Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P C + λ II Права. Једначина прамена правих. Једначина праве кроз две тачке ( ) k ( ). Растојање тачке од праве 4. Услов паралелности d + + C ± + k k 5. Услов нормалности 6. Угао између две праве k k k tgγ ± k + k k III Криве другог реда. Једначина кружнице. Услов додира централне кружнице p + q r ( + k ) r n ( ) ( ). Једначина елипсе 4. Услов додира елипсе + b k + b n 5. Једначина хиперболе 6. Услов додира хиперболе b k b n 7. Једначина параболе 8. Услов додира параболе p p kn Jv@'s lectures
Аналитичка геометрија С т р а н а. Дате су тачке (,), (, 4) и C ( 4,5). Када се дуж АВ продужи за трећину своје дужине добије се тачка М тако да је В између А и М. Наћи површину троугла C.,. Када се дуж АВ продужи за трећину своје дужине добије се тачка М тако да је В између А и М, излази да тачка В дели дуж АМ у односу :, тј. три дела дужи АМ су у дужи АВ, а један део је у дужи ВМ. Одавде излази да је даж АМ подељена тачком В у односу λ m : n :. Одавде је + λ + λ +, а. Кад се замене координате, добије се, + λ + λ + + + 4 4 + 6. Такође је 4 + + 6 8 6 8 6. Дакле тачка М има координате (, 6). Површину троугла C можемо израчунати према формули P C C, па је Нека је тачка М са координатама ( ) P 4 5 6 4 5 6 5 + + 4 ( 6) 5 ( ) ( 6) 4 P 0 + 4 4 0 8 0 0 60 P 0. Тачка М (х,у) креће се тако да je разлика квадрата растојања од ње до тачака (-, ) и В (, -) једнака 4. Написати једначину линије п којој се креће тачка М.. Одредити једначину праве која пролази кроз тачку ( 5,4) троугао чија je површина 5., а cа координатним осама образује 4. Светлосни зрак долази п правој + 0и одбија се од праве + 0. Наћи једначину одбијеног зрака. 5. Светлосни зрак који клизи по правој ( p + 5 0 пада на праву ( + 7 0 ње се одбија. Наћи једначину праве по којој клизи одбијени зрак. p и од 6. Одредити т тако да се праве 4 m ( m + ) + 4 0 и ( 4 m + 5) ( 8m ) + 0 секу на у-оси. Израчунати, затим, површину троугла коју образују дате праве и х-оса. 7. Наћи једначину праве која пролази кроз тачку (,) и са правом ( + 6 0 угао од 4 π. p образује Jv@'s lectures
Аналитичка геометрија С т р а н а 8. Наћи тачку која припада правој ( p + 8 0и која je једнако удаљена од тачке (,8) ( p + 0. Jv@'s lectures и праве 9. Написати једначину праве која са х-осом образује два пута већи угао од угла који образује права p : + 6 и која садржи координатни почетак. ( ) 0 0. Наћи једначину праве која пролази кроз координатни почетак и њен одсечак између правих ( p + 5 0и ( p + 0 0једнак je 0. Облик праве која пролази кроз координатни почетак је ( p k. Одсечак између правих добијемо као растојање између пресечних тачака тражене праве p и датих правих p и p. Пресек правих pи p добијемо заменом у прву једначину, тј. ( p k + 5 0 ( k ) 5 5 k 5 k 5k 5 5k. Дакле тачка пресека правих pи p је,. k k k 0 Пресек правих pи p добијемо на исти начин: ( p k + 0 0 ( k ) 0 k 0 k 0k 0 0k. Одавде је,. По услову задатка треба да буде k k k 0. Тада је ( ) + ( ) 0, тј. 0 5 k k 0k 5k + k k 0 5 5k + 0 k k k 0 ( ) 5 + 5 0 ( k 4k + 4) 5 + 5 k 5 k 5k k + 0 ( ) ( ) k 5 + 5k 0k 40k + 40 5 + 5k 0k + 40k 40 0 5k + 40k 5 0/ : 5 k + 8k 0 8 ± 64 + 6 8 ± 00 8 ± 0 8 0 8 k, k и 6 6 6 6 6 Одавде се добијају две праве, и. Из тачке (,0) 8 + 0 k. 6 6 повучена je тетива АВ на круг + 9 и затим продужена до тачке М тако да je ВМ АВ. Одредити геометријско место тачака М.. Дат je круг ( ) + 4 кроз тачку М (4,0).. Под којим се углом види круг + 6. Наћи геометријско место средишта тетива тог круга, које пролазе из тачке ( 8,0)? 4. Дати су кругови К: + 45и К: + 0 5 0. Наћи једначине њихових заједничких тангенти и дужину између тачака додира. 5. Дати су кругови ( K ( ) + 9 и ( K ( + ) + ( ) 9 заједничких тангенти.. Наћи једначине њихових
Аналитичка геометрија С т р а н а 6. Из тачке (5,-5) конструисати сечицу круга + 50, тако да дужина одговарајуће тетиве износи 0. 7. Наћи једначину круга чији је центар на правој ( 4 5 0 ( l 0 0 и ( l + 5 0 l и који додирује праве 8. Наћи једначину кружнице која додирује праве ( l + + 4 0 и ( 7 + 4 0 се налази на правој ( l 4 + 0 l а центар јој 9. Написати једначину круга који садржи тачку (,0) и који додирује две паралелне праве + + 0 и + 8 0. 0. Одредити једначину круга полупречника 0, који садржи тачку (4,) и додирује праву 5 0 Кружница К има једначину облика ( p) + ( q) r 0. Ово значи да тачка (4,) задовољава ову једначину: ( 4 p ) + ( q) 0. Са друге стране, центар ( p q) C, кружнице се налази на p q 5 p q 5 удаљењу r од дате праве, тј. d r 0. Одавде је: p q 5 0, тј. + 0 p q 5 0 и p q 5 0. Тако добијамо два система једначина: А) q 5 0 p и ( 4 ) + ( q) 0 Б) q 5 0 p и p и ( 4 p ) + ( q) 0 Решавајући А) q + 5 p и замењујући у једначину кружнице: ( 4 5) + ( q) 0 ( q ) + ( q) 0 9q + 6q + 44+ 9 6q + q 0 0 0 + 0q + 440 0 q + q + 44 0 q, ± 44 76 ±, нема реалних решења. Б) p q + 5 и замењујући у једначину кружнице: ( 4 5) + ( q) 0 ( q ) + ( q) 0 9q + 6q + + 9 6q + q 0 0 0 0 се да је центар кружнице C ( 5,0). Једначина кружнице је: : ( 5) + 0 K q q q q q 0 p 5 и добија. Наћи једначине кругова који додирују три дате праве: + 4 5 0, 4 5 0 и 0.. Написати једначину параболе и њене директрисе, ако парабола пролази кроз пресечне тачке праве 0 и круга + + 6 0 и симетрична је у односу на -осу. Jv@'s lectures
Аналитичка геометрија С т р а н а 4. Дата је парабола 4 и тачка 5,. Одреди дужину тетиве параболе која је том тачком преполовљена. 4. Права + + 0 је тангента параболе p. Наћи једначину параболе, као и координате тачке додира. 5. Наћи једначину тангенте параболе l. која је паралелна правој ( ) : 4 0 6. Одредити геометријско место средина тетива параболе 4 које су паралелне правој l : + +. ( ) 0 7. Права ( l 6 0 сече параболу у двема тачкама. Одредити једначине тангенти параболе у тим тачкама. 8. Под којим углом се секу парабола 4 9. Под којим се углом види парабола 6 l? и права ( ) : + 0 из тачке ( 4, )? 0. Одредити једначину круга чији је центар на -си и који са параболом има зајдничку тангенту у тачки (,6). Како је центар круга на -си, то његов центар има координате C ( p,0) параболу у датој тачки је ( ) тангента круга у тачки (,6). Једначина тангенте на p +, тј. 6 6 ( + ), или ( t +. Ово је уједно и. Пошто се центар круга налази на нормали на тангенту у датој тачки, 6 kn. одредимо најпре једначину нормале на тангенту t у тачки (,6) Како је n k k, то је ( 6 ( ) t n, односно + + 6. Прамен правих је ( ) n. ( + 9 Центар припада овој правој и мора задовољавати ову једначину, тј. 0 p + 9 9 Полупречник је једнак удаљењу центра и дате тачке, тј. d r 9 + 0 6 6 + 6 6 + 6 и једначина круга је ( ) ( ) 7 ( K ( 9) + 7 C. p и ( 9,0). Апсцисе свих тачака круга + 4 су удвостручене. Написати једначину тако добијене нове криве.. Одредити путању тачке (, ) која при свом кретању остаје три пута ближа тачки (,0) него правој ( 9 0 p. и тачка (,). Дата је елипса 9 + 6 44 чије је средиште дата тачка.. Наћи једначину праве која сече елипсу по тетиви Jv@'s lectures
Аналитичка геометрија С т р а н а 5 4. Одредити тачку која припада елипси 8 + 8 44 и која је најближа правој l : + 5, а затим одредити њено одстојање од праве. ( ) 0 5. Наћи једначине тангенти конструисаних из тачке ( 5,4) Jv@'s lectures на елипсу 4 + 5 00. 6. Наћи једначину елипсе b + b, а ко су познате две њене тангенте t : 0 и ( t + 6 0 0. ( ) 0 7. Наћи заједничке тангенте елипси 9 + 6 44 и 6 + 9 44. 8. Израчунати правоугаоника уписаног у елипсу + 6 9, чије две супротне стране садрже жиже елипсе. 9. У круг ( K + 5 уписана је елипса ( E b b -оси). Елипса полови полупречник круга који пролази кроз тачку ( 4,) елипсе. 40. Дата су темена троугла ( 4,), ( 4,) и C ( 0, ) је збир квадрата њихових растојања од страница троугла једнак. Најпре треба наћи правце, тј. странице, C и C. ( ) : ( ) ( 4) 0 C ( C) : ( ) ( ) C + (зајдничке тачке се налазе на. Написати једначину. Наћи геометријско место тачака, таквих, да 4 4 4 4 0 0 4 C ( C) : ( ) ( 4) ( + 4) + + 0 Нека тачка ( ) C 0 + 4 4 X, припада траженом геометријском месту тачака. Онда су растојања те тачке од поједних праваца једнака: + + + + d, d C и d C. 0 + + + ( ) По услову задатка треба да буде d + d ( ) + ( ) + ( + + ) 4 d ( ) + C C ( 4 + 4) + ( ) ( ) + ( + + ) ( + + ) 4 ( ) ( + + ) + + ( + + ) ( + + ) 4 8 + 8 + + + + + 4 + + 4 4 + + + + + + + + + + 4 4 + 4 8 + 4
Аналитичка геометрија С т р а н а 6 4. Одредити путању тачке ( ) него тачки ( 4,0).,, која при свом кретању остаје увек двоструко ближа правој 4. Одредити геометријско место средишта тетива хиперболе 4 6, које заклапају са π позитивним делом -осе угао. 4 4. Написати једначину хиперболе ( H b b тангента 5 8 + 8 0. чија је једна асимптота 0, а 44. Круг са центром на -оси сече хиперболу ( H 4 у тачки ( 4, ) углом. Написати једначину круга. под правим 45. Израчунати површину паралелограма ограниченог асимптотама хиперболе H : b b и правама које пролазе кроз произвољну тачку те хиперболе. ( ) 46. Наћи једначине тангенти хиперболе ( 6 ( l + 4 5 0 и израчунати растојање међу њима. H паралелних са правом 47. Дата хипербола ( H b b има асимптоте 4 ± 0 5 4 Одредити једначину круга који пролази кроз тачку (,4) и кроз обе жиже дате хиперболе. 48. Написати једначину хиперболе ( H b b и тангенту 6. такве да растојање од њене жиже до координатног почетка износи 7 и да је права + + 0 њена тангента. Жиже хиперболе су F ( e,0) и F ( e,0), где је e + b. Пошто је e ± 7, следи да је + b 7. Једначину тангенте можемо написати у експлицитном облику, па је k, а n. Када се ове вредности замене у услов додира, добије се k b n b b. Када ову једначину прикључимо првој, добијамо систем: ( ) ( ) + b b 7 + b 7 8 + b 4 Једначина хиперболе је: ( 4 7 4 + b 7 b 4 H 49. Наћи једначине тангенти хиперболе ( 50. Хипербола ( H b b једначину.. 4 H које са -осом образују углове додирује праву 0 у тачки ( 4,) π ±. 6. Наћи њену Jv@'s lectures
Аналитичка геометрија С т р а н а 7 5. Растојање пресечне тачке правих и 0 6 + 4 је: А) 7 Б) 6 В) 5 Г) 4 Д) Видимо да треба наћи растојање између две тачке. Прва тачка је центар круга, а друга тачка је пресек две праве коју тражимо као решење система две једначине са две непознате. Из једначине круга читамо директно центар круга и он износи C ( 6,4). од центра круга ( ) ( ) 9 / Пресечна тачка правих је решење система једначина 0 0 4 + 6 4 + 6 4. Тачка пресека правих је 0 6. (,) Растојање ( ) + ( ) ( 6) + ( 4) ( 4) + ( ) C 5 C C ( ) C C 6 + 9 5 Ово значи да је тачно решење под В. 5. Ако је дужина тетиве кружнице ( ) + ( 4) r на оси O једнака 6, колика је онда је дужина тетиве ове кружнице на оси O једнака: А) 4 Б) 6 В) 8 Г) 0 Д) 4 5. Растојање између центара кружница + 0 + 6 + 80 0 и + + 6 + 4 0 је: А) 0 Б) 6 В) Г) 4 Д) 54. Растојање тачке пресека правих 5 0 и + 7 0 од праве 4 + 5 0 је: 6 5 А) Б) В) Г) Д) 4 5 5 4 55. Једначина праве која садржи тачку (,) и нормална је на праву одређену са (,) C (, 5) једнака је: А) 5 8 + 6 0 Б) 5 + 8 + 6 0 В) 8 5 6 0 Г) 8 + 5 6 0 Д) одговор није понуђен Н) не знам и 56. Одредити R тако да права буде тангента елипсе +. Тада припада интервалу: А) [,4) Б) [ 6,7) В) одговор није понуђен Г) [ 4,5) Д) [ 7,9] Н) не знам Видимо да треба да одредимо непознату из услова додира праве и елипсе. Jv@'s lectures
Аналитичка геометрија С т р а н а 8 Елипсу E : + можемо написати у облику: E : + / : E : + E : +. Када упоредимо једначину елипсе са изразом E : +, добија се да је b и b. Праву можемо написати као: p : p : + p :. Одавде је коефицијент правца k, а n. Како је услов додира за елипсу k + b n, то је + ( ) 9 + + 8 9/ 9 6 Ово значи да је тачно решење под Б. 57. Скуп тачака у равни чије координате и задовољавају једначину 4 + + 4 4 0 представља: А) кружницу; Б) елипсу; В) хиперболу; Г) параболу; Д) две праве које се секу; Н) Не знам. 58. Светлосни зрак долази по правој + 5 0 и одбије се од праве + 0. Одредити једначину одбијеног зрака. k k А) 8 k tgβ 8 ( + k ) ( k ) + k 6 + 8 k k + k + k 5 8 k + k 6 0 k 5 k k, па је из k + k 0 + 5 ( p ) : + ( p + + ( p ) : + ( p + ( p + 5 0 и добија се полазна права p што као решење отпада. k k Б) 8 k tgβ 8 ( + k ) ( k ) + k 6 8 k k + k + k 7 8 k + k + 6 6 k 7 k, па је из k + k 6 7 7 7 7 7 6 + 7 ( p ) : + ( p + + ( p ) : + 6 6 6 6 6 6 7 ( p + ( p 7 + 6 0 6 6 59. Дат је троугао теменима (,), ( 4,6) и C (,5). Једначина праве на којој се налази висина из темена C је: А) одговор није понуђен Б) + 0 В) + + 0 Г) + + 0 Д) 0 Н) не знам Jv@'s lectures