ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ενότητας Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα e At μέσω ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα e At μέσω μετασχηματισμού Laplace. Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα e At μέσω συναρτήσεων πινάκων. 4
Σκοποί Ενότητας Μελέτη των τρόπων υπολογισμού του εκθετικού πίνακα e At : Μέσω ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Μέσω μετασχηματισμού Laplace. Μέσω συναρτήσεων πινάκων. 5
Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα exp(at) μέσω ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων 6
Μέσω ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων () Υπολογισμός exp(at) e At = I +! At + 2! A2 t 2 + Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων) τέτοιος ώστε: λ A u u 2 u n = u u 2 u n λ 2 U U A = UJU λ n J 7
Μέσω ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων (2) και συνεπώς e At = I +! UJU t + 2! UJU 2 t 2 + = όπου: e Jt = = I +! UJU t + 2! UJ2 U t 2 + e λ t e λ 2t e λ nt = Ue Jt U όταν J = λ λ 2 λ n 8
Μέσω ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων (3) και e λ t! teλ t n! tn e λ t e Jt = e λ t n 2! tn 2 e λ t λ e λ nt λ όταν J =. λ λ 9
Παράδειγμα () Έστω A = 2 2 Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων) τέτοιος ώστε: 2 2 A 2 2 A U = U = U 3 J 3 J 2 2 U 2 2
Παράδειγμα (2) e At = U e 3t e t e Jt 2 2 U e At = 2 e 3t + e t 2 e 3t + e t 2 e 3t + e t 2 e 3t + e t Συνεπώς το ομογενές σύστημα 2 2
Παράδειγμα (3) x t = 2 x t x, x 2 t 2 x 2 t x 2 = έχει ως λύση την παρακάτω x t = e At x = 2 e 3t + e t 2 e 3t + e t 2 e 3t + e t 2 e 3t + e t = e 3t e 3t 2
Παράδειγμα 2 () Έστω 9 9 A = 2 9 8 4 3 Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων); ΟΧΙ Χαρακτηριστικό πολυώνυμο s + 9 9 det si 3 A = det 2 s 9 8 4 s + 3 = s 3 5s 2 + 8s 4 = s s 2 2 Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι: και 2 3
Παράδειγμα 2 (2) Ιδιοτιμή: Ιδιοτιμή: 2 + 9 9 2 9 8 4 + 3 x y z = k 2 + 9 9 2 2 9 8 4 2 + 3 x y z = k 3 2 x y z, k R x y z, k R = = 4
Γενικευμένα ιδιοανύσματα () Έστω A = Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: det si 3 A Ιδιοτιμή: λ = det λ λ λ λ λ λ λ λ λ x y z s λ s λ s λ = x x y z =, x R = s λ 3 5
Γενικευμένα ιδιοανύσματα (2) A u u 2 u 3 U Au = λu Au 2 = u + λu 2 Au 3 = u 2 + λu 3 = u u 2 u 3 U λ λ λ J A λι 3 u = A λι 3 u 2 = u A λι 3 u 3 = u 2 Άρα u 2 = A λι 3 u 3 u = A λι 3 u 2 = A λι 3 2 u 3 A λι 3 3 u 3 = 6
Γενικευμένα ιδιοανύσματα (3) Ορισμός. Ένα διάνυσμα u m καλείται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης m όπου m του πίνακα A M n, n N, αν,2,, για την ιδιοτιμή λ A λι n m u m = και A λι n m u m. 7
Γενικευμένα ιδιοανύσματα (4) 2 Έστω A = 2 2 Τότε το x 3 = είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης 3 για την ιδιοτιμή λ = 2 αφού A 2Ι 3 3 x 3 = A 2Ι 3 2 x 3 = = = και. 8
Γενικευμένα ιδιοανύσματα (5) 2 Έστω A = 2 2 Τότε το x 2 = είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης 2 για την ιδιοτιμή λ = 2 αφού A 2Ι 3 2 x 2 = A 2Ι 3 x 2 = = = και. 9
Γενικευμένα ιδιοανύσματα (6) 2 Έστω A = 2 2 Τότε το x = είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης για την ιδιοτιμή λ = 2 αφού A 2Ι 3 x = και A 2Ι 3 x = Ιx = x. 2
Παράδειγμα 3 () Να υπολογιστεί ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου 3 για τον παρακάτω πίνακα 5 2 4 5 2 2 A = 5 3 4 A 5Ι 3 4 x 3 = και A 5Ι 2 3 x 3 2
Παράδειγμα 3 (2) 4 A 5Ι 3 4 4 x 3 = 3 2 8 A 5Ι 2 4 4 x 3 = 3 w x y z w x y z z = και y και x 3 = = = 4z 4z 3z z 2y 8z 4z 3z z και 22
Άσκηση Να υπολογιστεί ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου 2 για τον παρακάτω πίνακα που να αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ=2 5 2 A = 2 5 Να υπολογιστεί ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου 2 για τον παρακάτω πίνακα που να αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ=4 A = 4 4 23
Αλυσίδες ιδιοδιανυσμάτων () Έστω ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα x m τύπου m της ιδιοτιμής λ για τον πίνακα Α. Η αλυσίδα που παράγεται από το x m είναι ένα σύνολο διανυσμάτων x m, x m,, x τα οποία δίνονται από x m = A λi x m x m 2 = A λi 2 x m = A λi x m x m 3 = A λi 3 x m = A λi x m 2 x = A λi m x m = A λi x 2 x j = A λi m j x m = A λi x j+ j =,2,, m 24
Αλυσίδες ιδιοδιανυσμάτων (2) Θεώρημα: Το διάνυσμα x j της () είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου j για την ιδιοτιμή λ αφού A λi j x j = A λi j A λi m j x m = A λi m x m = και A λi j x j = A λi j A λi m j x m = = A λi m x m 25
Παράδειγμα 4 () Το x 3 = τον πίνακα A = Το x 2 = A 5Ι 4 x 3 = είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου 3 για 5 2 4 5 2 2. 5 3 4 2 4 2 2 3 = 2 2 είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου 2 για την ιδιοτιμή λ=5. 26
Παράδειγμα 4 (2) Το x = A 5Ι 4 2 x 3 = A 5Ι 4 x 2 = 2 4 2 2 3 είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου για την ιδιοτιμή λ=5. 2 2 = 2 27
Παράδειγμα 4 (3) Για τον πίνακα A = το σύνολο x 3, x 2, x = 5 2 4 5 2 2 5 3 4, 2 2 ιδιοδιανυσμάτων που παράγετει από το x 3., 2 είναι μία αλυσίδα 28
Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα - γραμμικά ανεξάρτητα Θεώρημα: Μία αλυσίδα ιδιοδιανυσμάτων είναι ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Έστω x m, x m,, x μία αλυσίδα ιδιοδιανυσμάτων που παράγεται από το x m. j =,2,, m c m x m + c m x m + + c x = A λι n m c j x j = c j A λι n m j A λι n j x j = c j A λι n m j = c m A λι n m x m = όμως A λι n m x m Άρα c m = 29
Άσκηση 2 Κατασκευάστε μια αλυσίδα ιδιοδιανυσμάτων για την ιδιοτιμή λ=2 αν γνωρίζετε ότι το ιδιοδιάνυσμα είναι τύπου 3 2 2 2 Α = 2 3
Κανονική βάση () 3
Κανονική βάση (2) Έστω λ i μία ιδιοτιμή του n n πίνακα Α πολλαπλότητας ν. Αρχικά βρείτε τις βαθμίδες των πινάκων Α λ i Ι, Α λ i Ι 2,, Α λ i Ι m. Ο ακέραιος m είναι ο πρώτος ακέραιος για τον οποίο rank Α λ i Ι m = n ν. Προδιορίστε το m για την ιδιοτιμή λ i = 2 του πίνακα 2 2 Α = 2 2 2 4 n = 6 και η ιδιοτιμή λ i = 2 έχει πολλαπλότητα ν=5. n ν = 32
Κανονική βάση (3) Α 2Ι =, rank Α 2Ι = 4 2 Α 2Ι 2 =, rank Α 2Ι 2 = 2 2 4 33
Κανονική βάση (4) Α 2Ι 3 = 2, rank Α 2Ι 3 = = n ν. 4 8 Για αυτό για την ιδιοτιμή λ i = 2 το m=3. 34
Αλυσίδα ιδιοδιανυσμάτων (3) Ορίζουμε ρ k = r A λ i I k r A λ i I k, k =,2,, m. r A λ i I = r I = n 35
Κανονική βάση (5) rank Α 2Ι = 4 rank Α 2Ι 2 = 2 rank Α 2Ι 3 = = n ν. ρ 3 = r A 2I 2 r A 2I 3 = 2 = ρ 2 = r A 2I r A 2I 2 = 4 2 =2 ρ = r A 2I r A 2I = 6 4 =2 Για αυτό για την ιδιοτιμή λ i = 2 το m=3. 36
Παράδειγμα 5 () Έστω Α = και x 3 = 2 2 2 2 2 4 είναι γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τύπου 3. 37
Παράδειγμα 5 (2) x 2 = Α 2Ι x 3 = x = Α 2Ι x 2 = ρ 2 = r A 2I 3 r A 2I 2 = 4 2 =2 38
Παράδειγμα 5 (3) Α 2Ι = 2 b ή/και e διάφορα του, 2 a b c d e f = b c c e f 2f 39
Παράδειγμα 5 (4) c=f= A 2I 2 = 2 4 2 4 a b c d e f = c f 2f 4f 4
Παράδειγμα 5 (4) Άρα a b c d e f a b d e x 3, x 2, x, y 2 = x 2 + x a b y d 2 = e b ή/και e διάφορα του, 4
Παράδειγμα 5 (5) y 2 = y = Α 2Ι y 2 =, 42
Παράδειγμα 5 (6) λ 2 = 4, z = 2 4 Άρα μία κανονική βάση για τον Α είναι x 3, x 2, x, y 2, y, z 43
Άσκηση 3 Να υπολογίσετε μία κανονική βάση για τον πίνακα A = 44
Jordan κανονική μορφή () Ορισμός: Ένας τετραγωνικός πίνακας Α είναι σε Jordan κανονική μορφή εάν είναι διαγώνιος πίνακας ή εάν έχει μία από τις παρακάτω μορφές S S 2 ή όπου ο D είναι διαγώνιος πίνακας και S k = D S S r λ k λ k λ k λ k λ k 45
Jordan κανονική μορφή (2) 2 2 3 3 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 46
Jordan κανονική μορφή (3) 47
Παράδειγμα 6 () 4 2 2 3 Έστω ο πίνακας Α = 2 4 2 με χαρακτηριστικό πολυώνυμο λ 3 2 λ 2 2 = λ = 3, n ν = 2, m = 2, ρ 2 = και ρ = 3 x 2 =, x = A 3I x 2 = 3 λ 2 = 2, n ν = 2, m = και ρ = 2 48
Παράδειγμα 6 (2) y = Μ = y z x x 2 = Μ = z y x x 2 = και z = 3 3 3 3 49
Παράδειγμα 6 (3) Ay = λ 2 y Az = λ 2 z A λ I x = A λ I x 2 = x A y z x x 2 M = Ay Az Ax Ax 2 = λ 2 y λ 2 z λ x λ x 2 + x = λ 2 = y z x x λ 2 2 λ M λ J 5
Παράδειγμα 6 (4) J = M AM, A = MJM Θεώρημα: Κάθε τετραγωνικός n n πίνακας A είναι όμοιος με έναν πίνακα σε Jordan κανονική μορφή. 4 2 2 3 Για τον πίνακα A = έχουμε 2 4 2 Μ = z y x x 3 2 = 3 5
Παράδειγμα 6 (5) M AM = M = 3 4 2 = 3 4 2 4 2 2 3 2 4 2 2 2 3 3 = J 3 3 = 52
Άσκηση 4 Υπολογίστε την Jordan κανονική μορφή του πίνακα 4 2 Α = 3 8 3 4 8 2 53
Παράδειγμα 7 () Έστω A = Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: 9 9 2 9 8 4 3 s 9 9 det Α si 3 = det 2 9 s 8 4 3 s = s 3 + 5s 2 8s + 4 = s s 2 2 Ιδιοτιμή: Για την ιδιοτιμή ισχύει 54
Παράδειγμα 7 (2) rank 9 9 2 9 8 = 2 4 3 = rank 2 9 9 2 8 8 4 4 Άρα 3-2= ιδιοδιανύσματα αντιστοιχούν στο όσο και η αλγεβρική πολλαπλότητα. 2 9 9 x x 2 8 8 y = y = k, k R 4 4 z z Ιδιοτιμή: 2 Για την ιδιοτιμή 2 ισχύει 55
Παράδειγμα 7 (3) rank 2 9 9 2 9 2 8 4 3 2 = rank 3 9 9 2 7 8 4 5 = 2 Άρα 3-2= ιδιοδιανύσματα αντιστοιχούν στο 2 παρόλο που η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι 2. rank rank 3 9 9 2 7 8 4 5 3 9 9 2 7 8 4 5 2 3 = rank = rank 2 2 2 2 = = 56
Παράδειγμα 7 (4) 3 9 9 2 7 8 4 5 Α λi 2 2 2 3 9 9 2 7 8 4 5 Α λi 3 x y z u 2 = u 2 = x 2z z u 2 u 2 = x 2z z x 2z z 2 2, x, z R 3x 9z 2x 6z x 3z, x 3z R x y z = 57
Παράδειγμα 7 (5) u = A u u 2 u 3 U x =, z = u 2 = 3 9 9 2 7 8 4 5 Α λi 3 2 u 2 = u u 2 u 3 U = 2 6 4 2 2 2 J 58
Παράδειγμα 7 (6) 9 9 2 9 8 4 3 A 9 9 2 9 8 4 3 A Όμως = 6 4 2 2 U 6 4 2 2 U = 6 4 2 2 U 2 2 J e At = Ue Jt U 2 2 J 4 4 4 3 3 2 2 2 2 U 59
Παράδειγμα 7 (7) Άρα e At = Ue Jt U = = 6 4 2 2 U e 2t te 2t e 2t e t e Jt 4 2 4 3 4 3 2 2 2 U e 2t 3te 2t 9te 2t 9te 2t 2te 2t 2e 2t e t + 6te 2t 2e t 2e 2t 6te 2t te 2t e 2t e t + 3te 2t 2e t e 2t 3te 2t = 6
Παράδειγμα 8 () λ A = λ A λi 3 = λ χάνει τάξη -> Jordan Block λ A = λ A λi 3 = λ χάνει τάξη 2 -> 2 Jordan Block 6
Παράδειγμα 8 (2) λ λ Α = λ A λi 5 = λ λ χάνει τάξη 2 -> 2 Jordan Block 62
Παράδειγμα 8 (3) A λi 5 2 = 2 = χάνει τάξη 3 -> μείωση κατά της τάξης (πριν έχανε 2) -> ένα Jordan block τάξης και ένα Jordan block τάξης μεγαλύτερης ή ίσης του 2. 63
Παράδειγμα 8 (4) A λi 5 3 = 3 = χάνει τάξη 4 -> μείωση κατά της τάξης (πριν έχανε 3) -> ένα Jordan block τάξης και ένα Jordan block τάξης μεγαλύτερης ή ίσης του 3. 64
Παράδειγμα 8 (5) A λi 5 4 = 4 = χάνει τάξη 5 -> μείωση κατά της τάξης (πριν έχανε 4) -> ένα Jordan block τάξης και ένα Jordan block τάξης 4. 65
Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα exp(at) μέσω μετασχηματισμού Laplace. 66
Μέσω μετασχηματισμού Laplace () Από τις ιδιότητες του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace L s a = eat Εάν τότε si 2 A = A = 2 2 s + 2 s + 2 = s+2 s+3 s+ s+3 s+ s+3 s+ s+2 s+3 s+ 67
Μέσω μετασχηματισμού Laplace (2) si 2 A = Άρα 2 s + + 2 s + 3 2 s + 2 s + 3 2 s + 2 s + 3 2 s + + 2 s + 3 e At = L si 2 A = 2 e t + e 3t 2 e t e 3t 2 e t + e 3t 2 e t + e 3t 68
Πίνακας μετασχηματισμών Laplace f t F s δ t u t s tu t s 2 t n u t n! s n+ e at u t s + a sin(ωt)u t ω s 2 + ω 2 cos(ωt)u t s s 2 + ω 2 69
Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα exp(at) μέσω συναρτήσεων πινάκων. 7
Συναρτήσεις πινάκων () S k = λ k λ k λ k λ k λ k f S k = f(λ k ) f (λ k )! f(λ k ) f (λ k ) 2! f (λ k )! f(p) (λ k ) p! f(p ) (λ k ) (p )! f(λ k ) f(p 2) (λ k ) (p 2)! f(λ k ) 7
Συναρτήσεις πινάκων (2) S k = e S k = f S k = 2t 2t 2t f(λ k ) f (λ k ) f λ k 2 f(λ k ) f λ κ f(λ k ) e2t = e2t e2t 2 e 2t e 2t = e2t e 2t 2 λ k = e 2t, f S k = e S k, f λ k = e λ k e λ k = eλ k e λ k 2 e λ k e λ k = 72
Παράδειγμα 9 () Έστω A = 2 2 Βήμα. Υπολογίζω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο s + 2 p s = det si 2 A = det s + 2 = s + 2 2 = s 2 + 4s + 3 Βήμα 2. Έστω ένα πολυώνυμο μικρότερου βαθμού κατά ένα από το p(s). g s = a + a s Βήμα 3. Θέλω οι συναρτήσεις g(s) και f s = e st 73
Παράδειγμα 9 (2) να έχουν τις ίδιες τιμές για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. e t = f = g = a a e 3t = f 3 = g 3 = a 3a 3 = a a = e t e 3t a a = 3 3 2 e t 2 e 3t 2 e t 2 e 3t Βήμα 4. Υπολογίζω τον εκθετικό πίνακα e At e t e 3t 74
Παράδειγμα 9 (3) e At = a I 2 + a A e At = = 3 2 e t 2 e 3t + 2 e t 2 2 e 3t 2 2 e t + e 3t 2 e t e 3t 2 e t + e 3t 2 e t + e 3t 75
Παράδειγμα () Έστω 2 2 A = 3 Βήμα. Υπολογίζω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο p s = det si 3 A = det s 2 2 s s 3 = s 2 s 2 Βήμα 2. Έστω ένα πολυώνυμο μικρότερου βαθμού κατά ένα από το p(s). g s = a + a s + a 2 s 2 76
Παράδειγμα (2) Βήμα 3. Θέλω οι συναρτήσεις g(s) και f s = e st f s = te st να έχουν τις ίδιες τιμές για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. (λαμβάνοντας υπόψην και την πολλαπλότητα) e t = f = g = a + a + a 2 te t = f = g = a + 2a 2 e 2t = f 2 = g 2 = a + 2a + 4a 2 77
Παράδειγμα (3) Έχουμε 2 2 4 a a a 2 = = e t te t e 2t a a a 2 = e 2t 2te t 2e 2t + 2e t + 3te t e 2t te t e t Βήμα 4. Υπολογίζω τον εκθετικό πίνακα e At = a I 3 + a A + a 2 A 2 2 2 4 e t te t e 2t 78
Παράδειγμα (4) e At = a I 3 + a A + a 2 A 2 = e 2t 2te t 2 2 + 2e 2t + 2e t + 3te t 3 2 2 2 + e 2t te t e t = 2e t e 2t 2te t 3 2e t 2e 2t = e t e 2t e t te t 2e 2t e t 79
Ασκήσεις για το σπίτι A = 9 5, 45 2 A = 6 43, 24 A = 4 9, 4 9 9 A = 2 3 2, 7 8 8 A = 6 5 4 3 7 6. 8
Βιβλιογραφία () Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 22, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Βασιλείου Παναγιώτης - Χρήστος, Τσακλίδης Γεώργιος, 25, Εφαρμοσμένη θεωρία πινάκων, Εκδόσεις Ζήτη. Antsaklis P. and Michel A.N., 977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 97, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. 8
Βιβλιογραφία (2) Kailath T., 98, Linear Systems, Prentice Hall. Richard Bronson, 99, Matrix Methods An Introduction, Second Edition, Academic Press. 82
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα». Έκδοση:.. Θεσσαλονίκη 24. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs43/ 83
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4./ 84
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 85
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 24-25