TOÁN CAO CẤP (A2) BÀI GIẢNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG Ths.

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG - - - - - - - - - - - - - - BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A Bê soạ : Ts LÊ BÁ LONG Ths ĐỖ PHI NGA Lưu hàh ộ ộ HÀ NỘI - 6

LỜI NÓI ĐẦU Toá o ấp A A A là hươg trìh toá đạ ươg dàh ho sh vê á hóm gàh toá và hóm gàh thuộ khố kỹ thuật Nộ dug ủ toá o ấp A A hủ ếu là phép tíh v tíh phâ ủ hàm một hoặ hều ế ò toá o ấp A là á ấu trú đạ số và đạ số tuế tíh Có khá hều sáh gáo kho và tà lệu thm khảo vết về á hủ đề à Tu hê vớ phươg thứ đào tạo từ ó hữg đặ thù rêg đò hỏ họ vê làm vệ độ lập hều hơ do đó ầ phả ó tà lệu hướg dẫ họ tập thíh hợp ho từg mô họ Tập tà lệu hướg dẫ họ mô toá o ấp A à đượ ê soạ ũg hằm mụ đíh trê Tập tà lệu à đượ ê soạ theo hươg trìh qu địh ăm ủ Họ vệ Côg ghệ Bưu Chíh Vễ Thôg Nộ dug ủ uố sáh ám sát á gáo trìh ủ á trườg đạ họ kỹ thuật gáo trìh dàh ho hệ híh qu ủ Họ vệ Côg ghệ Bưu Chíh Vễ Thôg ê soạ ăm và theo kh ghệm gảg dạ hều ăm ủ tá gả Chíh vì thế gáo trìh à ũg ó thể dùg làm tà lệu họ tập tà lệu thm khảo ho sh vê ủ á trườg á gàh đạ họ và o đẳg Gáo trìh đượ trìh à theo áh thíh hợp đố vớ gườ tự họ đặ ệt phụ vụ đắ lự ho ôg tá đào tạo từ Trướ kh ghê ứu á ộ dug h tết gườ đọ ê em phầ gớ thệu ủ mỗ hươg ũg hư mụ đíh ủ hươg trog sáh Hướg dẫ họ tập Toá A đ kèm để thấ đượ mụ đíh ý ghĩ êu ầu híh ủ hươg đó Trog mỗ hươg mỗ ộ dug gườ đọ ó thể tự đọ và hểu đượ ặ kẽ thôg qu áh dễ đạt và hứg mh rõ ràg Đặ ệt ạ đọ ê hú ý đế á hậ ét ìh luậ để hểu sâu hơ hoặ mở rộg tổg quát hơ á kết quả Hầu hết á à toá đượ â dựg theo lượ đồ: Đặt à toá hứg mh sự tồ tạ lờ gả ằg lý thuết và uố ùg êu thuật toá gả quết à toá à Cá ví dụ là để mh hoạ trự tếp khá ệm địh lý hoặ á thuật toá vì vậ sẽ gúp gườ đọ dễ dàg hơ kh tếp thu à họ Gáo trìh gồm 7 hươg tươg ứg vớ đơ vị họ trìh 6 tết: Chươg I: Lô gíh toá họ lý thuết tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Chươg II: Khôg g vé tơ Chươg III: trậ Chươg IV: Địh thứ Chươg V: Hệ phươg trìh tuế tíh Chươg VI: Áh ạ tuế tíh Chươg VII: Khôg g vé tơ Eulde và dạg toà phươg Ngoà v trò là ôg ụ ho á gàh kho họ khá toá họ ò đượ em là một gàh kho họ ó phươg pháp tư du lập luậ híh á hặt hẽ Vì vậ vệ họ toá ũg gúp t rè luệ phươg pháp tư du Cá phươg pháp à đã đượ gảg dạ và ug ấp

từg ướ trog quá trìh họ tập ở phổ thôg hưg trog hươg I á vấ đề à đượ hệ thốg hoá lạ Nộ dug ủ hươg I đượ em là ơ sở gô gữ ủ toá họ hệ đạ ột và ộ dug trog hươg à đã đượ họ ở phổ thôg hưg hỉ vớ mứ độ đơ gả Cá ấu trú đạ số thì hoà toà mớ và khá trừu tượg vì vậ đò hỏ họ vê phả đọ lạ hều lầ mớ tếp thu đượ Cá hươg ò lạ ủ gáo trìh là đạ số tuế tíh Kế thứ ủ á hươg lê hệ hặt hẽ vớ hu kết quả ủ hươg à là ôg ụ ủ hươg khá Vì vậ họ vê ầ thấ đượ mố lê hệ à Đặ đểm ủ mô họ à là tíh khá quát hoá và trừu tượg o Cá khá ệm thườg đượ khá quát hoá từ hữg kết quả ủ hìh họ gả tíh ở phổ thôg Kh họ t ê lê hệ đế á kết quả đó Tu rằg tá gả đã rất ố gắg sog vì thờ g ị hạ hẹp ùg vớ êu ầu ấp áh ủ Họ vệ vì vậ á thếu sót ò tồ tạ trog gáo trìh là đều khó tráh khỏ Tá gả rất mog sự đóg góp ý kế ủ ạ è đồg ghệp họ vê gầ và ám ơ vì đều đó Cuố ùg húg tô à tỏ sự ám ơ đố vớ B Gám đố Họ vệ Côg ghệ Bưu Chíh Vễ Thôg Trug tâm Đào tạo Bưu Chíh Vễ Thôg và ạ è đồg ghệp đã khuế khíh độg vê tạo hều đều kệ thuậ lợ để húg tô hoà thàh tập tà lệ à Hà Nộ uố ăm Ts Lê Bá Log Kho ơ ả Họ Vệ Côg ghệ Bưu híh Vễ thôg

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số CHƯƠNG : Ở ĐẦU VỀ LÔGÍC ỆNH ĐỀ TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SƠ LƯỢC VỀ LÔGÍC ỆNH ĐỀ ệh đề Lôgí mệh đề là một hệ thốg lôgíh đơ gả hất vớ đơ vị ơ ả là á mệh đề mg ộ dug ủ á phá đoá mỗ phá đoá đượ gả thết là ó một gá trị hâ lý hất địh là đúg hoặ s Để hỉ á mệh đề hư á địh t dùg á hữ á p q r và gọ húg là á ế mệh đề Nếu mệh đề p đúg t ho p hậ gá trị và p s t ho hậ gá trị Gá trị hoặ đượ gọ là thể hệ ủ p ệh đề phứ hợp đượ â dựg từ á mệh đề đơ gá hơ ằg á phép lê kết lôgíh mệh đề Cá phép lê kết lôgí mệh đề Phép phủ địh egto: Phủ địh ủ mệh đề p là mệh đề đượ ký hệu p đọ là khôg p ệh đề p đúg kh p s và p s kh p đúg Phép hộ ojuto: Hộ ủ h mệh đề q là p và q ệh đề q p hỉ đúg kh p và q ùg đúg Phép tuể dsjuto: Tuể ủ h mệh đề q đọ là p hoặ q p q hỉ s kh p và q ùg s p là mệh đề đượ ký hệu p q đọ p là mệh đề đượ ký hệu p q p q p q Phép kéo theo mplto: ệh đề kéo theo ký hệu là mệh đề hỉ s kh p đúg q s Phép tươg đươg equvlee: ệh đề p q q p đượ gọ là mệh đề p tươg đươg q ký hệu p q ột ôg thứ gồm á ế mệh đề và á phép lê kết mệh đề đượ gọ là một ôg thứ mệh đề Bảg lệt kê á thể hệ ủ ôg thứ mệh đề đượ gọ là ảg hâ trị Từ địh ghĩ ủ á phép lê kết mệh đề t ó á ảg hâ trị su

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số p p q p q p q p q p q p q p p q q p q p Như vậ là một mệh đề đúg kh ả h mệh đề q p p và q ùg đúg hoặ ùg s và mệh đề s trog trườg hợp gượ lạ p q ột ôg thứ mệh đề đượ gọ là hằg đúg ếu ó luô hậ gá trị trog mọ thể hệ ủ á ế mệh đề ó trog ôg thứ T ký hệu mệh đề tươg đươg hằg đúg là " " th ho " " Cá tíh hất Dùg ảg hâ trị t dễ dàg kểm hứg á mệh đề hằg đúg su: p p luật phủ địh kép q p q p p q q p p q q p luật go hoá r q p r q p r q p r q p luật kết hợp [ ] [ r p q p r q p ] [ ] [ r p q p r q p ] luật phâ phố 6 ệh đề p p luô đúg luật à hug p p luô s luật mâu thuẫ 7 q p q p q p q p luật De org 6

TẬP HỢP Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số 8 p q q p luật phả hứg 9 p p p p p p ; luật lũ đẳg p p q p; p p q p luật hấp thu Khá ệm tập hợp Khá ệm tập hợp và phầ tử là khá ệm ơ ả ủ toá họ khôg thể địh ghĩ qu á khá ệm đã ết Cá khá ệm "tập hợp" "phầ tử" ét trog mố qu hệ phâ tử ủ tập hợp trog lý thuết tập hợp là gốg vớ khá ệm "đườg thẳg" "đểm" và qu hệ đểm trê đườg thẳg đượ ét trog hìh họ Nó một áh ôm t ó thể em tập hợp hư một sự tụ tập á vật á đố tượg ào đó mà mỗ vật h đố tượg là một phầ tử ủ tập hợp Có thể lấ ví dụ về á tập hợp ó ộ dug toá họ hoặ khôg toá họ Chẳg hạ: tập hợp á số tự hê là tập hợp mà á phầ tử ủ ó là á số ò tập hợp á uố sáh trog thư vệ ủ Họ vệ Côg ghệ Bưu híh Vễ thôg là tập hợp mà á phầ tử ủ ó là á uố sáh T thườg ký hệu á tập hợp ở á hữ ho A B X Y ò á phầ tử ở á hữ thườg Nếu phầ tử thuộ A t ký hệu A ếu khôg thuộ A t ký hệu A T ũg ó tắt "tập" th ho thuật gữ "tập hợp" Cáh mô tả tập hợp T thườg mô tả tập hợp theo h áh su: Lệt kê á phầ tử ủ tập hợp Ví dụ : Tập á số tự hê lẻ hỏ hơ là { 79 } Tập hợp á ghệm ủ phươg trìh là { } Nêu đặ trưg tíh hất ủ á phầ tử tạo thàh tập hợp Ví dụ : Tập hợp á số tự hê hẵ P { m m } Hàm mệh đề trê tập hợp D là một mệh đề S phụ thuộ vào ế D Kh ho ế một gá trị ụ thể thì t đượ mệh đề lôgíh mệh đề hỉ hậ một trog h gá trị hoặ đúg hoặ s Nếu S là một mệh đề trê tập hợp D thì tập hợp á phầ tử D đúg đượ ký hệu { D S } và đượ gọ là mề đúg ủ hàm mệh đề Xét hàm mệh đề tố" thì S S đúg và S S s S á địh trê tập á số tự hê : " so ho S S là một số guê 7

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số ỗ một phươg trìh là một hàm mệh đề { } { } Để ó hìh ảh trự qu về tập hợp gườ t thườg ểu dễ tập hợp hư là mề phẳg gớ hạ ở đườg og khép kí khôg tự ắt đượ gọ là gả đồ Ve ột số tập hợp số thườg gặp Tập o - Tập á số tự hê { } - Tập á số guê { ± ± } - Tập á số hữu tỉ { p q q p q } - Tập á số thự - Tập á số phứ { ; } Địh ghĩ : Tập A đượ gọ là tập o ủ B ếu mọ phầ tử ủ A đều là phầ tử A B h B A ủ B kh đó t ký hệu Kh A là tập o ủ B thì t ò ó A o hàm trog B h B o hàm A h B hứ A T ó: Địh ghĩ : H tập A B ằg hu ký hệu A B kh và hỉ kh A B và B A hứg mh A B t hỉ ầ hứg mh A B A B t hỉ ầ hứg mh A B Như vậ để hứg mh Địh ghĩ : Tập rỗg là tập khôg hứ phầ tử ào ký hệu φ ột áh hìh thứ t ó thể em tập rỗg là tập o ủ mọ tập hợp và vì vậ kh Tập hợp tất ả á tập o ủ X đượ ký hệu P X Vậ A P X kh và hỉ kh A X Tập X là tập o ủ híh ó ê là phầ tử lớ hất ò φ là phầ tử é hất trog P X 8 Ví dụ : X { } P ó X { φ {}{ } { } { } { } { } X}

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số T thấ X ó phầ tử thì P X ó 8 phầ tử T ó thể hứg mh tổg quát rằg ếu X ó phầ tử thì X Cá phép toá trê á tập hợp P ó phầ tử Phép hợp: Hợp ủ h tập A và B ký hệu A B hất một trog h tập A B Vậ A B A B Phép go: Go ủ h tập A và B ký hệu A B đồg thờ ả h tập A B Vậ A B A B là tập gồm á phầ tử thuộ ít Hệu ủ h tập: Hệu ủ h tập A và B ký hệu A \ B h A B phầ tử thuộ A hưg khôg thuộ B B C X Vậ A B A B Đặ ệt ếu đượ ký hệu là \ là tập gồm á phầ tử thuộ B X thì tập X \ B đượ gọ là phầ ù ủ B trog X và là tập gồm á B C X Nếu tập X ố địh và khôg sợ hầm lẫ thì t ký hệu B th ho T ó thể mh hoạ á phép toá trê ằg gả đồ Ve: A B A B B C X Áp dụg lôgíh mệh đề t dễ dàg kểm hứg lạ á tíh hất su: A B B A A B B A tíh go hoá A B C A B C A B C A B C tíh kết hợp A B C A B A C 9

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Gả sử A B C A B A C tíh phâ ố A B là h tập o ủ X thì: A A; A φ A; A X A A A X ; A A φ 6 A B A B ; A B A B luật De org A B 7 A \ B A B A A B A \ A B C A Lượg từ phổ ế và lượg từ tồ tạ D Gả sử S là một hàm mệh đề á địh trê tập D ó mề đúg { D S } S Kh đó: ệh đề D S D S D đọ là vớ mọ D S và s trog trườg hợp gượ lạ Ký hệu đọ là vớ mọ đượ gọ là lượg từ phổ ế Kh D đã á địh thì t thườg vết tắt S ệh đề D S h S đọ là tồ tạ D S D S φ và s trog trườg hợp gượ lạ Ký hệu đọ là tồ tạ đượ gọ là lượg từ tồ tạ là một mệh đề đúg ếu là một mệh đề đúg ếu Để hứg mh một mệh đề vớ lượg từ phổ ế là đúg thì t phả hứg mh đúg trog mọ trườg hợp ò vớ mệh đề tồ tạ t hỉ ầ hỉ r một trườg hợp đúg Ngườ t mở rộg khá ệm lượg tử tồ tạ vớ ký hệu! D S đọ là tồ tạ du hất D S ếu ó đúg một phầ tử d Phép phủ địh lượg từ D S D S D S D S D S Ví dụ : Theo địh ghĩ ủ gớ hạ lm f L ε > δ > ; : < < δ f L < ε

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Sử dụg tíh hất hằg đúg p q p q em tíh hất t ó < < δ f L < ε tươg đươg vớ δ f L < ε Vậ phủ địh ủ lm f L là < < δ f L ε ε > δ > ; : 6 Phép hợp và go su rộg A I U A I Gả sử là một họ á tập hợp T địh ghĩ là tập gồm á phầ tử thuộ I ít hất một tập A ào đó và A là tập gồm á phầ tử thuộ mọ tập A I Vậ U ; A I I A A I; I I A Ví dụ : A { } 7 Qu hệ { < } B U A [ ; I [ ; ] 7 Tíh Đề á ủ á tập hợp dạg B Địh ghĩ : Tíh Đề á ủ h tập trog đó X và Y Vậ X Y { X vµ Y} Ví dụ 6: X { } X Y Y { } X Y là tập ký hệu X Y gồm á phầ tử ó { } T dễ dàg hứg mh đượ rằg ếu X ó phầ tử Y ó m phầ tử thì X Y m phầ tử ó

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Cho hợp à hư su: X X X là tập hợp ào đó t địh ghĩ và ký hệu tíh Đề á ủ tập { X } X X X Chú ý : Kh X X X thì t ký hệu X th ho X X lç Tíh Đề á X X X ò đượ ký hệu I X Gả sử X X ; X X thì Tíh Đề á ủ á tập hợp khôg ó tíh go hoá 7 Qu hệ h gô Địh ghĩ : Cho tập gô trê X Vớ vết R X φ mỗ tập o X X X mà R t ó ó qu hệ vớ theo qu hệ Ví dụ 7: T ét á qu hệ su trê tập á số: R : R R R R h hết ho đượ gọ là một qu hệ h R và t : và guê tố ùg hu R : R hỏ hơ h ằg R : R m T ký hệu mod m và đọ là đồg dư vớ môđulô m Địh ghĩ 6: Qu hệ h gô R trê X đượ gọ là ó tíh: Phả ạ ếu R X ; Đố ứg ếu X mà R thì ũg ó Bắ ầu ếu X mà R và d Phả đố ứg ếu X mà R và R ; R thì ũg ó R thì R ;

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Ví dụ 8: R phả đố ứg ắ ầu hưg khôg đố ứg khôg phả ạ vì khôg h hết ho R đố ứg khôg phả ạ khôg phả ứg khôg ắ ầu R phả ạ phả đố ứg ắ ầu R phả ạ đố ứg ắ ầu 7 Qu hệ tươg đươg Địh ghĩ 8: Qu hệ h gô R trê tíh hất phả ạ đố ứg ắ ầu X φ đượ gọ là qu hệ tươg đươg ếu ó R Vớ qu hệ tươg đươg R t thườg vết ~ R hoặ ~ th ho T địh ghĩ và ký hệu lớp tươg đươg ủ phầ tử X là tập hợp { X ~ } ỗ phầ tử ất kỳ ủ lớp tươg đươg đượ gọ là phầ tử đạ dệ ủ Ngườ t ũg ký hệu lớp tươg đươg ủ là l H lớp tươg đươg ất kỳ thì hoặ ằg hu hoặ khôg go hu ghĩ là hoặ ằg hoặ ằg φ ó áh khá á lớp tươg đươg tạo thàh một phâ hoạh á tập o ủ X X Tập tất ả á lớp tươg đươg đượ gọ là tập hợp thươg ký hệu X ~ { X } ~ Vậ Ví dụ 9: Qu hệ R trog ví dụ 7 là một qu hệ tươg đươg gọ là qu hệ đồg dư môđulô m trê tập á số guê Nếu t vết ~ mod m T ký hệu tập thươg gồm m số đồg dư môđulô m: { } m m Ví dụ : Trog tập hợp á vé tơ tự do trog khôg g thì qu hệ "vé tơ u r ằg vé tơ v r " là một qu hệ tươg đươg Nếu t họ gố O ố địh thì mỗ lớp tươg đươg ất kỳ đều ó thể họ vé tơ đạ dệ dạg OA 7 Qu hệ thứ tự Địh ghĩ 8: Qu hệ h gô R trê tíh hất phả ạ phả đố ứg ắ ầu Ví dụ : Trog qu hệ " " là một qu hệ thứ tự X φ đượ gọ là qu hệ thứ tự ếu ó

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Trog qu hệ " " là một qu hệ thứ tự Trog X qu hệ thứ tự P tập hợp tất ả á tập o ủ X qu hệ "tập o" A B là một Khá ệm qu hệ thứ tự đượ khá quát hoá từ khá ệm lớ hơ h đứg su trog á tập số vì vậ theo thó que gườ t ũg dùg ký hệu " " ho qu hệ thứ tự ất kỳ Qu hệ thứ tự " " trê tập X đượ gọ là qu hệ thứ tự toà phầ ếu h phầ tử ất kỳ ủ X đều so sáh đượ vớ hu Nghĩ là vớ mọ hệ thứ tự khôg toà phầ đượ gọ là qu hệ thứ tự ộ phậ toà phầ thì Tập X vớ qu hệ thứ tự " X thì hoặ Qu " đượ gọ là tập đượ sắp Nếu " " là qu hệ thứ tự X đượ gọ là tập đượ sắp toà phầ h sắp tuế tíh Ví dụ : Cá tập P đượ sắp ộ phậ ếu X ó hều hơ phầ tử X Địh ghĩ 9: Cho tập đượ sắp q X q trê ếu tồ tạ so ho vớ mọ trê ủ A Hể hê rằg ếu Phầ tử hặ trê hỏ hất đượ gọ là ậ trê ủ A và đượ ký hệu du hất đượ sắp toà phầ ò và X và tập o A X Tập A đượ gọ là ị hặ A Kh đó q đượ gọ là một hặ trê ủ A q là một hặ trê ủ A thì mọ p X mà q p đều là hặ q ủ A theo ghĩ q q vớ mọ hặ trê ủ q A q sup A Rõ ràg phầ tử ậ trê ếu tồ tạ là Tươg tự tập A đượ gọ là ị hặ dướ ếu tồ tạ p X so ho p A Phầ tử hặ dướ lớ hất đượ gọ là ậ dướ ủ A và đượ ký hệu f A dướ ếu tồ tạ ũg du hất Nó hug đượ gọ là phầ tử lớ hất ủ A ký hệu Tươg tự ếu p m A Ví dụ : Trog vớ mọ Cậ sup A f A hư hắ là phầ tử ủ A Nếu q sup A A thì q q m A p f A A thì p đượ gọ là phầ tử é hất ủ A ký hệu tập [ ; { < } sup A A f A A do đó khôg tồ tạ A ó m A hưg tồ tạ m f A A

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số ÁNH XẠ Địh ghĩ và ví dụ Khá ệm áh ạ đượ khá quát hoá từ khá ệm hàm số trog đó hàm số thườg đượ ho dướ dạg ôg thứ tíh gá trị ủ hàm số phụ thuộ vào ế số Chẳg hạ hàm số là qu luật ho ứg vớ phầ tử 6 T ó thể địh ghĩ áh ạ một áh trự qu hư su: Địh ghĩ : ột áh ạ từ tập X vào tập Y là một qu luật ho tươg ứg mỗ một X vớ một phầ tử du hất f ủ Y T ký hệu f f : X Y h X Y f f X đượ gọ là tập guồ Y đượ gọ là tập đíh Ví dụ : X Y X Y X Y Trog tươg ứg trê hỉ ó tươg ứg thứ á địh một áh ạ từ X vào Y Ví dụ : ỗ hàm số f á địh ủ f vào Chẳg hạ: ất kỳ ó thể đượ em là áh ạ từ tập D là mề Hàm lôgrt * l là áh ạ l : l Hàm ă ậ h là áh ạ : Địh ghĩ : Cho áh ạ { f A} f : X Y và A X B Y f A

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số đượ gọ là ảh ủ A qu áh ạ f Nó rêg f X Im f đượ gọ là tập ảh h tập gá trị ủ f f B { X f B } 6 đượ gọ là ghịh ảh ủ tập o B ủ Y Kh B là tập hợp hỉ ó một phầ tử { } f { X f thì t vết f } 7 th ho f {} Vậ Phâ loạ á áh ạ Địh ghĩ : Áh ạ f : X Y đượ gọ là đơ áh ếu ảh ủ h phầ tử phâ ệt là h phầ tử phâ ệt Nghĩ là: Vớ mọ X ; f f h một áh tươg đươg vớ mọ X ; f f 8 Áh ạ f X Y đó ủ X Nghĩ là f X Y h : đượ gọ là toà áh ếu mọ phầ tử ủ Y là ảh ủ phầ tử ào Y X so ho f 9 Áh ạ f : X Y vừ đơ áh vừ toà áh đượ gọ là sog áh Chú ý : Kh áh ạ f : X Y đượ ho dướ dạg ôg thứ á địh ảh f thì t ó thể á địh tíh hất đơ áh toà áh ủ áh ạ f ằg áh gả phươg trìh: áh là đơ áh trog đó t em là ẩ và Nếu vớ mọ Nếu vớ mỗ Nếu vớ mọ f là sog áh 6 f Y là thm ế Y phươg trìh luô ó ghệm X thì áh ạ f là toà Y phươg trìh ó khôg quá ghệm X thì áh ạ f Y phươg trìh luô ó du hất ghệm X thì áh ạ

Ví dụ 6: Cho áh ạ Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Xét phươg trìh h Bệt số > f Δ vì Phươg trìh luô ó ghệm thự Vì < ê phươg trìh ó khôg quá ghệm trog Vậ f là đơ áh ặt khá tồ tạ mà ghệm hẳg hạ ghĩ là phươg trìh trê vô ghệm trog Vậ f khôg toà áh Ví dụ 7: Cá hàm số đơ đệu hặt: Đồg ế hặt: < f < f Nghịh ế hặt: < f > f là á sog áh từ tập á địh lê mề gá trị ủ ó Ví dụ 8: Gả sử A là tập o ủ X thì áh ạ là một đơ áh gọ là húg híh tắ Đặ ệt kh f : : A X f A X áh ạ đượ ký hệu Id gọ là áh ạ đồg hất ủ X Ví dụ 9: Gả sử ~ là một qu hệ tươg đươg thì áh ạ su là một toà áh X p : X X ~ p Áh ạ gượ ủ một sog áh hất Địh ghĩ : Gả sử f : X Y là một sog áh kh đó vớ mỗ Y tồ tạ du X so ho f Như vậ t ó thể á địh một áh ạ từ Y vào X ằg áh Y vớ phầ tử du hất X so ho f Áh ạ à đượ ho ứg mỗ phầ tử gọ là áh ạ gượ ủ f và đượ ký hệu f Vậ f : Y X và f f f ũg là một sog áh 7

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Ví dụ : Hàm mũ > là một sog áh vì hàm mũ đơ đệu hặt ó hàm gượ là hàm lôgrt Ví dụ Xét hàm Cá hàm lượg gá gượ s : log s đơ đệu tăg hặt và toà áh ê ó là một sog áh Hàm gượ đượ ký hệu rs : rs s Tươg tự hàm os :[ ; ] [ ; ] ros: [ ; ] [ ;π ]; ros os [ π ; π ] [ ; ] [ ; ] [ π ; π ] rs [ ; ] [ π ; π ] π đơ đệu gảm hặt ó hàm gượ Hàm gượ rtg rotg đượ á địh hư su ; π ; π rtg tg ; ;π rot g ot g Hợp tíh ủ h áh ạ Địh ghĩ : Vớ h áh ạ f g X Y Z thì tươg ứg g f á địh một áh ạ từ X vào Z đượ gọ là hợp h tíh ủ h áh ạ f và g ký hệu g o f : X Z ó ôg thứ á địh ảh o g f g f Ví dụ : Cho g f go hoá 8 f : g : T ó thể thết lập h hàm hợp g s g o f s o Qu ví dụ trê t thấ ó hug vớ ôg thứ á địh ảh g o f và f o g từ vào g o f Vậ f s f o g g o f ghĩ là phép hợp áh ạ khôg ó tíh

Nếu Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số f : X Y là một sog áh ó áh ạ gượ f : Y X kh đó t dễ dàg kểm hứg rằg f o f Id X và f o f IdY Hơ ữ t ó thể hứg mh đượ rằg áh ạ f : X Y là một sog áh kh và hỉ kh tồ tạ áh ạ g : Y X so ho o và f o g lú đó g f Id X Id Y Lự lượg ủ một tập hợp g f Khá ệm lự lượg ủ tập hợp ó thể em hư là sự mở rộg khá ệm số phầ tử ủ tập hợp lê Y Địh ghĩ : H tập hợp X Y đượ gọ là ùg lự lượg ếu tồ tạ sog áh từ X } X ó lự lượg Tập ùg lự lượg vớ tập { đượ gọ là ó lự lượg Vậ kh và hỉ kh X ó phầ tử ò đượ gọ là ả số ủ X ký hệu Crd X h X Qu ướ lự lượg ủ φ là Địh ghĩ 6: Tập ó lự lượg hoặ đượ gọ là á tập hữu hạ Tập khôg hữu hạ đượ gọ là tập vô hạ Tập ó ùg lự lượg vớ tập á số tự hê h hữu hạ đượ gọ là tập đếm đượ Chú ý : Tập vô hạ đếm đượ là tập ùg lự lượg vớ Bả thâ tập là tập vô hạ đếm đượ Ngườ t hứg mh đượ là tập vô hạ đếm đượ ò tập khôg đếm đượ Gả sử Y X là h tập hữu hạ ùg lự lượg Kh đó áh ạ f X Y kh và hỉ kh là toà áh do đó là một sog áh GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON : là đơ áh Hoá vị phép thế Cho tập hữu hạ E { } ỗ sog áh từ E lê E đượ gọ là một phép thế ò ảh ủ sog áh à đượ gọ là một hoá vị phầ tử ủ E Nếu t ếp á phầ tử ủ E theo một thứ tự ào đó thì mỗ hoá vị là một sự đổ hỗ á phầ tử à Đặ ệt ếu E { } thì mỗ phép thế đượ ký hệu ở m trậ σ σ σ σ 9

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số trog đó hàg trê là á số từ đế ứg ủ ó qu sog áh σ σ σ là hoá vị ủ phép thế σ σ Cò [ ] sắp theo thứ tự tăg dầ hàg dướ là ảh tươg [ ] σ σ σ σ σ Ví dụ : là hoá vị từ phép thế ó σ Tập hợp {} ó h hoá vị là [ ] và [ ] Tập hợp {} ó sáu hoá vị là Vớ tập [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] và [ ] { } thì ó áh họ gá trị σ áh họ gá trị E ho một phép thế σ ất kỳ! Vậ ó hoá vị phép thế ủ tập phầ tử Chỉh hợp Cho tập hợp hữu hạ ó { p} B phầ tử E { } và tập hợp hữu hạ B đế E Địh ghĩ 7: ột hỉh hợp lặp hập p á phầ tử ủ E là ảh ủ một áh ạ từ T ũg ó thể em một hỉh hợp lặp hập p hư một ộ gồm p thàh phầ là á phầ tử ó thể trùg hu ủ E Nó áh khá một hỉh hợp lặp hập p là một phầ tử ủ tíh Desrtes p E Vậ số á hỉh hợp lặp hập p ủ vật là E { } p lầ theo áh Ví dụ : Cho vật và tế hàh ố ó hoà lạ su: Bố lầ thứ hất từ tập E đượ t trả lạ ho E và ố tếp lầ thứ h ỗ kết quả su p lầ ố p là một hỉh hợp ó lặp Địh ghĩ 8: ột hỉh hợp khôg lặp hập p gồm ảh ủ một đơ áh từ B vào E H hỉh hợp hập p là khá hu ếu: hoặ húg ó ít hất một phầ tử khá hu p hập p hoặ gồm p phầ tử hư hu hưg ó thứ tự khá hu phầ tử ủ p E là Như vậ t ó thể em mỗ hỉh hợp là một ộ ó p thàh phầ gồm á phầ tử khá hu ủ E h ó thể em hư một áh sắp ếp phầ tử ủ E vào p vị trí

Có Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số áh họ vào vị trí thứ hất áh họ vào vị trí thứ p Vậ số á hỉh hợp áh họ vào vị trí thứ h và p hập p là A p! p p! Tổ hợp Địh ghĩ 9: ột tổ hợp vật ủ E ó vật Như vậ t ó thể em một tổ hợp phầ tử E E hập p là một áh lấ r đồg thờ p vật từ hập p là một tập o p phầ tử ủ tập ó Nếu t hoá vị p vật ủ một tổ hợp thì t ó á hỉh hợp khá hu ủ ùg p vật à Vậ ứg vớ một tổ hợp p vật ó đúg p! hỉh hợp ủ p vật à Ký hệu hợp hập p thì p C là số á tổ p C p A! p! p! p! Ví dụ : Có o hêu áh ầu một lớp trưởg một lớp phó và một í thư h đoà mà khôg kêm hệm ủ một lớp ó họ sh Có o hêu áh ầu một hấp hàh gồm một lớp trưởg một lớp phó và một í thư h đoà mà khôg kêm hệm ủ một lớp ó họ sh Gả: ỗ kết quả ầu là một hỉh hợp hập Vậ ó A 9 8 76 áh ầu ỗ kết quả ầu một hấp hàh là một tổ hợp hập!!7! 9 8 6 Vậ ó C 9 6 áh ầu Nhị thứ Nu-tơ Xét đ thứ ậ : Kh trể đ thứ à t đượ: thõ sè

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số hợp Hệ số ủ p ằg số áh họ p thừ số trog p hập p do đó p C thừ số trê ỗ áh họ là một tổ Vậ Th p p C C C C ếu t ó: p p p C C C C 6 p Côg thứ à đượ gọ là hị thứ Nu-tơ đúg vớ mọ kể ả trườg hợp Sơ lượ về phép đếm Kh muố đếm số phầ tử ủ á tập hữu hạ t ó thể áp dụg á áh đếm hoá vị hỉh hợp tổ hợp và á ôg thứ su: A B A B A B ôg thứ ộg 7 A B A B ôg thứ hâ 8 B f : A hỉh hợp ó lặp 9 { A B} d A P A e Nếu f A B : sog áh thì A B Côg thứ ộg thườg đượ sử dụg trog trườg hợp đặ ệt kh A B rờ hu A B A A B φ lú đó B Côg thứ hâ ó thể mở rộg ho k tập ất kỳ A Ak A A k Hoặ ếu một hàh độg H gồm k g đoạ A Ak ỗ g đoạ A ó thể thự hệ theo phươg á thì ả thả ó k phươg á thự hệ H

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Ví dụ 6: Cho mạh đệ U U U A B Có o hêu trạg thá ủ mạh Có o hêu trạg thá ó thể ủ mạh để ó dòg đệ hạ từ A đế B Gả: Áp dụg ôg thứ hâ t ó: 9 Số á trạg thá ủ mạh Ở U ó trạg thá hưg ó trạg thá dòg đệ khôg qu đượ do đó ở U U ó trạg thá dòg đệ qu đượ Tươg tự ở U ó và ở ó trạg thá dòg đệ qu đượ Vậ số á trạg thá ủ mạh ó dòg đệ hạ từ A đế B là 7 Ví dụ 7: Có o hêu số tự hê vết dướ dạg thập phâ ó hữ số trog đó ó đúg h hữ số 8 Gả: Gả sử N là số tự hê ó đúg h hữ số 8 hữ số mà hữ số thứ hất ê trá khá hữ số và ó Trườg hợp : Nếu hữ số thứ hất ê trá là hữ số 8 thì ó thứ h ó 9 áh họ ho mỗ hữ số ở thuộ loạ à vị trí để đặt hữ số 8 vị trí ò lạ Vậ ó đúg 9 số Trườg hợp : Nếu hữ số thứ hất ê trá khôg phả là hữ số 8 thì ó C vị trí để đặt hữ số 8 ó 8 áh họ hữ số ho vị trí thứ hất ó 9 áh họ ho mỗ hữ số ở vị trí khá vị trí thứ hất và h vị trí đã họ ho hữ số 8 Vậ ó đúg C 8 9 8 9 số N thuộ loạ à Sử dụg ôg thứ ộg t su r số á số tự hê ầ tìm là: 9 9 9 N

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Ví dụ 8: Trog mặt phẳg ho khá hu Tìm số á go đểm ủ húg đườg thẳg đô một ắt hu và á go đểm à Tìm số á đườg thẳg mớ đượ tạo ở á go đểm trê Gả: A D j C Số á go đểm ủ đườg thẳg ằg số á ặp ủ đườg thẳg à Vậ ó go đểm Xét tạ đểm A ất kỳ trog go đểm ủ âu Tồ tạ đúg h đườg trog đườg trê đ qu C A là D D j; < j Trê mỗ đườg ó đúg đểm trog số C go đểm ủ âu Vậ trê D D j ó đểm do đó ó C đườg thẳg mớ ố đế A Vì mỗ đườg thẳg mớ đều ố h đểm ở âu ê số đườg thẳg mớ là: 8 C Ví dụ 9: Cho tập o A ó p phầ tử ủ tập E ó X Y á tập o ủ E so ho: phầ tử Hã đếm số á ặp

o Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số X Y E X Y A Gả: Ký hệu B E \ A A { X Y E X Y A} { X Y X B Y B; X Y B } A B f X Y X B Y B Đặt X Y B f : Tươg ứg ; ặt khá là một sog áh X B Y B X Y B B \ X Y Vậ số á ặp X Y thoả mã đều kệ ầ tìm ằg ả số ủ tập { X " Y X" B Y B X" Y } Vớ mỗ tập Y B Y B { X" X" Y } là ; Số á tập ó ả số thì ả số ủ tập ó phầ tử là C p Áp dụg ôg thứ ộg su r ả số ầ tìm là p p C p CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Luật hợp thàh trog Địh ghĩ : ột luật hợp thàh trog trê tập T thườg ký hệu *: Luật hợp thàh trog kết hợp h phầ tử X X X * vậ luật hợp thàh trog ò đượ gọ là phép toá h gô X φ là áh ạ từ X X vào X ủ X thàh một phầ tử ủ X vì Ví dụ : Phép ộg và phép hâ là á luật hợp thàh trog ủ á tập số Ví dụ : Phép ộg vé tơ theo qu tắ hìh ìh hàh là phép toá trog ủ tập R á vé tơ tự do trog khôg g hưg tíh vô hướg khôg phả là phép toá trog vì r r r r r r u v u v os u v R Địh ghĩ : Luật hợp thàh trog * ủ tập X đượ gọ là: Có tíh kết hợp ếu X :

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Có tíh go hoá ếu X : ủ Có phầ tử trug hoà h ó phầ tử đơ vị là e X ếu X : e e Gả sử * ó phầ tử trug hoà X X ếu e e Phầ tử X T dễ dàg thấ rằg phầ tử trug hoà ó phầ tử đố ứg là híh ó đượ gọ là phầ tử đố ứg Cá phép hợp thàh trog h ví dụ trê đều ó tíh kết hợp và go hoá Số là phầ tử trug hoà đố vớ phép ộg và là phầ tử trug hoà đố vớ phép hâ trog Vé tơ R r là phầ tử trug hoà ủ phép toá ộg vé tơ trog Đố vớ phép ộg thì mọ phầ tử trog đều ó phầ tử đố là Phầ tử đố ủ ứg vớ phép hâ trog là hưg mọ phầ tử khá trog vớ phép khôg ó phầ tử đố Tíh hất : Phầ tử trug hoà ếu tồ tạ là du hất Nếu * ó tíh kết hợp thì phầ tử đố ủ mỗ phầ tử là du hất Nếu * ó tíh kết hợp và phầ tử ó phầ tử đố thì ó luật gả ướ: và phươg trìh ó du hất ghệm vớ là phầ tử đố ủ e Chứg mh: Gả sử e và e là h phầ tử trug hoà thì e e e e dấu "" thứ hất ó đượ do là phầ tử trug hoà ò dấu "" thứ h là do là phầ tử trug hoà e Gả sử ó h phầ tử đố ứg là và " kh đó: e " " " e " Theo thó que t thườg ký hệu á luật hợp thàh trog ó tíh go hoá ở dấu "" kh đó phầ tử trug hoà đượ ký hệu là và phầ tử đố ủ là Nếu ký hệu luật hợp thàh ở dấu hâ "" thì phầ tử trug hoà đượ ký hệu và gọ là phầ tử đơ vị phầ tử đố ủ là Nhóm Địh ghĩ : Gả sử là tập khá trốg vớ luật hợp thàh * ặp đượ gọ là một vị hóm ếu thoả mã h đều kệ su: G G* 6 G: * ó tíh kết hợp

G: * ó phầ tử trug hoà e Vị hóm G* Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số là một hóm ếu thoả mã thêm đều kệ: G: ọ phầ tử ủ G đều ó phầ tử đố Nhóm G* đượ gọ là hóm go hoá h hóm Ael ếu : G: * ó tíh go hoá R * Ví dụ : * * là á hóm Ael * * Chú ý : ột hóm là tập khá rỗg vớ luật hợp thàh * thoả mã G G G hưg ếu * đã á địh và khôg sợ hầm lẫ thì t ó tắt hóm G th ho hóm so ho Địh ghĩ : Đồg ấu hóm từ hóm vào hóm là áh ạ G : f f f G G* G* G f : G G Nếu f đơ áh toà áh sog áh thì f đượ gọ là đơ ấu toà ấu đẳg ấu một áh tươg ứg log : Vàh * * ; < là một đẳg ấu hóm từ hóm Địh ghĩ : Gả sử trê tập và dấu hâ kh đó A đượ gọ là một vàh ếu: A: A là một hóm Ael A: Luật hâ ó tíh kết hợp lê hóm A φ ó h luật hợp thàh trog ký hệu ở dấu ộg A: Luật hâ ó tíh phâ phố h phí đố vớ luật ộg ghĩ là: A : phâ phố ê trá A : phâ phố ê phả Nếu thoả mã thêm đều kệ: A: Luật hâ ó tíh go hoá thì A là vàh go hoá A: Luật hâ ó phầ tử đơ vị là thì A là vàh ó đơ vị 7

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Chú ý 6: Tồ tạ vàh go hoá hưg khôg ó đơ vị và gượ lạ T ó tắt vàh A th ho vàh Địh ghĩ : A Phầ tử ủ A đượ gọ là ướ ủ ếu tồ tạ A là phầ tử trug hoà ủ luật ộg ủ vàh A Vàh khôg ó ướ ủ đượ gọ là vàh guê so ho Vậ vàh A là vàh guê kh và hỉ kh mọ A so ho hoặ Ví dụ : là một vàh guê C [ ; ] thì Ký hệu [ ; ] là tập hợp á hàm lê tụ trê đoạ T địh ghĩ phép ộg và phép hâ trog C[ ; ] á địh hư su: f g C[ ; ] : f g f g ; fg f g T ó thể kểm hứg đượ rằg vớ h phép toá à thì C[ ; ] là một vàh go hoá ó đơ vị và ó ướ ủ K [] K [] là tập á đ thứ ủ ế ó hệ số K là một vàh guê trog đó thuộ vào vàh số Tập mod á số đồg dư môđulô T ó thể hứg mh đượ rằg ếu mod mod và mod hâ trog ở: và Chẳg hạ mod 7 mod 7 mod 7 mod 7 mod 7 mod 7 6mod 7 mod thì Vì vậ t ó thể địh ghĩ phép ộg và phép Vớ h phép toá à là một vàh go hoá ó đơ vị 8

Trườg Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Địh ghĩ 6: Vàh go hoá ó đơ vị K đượ gọ là một trườg ếu mọ phầ tử ủ K đều khả ghịh ó phầ tử đố ủ luật hâ Nghĩ là: K: K là hóm Ael K: * K là hóm Ael K * K \{} K: Luật hâ phâ phố đố vớ luật ộg Rõ ràg rằg mọ trườg là vàh guê hưg đều gượ lạ khôg đúg là một ví dụ về vàh go hoá guê ó đơ vị hưg khôg phả là trườg Ví dụ : là trườg Ví dụ : là trườg kh và hỉ kh là số guê tố Gả: Gả sử là số guê tố và m mod số guê so ho Địh lý Beout m thì m do đó tồ tạ h u v um v u m mod tử ghịh đảo ủ m Ngượ lạ ếu Vậ là trườg thì vớ mọ m < m < m m mm k m là số guê tố 6 ĐẠI SỐ BOOLE Vậ u là phầ tồ tạ so ho: m Lý thuết đạ số Boole đượ George Boole 8-86 gớ thệu vào ăm 8 trog à áo "Cá qu luật ủ tư du" trog đó kỹ thuật đạ số đượ dùg để phâ tíh á qu luật ủ lôgíh và á phươg pháp su dễ Su đó đạ số Boole đượ áp dụg trog á lĩh vự khá hu ủ toá họ hư đạ số gả tíh á suất Vào khoảg ăm 98 Clude Sho Clu Sê-ô một kỹ sư vễ thôg gườ ỹ là gườ đầu tê đã áp dụg đạ số Boole vào lĩh vự má tíh đệ tử và lý thuết mạg 6 Địh ghĩ và á tíh hất ơ ả ủ đạ số Boole h gô Địh ghĩ 7: ột đạ số Boole : B B B và phép toá một gô B là một tập khá trốg B vớ h phép toá : B B thoả mã á tê đề su: B: ó tíh kết hợp ghĩ là vớ mọ B 9

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số B: ó tíh go hoá ghĩ là vớ mọ B B: Tồ tạ á phầ tử khôg và phầ tử đơ vị B mọ B: Vớ mọ B: Luật B B thì B là phầ tử đố theo ghĩ là: B so ho và vớ mọ phâ phố đố vớ luật và luật phâ phố đố vớ luật ghĩ là vớ P Ví dụ 6: Gả sử X φ ét X là tập á tập o ủ là phép hợp phép go á tập o ủ X và phép toá một gô là phép lấ phầ ù ủ tập o trog X Kh đó P X là đạ số Boole vớ phầ tử khôg là φ và phầ tử đơ vị là híh tập X { ; } Ví dụ 7: Xét B tập gồm h số và T địh ghĩ: m m thì B Ví dụ 8: Xét thì B là một đạ số Boole B { ;; ; } là đạ số Boole t địh ghĩ á phép toá X Cá luật hợp thàh Địh ghĩ 8: H ôg thứ Boole trog đạ số Boole B đượ gọ là đố gẫu ếu trog một ôg thứ t th ằg thì t đượ ôg thứ h Ví dụ 9: H ôg thứ và là đố gẫu

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số Trog mỗ tê đề ủ hệ tê đề B-B ủ đạ số Boole đều hứ từg ặp ôg thứ đố gẫu hu vì vậ t ó guê lý đố gẫu su: Nguê lý đố gẫu: Nếu một ôg thứ ủ đạ số Boole đượ hứg mh là đúg dự trê ơ sở hệ tê đề B-B thì ôg thứ đố gẫu ủ húg ũg đúg Chẳg hạ t sẽ hứg mh do đó theo guê lý đố gẫu t ũg ó Tíh hất 7: Gả sử B là đạ số Boole vớ phầ tử khôg và đơ vị là thì vớ mọ B t ó: ; ; ; Nếu tồ tạ B ; tíh hấp thu so ho và 6 Nếu và thì 7 Chứg mh: và thì ; ; tíh du hất ủ phầ ù ôg thứ De org Theo guê lý đố gẫu t hỉ ầ hứg mh á đẳg thứ thứ hất từ -7 theo B theo B theo B theo B theo B theo B theo BB theo B theo B theo theo B

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số theo B theo B theo theo B theo vì theo B vì theo B vì theo 6 Vì và theo su r 7 T dễ dàg kểm hứg và áp dụg 6 su r đều phả hứg mh Áp dụg á tíh hất à ùg vớ hệ tê đề B-B t ó thể đơ gả hoá á ôg thứ Boole ất kỳ Ví dụ : Đơ gả hoá ôg thứ Boole Gả: T ó Ví dụ : Đơ gả hoá ôg thứ Boole [ ] Gả: T ó [ ] [ ] [ ]

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số [ ] [ ] Ví dụ : Đơ gả ôg thứ Gả: T ó [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Ứg dụg đạ số Boole vào mạg huể mạh swthg etworks T hỉ ét á mạg gồm á huể mạh ó h trạg thá đóg dòg đệ đ qu đượ và mở dòg đệ khôg qu đượ H mạg đơ gả hất là mạg sog sog ơ ả s prllel etwork và mạg ố tếp ơ ả s seres etwork đượ mô tả trog hìh vẽ su: mạg sog sog ơ ả hìh mạg ố tếp ơ ả hìh à ột mạg ất kỳ ó thể hậ đượ ằg áh ghép ố tếp h sog sog á mạg ơ ả T ký hệu á huể mạh ở á hữ Nếu ở trạg thá mở t ho hậ gá trị và ở trạg thá đóg t ho hậ gá trị Trog một mạg ếu h huể mạh luô ùg trạg thá thì t ký hệu ùg một hữ H huể mạh ó trạg thá luô gượ hu ếu một huể mạh đượ ký hệu là thì huể mạh k đượ ký hệu là ạg sog sog hìh hậ gá trị kh ó ít hất một trog h huể mạh gá trị t ký hệu hậ gá trị t ký hệu Như vậ hậ Cò mạg ố tếp hìh hậ gá trị kh ả h huể mạh ó thể đượ em hư á ế hậ gá trị trog đạ số Boole B ví dụ 7 Bằg phươg pháp à t ó thể mô tả một mạg ất kỳ ở một ôg thứ Boole và gượ lạ Chẳg hạ mạg su đâ:

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số tươg ứg vớ ôg thứ Cò ôg thứ Boole mô tả mạg: Chú ý rằg trog á ôg thứ ầ ét t th ở và ở H mạg N và N đượ gọ là tươg đươg ếu ó thự hệ ùg một hứ ăg ghĩ là vớ ất kỳ áh họ á trạg thá đóg mở ở mọ vị trí huể mạh trog mạg thì trạg thá đầu vào và đầu r ủ N và N đều hư hu T ó thể áp dụg đạ số Boole để gả quết h vấ đề su: 6 Vớ một mạg ho trướ tìm mạg tươg đươg đơ gả hơ Ví dụ : Tìm mạg tươg đươg đơ gả hơ ủ mạg su w w Côg thứ Boole tươg ứg: [ ] [ w w ]

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số T ó w w w luật hấp thu do đó ôg thứ trê ó thể ế đổ thàh [ ] [ ] w w Vậ t ó mạg tươg đươg đơ gả hơ Ví dụ : Tìm mạg tươg đươg đơ gả hơ ủ mạg su: Côg thứ Boole tươg ứg: [ ] T ó [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Vậ t ó mạg tươg đươg đơ gả hơ w

Chươg : ở đầu về lôgí mệh đề tập hợp áh ạ và á ấu trú đạ số 6 Thết kế một mạg thoả mã á đều kệ ho trướ Ví dụ : Thết kế một mạg đệ ho một óg đè ở ầu thg mà ó thể ật tắt ở ả h đầu ầu thg Gả: Gọ và là h ôg tắ ở h đầu ầu thg Theo êu ầu đặt r t ầ thết kế một mạg đệ so ho kh th đổ trạg thá ủ một trog h vị trí thì trạg thá ủ đầu r óg đè phả th đổ T ết rằg mỗ mệh đề log ũg hậ h gá trị vì vậ t ó thể em mệh đề hư B ví dụ 7 T ết rằg mệh đề hứ h mệh đề và mệh đề à th đổ gá trị kh một trog h mệh đề h th đổ gá trị ặ dù h khôg phả là ôg thứ Boole hưg ó ó ôg T ó: một ế hậ gá trị trog mệh đề thứ tươg đươg dướ dạg ôg thứ Boole [ ] [ ] Vậ mạg ầ tìm là 6

Chươg : Khôg g Vé tơ CHƯƠNG : KHÔNG GIAN VÉC TƠ KHÁI NIỆ KHÔNG GIAN VÉC TƠ Địh ghĩ và á ví dụ Địh ghĩ : Gả sử V là tập khá φ K là một trườg V đượ gọ là khôg g vé tơ trê trườg K ếu ó h phép toá: - Phép toá trog : V V V u v u v - Phép toá goà : K V V α u αu thoả mã á tê đề su vớ mọ u v w V và α β K V u v w u v w V Có V so ho u u u V Vớ mỗ V V u v v u u ó u V so ho u u u u V α β u αu βu V6 α u v αu αv V7 αβ u α βu V8 u u trog đó là phầ tử đơ vị ủ K Kh Kh K thì V đượ gọ là khôg g vé tơ thự K thì V thì đượ gọ là khôg g vé tơ phứ Cá phầ tử ủ V đượ gọ là á vé tơ á phầ tử ủ K đượ gọ là á phầ tử vô hướg 7

Chươg : Khôg g Vé tơ Bố tê đề đầu hứg tỏ V là hóm Ael Tê đề VV6 ó rằg phép hâ số vô hướg vớ vé tơ phâ phố đố vớ phép ộg ủ số vô hướg và phép ộg vé tơ Tê đề V7 là tíh kết hợp ủ tíh á số vô hướg vớ phép hâ vớ vé tơ Ví dụ : Tập R á vé tơ tự do trog khôg g trog đó t đồg hất á vé tơ tươg đẳg: á vé tơ ùg phươg ùg hướg ùg độ dà Xét phép ộg h vé tơ theo qu tắ hìh ìh hàh và tíh một số thự vớ một vé tơ theo ghĩ thôg thườg thì R là khôg g vé tơ thự Ví dụ : Gả sử K là một trườg ét K { K } T địh ghĩ: α α α α K Dễ dàg kểm hứg lạ h phép toá à thoả mã 8 tê đề ủ khôg g vé tơ ó vé tơ khôg là phç tö Kh K t ó khôg g vé tơ thự K t ó khôg g vé tơ phứ Ví dụ : Gọ [ ] toá ộg và hâ vớ số thự hư su: C là tập á hàm lê tụ trê đoạ [ ] f g t f t g t f t αf t Rõ ràg g C α t [ ] C f α f [ ] f g [ ] α T địh ghĩ phép Vớ h phép toá à C [ ] ó ấu trú khôg g vé tơ thự vớ vé tơ khôg là t t [ ] Ví dụ : Gọ P là tập á đ thứ ậ { p p t t ; } P là số guê dươg ho trướ: T địh ghĩ phép ộg h đ thứ và phép hâ một số vớ một đ thứ hư phép ộg hàm số và phép hâ một số vớ hàm số trog Ví dụ thì P là khôg g vé tơ vớ vé tơ khôg là đ thứ 8

Ví dụ : Gọ P là tập á đ thứ U Chươg : Khôg g Vé tơ { p p t t ; } P P T địh ghĩ phép ộg là phép ộg h đ thứ và phép hâ vớ một số vớ đ thứ theo P P ghĩ thôg thườg ở Ví dụ thì P là khôg g vé tơ và vớ mọ Tíh hất u V Vì V là một hóm Ael ê vé tơ và vé tơ đố u Có luật gả ướ: u v u w v w Vớ mọ V u u u u Vớ mọ α K Nếu u Chứg mh: α α thì α hoặ Xem Tíh hất Vớ mọ V u ủ u là du hất vớ mọ u u u u ặt khá u u u Theo luật gả ướ t ó u Tươg tự vớ mọ Su r u u u V u u u u u u α α K α α α α α Nếu u α và gả sử α α K α α αu α α u u u Từ địh ghĩ ủ khôg g vé tơ t ó thể mở rộg á khá ệm su: T địh ghĩ u v : u v kh đó u v w u w v Do tíh kết hợp ủ phép ộg ê t ó thể địh ghĩ theo qu ạp: k u u u u k u u 9

Chươg : Khôg g Vé tơ Tươg tự kuk αu αu αu αu k α α u ểu thứ à đượ gọ là một tổ hợp tuế tíh ủ á vé tơ u u Từ đâ trở đ t hỉ hạ hế ét á khôg g vé tơ thự KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON Địh ghĩ và ví dụ Địh ghĩ : Gả sử V là khôg g vé tơ Tập o W φ ủ V so ho h phép toá từ V thu hẹp vào W trở thàh khôg g vé tơ thoả mã á tê đề V-V8 thì W đượ gọ là khôg g vé tơ o ủ V h ó tắt: khôg g o ủ V Địh lý su đâ hỉ r rằg ếu phép toá trog V ó thể thu hẹp đượ vào W thì á tê đề V-V8 luô thoả mã do đó W là khôg g vé tơ o ủ V Địh lý : Gả sử W là tập o khá rỗg ủ V B mệh đề su đâ tươg đươg: W khôg g vé tơ o ủ V Vớ mọ Vớ mọ u v W vớ mọ α thì u v W α u W u v W vớ mọ α β thì u βv W Chứg mh: : Hể hê theo địh ghĩ α : Vớ mọ α u βv W u v W vớ mọ β α thì α u W v W β : u v W α : u v u v W u αu u W α u W Vậ phép ộg và phép hâ vớ số thự thu hẹp đượ từ V vào W Hơ ữ u u W tê đề V vớ mọ W u u u u W đề V á tê đề ò lạ hể hê đúg Vậ W là khôg g vé tơ o ủ V tơ ủ V Hơ ữ tập W φ tê Ví dụ 6: Từ địh lý trê t thấ rằg mọ khôg g vé tơ o ủ V đều phả hứ vé hỉ gồm vé tơ khôg và híh V ũg là á khôg g vé tơ o ủ V {} Ví dụ 7: Tập { } là khôg g o ủ

{ } Chươg : Khôg g Vé tơ Ví dụ 8: Tập C [ ] f C[ ] f là khôg g o ủ [ ] hưg tập C [ ] { f C[ ] f } khôg là khôg g o ủ C [ ] P Ví dụ 9: là khôg g o ủ m ếu thứ ậ Khôg g o sh ở một họ vé tơ Địh lý : Nếu I P C m trog đó là khôg g á đ W là họ á khôg g o ủ V thì W ũg là khôg g I o ủ V Chứg mh: Áp dụg Địh lý t dễ dàg su r đều ầ hứg mh Từ Địh lý su r rằg vớ mọ tập o S ất kỳ ủ V luô tồ tạ khôg g o W é hất ủ V hứ S W híh là go ủ tất ả á khôg g o ủ V hứ S Địh ghĩ : Khôg g W é hất hứ S đượ gọ là khôg g sh ở hệ S ký hệu W sps và S đượ gọ là hệ sh ủ W Địh lý : W sps ằg tập hợp tất ả á tổ hợp tuế tíh ủ S Chứg mh: Gọ W là tập tất ả á tổ hợp tuế tíh ủ S T hứg mh W là khôg g o é hất hứ S Vớ mọ u S thì u u W vậ S W u W v W u α u αu v βv βmvm W u u v v S vớ m Do đó γ u δv γαu γαu δβv δβmvm W Vậ W là khôg g o ủ V hứ S Gả sử W" là khôg g o ủ V hứ S Vớ mọ u W u α u αu u u S Vì W" hứ S ê u u W" u α u αu W" Do đó W W" Nó áh khá W là khôg g o hỏ hất ủ V hứ S Vậ W W sps Tổg ủ một họ khôg g vé tơ o Gả sử W W là khôg g o ủ V Sử dụg địh lý t hứg mh đượ tập u u V u W ũg là một khôg g vé tơ o ủ V T gọ W W W W { } khôg g vé tơ o à là tổg ủ á khôg g o và ký hệu I P

Chươg : Khôg g Vé tơ Vậ u W W u u u u W ; Tu hê ó hug áh vết trê khôg du hất T ó thể hứg mh đượ W W sp W W ột áh tổg quát t địh ghĩ tổg ủ một họ á khôg g vé tơ o hư su I Địh ghĩ : Nếu W là họ á khôg g o ủ V Khôg g o sh ở UW đượ gọ là tổg ủ á khôg g W ký hệu W I I Vậ W W Theo địh lý t ó I I W I sp U { u u u W j I j k; k } Địh ghĩ 6: Nếu mọ k j j u W W đượ vết một áh du hất dướ dạg u u u u W thì tổg á khôg g o à đượ gọ là tổg trự tếp Lú đó t ký hệu W W Địh lý : Gả sử WW là h khôg g o ủ V kh đó tổg h khôg g o à là tổg trự tếp W W kh và hỉ kh W W { } Chứg mh: : Gả sử W W v W W du hất su r v Vậ W W { } thì v v v W W : Gả sử u u u v v W W thì { } u v v u W W u v u v Do áh vết Vậ tổg ủ h khôg g o là tổg trự tếp W W ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH T ét á hệ vé tơ ó tíh hất là ếu một vé tơ ất kỳ ểu dễ đượ thàh tổ hợp tuế tíh ủ hệ à thì áh vết đó là du hất

Địh ghĩ 7: Cho hệ vé tơ S { u } Hệ S đượ gọ là độ lập tuế tíh ếu từ: Chươg : Khôg g Vé tơ u ủ V á vé tơ à ó thể trùg hu α u αu α α thì α α Hệ khôg độ lập tuế tíh đượ gọ là phụ thuộ tuế tíh Vậ hệ S { u u} phụ thuộ tuế tíh kh và hỉ kh t ó thể tìm đượ khôg đồg thờ ằg so ho α u α u α α α u Ví dụ : Hệ { e e } trog đó e e là độ lập vì ếu e αe α α thì α α Ví dụ : Hệ hứ vé tơ Hệ h vé tơ { } là hệ phụ thuộ tuế tíh u u là hệ phụ thuộ tuế tíh kh và hỉ kh húg tỷ lệ ghĩ là αu h u αu Trog Trog R R h vé tơ phụ thuộ tuế tíh kh và hỉ kh ùg phươg vé tơ phụ thuộ tuế tíh kh và hỉ kh đồg phẳg Tíh hất 6: Hệ vé tơ hứ hệ o phụ thuộ tuế tíh là hệ phụ thuộ tuế tíh Vì vậ mọ hệ o ủ hệ độ lập tuế tíh là hệ độ lập tuế tíh ột hệ vé tơ là phụ thuộ tuế tíh kh và hỉ kh ó một vé tơ là tổ hợp tuế tíh ủ á vé tơ ò lạ Gả sử hệ { v v} độ lập tuế tíh Kh đó hệ { v v u} phụ thuộ tuế tíh kh và hỉ kh u là tổ hợp tuế tíh ủ á vé tơ { v v } kh đó t ó thể ểu dễ du hất u β v β v Chứg mh: T hứg mh : su từ : Gả sử { v v u} phụ thuộ kh đó tồ tạ á số β β α đồg thờ ằg so ho β v β v αu vì hệ { v v } β β α u v v α α Hơ ữ gả sử u β v β v thì khôg độ lập ê

Chươg : Khôg g Vé tơ β β β β u u β v β β β v α α α α Do đó β β β β α α Vậ áh vết trê là du hất HẠNG CỦA ỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ Hệ o độ lập tuế tíh tố đạ Địh ghĩ 8: Cho hệ S á vé tơ ủ khôg g vé tơ V Hệ o { v v } ủ hệ S đượ gọ là độ lập tuế tíh tố đạ ủ S ếu ó là hệ độ lập tuế tíh và ếu thêm ất kỳ vé tơ ào ủ S thì t ó hệ phụ thuộ tuế tíh Nó rêg hệ { v v } là hệ độ lập tuế tíh tố đạ ủ V ếu hệ { v v } độ lập và ếu thêm ất kỳ vé tơ khá ủ V t ó hệ mớ là phụ thuộ Tíh hất 7: Nếu tuế tíh á vé tơ ủ từ tíh hất 6 - S là hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ hệ S thì mọ vé tơ ủ S là tổ hợp S và áh ểu dễ thàh tổ hợp tuế tíh là du hất đều à su Gả sử { v v } là hệ o độ lập tuế tíh ủ một hệ hữu hạ S Kh đó t ó thể ổ sug thêm để đượ một hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ S hứ { v v } Thật vậ ếu { v v } khôg tố đạ thì tồ tạ một vé tơ ủ S t ký hệu v so ho hệ { v v v } độ lập tuế tíh Lập luậ tươg tự và vì hệ S hữu hạ ê quá trìh ổ sug thêm à sẽ dừg lạ uố ùg t đượ hệ { v v v v k } độ lập tuế tíh tố đạ ủ S Hạg ủ một hệ hữu hạ á vé tơ Bổ đề 8 Địh lý thế Stet Xtê-ít: Nếu hệ S độ lập tuế tíh ó vé tơ và mỗ vé tơ ủ S là tổ hợp tuế tíh á vé tơ ủ hệ R ó k vé tơ thì { } R { u } k Chứg mh: Gả sử S v v u k T sẽ hứg mh rằg ó thể th dầ á vé tơ ủ hệ R ằg á vé tơ ủ hệ S để ó á hệ R R mà mỗ vé tơ ủ hệ S vẫ ò là tổ hợp tuế tíh ủ R R Thật vậ t ó v α u αkuk v vì S độ lập ê α α k khôg đồg thờ ằg t gả sử α ó thể đáh lạ số thứ tự ủ R su r α u v u α k u k α α α

Xét hệ R { v u } vé tơ ủ R Tươg tự t ó Chươg : Khôg g Vé tơ u k Rõ ràg mọ vé tơ ủ S vẫ ò là tổ hợp tuế tíh á v khôg đồg thờ ằg t gả sử Kh đó β v β u β k u k vì { v } β β u v v u k u k β β β β β v độ lập ê β β β k ủ R Xét hệ { v v u uk } mọ vé tơ ủ S ũg là tổ hợp tuế tíh á vé tơ R > k Nếu tếp tụ quá trìh à uố ùg t đượ mọ vé tơ ủ S là tổ hợp tuế tíh á vé tơ ủ hệ R k { v v vk } là hệ o ủ S Đều à mâu thuẫ vớ gả thết hệ S độ lập tuế tíh Vậ k Địh lý 9: ọ hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ hệ hữu hạ S á vé tơ ủ V đều ó số phầ tử ằg hu Chứg mh: Gả sử { v } và { v } v k j v j là h hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ hệ S Từ tíh tố đạ ủ mỗ hệ su r rằg mọ vé tơ ủ hệ à là tổ hợp tuế tíh á vé tơ ủ hệ k Do đó k và k vậ k Địh ghĩ 9: Số á vé tơ ủ một hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ hệ S đượ gọ r S là hạg rk ủ S ký hệu Qu ướ hệ hỉ ó vé tơ ó hạg là CƠ SỞ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ Địh ghĩ : Nếu khôg g vé tơ V ó một hệ sh hữu hạ thì V đượ gọ là khôg g hữu hạ sh ỗ hệ sh độ lập tuế tíh ủ V đượ gọ là một ơ sở ủ V Gáo trìh à hỉ hạ hế ét á khôg g hữu hạ sh Gả sử { v v} là hệ sh ủ V thì vớ mọ u V S u v v

Chươg : Khôg g Vé tơ Địh lý : Gả sử tươg đươg: { e e Hệ { e e } là một ơ sở ủ V } là một hệ á vé tơ ủ V Cá mệh đề su là Hệ { e e } là hệ độ lập tuế tíh tố đạ ủ V ọ vé tơ u V u e e tồ tạ một áh vết du hất: Chứg mh: : Hể hê từ địh ghĩ ủ ơ sở : Su từ tíh hất - : Rõ ràg { e là hệ sh Ngoà r ếu e e mặt khá e e Do áh vết du hất su r e } Địh ghĩ : trog đượ gọ là toạ độ ủ vé tơ u trog ơ sở { e e } T ký hệu toạ độ ủ vé tơ u trog ơ sở B { e e } là [ ] B Vậ ếu u thỏ mã thì [ u ] B u Địh lý : Gả sử V là khôg g hữu hạ sh và { v v k } là hệ độ lập tuế tíh á vé tơ ủ V Kh đó ó thể ổ sug thêm để ó đượ hệ { v v v } một ơ sở ủ V Chứg mh: Gả sử V ó một hệ sh ó vé tơ Nếu S { v } v k k k m là v k khôg phả là ơ sở thì S khôg phả là hệ sh theo tíh hất 6- tồ tạ vé tơ t ký hệu v k so ho hệ { v v k v k } độ lập tuế tíh Tếp tụ quá trìh à uố ùg t ó hệ { v vk vk vk m} độ lập tuế tíh và là hệ sh k m theo Bổ đề 8 Vậ { v vk vk vk m} là một ơ sở ầ tìm Hệ quả : ọ khôg g hữu hạ sh đều tồ tạ ơ sở Địh lý : Số phầ tử ủ mọ ơ sở ủ đều ằg hu Chứg mh: Áp dụg Bổ đề 8 t ó h ơ sở ất kỳ ủ V đều ó số phầ tử ằg hu 6

Chươg : Khôg g Vé tơ Địh ghĩ : Số vé tơ ủ một ơ sở ủ V đượ gọ là số hều ủ V ký hệu V dm dm Qu ướ { } Ví dụ : Trog khôg g t ét hệ B { e e } trog đó: e e e 6 là một ơ sở ủ gọ là ơ sở híh tắ Vậ dm B tt là một ơ sở ủ P gọ là ơ sở híh tắ Vậ Ví dụ : Hệ { } dm P Chú ý : Khôg g sh Thật vậ hệ sh { t } Địh lý : Gả sử Nếu hệ S độ lập tuế tíh thì U P P là một ví dụ về khôg g vé tơ khôg hữu hạ t ó vô hạ vé tơ và độ lập tuế tíh ê khôg thể là hữu hạ Nếu hệ S là hệ sh ủ thì m Nếu m thì hệ dm V và S { v v m } là hệ m vé tơ ủ V Kh đó: m S độ lập tuế tíh kh và hỉ kh S là hệ sh Chứg mh: Gọ B là một ơ sở ủ V Áp dụg ổ đề 8 ho h hệ B và S su r á đều ầ hứg mh Địh lý 6: Gả sử WW là h khôg g o ủ V thì dmw dmw dm W W dm W I W 7 dm W W dmw dmw Đặ ệt: 8 Chứg mh: Gả sử { e el } là một ơ sở ủ W I W ếu W là một ơ sở ủ W l Theo địh lý t ó thể ổ sug thêm để { e el u u m } và { e el v v k } là một ơ sở ủ W Vớ mọ v W W thì: W I φ thì v e l l el u mum v kvk l m k là hệ sh ủ W W ặt khá gả sử e lel u mum v kvk Vậ { e e u u v v } 7

Chươg : Khôg g Vé tơ e e u u v v W I W thì l l m m k k v v t e t e W IW k k l l v kvk te tlel k t tl l m Vậ { e el u um v vk } là một ơ sở ủ W W dmw dmw l m k dm W W dm W IW Địh lý 7: Gả sử S là hệ hữu hạ á vé tơ ủ V Kh đó r S dmw vớ W sps Kh thự hệ một số hữu hạ á phép ế đổ sơ ấp su lê hệ S : Nhâ một số khá vớ một vé tơ ủ hệ S ; Cộg vào một vé tơ ủ hệ S một tổ hợp tuế tíh á vé tơ khá ủ S ; thì hệ S S ó r S r S ế thàh hệ Chứg mh: Gả sử S là hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ S thì S ũg sh r W do đó S là một ơ sở ủ W r S số vé tơ ủ S dmw Nếu W sps W sps thì W W r S r S Nhậ ét 8: Để tìm hạg ủ hệ vé tơ { v v } v t ó thể sử dụg áh su: Áp dụg địh lý 7 ằg áh thự hệ á phép ế đổ sơ ấp lê hệ vé tơ đã ho để đư về hệ vé tơ mà t dễ dàg hậ đượ hạg ủ ó Kh thự hàh t ó thể vết tọ độ á vé tơ thàh một ảg mỗ vé tơ ằm trê một hàg su đó ế đổ để ảg số à ó dạg tm gá 8 Áp dụg tíh hất 6 theo từg ướ hư su: Loạ á vé tơ v Gả sử v loạ á vé tơ v tỉ lệ vớ v Gả sử { v v k } độ lập kh đó { v } v v k j v khôg ểu dễ thàh tổ hợp tuế tíh ủ { v } j Ví dụ : Tìm hạg ủ hệ vé tơ su: v v v v k độ lập kh và hỉ kh

Chươg : Khôg g Vé tơ v v Gả: Cáh: Hàg hàg hàg - hàg hàg hàg - hàg hàg hàg - hàg hàg hàg - hàg hàg Hàg hàg hàg hàg / hàg - hàg hàg -/hàg hàg hàg hàg Vậ hệ vé tơ ó hạg là Cáh : khôg tỉ lệ ê độ lập Nếu v v v v v thì Vậ v v v Nghĩ là { } v v v phụ thuộ Nếu v v v thì hệ vô ghệm Vậ { } v v v độ lập 9

Chươg : Khôg g Vé tơ Nếu v v v v thì / / Vậ v / v / v Nghĩ là { v v v v } phụ thuộ v } { v v v v} Vậ { v v là một hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ v

Chươg : trậ CHƯƠNG : A TRẬN KHÁI NIỆ A TRẬN Địh ghĩ : ột ảg số ó m hàg ột A m m m O m j đượ gọ là một m trậ ỡ j là phầ tử ở hàg thứ và ột Kh j j thì A đượ gọ là m trậ guê j j là m trậ phứ Nếu khôg hỉ rõ trậ A ỡ j thì t qu ướ m ó thể đượ vết tắt dạg A A là m trậ thự m [ j ] h A [ ] j j m thì A đượ gọ Kh m t ó A là m trậ vuôg ấp Tập hợp tất ả á m trậ ỡ m m đượ ký hệu Tập hợp tất ả á m trậ vuôg ấp đượ ký hệu Ví dụ : π là m trậ ỡ hỉ kh H m trậ ùg ỡ A [ j ] B [ ] m j m j j vớ mọ m ; j ằg hu ký hệu A B kh và

Chươg : trậ CÁC PHÉP TOÁN A TRẬN Phép ộg Cho h m trậ ùg ỡ A [ j ] B [ ] m j m Tổg ủ h m trậ A B là m trậ ùg ỡ đượ ký hệu và địh ghĩ ở [ j ] j A B m j j vớ mọ m ; Ví dụ : 9 Phép hâ m trậ vớ một số A Cho m trậ [ ] m Ví dụ : 8 7 6 j 6 A j ỡ m và số thự k T địh ghĩ và ký hệu ka 8 [ k j ] m Tíh hất : Cá tíh hất su đâ đúg đố vớ á m trậ ùg ỡ: A B C A B C ; trậ ó á phầ tử đều ằg gọ là m trậ khôg và ký hệu Kh đó: A A A A ; A trog đó A [ j ] m A B B A Vậ m là một hóm Ael ; T ũg kểm hứg đượ á tíh hất su đúg vớ mọ số thự [ ] j B [ ] m j m ỡ m : k A B ka kb ; 6 k h A ka ha ; k h vớ mọ m trậ

Chươg : trậ 7 k ha kh A ; 8 A A Vớ 8 tíh hất à tập E m là khôg g vé tơ m Ký hệu j là m trậ ỡ ó á phầ tử đều ằg goạ trừ phầ tử ở hàg ột j ằg thì hệ á m trậ { E j m ; j } là một ơ sở ủ m Vậ dm m m Phép hâ m trậ Địh ghĩ : Tíh h m trậ A [ j ] và B [ ] m p j p AB j trog đó m đượ ký hệu và địh ghĩ ở [ ] m p j kkj vớ mọ k m ; j là m trậ ỡ Vậ phầ tử ở hàg thứ ột thứ j ủ AB ằg tổg ủ tíh á phầ tử ủ hàg thứ ủ A vớ á phầ tử tươg ứg ủ ột thứ j ủ B j j p j j pj 9 7 7 Ví dụ : [ ] 8 6

Chươg : trậ T thấ rằg tíh ủ h m trậ A và B địh ghĩ đượ kh số ột ủ A ằg số hàg ủ B Vì vậ ó thể địh ghĩ AB hưg khôg địh ghĩ đượ BA ếu số ột ủ B khôg ằg số hàg ủ A Kh B A là h m trậ vuôg ùg ấp thì t ó đồg thờ AB và BA ặ dầu vậ hư hắ ó đẳg thứ BA AB ó áh khá tíh m trậ khôg ó tíh go hoá Chẳg hạ ét O K K K O K K K B A 6 O K K K O K K K BA AB Tíh hất : Gả sử C B A là á m trậ vớ số ột số hàg thíh hợp để á phép toá su á địh đượ thì t ó á đẳg thứ: C AB BC A tíh kết hợp AC AB C B A tíh phâ phố ê trá phép hâ m trậ vớ phép ộg CA BA A C B tíh phâ phố ê phả phép hâ m trậ vớ phép ộg Vớ mọ kb A B ka AB k k Vớ mọ số tự hê dươg t ét m trậ vuôg ấp ó á phầ tử trê đườg héo ằg và á phầ tử ở vị trí khá đều ằg I O I

Chươg : trậ Kh đó vớ mọ m trậ A ỡ m t ó I m A A AI trậ I đượ gọ là m trậ đơ vị ấp Từ á tíh hất trê t thấ tập hợp á m trậ vuôg ấp ùg vớ phép ộg và hâ m trậ là một vàh khôg go hoá ó đơ vị và khôg guê vì ó ướ ủ Chẳg hạ A K K K O B 6 K K K O A B hưg AB trậ huể vị m Địh ghĩ : Cho m trậ A ỡ ếu t đổ á hàg ủ m trậ A thàh á ột và do đó á ột thàh á hàg thì t đượ m trậ mớ ỡ m gọ là m trậ huể vị t ủ m trậ trê A ký hệu A t A A [ ] ; j m j m ; 9 t Ví dụ : Tíh hất : t t t A B A B t t ka ka t t t AB B Địh ghĩ : t Nếu A đố ứg hu qu đườg héo thứ hất A j A j 9 6 A thì A đượ gọ là m trậ đố ứg A là m trậ vuôg ó á phầ tử

Chươg : trậ t A A thì A đượ gọ là phả đố ứg h đố ứg lệh A là m trậ vuôg ó á phầ tử đố ứg và trá dấu qu đườg héo thứ hất á phầ tử trê đườg héo thứ hất ằg A TRẬN CỦA ỘT HỆ VÉC TƠ TRONG ỘT CƠ SỞ NÀO ĐÓ Gả sử V là khôg g hều vớ một ơ sở B { e e } { v v m} là một hệ vé tơ ủ V ó toạ độ trog ơ sở : v j j e j m [ ] m Kh đó m trậ A j ó á ột là á toạ độ ủ á vé tơ v trog v m ơ sở B đượ gọ là m trậ ủ hệ vé tơ { v v m } trog ơ sở B Ngượ lạ vớ m trậ A ỡ trog ơ sở B là á ột ủ A { } B m ho trướ thì t ó hệ m vé tơ mà toạ độ ủ ó Vậ kh khôg g vé tơ V vớ ơ sở ố địh { } gữ á m trậ ỡ m vớ á hệ vé tơ ủ trậ huể ơ sở m V B { } { } B thì ó tươg ứg - e e B là h ơ sở ủ V trậ ủ hệ vé tơ Gả sử e e e e B trog ơ sở B đượ gọ là m trậ huể từ ơ sở B sg ơ sở B Nghĩ là ếu 6 e t e j thì P [ ] 7 j j là m trậ huể từ ơ sở Kh đó vớ vé tơ ất kỳ B sg t j B u V ; u e e T ó: [ ] [ j ] [ j ] 8 đượ gọ là ôg thứ đổ tọ độ Nếu t 8 A A lầ lượt là m trậ ủ { v v m } B trog ơ sở B thì A PA 9

Chươg : trậ HẠNG CỦA A TRẬN Địh ghĩ : T gọ hạg ủ m trậ A ký hệu A r là hạg ủ á vé tơ ột ủ A Phươg pháp tìm hạg ủ m trậ ằg phép ế đổ sơ ấp Hạg S r ủ một hệ vé tơ S ủ khôg g V là số vé tơ ủ một hệ o độ lập tuế tíh tố đạ ủ S h là hều ủ S sp em Địh lý 7 Vì vậ kh t thự hệ lê tếp á phép ế đổ su gọ là á phép ế đổ sơ ấp thì S sp khôg đổ do đó hạg ủ hệ khôg th đổ: Đổ hỗ ho hu h vé tơ ủ hệ Nhâ vào một vé tơ ủ hệ một số khá Cộg vào một vé tơ ủ hệ một tổ hợp tuế tíh á vé tơ khá ủ hệ Vì vậ để tìm hạg ủ một m trậ t thự hệ á ế đổ sơ ấp lê á ột su à t sẽ hứg mh đượ rằg t ũg ó thể ế đổ theo á hàg để đư m trậ về dạg tm gá từ đó su r hạg ủ m trậ Ví dụ 6: 7 7 A 7 Vậ A r B 7

Chươg : trậ - - Vậ B r Õu Õu Xét á m trậ vuôg ấp su: [ ] k k R j hµg k j k j j j ột k [ ] j hµg hµg kl j P ột ột j trog trêg hîp kh h vµ»g ; l j k j l k j l k j l k kl 8

Chươg : trậ [ ] hµg kl j Q ột j trog trêg hîp kh j l k l k kl Tíh hất : T dễ dàg kểm tr đượ: Nếu hâ k R vào ê phả ủ m trậ A thì m trậ tíh k AR ó đượ ằg áh hâ thêm vào ột k ủ m trậ A " " " " " " Nếu hâ j P vào ê phả ủ m trậ A thì m trậ tíh j AP ó đượ ằg áh đổ hỗ h ột và ủ j A ho hu " " " " " " Nếu hâ j Q vào ê phả ủ m trậ A thì m trậ tíh j AQ ó đượ ằg áh hâ vào ột và ộg vào ột ủ m trậ j " " " " " " " A 9

Chươg : trậ d Nếu hâ R Q P vào ê trá ủ m trậ A thì t ó á kết quả tươg tự hư trê trog đó á tá độg lê hàg đổ thàh tá độg lê ột và gượ lạ Chẳg hạ " " " " " " " " " " " " 6

Chươg : Địh thứ CHƯƠNG : ĐỊNH THỨC HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ Địh ghĩ : ỗ sog áh :{ } { } σ đượ gọ là một phép thế ậ T thườg ký hệu một phép thế ằg một m trậ ó hàg thứ hất là á số sắp theo thứ tự tăg dầ ò hàg thứ h là ảh ủ ó: σ σ σ σ Ảh ủ một phép thế đượ gọ là hoá vị Vớ phép thế σ t ó hoá vị tươg ứg Dấu ủ phép thế: [ σ σ ] σ σ ếu ó ặp < j mà σ > σ j thì t ó Cho hoá vị [ σ σ ] ó một ghịh thế ủ σ Gả sử k là số á ghịh thế ủ σ t địh ghĩ và ký hệu dấu ủ phép thế σ là k sgσ T dễ dàg kểm hứg đượ rằg tập á phép thế ậ vớ luật hợp thàh là phép hợp ủ h áh ạ tạo thàh một hóm khôg go hoá gọ là hóm đố ứg ậ ký hệu S Trog hươg t đã ết tập S ó đúg! phầ tử Chẳg hạ S ó phầ tử S ó 6 phầ tử Ví dụ : Hoá vị [ ứg vớ phép thế ó một ghịh thế Vậ sgσ ] σ Để tìm số á ghịh thế k ủ phép thế σ t thự hệ á ướ su: Trog hoá vị [ σ σ ] σ ó là gá trị so ho σ 6