חוקי האלקטרודינמיקה מתוך מספר מצומצם של הנחות יסוד

חוקי האלקטרודינמיקה מתוך מספר מצומצם של הנחות יסוד 1 הקדמה אנו מראים באופן ניסיוני (איכותי) שקילות בין דיפולים חשמליים (צמד מטענים הפוכים בסימן המרוחקים זה מזה מרחק קטן) לדיפולים מגנטים (לולואות זרם קטנות). לאחר מספר הנחות חלשות, ובעזרת מתימטיקה פשוטה אנחנו מוכיחים את: 1. חוק גאוס החשמלי 2. חוק אמפר 3. חוק גאוס המגנטי 4. נוסחת כוח לורנץ (החלק המגנטי שבה) 5. חוק ההשראה של פאראדיי 6. השדה המגנטי הנוצר על ידי סליל הספרות בנושא נרחבת [ 1 5 ] ואני מצטט דוגמאות בודדות ואותן אני משווה אותן לשיטה הנוכחית, יתרונות וחסרונות. בדרך כלל, נקודת הפתיחה בדיון באלקטרומגנטיות היא חוק קולון, שאותו אנו מניחים כעובדה נסיונית (לשם כך עלינו לבצע ניסוי כמותי). נקודת המוצא שלי היא האנלוגיה המלאה בין דיפולים חשמליים ודיפולים מגנטים, ז"א, אנו מצהירים ש: א. צמד מטענים נקודתיים קרובים זה לזה מהווים דיפול שכיוונו הוא ככיוון הווקטור מהמטען השלילי לחיובי. ב. לולאת זרם קטנה מהווה דיפול מגנטי אשר כיוונו נקבע על ידי כיוון הזרם לפי חוק יד ימין. ג. דיפול חשמלי יוצר כוח ומומנט על דיפול אחר התלויים במרחק בין הדיפולים ובכיוונים שלהם. ד. דיפול מגנטי יוצר כוח ומומנט על דיפול מגנטי אחר, לכוח ולמומנט בין דיפולים מגנטים ישנה בדיוק אותה תלות מרחבית כמו לכוח ולמומנט שמפעילים דיפולים חשמליים זה על זה. אנחנו מניחים שמתקיים עקרון הסופרפוזיציה עבור השדות, החשמלי והמגנטי, וכמו כן, הנחה הגיונית שהשדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי יש לו סימטריה כדורית (כמובן, אין לנו ידע מוקדם כיצד השדה הנ"ל מתנהג עם המרחק) 1

2 עצמים ממשיים ועצמים פיקטיבים למרות האנלוגיה בין דיפולים חשמליים ודיפולים מגנטים, אפשר ליצור מבנים גיאומטרים כאלו שאם הם מורכבים מדיפולים מטיפוס אחד יהיו ממשיים ואם יהיו מורכבים מדיפולים מטיפוס אחר יהיו פיקטיבים. נתרכז במספר דוגמאות שתהיינה הכרחיות עבורנו להמשך הדיון: 2.1 שרשרת סגורה של דיפולים (לולאה) כאשר הלולאה מורכבת מדיפולים חשמליים המכוונים בכיוון משיק ללולאה, אזי החפיפה בין המטענים החיוביים למטענים השליליים תתן לנו ריק. לכן, שרשרת זו היא "אובייקט פיקטיבי". חשוב שהצפיפות האורכית של הדיפולים תהיה אחידה כדי שתתקיים d( יש יחידות של מטען. כאשר ) דיפולים ההתקזזות. לצפיפות האורכית של הדיפולים (אורך) d לולאה סגורה. a: לולאה המורכבת מדיפולים חשמליים בצפיפות אורכית אחידה. לולאה זו מתארת ריק. b: לולאה המורכבת מדיפולים מגנטים בצפיפות אורכית אחידה. לולאה זו מתארת סליל סגור איור 1.2: הלולאה מורכבת מדיפולים מגנטים יש לנו ישות ממשית:סליל סגור 2.2 שרשרת פתוחה איור 2.2: a: שרשרת המורכבת מדיפולים חשמליים. b: שרשרת המורכבת מדיפולים מגנטים שרשרת של דיפולים מגנטים מהווה אובייקט ממשי. כאשר הדיפולים הם חשמליים, הודות לחפיפה בין המטענים רק מטעני הקצה הם אמיתיים כפי שאנו רואים באיור 3.2 2

הצפיפות האורכית של הדיפולים שווה לערך המטענים שבקצוות. 10 דיפולים מוכנסים לקו ישר שאורכו 10a. כל דיפול מורכב מהמטענים q±, המופרדים זה מזה באורך a. הצפיפות הקווית של הדיפולים היא: = q d(dipoles) d(length) = 10qa 10a איור 3.2: 2.3 משטח סגור המכוסה בדיפולים כאשר הדיפולים מגנטים, ניתן להבחין בקלות שכל מקצוע שייך בדיוק לשתי לולאות זרם שכנות, או לשני דיפולים מגנטים שכנים. הזרם במקצוע, אם נחשב כחלק מלולאה אחת יהיו במגמה אחת, וכאשר ייחשב כחלק מהלולאה השכנה יהיה במגמה הפוכה. עובדה זו הופכת את האובייקט להיות פיקטיבי (ריק) כאשר המשטח בנוי מדיפולים חשמליים, איור 4.2: a: משטח סגור הבנוי מדיפולים חשמליים המכוונים בכיוון הנורמל למשטח החוצה. b: משטח סגור הבנוי מלולאות זרם. משטח זה הוא פיקטיבי לחלוטין יש לנו אובייקט ממשי: שני משטחים סגורים קרובים הטעונים בצפיפויות משטחיות מנוגדות. כאשר הצפיפויות הן σ± והמרחק בין המשטחים הוא a, אנו מוצאים כי: (דיפולים) d (שטח) d = σa 2.4 משטח פתוח S ששפתו היא C כאשר הדיפולים המפוזרים עליו הם חשמליים, יש לנו שני משטחים טעונים ומקבילים שהמרחק ביניהם קטן כאשר המשטח הפתוח S בנוי מדיפולים מגנטים, השפה שלו C היא לולאת זרם וכל הלולאות הפנימיות הן פיקטיביות, ראה איור b-5.2. אם הזרם לאורך לולאת הגבול הוא I, ניתן להשתכנע (דיפולים) d. בקלות שצפיפות הדיפולים המגנטים (הפיקטיבים) היא: = I (שטח) d 3

איור 5.2: a: משטח פתוח הבנוי מדיפולים חשמליים. b: משטח פתוח הבנוי מדיפולים מגנטים. במקרה זה רק השפה C היא אובייקט ממשי. תוצאות הניסוי אנו מבצעים מספר ניסויים איכותיים. טעינה של גוף והפעלת כוח מרחוק על גוף טעון אחר מביאה אותנו למושג השדה החשמלי. השדה החשמלי הוא היוצר כוח חשמלי על מטען חשמלי. בנוסף, המטען שלעצמו מהווה גם מקור עבור שדה חשמלי (בדומה לשדה כבידה שנוצר על ידי מסות ומפעיל כוח על מסות). נניח מטען נקודתי q הממוקם בראשית. אם נשאל לאן יהיה מכוון השדה שיוצר מטען זה בנקודה? r התשובה תהיה תלויה במטען וכמובן בווקטור r (מניחים שאין ווקטור נוסף בבעיה חוץ מאותו ווקטור r). המטען הנקודתי הוא סקלר (כהנחת יסוד), לכן, האפשרות היחידה עבור השדה היא להיות בכיוון רדיאלי. כמו כן, הסימטריה לסבובים מכריחה אותנו להניח כי השדה E יהיה מהצורה הבאה: E(r) = f(q, r)r היות השדה רדיאלי וערכו אינו תלוי בזוויות דוחפת אותנו להסיק שהשדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי הוא שדה משמר (אם המטען היה נע היה נוסף וקטור חדש לבעיה והוא וקטור המהירות. במקרה הנ"ל השדה אינו בהכרח משמר). הנחה נוספת שאנו מניחים היא שהשדה החשמלי מקיים את עקרון הסופרפוזיציה. בהתאם לעובדה שמטען נקודתי יוצר שדה משמר והשדה החשמלי מקיים את עקרון הסופרפוזיציה, אנו מובלים למסקנה ששדה שנוצר על ידי מטענים נייחים הוא שדה משמר. נניח כעת שאנו מסוגלים ליצור דיפולים חשמליים ומגנטיים. נרצה לייצר באותו מקום דיפול חשמלי ודיפול מגנטי. כיצד? לדוגמה, נחבר גליל מבודד בין שתי דיסקיות. את הדיסקיות נטען במטענים הפוכים ובכך יצרנו דיפול חשמלי. על מעטפת הגליל המבודד המחבר את הדיסקיות נלפף תיל (ראה איור a-6.2 )ועל ידי כך שנזרים זרם בתיל, אותו מבנה משמש לנו כדיפול חשמלי וגם כדיפול מגנטי ובקיצור נכנה אותו "דיפול משולב". באופן כללי, כאשר יש לנו שני דיפולים משולבים שונים יפעל ביניהם 4

איור 6.2: a: דיפול חשמלי ביחד עם דיפול מגנטי b: סידור המאפשר מדידת כוח ומומנט שמפעילים זוג דיפולים זה על זה כוח וגם מומנט. נניח שיש לנו שליטה בזרם, אזי על ידי כיוונן עדין של אותו זרם יכולים אנו לגרום לכך שתפסק לחלוטין האינטרקציה בין הדיפולים המשולבים! המשמעות היא שהכוח והמומנט שקשורים בדיפולים החשמלים יקוזזו לחלוטין על ידי הכוח והמומנט שמייצרים הדיפולים המגנטים. יוצא מכאן שהשדה המגנטי אותו יוצר דיפול מגנטי שקול לשדה החשמלי אותו יוצר דיפול חשמלי. כל האמור לעיל הוא כאשר הדיפולים מרוחקים ואין חפיפה ביניהם. את התאפסות הכוח והמומנט ניתן למדוד מעבדתית, כמובן, אין זו מדידה כמותית. נדגיש כאן ונאמר שהמסקנות לגבי האנלוגיה תקפות אך ורק כאשר הדיפולים מופרדים זה מזה. אין לנו לעת עתה מידע על השדה בתוך הדיפול עצמו. 3 שימושים באנלוגיה 3.1 חוק גאוס עבור השדה החשמלי נתבונן במשטח סגור. אם המשטח הנ"ל בנוי מדיפולים מגנטים, אזי סמוך ובטוח שמשטח זה הוא פיקטיבי, וברור שהשדה המגנטי הוא אפס בכל העולם. האנלוגיה בין הדיפולים המגנטים לדיפולים החשמלים מובילה אותנו למסקנה שאם המשטח הסגור בנוי מדיפולים חשמליים (אובייקט ממשי) אזי השדה בכל הנקודות שאינן בתוך הדיפולים הוא אפס גם הוא, ראה אנלוגיה. אם יש שדה חשמלי כלשהו הוא ייתכן אך ורק בתווך שבין המשטחים הטעונים המהווים את משטח הדיפולים, זאת היות שהאנלוגיה אינה תקפה בנקודות שבתוך הדיפולים. נשתמש כאן בעובדה שהשדה האלקרוסטטי משמר. המשמרות של השדה מובילה אותנו להצהרה הבאה: השדה בתוך משטח הדיפולים (בתווך שבין שני המשטחים מנוגדי הסימן) מכוון בכיוון מנוגד לכיוון המקומי של הדיפולים הוכחה: ניקח לולאה מלבנית ) לולאה א' המצויירת באיור 1.3): צד אחד של הלולאה הוא 5

בחוץ היכן שהשדה מתאפס, שתי צלעות בכיוון השדה אך בחרנו אותן באורך קטן, לכן תרומתם אפס, והצלע הרביעית, בתווך שבין המשטחים, מאונכת לכיוון הדיפול המקומי. בהיות השדה האלקטרוסטטי משמר, הסירקולציה של השדה לאורך הלולאה הנ"ל חייבת להתאפס, לכן, השדה החשמלי בפנים חייב להיות בכיוון הדיפולים. צפיפות איור 1.3: שכבה של דיפולים חשמליים, המהווה חלק ממשטח סגור. המסלולים הסגורים א' וב' מצוירים לצורך חישובי סירקולציה אחידה של דיפולים חשמליים יכולה להתממש בשכבה באזורים שונים על ידי צפיפויות מקומיות שונות של משטחים ובהתאם, עוביים שונים. אם דורשים אכן צפיפות אחידה, יתקיים: (דיפולים) d = σ 1 a 1 = σ 2 a 2 (שטח) d עבור שני אזורים שונים, כפי שאנו רואים באיור. 1.3 בנוסף, המשמרות של השדה דוחפת אותנו למסקנה: E in1 a 1 = E in2 a 2 היכן ש ) in2 E in1, (E הם ערכי השדות באזורים בהם עובי השכבה הוא ) 2 a 1, (a וצפיפות המטען היא ) 2 σ 1, (σ. אנו יכולים מיידית להסיק שהשדה החשמלי בתווך שבין המשטחים פרופורציוני לצפיפות המטען באותו אזור. נדגיש עובדה זו באופן מפורש: (3.1) E in = σ ϵ 0 כאן, באמצעות משוואה 3.1 אנחנו מגדירים את קבוע הטבע. ϵ 0 נדמיין את אותו משטח סגור ונסמן אותו כ. S משטח זה הוא שפה של אזור במרחב, V והוא מכוסה על ידי דיפולים חשמליים בצפיפות שטחית. η ניתן בקלות להוכיח שהעבודה המתבצעת על מטען q בהביאנו אותו מאינסוף לתוך האזור V היא: (3.2) W = qe in a = q ϵ 0 η כעת נתבונן באותה עבודה מנקודת ראות שונה. אם השדה אלקטרוסטטי אזי העבודה המתוארת במשוואה 3.2 חייבת להיות שווה לעבודה הדרושה לבניית משטח הדיפולים 6

בנוכחות של מטען q בפנים (נדגיש כעת שבתהליך הנ"ל אנו לא לוקחים בחשבון את העבודה בבניית הדיפולים שנובעת מהאינטראקציה ביניהם, אלא רק מהאינטראקציה עם המטען שבפנים). נשאלת השאלה: מהי האנרגיה של דיפול, p המוצב בנקודה r בנוכחות של שדה חיצוני? E ext הדרך המקובלת לקבלת האנרגיה של אותו דיפול בשדה אלקטרוסטטי E ext r לנקודה p a היא על ידי חישוב העבודה הדרוש כדי להביא את שני המטען q ולהוסיף את העבודה כדי להביא מטען q ניתן להשתמש במושג הפוטנציאל ולרשום: p לנקודה. r + a מתוך משמרות השדה a (3.3) W = qφ ext (r + a) + ( q)φ ext (r) בגבול שבו a קטן מספיק, משוואה 3.3 מתארת את הנגזרת המכוונת לכן: (3.4) W = qa ( φ ext ) = p E ext כעת, נחזור למיודענו המשטח הסגור המורכב מדיפולים חשמליים (שכבה ). האנרגיה של אותה שכבה בנוכחות השדה שמייצר המטען (שאנו מסמנים אותו כ E) q, לפי משוואה 3.2 היא: (3.5) W = E q (dsη) = q η ϵ 0 מכאן אנו מסיקים: (3.6) S S E q ds = q ϵ 0 נחזור על יחס זה עבור כל המטענים הכלולים באזור, V ונגיע למסקנה: E ds = 1 (כל המטענים הכלולים באזור ( V ϵ 0 (3.7) S באופן כללי, האנרגיה של דיפול חשמלי בתוך שדה חשמלי אינה מוגדרת היטב. עבור המקרה בו השדה החשמלי אינו משמר אנו יכולים לדמיין לולאה המתוארת באיור a-2.1 : אם אנרגית הדיפול היא p, E אזי אנרגיית הלולאה C אמורה להיות: C E (דיפולים) d (אורך) d dr = אנרגיית הלולאה אם לוקחים צפיפות אורכית אחידה לאורך הלולאה (מה שהופך אותה להיות ריק), אזי האנרגיה הקשורה באותה קבוצת דיפולים אמורה להיות: 7 C E dr (דיפולים) d = אנרגיית הלולאה (אורך) d

בהיות הלולאה C פיקטיבית לחלוטין, כפי שתואר באיור a-2.1, האנרגיה של אותה לולאה חייבת להתאפס. במקרים בהם השדה החשמלי אינו משמר אנו נתקלים בסתירה. האנרגיה הקשורה במשטח דיפולי סגור לעומת זאת, מוגדרת היטב. אם נשתמש במשפט הדיברגנס של גאוס, נראה שהחלק של השדה החשמלי שאינו משמר, לפי משפט הלמהולץ [4] אינו תורם לאנרגיה של המשטח הסגור. נעיר כאן שעובדה זו מכשירה את חוק גאוס שיהיה מועמד להיות תקף עבור שדה חשמלי כללי. בעצם, העבודה שהושקעה בהכנסת המטען לאזור V נשארת בעינה גם אם המטען נמצא בתנועה! במקורות רבים חוק גאוס מוכח עבור שדה אלקטרוסטטי מתוך ידיעת חוק קולון. החלתו של חוק גאוס לשדה של מטענים בתנועה כוללת נגיעה בתורת היחסות הפרטית. 3.2 חוק אמפר מספר מחברים, [2], [3], [4] מניחים את חוק ביו סבר ובאופן מתימטי מוכיחים את חוק אמפר (זה גם עקבי עם הסדר ההיסטורי).מאידך, [1] מקבל את חוק אמפר (כמעט) מההתנהגות של השדה המגנטי המיוצר על ידי תיל ארוך וישר, ושדה זה מתקבל על ידי שימוש "כבד" בתורת היחסות הפרטית. אנחנו מנסים בסעיף הנוכחי לקבל את חוק אמפר באמצעים "זולים" יותר נדמיין לנו משטח פתוח S המכיל דיפולים חשמליים בצפיפות שטחית אחידה ˆ ηds כפי שרואים אנו באיור a-2.3. כפי שראינו בסעיף הקודם, המשטח S המכוסה בדיפולים חשמליים יכול להחשב כשכבה המהווה צמד משטחים בצפיפויות מטען מנוגדות, המופרדים זה מזה במרחק a שהוא עובי קטן כרצוננו. השדה החשמלי בתוך השכבה הוא: (3.8) E in 1 ϵ 0 = η ) צפיפות המטען השטחית) ϵ 0 a משוואה 3.8 תקפה בגבול 0 a ו η סופית נדמיין מסלול סגור C המקיף את שפת המשטח. אם מאנטגרלים את השדה החשמלי לאורך המסלול הסגור הנ"ל, התוצאה חייבת להתאפס, הודות לעובדה שהשדה האלקטרוסטטי משמר. נבטא את הסירקולציה של השדה החשמלי לאורך המסלול C (3.9) C E dr = E out dr + E in dr = 0 בתוך השכבה מחוץ לשכבה אם ניקח את הגבול: 0 a נקבל את התוצאה הבאה: (3.10) E out dr = η ϵ 0 נחזור כעת לאנלוגיה עם הדיפולים המגנטים. אם הצפיפות השטחית של הדיפולים החשמלים היא η אזי הצפיפות השטחית של הדיפולים המגנטים היא פשוט הזרם! I 8

איור 2.3: a: מבט תלת ממדי על המסלול הסגור C החותך את המשטח S, הבנוי מדיפולים חשמלים. b: מבט תלת ממדי על המסלול הסגור C החותך את המשטח S, הבנוי מדיפולים מגנטים. c ו d : המסלול והמשטחים ממבט בחתך. הסירקולציה של השדה המגנטי, אם נשתמש באנלוגיה תהיה פרופורציונית לזרם, לכן נוכל לכתוב: (3.11) B dr = µ 0 I על ידי משוואה 3.11 אנו קובעים את קבוע הטבע. µ 0 האינטגרל במשוואה 3.11 הוא סגור: העובי a הוא חסר משמעות כאן, היות שבניגוד לדוגמה החשמלית, כאן אנו עוסקים פשוט בריק! כל העולם ריק לבד מהלולאה C. משוואה 3.11 היא חוק אמפר 4 שיקולים אנרגטים עבור דיפולים מגנטים בסעיף זה נשתמש בביטויים עבור האנרגיה של קבוצת דיפולים הממוקמים באזור בו קיים שדה חיצוני. ברור לנו שכאשר קבוצת הדיפולים היא אובייקט פיקטיבי, האנרגיה חייבת להתאפס, עובדה זו תועיל לנו בהמשך. האנרגיה של דיפול חשמלי הממוקם באזור בי קיים שדה אלקטרוסטטי E היא: p E = אנרגיה קשר זה הוכח הסעיף קודם עבור שדה אלקטרוסטטי והוא אינו מוגדר היטב עבוא שדה חשמלי שאינו אלקטרוסטטי. באופן אנלוגי לביטוי שהתקבל עבור אנרגיית הדיפול 9

בשדה אלקטרוסטטי, אנו קובעים כפוסטולט את הביטוי לאנרגיה עבור דיפול מגנטי: B m = אנרגיה (4.1) הערה חייבת כאן להאמר: הקביעה: Energy = B m כאן נקבעה כפוסטולט. לא הוכחנו אותה. ב [2, 5] קשר זה מוכח על ידי שימוש בכוח לורנץ. כאן, אנו מניחים שכוח לורנץ עדיין לא ידוע, הוא יוכח בהמשך. 4.1 חוק גאוס המגנטי נניח משטח סגור S המהווה שפה לאזור. V אנו מחלקים את המשטח S למשטחונים קטנים ושטוחים ששפתם הן לולאות, כפי שמוראה באיור b-4.2 כפי שנאמר קודם, אם נזרים בכל לולאה זרם באופן כזה שכיוון הדיפולים המגנטים הוא החוצה אנו גורמים לשני אפקטים חשובים: 1) המשטח מורכב מדיפולים מגנטים 2) משטח זה הוא פשוט הריק בהתגלמותו. מצד אחד האנרגיה של אותם דיפולים מגנטים היא: (IdS) B = אנרגיה S אולם, מצד שני מערך הדיפולים הנוכחי הוא בעצם ריק והאנרגיה שלו היא אפס! אנו נגררים לתוצאה הבאה: (4.2) B (ds) = 0 S עבור כל משטח סגור S בספריהם של [1, 5] 3, 4, חוק גאוס המגנטי מתקבל על ידי הנחה של סטציונריות: יש שימוש בחוק ביו סבר אמפר שדורש סטציונריות, וכמו כן, ישנה דרישה שכל סיבת השדה המגנטי היא זרמים ולא מטענים מגנטים. הקושי בגישה שלהם היא שחוק גאוס המגנטי תקף גם עבור המקרה שבו הזרמים וצפיפויות המטען אינם סטציונרים. כאן, לפי התוצאות שלנו, אין אנו שואלים כיצד נוצר השדה המגנטי: כל עוד יש ביטוי לאנרגיה של דיפול מגנטי בשדה מגנטי, חוק גאוס תקף 4.2 החלק המגנטי של כוח לורנץ מינוס הגרדיאנט של האנרגיה של דיפול שווה לכוח על הדיפול לפי ההגדרה של אנרגיה פוטנציאלית. מקור הכוח הוא עבודה וירטואלית המתבצעת על הדיפולכאשר מזיזים 10

אותו הזזה אינפיניטסימלית. נתבונן בדיפול חשמלי. הכוח השומר על המטענים שיהיו מרוחקים זה מזה אינו מבצע שום עבודה. מאידך, אף אחד אינו מבטיח זאת כאשר אנו עוסקים במטענים נעים, ועלינו לשמור אותם שינועו באותה מהירות, למרות העובדה שהם אינם בשיווי משקל. נחזור לנקודה הזאת בסעיף הבא. למען פשטות, הבה נתבונן בלולאה מלבנית המונחת על מישור xy באופן ש x 0 < x < x 1, y 0 < y < y 1 כפי שמוראה באיור. 1.6 בהנחה שזורם זרם I לאורך איור 1.4: מלבן אשר בו מסומנות צלעותיו: 4 3, 2, 1, צלעות המלבן, הדיפולים האלמנטרים מהם מורכבת הלולאה הם:, Idxdyẑ והכוח על כל אחד הוא: z=0 df = Idxdy B z (x, y, z). הכוח הכולל על הלולאה הוא: x1 y1 (4.3) F = I dx dy B z (x, y, z) z=0 x 0 y 0 נכתוב זאת ברכיבים: F x F y F z = I = I = I y1 y 0 dy (B z (x 1, y, 0) B z (x 0, y, 0)) x1 x 0 dx (B z (x, y 1, 0) B z (x, y 0, 0)) x1 x 0 dx y1 y 0 dy z B z(x, y, z) z=0 (4.4) הצורה המקומית של חוק גאוס המתואר במשוואה 4.2 הוא = 0 B z B z = :os, ולכן ניתן לכתוב שנית את F: z x B x y B y F z = I = I x1 x 0 y1 y 0 y1 dx dy y 0 x B x1 y1 x(x, y, 0) I dx x 0 dy (B x (x 1, y, 0) B x (x 0, y, 0)) I y 0 dy y B y(x, y, 0) x1 x 0 dx (B y (x, y 1, 0) B y (x, y 0, 0)) (4.5) 11

נארגן זאת אחרת: F = I +I x1 dx (ẑb y (x, y 0, 0) ŷb z (x, y 0, 0)) x } 0 {{} side 1 x0 x 1 dx (ẑb y (x, y 1, 0) ŷb z (x, y 1, 0)) }{{} side 3 + I + I y1 dy (ˆxB z (x 1, y, 0) ẑb x (x 1, y, 0)) + y 0 }{{} y0 side 2 y 1 dy (ˆxB z (x 0, y, 0) ẑb x (x 0, y, 0)) }{{} side 4 ניתן להשתכנע בקלות שהכוח הפועל על הלולאה C הוא: (4.6) F = I C dr B ext האינדקס "ext" עבור השדה המגנטי בא להדגיש את העובדה שאנו מתכוונים אך ורק בכוח שנובע משדות מגנטים חיצוניים ולא כאלה שנוצרו על ידי הלולאה עצמה. נתבונן בביטוי לוקלי אינפיניטסימאלי לכוח ונכתוב: (4.7) df = Idr B = dqv B האינדקס "ext" הושמט. ביטוי זה הוא החלק המגנטי של כוח לורנץ כאן, במשוואה, 4.7 אנחנו מציבים עבור הזרם בתוך אלמנט החוט, ז"א,Idr את אלמנט המטען dq הנע במהירות v. ב. [2, 5] הביטוי עבור הכוח על דיפול מגנטי:. B מתקבל על ידי שימוש בכוח לורנץ ובחוק = 0 F = (m B) 4.3 חוק פאראדיי אחת הדרכים השגורות כדי לקבל את חוק פאראדיי היא להתחיל בלולאה הנמצאת בתוך שדה מגנטי. עיוות הלולאה או הנעתה במרחב, בהתאם לתנועה בשדה מגנטי, ייצור, על ידי כוח לורנץ כא"מ לאורך הלולאה במהלך העיוות שלה [1, 2]. 3, 5, התהליך בו הלולאה סטטית והשדה משתנה, משאיר טעם מסוים של אי נחת, גם כאשר עוברים ממערכת שבה הלולאה נעה למערכת שבה הלולאה נחה: אוסף המאורעות שתיארו את הלולאה במערכת אחת והיו סימולטאנים, לא בהכרח יהיו סימולטאנים במערכת אחרת! בגישה שלנו, אנו מניחים שזורם זרם I דרך הלולאה C. שדה מגנטי, שנוצר על ידי זרמים אחרים שורר במרחב. בהיות הלולאה שפה של הרבה לולאות קטנות (דיפולים מגנטים), בעקבות משוואה 4.1 נוכל להגיד שהאנרגיה של הלולאה הנ"ל בשדה המגנטי היא: Energy = IdS B IΦ M S 12

לאורך כל חישובינו הקודמים, אין אנו שואלים את עצמנו כיצד דואגים לכך שהזרם יתמיד ויישאר קבוע. כעת, אנו מחלקים את הכוחות לשניים: כוחות חיצוניים הפועלים על הלולאה, F ext וכוחות פנימיים F int (שאותם אנו מדמיינים כגמדים שדוחפים או בולמים את המטענים הנעים בחוט). נניח שמניעים את הלולאה על ידי כוח חיצוני F ext ולפיכך משנים את האנרגיה של ב IdΦ M. באותו זמן, הגמדים, בצעו על המטענים את אותה עבודה אבל בסימן הפוך, באופן כזה שמהירותם של המטענים לא השתנתה, והזרם נשאר בעינו. ממשוואה 4.7 אנו יודעים שהכוח המגנטי אינו מבצע עבודה על מטענים חשמליים וכן, אין שום אנרגיה פוטנציאלית הקשורה לכוח המגנטי הפועל על מטענים. לכן, העבודה הכוללת על המטענים היא אפס נדגיש שנית את העובדה שהעבודה על מטעני הלולאה, הנעשית על ידי הכוח החיצוני, כאשר משתנה השטף היא: dw = IdΦ M וכדי לשמור שלמטענים תישאר אותה אנרגיה הגמדים חייבים לבצע עבודה,IdΦ M שזה אומר: (4.8) dw dt = P int = I dφ dt היכן ש P int הוא ההספק המופעל על ידי הכוחות החיצוניים האנרגיה של הלולאה אינה קשורה לאמרגיה הקינטית של המטענים הנעים בה. האנרגיה של כל מטען התורם לזרם I בדיפול מגנטי אינה משתנה גם כאשר אנרגיית הדיפול משתנה. אנרגיית הדיפולים משתנה כל עוד יש שינוי בשטף מגנטי דרך הלולאה, אפילו כאשר הלולאה במנוחה, ואפילו כאשר בנקודות הלולאה המגדירה אין שדות כלל! אם הכוחות הפנימיים (גמדים) מבצעים עבודה כדי לשמור את אותו זרם (ואותה אנרגיה קינטית), אזי מתבקש שיתווסף כוח פנימי נגדי שמולו נלחמים הגמדים ומבצעים הספק. אנו נדחפים לתוצאה: (4.9) Power = I e.m.f E = I C F induced q dr = I dφ dt היכן ש F induced הוא הכוח הפועל על מטען בחן q. כאן המקום להעיר שהשינוי באנרגיית הלולאה שנוצר עקב שינוי בשטף המגנטי דרך משטח התחום בלולאה אינו רגיש לסיבה כיצד שינוי זה נוצר: לא חשוב באם השינוי נגרם בגלל השינוי בשדה המגנטי או בגלל עיוות או הנעת הלולאה. הלולאה תלוי אך ורק ב. dφ M dt הכא"מ לאורך 13

5 הסליל שרשרת של דיפולים חשמלים נמצאת במרחב. אנו מניחים: א. כיוון הדיפולים מתלכד עם הכיוון המשיק לשרשרת ב. הצפיפות האורכית של הדיפולים אחידה לאורך השרשרת כפי שאנו רואים באיור, 2.2 המטען החיובי של הדיפול ה i מתלכד עם המטען השלילי של הדיפול ה 1 + i, כך שחוץ מהמטען השלילי של הדיפול הראשון והמטען החיובי של הדיפול האחרון, המרחב נייטראלי בכל נקודה ונקודה. השדה החשמלי מורכב מתרומות שני המטענים שבקצוות. טיפול כמותי: השרשרת מתוארת בתור עקומה המתוארת בצורה פרמטרית כך: (5.1) r (t), t (t 1, t 2 ) הצפיפות הקווית של הדיפולים היא α אשר לה יחידות של מטען: [ ] [ ] אורך מטען דיפולים [α] = = [מטען] = אורך אורך נניח דיפול המורכב ממטענים q± המופרדים זה מזה במרחק. a אם המרחק ממרכז הדיפול הנ"ל למרכז הדיפול הבא הוא גם, a אזי הצפיפות של הדיפולים היא, q כך שהמטען הראשון עבור שרשרת בצפיפות α הוא α והמטען האחרון בשרשרת הוא α. אם הקצה הראשון ממוקם בנקודה r t) 1 ) r 1 והקצה השני ממוקם בנקודה, r t) 2 ) r 2 אזי השדה החשמלי הנוצר משני המטענים האלו מתקבל מחוק קולון, המתקבל כתוצאה מחוק גאוס, המתואר במשוואה. 3.7 הביטוי עבור השדה הוא: (5.2) E(r) = α 4πϵ 0 r r 2 r r 2 r r 1 3 r r 1 3 באופן אנלוגי, שרשרת המורכבת מדיפולים מגנטים (סליל או מגנט), עם צפיפות דיפולים מגנטים β תיצור שדה מגנטי (בכל נקודות המרחב חוץ מהנקודות בתוך השרשרת עצמה) את השדה המגנטי הבא: (5.3) B(r) = βµ 0 4π r r 2 r r 2 r r 1 3 r r 1 3 מספר הערות בעקבות המשוואות 2.5 ו : 3.5 א. אם לשרשרת אין קצוות (שרשרת סגורה), השדה בחוץ מתאפס ב. אם השרשרת פתוחה, אבל הקצוות רחוקים מספיק, השדה מחוצה לה מתאפס. 14

איור 1.5: סליל שקצהו מתלכד עם מרכזה של ספרה דימיונית (מנוצלת לחישובי שטף). מרכז הספרה נבחר להיות ראשית הצירים השדה המגנטי בתוך סליל נניח סליל ארוך, אשר קצה אחד שלו ממוקם ב r 1 והקצה השני ממוקם בראשית. r, 1 כפי שמוראה באיור. 5 r הנקודה r ממוקמת עמוק בתוך הסליל ומתקיים: << 1 הסליל נושא זרם I והצפיפות האורכית של כריכותיו היא, n כל כריכה נחשבת בתור לולאה שטוחה ששטחה הוא S. אם נתבונן בלולאה ששטחה הוא S, אזי ניתן בנקל להגיע למסקנה שהצפיפות האורכית של הדיפולים המגנטים היא.In S. אנו מעונינים לחשב את השדה המגנטי בנקודה r, היכן ש r. 1 << r << S כשנשתמש במשוואה 5.3 נמצא שהשטף המגנטי של השדה החיצוני דרך הספרה הוא: (5.4) dφ ext 4πr 2µ 0n SI 4πr 2 לפי חוק גאוס המגנטי, השטף של השדה החיצוני חייב להתקזז עם השטף של השדה בתוך השרשרת/סליל דק. כאן אנו פוגשים בפעם הראשונה את השדה המגנטי בתוך הדיפולים: כל הטיפול עד כה שהסתמך על האנלוגיה עם דיפולים חשמליים היה עבור נקודות מחוץ לדיפולים. אנו נוכחים בהבדל עקרוני: כאשר השרשרת מורכבת מדיפולים חשמליים, השדה בכל נקודות המרחב (מחוץ לשרשרת וגם עליה) תלוי אך ורק במטענים שבקצוות (כל המטענים הפנימיים הם פיקטיביים). כאשר השרשרת מורכבת מדיפולים מגנטים, כפי שהיה בדיוננו האחרון, השדה המגנטי בתוך השרשרת הוא: (5.5) B(r) = µ 0 ni dr dt dr dt כאשר לסליל יש חתך S, אנו מטפלים בו כאילו היה מורכב משרשרות אלמנטריות, כל אחת בעלת שטח. ds לסיכום הדיון נוכל לומר: 15

כאשר מתבוננים בשדה בנקודה r, המקיימת r, 2 << S אזי: B(r) = µ 0 nsi r r 3 µ 0 ni dr dt dr dt for r outside the coil for r inside the coil תוצאה זו בלתי תלויה בצורת החתך של הסליל. 6 אלקטרודינמיקה ויחסות 6.1 רכיב השדה האורכי עבור הדיון הנוכחי אנו מניחים שחוק גאוס עבור השדה החשמלי ידוע. הניסוח היחסותי של חוק גאוס הוא: יהי אוסף של מאורעות בו זמניים המהווים משטח סגור במרחב, 1 ϵ 0 כפול המטען שנסמן אותו באות S. השטף החשמלי היוצא דרך המשטח הנ"ל שווה ל הנמצא באזור V כך ש S הוא השפה של V. משפט: הרכיב האורכי של השדה החשמלי אינו משתנה אם מבצעים טרנספורמציה למערכת נעה במהירות קבועה. הוכחה: נניח שהמהירות היחסית בין מערכת המעבדה למערכת הנעה היא. vˆx מתוך חוק גאוס ושמירות המטען אנו יודעים כי: (6.1) dy dze x(x 0, y, z, t) = dy dze x(x 0, y, z, t ) משוואה 6.1 מתייחסת לסך כל המטען הנמצא מצד שמאל של המשטח השטוח המקיים: (x 0, y, z, t) נדרוש כעת כפוסטולט: השדה שנמדד במאורע. (r x 0ˆx) ˆx = 0 לפי המערכת הנעה תלוי אך ורק בנתונים הקיימים באותו מאורע. רוצה לומר: ) t E (x 0, y, z, הוא פונקציה של דברים הנמדדים אך ורק במאורע t) (x 0, y, z, ולא של דברים הנמדדים במאורעות אחרים האינטגרל התבצע על המשטח x = x 0 בזמן t לפי מערכת ייחוס, F ועל המשטח x = x 0 לפי מערכת הייחוס F. יהיה זה מספיק להראות שהשדה החשמלי יכול להתנהג כמו פונקצית דלתה. ואז, תקפות האינטגרל מבטיחה את: = t) E x (x 0, y, z,.e x(x 0, y, z, t) יהי ) 0, E x (x 0, y, z, t) = eδ(y y 0 )δ(z z וכי אז, השדה המומר, x E יהיה שונה מאפס רק בנקודה, y = y 0, z = z 0 היות שאין השפעה של שדות בנקודות אחרות על השדה. לכן, עבור השדה המומר עלינו לכתוב: ) 0 E x(x 0, y, z, t ) = e δ(y y 0 )δ(z z והיות שהאינטגרלים מתלכדים לפי משוואה, 6.1 חייבים אנו לקבל: e e. = באופן פיזיקלי, שדה שמתנהג כמו פונקצית דלתה מתקבל על ידי שני מטענים הפוכי 16

סימן המוצבים בצדדים מנוגדים למשטח, וקרוב מאוד אליו. נכתוב עבור התרחיש הזה: (6.2) δ(y y 0 )δ(z z 0 ) = 1 2π lim b 0 b (b 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ) 3/2 כל פונקציה יכולה להבנות כסופרפוזיציה של פונקציות דלתה 6.2 חוק אמפר מקסוול להמשך דיוננו נחדד את ההנחות: 1. מרחב המאורעות מציית לטרנספורמציית לורנץ 2. שימור מטען: הסבה היחידה לשינוי בצפיפות המטען היא עקב כך שמטענים נוסעים. אין אפשרות ליצירה והשמדה של מטען בודד 3. חוק גאוס עבור השדה החשמלי נכון עבור כל משטח המכיל מאורעות בו זמניים הנקודה העקרית של דיוננו היא ההתנהגות של מאורעות כאשר משנים את מערכת הייחוס. נניח מאורע המוגדר כך: (z,t),x,y במערכת ייחוס F. המאורע הנ"ל מתואר כ ) z (t, x, y, במערכת הייחוס F הנעה במהירות vˆx ביחס ל. F היחסים בין הקואורדינטות לפי לורנץ הם: (6.3) t = γ ( t + x v/c 2), x = γ (x + vt ), y = y, z = z לעת עתה ידוע לנו שחוק גאוס עבור שדה חשמלי תקף גם עבור מטענים נעים. כמו כן, כבר הסכמנו לחוק אמפר עבור מצב עמיד. בנוסף, ניתן להראות שבטרנספורמציית לורנץ הרכיב האורכי של השדה החשמלי אינו משתנה. הבה נתבונן במשטח S 1 המכיל איור 1.6: שני המשטחים המקבילים אוסף של מאורעות בו זמניים, לכולם אותה קואורדינטה x, מאורעות אלו קשורים 17

במדידת רכיב ה x של השדה החשמלי, E x לפי מערכת F ולפי מערכת F, הנעה במהירות vˆx ביחס למערכת F. הבה נניח שמאורעות אלו ארעו בזמן t לפי F ובזמן t לפי מערכת F. נתבונן כעת במאורעות המהווים משטח מקביל, שנסמן אותו כ S 2 הנמצא בנקודה x x + והם בו זמניים למאורעות המשטח הקודם, דהיינו, הזמן שלהם הוא t. כעת, נחשב את המטען האגור בין שני המשטחים הללו לפי המערכת המתוייגת: Q ϵ 0 = + dzdye x(x + x, y, z, t ) S השטף דרך המשטח הימני }{{} C ( x ˆx dl) E }{{} השטף היוצא דרך המעטפת S dzdye x(x, y, z, t ) }{{} השטף דרך המשטח השמאלי + (6.4) אם נתבונן על שני המשטחים, או ליתר דיוק, שתי קבוצות המאורעות, ממערכת F, שתי קבוצות המאורעות הללו לא תהיינה בו זמניות: אם האחת, המשטח S, 1 ארעה. t + t = t + x γ v c אם היה זרם של מטענים בזמן t, אזי השנייה ארעה בזמן 2 במשך אותו זמן, אזי, כאשר מעונינים אנו לחשב את המטען האגור בפנים, חובה עלינו לקחת בחשבון שדרך משטח S 2 יצאו מטענים וחישוב השטף חייב לקחת אותם בחשבון בהשוואה לשטף שחושב לפי מערכת F. בנוסף, רכיב ה x של השדה החשמלי חושב בשני המשטחים הללו בזמנים שונים. כמו כן, המרחק בין שני המשטחים לפי מערכת F הוא כעת γ x והשדה E. E נכתוב כעת את הביטוי לאותו מטען אבל כעת דרך נקודת מבטו של צופה במערכת F: Q ϵ 0 = + dzdye x(x + x, y, z, t + t) S השטף דרך המשטח הימני }{{} C ( x γˆx dl) E }{{} השטף היוצא דרך המעטפת + 1 ϵ 0 t S dzdye x(x, y, z, t) }{{} השטף דרך המשטח השמאלי + S dydzj x (6.5) אם נפחית את משוואה 6.4 ממשוואה, 6.5 ונציב: E x (x + x, y, z, t + t) E x (x + x, y, z, t) = t t E x (6.6) C dl (γˆx E ˆx E ) c2 γv = 1 ϵ 0 18 נוכל לכתוב לאחר צמצום של t : S dydz (J x + ϵ 0 t E x )

אגף ימין אינו תלוי במהירות והוא מכיל גדלים שנמדדו במערכת F. בהתאם, השילוב הנוכחי של E ושל E אף הוא חייב להביע גודל כלשהו שנמדד במערכת F. כאשר אין תלות זמנית, תהיה התלכדות בין אגף שמאל ואגף ימין של משוואה 6.6 רק כאשר נגדיר: B = (γˆx E ˆx E ) 1 γv וגם: µ 0 = 1 ϵ 0 c 2 נכתוב במפורש, לאחר שיודעים אנו כי: E ˆx (ˆx E ) = : (6.7) E = γ (E + (vˆx) B ) הטרנספורמציה ההפוכה, מהמערכת המתויגת לזו הלא מתויגת תתבטא בסימן הפוך למהירות: E = γ (E (vˆx) B ) נכפיל ב x ˆ ונשתמש בידע שלנו B ˆx (ˆx B ) = : ˆx E = γ (ˆx E + vb ) נבודד את השדה המגנטי המתוייג ונציב את E ממשוואה 6.7 ונקבל: B = 1 γv ˆx E 1 v (ˆx (γe + γvˆx B )) = γ (B (vˆx) E ) (6.8) בתור תוצר לוואי קיבלנו את חוק הטרנספורמציה של שדות. 7 הערות מספר נקודות פתוחות שניתן להמשיך לחקור אותן: 1. מטען יכול להחשב כקצה של שרשרת דיפולים. הקצה השני נמצא באינסוף 19

2. תנועה של מטען ניתנת לתיאור על ידי יצירה של דיפולים: המטען לא נע...נוצרים דיפולים ובעקבות כך הקצה משנה את מקומו. בהקשר לכך: כוח לורנץ, אם מוגדר בתור נגזרת זמנית של תנע, מביא באופן טבעי את ההגדרה של התנע הסמוי של דיפול חשמלי בשדה מגנטי 3. כל צפיפות מטען נפחית ניתנת לתיאור על ידי דיברגנס של פילוג דיפולים, וכל צפיפות זרם ניתן לתיאור על ידי נגזרת זמנית של פילוג דיפולים חשמליים. שרשרת סגורה הבנויה מדיפולים חשמליים מתארת ריק, אולם כאשר הדיפולים הללו תלויים בזמן אנו מתארים זרם 4. נתבונן בטורוס קטן המכיל בקרבו שטף מגנטי התלוי בזמן. האם זה מתאר דיפול חשמלי? כעת, כל ההגדים שהיו לנו על שרשרות דיפולים חשמליים צריכים להשתנות רשימת מקורות [1] E.Purcell, Electricity and Magnetism, Berkeley Physics course II, 2nd Ed. (1984) [2] W. Greiner: Classical Electrodynamics, Springer Verlag New York (1998) [3] J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd Ed. John Willey and Sons, Inc. (1999) [4] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd Ed. Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey 07458 (1999) [5] J. Vanderlinde, Classical Electromagnetic Theory, 2nd Ed. Kluwer Academic Publishers (2004) 20