ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΣΕ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΣΕ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 3. Ανάλυση μιας χρονοσειράς σε συνιστώσες 3. Πρακτική χρησιμότητα της ανάλυσης μίας χρονοσειράς σε συνιστώσες 3.3 Απλά υποδείγματα προέκτασης με παλινδρόμηση 3.4 Προέκταση με υποδείγματα αστάθμιστων και εκθετικά σταθμισμένων κινητών μέσων 3.5 Τεχνικές εξομάλυνσης χρονοσειρών 3.6 Εποχική διόρθωση 3.7 Εφαρμογές Κεφαλαίου 3 ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΣΕ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 3. Ανάλυση μιας χρονοσειράς σε συνιστώσες Για τη στατιστική επεξεργασία χρονικών σειρών είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να υποθέσουμε ότι μια παρατηρούμενη χρονοσειρά μπορεί να αναλυθεί σε μη παρατηρήσιμες συνιστώσες σύμφωνα με τη σχέση: Υ = L +S +C + I Όπου: Υ = η παρατηρούμενη χρονοσειρά, ή κάποιος (συνήθως ο λογαριθμικός) μετασχηματισμός της L = η μακροχρόνια τάση C = η κυκλική συνιστώσα S = η εποχική συνιστώσα I = η άρρυθμη συνιστώσα Η μακροχρόνια τάση εκφράζει τη μεταβολή στο επίπεδο της χρονοσειράς. Υφίσταται σε μη στάσιμες χρονοσειρές και μπορεί να είναι σταθερή ή χρονικά μεταβαλλόμενη. Όταν η τάση είναι χρονικά μεταβαλλόμενη, προγνώσεις που στηρίζονται σε γραμμικά υποδείγματα παλινδρόμησης σε πολλές περιπτώσεις αποδείχθηκαν δραματικά αποτυχημένες. Η κυκλική συνιστώσα εκφράζει κυκλικές κυμάνσεις με περίοδο μεγαλύτερη του έτους (π.χ. επιχειρηματικοί κύκλοι στην οικονομία, ετήσιος αριθμός ηλιακών κηλίδων κλπ.). Η εποχική συνιστώσα εκφράζει την κυκλική κύμανση μιας χρονοσειράς με περίοδο ένα έτος. Υφίσταται σε μεγάλο αριθμό κοινωνικο-οικονομικών αλλά και περιβαλλοντικών χρονικών σειρών (π.χ. εισπράξεις από τουριστικές υπηρεσίες, συγκεντρώσεις CO στην ατμόσφαιρα κλπ.). Η άρρυθμη ή μη συστηματική συνιστώσα (θόρυβος) εκφράζει το συνολικό αποτέλεσμα μη συστηματικών παραγόντων. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION

Ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο στην ανάλυση χρονοσειρών σε μη παρατηρήσιμες συνιστώσες είναι η λεγόμενη φασματική ανάλυση. Μία χρονοσειρά μπορεί να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο. Θα μπορούσε όμως στον οριζόντιο άξονα να χρησιμοποιηθεί αντί του χρόνου η συχνότητα οπότε στον κατακόρυφο άξονα παριστάνεται η φασματική ισχύς. Έτσι προκύπτει το φάσμα της χρονοσειράς. Κάθε περιοδική κύμανση περιόδου Τ αντιστοιχεί σε συχνότητα ν=/τ, ή κυκλική συχνότητα ω=π/τ. Οι μη συνιστώσες μίας χρονοσειράς σχεδιάζονται για να αναπαραστήσουν τις κυμάνσεις της σειράς για μία συγκεκριμένη περιοχή συχνοτήτων. Για παράδειγμα μία μη στάσιμη χρονοσειρά θα έχει φασματική ισχύ για ν0. Στα πλαίσια του μαθήματος αυτού θα δοθεί μόνο μια πολύ γενική περιγραφή της μεθόδου μέσω και των σχημάτων που ακολουθούν. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 3

ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 4

ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 5

ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 6

3. Πρακτική χρησιμότητα της ανάλυσης μίας χρονοσειράς σε συνιστώσες Η επινόηση της ανάλυσης μίας χρονοσειράς σε συνιστώσες είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, καθώς, ανάλογα με την περίσταση, κάποια (ή κάποιες) από τις συνιστώσες μπορεί θεωρηθεί ότι έχει μεγαλύτερη σπουδαιότητα από τις υπόλοιπες και έτσι να εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας στη συνιστώσα αυτή. Σε ορισμένες περιπτώσεις αυτό μπορεί να γίνει ακόμη και αγνοώντας εντελώς τις υπόλοιπες συνιστώσες σε πρώτη προσέγγιση. Αν για παράδειγμα η οπτική επισκόπηση μίας χρονοσειράς δείχνει ότι εμφανώς κυριαρχεί η συνιστώσα της μακροχρόνιας τάσης (είτε ανοδικής είτε καθοδικής) το χαρακτηριστικό αυτό μπορεί να το εκμεταλλευτούμε για να προεκτείνουμε τη χρονοσειρά ώστε να επιτύχουμε μία, αν και όλως προσεγγιστική, πρόβλεψη της. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι η χρονοσειρά αφενός δεν εμφανίζει εποχικότητα και αφετέρου αγνοούμε (τουλάχιστον αρχικά) τις πιο βραχυχρόνιες κυμάνσεις τις οποίες θεωρούμε, για τη συγκεκριμένη χρονοσειρά, ως δευτερεύουσας σημασίας. Τονίζεται με έμφαση ότι τα υποδείγματα που αφορούν τέτοιου είδους τεχνικές προέκτασης (expolion) είναι οριακά μόνο αποδεκτά, καθώς δεν παρέχουν προβλέψεις ικανοποιητικής ακρίβειας, όπως τα σύγχρονα στοχαστικά υποδείγματα χρονοσειρών που θα γνωρίσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Ένας άλλος τρόπος ανάδειξης της μακροχρόνιας τάσης ή/και της εποχικής συνιστώσας είναι να απαλοίψουμε τις βραχυχρόνιες κυμάνσεις που σχετίζονται με την άρρυθμη συνιστώσα. Αυτό επιτυγχάνεται με τις λεγόμενες τεχνικές εξομάλυνσης ή λείανσης (smoohing). Σε άλλες περιπτώσεις επιθυμούμε να εστιάσουμε στη μελέτη της εποχικότητας (sesonli). Στις περιπτώσεις αυτές απομονώνουμε την εποχική συνιστώσα από τις υπόλοιπες. Τέλος αν θέλουμε να απαλλαγούμε από τις εποχικής φύσεως κυμάνσεις χρησιμοποιούμε τις τεχνικές εποχικής διόρθωσης (sesonl djusmen). Στις ενότητες που ακολουθούν αναπτύσσονται σε εισαγωγικό επίπεδο τεχνικές για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους θεμάτων. 3.3 Απλά υποδείγματα προέκτασης με παλινδρόμηση Έστω ότι διαθέτουμε Τ παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς και παριστώντας την γραφικά φαίνεται να εμπεριέχει (και) μία ανοδική τάση. Μια τέτοια χρονοσειρά Υ εμφανίζεται στο σχήμα που ακολουθεί. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 7

Σχήμα 3. Γραφική παράσταση υποθετικής χρονοσειράς με μεταβαλλόμενη αυξητική τάση. Στο σχήμα φαίνεται και μία πρόχειρη προσαρμογή με βάση το εκθετικό υπόδειγμα (βλ. παρακάτω) Οι τιμές μιας χρονοσειράς Υ δηλώνονται ως, έτσι ώστε να είναι η πρώτη παρατήρηση, η δεύτερη παρατήρηση, και η τελευταία παρατήρηση για την σειρά. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι το μπορεί να υποδηλώνει τόσο τη χρονοσειρά, όσο και τις τιμές της. Όμως, προς αποφυγή συγχύσεως, τις περισσότερες φορές στο παρόν η χρονοσειρά θα συμβολίζεται με Υ. Έστω τώρα ότι επιθυμούμε να δημιουργηθεί ένα υπόδειγμα για τη χρονοσειρά Υ και να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει τη σειρά μετά την μιας περιόδου θα συμβολίζεται ως, δύο περιόδων ως, και ˆ παρατήρηση. Η πρόβλεψη ˆ l περιόδων ως Αν ο αριθμός των παρατηρήσεων δεν είναι πολύ μεγάλος, η απλούστερη και πιο πλήρης αναπαράσταση της Υ, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, δίνεται από ένα πολυώνυμο βαθμού Τ-. Για παράδειγμα η Υ μπορεί να περιγραφεί από μια συνεχή συνάρτηση του χρόνου f f, όπου: 0 n n και n () ˆ. l ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 8

Ένα τέτοιο πολυώνυμο (αν τα i είναι σωστά επιλεγμένα) θα περνάει από κάθε σημείο της χρονοσειράς. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η f θα ισούται με για κάθε από,, προκύπτει από τη f. Όμως πως μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι μια πρόβλεψη της Για παράδειγμα, η πρόβλεψη μιας περιόδου θα είναι στην περιοχή της πραγματικής μελλοντικής τιμής; 0 ˆ f που πόσο κοντά είναι στην πραγματική μελλοντική τιμή ; Δυστυχώς, δεν έχουμε τρόπο για να απαντήσουμε αυτήν την ερώτηση χωρίς επιπρόσθετη εκ των προτέρων πληροφορία. Η δυσκολία με το υπόδειγμα της εξίσωσης () είναι ότι δεν περιγράφει την Υ αλλά απλώς την αναπαράγει μέχρι την τελευταία παρατήρηση, δηλαδή μέχρι το παρόν. Δε συγκεντρώνει χαρακτηριστικά της Υ που θα μπορούσαν να επαναληφθούν στο μέλλον. Επομένως, αν και η δεδομένα μας, είναι ένα υπόδειγμα με πολύ χαμηλή αξία για πρόβλεψη. f προσαρμόζεται τέλεια στα εμπειρικά Μπορούμε όμως να δημιουργήσουμε προσεγγιστικά υποδείγματα προέκτασης, αν όπως ήδη αναφέραμε, εκμεταλλευτούμε κάποια εμφανή χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς, εφόσον τέτοια χαρακτηριστικά υπάρχουν. Αν από την οπτική παρατήρηση του γραφήματος μίας χρονοσειράς φαίνεται να υπάρχει μία έντονη μακροχρόνια τάση, τότε είναι δυνατό να κατασκευασθεί ένα υπόδειγμα που να περιγράφει αυτή την τάση και, κατ επέκταση, να χρησιμοποιηθεί για την προσεγγιστική προέκταση της χρονοσειράς. Δηλαδή με την προσέγγιση αυτή θεωρούμε μόνο τη συνιστώσα της μακροχρόνιας τάσης και αγνοούμε όλες τις υπόλοιπες συνιστώσες. Το απλούστερο από τα υποδείγματα αυτής της μορφής είναι το υπόδειγμα της γραμμικής τάσης: f()= = c + c όπου ο χρόνος και η τιμή της στο χρόνο. Συνήθως το επιλέγεται έτσι ώστε να ισούται με μηδέν στην περίοδο αναφοράς (πρώτη παρατήρηση) και να αυξάνεται κατά μία μονάδα για κάθε διαδοχική περίοδο. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 9

Για παράδειγμα, αν οριστεί από παλινδρόμηση ότι 50 4 μπορούμε να προβλέψουμε ότι η τιμή της στην περίοδο θα είναι 4 μονάδες υψηλότερη από τη προηγούμενη τιμή. Το παραπάνω είναι προφανές από το παρακάτω σχήμα: 70 68 66 64 6 60 58 56 54 5 50 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Σχήμα 3. Γραμμική τάση Το υπόδειγμα τάσης δευτέρου βαθμού είναι μία απλή επέκταση του γραμμικού υποδείγματος τάσης και απλώς προσθέτει έναν ακόμη όρο με το : c c c3 Αν c και c είναι και τα δύο θετικά, η είναι πάντα αύξουσα, αν και τα δύο είναι αρνητικά, 3 η πάντα θα μειώνεται. Σημειώνεται ότι ακόμα και αν τα δεδομένα δείχνουν ότι η είναι γενικά αύξουσα στο χρόνο αυτό μπορεί να οφείλεται σε μια θετική τιμή για το c 3 και μια αρνητική τιμή για το c. Αυτό μπορεί να συμβεί επειδή τα δεδομένα συνήθως καλύπτουν μόνο ένα μέρος της τάσης. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 0

Μία άλλη συνηθισμένη περίπτωση είναι να υποθέσουμε ότι η σειρά Υ αναπτύσσεται με σταθερό ποσοστό αύξησης αντί να αυξάνεται κατά σταθερό ποσό. Αυτή η υπόθεση ικανοποιείται όταν η ακολουθεί μια καμπύλη εκθετικής αύξησης: Πράγματι έχουμε: f Ae. Επί τοις εκατό μεταβολή μεταξύ χρονικών στιγμών και + = Ae Ae Ae ( ) Ae ( e Ae ) e 3! 3 Όμως: e... και για << ποσοστιαία μεταβολή μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ίση με. Εδώ τα A και προσαρμογή της ˆ e και επομένως η θα μπορούσαν να έχουν επιλεχθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η f στην. Μια προέκταση για μια περίοδο θα δίνονταν από τον τύπο: Ae () 400 350 300 50 00 50 00 50 0 0 0.5.5.5 3 Σχήμα 3.3 Εκθετική τάση. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION

Οι παράμετροι A και μπορούν να εκτιμηθούν λαμβάνοντας τους λογαρίθμους και στα δύο μέλη της () και προσαρμόζοντας μία λογαριθμική γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης: όπου A log c c c log και c, και u η στοχαστική διαταραχή. Επομένως τα Α και εκτιμώνται από τη σταθερά και την κλίση αντίστοιχα της παλινδρόμησης με εξαρτημένη μεταβλητή log() και ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο. Εφαρμογή: Να δείξετε ότι οι ημερήσιες αποδόσεις των χρηματιστηριακών τιμών των μετοχών μπορούν εκφρασθούν και ως οι λογαριθμικές διαφορές των τιμών. +u Οι απλές μέθοδοι όπως αυτές που περιγράψαμε παραπάνω, συχνά αποτελούν τη βάση για ανεπίσημες μακροχρόνιες προβλέψεις μη στάσιμων χρονοσειρών και για χρονικές στιγμές που βρίσκονται αρκετές περιόδους μετά την τελευταία γνωστή παρατήρηση. Αν και μπορεί να είναι χρήσιμες ως ένας τρόπος γρήγορης δημιουργίας αρχικών προβλέψεων, συνήθως παρέχουν προβλέψεις με μικρή ακρίβεια. 3.4 Προέκταση με υποδείγματα αστάθμιστων και εκθετικά σταθμισμένων κινητών μέσων Μια άλλη τάξη (αιτιοκρατικών υποδειγμάτων που συχνά χρησιμοποιούνται για προέκταση χρονοσειρών αποτελούν τα λεγόμενα υποδείγματα κινητού μέσου. Ως ένα απλό παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να προβλέψουμε μια μηνιαία χρονοσειρά. Θα μπορούσαμε f. Τότε να χρησιμοποιήσουμε ένα υπόδειγμα της μορφής: μια πρόβλεψη μιας περιόδου θα δίνονταν από το τύπο: ˆ. Τέτοια υποδείγματα είναι χρήσιμα όταν πιστεύουμε ότι μια πιθανή τιμή για τον επόμενο όρο μιας χρονοσειράς είναι ένας απλός μέσος όρος των τελευταίων δώδεκα τιμών της. Ίσως όμως είναι μη ρεαλιστικό να υποθέσουμε ότι μια καλή πρόβλεψη της μπορεί να δοθεί από έναν απλό μέσο των παρελθουσών τιμών της. Είναι συχνά πιο λογικό τιμές της χρονικά πιο κοντινές σε μια μελλοντική παρατήρηση αναφοράς να παίζουν πιο ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION

σημαντικό ρόλο, από τις πιο απομακρυσμένες χρονικά τιμές. Σε μια τέτοια περίπτωση στις πιο πρόσφατες τιμές θα έπρεπε να δίνεται μεγαλύτερη βαρύτητα. Ένα απλό υπόδειγμα που εκφράζει την παραπάνω σκέψη είναι το υπόδειγμα του εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου (exponenill weighed moving vege model, EWMA) το οποίο έχει τη μορφή: ˆ 0 εδώ το είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του που δείχνει πόσο περισσότερο βάρος δίνεται στις πρόσφατες τιμές σε σχέση με τις περισσότερο απομακρυσμένες προς το παρελθόν. Για, για παράδειγμα, η πρόβλεψη που γίνεται είναι η ˆ στην οποία (3) αγνοούνται οποιεσδήποτε τιμές της που συνέβησαν πριν τη. Καθώς το γίνεται μικρότερο, δίνουμε μεγαλύτερη έμφαση στις πιο απομακρυσμένες τιμές. Παρατηρείστε ότι η εξίσωση (3) παριστάνει έναν πραγματικό μέσο, αφού 0 και επομένως οι σταθμίσεις αθροίζουν στην μονάδα. Όμως με τέτοιου είδους υποδείγματα εμφανίζεται το εξής πρόβλημα: αν μια σειρά έχει μια ανοδική (καθοδική) τάση τότε το EWMA θα υποεκτιμά (υπερεκτιμά) τις μελλοντικές τιμές της. Αυτό συμβαίνει, αφού το υπόδειγμα σταθμίζει τις παρελθούσες τιμές της ώστε να δώσει μια πρόβλεψη. Αν η μειώνεται σταθερά, η πρόβλεψη του υποδείγματος EWMA για τη ˆ θα είναι επομένως μικρότερη από την πιο πρόσφατη τιμή, και αν η σειρά ˆ μεγαλώνει σταθερά, η θα είναι μια υποεκτίμηση της αληθινής τιμής της. Επομένως θα πρέπει να απαλειφθεί οποιαδήποτε τάση από τα δεδομένα πριν χρησιμοποιηθεί το υπόδειγμα EWMA. Στη συνέχεια και αφού γίνει η πρόβλεψη για τα δεδομένα χωρίς την τάση, προστίθεται και πάλι η συνιστώσα της τάσης ώστε να παραχθεί η τελική πρόβλεψη. Αν θέλουμε να κάνουμε μια πρόβλεψη ˆ k περιόδων χρησιμοποιώντας ένα, k υπόδειγμα EWMA, η εξίσωση (3) μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να περιέχει ένα σταθμικό μέσο των πιο πρόσφατων προβλέψεων ˆ ˆ ˆ k, k,,. Αυτή η λογική επέκταση υποδείγματος EWMA δίνεται από τη σχέση: ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 3

ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 4 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k k k k k Για παράδειγμα, έστω μια πρόβλεψη δύο περιόδων (κ=), η οποία θα μπορούσε να δοθεί από τη σχέση: 0 0 0 ˆ ˆ Επομένως η πρόβλεψη για δύο περιόδους είναι ίδια με την πρόβλεψη της μιας περιόδου. Γενικότερα αποδεικνύεται ότι και η πρόβλεψη σε k περιόδους είναι η ίδια με αυτήν της μιας περιόδου. Οι προβλέψεις με υποδείγματα κινητού μέσου είναι όλες προσαρμοστικές προβλέψεις. Με τον όρο προσαρμοστικές εννοούμε ότι αυτές αυτόματα προσαρμόζονται από μόνες τους στα πιο πρόσφατα διαθέσιμα δεδομένα. Αν και τα υποδείγματα κινητού μέσου που περιγράφονται παραπάνω είναι σίγουρα χρήσιμα, δεν παρέχουν καν πληροφορίες για το διάστημα εμπιστοσύνης της πρόβλεψης. Ο λόγος για αυτό είναι ότι δεν χρησιμοποιείται παλινδρόμηση για να εκτιμήσει το υπόδειγμα, όπως γίνονταν στα υποδείγματα της προηγούμενης παραγράφου, και έτσι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τυπικά σφάλματα, ούτε μπορούμε να περιγράψουμε ή να εξηγήσουμε τη στοχαστική συνιστώσα της χρονοσειράς. Είναι όμως αυτή η στοχαστική συνιστώσα που δημιουργεί το σφάλμα στις προβλέψεις μας. Αν δε λαμβάνεται υπόψη από το υπόδειγμα, πολύ λίγα μπορούν να λεχθούν για τα σφάλματα πρόβλεψης.

3.5 Τεχνικές εξομάλυνσης χρονοσειρών Οι τεχνικές εξομάλυνσης παρέχουν ένα μέσο απαλοιφής ή τουλάχιστον μείωσης της μεταβλητότητας των βραχυχρόνιων (υψηλής συχνότητας) κυμάνσεων σε μια χρονοσειρά. Στην πραγματικότητα αυτό που επιτυγχάνεται με μια τέτοια εξομάλυνση είναι να απαλειφθεί η άρρυθμη συνιστώσα από τη χρονοσειρά. Κάτι τέτοιο είναι χρήσιμο, καθώς με τον τρόπο αυτό καθίσταται ευκολότερο να διακρίνουμε τάσεις και κυκλικές-εποχικές κυμάνσεις. Στην προηγούμενη παράγραφο συζητήθηκαν τα υποδείγματα κινητού μέσου (απλά και εκθετικά σταθμισμένα ) στο πλαίσιο της πρόβλεψης. Τα υποδείγματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την εξομάλυνση οικονομικών χρονοσειρών. Για παράδειγμα, ένας από τους απλούστερους τρόπους για εξομάλυνση μιας σειράς είναι να πάρουμε ένα n περιόδων απλό κινητό μέσο. Δηλώνοντας την αρχική σειρά με και την εξομαλυνόμενη σειρά με ~, έχουμε: ~ n n φυσικά όσο το n είναι πιο μεγάλο τόσο πιο λεία θα είναι η νέα σειρά που θα προκύψει. Ένα πρόβλημα με τα παραπάνω υποδείγματα εξομάλυνσης με απλό κινητό μέσο είναι ότι χρησιμοποιούν μόνο παρελθούσες και παρούσες τιμές της για να δημιουργήσουν την τιμή της ~. Αυτό το πρόβλημα εύκολα διορθώνεται χρησιμοποιώντας ένα κεντρικό (cenl) κινητό μέσο στον οποίο το πλήθος των όρων είναι συνήθως περιττό. Για παράδειγμα, ένας πέντε περιόδων κεντρικός κινητός μέσος δίνεται από τη σχέση: ~ 5 Γενικά για τον απλό κεντρικό κινητό μέσο είναι καλύτερα να επιλέγεται περιττός αριθμός περιόδων. Στη γενική περίπτωση ένας τέτοιος κινητός μέσος n περιόδων θα δίνεται από τη σχέση: ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 5

n / ( n) i n i0 Η εκθετική εξομάλυνση εμπλέκει τη χρήση του εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου για εξομάλυνση (υπενθυμίζεται ότι αυτό το υπόδειγμα δίνει μεγαλύτερο βάρος στις πλέον πρόσφατες τιμές της επίσης ισχύει ότι ~ ). Η σειρά ~ που προκύπτει δίνεται από τη σχέση: ~ 3 3 και επομένως από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει η αναδρομική σχέση: ~ ~ με τη χρήση της οποίας υπολογίζεται το ~. Σημειώνεται ότι όσο πιο κοντά το πλησιάζει στη μονάδα, τόσο μεγαλύτερη βαρύτητα δίνεται στην παρούσα τιμή για τη δημιουργία της ~. Επομένως μικρότερες τιμές του α παρέχουν μια πιο λεία σειρά. Μερικές φορές όμως είναι επιθυμητό να επιτύχουμε έντονη εξομάλυνση χωρίς να δοθεί μεγάλο βάρος σε πιο απομακρυσμένες χρονικά τιμές. Σε μία τέτοια περίπτωση η χρήση του αναδρομικού τύπου με μία μικρή τιμή του δεν ενδείκνυται. Αντί αυτού μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της λεγόμενης διπλής εκθετικής εξομάλυνσης. Όπως υπονοεί και το όνομα της, η απλά εξομαλυνόμενη σειρά ~, εξομαλύνεται και πάλι: ~ ~ ~ Με αυτό τον τρόπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια μεγαλύτερη τιμή του, επομένως να μη δίνεται μεγάλη βαρύτητα σε απομακρυσμένες παρατηρήσεις, αλλά παρόλα αυτά η τελική σειρά ~ να είναι λεία σε μεγάλο βαθμό. Τροποποίηση του απλού υποδείγματος εκθετικής εξομάλυνσης μιας παραμέτρου αποτελεί το υπόδειγμα του Ηol δύο παραμέτρων το οποίο εμπεριέχει και διόρθωση για τις μεταβολές στη μακροχρόνια τάση: ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 6

~ ( )( ~ ) ( ~ ~ ) ( ) Η εξομάλυνση επιτυγχάνεται με τις παραπάνω δύο αναδρομικές εξισώσεις και εξαρτάται από δύο παραμέτρους α, γ με 0<α,γ. Όσο μικρότερη είναι η τιμή των παραμέτρων αυτών, τόσο εντονότερη είναι η εξομάλυνση. Η είναι μια χρονοσειρά που εξομαλύνεται σύμφωνα με τη δεύτερη εξίσωση και παριστάνει το μέσο ρυθμό αύξησης της σειράς ~. 3.6 Εποχική διόρθωση Με την παρακολούθηση των μεταβολών των οικονομικών μεγεθών, π.χ. σε μηνιαία βάση, επιτυγχάνεται η έγκαιρη διάγνωση των υφιστάμενων τάσεων και έτσι καθίσταται δυνατή η ενδεχόμενη λήψη κατάλληλων μέτρων. Εν τούτοις η σύμφωνα με τα ανωτέρω απαραίτητη παρακολούθηση της βραχυχρόνιας εξέλιξης των οικονομικών μεγεθών καθίσταται δυσχερής λόγω ρυθμικών κυμάνσεων εποχικής φύσεως δηλαδή κυμάνσεων με περίοδο ενός έτους. Αυτή η εποχική κύμανση είναι το αποτέλεσμα της επίδρασης συστηματικών παραγόντων οι οποίοι είναι κλιματικής ή άλλης (π.χ. εθιμικής) φύσεως. Ως παραδείγματα δύνανται να αναφερθούν οι εισπράξεις από τουριστικές υπηρεσίες (επίδραση κλίματος) και οι δαπάνες για αγορές δώρων σε εορταστικές περιόδους (εθιμική επίδραση). Η εποχική διόρθωση, δηλαδή η απαλοιφή της εποχικής συνιστώσας από μία χρονοσειρά, αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για τη μελέτη του συνόλου σχεδόν των οικονομικών και νομισματικών μεγεθών, τουλάχιστον όσον αφορά τις βραχυχρόνιες αναλύσεις και προβλέψεις. Για το σκοπό αυτό έχουν επινοηθεί πολλές μέθοδοι - από τις πλέον απλές, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός δωδεκάμηνων ρυθμών μεταβολής για τη μελέτη μεγεθών που παρατηρούνται σε μηναία βάση, μέχρι τις πιο σύνθετες, όπως τα εξειδικευμένα στατιστικά υποδείγματα για την ανάλυση χρονολογικών σειρών- κάθε μια με τα δικά της πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, που σε κάποιο βαθμό αντανακλώνται και στην ποιότητα των εποχικά διορθωμένων στοιχείων που προκύπτουν από την εφαρμογή τους. Όμως, παρά τη μεγάλη αυτή σημασία των εποχικά διορθωμένων στοιχείων, δεν έχει μέχρι σήμερα συμφωνηθεί μια κοινά αποδεκτή μέθοδος και διαδικασία εποχικής διόρθωσης. Οι σύγχρονες μέθοδοι εποχικής διόρθωσης, είναι αρκετά περίπλοκες και απαιτούν τη χρήση εξειδικευμένου λογισμικού. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 7

Γενικά η επίδραση της εποχικότητας σε μία χρονική σειρά δύναται να διακριθεί σε δύο κατηγορίες: (α) σταθερού εποχικού προτύπου, και (β) μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου. Στο παρόν θα περιοριστούμε στη μέθοδο εποχικής διόρθωσης βάσει του σταθερού εποχικού προτύπου. Το σταθερό εποχικό πρότυπο Η μέθοδος εποχικής διόρθωσης που θα διαπραγματευτούμε εδώ είναι βασικά ένας d hoc τρόπος υπολογισμού εποχικών δεικτών (οι οποίοι προσπαθούν να μετρήσουν τη εποχική μεταβλητότητα στη σειρά). Χρησιμοποιώντας αυτούς τους δείκτες είναι δυνατό να διορθωθεί εποχικά μια χρονοσειρά απαλείφοντας την εποχική συνιστώσα. Το σταθερό εποχικό πρότυπο στηρίζεται στην υπόθεση ότι η εποχική κύμανση επαναλαμβάνεται πανομοιότυπα σε όλα τα έτη. Στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής εποχικότητας κάθε μήνα αν και εν γένει διαφέρει από τους αντίστοιχους συντελεστές των υπολοίπων μηνών, παραμένει σταθερός για όλα τα έτη. Οι τεχνικές της εποχικής διόρθωσης σταθερών συντελεστών βασίζονται στην ιδέα ότι μία χρονοσειρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα γινόμενο τεσσάρων συνιστωσών: L S C I όπου L η τιμή της μακροχρόνιας τάσης στην σειρά S C I η τιμή της εποχικής συνιστώσας (μακροχρόνια) κυκλική συνιστώσα άρρυθμη συνιστώσα (συνιστώσα θορύβου) Ο σκοπός είναι να απαλειφθεί η εποχική συνιστώσα S. Για να γίνει αυτό πρώτα προσπαθούμε να απομονώσουμε το συνδυασμό της μακροχρόνιας τάσης και της κυκλικής συνιστώσας L C. Αυτό γίνεται με μια διαδικασία εξομάλυνσης ώστε να απαλειφθούν η εποχική συνιστώσα και η συνιστώσα θορύβου S I από την πραγματική σειρά. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι η αποτελείται από μηνιαία δεδομένα, ένας -μηνος κινητός μέσος ~ υπολογίζεται ως: ~ 6 5 ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 8

Με αυτό τον τρόπο η ~ εξομαλύνεται ώστε να μην περιέχει την εποχική και την άρρυθμη συνιστώσα και άρα είναι μια εκτίμηση του δεδομένα με την εκτίμηση του LC συνιστώσας θορύβου και εποχικότητας L C. Στη συνέχεια διαιρούμε τα αρχικά για να πάρουμε μια εκτίμηση της συνδυασμένης S I : LC S I LC S I ~ z Το επόμενο βήμα είναι να απαλειφθεί η συνιστώσα θορύβου όσο πληρέστερα γίνεται έτσι ώστε να έχουμε τον εποχικό δείκτη. Για να γίνει αυτό λαμβάνουμε το μέσο όρο των τιμών της S I για τον ίδιο μήνα. Με άλλα λόγια έστω η τιμή (και επομένως z ) αναφέρεται στον Ιανουάριο, στον Φεβρουάριο, κλπ., και έστω ότι υπάρχουν δεδομένα 48 μηνών. Επομένως υπολογίζουμε: Η λογική εδώ είναι ότι όταν τα ~ z z z3 z5 z 4 ~ z z z4 z6 z 4... ~ z z z 4 z 4 z 36 37 38 z 48 σταθμίζονται για κάθε μήνα οι ακανόνιστες διαταραχές εξομαλύνονται σε μεγάλο βαθμό. Οι δώδεκα μέσοι ~ z, ~ z,, ~ z θα είναι επομένως οι εκτιμήσεις των εποχικών δεικτών και θα πρέπει να αθροίζουν σε αλλά δεν θα κάνουν τόσο ακριβώς αν υπάρχει κάποια μακροχρόνια τάση στα δεδομένα. Οι τελικοί εποχικοί δείκτες υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τους δείκτες με ένα παράγοντα που φέρνει το άθροισμά τους στο και ~ z, ~ z, ~ z θα έχουμε: έτσι για τους τελικούς δείκτες ~ z ~ z i i ~ z i i Η απαλοιφή της εποχικότητας από την αρχική σειρά είναι τώρα άμεση: αρκεί να διαιρεθεί κάθε τιμή στη σειρά με τον αντίστοιχο δείκτη εποχικότητας, αφήνοντας έτσι τις άλλες τρεις ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 9

συνιστώσες ανεπηρέαστες. Επομένως η εποχικά διορθωμένη σειρά / z, / z,, / z. σχέσεις: 48 48 λαμβάνεται από τις 3.7 Εφαρμογές Κεφαλαίου 3 ( ) Παράδειγμα 3. Μηνιαίες ενάρξεις ανέγερσης νέων κατοικιών στις ΗΠΑ Η χρονοσειρά για μηνιαίες άδειες ανέγερσης κατοικιών στις Ηνωμένες Πολιτείες αποτελεί ένα καλό παράδειγμα για την εφαρμογή των μεθόδων εξομάλυνσης και εποχικής διόρθωσης. Η σειρά παρουσιάζει σημαντικές διακυμάνσεις και επίσης παρουσιάζει σημαντική εποχική μεταβολή. Σ αυτό το παράδειγμα εξομαλύνουμε τη σειρά χρησιμοποιώντας τον απλό κινητό μέσο και εκθετικές μεθόδους εξομάλυνσης. Ξεκινάμε χρησιμοποιώντας κεντρικούς μέσους όρους τριών - και επτά περιόδων για να εξομαλύνουμε τις σειρά δηλ. παράγουμε την εξομαλυμένη σειρά σειρά χρησιμοποιώντας τη σχέση: από την αρχική n / ( n) i n i0 όταν το n=3 ή 7. Επισημαίνεται ότι αφού ο κινητός μέσος είναι κεντρικός, δεν χρειάζεται να απαλείψουμε την τάση των σειρών πριν την εξομάλυνση. Η αρχική σειρά, μαζί με τις δύο σειρές που έχουν εξομαλυνθεί, φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Παρατηρείστε ότι Τα παραδείγματα του Κεφαλαίου 4 είναι από το σύγγραμμα των Pindck nd Rubinfeld «Economeic Models nd Economic Foecss», 3 d Ediion, McGw Hill ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 0

η χρήση του κινητού μέσου όρου 7-περιόδων εξομαλύνει σε μεγάλο βαθμό τη σειρά και ακόμη εξαλείφει κάποια από την εποχική μεταβολή. Τώρα χρησιμοποιούμε την εκθετική μέθοδο εξομάλυνσης. Αφού η αρχική σειρά αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου και ο εκθετικά σταθμισμένος κινητός μέσος δεν είναι κεντρικός, όπως είδαμε στη θεωρία οι σειρές μετά την εξομάλυνση θα υποεκτιμούν την αρχική σειρά εκτός κι αν πρώτα απαλείψουμε την τάση της σειράς. Για να απαλείψουμε την τάση της αρχικής σειράς υποθέτουμε μια γραμμική τάση (θα μπορούσαμε φυσικά να εξετάσουμε εναλλακτικές χρονικές τάσεις), και προκύπτει το παρακάτω υπόδειγμα παλινδρόμησης για την τάση: = 56,8 +,083 R = 0,360 (-3,36) (5,37) Τα κατάλοιπα u από αυτή την παλινδρόμηση, που είναι, u = + 56,8,083 μας παρέχουν τη σειρά στην οποία έχει γίνει απαλοιφή της τάσης. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε εκθετική εξομάλυνση σε αυτή τη σειρά που της έχει αφαιρεθεί η τάση. Χρησιμοποιούμε δύο εναλλακτικές τιμές της παραμέτρου εξομάλυνσης, α = 0,8 (ελαφρά εξομάλυνση) και α = 0, (έντονη εξομάλυνση). Τελικά παίρνουμε τις ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION

«λειασμένες» σειρές που τους έχει αφαιρεθεί η τάση u και προσθέτουμε την τάση εκ νέου δηλ. υπολογίζουμε = u 56,8 +,083 Η αρχική σειρά και οι λειασμένες σειρές φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί: ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION

Παρατηρούμε ότι οι εποχικές μεταβολές, ενώ μειώνονται, ωθούνται προς τα εμπρός λόγω της έντονης εκθετικής εξομάλυνσης. Αυτό συμβαίνει, επειδή ο εκθετικά σταθμισμένος κινητός μέσος όρος δεν είναι κεντρικός. Έτσι, αν μια σειρά δείχνει μεγάλες εποχικές μεταβολές, η εκθετική εξομάλυνση θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο αφού η σειρά έχει διορθωθεί εποχικά. Παράδειγμα 3. Μηνιαίες ανεγέρσεις νέων κατοικιών στις ΗΠΑ: Εποχική διόρθωση Ας εφαρμόσουμε τώρα την τεχνική της εποχικής διόρθωσης με το σταθερό εποχικό πρότυπο στη σειρά μας για μηνιαίες άδειες ανέγερσης κατοικιών (βλέπε Παράδειγμα 4.). Για να το κάνουμε αυτό πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε ένα -μηνο κινητό μέσο της αρχικής σειράς και μετά να διαιρέσουμε το με το, το οποίο είναι ο υπολογισμός z =. Παρατηρείστε ότι το z περιέχει (χονδρικά) την εποχική και άρρυθμη (ακανόνιστη) συνιστώσα της αρχικής σειράς. Απομακρύνουμε την άρρυθμη συνιστώσα υπολογίζοντας κατά μέσο όρο τις τιμές του z που αντιστοιχούν στον ίδιο μήνα δηλ. υπολογίζουμε z, z,, z Τέλος υπολογίζουμε τους τελικούς εποχικούς δείκτες z, z, z, z ' ' ' ' 3 4 πολλαπλασιάζοντας τα z, z,, z με έναν παράγοντα που κάνει το άθροισμά τους ίσο με. Οι τελικοί εποχικοί δείκτες είναι ως εξής : Εποχικοί Δείκτες Μήνας Δείκτης Μήνας Δείκτης Ιανουάριος 0,555 Ιούλιος,900 Φεβρουάριος 0,79 Αύγουστος,454 Μάρτιος 0,9996 Σεπτέμβριος,0675 Απρίλιος,95 Οκτώβριος,083 Μάιος,56 Νοέμβριος 0,8643 Ιούνιος,609 Δεκέμβριος 0,6584 Αυτοί οι εποχικοί δείκτες απεικονίζονται στο σχήμα που ακολουθεί: ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 3

Για να απαλείψουμε την εποχικότητα από τη σειρά αρκεί να διαιρέσουμε κάθε τιμή στη σειρά με τον αντίστοιχό της παράγοντα (εποχικό δείκτη). Η αρχική σειρά μαζί με την εποχικά διορθωμένη σειρά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 4

Παρατηρείστε ότι η εποχική μεταβολή έχει ελαττωθεί στην διορθωμένη σειρά, ενώ παραμένουν η μακροχρόνια τάση και οι βραχυπρόθεσμες ακανόνιστες διακυμάνσεις. ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 5

ΚΕΦ. 3-07 BEA VERSION 6