ. 16. Εστω οτι τα ισα ευθυγραμμα τμηματα και τεμνονται στο σημειο Ο ετσι ωστε Ο = Ο. Να δειξετε οτι τα τριγωνα Ο και Ο ειναι ισα.

51 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 17. Σε ενα πενταγωνο Ε ειναι = Ε, = και =. Να δειξετε οτι η μεσο- καθετος της πλευρας Ε διερχεται απο το και ειναι διχοτομος της γωνιας. 18. Σε ενα τριγωνο οι διαμεσοι και Ε ειναι ισες. Προεκτεινουμε το Ε και παιρνουμε τμημα Η = Ε. Επισης προεκτεινουμε το Ε και παιρνουμε τμημα ΕΖ = Ε. Να δειχθει οτι: To AZH ειναι ισοσκελες Τα τριγωνα ΖΕ και Η ειναι ισα Το ειναι ισοσκελες. 19. Σε τριγωνο η Μ ειναι διαμεσος και το μεσο της διαμεσου. ν ειναι = να δειχθει: = Μ =. Θεωρουμε τριγωνο ( < ) και την διχοτομο. Στην ημιευθεια παιρνουμε τμημα = και στην ημιευθεια παιρνουμε τμημα =. Να δειξετε οτι τα σημεια,, ειναι συνευθειακα. 1. Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο. Προεκτεινουμε τις πλευρες και ετσι ωστε Ε = και Ζ =. Να δειξετε οτι = ΖΕ.. Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο και Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε την κατα το ισο τμημα και την κατα το ισο τμημα Ε. ν Ζ ειναι το σημειο τομης της προεκτασης της Μ με τη Ε, να δειξετε οτι: τα τριγωνα και Ε ειναι ισα, τα τριγωνα ΕΖ και Μ ειναι ισα, το Ζ ειναι το μεσο του Ε.

52 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 3. Εξωτερικα ενος ισοπλευρου τριγωνου ( = ) κατασκευαζουμε τα ισοπλευρα τριγωνα Ε και. Να δειξετε οτι: = Ε ν Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων Ε,, αντιστοιχα να δειχτει οτι το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοσκελες. 4. Σε τριγωνο προεκτεινουμε τη κατα τμημα = και τη κατα τμημα Ε =. Φερνουμε τις διχοτομους των εξωτερικων γωνιων των και που τεμνονται στο σημειο Μ. Να δειχθει οτι τo τριγωνο ΜΕ ειναι ισοσκελες. 5. ινεται τριγωνο με β > γ και διχοτομο. Φερνουμε απο το καθετη στην που την τεμνει στο Ε και την στο Ζ. ποδειξτε οτι : = Ζ Ζ = β - γ = Ζ η Ε ειναι διχοτομος της γωνιας Ζ. 6. Εστω τριγωνο. Στην προεκταση του υψους Η παιρνουμε τμημα Η = Η και στη προεκταση της διαμεσου Μ παιρνουμε τμημα ΜΕ = Μ. Να δειξετε οτι: = Ε και = Ε. ν οι ευθειες και Ε τεμνονται στο Σ να δειχθει οτι η ΣΜ ειναι καθετος στις και Ε. 7. Εστω τριγωνο ( = ), οι διχοτομοι, Ε και Μ το μεσο της. Να δειχτει οτι το τριγωνο ΜΕ ειναι ισοσκελες. 8. Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ( = ) και τα υψη του Ε και Ζ. Να δειξετε οτι Ε = Ζ. 9. Στο ισοσκελες τριγωνο ( =, 9 ) η καθετη στο στην τεμνει την ευθεια στο και η καθετη στο στην τεμνει την στο Ε. ν Μ το μεσο της να δειξετε οτι η Μ ειναι μεσοκαθετος του Ε.

53 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 3. Εστω το ισοσκελες τριγωνο ( = ) και Μ το μεσο της. Φερνουμε το Μ καθετο στην και το ΜΕ καθετο στην. Να αποδειξετε οτι Μ = ΜΕ. 31. Θεωρουμε αμβλεια γωνια χ Ο ψ και τα σημεια, στις πλευρες της Οχ, Οψ αντιστοιχα, ωστε Ο = Ο. Στα σημεια, φερνουμε καθετες στις Οχ, Οψ αντιστοιχα, που τεμνονται στο. ποδειξτε οτι : η Ο ειναι διχοτομος της γωνιας. η Ο ειναι μεσοκαθετος του. 3. ν δυο τριγωνα ειναι ισα, τοτε και τα υψη που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες ειναι ισα. 33. Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο. Προεκτεινουμε την κατα Ε και την κατα Ζ ετσι ωστε Ε = και Ζ =. Φερνουμε τα ΕΗ, ΖΘ καθετα στην. Να δειξετε οτι ΕΗ = ΖΘ. 34. Σε τριγωνο η διχοτομος της γωνιας και η μεσοκαθετη της πλευρας τεμνονται στο. Φερνουμε τις καθετες Ε και Ζ στις πλευρες και. Να δειξετε οτι Ε = Ζ. 35. Εστω ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ A = 9 ), Μ μεσο της και η μεσοκαθετη απο το Μ τεμνει την στο Ζ. ν μεσο του Ζ να δειχθει οτι το τριγωνο Ζ ειναι ισοπλευρο. 36. Εστω τριγωνο και Μ το μεσο της. Πανω στην Μ παιρνουμε το σημειο τετοιο ωστε = Μ και = Μ. Να δειξετε οτι: ˆ = Μ ˆ =. 37. Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ( = ) και Μ το μεσο της. Φερνουμε τα τμηματα Μ, ΜΕ καθετα στις πλευρες και αντιστοιχα. Να δειξετε οτι: Μ = ΜΕ Μ ˆ = ΜΕ ˆ Μ Ε.

54 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 38. Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ( π το φερνουμε Ε ˆ A = 9 που τεμνει την στο Ζ. Να δειξετε οτι το τριγωνο Ζ ειναι ισοσκελες. ) και η διχοτομος της γωνιας. 39. Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ A = 9 την Μ κατα το τμημα Μ = Μ. Να αποδειξετε οτι: τα τριγωνα Μ, Μ ειναι ισα, τα τριγωνα Μ, Μ ειναι ισα, τα ευθυγραμμα τμηματα, ειναι καθετα. ) και Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε 4. ινεται κυκλος (Ο, ρ) και τυχαια χορδη του. ν απο το μεσο Κ του τοξου νουμε Κ Ο. Να δειχθει οτι Κ = 1. φερ- 41. Εστω το τριγωνο με = και ˆ = ˆ. ν ειναι η διχοτομος της το μεσο της, να δειξετε οτι: το τριγωνο ειναι ισοσκελες, Μ, τα τριγωνα, Μ ειναι ισα, ˆ A = 9. ˆ και Μ 4. Εστω τριγωνο και = Μ οπου Μ μεσο της, απο το Μ φερνουμε Μ. ν Ν σημειο της τετοιο ωστε Ν = 1 4 να δειχθει οτι Μ Ν. 43. Εστω το ισοπλευρο τριγωνο. Στις πλευρες,, παιρνουμε τα σημεια, Ε, Ζ ετσι ωστε = Ε = Ζ. ν το Κ ειναι το σημειο τομης των Ε,, το Λ ειναι το σημειο τομης των Ζ, Ε και το Μ ειναι το σημειο τομης των, Ζ, να δειξετε οτι: τα τριγωνα, Ε και Ζ ειναι ισα, τα τριγωνα Κ, ΕΛ και ΖΕ ειναι ισα, το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοπλευρο.

55 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 44. Εστω η γωνια ˆ xoy. Πανω στην Οx παιρνουμε τα τμηματα Ο, Ο και πανω στην Οy παιρνουμε τα τμηματα Ο, Ο, ετσι ωστε Ο = Ο και Ο = Ο. ν Κ ειναι το σημειο τομης των, να δειξετε οτι: τα τριγωνα Ο, Ο ειναι ισα, η ΟΚ ειναι διχοτομος της ˆ xoy. 45. Εστω τα ορθογωνια τριγωνα, ( + + = + +. Να δειξετε οτι τα τριγωνα,. ˆ A = 9, ˆ A' = 9 ) με = και 46. Εστω τριγωνο και η προεκταση χ της πλευρας προς το μερος του. Η καθετος απο το στην διχοτομο της γωνιας τεμνει την ευθεια στο και η καθετος απο το στην διχοτομο της γωνιας χ τεμνει την ευθεια στο Ε. Να δειξετε οτι = Ε. 47. Σε τριγωνο φερνουμε τις εσωτερικες και εξωτερικες διχοτομους των γωνιων και. Να δειξετε οτι : η γωνια των δυο εσωτερικων διχοτομων ειναι η γωνια των δυο εξωτερικων διχοτομων ειναι Η διχοτομος της εξωτερικης γωνιας τριγωνου ( < ) τεμνει την προεκταση της πλευρας στο σημειο. - Να δειχτει οτι: =. 49. Εστω τριγωνο, με = 6. ν, Ε ειναι οι διχοτομοι των γωνιων και αντιστοιχα, τοτε να δειχτει οτι: = Ε.

56 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 5. Εστω τριγωνο ( < ) και η διχοτομος του. Να δειχτει οτι: - = - - = = Εστω ισοσκελες τριγωνο ( = ) και =. ν οι διχοτομοι των γωνιων και τεμνονται στο Ι, να υπολογισετε τη γωνια Ι. 5. ν σε τριγωνο ειναι εξ = 9 +, τοτε =. 53. ινεται τριγωνο με <, η διχοτομος του και Μ εσωτερικο σημειο της. ειξτε οτι: Μ - Μ < - Μ < Μ 54. Σε τετραπλευρο θεωρουμε τυχαιο σημειο Κ στο εσωτερικο του. Να δειξετε οτι : < (Κ + Κ + Κ + Κ) < 3( ) + Κ + Κ + Κ + Κ 55. Σε κυρτο τετραπλευρο δειξτε οτι: + > + < τ και < τ (τ = ημιπεριμετρος) Σε κυρτο τετραπλευρο με μεγαλυτερη πλευρα και μικροτερη, δειξτε οτι: < 56. ινεται τριγωνο και τυχαιο σημειο Μ της πλευρας. ν και Ε ειναι οι προβολες του Μ στις πλευρες και αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: Μ < Μ και ΜΕ < Μ Ε < Μ + ΜΕ < +

57 ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 57. ινεται αμβλυγωνιο τριγωνο (A > 9 ) και Ο ενα σημειο στο εσωτερικο αυτου. ν οι ευθειες Ο και Ο τεμνουν τις και αντιστοιχα στα σημεια Κ και Λ, δειξτε οτι: Κ + Λ > Λ + ΚΛ + Κ. 58. ν, Ε τυχαια σημεια πανω στις καθετες πλευρες, αντιστοιχα, ορθογωνιου τριγωνου, να δειξετε οτι: Ε < Ε Ε < 59. Εστω δυο κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) με R > ρ, που δεν τεμνονται. Φερουμε τις κοινες εξωτερικες εφαπτομενες τους. Να δειξετε οτι: τεμνονται σε σημειο της διακεντρου. οι μεσοκαθετοι των κοινων εξωτερικων εφαπτομενων τμηματων τεμνονται σε σημειο της διακεντρου.

58 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

59 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 1. Ο ρ ι σ μ ο ς υο ευθειες ε1, ε ενος επιπεδου λεγονται παραλληλες αν δεν εχουν κανενα κοινο σημειο. Συμβολισμος παραλληλιας των ε1 και ε : ε1 // ε. ε1 ε. Τ ε μ ν ο υ σ α Ε υ θ ε ι α υ ο Ε υ θ ε ι ω ν ν ε η τεμνουσα ευθεια δυο ευθειων ε1 και ε : ω ν ι α ε ν τ ο ς : υτη που βρισκεται μεταξυ των ε1, ε. ω ν ι α ε κ τ ο ς : ε1 ε α β δ γ υτη που βρισκεται εξω απ τη δεσμη των ε1 και ε. Ε ν α λ λ α ξ γ ω ν ι ε ς : υο γωνιες που βρισκονται εκατερωθεν της ε. Ε π ι τ α α υ τ α μ ε ρ η γ ω ν ι ε ς : ε κ ν λ μ υο γωνιες που βρισκονται προς το ιδιο μερος της ε. 3. Θ ε ω ρ η μ α ν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες. ηλαδη : αν ω ˆ = φ ˆ τοτε ε1 // ε ω ε1 ποδειξη : Εστω οτι οι ε1 και ε τεμνονται στο σημειο. Στο τριγωνο η γωνια ˆφ ειναι εξωτερικη και ισουται με την ˆω, φ ε που ειναι εσωτερικη, ατοπο. ρα ε1 // ε. 4. Θ ε ω ρ η μ α ν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες. ηλαδη: αν ω ˆ = φ ˆ τοτε ε1 // ε ποδειξη: ω φ x ε1 ε Ειναι: ω = φ, απο υποθεση. Ειναι: ω = x, σαν κατακορυφην. ρα φ = xκαι εντος εναλλαξ, οποτε ε1 // ε.

60 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 5. Θ ε ω ρ η μ α ν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες παραπληρωματικες, τοτε ειναι παραλληλες. ηλαδη: αν ω ˆ +φ ˆ = 18 τοτε ε1 // ε ποδειξη: Ειναι : ω + φ = 18, απο υποθεση. x ω φ ε1 ε Ειναι : ω + x = 18, αθροισμα ευθεια γωνια. ρα φ = xκαι εντος εναλλαξ, οποτε ε1 // ε. 6. Ε υ κ λ ε ι δ ε ι ο ι τ η μ α πο σημειο εκτος ευθειας ε αγεται μια μονο παραλλη- λη προς αυτη. ηλαδη, απ το σημειο υπαρχει μονο μια ευθεια ε // ε ε ε 7. Π ρ ο τ α σ η ν δυο ευθειες παραλληλες τεμνονται απο τριτη σχηματιζουν τις εντος εναλλαξ γωνιες ισες. ηλαδη: αν ε1 // ε τοτε ω ˆ = φ ˆ ποδειξη: Εστω φˆ ω ˆ και xb ˆ = φ. ˆ Aρα x / /ε. ηλαδη απ'το σημειο εχουμε δυο παραλληλες προς την ευθεια ε, ατοπο. Ετσι φ ˆ = ω. ˆ ω φ 8. Π ο ρ ι σ μ α ν δυο ευθειες παραλληλες τεμνονται απο τριτη σχημα- τιζουν τις εντος - εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες. ηλαδη: αν ε1 // ε τοτε ω ˆ = φ ˆ ποδειξη: Ειναι: ε1 // ε, απο υποθεση. ε1 ε φ ω x Ειναι: ω = x, σαν κατακορυφην. ρα φ = x σαν εντος εναλλαξ, οποτε ω = φ.

61 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 9. Π ο ρ ι σ μ α ν δυο ευθειες παραλληλες τεμνονται απο τριτη σχημα- τιζουν τις εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες παραπλη- ρωματικες. ηλαδη: αν ε1 // ε τοτε ω ˆ +φ ˆ = 18. ω x ε1 ποδειξη : Ειναι: ε1 // ε, απο υποθεση. φ ε Ειναι : ω + x = 18, αθροισμα ευθεια γωνια. ρα φ = x σαν εντος εναλλαξ, οποτε ω + φ = Π ρ ο τ α σ η ν δυο διαφορετικες ευθειες ε1 και ε ειναι παραλληλες προς μια τριτη ευθεια ε, τοτε ειναι και μεταξυ τους παραλληλες. ηλαδη: αν ε1 // ε και ε // ε, τοτε ε1 // ε. ποδειξη : ν ε1 και ε τεμνονται στο σημειο, τοτε απ το ιδιο σημειο θα ειχαμε δυο παραλληλες προς την ιδια ευθεια (ε). τοπο. ε1 ε ε 11. Π ρ ο τ α σ η ν δυο ευθειες ε1 και ε ειναι παραλληλες και μια τριτη ευθεια ε τεμνει τη μια απο αυτες, τοτε η ε θα τεμνει και την αλλη. ποδειξη : ν ε τεμνει την ε1 στο σημειο και δεν τεμνει την ε τοτε ε1 ε//ε, δηλ. απ το ιδιο σημειο () θα ειχαμε δυο παραλληλες (ε, ε1) προς την ιδια ευθεια (ε). τοπο. ε ε 1. Π ο ρ ι σ μ α ν μια ευθεια ειναι καθετη σε μια απο δυο παραλληλες ευθειες, τοτε ειναι καθετη και στην αλλη. ποδειξη: Εστω ε ε. φου ε / / ε τοτε ω ˆ = φ. ˆ 1 1 Ομως ω ˆ = 9 φ ˆ = 9 ε ε ω φ ε ε1 ε

62 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 13. Π ρ ο τ α σ η ν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν τις εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες με αθροισμα μικρο- τερο απο δυο ορθες, τοτε οι ευθειες τεμνονται προς το μερος της τεμνουσας που βρισκονται οι γωνιες αυτες. ηλαδη, αν ω ˆ +φ ˆ < 18 τοτε οι ε1, ε τεμνονται προς τη μερια της ε που ειναι οι ω, ˆ φ ˆ. ποδειξη : ο Εστω φ ˆ + ω ˆ < 18,οποτε ε και ε τεμνονται. 1 ν Κ το σημειο τομης ω ˆ > ˆ (σαν εξωτερικη γωνια του τριγωνου Κ) τοτε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ο ο ο ω > 18 - φ φ + ω > 18 ατοπο, αφου φ + ω < ρα οι ε και ε τεμνονται προς την μερια των γωνιων ω,φ. ˆ ˆ Κ φ ω ε1 ε 14. Ι δ ι ο τ η τ ε ς ω ν ι ε ς μ ε π λ ε υ ρ ε ς π α ρ α λ λ η λ ε ς : ν ειναι ο ξ ε ι ε ς και οι δυο, τοτε ειναι ι σ ε ς. ηλαδη αν ω, φ < 9 τοτε ω = φ ν ειναι α μ β λ ε ι ε ς και οι δυο, τοτε ειναι ι σ ε ς. ηλαδη αν ω, φ > 9 τοτε ω = φ ν ειναι η μια ο ξ ε ι α και η αλλη α μ β λ ε ι α, τοτε ειναι π α ρ α π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς. ηλαδη αν ω > 9, φ < 9 τοτε ω + φ = 18 ω φ φ φ ω ω 15. ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ο ι Κ υ κ λ ο ι Τ ρ ι γ ω ν ο υ Θ ε ω ρ η μ α 1 ο : Οι μεσοκαθετοι των πλευρων τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο Ο. Το σημειο Ο (περικεντρο) ειναι το κεντρο κυκλου (περιγεγραμμενος) που διερχεται απο τις κορυφες του τριγωνου. ποδειξη : Φερνουμε τις μεσοκαθετους των πλευρων, που τεμνονται στο σημειο Ο. ρα ΟΚ μεσοκαθετη : Ο = Ο Ο = Ο ΟΛ μεσοκαθετη : Ο = Ο Ο σημειο μεσοκαθετης του. Κ Μ Ο Λ

63 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ρα Ο σημειο τομης μεσοκαθετων και επειδη Ο = Ο = Ο το Ο ειναι το κεντρο του κυκλου που διερ- χεται απ τις κορυφες του τριγωνου. Θ ε ω ρ η μ α ο : Οι διχοτομοι των γωνιων τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο Ι. Το σημειο Ι (εγκεντρο) ειναι το κεντρο κυ- κλου (εγγεγραμμενος) που εφαπτεται εσωτερικα στις πλευρες του τριγωνου. ποδειξη: Φερνουμε τις διχοτομους των γωνιων ˆ και ˆ που τεμ- νονται στο σημειο Ι. ρα Ι διχοτομος ˆ : ΙΘ = ΙΛ ΙΛ = ΙΝ Ι διχοτομος ˆ : ΙΘ = ΙΝ Ι σημειο διχοτομου της. ˆ ρα Ι σημειο τομης διχοτομων και επειδη ΙΘ = ΙΝ = ΙΛ το Ι ειναι το κεντρο του κυκλου που εφαπτεται στις Ζ Λ Θ Ι Ε Ν πλευρες του τριγωνου. 16. Θ ε ω ρ η μ α Το αθροισμα των γωνιων καθε τριγωνου ειναι ορθες. ποδειξη : Ειναι xy / /B, οποτε ˆ ˆ ˆ ˆ = ω ˆ (εντος εναλλαξ) ˆ + ˆ + ˆ = 18 ˆ = φ ˆ (εντος εναλλαξ) ο ω + + φ = 18 (ευθεια γωνια) ο ω φ 17. Π ο ρ ι σ μ α Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ισουται με το αθροισμα των δυο απεναντι εσωτερικων γωνιων του. ποδειξη : ˆ ˆ ˆ ο + + = 18 ˆ + ˆ = ˆ + ˆ + ˆ εξ ˆ + ˆ ο = 18 (ευθεια γωνια) ˆ = ˆ + ˆ εξ εξ εξ

64 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 18. Π ο ρ ι σ μ α ν δυο τριγωνα εχουν δυο γωνιες ισες, μια προς μια, εχουν και τις τριτες γωνιες τους ισες. ποδειξη : Ε στω ˆ = ', ˆ ˆ = ' ˆ ˆ ˆ ˆ ο + + = 18 ' ˆ + ' ˆ + ' ˆ = 18 ο ˆ = ' ˆ ' ˆ + ' ˆ + ' ˆ = ˆ + ˆ + ˆ ˆ = ' ˆ ˆ = ' ˆ 19. Π ο ρ ι σ μ α Οι οξειες γωνιες ενος ορθογωνιου τριγωνου ειναι συμπληρωματικες. ποδειξη : ο ˆ + ˆ + ˆ = 18 ο ˆ = 9 ˆ ˆ ˆ ˆ ο ο ο = 18 + = 9. Π ο ρ ι σ μ α Καθε γωνια ισοπλευρου τριγωνου ειναι 6. ποδειξη : ˆ + ˆ + ˆ = 18 ˆ = ˆ = ˆ ο ˆ ο ˆ ο ˆ ˆ 3 = 18 = 6 (= = ) 1. Θ ε ω ρ η μ α υο οξειες γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθετες ειναι ισες. ποδειξη : Τα τριγωνα Ο και Ο' ειναι ορθογωνια. ο ω + 1 = 9 ο φ + = 9 1 = (εντος εναλλαξ) ο ω = 9-1 ο φ = 9 - ω = φ Ο ω 1 φ Ο

65 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Π ο ρ ι σ μ α υο αμβλειες γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθετες ειναι ισες. ποδειξη : ο x+ω = 18 ο y+φ = 18 ω = φ (θεωρημα) ο x = 18 - ω ο y = 18 - φ x = y Ο ω 1 x φ y 3. Π ο ρ ι σ μ α Μια οξεια και μια αμβλεια γωνια που εχουν τις πλευρες τους καθετες ειναι παραπληρωματικες. ποδειξη : ο x+ω = 18 x+φ = 18 ω = φ (θεωρημα) 4. Π ο ρ ι σ μ α ο Ο ω 1 x φ y Το αθροισμα των γωνιων καθε κυρτου πολυγωνου με ν πλευρες ειναι ν-4 ορθες. ποδειξη : ν = ν 18 - (ω + ω ω ) = ν = 1 ν = ν = (ν - ) 18 = = (ν - ) oρθες ν ν-1 1 ν ν Π ο ρ ι σ μ α Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων καθε κυρτου πο- λυγωνου με ν πλευρες ειναι 4 ορθες. ποδειξη : 1εξ + εξ νεξ = ο ο ο = (18-1) + (18 - ) (18 - ν) = ο ο ο = ν 18 - ( ν) = ν 18 - (ν - ) 18 = = ν 18 ο ο - ν 18 ο + 18 = 36 1 ν ν-1 3 4

66 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 1. Υ π ο λ ο γ ι σ μ ο ς μ ε τ ρ ο υ γ ω ν ι ω ν : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Υπολογισμος μετρου γωνιων. ο σ μ ε ν α : Μετρο γωνιων και παραλληλες ευθειες. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τις ιδιοτητες των γωνιων που σχηματιζονται απο δυο παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο τριτη ευθεια : Οι εντος εναλλαξ γωνιες ειναι ισες. Οι εντος εκτος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι ισες. Οι εντος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι παραπληρωματικες. Εστω οι παραλληλες ευθειες ε, ε και Κ σημειο της ευθειας ε. π'το σημειο Κ φερνουμε 1 τις ημιευθειες Κx, Κy που τεμνουν την ευθεια ε στα σημεια Λ, και Μ και υπο γωνια 65 και 4, αντιστοιχα. Να υπολογιστει η γωνια ΛΚΜ. 1 Ειναι Λ 1 = 65 και Μ 1 = 4 και Λ 1 = Κ 1 (1), ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ε, ε Μ 1 = Κ () που τεμνονται απ'τις Κx, Ky. κομη Κ + ΛΚΜ + Κ 1 = 18 (αθροισμα ευθεια γωνι Λ 1 + ΛΚΜ + Μ 1 = ΛΚΜ + 4 = 18 (1,) α) 1 ΛΚΜ = 75 x y 65 4 ε1 Λ 1 1 M 1 ε Κ. π ο δ ε ι ξ η π α ρ α λ λ η λ ι α ς ε υ θ ε ι ω ν : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη παραλληλιας ευθειων. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ρκει για τις προς αποδειξη ευθειες που τεμνονται απο τριτη, να ισχυει : Οι εντος εναλλαξ γωνιες ειναι ισες. Οι εντος εκτος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι ισες. Οι εντος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι παραπληρωματικες. Οι προς αποδειξη ευθειες να ειναι καθετες στην ιδια ευθεια.

67 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ινεται ισοσκελες τριγωνο ( = ) και σημειο της πλευρας. ν ο κυκλος (, ) τεμνει τη στο Ε, να αποδειξετε οτι Ε παραλληλη. = Ε (ακτινες) οποτε = οποτε ρα = Ε = (εντος εκτος και επιταυτα) = Ε που σημαινει οτι Ε Ε ινεται κυκλος (Ο, ρ) και Μ το μεσο χορδης του. Φερουμε Οx ΟΜ. Να αποδειξετε οτι Οx παραλληλη. Ο x ΟΜ (ΟΜ αποστημα της ) ΟΜ Οx (υποθεση) Οx A M 3. π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς γ ω ν ι ω ν - τ μ η μ α τ ω ν (με βοηθεια εξωτερικης γωνιας τριγωνου) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας γωνιων - τμηματων. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα : Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι ιση με το αθροισμα των δυο απενατι εσωτερικων γωνιων του. Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι παραπληρωματικη της αντιστοιχης εσωτερικης. ινεται ισοσκελες τριγωνο, με =, σημειο στη βαση και σημειο Ε στην πλευρα τετοιο, ωστε ˆ = ˆΕ. Να δειχθει οτι: = Ε. Ειναι = και 1 =. Η ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο οποτε : = = + 1 = + (1) Η Ε ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο Ε οποτε : Ε = + () πο (1),() : Ε = 1 που σημαινει οτι το τριγωνο Ε ειναι ισοσκελες και ισχυει = Ε. 1 1 Ε

68 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Aν η διχοτομος της εξωτερικης γωνιας τριγωνου τεμνει την προεκταση της στο σημειο Κ, να δειξετε οτι : Κ = -. x ειναι εξωτερικη του τριγωνου Κ, οποτε: εξ = Κ + Κx Κ = - Κ = - - Κ = - - Κ Κ = Κ = - 4. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση αθροισματος γωνιων τριγωνου) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Σε τριγωνο με Ειναι Ευρεση γωνιας. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θεωρουμε το τριγωνο, εστω ΚΛΜ, του οποιου γωνια ειναι η ζητουμενη. Ξεκινουμε απ την ισοτητα : η ζητουμενη) = = 3 φερουμε τη διχοτομο. Να δειξετε οτι + = 9 + = = = 9 - = 9 - = 9-15 = 75 Κ + Λ + Μ = 18 (οπου μια απ τις γωνιες ειναι ντικαθιστουμε τις αλλες δυο γωνιες απ τα δοσμενα η ιδιοτητες τους. = πο τυχαιο σημειο της βασης ισοσκελους τριγωνου φερουμε τη Ε. Να αποδειξετε οτι ˆ = Ε ˆ. Ειναι + + = = Ε Ε = 18 = + = Ε = Ε = Ε = Ε Ε

69 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 5. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση αθροισματος γωνιων τετραπλευρου) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση γωνιας. ο σ μ ε ν α : ιχοτομοι τετραπλευρου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θεωρουμε το τριγωνο, εστω ΚΛΜ, του οποιου γωνια ειναι η ζητουμενη. Ξεκινουμε απ την ισοτητα : η ζητουμενη). ντικαθιστουμε τις Θεωρουμε τετραπλευρο με διχοτομων των γωνιων Ισχυουν ˆ και ˆ > ˆ και ονομαζουμε φ την οξεια γωνια των ˆ. Να αποδειξετε οτι φ = ˆ - ˆ = = 18 ΕΖ = + Ειναι, στο τριγωνο ΖΕ φ = 18 - ΕΖ - ΕΖ = = Ημιαθροισμα γωνιων τετραπλευρου = Σε τετραπλευρο ισχυει : (εξωτερικη γωνια του τρ. Ζ) - = - = Κ + Λ + Μ = 18 (οπου μια απ τις γωνιες ειναι στη πιο πανω σχεση με τη βοηθεια της ισοτητας : = Ζ =. φ Ζ Ε 6. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση γωνιων με καθετες πλευρες) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση γωνιας. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τα : υο οξειες (αμβλειες) γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθετες ειναι ισες. Μια οξεια και μια αμβλεια γωνια, που εχουν καθετες τις πλευρες τους, ειναι παραπληρωματικες.

70 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με = 6 φερνουμε το υψος και στο καθετη που τεμνει την στο Ε. Να βρειτε το μετρο της γωνιας Ε. Ειναι + + = = 18 = 3 Ο ι γωνιες και Ε ειναι οξειες και εχουν τις πλευρες τους καθετες ( Ε και Ε). ρα ειναι ισες και = Ε = 3 Ε 7. Ε υ ρ ε σ η α ρ ι θ μ ο υ π λ ε υ ρ ω ν π ο λ υ γ ω ν ο υ : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση αριθμου πλευρων πολυγωνου. ο σ μ ε ν α : θροισμα γωνιων πολυγωνου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε ενα απο τα : Το αθροισμα των γωνιων ενος κυρτου ν - γωνου ειναι ισο με ν - 4 ορθες. Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων ενος κυρτου ν-γωνου ειναι ισο με 4 ορθες. Το αθροισμα των γωνιων κυρτου πολυγωνου ειναι 9 ο. Να βρεθει το πληθος των πλευρων του. Εστω ν το πληθος των πλευρων. ( ν 4) 9 = 9 ν 4 = 1 ν = 14 ν = 7 Να βρεθει το πληθος των πλευρων του κυρτου πολυγωνου που το αθροισμα των γωνιων του ισουται με το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων του. Εστω ν το πληθος των πλευρων. Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων του πολυγωνου ειναι 4 ορθες, οποτε και το α- θροισμα των γωνιων του θα ειναι ισο με 4 ορθες. Ετσι ( ν 4) 9 = 36 ν 4 = 4 ν = 8 ν = 4

71 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ 1. ινεται τριγωνο και η διχοτομος Ε της γωνιας B του τριγωνου. πο το φερνουμε παραλληλη της Ε, που τεμνει τη στο. Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες.. Εστω τριγωνο με < και η διχοτομος της γωνιας. Φερνουμε την καθετη Ζ στην, η προεκταση της οποιας τεμνει την στο Ε. Να δειξετε οτι το τριγ. Ζ ειναι ισοσκελες. 3. ν οι γωνιες ενος τριγωνου ειναι x, x, 3 x τοτε να βρειτε το ειδος του τριγωνου ως προς τις γωνιες του. ινεται τριγωνο με = 9 ο. Να υπολογισετε το αθροισμα εξ + εξ. 4. Εστω Ο η διχοτομος της γωνιας xoy. πο σημειο της Οy φερνουμε παραλληλη στην Ο που τεμνει την προεκταση της Οx στο. Να δειχτει οτι Ο = Ο. 5. π τη κορυφη τριγωνου φερνουμε παραλληλη στη διχοτομο Ο που τεμνει την προεκταση της στο Ε. Να δειχτει οτι : Ε = Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ο ) φερνουμε το υψος Η και τις διχοτομους και Ε των γωνιων Η και να δειξετε οτι: Ε και Ρ = Ρ. αντιστοιχα. ν Ρ το σημειο τομης των και Ε, 7. Σε τριγωνο ισχυει - = 9 ο και η διχοτομος του. ειξτε οτι ο = Σε τριγωνο, = 3 και η μεσοκαθετη της τεμνει την στο. Να δειξετε οτι τα τριγωνα και ειναι ισοσκελη.

72 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ 9. Εστω τριγωνο με = 6 ο και = 5 ο. ν το υψος Η και η διχοτομος τεμνον- ται στο Ε, να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου Ε. 1. Εστω το τυχαιο τριγωνο και διαμεσοι του Μ, Ν. Προεκτεινουμε τη Μ κατα τμημα Μ = Μ και τη Ν κατα ΝΕ = Ν. Να αποδειξετε οτι: Ε Ε, και συνευθειακα 11. Εστω το τριγωνο και το υψος του Ε. Φερνουμε με = (, εκατερωθεν της ). Να δειξετε οτι: Ε διχοτομος της Ε 1. ν, Ε, Ζ ειναι οι διχοτομοι τριγωνου να υπολογισετε το αθροισμα + Ε + Ζ. 13. Θεωρουμε τριγωνο με με Ε =. Υπολογιστε τις γωνιες Ε,,. = +, διχοτομος και Ε σημειο της πλευρας 14. Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ) ειναι =. ν Ι το εγκεντρο του τριγωνου να υπολογιστει η γωνια Ι. 15. ινεται το τριγωνο με = 6 ο, = και μεσο της. Να αποδειχτει οτι: Το τριγωνο ειναι ισοπλευρο. Το τριγωνο ειναι ισοσκελες. = 9 ο. 16. ινεται το τριγωνο με =. Φερουμε το υψος και στη πλευρα παιρνουμε τμημα Ε =. Να δειχτει οτι τα τριγωνα Ε και Ε ειναι ισοσκελη.

73 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ 17. Προεκτεινουμε τη διαμετρο ενος κυκλου (Ο,R) κατα τμημα Μ και απο το Μ φερ- νουμε τεμνουσα Μ του κυκλου, ωστε Μ = R. ποδειξτε οτι η γωνια O ειναι τριπλασια της O Μ. 18. ινεται οξυγωνιο τριγωνο με στο Η. Να δειξετε οτι: = 45 Τα τριγωνα Ε και ΕΗ ειναι ισοσκελη. Η = 19. και τα υψη του και Ε που τεμνονται πο τυχαιο σημειο της βασης ισοσκελους τριγωνου φερνουμε Ε. Να δειξετε οτι:. = Ε. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ο ) το υψος και η διχοτομος Ζ τεμνονται στο Ε. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΕΖ ειναι ισοσκελες. 1. Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ) με υψος, φερνουμε την καθετη ευθεια Ε στη πλευρα που τεμνει την ευθεια στο Ζ. ειξτε οτι τo τρ. Ζ ειναι ισοσκελες.. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ A = 9 ) προεκτεινουμε την κατα τμηματα = (προς το ) και Ε = (προς το ). Να δειξετε οτι: 3. Ε = Ε = 7. ινεται τριγωνο και Ι το εγκεντρο του. π το Ι φερνουμε παραλληλες προς τις πλευρες και που τεμνουν τη πλευρα στα σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα. ποδειξτε οτι : Τα τριγωνα ΙΕ και ΙΖ ειναι ισοσκελη 4. = ΙΕ + ΙΖ + ΕΖ Στο τριγωνο η ειναι η διχοτομος της και η x η διχοτομος της φερνουμε παραλληλη στην που τεμνει την στο Ε και την x στο Ζ. Να δειξετε οτι: Τα τριγωνα Ε και ΕΖ ειναι ισοσκελη Ε = Ε = ΕΖ εξ. π το

74 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ 5. Στο τριγωνο με = ειναι διχοτομος. π το μεσο Μ της φερνω παραλ- ληλη στην που τεμνει τη στο Η. Να δειξετε οτι το Η ειναι υψος του τριγωνου. 6. Εστω τριγωνο με <. Πανω στη πλευρα παιρνουμε σημειο, ωστε =. Να δειχτει οτι: - = 9 + = 7. Εστω οξυγωνιο τριγωνο με μικροτερη πλευρα τη. Στις πλευρες του, παιρνουμε τα σημεια και Ε αντιστοιχα, τετοια ωστε = Ε =. ν Ε, τεμνονται στο Ζ, να δειξετε οτι : ΕΖ = Σε τριγωνο φερνουμε απ τη κορυφη ευθεια x x. Πανω στη x x (εκατερωθεν του ) παιρνουμε τμηματα Μ = Ν =. Να δειξετε οτι Μ Ν. 9. π το μεσο Μ της βασης ισοσκελους τριγωνου φερνουμε παραλληλες στις, που τις τεμνουν στα σημεια, Ε αντιστοιχα. ειξτε οτι η Μ ειναι μεσοκαθετη του Ε. 3. υο κυκλοι με κεντρα Κ, Λ εφαπτονται εξωτερικα στο. ν ευθεια ε εφαπτεται των κυκλων στα, αντιστοιχα, αποδειξτε οτι. 31. ινεται ισοσκελες ( = ) με με > 3. Στην πλευρα παιρνουμε σημειο = 3 και στην πλευρα παιρνουμε τμημα Ε =. Να αποδειξετε οτι: Ε = ν οι διχοτομοι των γωνιων και κυρτου τετραπλευρου τεμνονται στο Ο, να δειχτει οτι: Ο = +.

75 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ 33. Εστω ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ A = 9 ), η ευθεια της διχοτομου της γωνιας εξ τεμνει τις διχοτομους των γωνιων, εξ στα σημεια και Ε αντιστοιχα. Να υπολογιστει η Ε Να δειχτει οτι: Ε = = Σε τετραπλευρο ειναι //, =, = και Να δειξετε οτι η ειναι διχοτομος της γωνιας. Να υπολογισετε σε μοιρες τη γωνια. 35. = 1. ινεται κυκλος διαμετρου και κεντρου Κ. πο το Κ φερνω την ακτινα Κ εστω Μ το μεσο της Κ. πο το Μ φερνω την καθετη στην Κ που τεμνει τον κυκλο στο σημειο. Να δειξετε οτι το τριγωνο Κ ειναι ισοπλευρο. Να δειξετε οτι η ειναι διχοτομος της ΜΚ. Να υπολογισετε σε μοιρες τη γωνια. 36. Στη προεκταση της υποτεινουσας ορθογωνιου τριγωνου και προς το μερος του παιρνουμε τμημα Ε =. Στο φερνουμε ευθεια καθετη στη και πανω σ αυτην και στο ημιεπιπεδο (,) παιρνουμε τμημα =. Να αποδειξετε οτι τα σημεια,, Ε ειναι συνευθειακα. 37. Εστω ισοσκελες τριγωνο ( = ) και οι διχοτομοι του Κ και Λ. ν η διχοτο- μος της Κ τεμνει τη Λ στο και τη στο Η, να δειξετε οτι το τριγωνο Η ειναι ισοσκελες. 38. Σε τριγωνο φερνουμε την διχοτομο της γωνιας και τα υψη Ζ και Θ απ τις κορυφες και που την τεμνουν στα σημεια και Ε. ν Η το σημειο τομης των υψων, να δειξετε οτι το τριγωνο ΕΗ ειναι ισοσκελες. 39. ινεται οξυγωνιο τριγωνο με = και το υψος του Κ. Ο κυκλος κεντρου και ακτινας τεμνει την προεκταση της στο Ε. και

76 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ Να δειχθει οτι: Το τριγωνο Ε ειναι ισοσκελες. Κ = Κ + 4. Εστω ισοσκελες τριγωνο ( = ) και η διαμεσος του Μ. Φερνουμε x προς το ημιεπιπεδο που δεν ανηκει το και παιρνουμε σ αυτην τμημα -. Να δειξετε οτι η ειναι διχοτομος της γωνιας Μ. 41. υο κυκλοι με κεντρα Κ, Λ ειναι εξωτερικοι ο ενας ως προς τον αλλο. Μια κοινη εξω- τερικη και μια κοινη εσωτερικη διχοτομος τους τεμνονται στο σημειο Ρ. ειξτε οτι ΚΡΛ = Εστω ισοσκελες τριγωνο ( = ) και σημειο της προεκτασης της, προς το, ωστε = και =. Υπολογιστε τις γωνιες των ισοσκελων τριγωνων που σχηματιζονται.

77 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ - ΤΡΠΕΖΙ

78 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 1. Ο ρ ι σ μ ο ι Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο : Λεγεται το τετραπλευρο που εχει τις απεναντι πλευρες του παραλληλες. Κ ε ν τ ρ ο Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ : Ειναι το σημειο τομης των διαγωνιων του που ειναι το κεντρο συμμετριας του. α σ ε ι ς Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ : Ειναι οι δυο παραλληλες πλευρες του. Υ ψ ο ς Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ : Ο Ειναι η αποσταση των δυο βασεων του. π ο σ τ α σ η δ υ ο π α ρ α λ λ η λ ω ν ε υ θ ε ι ω ν : Ειναι καθε ευθυγραμμο τμημα με ακρα στις δυο πα- ε1 Κ ραλληλες, που ειναι και καθετο σ αυτες. ε Λ. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ Σε καθε παραλληλογραμμο ισχυουν οι ιδιοτητες : Οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες. Οι απεναντι γωνιες του ειναι ισες. Οι διαγωνιοι του διχοτομουνται. Aποδειξη Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : 1. κοινη = και =. ˆ = ˆ (εντος εναλλαξ) ˆ ˆ = και = 3. = (εντος εναλλαξ) Τα τριγωνα Ο και Ο ειναι ισα γιατι : Ο 1. =. Ο ˆ = Ο ˆ (εντος εναλλαξ) Ο = Ο και Ο = Ο 3. Ο ˆ = Ο(εντος ˆ εναλλαξ) 3. Π ρ ο τ α σ η Τα παραλληλα τμηματα που εχουν τα ακρα τους σε δυο παραλληλες ευθειες ειναι ισα. ποδειξη : ε ζ και επειδη τοτε ειναι πα - ραλληλογραμμο, οποτε =. ε1 ε

79 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 4. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 1 ο Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι απεναν- τι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. Aποδειξη Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : 1. κοινη ˆ = ˆ. = (υποθεση) ˆ = ˆ 3. = (υποθεση), παραλληλογραμμο. 5. Κ ρ ι τ η ρ ι ο ο Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι απεναν- τι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. Aποδειξη Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : 1. κοινη ˆ = ˆ. = (υποθεση) παραλληλογραμμο. 3. ˆ = ( ) ˆ 6. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 3 ο Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. Aποδειξη ˆ + ˆ + ˆ + ˆ = 36 ˆ + ˆ = 36 ˆ + ˆ = 18 Ομοια ˆ + ˆ = 18 ρα ειναι παραλληλογραμμο. 7. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 4 ο Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι διαγω- νιοι του διχοτομουνται. Aποδειξη Τα τριγωνα Ο και Ο ειναι ισα γιατι : 1. = Ο ˆ = Ο ˆ. Ο = Ο (υποθ) Ο ˆ = Ο ˆ 3. Ο = Ο(υποθ) ειναι παραλληλογραμμο. Ο

80 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 8. Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο Ο ρ ι σ μ ο ς ειναι το παραλληλογραμμο που εχει μια ορθη γωνια. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο υ Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου. Ολες οι γωνιες του ειναι ορθες. ποδειξη: Ο Εστω ˆ = 9 Ο ˆ = ˆ (απεναντι στο ) ˆ = 9 Ο ˆ + ˆ = 18 ( διαδοχικες στο ) ˆ = 9 ˆ ˆ ˆ ˆ Ο ˆ Ο = 36 = 9 Οι διαγωνιοι του ειναι ισες. Ο ποδειξη: Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. κοινη = 3. = Ο 9. Κ ρ ι τ η ρ ι α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει: μια γωνια ορθη (ορισμος). τις διαγωνιες του ισες. ποδειξη Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : 1. κοινη 3. = 18 ˆ ˆ. = = = = 9 ορθογωνιο. Ο 1. Ο ρ ι σ μ ο ς Ρ ο μ β ο ς ειναι το παραλληλογραμμο που εχει δυο δι- αδοχικες πλευρες ισες. ν ν Ο

81 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 11. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ρ ο μ β ο υ Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου. Ολες οι πλευρες του ειναι ισες. Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες. ποδειξη: = και =. ηλαδη τα, ανηκουν στη μεσοκαθετη του τμηματος. Ετσι. Οι διαγωνιοι του διχοτομουν τις γωνιες του. ποδειξη: Στα ισοσκελη τριγωνα,,, οι και ειναι υψη, αρα και διχοτομοι. Ο 1. Κ ρ ι τ η ρ ι α Ρ ο μ β ο υ Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν : υο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες (ορισμος). Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες. ποδειξη : Στο τριγωνο η Ο ειναι διαμεσος (οι διαγωνιοι διχοτομουνται) και υψος ( ). ρα το τριγωνο ειναι ισοσκελες με = που σημαινει οτι το τετραπλευρο ειναι ρομβος. Μια διαγωνιος του διχοτομει μια γωνια του. ποδειξη : Στο τριγωνο η Ο ειναι διαμεσος (οι διαγωνιοι διχοτομουνται) και διχοτομος. ρα το τριγωνο ειναι ισοσκελες με = που σημαινει οτι το τετραπλευρο ειναι ρομβος. Ο 13. Τ ε τ ρ α γ ω ν ο Ο ρ ι σ μ ο ς : Ειναι το παραλληλογραμμο που ειναι ορθογωνιο και ρομβος. Ι δ ι ο τ η τ ε ς : Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου, του ορθογωνιου και του ρομβου. Ο

82 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ Κ ρ ι τ η ρ ι α : Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν εχει μια ιδιοτητα (κριτηριο) του ορθογωνιου και μια ιδιοτητα (κριτηριο) του ρομβου. 14. Θ ε ω ρ η μ α Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. ποδειξη: Προεκτεινω την Ε κατα ΕΖ = Ε. Το Ζ ειναι παραλ- ληλογραμμο (διαγωνιοι διχοτομουνται) οποτε Ζ =. ρα και Ζ = ( = ) που σημαινει οτι το Ζ ειναι παραλληλογραμμο. Ετσι Ε και Ε = 1 (αφου Ε = ΕΖ, Ζ = ). Ε Ζ 15. Θ ε ω ρ η μ α ν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια αυτη διερχεται απ το μεσο της τριτης πλευρας του. ποδειξη: Εστω Ε και Ε δεν ειναι μεσο της. ν Ζ ειναι το μεσο της, συμφωνα με το προηγουμενο θεωρημα Ζ. ηλαδη απ το εχουμε δυο παραλληλες προς την, ατοπο. ρα Ε μεσο της. Ε Ζ 16. Θ ε ω ρ η μ α ν τρεις (τουλαχιστον) παραλληλες ευθειες οριζουν σε μια ευθεια ισα τμηματα, θα οριζουν ισα τμηματα και σε καθε αλλη ευθεια που τις τεμνει. ποδειξη: Φερνω Κ Ζ. Τα ΕΗ και ΗΕΖΚ ειναι παραλληλογραμμα και Ε = Η (1), ΕΖ = ΗΚ (). Στο τριγωνο Κ, μεσο της και Η Κ. Οποτε Η μεσο της Η, δηλαδη Η = ΗΚ και απ τις (1), () ειναι Ε = ΕΖ. δ1 δ ε1 ε Η Ε ε3 Κ Ζ

83 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 17. Θ ε ω ρ η μ α Εστω δυο παραλληλες ευθειες ε1, ε και Κ το μεσο της α- ποστασης τους. Καθε σημειο της ευθειας ε (μεσοπαραλληλη) που διερχεται απ το Κ και ε//ε1//ε, ισαπεχει απ τις παραλληλες ε1, ε και αντιστροφως. ποδειξη: Φερνω, οποτε συμφωνα με το προηγουμενο θεωρημα Μ = Μ. ντιστροφα: Μ = Μ (= Κ = Κ) και, τοτε ΚΜ ειναι παραλληλογραμμο και ΜΚ. ρα Μ ανηκει στην ε. ε1 ε Μ Κ ε 18. Θ ε ω ρ η μ α ( α ρ υ κ ε ν τ ρ ο Τ ρ ι γ ω ν ο υ ) Οι διαμεσοι ενος τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο του οποιου η αποσταση απο καθε κορυφη ειναι τα του μηκους της αντιστοιχης διαμεσου. ποδειξη: Εστω τριγωνο με διαμεσους Ε, Ζ που τεμνονται στο Θ. ν Θ τεμνει την στο, θα δειξουμε οτι η τριτη διαμεσος και Θ =. 3 Προεκτεινω την Θ κατα Κ, ωστε Θ = ΘΚ. AK: Θ,Ε μεσα των Κ και : ΘΕ Κ Θ Κ Θ Κ A Κ: Ζ,Θ μεσα των και Κ : ΖΘ Κ ηλαδη ΘΚ ειναι παραλληλογραμμο και οι διαγωνιες του διχοτομουνται. Ετσι μεσο της και διαμεσος. κομη AΘ = ΘΚ AΘ = ΘΚ AΘ = ΘΚ ΘΚ Θ Θ = Θ Θ = Κ Θ = Θ = Θ = ( - Θ) Θ = - Θ 3Θ = Θ =. 3 Ομοια Θ = Ε και Θ = Ζ Ζ Ε Θ Κ

84 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 19. Θ ε ω ρ η μ α ( Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο Τ ρ ι γ ω ν ο υ ) Οι φορεις των υψων ενος τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο (Ορθοκεντρο). ποδειξη: Λ π τις κορυφες,, του τριγωνου φερνουμε πα- ραλληλες προς τις πλευρες του. π τα παραλληλογραμ- μα που σχηματιζονται ευκολα φαινεται οτι τα,, ειναι μεσα των πλευρων του τριγωνου ΚΛΜ που σχηματιστηκε. Κ Η Τα υψη του τριγωνου ειναι καθετα στις πλευρες του, αρα καθετα και στις πλευρες του τριγωνου ΚΛΜ και μα- λιστα στο μεσο τους. ηλαδη ειναι μεσοκαθετες του τριγωνου ΚΛΜ, οποτε δι- Μ ερχονται απ το ιδιο σημειο. Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ι κ η τ ε τ ρ α δ α Οι κορυφες,,, τριγωνου και το ορθοκεντρο του Η Η αποτελουν ορθοκεντρικη τετραδα, δηλαδη καθε ενα απο αυτα τα σημεια ειναι το ορθοκεντρο του τριγωνου, που οριζεται απο τα αλλα τρια σημεια.. Θ ε ω ρ η μ α Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υπο- τεινουσας. ποδειξη: Φερνω τη διαμεσο Μ (Μ = Μ) και Μ (Μ ). Επειδη Μ μεσο της και Μ τοτε μεσο της. ηλαδη Μ διαμεσος και υψος για το τριγωνο Μ. Οποτε τριγωνο Μ ισοσκελες και Μ = Μ. ρα Μ = Μ = Μ και τελικα Μ =. Μ

85 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ 1. Θ ε ω ρ η μ α ν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. ποδειξη: Ειναι Μ = Μ = Μ δηλαδη τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισοσκελη με ˆ = ˆ και ˆ =. ˆ 1 ρα ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + = + = 18 - = 18 = 9. 1 ηλαδη τριγωνο ειναι ορθογωνιο στο. 1 Μ. Θ ε ω ρ η μ α ν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 3, τοτε η απεναντι πλευρα απ τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. ποδειξη: 3 Φερνω τη διαμεσο Μ (Μ = Μ). Ειναι Μ = ˆ ˆ φου = 3 τοτε = 6 και τριγ.μ ισοπλευρο. ˆ ˆ ˆ (αφου Μ = Μ και = = 6 Μ = 6 ). 1 ρα = Μ = 1 Μ 3. Θ ε ω ρ η μ α ν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ τη πλευρα αυτη ισουται με 3. ποδειξη: φου = τοτε = Μ = Μ δηλαδη τρ. Μ ισο - πλευρο, αρα οι γωνιες του ειναι ισες με 6. Ετσι ˆ = 6 ˆ = 3. Μ

86 ΤΡΠΕΖΙ 4. Ο ρ ι σ μ ο ι Τ ρ α π ε ζ ι ο : Ειναι το κυρτο τετραπλευρο που εχει μονο δυο πλευρες παραλληλες. α σ ε ι ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ : Ειναι οι παραλληλες πλευρες του. Υ ψ ο ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ : Ε Ζ Ειναι η αποσταση των βασεων του. ι α μ ε σ ο ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ : Ειναι το ευθ.τμημα που εχει ακρα τα μεσα των μη πα- ραλληλων πλευρων του. 5. Θ ε ω ρ η μ α Η διαμεσος του τραπεζιου ειναι παραλληλη προς τις βα- σεις του και ιση με το ημιαθροισμα τους. ποδειξη : Προεκτεινουμε το Ζ που τεμνει την στο Η. Τα τριγωνα Ζ και ΖΗ ειναι ισα γιατι: 1. BZ = Z (υποθεση). Ζ ˆ = ΖΗ ˆ (εντος εναλλαξ) 3. Ζ ˆ = ΖΗ ˆ (κατακορυφην) Ζ = ΖΗ και = Η Στο τρ. Η Ε, Ζ μεσα των και Η οποτε: ΕΖ Η ΕΖ ( ) ΕΖ = Η + Η + = = Ε Ζ Η 6. Θ ε ω ρ η μ α Το ευθυγραμμο τμημα που συνδεει τα μεσα των διαγω- νιων τραπεζιου βρισκεται πανω στη διαμεσο του τραπεζιου και ισουται με την ημιδιαφορα των βασεων του. ποδειξη : ια τα τριγωνα και, Ε και Ζ μεσα και ΕΖ. ρα τα Κ, Λ μεσα των και αντιστοιχα. Ε Κ Λ Ζ Οποτε ΚΛ ανηκει στην ΕΖ και ΚΛ, (ανηκει στην ΕΖ).

87 ΤΡΠΕΖΙ Ε,Κ,Λ μεσα πλευρων - ΚΛ = ΕΛ - ΕΚ = - = 7. Ι σ ο σ κ ε λ ε ς Τ ρ α π ε ζ ι ο Λεγεται το τραπεζιο που εχει τις μη παραλληλες πλευρες του ισες. = = 8. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ι σ ο σ κ ε λ ο υ ς Τ ρ α π ε ζ ι ο υ ν ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες, τοτε οι γωνιες που προ σκεινται σε μια βαση ειναι ισες. ποδειξη : Φερνουμε τα υψη Η και Κ, οποτε τα τριγ. Η και Κ ειναι ισα γιατι 1. Ορθογωνια. = ( ισοσκελες τραπεζιο) ˆ = ˆ 3. Η = Κ (αποσταση παραλληλων) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ κομη = 18 - = 18 - = Οι διαγωνιοι του ειναι ισες. ποδειξη : Τα τριγ. και ειναι ισα γιατι : 1. κοινη. = ( ισοσκελες τραπεζιο) = 3. = ˆ ˆ Η Κ 9. Κ ρ ι τ η ρ ι α Ι σ ο σ κ ε λ ο υ ς Τ ρ α π ε ζ ι ο υ Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν ισχυει μια τις παρακα- τω. Οι γωνιες που προσκεινται σε μια βαση ειναι ισες. ποδειξη : Τα τριγ. Η και Κ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. ˆ = ˆ (υποθεση) 3. Η = Κ (αποσταση παραλληλων) = δηλαδη ισοσκελες Η Κ

88 ΤΡΠΕΖΙ Οι διαγωνιοι του ειναι ισες. ποδειξη : Τα τριγ. Ορθογωνια Η και Κ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. = (υποθεση) ˆ = ˆ 3. Η = Κ (αποσταση παραλληλων) 1 1 Τα τριγ. Ορθογωνια και ειναι ισα γιατι : 1. κοινη =. = (υποθεση) δηλαδη 3. ˆ = ˆ (προηγουμενη αποδειξη) ισοσκελες Η Κ

89 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 1. π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ο ε ι ν α ι π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων, γωνιων, μεσα τμηματων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου να δειξουμε οτι το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο χρησιμοποιουμε ενα απ τα παρακατω : τον ορισμο του παραλληλογραμμου (οι απεναντι πλευρες του παραλληλες). ενα απ τα κριτηρια : οι απεναντι πλευρες ανα δυο ειναι ισες. οι απεναντι πλευρες ειναι ισες και παραλληλες. οι απεναντι γωνιες ανα δυο ειναι ισες. οι διαγωνιες του διχοτομουνται. Στη περιπτωση που δινονται μεσα τμηματων, εξεταζουμε και το θεωρημα : το τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο στη τριτη πλευρα και ισο με το μισο της τριτης πλευρας. Στις πλευρες του παραλληλογραμμου θεωρουμε τα ισα τμηματα Κ = Λ = Μ = Ν. ειξτε οτι το ΚΛΜΝ ειναι παραλληλογραμμο. Τα τριγωνα ΚΝ και ΜΛ ειναι ισα γιατι : Κ = Μ (υποθεση) Ν = Λ (διαφορα ισων) ΚΝ = ΜΛ (1) = ( παραλληλογραμμο) Ν Κ Λ Τα τριγωνα ΚΛ και ΜΝ ειναι ισα γιατι : Λ = Ν (υποθεση) Κ = Μ (διαφορα ισων) ΚΛ = ΜΝ () = ( παραλληλογραμμο) Μ πο (1), () : ΚΛΜΝ ειναι παραλληλογραμμο. Οι διαμεσοι, Ε τριγωνου τεμνονται στο Θ. ν Ζ, Η ειναι τα μεσα των Θ, Θ αντιστοιχα, να δειχτει οτι το ΕΖΗ ειναι παραλληλογραμμο. Ειναι

90 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ τριγωνο :,Ε μεσα, αρα Ε = τριγωνο Θ : Η,Ζ μεσα, αρα ΗΖ = Ε = ΗΖ που σημαινει οτι ΕΖΗ παραλληλογραμμο. Θ Ζ Ε A Η Σε π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο τα σημεια Ε, Ζ ειναι μεσα των Ο, Ο α ντιστοιχα, οπου Ο το σημειο τομης των δια γ ωνιων του. Να δειξετε οτι το ΕΖ ειναι παραλληλογραμμο. φου ειναι παραλληγραμμο τοτε και διχοτομουνται, δηλαδη Ο = Ο (1) και Ο = Ο (). Ετσι Ε μεσο Ο = Ο ΟΕ + Ε = ΟΖ + Ζ ΟΕ = ΟΖ Ζ μεσο ΟΕ = ΟΖ (3) πο (1) και (3) προκυπτει οτι : το ΕΖ ειναι παραλληλογραμμο. Ε Ο Ζ. Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο μ ε κ ο ρ υ φ ε ς μ ε σ α π λ ε υ ρ ω ν ( διαγωνιων κλπ) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Τετραπλευρο με κορυφες μεσα πλευρων, διαγωνιων κλπ., ειναι παραλληλογραμμο. ο σ μ ε ν α : Μεσα τμηματων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Επιλεγουμε δυο απεναντι πλευρες του ζητουμενου τετραπλευρου. ειχνουμε οτι οι επιλεγμενες πλευρες (που ενωνουν μεσα τμηματων) ανηκουν σε τριγωνα που οι τριτες πλευρες τους ειναι κοινες η ισες και παραλληλες. Χρησιμοποιουμε το θεωρημα : το τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο στη τριτη πλευρα και ισο με το μισο της τριτης πλευρας. Ετσι καταληγουμε οτι οι επιλεγμενες πλευρες ειναι : παραλληλες (παραλληλες στην ιδια η σε παραλληλες ευθειες) ισες (σαν μισα της ιδιας η ισων πλευρων).

91 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ειξτε οτι τα μεσα των διαγωνιων και τα μεσα δυο απεναντι πλευρων κυρτου τετραπλευρου ειναι κορυφες παραλληλογραμμου. Στο τριγωνο : Κ, Μ μεσα των,, αρα ΚΜ = (1) Στο τριγωνο : Ν, Λ μεσα των,, αρα ΝΛ = () πο (1),() : ΚΜ = ΝΛ που σημαινει ΚΝΛΜ παραλληλογραμμο. Κ Μ Λ Ν 3. Η δ ι α γ ω ν ι ο ς π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ τ ρ ι χ ο τ ο μ ε ι τ α ι : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ιαγωνιος παραλληλογραμμου τριχοτομειται απο δυο τμηματα. ο σ μ ε ν α : Μεσα τμηματων (πλευρων). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ν τα τμηματα που τριχοτομουν τη διαγωνιο ειναι παραλληλα (αν δεν δινεται το αποδεικνυουμε) : Εντοπιζουμε δυο τριγωνα για τα οποια εχουμε μεσο πλευρας και τμημα που διερχεται απ το μεσο και ειναι παραλληλο σε αλλη πλευρα του. Χρησιμοποιουμε το θεωρημα : το τμημα που ενωνει το μεσο μιας πλευρας τριγωνου και ειναι παραλληλο προς δευτερη πλευρα, τοτε διερχεται απ το μεσο της τριτης πλευρας. ν τα τμηματα που τριχοτομουν τη διαγωνιο δεν ειναι παραλληλα : Ελεγχουμε αν τα σημεια τομης της διαγωνιου και των τμηματων ειναι σημεια τομης διαμεσων των τριγωνων που χωριζει η αλλη διαμεσος το παραλληλογραμμο. Χρησιμοποιουμε την ιδοτητα του βαρυκεντρου : το τμημα με ακρα τη κορυφη και το βαρυκεντρο ειναι διπλασιο αυτου με ακρα το βαρυκεντρο και το μεσο της πλευρας. ν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων, ενος παραλληλογραμμου, να δειξετε οτι οι ευθειες Ε, Ζ τριχοτομουν την διαγωνιο. Ειναι Ε = Ζ (μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου), αρα Ε Ζ.

92 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ Στο τριγωνο Λ : Ε μεσο της και ΕΚ Λ. ρα Κ μεσο της Λ και Κ = ΚΛ (1) Στο τριγωνο Λ : Ζ μεσο της και Κ ΖΛ. ρα Λ μεσο της Κ και Κ = ΚΛ () πο (1) και () προκυπτει : Κ = ΚΛ = Κ. TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Ε Κ Ζ Λ Aν Ε, Ζ ειναι αντιστοιχως τα μεσα των πλευρων και παραλληλογραμμου, να αποδειξετε οτι οι Ε και Ζ τριχοτομουν τη διαγωνιο. Εστω Ο η τομη των διαγωνιων του παραλληλογραμμου. Στο τριγωνο : Θ το βαρυκεντρο και Θ = Ο = = (1) Στο τριγωνο : Η το βαρυκεντρο και Η = Ο = = () ΘΗ = - Θ - Η = - - = (3) πο (1),(),(3) προκυπτει το ζητουμενο. Θ Ο Η Ζ Ε 4. Τ ρ ι α τ μ η μ α τ α π ο υ σ υ ν τ ρ ε χ ο υ ν (διερχονται απ το ιδιο σημειο) : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη οτι τρια τμηματα συντρεχουν. ο σ μ ε ν α : Παραλληλογραμμο, μεσα τμηματων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ποδεικνυουμε οτι δυο απ τα τρια τμηματα ειναι διαγωνιες παραλληλογραμμου με μεσο (σημειο τομης ) εστω Ο. ποδεικνυουμε οτι ενα απ τα δυο πιο πανω τμηματα και το τριτο τμημα ειναι διαγωνιες παραλληλογραμμου με σημειο τομης το Ο, αφου οι διαγωνιες του παραλληλογραμμου διχοτομουνται. π τα πιο πανω, τα τρια τμηματα διερχονται απ το σημειο Ο. ν Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων και αντιστοιχως, παραλληλογραμμου, να αποδειξετε οτι οι, και ΕΖ συντρεχουν. Το ειναι παραλληλογραμμο, αρα οι διαγωνιες του, διχοτομουνται σημειο Ο.

93 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Το ΕΖ ειναι παραλληλογραμμο (Ε = Ζ, μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου) και η μια διαγωνιος του ειναι η με μεσο το σημειο Ο. ρα και η αλλη διαγωνιος του ΕΖ θα διερχεται απ'το σημειο Ο. Ε Ο Ζ 5. Ι σ ο τ η τ α τ μ η μ α τ ω ν σ ε ο ρ θ ο γ ω ν ι ο τ ρ ι γ ω ν ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας τμηματων. ο σ μ ε ν α : Ορθογωνιο τριγωνο, μεσο υποτεινουσας, γωνια κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με Μ μεσο της ειναι : Μ = Μ = Μ και = Μ. Η διαμεσος Μ χωριζει το ορθογωνιο σε δυο ισοσκελη τριγωνα. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με Μ μεσο της και μια απ τις οξειες γωνιες ισες με 3 (η 15, 6 ) ειναι : Η απεναντι καθετη απ τη γωνια των 3 ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Στη περιπτωση γωνιας 15, φερνουμε το υψος και τη διαμεσο προς την υ- ποτεινουσα, οποτε σχηματιζεται γωνια 3 (με κορυφη Μ) και ορθογωνιο τριγωνο που τη περιεχει και... Στη περιπτωση γωνιας 6, αλλη οξεια γωνια ειναι 3 και... Η διαμεσος Μ χωριζει το ορθογωνιο σε ενα ισοσκελες και ενα ισοπλευρο τριγωνο. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με = 3 και Μ μεσο της υποτεινουσας η μεσοκαθετη της τεμνει την στο. ειξτε οτι Μ = = 3. Τα ορθογωνια τριγωνα Μ και ειναι ισα γιατι : = (Μ μεσοκαθετη) Μ = ( ορθογωνιο, = 3 ) Μ = (1) Στο ορθογωνιο τριγωνο Μ, = 3, οποτε (1) Μ = Μ = - 3Μ = Μ = 3 Μ 3

94 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου. ) με υψος ισχυει = 4. Φερνουμε την διαμεσο Μ. Ειναι γνωστο οτι Μ = Μ = Μ. Ομως = 4 Μ = 4 Μ = που σημαινει 3 Μ για το ορθογωνιο τριγωνο Μ οτι Μ = 3. Στο τριγωνο Μ : 15 Μ = Μ Μ = Μ + 3 = = 15 κομη, = 9 - = 9-15 = π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι ο ρ θ ο γ ω ν ι ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι ορθογωνιο. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων, παραλληλια καθετοτητα τμηματων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ποδεικνυουμε αρχικα οτι το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο. ποδεικνυουμε επιπλεον ενα απ τα δυο : Το τετραπλευρο εχει μια ορθη γωνια. Οι διαγωνιες του τετραπλευρου ειναι ισες. π'τη κορυφη τριγωνου φερνω τις καθετες, Ε προς τις διχοτομους (εσω - τερικη - εξωτερικη) της γωνιας. Να δειχτει οτι το Ε ειναι ορθογωνιο. Ειναι και Ε τοτε Ε Ε Ε και Ε τοτε Ε Κ Ε ειναι παραλληλογραμμο. Ε + εξ = 18, οποτε Ε = 9 (γωνια εσωτερικης - εξωτερικης διχοτομου της ) ρα το Ε ειναι παραλληλογραμμο με μια γωνια ορθη, που σημαινει οτι ειναι ορθογωνιο.

95 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ινεται παραλληλογραμμο με κεντρο Ο και =. ν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των Ο και Ο αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι το ΕΖ ειναι ορθογωνιο. Το Ο ειναι μεσο των, και ΖΕ. Ετσι ΖΕ ειναι παραλληλογραμμο (οι διαγωνιες, ΖΕ διχοτομουνται) = ΖΕ = ΖΕ = ρα, οι διαγωνιοι και ΖΕ του ΕΖ διχοτομουνται και ειναι ισες, που σημαινει Ζ Ο Ε οτι αυτο ειναι ορθογωνιο. 7. π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι ρ ο μ β ο ς : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι ρομβος. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων, παραλληλια καθετοτητα τμηματων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ποδεικνυουμε αρχικα οτι το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο. ποδεικνυουμε επιπλεον ενα απ τα : δυο διαδοχικες πλευρες ειναι ισες. Οι διαγωνιες του τετραπλευρου ειναι καθετες. Η διαγωνιος διχοτομει μια γωνια του τετραπλευρου. ινεται ορθογωνιο τριγωνο ( Â = 9 ο ) με ˆ= 3 ο και, Ε τα μεσα των και αντιστοιχα. Προεκτεινουμε την Ε κατα τμημα Ζ = Ε. Να αποδειξετε οτι το ΕΖ ειναι ρομβος. Στο τριγωνο μεσο Ε = (1) Ε μεσο Η (1) : Ε = ΖΕ = που σημαινει : ΕΖ παραλληλογραμμο (). Στο τριγωνο = 9 = 3 = = Ε (3) πο () και (3) : ΕΖ ειναι ρομβος. 3 Ζ Ε

96 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων, αντιστοιχως ορθογωνιου, Η το σημειο τομης των Ζ, Ε και Θ το σημειο τομης των Ζ, Ε, να αποδειξετε οτι το ΕΘΖΗ ειναι ρομβος. ΕΗ ΘΖ (1), αφου Ε Ζ (ΕΖ παραλληλογραμμο, γιατι Ε = Ζ) Η ΖΗ ΘΕ (), αφου Ζ Ε Ε Ζ (ΕΖ παραλληλογραμμο, γιατι Ε = Ζ) πο (1) και () : ΕΗΖΘ παραλληλογραμμο (3) Θ Τα ορθογωνια ΖΕ και ΕΖ ειναι ισα (ισες πλευρες) οποτε οι διαγωνιες τους θα ειναι ισες. Ετσι : Ε = Ε και ΕΖ ηλαδη το τριγωνο Ε ειναι ισοσκελες και ΕΖ υψος στη βαση του, αρα και διχοτομος της γωνιας του Ε. (4) πο (3), (4) προκυπτει το ζητουμενο. 8. π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι τ ε τ ρ α γ ω ν ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι τετραγωνο. ο σ μ ε ν α : Ισοτητα τμηματων, παραλληλια καθετοτητα τμηματων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : ποδεικνυουμε αρχικα οτι το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο. ποδεικνυουμε επιπλεον : Το τετραπλευρο εχει και μια ιδιοτητα του ορθογωνιου. Το τετραπλευρο εχει και μια ιδιοτητα του ρομβου. Οι διαγωνιες τετραπλευρου ειναι καθετες και ισες. Να δειξετε οτι το τετρα- πλευρο με κορυφες τα μεσα των πλευρων του, ειναι τετραγωνο. Στο τρ. : Κ, Λ μεσα των,, αρα ΚΛ = (1) Στο τρ. : Μ, Ν μεσα των,, αρα ΜΝ = () πο (1),() : ΚΛ = ΜΝ που σημαινει ΚΛΜΝ παραλληλογραμμο (Ι). Κ, Λ μεσα των, : ΚΛ = = ΚΛ = ΜΛ (ΙΙ) Μ, Λ μεσα των, : ΜΛ = Ν Κ Ο Μ Λ

97 ΤΡΠΕΖΙ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Κ, Λ μεσα των, : ΚΛ Μ, Λ μεσα των, : ΜΛ ΚΛ ΜΛ (ΙΙΙ) πο (Ι), (ΙΙ) και (ΙΙΙ) προκυπτει οτι το ΚΛΜΝ ειναι τετραγωνο. 9. Η δ ι α μ ε σ ο ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας. ο σ μ ε ν α : Τραπεζιο, σχεση μεταξυ των βασεων του κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε αμεσα την ιδιοτητα της διαμεσου τραπεζιου : η διαμεσος τραπεζιου ισουται με το ημιαθροισμα των βασεων του. ν το αθροισμα των βασεων τραπεζιου ισουται με μια απ τις μη παραλληλες πλευρες του, τοτε και η διαμεσος του ισουται με το μισο της πλευρας αυτης. ν η μια βαση τραπεζιου ειναι διπλασια της αλλης, τοτε και η διαμεσος του ισουται με το τριπλασιο του τμηματος που ενωνει τα μεσα των διαγωνιων του τραπεζιου. Ευθεια ε περναει απο τη κορυφη και αφηνει το παραλληλογραμμο προς το ιδιο μερος της. ν ', ', ' ειναι οι αποστασεις των,, απ'την ε αντιστοιχα, να δειχτει οτι : ' = ' + '. Η ΟΟ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου '' και ' + ' ΟΟ' = (1) Στο τριγωνο ' (Ο,Ο' μεσα των, '') : ' ΟΟ' = () πο (1) και () : ' ' + ' = ' = ' + ' Ο Ο ινεται τραπεζιο ( ) και Μ μεσο της πλευρας. ν = + να δειξετε οτι οι Μ, Μ ειναι διχοτομοι των γωνιων και αντιστοιχα. + Φερνουμε τη διαμεσο ΜΝ. Ειναι ΜΝ = =

98 ΤΡΠΕΖΙ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Στο τριγωνο Μ, η ΜΝ ειναι διαμεσος στην πλευρα και ισχυει ΜΝ =. ρα τα τριγωνα ΜΝ και ΝΜ ειναι ισοσκελη με : ΝΜ = ΜΝ (1) και ΝΜ = ΝΜ () ΝΜ οποτε Ν Μ Μ = ΜΝ (3) και Μ = ΝΜ (4) πο (1), (3) : ΝΜ = Μ Μ διχοτομος της. πο (), (4) : ΝΜ = Μ Μ διχοτομος της. Σε τραπεζιο η βαση ειναι διπλασια της βασης. ειξτε οτι οι διαγωνιες, τριχοτομουν τη διαμεσο ΜΝ. Η ΜΝ ειναι παραλληλη στις βασεις και τεμνει τις, στα σημεια Ε, Ζ αντιστοιχα. Ετσι : Μ μεσο Ε μεσο της και ΜΕ = (1) ΜΕ : Ν μεσο Ζ μεσο της και ΖΝ = () ΖΝ φου Ε, Ζ μεσα των διαγωνιων, τοτε : - - ΕΖ = ΕΖ = ΕΖ = (3) π'τις (1),(),(3) προκυπτει το ζητουμενο. Μ Ε Ζ Ν 1. Ι σ ο σ κ ε λ ε ς τ ρ α π ε ζ ι ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη ισοτητας η αποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι ισοσκελες τραπεζιο. ο σ μ ε ν α : Τραπεζιο, σχεση μεταξυ των βασεων του κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε αμεσα τις επιπλεον ιδιοτητες του ισοσκελους τραπεζιου : Οι μη παραλληλες πλευρες του ειναι ισες. Οι διαγωνιες του ειναι ισες. Οι γωνιες μιας απο τις δυο βασεις ειναι ισες, ενω οι γωνιες μιας απο τις μη παραλληλες πλευρες ειναι παραπληρωματικες. Προκειμενου να δειξουμε οτι ενα τετραπλευρο ειναι ισοσκελες τραπεζιο : ρχικα δειχνουμε οτι ειναι τραπεζιο. ειχνουμε οτι ισχυει μια απ τις πιο πανω ιδιοτητες.

99 ΤΡΠΕΖΙ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ινεται ισοσκελες τραπεζιο ( ) με = = και =. Να βρεθουν οι γωνιες του τραπεζιου. Τριγ. ισοσκελες : = : = Στο τριγωνο ( = ) : = 1 = 1 = (= ) 3 = 1+ = + = =. Ετσι = 18 + = 18 5 = 36 = 7 = και = 18 - = 18-7 = 18 = ινεται παραλληλογραμμο και το συμμετρικο Ε του σημειου ως προς τη διαγωνιο. Να αποδειχθει οτι το Ε ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Φερνω τις διαγωνιες του που τεμνονται στο Ο και το συμμετρικο Ε του ως προς τη. Στο τριγωνο Ε : Μ, Ο τα μεσα των πλευρων Ε και αντιστοιχα. ρα ΜΟ Ε που σημαινει : Ε τραπεζιο. Ο Μ μεσοκαθετη της Ε, οποτε Μ = Ε = = Ε =. ρα Ε το τραπεζιο Ε ειναι ισοσκελες αφου Ε =.

100 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 1. Ευθεια ε περνα απ'το μεσο Μ ευθυγραμμου τμηματος. ν ε, Ζ ε να δειχτει οτι : = Ζ Ζ παραλληλογραμμο. Σε τετραγωνο, Ε και Ζ σημεια της διαγωνιου τετοια ωστε Ε = Ζ. Να αποδειχτει οτι το τετραπλευρο ΕΖ ειναι ρομβος. 3. ινεται παραλληλογραμμο, το μεσο Μ της και το σημειο τομης Ε των Μ και. Να αποδειξετε οτι: Ε = ΕΜ Ε = Ε Η ευθεια Ε διερχεται απ το μεσο της. 4. Στις πλευρες,, και τετραγωνου θεωρουμε αντιστοιχως τα σημεια Κ, Λ, Μ και Ν ωστε Κ = Λ = Μ = Ν. Να αποδειξετε οτι το ΚΛΜΝ ειναι τετραγωνο. 5. Εστω παραλληλογραμμο με = και Μ το μεσο της. Φερουμε την Μ και την προεκτεινουμε κατα τμημα ΜΕ = Μ. Να αποδειξετε οτι: Μ τα σημεια, και Ε ειναι συνευθειακα το ειναι μεσο της Ε το τετραπλευρο Ε ειναι ρομβος 6. Εστω ενα παραλληλογραμμο και το μεσο Μ της πλευρας του. ν Ρ το κοινο σημειο των ευθειων Ε και, να αποδειξετε οτι Ρ =. 7. Σε παραλληλογραμμο προεκτεινουμε την πλευρα κατα τμημα Ε =. ν η Ε τεμνει την στο σημειο Ζ και τη στο σημειο Η, να αποδειξετε οτι: Το τετραπλευρο Ε ειναι παραλληλογραμμο. Η = Η Η Ζ περναει απο το μεσο της.

101 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 8. πο την κορυφη ενος παραλληλογραμμου φερνουμε παραλληλη προς την διαγωνιο, που τεμνει τη στο Ε και την στο Ζ. Να αποδειξετε οτι Ε = Ζ. 9. Σε τετραπλευρο φερνουμε την Ε παραλληλη και ιση της. ν Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων του να δειξετε οτι: Ε Ε, και συνευθειακα 1. Εστω το τριγωνο και το υψος του Ε. Φερνουμε με = (, εκατερωθεν της ). Να δειξετε οτι: ΚΛ Ε 11. ΚΛ = Ε Εστω το τριγωνο και τα υψη του και Ε. ν Μ ειναι το μεσο της, να δειξετε οτι το τριγωνο ΜΕ ειναι ισοσκελες. 1. Εστω τριγωνο και η διχοτομος του. πο το φερνουμε παραλληλη προς την που τεμνει την στο Ε και απο το Ε παραλληλη προς τη που τεμνει την στο Ζ. Να αποδειξετε οτι Ε = Ζ. 13. Εστω παραλληλογραμμο και στις πλευρες του,,, τα σημεια Ε, Ζ, Η, Θ αντιστοιχα ετσι ωστε Θ = Ζ και Ε = Η. Να αποδειξετε οτι Το ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο. Το σημειο τομης των διαγωνιων του ΕΖΗΘ συμπιπτει με το σημειο τομης των δια- γωνιων του. 14. Σε παραλληλογραμμο ειναι =.Πανω στην ευθεια παιρνουμε τα σημεια Ε, Ζ ετσι ωστε μεταξυ και Ε και Ε = και μεταξυ και Ζ και Ζ =. Να αποδειξετε οτι Ζ καθετη στη Ε. 15. Εστω τριγωνο ορθογωνιο στο και τα μεσα, Ε, Ζ των πλευρων,, αντιστοιχα. Φερνουμε τα καθετα προς την ΕΖ τμηματα Κ και Λ. Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΚΛ ειναι παραλληλογραμμο.

102 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 16. Να αποδειξετε οτι η ευθεια που συνδεει τα μεσα δυο απεναντι πλευρων παραλληλο- γραμμου ειναι παραλληλη προς τις αλλες δυο πλευρες και διερχεται απο το σημειο το- μης των διαγωνιων του. 17. Σε παραλληλογραμμο, =, Μ, Ν τα μεσα των, αντιστοιχα και το τμημα Ε. Να δειξετε οτι: Το τετραπλευρο ΜΝ ειναι ρομβος. 18. Το τριγωνο ΜΕΝ ειναι ισοσκελες. ινεται τετραγωνο και Μ το μεσο της. ν η τεμνει τη προεκταση της Ζ στο Κ, να δειχτει οτι 19. Κ = 135. ινεται παραλληλογραμμο με =. Η διχοτομος της τεμνει την πλευρα στο Ε. Να αποδειξετε οτι τα μεσα Κ, Λ, Μ και Ν των τμηματων,, Ε και Ε ειναι κορυφες ρομβου.. Aπο τυχαιο σημειο Μ της βασης ισοσκελους τριγωνου φερνουμε παραλληλες προς τις ισες πλευρες που τις τεμνουν στα σημεια και Ε. Να δειξετε οτι: Μ + ΜΕ =. 1. Στις προεκτασεις των διαμεσων, Ε τριγωνου παιρνουμε σημεια Η και Ζ αντιστοιχα, ωστε Η = και ΖΕ = Ε. Να δειξετε οτι: Η = Ζ τα σημεια Ζ, και Η ειναι συνευθειακα.. Εστω παραλληλογραμμο και απο σημειο Ρ της πλευρας ευθεια ε παραλληλη προς την διαγωνιο που τεμνει τις ευθειες,, αντιστοιχα στα σημεια Κ, Λ, Μ. Να αποδειξετε οτι ΡΚ = ΛΜ. 3. Σε παραλληλογραμμο τα σημεια Ε, Η ειναι οι προβολες των κορυφων και στην διαγωνιο. Να δειξετε οτι: Τα τριγωνα Ε και Η ειναι ισα. Το τετραπλευρο ΕΗ ειναι παραλληλογραμμο.

103 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 4. Σε παραλληλογραμμο τα σημεια Μ, Ν ειναι τα μεσα των πλευρων, αντι- στοιχα. ν τα Ν και Μ τεμνονται στο Ρ και τα Μ και Ν τεμνονται στο Σ, να δει- ξετε οτι το ΜΡΝΣ ειναι παραλληλογραμμο. 5. ινεται ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ) με = 3 και τα σημεια, Ε μεσα των πλευρων, αντιστοιχα. Προεκτεινουμε την Ε κατα τμημα Ζ = Ε. ειξτε οτι το τετραπλευρο ΕΖ ειναι ρομβος. 6. ινεται παραλληλογραμμο και τα σημεια Ε,Θ,Ζ και Η των πλευρων του,, και αντιστοιχα, ωστε το ΕΘΖΗ να ειναι παραλληλογραμμο. Να αποδειξετε οτι : Ε = Ζ Η = Θ τα, ΕΘΖΗ εχουν το ιδιο κεντρο. 7. Εστω ορθογωνιο τριγωνο και Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων του,, αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι : το ΚΛΜ ειναι ορθογωνιο η περιμετρος του ορθογωνιου τριγωνου ειναι ιση με την περιμετρο του ορθο- 8. γωνιου ΚΛΜ αυξημενη κατα το αθροισμα των διαγωνιων Λ και ΚΜ. Προεκτεινουμε τις πλευρες, παραλληλογραμμου κατα τμηματα Ε = και Ζ = αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι τα σημεια Ζ, και Ε ειναι συνευθειακα. 9. Προεκτεινουμε τις πλευρες, παραλληλογραμμου κατα τμηματα Ε = και Ζ = αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι τα σημεια Ζ, και Ε ειναι συνευθειακα. 3. ινεται τριγωνο, ορθογωνιο στο. ν το υψος του, Ε και Ζ τα μεσα των πλευρων του, αντιστοιχα, Μ το μεσο του ΕΖ, να αποδειξετε οτι: ΕΖ = 9 Μ = Θεωρουμε τριγωνο με <, το υψος του και το μεσο Μ της πλευρας. ν Ρ ειναι το σημειο τομης των Μ και να αποδειξετε οτι ΡΜ = -.

104 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 3. Θεωρουμε τριγωνο, ορθογωνιο στο με = 4. Ισχυει το αντιστροφο; = 75. Να αποδειξετε οτι το υψος 33. Προεκτεινουμε τη πλευρα παραλληλογραμμου κατα τμημα Ε = και στην ημιευθεια παιρνουμε σημειο Ζ, ωστε Ζ =. Να δειχθει οτι 34. ΖΕ = 9. Εστω παραλληλογραμμο με =. ν Ο το κεντρο του και Ε, Ζ τα μεσα των Ο και Ο αντιστοιχα, να δειξετε οτι το ΕΖ ειναι ορθογωνιο. 35. ινεται τριγωνο και τυχαιο σημειο της. Φερνουμε Ζ και Ε. ν Η και Θ τα μεσα των και αντιστοιχα, δειξτε οτι: ΖΗ + ΕΘ = 36. ινεται τριγωνο με = 3. Τα σημεια και Ε βρισκονται στην πλευρα ετσι, ωστε = Ε = Ε. ν Μ ειναι το μεσο του, να αποδειξετε οτι 37. ΜΕ = 9. Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ = 9 ) και η διχοτομος της γωνιας. π το φερνουμε Ε που τεμνει την στο Ζ. Να δειξετε οτι το τριγωνο Ζ ειναι ισοσκελες. 38. Θεωρουμε Μ το μεσο της διχοτομου τριγωνου. π το φερνουμε παραλληλη στην που τεμνει την στο σημειο Ε. ν η ΕΜ τεμνει τη στο σημειο Ζ, δειξτε οτι το ΕΖ ειναι ρομβος. 39. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ = 9 ) με, Ε τα μεσα των, αντιστοιχα, προ- εκτεινουμε την Ε κατα το τμημα Ζ = Ε. Να αποδειξετε οτι το ΕΖ ειναι ρομβος..

105 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 4. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ = 9 και αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι 41. ) με υψος Η και μεσα Μ, Ν των πλευρων ΜΗΝ = 9. Εστω παραλληλογραμμο και το κεντρο του Ο. Μια ευθεια ε που διερχεται απ το σημειο Ο τεμνει την στο Ε και την στο Ζ. Να δειξετε οτι το Ο ειναι το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος ΕΖ. 4. Εστω παραλληλογραμμο και το κεντρο του Ο. Μια ευθεια ε που διερχεται απ το σημειο Ο τεμνει την στο Ε και την στο Η. Μια αλλη ευθεια ζ που διερχεται επι- σης απ το Ο τεμνει τη στο Ζ και τη στο Θ. Να δειξετε οτι το ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο. 43. Σε ρομβο με κεντρο Ο παιρνουμε τα σημεια Ε και Ζ της τετοια ωστε ΟΕ = ΟΖ = Ο = Ο. Να αποδειξετε οτι το ΕΖ ειναι τετραγωνο. 44. ινεται ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ = 9 ) με = 15. Φερνουμε το υψος και τη δι- αμεσο Μ που αντιστοιχουν στην υποτεινουσα. π το φερνουμε καθετη Ε προς την Μ. ειξτε οτι = 8Ε. 45. ινεται τριγωνο και τα υψη, Ε, που τεμνονται στο Η. ν Μ, Ν ειναι τα μεσα των και Η, να αποδειχθει οτι Ε ΜΝ. 46. Θεωρουμε παραλληλoγραμμο και στις πλευρeς του και τa σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα, ωστε Ε = 1/3 και Ζ = 1/3. ν η ευθεια ΕΖ τεμνει την στο Ρ να αποδειξετε οτι : Ρ = Η ευθεια Ε διερχεται απ το μεσο του τμηματος Ρ. 47. ν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων, παραλληλογραμμου αντιστοιχα και η ΕΖ τεμνει την στο Η, δειξτε οτι : 4Η =.

106 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 48. Προεκτεινουμε τη πλευρα παραλληλογραμμου κατα τμημα Ε =. ν Ε τεμνει την στο Η και τη στο Ζ, να δειξετε οτι: Ζ = Ζ Η = Η 49. Σε τετραπλευρο οι απεναντι γωνιες του και ειναι παραπληρωματικες. Οι πλευρες του και τεμνονται στο σημειο Ε, ενω οι και τεμνονται στο σημειο Ζ. Να αποδειξετε οτι τα σημεια τομης των διχοτομων των γωνιων Ε και Ζ με τις πλευ- ρες του ειναι κορυφες ρομβου. 5. Σε ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ = 9 ) με = 3 η καθετη στο μεσο Μ της υποτεινουσας τεμνει την πλευρα στο. Να δειξετε οτι: Μ = = 3Μ 51. Εστω τριγωνο και Μ το μεσο της. Στη προεκταση της προς το παιρνου- με τμημα = και στην προεκταση της Μ προς το Μ τμημα ΜΕ = Μ. Να δειξετε οτι: το ειναι το βαρυκεντρο του τριγωνου Ε. οι πλευρες του τριγωνου Ε ειναι διπλασιες των διαμεσων Μ, Ν, Ρ του τριγω- 5. νου. Σε τετραπλευρο οι απεναντι γωνιες του και ειναι παραπληρωματικες. Οι πλευρες του και τεμνονται στο σημειο Ε, ενω οι και τεμνονται στο ση- μειο Ζ. Να αποδειξετε οτι τα σημεια τομης των διχοτομων των γωνιων Ε και Ζ με τις πλευρες του ειναι κορυφες ρομβου. 53. Με υποτεινουσες τις απεναντι πλευρες, τετραγωνου κατασκευαζουμε προς το εξωτερικο μερος του τετραγωνου τα ορθογωνια τριγωνα Κ, Μ ωστε οι πλευρες τους Κ και Μ να ειναι παραλληλες. Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο που σχηματιζεται αν προεκταθουν οι καθετες πλευρες των τριγωνων αυτων ειναι τετραγωνο.

107 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ - ΤΡΠΕΖΙ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 54. Σε τετραγωνο εστω Μ το μεσο της πλευρας του. ν η Μ τεμνει τη στο σημειο Κ, δειξτε οτι Κ = ν Ε μεσο της, δειξτε οτι ΜΕ και = ΜΕ ινεται παραλληλογραμμο και το συμμετρικο Ε του ως προς τη διαγωνιο. Να δειχθει οτι το Ε ειναι ισοσκελες τραπεζιο. 56. ινεται τραπεζιο με = = 9, >, = 4 και = 6. Φερνουμε την Η και θεωρουμε τα μεσα Ε, Ζ των πλευρων του, αντιστοιχα. Να δειξετε οτι: Η = ΕΖ. Το ΕΗΖ ειναι παραλληλογραμμο. 57. ν Ο ειναι το σημειο τομης των διαγωνιων ισοσκελους τραπεζιου ( ) και Ε, Ζ, Η, Θ τα μεσα των Ο, Ο, Ο, Ο αντιστοιχα, να δειξετε οτι το ΕΖΗΘ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. 58. Εστω παραλληλογραμμο και το υψος του. ν Κ, Λ ειναι τα μεσα των, αντιστοιχα, να δειξετε οτι το ΚΛΕ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. 59. ινεται σκαλινο τριγωνο. Προεκτεινουμε τις πλευρες και, προς το μερος του, κατα τμηματα Κ = και Λ = αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι Το τετραπλευρο ΚΛ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Η παραλληλη προς τις βασεις του απο το ειναι διχοτομος της γωνιας του τριγωνου. 6. Σε ενα τραπεζιο (//) ειναι = =. Να αποδειξετε οτι η διαγωνιος διχοτομει την γωνια.

108 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ - ΤΡΠΕΖΙ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 61. Σε τριγωνο ( < ) ειναι Η υψος και Μ διαμεσος. Προεκτεινουμε την Μ κατα τμημα Μ = Μ και την Η κατα τμημα ΗΕ = Η. ν οι, Ε τεμνονται στο σημειο Κ, να δειξετε οτι: Τα τριγωνα Ε, Κ, ΚΕ ειναι ισοσκελη. Ε Ε ισοσκελες τραπεζιο. 6. Σε ενα τραπεζιο (//) ειναι = 3 και τα σημεια Ε, Ζ, και Η ειναι τα μεσα των, Ε, αντιστοιχα. Να δειξετε οτι: Το ΖΗ ειναι παραλληλογραμμο. Θ =, οπου θ το σημειο τομης των Ζ και. 63. Σε τραπεζιο με = = 9 τα Ε, Ζ ειναι τα μεσα των, αντιστοιχα και = =. ειξτε οτι: το Ε ειναι ορθογωνιο. το Ε ειναι παραλληλογραμμο. = 6. Ζ. το ΖΕ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. 64. Σε τριγωνο ( = 9 ) = 3. Εστω, Ε, Ζ, Ι τα μεσα των,,, αντιστοιχα. Προεκτεινουμε την ΕΖ κατα τμημα ΖΗ = ΕΖ. ειξτε οτι: το ΕΗ ειναι ορθογωνιο. το ΕΖ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Η, Ε διχοτομουνται. το ΕΖΙ ειναι ρομβος. 65. Σε ενα τραπεζιο (//) Μ ειναι το συμμετρικο του ως προς την. ν Ο ειναι το σημειο τομης των Μ και, να δειξετε οτι το τριγωνο Ο ειναι ισοσκελες.

109 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ - ΤΡΠΕΖΙ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 66. Σε ενα τραπεζιο ( ) με = 3, τα Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων του και αντιστοιχα. ειξτε οτι το ΚΛ ειναι παραλληλογραμμο. Ποτε αυτο ειναι ορθογωνιο; 67. Σε ισοσκελες τραπεζιο ( ) με = α και = 3α τα Μ, Ν ειναι τα μεσα των διαγωνιων του και αντιστοιχα. ειξτε οτι: ΜΝ = α 68. το ΜΝ ειναι ορθογωνιο Εστω παραλληλογραμμο ( < ) με = 45. π το μεσο Μ της φερνουμε καθετη στη που τεμνει την στο Ε και τη στο Ζ. ειξτε οτι: το ΕΖ ειναι τετραγωνο. το ΕΖ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. 69. ινεται τραπεζιο ( ) με = = 9, = και = 3. Φερνουμε Ε που τεμνειτην στο Κ και την Ε που τεμνει την στο Λ. ειξτε οτι: 7. = 45 = Ε 4ΚΛ = Σε ορθογωνιο κεντρου Ο φερνουμε AE B, Ζ. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΟΕΖ ειναι ισοσκελες και το τετραπλευρο ΕΖ ειναι ισοσκε- λες τραπεζιο. 71. Σε τραπεζιο με = = 9 με = 6, τα Ε, Ζ ειναι μεσα των, αντιστοιχα και = 8α, = α (α γνωστο τμημα). Να βρεθει η. Να δειχτει οτι ΕΖ = 4 α. Να δειχτει οτι η μικροτερη αποσταση του απ την Ε ειναι το Ε. 7. Σε ισοσκελες τραπεζιο ( ) απ το μεσο της πλευρας φερνουμε παραλ- ληλη προς την που τεμνει την ευθεια στο Ζ. Να δειχτει οτι το τριγωνο Ζ ει- ναι ορθογωνιο στο Ζ.

110 ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜ - ΤΡΠΕΖΙ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 73. Σε ισοσκελες τραπεζιο (, < ) ΕΖ ειναι η διαμεσος και Η. Να δειχτει οτι: το τετραπλευρο ΕΖΗ ειναι παραλληλογραμμο. Η = - > Σε τραπεζιο (, < ) οι ευθειες των πλευρων και τεμνονται καθετα στο σημειο Ο. ν Κ, Λ ειναι τα μεσα των βασεων, αντιστοιχα, να δειχτει: Τα σημεια Ο, Κ και Λ ειναι συνευθειακα. - ΚΛ = ν Μ, Ν ειναι τα μεσα των διαγωνιων, αντιστοιχα, τοτε το τετραπλευρο ΚΜΛΝ ειναι ορθογωνιο. 75. Σε τετραπλευρο ειναι: = ω, = ω, = 3ω, = 4ω, οπου ω γνωστη γωνια. ειξτε οτι το τετραπλευρο ειναι τραπεζιο.

111 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ

112 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ 1. Ε π ι κ ε ν τ ρ η ω ν ι α Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι στο κεντρο του κυκλου. Το μετρο της ειναι ισο με το μετρο του τοξου, στο οποιο βαινει. Ο. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν η ω ν ι α Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι σημειο του κυ- κλου και οι πλευρες της τεμνουσες του κυκλου. Μ Το μετρο της ειναι ισο με το μισο του μετρου του τοξου, στο οποιο βαινει (η το μισο της αντιστοιχης επικεντρης γωνιας). 3. ω ν ι α Χ ο ρ δ η ς κ α ι Ε φ α π τ ο μ ε ν η ς Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι σημειο του κυκλου, η μια της πλευρα ειναι χορδη και η αλλη εφαπτο- μενη του κυκλου (στη κορυφη της γωνιας). 4. ω ν ι α υ o Τ ε μ ν ο υ σ ω ν x Λεγεται η γωνια που η κορυφη της βρισκεται στο εσωτερικο η στο εξωτερικο κυκλου και οι πλευρες της ειναι τε- μνουσες του κυκλου. 5. Θ ε ω ρ η μ α Καθε εγγεγραμμενη γωνια ισουται με το μισο της επι- κεντρης που βαινει στο αντιστοιχο τοξο. ποδειξη : Τα τριγωνα ΟΜ και ΟΜ ειναι ισοσκελη Μ (Ο = Ο = ΟΜ = ρ). Eτσι ΟΜ ˆ = ˆ και ΟΜ ˆ =. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (+) ΟΝ = ΟΜ + ΟΝ = ΟΜ ΟΝ ˆ = ΟΜ ˆ + ˆ ΟΝ ˆ = ΟΜ ˆ ΟΝ ˆ + ΟΝ ˆ = (ΟΜ ˆ + ΟΜ) ˆ Ο ˆ = Μ. ˆ Ο Ν

113 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ 6. Π ο ρ ι σ μ α Το μετρο μιας εγγεγραμμενης γωνιας ισουται με το μι- σο του μετρου του αντιστοιχου τοξου της. ποδειξη : Ειναι : Ο Μ = (Ο = ) Μ = Καθε εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε ημικυκλιο ειναι ορθη. Aποδειξη Ειναι : Ο 18 Μ = = = 9 Μ Ο Μ Ο Οι εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο ιδιο η σε ι- σα τοξα του ιδιου η ισων κυκλων ειναι ισες και αντι- στροφα. Ε Aποδειξη Ειναι : =, =, Ε =... ρα = = Ε υο εγγεγραμμενες γωνιες που η μια βαινει στο κυρ- τογωνιο και η αλλη στο μη κυρτογωνιο τοξο που ορι- Μ ζουν δυο σημεια κυκλου ειναι παραπληρωματικες. Aποδειξη ω Ν ˆω= (+) Ν Μ Ν + Μ ω ˆ + φ ˆ = + ω ˆ + φ ˆ = Μ ˆφ= 36 (Ν + Μ = 36 ) ω ˆ + φ ˆ = ω ˆ + φ ˆ = 18 φ Ν 7. Σ χ ο λ ι ο Τα τοξα που περιεχονται μεταξυ παραλληλων χορδων ειναι ισα και αντιστροφα. Aποδειξη Ειναι ˆ ˆ = (εντος εναλλαξ) = =.

114 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ 8. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν η ω ν ι α Η γωνια που σχηματιζεται απο μια χορδη κυκλου και την εφαπτομενη στο ακρο της χορδης ισουται με την εγ- γεγραμμενη γωνια που βαινει στο τοξο της χορδης. Aποδειξη Ο ˆ ω ˆ = ω ˆ = Ο ˆ (Ο αποστημα) ω ˆ = φˆ ˆφ = Ο ˆ (οξειες με πλευρες καθετες) Μ φ ω Ο 9. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ο Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο : Λεγεται το τετραπλευρο που οι κορυφες του ειναι σημει- Εγγεγραμμενο α του ιδιου κυκλου. (Ο κυκλος ειναι σχεδιασμενος). Ε γ γ ρ α ψ ι μ ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο : Λεγεται το τετραπλευρο για το οποιο υπαρχει κυκλος που να διερχεται απο τις κορυφες του. Εγγγραψιμο (Ο κυκλος δεν ειναι σχεδιασμενος). 1. Θ ε ω ρ η μ α Οι απεναντι γωνιες ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου σε κυκλο (Ο,R) ειναι παραπληρωματικες. Aποδειξη ˆω= ˆφ= (+) ω + ω ˆ + φ ˆ = + ω ˆ + φ ˆ = 36 ( + = 36 ) ω ˆ + φ ˆ = ω ˆ + φ ˆ = 18 Οποτε φ + = 18 αρα και + = = 18

115 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ 11. Θ ε ω ρ η μ α Καθε πλευρα ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου, φαινεται απ τις απεναντι κορυφες απο ισες γωνιες. Aποδειξη Ειναι = = = ω ω 1. Π ο ρ ι σ μ α Καθε γωνια ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου, ισουται με την απεναντι εξωτερικη γωνια του. Aποδειξη Ειναι εξ + = 18 (παραπληρωματικες) ˆ + = 18 ( εγγεγραμμενο) ˆ = εξ ω ω 13. Θ ε ω ρ η μ α ν σε ενα τετραπλευρο δυο απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο. Aποδειξη Φερνουμε τον κυκλο που περναει απ τα,,. ω Καθε εγγεγραμμενη με κορυφη στο τοξο ειναι πα- ραπληρωματικη της ˆ (εγγεγραμμενης στο τοξο ). Μια τετοια ειναι η ˆ που εχει την κορυφη της στο τοξο φ. ρα,,, ομοκυκλικα. 14. Θ ε ω ρ η μ α ν σε ενα τετραπλευρο μια πλευρα του φαινεται απο τις απεναντι κορυφες απο ισες γωνιες τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο. Aποδειξη

116 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων που η χορδη φαι- νεται απο γωνια φ ειναι δυο συμμετρικα ως προς τη χορ- δη τοξα. Ομως τα, βρισκονται προς το ιδιο μερος της, αρα στο ιδιο τοξο του κυκλου που χορδη του ειναι η. ηλαδη,,, ομοκυκλικα. ω ω 15. Θ ε ω ρ η μ α ν σε τετραπλευρο μια γωνια του ισουται με την απε- ναντι εξωτερικη γωνια τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο. Aποδειξη Ειναι + = 18 εξ ˆ = εξ ˆ + = 18 εγγραψιμο. ω ω

117 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 1. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ε π ι κ ε ν τ ρ ε ς γ ω ν ι ε ς : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση σχεσης μεταξυ των γωνιων κυκλου. ο σ μ ε ν α : Εγγεγραμμενες επικεντρες υπο χορδης και εφαπτομενης γωνιες. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Το μετρο της επικεντρης γωνιας ειναι ισο με το μετρο του τοξου, στο οποιο βαινει. Το μετρο της εγγεγραμμενης γωνιας ειναι ισο με το μισο του μετρου του τοξου, στο οποιο βαινει (ιση με το μισο του μετρου της αντιστοιχης επικεντρης). Οι εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο ιδιο η σε ισα τοξα του ιδιου η ισων κυκλων ειναι ισες. Η υπο χορδης και εφαπτομενης γωνια ειναι ιση με την εγγεγραμμενη γωνια που βαινει στο τοξο της χορδης. ινεται τετραπλευρο εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). Να αποδειξετε οτι : + = +Ο = 9 = (1) + + = + = = + = Τ ο τριγωνο Ο ειναι ισοσκελες (Ο = Ο = ρ) με Ο = Ο. Ετσι, Ο Ο Ο + Ο + Ο = 18 Ο + = 18 επικεντρη (1) Ο + = 18 Ο + = 9 Εστω ισοπλευρο τριγωνο, ο περιγεγραμμενος κυκλος (Ο,ρ), Μ, Ν τα μεσα των τοξων και αντιστοιχα και Κ, Λ τα σημεια που τεμνει η ΜΝ τις πλευρες, αντιστοιχα. ειξτε οτι οι και τριχοτομουν την ΜΝ.

118 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ φου = τοτε και = Μ = Μ = Ν = Ν Ετσι, ΜΝ = Μ = Ν = ΝΜ που σημαινει οτι τα τριγωνα ΜΚ και ΛΝ ειναι ισοσκελη και Κ = ΚΜ = Λ = ΛΝ (1) Κ = Λ σημαινει οτι το τριγωνο ΚΛ ειναι ισοπλευρο, αφου = 6. μισα ισων ηλαδη Κ = Λ = ΚΛ () πο (1), () προκυπτει : ΜΚ = ΚΛ = ΛΝ. Μ Κ Λ Ν υο κυκλοι εφαπτονται εσωτερικα σε σημειο και δυο ευθειες ε, ζ που διερχονται απ'το τεμνουν τον ενα κυκλο στα σημεια, και τον αλλον στα σημεια, Ε αντι - στοιχα. ειξτε οτι Ε. Φ ερνουμε τη κοινη εφαπτομενη των δυο κυκλων (στο ). Ε σ ω τ ε ρ ι κ ο ς κ υ κ λ ο ς : : υπο χορδης () και εφαπτομενης = (1) : εγγεγραμμενη που βαινει στο τοξο Ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο ς κ υ κ λ ο ς : : υπο χορδης (Ε) και εφαπτομενης = () : εγγεγραμμενη που βαινει στο τοξο Ε Ε πο (1),() : = Ε (αφου, εντος - εκτος και επι τα αυτα μερη). Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς γ ω ν ι ε ς π ο υ β α ι ν ο υ ν σ ε η μ ι π ε ρ ι φ ε ρ ε ι α : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, σημειων, γωνιων κλπ. ο σ μ ε ν α : Κυκλος και διαμετρος του. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε ημιπεριφερεια ειναι ορθη. Οι πλευρες της πιο πανω γωνιας και η διαμετρος του κυκλου σχηματιζουν ορθογωνιο τριγωνο, οποτε ισχυουν και ολες οι ιδιοτητες των ορθογωνιων τριγωνων : ιαμεσος στην υποτεινουσα, μια οξεια γωνια ιση με 3 κλπ.

119 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Σε κυκλο (O,ρ) διαμετρος, χορδη και η διχοτομος της που τεμνει το κυ- κλο στο Μ, την στο και την εφαπτομενη Bx στο Ζ. ειξτε οτι Μ = ΜΖ. = ( διχοτομος) = Μ (εγγεγραμμενες σε ιδιο τοξο) = ΖΜ (χορδης - εφαπτομενης) Μ = ΖΜ (1) Μ = 9 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο) Μ Ζ () πο (1),() : Μ ισοσκελες, οποτε Μ διαμεσος και Μ = ΜΖ. Μ Ζ Ο Εστω, τα σημεια τομης δυο κυκλων. ν, ειναι τα αντιδιαμετρικα σημεια του στους δυο κυκλους, να αποδειξετε οτι τα σημεια,, ειναι συνευθειακα. η κοινη χορδη των δυο κυκλων. = 9 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο) = 9 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο) + = 18 ηλαδη οι διαδοχικες εφεξης γωνιες, εχουν αθροισμα ευθεια γωνια που σημαινει οτι τα σημεια,, βρισκονται στην ιδια ευθεια. Κ Λ Σε κυκλο (Κ,ρ) διαμετρος, χορδη ωστε φερνουμε την Ε. ειξτε οτι : Ε =. η κοινη χορδη των δυο κυκλων. = 9 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο) = 9 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο) + = 18 ηλαδη οι διαδοχικες εφεξης γωνιες, εχουν αθροισμα ευθεια γωνια που σημαινει οτι τα σημεια,, βρισκονται στην ιδια ευθεια. = 3, απ το μεσο Μ της Κ Λ Κ Μ Ε

120 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ 3. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν α τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, σημειων, γωνιων κλπ. ο σ μ ε ν α : Εγγεγραμμενο τετραπλευρο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Σε καθε εγγεγραμμενο τετραπλευρο : Οι απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες. Καθε πλευρα του φαινεται απ τις απεναντι κορυφες υπο ισες γωνιες. Καθε γωνια του ισουται με την απεναντι εξωτερικη. π τα σημεια τομης, δυο κυκλων φερουμε δυο ευθειες που τεμνουν τον ενα κυκλο στα σημεια, και τον αλλο στα σημεια,. ειξτε οτι. η κοινη χορδη των δυο κυκλων. ' = ' (' εγγεγραμμενο) '+ = 18 (' εγγεγραμμενο) '+ = 18 Ο ι ', ομως ειναι εντος και επι τα αυτα των ' και ' που τεμνονται απ'την. ρα ' '. 4. π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι ε γ γ ε γ ρ α ψ ι μ ο : Ζ η τ ο υ μ ε ν α : ποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι εγγεγραψιμο. ο σ μ ε ν α : Σχεσεις τμηματων, γωνιων κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου να δειξουμε οτι ενα τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο, αρκει να ισχυει ενα απ τα παρακατω : Οι απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες. Καθε πλευρα του φαινεται απ τις απεναντι κορυφες υπο ισες γωνιες. Καθε γωνια του ισουται με την απεναντι εξωτερικη. Σε οξυγωνιο τριγωνο, εστω, Ε τα υψη του και Η το ορθοκεντρο του. Στο Ε παιρνουμε τμημα ΕΖ = Ε. ειξτε οτι το τετραπλευρο ΗΖ ειναι εγγραψιμο σε κυκλο

121 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ( = 9 ) : + = 9 = Ε (1) Ε (Ε = 9 ) : Ε + = 9 ΗΖ ισοσκελες (ΗΕ διαμεσος και υψος) : = ΗΖΕ () πο (1), () : Ε = ΗΖΕ που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΗΖ ειναι εγγραψιμο. Ε Η Ζ Σε τριγωνο, εστω, Ε τα υψη του και Η το ορθοκεντρο του. ν Μ το μεσο της πλευρας και Ν το μεσο του Η, δειξτε οτι το τετραπλευρο ΜΕΝ ειναι εγγραψιμο σε κυκλο. Στο τριγωνο, = 9 και Μ διαμεσος στην υποτεινουσα. ρα Μ = Μ και Μ = (1) Στο τριγωνο ΕΗ, Ε Η = 9 και ΕΝ διαμεσος στην υποτεινουσα. ρα ΕΝ = ΕΗ κα ι Ε Ν Η = Ε Η Ν () Το τετραπλευρο ΕΗ ειναι εγγραψιμο αφου Ε Η = Η = 9 (δηλαδη Ε Η + Η = 18 ) και Ε Η Ν εξωτερικη γωνια. ρα Ε Η Ν = (3) πο (1), (), (3) : Μ = Ε Ν Η, που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΜΕΝ ειναι εγγραψιμο. Μ Ε Η Ν

122 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 1. Να αποδεiξετε οτι τα υψη, Ε και Ζ τριγωνου ειναι διχοτομοι των γωνιων του τριγωνου ΕΖ.. Σε τριγωνο φερουμε το υψος του. πο τυχαιο σημειο Μ του φερουμε τις αποστασεις του ΜΕ και ΜΖ απ τις και αντιστοιχα. ειξτε οτι το ΕΖ ειναι εγγραψιμο. 3. ειξτε οτι οι διχοτομοι των γωνιων κυρτου τετραπλευρου, τεμνομενες ανα δυο σε διαφορετικα σημεια σχηματιζουν εγγραψιμο τετραπλευρο. 4. ινεται κυκλος διαμετρου. Φερουμε εφαπτομενο τμημα και απο το μεσο του φερουμε Ν εφαπτομενη στον κυκλο. Να δειξετε οτι τα σημεια, Ν και ειναι συνευθειακα. 5. ν οι, ειναι διαμετροι του ιδιου κυκλου, δειξτε οτι =. Ισοσκελες τριγωνο ( = ) με = 8 ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). ν η εφαπτομενη του κυκλου στο σημειο τεμνει την προεκταση της στο σημειο, να βρειτε τις γωνιες, Ο και. 6. ινεται κυκλος με κεντρο Ο και ακτινα Ο. Με διαμετρο την Ο γραφουμε νεο κυκλο. ν η χορδη του κυκλου με κεντρο Ο τεμνει τον αλλο κυκλο στο σημειο Μ, τοτε : Να αποδειξετε οτι Μ = Μ. ν η τομη της ΟΜ με τον κυκλο Ο και ΜΟ = Ο να υπολογισετε την γωνια Ο 7. υο κυκλοι εφαπτονται εξωτερικα σε σημειο και δυο ευθειες ε, ζ που διερχονται απ'το τεμνουν τον ενα κυκλο στα σημεια, και τον αλλον στα σημεια, Ε αντι - στοιχα. ειξτε οτι Ε.

123 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 8. Σε ημικυκλιο διαμετρου, θεωρουμε το μεσο του Μ. Εστω Λ τυχαιο σημειο του τοξου. Φερουμε την ΜΚ Λ. Να δειξετε οτι ΚΜ = ΚΛ. 9. Να δειξετε οτι καθε εγγεγραμμενο παραλληλογραμμο ειναι ορθογωνιο, ενω καθε εγγεγραμμενος ρομβος ειναι τετραγωνο. 1. ινεται ορθογωνιο τριγωνο ( = 9 ). Φερνουμε τη διχοτομο της γωνιας τεμνει την στο. π το φερνουμε καθετη στη που τεμνει την στο Ε. ειξτε οτι: το Ε ειναι εγγραψιμο = Ε που 11. Εστω το τριγωνο με < εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). Φερνουμε το υψος, τη διχοτομο Ε και τη διαμετρο ΟΜ. Να δειξετε οτι Μ = Σε εγγραψιμο τετραπλευρο ειναι = 1 και τις γωνιες του τετραπλευρου. εξ = 8. Να υπολογισετε ολες ινεται οξυγωνιο τριγωνο και τα υψη του και Ε. Να δειξετε οτι: το τετραπλευρο Ε ειναι εγγραψιμο. Ε = Ε 13. Εστω το τριγωνο εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο,ρ). Φερνουμε τις εφαπτομενες του κυκλου στα σημεια και που τεμνονται στο Κ. ν φερουμε απ το Κ παραλληλη στη που τεμνει το τοξο στο Λ, δειξτε οτι το τετραπλευρο ΚΛ ειναι εγγραψιμο. 14. Σε τετραγωνο γραφουμε ημικυκλιο με διαμετρο και τοξο κυκλου (, ) μεσα στο τετραγωνο. Φερνουμε απ το ευθεια ε που τεμνει το ημικυκλιο στο Ε και το τοξο στο Ζ. ν ΖΚ, δειξτε οτι ΕΖ = ΖΚ.

124 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 15. Σε τριγωνο εγγεγραμμενο σε κυκλο (Κ, ρ) φερνουμε την εφαπτομενη Ax και ευθεια ε Ax, που τεμνει την στο και την στο Ε. Να δειξετε οτι το τετραπλευρο Ε ειναι εγγραψιμο. 16. Θεωρουμε κυκλο (Ο, ρ), την εφαπτομενη ε σ ενα σημειο και Ρ της ε. Φερουμε απο το Ρ μια ευθεια που τεμνει τον κυκλο στα σημεια και. ν η διχοτομος της γωνιας τεμνει τη χορδη στο, να αποδειξετε οτι Ρ = Ρ. 17. πο εξωτερικο σημειο Π ενος κυκλου (Ο,ρ), φερνουμε τα εφαπτομενα τμηματα Ρ και Ρ. ν Μ ειναι ενα εσωτερικο σημειο του ευθυγραμμου τμηματος ΟΡ, να δειξετε οτι ΜΡ = ΜΡ. 18. Εστω,, ειναι τρια σημεια σε κυκλο, Μ ειναι το μεσο του τοξου και Μ ειναι χορδη του κυκλου παραλληλη στην. Να δειξετε οτι = Μ. 19. πο τυχαιο σημειο Ρ του περιγγεγραμμενου σε τριγωνο κυκλου φερνουμε τις καθετες ΡΚ, ΡΛ, ΡΝ στις πλευρες του,, αντιστοιχα. Να δειχθει οτι τα σημεια Κ, Λ, Μ βρισκονται σε ευθεια γραμμη. (ευθεια Simson). ειξτε οτι η εφαπτομενη ενος κυκλου στο μεσο Μ ενος τοξου χορδης, ειναι παραλ- ληλη στην. 1. ινεται τριγωνο και το υψος του Ε. ν ειναι η διαμετρος του περιγεγραμμε- νου κυκλου, να δειξετε οτι Ε.. Το τετραπλευρο ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). Φερνουμε τις Ζ και Ε. ειξτε οτι ΖΕ.

125 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 3. Ενας κυκλος διερχεται απ τις κορυφες και τριγωνου και τεμνει τις πλευρες και στα σημεια και Ε αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι η Ε ειναι παραλληλη στην εφαπτομενη του περιγεγραμμενου κυκλου του τριγωνου στο σημειο. 4. Το σημειο Μ ειναι το μεσο ενος κυρτογωνιου τοξου και, ειναι δυο σημεια του μη κυρτογωνιου τοξου κυκλου (Ο, ρ). Οι χορδες Μ και Μ τεμνουν την στα σημεια Κ και Λ. Να δειχτει οτι το τετραπλευρο ΚΛ ειναι εγγραψιμο. 5. ινεται τριγωνο ορθογωνιο στο. Με διαμετρο την γραφουμε κυκλο και εστω το σημειο τομης του με την υποτεινουσα. Η εφαπτομενη του κυκλου στο τεμνει την στο Ε. Να αποδειχθει οτι Ε = Ε. 6. υο κυκλοι (Κ, ρ), (Λ, ρ) εφαπτονται εξωτερικα στο. Φερνουμε μια χορδη του κυκλου (Κ, ρ) και τη χορδη του κυκλου (Λ, ρ). ειξτε οτι το ΚΛ ειναι παραλληλογραμμο. 7. ν, δυο καθετες χορδες κυκλου που τεμνονται στο Κ, να δειξετε οτι η διαμεσος ΚΜ του τριγωνου Κ τεμνει την καθετα. 8. Εστω διαμετρος ενος κυκλου (Ο, ρ) και μια χορδη του. Φερνουμε απ το κεντρο Ο παραλληλη προς την και την εφαπτομενη στο που τεμνονται στο σημειο Μ. Να αποδειξετε οτι: η ΜΟ διχοτομει τη γωνια Ο η ευθεια Μ εφαπτεται στον κυκλο στο σημειο. 9. ινονται και δυο χορδες κυκλου και Κ, Λ τα μεσα τους. Η διχοτομος της γωνιας τεμνει τον κυκλο στο σημειο Μ. Να δειξετε οτι η εφαπτομενη ε στο Μ ειναι παραλληλη με την ΚΛ.

126 ΚΠΟΙΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ