A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Transcript

1 . ĐẶT VẤN ĐỀ Hình họ hông gin là một hủ đề tương đối hó đối với họ sinh, hó ả áh tiếp ận vấn đề và ả trong tìm lời giải ài toán. Làm so để họ sinh họ hình họ hông gin dễ hiểu hơn, hoặ hí ít ũng giải đượ một số ài tập điển hình nào đó là âu hỏi thường trự đối với giáo viên ộ môn Toán mà từng ngày, từng giờ tìm âu trả lời. Vetơ ùng với á tính hất ủ nó giúp ho việ nghiên ứu hình họ định lượng hơn, một phần nào đó giúp t giải một số ài toán hình họ đượ thuận lợi. Để họ sinh thấy và hi thá đượ điểm mạnh ủ vetơ giải á ài toán hình họ, tôi mạnh dạn họn đề tài Hướng dẫn họ sinh sử dụng phương pháp vetơ giải một số ài toán hình họ hông gin ngõ hầu tro đổi với á ạn đồng nghiệp những inh nghiệm ủ mình trong lĩnh vự này. Đề tài hỉ xin đư r một số ví dụ ho á dạng toán su: hứng minh á điểm thẳng hàng, hi đường thẳng song song hứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng hứng minh qun hệ vuông gó; tính gó và độ dài đoạn thẳng hứng minh á hệ thứ hình họ. HƯỚNG DẪN HỌ SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VETƠ GIẢI ỘT SỐ ÀI TOÁN HÌNH HỌ KHÔNG GIN I. Nội dung hủ đề vetơ trong hương trình Toán THPT Ở hương trình lớp 10 vetơ đượ áp dụng để hứng minh á hệ thứ lượng trong tm giá và trong đường tròn. Nó ũng là ơ sở để trình ày phương pháp tọ độ trên mặt phẳng. hương 1 Vetơ, trình ày á hái niệm ơ ản nhất về vetơ (vetơ, vetơ ùng phương, vetơ ùng hướng, vetơ ằng nhu) và á phép toán ộng, trừ vetơ, nhân vetơ với một số. Đồng thời trình ày những iến thứ mở đầu Trng 1

2 về tọ độ: trụ và hệ trụ tọ độ trong mặt phẳng, tọ độ ủ vetơ, ủ điểm đối với trụ và hệ trụ tọ độ. hương Tíh vô hướng ủ vetơ và ứng dụng, o gồm: định nghĩ, tính hất, iểu thứ tọ độ ủ tíh vô hướng, hệ thứ lượng trong tm giá. Ở hương trình lớp 11, vetơ trong hông gin là một ài trong hương III Qun hệ vuông gó trong hông gin. á phép toán và tính hất ủ vetơ trong hông gin đượ hiểu tương tự như vetơ trong mặt phẳng, nên hông trình ày một áh tỉ mỉ. hỉ ó một hái niệm mới là sự đồng phẳng ủ vetơ. Việ đư vetơ trong hông gin vào hương trình giúp ho việ hứng minh một số tính hất về qun hệ vuông gó thuận lợi hơn và là một trong những yêu ầu giảm tải ủ hương trình phân n 006. hương trình lớp 1 ó đư vào hái niệm tíh ó hướng (òn gọi là tíh vetơ) ủ hi vetơ, í hiệu là ; hoặ, đượ xá định ởi iểu thứ tọ độ, để làm ơ sở viết phương trình mặt phẳng. II. Sử dụng phương pháp vetơ để giải á ài toán hình họ Dùng vetơ và á phép toán vetơ húng t ó thể giải nhnh gọn một số ài tập hình họ. Su đây là một số ết quả thường đượ sử dụng: Để hứng minh ốn điểm,,, D nằm trên một mặt phẳng t hứng minh á vetơ,, D đồng phẳng, tứ là l D. Để hứng minh hi đường thẳng và D song song (ó thể trùng nhu) t hứng minh á vetơ và D ùng phương, tứ là D. Để hứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng (P), hoặ nằm trên mặt phẳng (P) t lấy trong (P) hi vetơ và hông ùng phương và hứng minh ve tơ,, đồng phẳng; hoặ tìm một vetơ trong (P) so ho và ùng phương. Để hứng minh đường thẳng vuông gó với đường thẳng D t hứng minh. D 0. Trng

3 Để tính độ dài ủ đoạn thẳng t hãy iểu diễn vetơ theo á vetơ đã iết và tính.. Khi đó.. Để tính gó O t xét tính vô hướng OO. os OO. O. O. O và dùng ông thứ III. ột số ví dụ hướng dẫn họ sinh sử dụng phương pháp vetơ giải một số ài toán hình họ hông gin. hứng minh á điểm thẳng hàng, hi đường thẳng song song Để hứng minh điểm,, thẳng hàng t hứng minh hi vetơ và ùng phương, tứ là. Để hứng minh hi đường thẳng phân iệt và D song song, t hứng minh, D. Ví dụ 1. ho hình hộp D. D. Gọi G, G lần lượt là trọng tâm ủ tm giá D và D. hứng minh rằng, G, G, thẳng hàng. ướ 1: Phân tíh ài toán Để hứng minh, G, G, thẳng hàng, t hứng minh á vetơ G ' G ', ' ùng phương. Trng 3, họn một hệ vetơ ơ sở (gồm 3 vetơ hông đồng phẳng) so ho thuận lợi nhất ho việ iểu diễn G, ' G ', ' theo hệ vetơ ơ sở đó, thông thường t họn vetơ gắn với ạnh ủ hình hộp ùng hung một đỉnh. hú ý giả thiết G, G lần lượt là trọng tâm ủ tm giá D và D. ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt, D, T ó: ' (1) Vì G là trọng tâm tm giá D nên: 1 1 G D 3 3 () Vì G là trọng tâm tm giá D nên:

4 1 1 ' G ' ' ' ' ' 3 3 (3) Từ (1) và () suy r: là, G, thẳng hàng. Từ (1) và (3) suy r: tứ là, G, thẳng hàng. 1 G ', tứ 3 1 ' G ' ', 3 Vậy ốn điểm, G, G, thẳng hàng. Ví dụ. ho hi ti x, y héo nhu, di huyển trên x, N di huyển trên y. Giả sử N, I là điểm hi trong N theo tỉ số I IN. hứng minh I di huyển trên một ti ố định. ướ 1. Phân tíh ài toán Để hứng minh I di huyển trên một ti ố định, t ần dự đoán ti ố định đó, muốn vậy t xét một vài trường hợp đặ iệt: - Khi trùng với, N trùng với, gọi O là điểm hi trong đoạn theo tỉ số O O. - Lấy 0 Trng 4 x và N0 y so ho 0 N0 và gọi I 0 là điểm hi I trong đọn 0 N 0 theo tỉ số 00 I N. 0 0 Do vậy, điểm I di huyển trên ti OI 0. Để hứng minh điều này, t xét trường hợp di huyển trên x, N di huyển trên y và N, I là điểm hi trong N theo tỉ số I IN, t hứng minh O, I 0, I thẳng hàng. Hy á vetơ OI0 và OI ùng phương. ướ. Thự hiện giải ài toán Gọi O là điểm hi trong đoạn theo tỉ số O ; tứ là: 0 O O O. ' G D G' '

5 Lấy 0 x và N0 y so ho 0 N0 và gọi I 0 là điểm hi trong I đoạn 0 N 0 theo tỉ số 00 ; tứ là: I N 0 0 0I0 N 0I0 0. Đặt O,, N 0 0. với O o I 0 I x Khi đó: OI0 O 0 0I0 OI O N N I (1) () N 0 Từ () suy r: OI O N N I Vì O O 0 và 0I0 N0I0 0 nên từ (1) và (3) suy r: (3) 1 1 OI0 N Thự hiện tương tự t ó: OI N 1 1 Vì 0 N0, N nên t. 0 t. ; N t. N0 t ởi vậy: OI N t t. OI Do đó I nằm trên OI 0 (đpm). Ví dụ 3. ho hình hộp D. D. Tìm điểm thuộ đoạn và điểm N thuộ đoạn D so ho N song song với D. ướ 1. Phân tíh ài toán Đường thẳng N song song với D, tứ là ó số thự so ho N. Giả sử điểm thuộ đoạn và điểm N thuộ đoạn D xá định ởi á hệ thứ m, ' N n ' D. iểu diễn N và qu hệ vetơ ơ sở, thy vào đẳng thứ N D ' t tìm đượ m và n. Trng 5 N y

6 ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt, ',. Giả sử điểm thuộ đoạn và D điểm N thuộ đoạn D xá định ởi á hệ thứ m, ' N n ' D. N ' ' Theo giả thiết N//D nên ó số so ho N D ' 1 ặt há N ' ' N m ' n ' D m n n m 1n m Từ (1) và () t ó n m m 1 n m n 3 Vậy, điểm và n xá định ởi á hệ thứ: Trng , ' N ' D hứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Để hứng minh ốn điểm,,, D nằm trên một mặt phẳng t hứng minh á vetơ,, D đồng phẳng, tứ là l D. Để hứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng (P), hoặ nằm trên mặt phẳng (P) t lấy trong (P) hi vetơ và hông ùng phương và hứng minh ve tơ,, đồng phẳng; hoặ tìm một vetơ trong (P) so ho và ùng phương. Ví dụ 4. ho tứ diện D, I là trung điểm ủ, J là trung điểm ủ ạnh D, hi trong D theo tỉ số D, N hi trong theo tỉ số N N. hứng minh I, J,, N đồng phẳng.

7 ướ 1. Phân tíh ài toán Để hứng minh I, J,, N đồng phẳng, t hứng minh IJ, I và IN đồng phẳng. Hy ó sự iểu diễn IJ mi nin. uốn vậy, t họn một hệ vetơ ơ sở và iểu diễn á vetơ IJ, I, IN theo húng, từ đó t suy r I, J,, N đồng phẳng. N ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt,, D. Từ giả thiết hi trong D theo tỉ số D, N hi trong theo tỉ số 1 N, t ó: D D D hy N N N N N 1 Từ đó: 1 I I 1 1 hy N 1 1 IN I N I N J (1) () 1 D IJ I ID I I D Từ (1), () và (3) t thấy: I IN 1 IJ 1 Vậy I, J,, N đồng phẳng. (3) Trng 7

8 Ví dụ 5. ho hình hộp D. D, á điểm, N, P lần lượt là trung điểm á ạnh D,, D. hứng minh rằng đường thẳng D song song với mặt phẳng (NP). ướ 1. Phân tíh ài toán Để hứng minh D song song với mặt phẳng (NP), t hứng minh vetơ ' D, N, P đồng phẳng. Nghĩ là phải hỉ r sự tồn tại hi số thự x và và y so ho: N D ' D x. P y. N. ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt, D, T ó: 1 1 N N 1 1 P D D P ' D ' D Giả sử ' D x. P y. N x y x y x y x y 1 1 x y x y x y x y Vậy ' D. P. N 3 3 ' P ' Trng 8

9 Từ đó suy r vetơ ' D, N, P đồng phẳng. Dễ thấy hông thuộ mặt phẳng (NP) nên suy r D song song với mặt phẳng (NP).. hứng minh qun hệ vuông gó; tính gó và độ dài đoạn thẳng Để hứng minh đường thẳng vuông gó với đường thẳng D t hứng minh. D 0. Để tính độ dài ủ đoạn thẳng t hãy iểu diễn vetơ theo á vetơ đã iết và tính.. Khi đó.. Để tính gó O t xét tính vô hướng OO. os OO. O. O. O và dùng ông thứ Ví dụ 6. ho hình lập phương D. D. Gọi và N lần lượt là trung điểm ủ D v. hứng minh rằng N. ướ 1. Phân tíh ài toán Để hứng minh N, t hỉ ần hẳng định tíh vô hướng N. 0. uốn vậy, t họn hệ vetơ ơ sở thíh hợp, iểu diễn á vetơ N, qu hệ vetơ đó và tính tíh N.. N D ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt, D,, t ó: 1 ' 1 ' N N Vì D. D là hình lập phương nên:... 0 và x (với x là độ dài ạnh hình lập phương) Từ đó t ó: Trng 9

10 1 1 N x x x 0 Vậy N, suy r N. Ví dụ 7. ho hình lập phương D. D ó ạnh ằng. ột mặt phẳng đi qu D song song với D và ắt đường thẳng tại. Tính độ dài D. ướ 1. Phân tíh ài toán họn một hệ vetơ ơ sở, từ giả thiết ủ ài toán t sẽ iểu diễn đượ qu hệ vetơ ơ sở. Từ đó độ dài đoạn thẳng ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt x, D ' D y, ' z. ột mặt phẳng đi qu D song song với D và nên vetơ D và ' đồng phẳng, tứ là p. D q. p. q. p. p q. q. Hy (1), điểm,, thẳng hàng nên ' ' ' ' ' ' D D hy p. p q. q. ' ' p. p q. q 1. p 1 1 p p q 1 q 1 0 q 1 D Trng 10

11 Vậy T ó x. y z x y z x. y x. z y. z Vì thế: Ví dụ ho lăng trụ tm giá đều.. Tìm gó giữ hi đường thẳng và, iết. 5 ướ 1. Phân tíh ài toán iểu diễn hi vetơ ' và ' theo một hệ vetơ ơ sở đã họn và tính tíh vô hướng. '. T lại ó:. ' '. '.os '; ' từ đây t xá định đượ giữ hi đường thẳng và. ướ. Thự hiện giải ài toán x Đặt x ;,,, với 5 T ó: ' ' ' ' 0 0 0, x x x 3x. '.... x 5 10 x x 6 ' x 5 5 ' ' Trng 11

12 x x 6 ' ' ' ' x 5 5 Do vậy: os ; ' 3x. ' 10 1 '. ' x 6 x Suy r, gó giữ hi đường thẳng và là α với D. hứng minh á hệ thứ hình họ Ví dụ 9. 1 os. 4 ho hình hóp S.D ó đáy D là hình ình hành. Gọi K là trung điểm ủ ạn S. ặt phẳng qu K ắt á ạnh S, SD lần lượt tại và N. S SD hứng minh rằng: 3. S SN ướ 1. Phân tíh ài toán ặt phẳng qu K ắt á ạnh S, SD lần lượt tại và N, tứ là ốn điểm, K,, N đồng phẳng. Từ đó tồn tại hi số m và n so ho: K m. n. N. Hy SK 1 m n S m. S n. SN (*) S Đặt x S, SD y SN, iểu diễn SK, S, SN theo vetơ hông đồng phẳng là: S, S, S. Thy vào (*), đồng nhất hi vế, t tìm đượ x y. ướ. Thự hiện giải ài toán Đặt S, S, S là vetơ hông đồng phẳng. Đặt S x S, SD y, t ần hứng minh 3 SN x y. D N S K Trng 1

13 1 1 T ó: S S x ; x 1 1 SN SD ; x x SK S SK SD D. Theo giả thiết ó:, K,, N đồng phẳng nên tồn tại hi số m và n so ho: K m. n. N SK 1 m n S m. S n. SN 1 m n 1 m n x y 1 1 m n 3 m n m 1 x m x y 3 x n 1 y n y (điều phải hứng minh) IV. ột số ài tập rèn luyện ài 1. ho tứ diện D. Gọi 0, 0, D 0 lần lượt là trọng tâm ủ á tm giá D, D và. Gọi G và G 0 là trọng tâm ủ tm giá D và 0 0 D 0. hứng minh điểm, G 0, G thẳng hàng. ài. ho ốn điểm,,, D trong hông gin. Gọi, N là trung điểmlần lượt ủ á đoạn thẳng, D. hứng minh rằng nếu 1 N D thì / / D. ài 3. ho hi ti x và y héo nhu. Trên x và y lần lượt lấy hi điểm và N so ho N, là một số dương. Tìm tập hợp trung điểm ủ đoạn thẳng N. ài 4. ho hình hộp D. D ạnh. Trên đoạn thẳng D và D lần lượt lấy hi điểm thy đổi và N so ho D N x 0 x. hứng minh rằng đường thẳng N luôn luôn song song với một mặt phẳng ố định. ài 5. ho tứ diện đều D ạnh. Gọi G là trọng tâm tm giá D, O là trung điểm G. Trng 13

14 1. Tính độ dài G theo.. hứng minh á ặp ạnh đối diện ủ tứ diện vuông gó với nhu. 3. hứng minh O, O, OD đôi một vuông gó. ài 6. ho hình hóp S.D ó đáy D là hình vuông ạnh, S vuông gó với đáy. Gọi, N là hi điểm theo thứ tự thuộ, D so ho, 3 DN hứng minh N.. hứng minh S N. ài 7. ho lăng trụ tm giá. ó độ dài ạnh ên ằng. Trên á ạnh ên,, lấy á điểm, N, P so ho N P. hứng minh rằng mặt phẳng (NP) luôn đi qu một điểm ố định. ài 8. ho hình hóp S.D ó đáy D là hình ình hành. ột mặt phẳng (P) ắt S, S, S, SD theo thứ tự tại K, L,, N. hứng minh rằng: S S S SD. SK S SL SN ài 9. ho hình hóp S.; G là trọng tâm tm giá. ột mặt phẳng (P) ắt S, S, S, SG theo thứ tự tại,,, G. hứng minh rằng: S S S 3 SG. S S' S ' SG'. ĐÔI LỜI KẾT Trên đây là những ví dụ sử dụng phương pháp vetơ để giải ài toán hình họ hông gin, á ví dụ tá giả lự họn đư r nhằm minh họ sự thuận lợi ủ vetơ để giải một số ài tập. Tá giả mong đượ á đồng nghiệp góp ý xây dựng để làm tốt hơn ông tá giảng dạy ủ mình. Hy vọng đề tài này là một ý iến trong hi thá vetơ giải á ài toán. á Thướ, tháng 4 năm 009 Người viết: Đỗ Đường Hiếu Trng 14