ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ. Ратко Тошић, Нови Сад

ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ Ратко Тошић, Нови Сад Пођимо од следећа два задатка: Задатак 1. Испиши недостајуће чланове низа 6,,,,,,,, 4,,,,,. ако се зна да је збир свака три узастопна члана низа једнак 15. Решење. Нека су чланови посматраног низа а1, а2, а3,..., а14. Позната су нам само два члана низа a1 = 6, a9 = 4. По услову задатка је ai + ai + 1 + ai + 2 = ai + 1 + ai + 2 + ai + 3, одакле следи да је ai + 3 = ai за i = 1, 2,..., 12. Како је a1 + a2 + a3 = 15 и a2 + a3 + a4 = 15, тј. a1 + a2 + a3 = a2 + a3 + a4, следи да је а1 = а4 = а7 = а10 = а13 = 6. Слично закључујемо да је а2 = а5 = а8 = а11 = а14 и а3 = а6 = а9 = а12 = 4. Како је a1 + a2 + a3 = 6 + a2 + 4 = 15, то је а2 = а5 = а8 = а11 = а14 = 5. Дакле, тражени низ је 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5. У низу из претходног задатка чланови низа се понављају у блоковима од по три узастопна члана. Кажемо да је тај низ периодичан, да периоду чине чланови 6, 5, 4 и да је дужина периоде 3 (састоји се из три члана). Задатак 2. У низу, 8,,,, 21, 30,,,,, сваку звездицу замени неким бројем тако да сви збирови од по три узастопна члана буду једнаки. Решење. Познати чланови низа су: а2 = 8, а6 = 21, a7 = 30. Као у задатку 1 налазимо да је а1 = а4 = а7 = а10 = 30, а2 = а5 = а8 = а11 = 8, а3 = а6 = а9 = а12 = 21. И у овом случају добили смо периодичан низ са периодом дужине 3. Оба низа су и коначна, тј. садрже коначан број чланова (први 14, други 12). У даљем излагању посматраћемо и бесконачне низове, тј. оне који садрже бесконачно много чланова, као што је низ у следећем задатку. Задатак 3. Низ бројева формира се на следећи начин: На првом месту је број 7, а даље, иза сваког броја је збир цифара његовог квадрата увећан за 1. Тако, на другом месту је број 14 јер је 7 2 = 49, а 4 + 9 + 1 = 14. На трећем месту је број 17, итд. Који број се налази на 2014. месту? Решење. Непосредно се израчунава првих осам чланова низа. То су: 7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5,... Закључујемо да ће се, после прва четири члана низа, периодично појављивати тројка бројева: 5, 8, 11. Како је 2014 4 = 2010 = 3 670, следи да ће се после прва четири члана низа, 670 пута поновити тројка бројева 5, 8, 11; дакле, на 2014. месту у низу биће последњи члан те тројке, тј. број 11. 1

ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ И овај низ је периодичан са периодом дужине 3. У овом случају, међутим, периодичност почиње тек од петог члана. За део који се налази испред прве периоде кажемо да чини претпериоду. Задатак 4. Исписано је 2014 цифара у низ једна иза друге. Познато је да је сваки двоцифрен број који сачињавају две суседне цифре у низу (тим редом којим су записане) дељив са 17 или са 23. (а) Последња цифра у низу је 1. Која је прва? (б) Прва цифра у низу је 9. Која је последња? Решење. (а) Двоцифрени бројеви дељиви са 17 су 17, 34, 51, 68 и 85, а двоцифрени бројеви дељиви са 23 су 23, 46, 69 и 92. Свих девет двоцифрених бројева који су дељиви са 17 или 23 имају различите последње цифре (цифре јединица); према томе, свака цифра у низу једнозначно одређује цифру која јој претходи. То значи да је са последњом цифром у низу једнозначно одређен цео низ. Лако се види да су последњих 10 цифара у низу 4692346851, одакле следи да се испред последњих пет цифара периодично понавља блок цифара 46923. Како је 2009 = 401 5 + 4, следи да ће испред последњих пет цифара бити тачно 401 блок цифара 46923 и испред њих четири последње цифре истог блока. Према томе, прве четири цифре у низу су 6923, тј. прва цифра је 6. (б) Посматрајући девет двоцифрених бројева дељивих са 17 или 23, закључујемо да свака цифра, изузев 6 и 7, једнозначно одређује наредну цифру. После цифре 7 низ се не може продужити, а после цифре 6 може доћи 8 или 9. Почетак низа је блок од пет цифара 92346. Ако је шеста цифра у низу 8, могу се написати још само четири цифре и добиће се низ 923468517, који се даље не може продужити. Ако је шеста цифра у низу 9, поновиће се још једанпут блок од првих пет цифара. Слично закључујемо да ако на неком месту у низу иза цифре 6 дође цифра 8, низ цифара ће се завршити цифром 7 и укупан број цифара у низу при дељењу са 5 даје остатак 4. Према томе, да би се добио низ од 2014 цифара са траженом особином, треба увек иза цифре 6 писати цифру 9, све док се не испише 2010 цифара. После тога, могуће је после цифре 6 написати цифру 9, па ће последња (2014.) цифра бити 4, или после цифре 6 написати цифру 8, па ће последња цифра бити 7. При изучавању разломака научили смо да је број рационалан ако је низ цифара иза децималне запете у децималном запису тога броја коначан или бесконачан периодичан. (И у случају кад је тај низ коначан, може се сматрати бесконачним периодичним, при чему периоду чини цифра 0). Задатак 5. (Општинско такмичење 2006, 6. разред) Одреди 2014. цифру иза децималне запете у децималном запису броја 21. 37 21 Решење. Дељењем налазимо да је = 0,567, а 2014 = 3 671 + 1, па закључујемо да 37 ће на 2014. месту иза децималне запете бити цифра 5. 2

ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ У задацима који следе ученик ће се срести мноштвом идеја корисних при решавању задатака о периодичним низовима. Задатак 6. На табли је написан број 61. Сваке секунде број на табли замењује се бројем који се добије кад се производ цифара написаног броја повећа за 13. Који ће број бити написан на табли после 2014 секунди? Решење. Посматрајмо почетак низа: 61, 19, 22, 17, 20, 13, 16, 19, 22,... Видимо да је низ периодичан, са периодом 19, 22, 17, 20, 13, 16 и претпериодом 61. Како је 2014 = 335 6 + 4 = 1 + 335 6 + 3, 2014. члан ће бити једнак трећем броју периоде, тј. 17. Задатак 7. Бесконачни прави децимални разломак добијен је тако што су за прве две цифре иза децималне запете узете цифре a и b, а свака следећа цифра једнака је последњој цифри збира две претходне цифре. За које ће се парове цифара a и b у запису тога децималног разломка појавити комбинација цифара 57? Решење. Како постоји тачно 100 парова узастопних цифара ab, неки пар узастопних цифара се мора поновити, а како је свака следећа цифра једнозначно одређена са две претходне, цифре низа се периодично понављају. Ако се у разломку појављује пар узастопних цифара 57, онда се у том разломку појављује низ цифара...57291011235831459437077415617853819099875279651673033695493257... Одавде видимо да се сваки од 60 парова који се у наведеном низу појављује као пар узастопних цифара доводи до разломка у коме се појављује пар 57. С друге стране, ниједан други пар цифара не доводи до тог разломка, јер се при постојању пара 57 може појавити само 60 горе исписаних парова. Задатак 8. Одреди последњу цифру броја 2 2014. Решење. Испишимо последње цифре првих неколико степена двојке: 2, 4, 8, 6, 2,... (1) Видимо да се 2 5, као и 2 1, завршава цифром 2. Како је свака цифра у низу (1) одређена претходном, цифре у низу се периодично понављају са периодом дужине 4. Дакле, последња цифра броја 2 2014 одређена је остатком при дељењу броја 2014 са 4. Како је тај остатак једнак 2, последња цифра броја 2 2014 је иста као и последња цифра броја 2 2, тј. 4. Задатак 9. Одреди последњу цифру броја 2013 2014. Решење. Последња цифра броја 2013 n иста је као и последња цифра броја 3 n. Испишимо последње цифре првих неколико степена тројке: 3, 9, 7, 1, 3,... (2) Видимо да се 3 5, као и 3 1, завршава цифром 3. Како је свака цифра у низу (2) одређена претходном, цифре у низу се периодично понављају са периодом дужине 4. Дакле, последња цифра броја 2013 2014 одређена је остатком при дељењу броја 2014 са 4. Како је тај остатак једнак 2, последња цифра броја 2013 2014 је иста као и последња цифра броја 3 2, тј. 9. 3

ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ Задатак 10. (Државно такмичење 2008, 6. разред) У низу 1, 1, 1, 1, 1,... шести члан једнак је производу првог и другог, седми производу другог и трећег, осми производу трећег и четвртог,... сваки члан почев од шестог једнак је производу два члана који су за четири и за пет места испред њега. Који је број на 2014. месту? Израчунај збир првих 2014 бројева. Решење. Израчунавајући првих 20 чланова низа закључујемо да ће се првих 15 чланова низа понављати, а како се у првом блоку од 15 чланова низа тројка 1, 1, 1 понавља пет пута, закључујемо да је a3k+1 = 1, a3k+2 = 1, a3k+3 = 1 за било који ненегативан цео број k. Како је 2014 = 3 671 + 1, то је a2014 = 1. Тражени збир је 672 1 + 671 ( 1) + 671 ( 1) = 670. Задатак 11. Фибоначијев низ бројева формира се по следећем закону: F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn 1 + Fn 2, за n 3. Одреди последњу цифру 2014. члана Фибоначијевог низа. Решење. Посматрајмо низ последњих цифара чланова Фибоначијевог низа: f1, f2, f3,..., fn,... Јасно је да је f1 = f2 = 1 и да је, за n 3, fn последња цифра збира fn 1 + fn 2. Ако је за неке природне бројеве m и k, k > m, fk = fm и fk+1 = fm+1, онда је и fk+2 = fm+2 и низ ће се периодично понављати са периодом дужине k m. У низу последњих цифара чланова Фибоначијевог низа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5,... сваки трећи члан је паран, а остали су непарни. Постоји укупно 25 уређених парова непарних цифара. Зато је посматрани низ цифара периодичан, при чему је дужина периоде највише 75. Непосредним израчунавањем показује се да је f61 = f62 = 1, тј. да се прввих 60 цифара периодично понављају. Како је 2014 = 33 60 + 34, то је f2014 = f34 = 7. Задатак 12. Посматрајмо низ бројева 1, 14, 27, 40,... у коме је сваки број за 13 већи од претходног броја у низу. Докажи да у том низу постоји бесконачно много бројева који се записују само помоћу цифре 2. Решење. Лако се види да је у посматраном низу први такав број 222 (222 = 1 + 17 13). Приметимо даље да је број 222222 дељив са 13 (222222 = 2 3 7 11 13 37). Даље се лако доказује да је сваки број облика 222...2 дељив са 13. Наиме: 6k 6( k 1) 6( k 2) 6 222...2 = 222222 (10 + 10 +... + 10 + 1). 6k Одавде следи да је број који се записује помоћу 6k + 3 двојки, k = 0, 1, 2,... члан посматраног низа, тј. да при дељењу са 13 даје остатак 1. Заиста, 222...2 = 1000 222...2 + 222 = 1 + 17 13 + 1000 222...2. 6k+ 3 6k 6k 4

ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ Задатак 13. Докажи да у низу 31, 331, 3331, 33331,... има бесконачно много бројева дељивих са 31, а нема ниједног дељивог са 13. Решење. Дељењем проверавамо да је број 333333333333333 дељив са 31. Зато је и сваки број облика 333...31, где је k произвољан ненегативан цео број, дељив са 31. 15k+ 1 С друге стране, лако се проверава да је број 333333 дељив са 13, а да ниједан од бројева 1, 31, 331, 3331, 33331, 333331 није дељив са 13. Према томе, сваки члан датог низа може се представити у облику 13k + r, где је r један од горе наведених 6 бројева који нису дељиви са 13. Дакле, ниједан члан низа није дељив са 13. Задатак 14. Докажи да је за сваки природан број n цифра десетица броја 3 n парна. Решење. За n = 1, 2,..., 21 добија се следећи низ двоцифрених завршетака бројева 3 n : 03, 09, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03. Видимо да међу првих 20 степена тројке нема таквих у којим је цифра десетица непарна. Међутим, почев од двадесет првог члана горњи низ двоцифрених завршетака се периодично понавља, па то важи за све степене тројке. Задатак 15. У врсту је исписано 100 бројева различитих од 0. Познато је да је сваки број осим првог и последњег једнак производу два њему суседна броја. Одреди последњи број ако је први 7. Решење. По услову задатка је а2 = а1 а3, а3 = а2 а4,..., а99 = а98 а100. Множењем две 1 суседне једнакости добијамо да је аk аk+3 = 1, тј. ak+ 3=. Следи да је аk+6 = аk, па је а1 a 1 1 = а7 = а97 = 7, одакле је a100 = =. a97 7 Задатак 16. Дат је низ а0, а1, а2,... где је а0 = а1 = 1, аn+1 = аn 1 аn + 1, за n 1. Докажи да број a2014 није дељив са 4. Решење. Остатак производа зависи само од остатака чинилаца. Користећи ту чињеницу, испишимо низ остатака при дељењу чланова датог низа са 4: 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3,... Овај низ остатака је периодичан са периодом дужине 3, па видимо да ниједан члан низа није дељив са 4. Задатак 17. Колико има природних бројева x мањих од 10000 за које је број 2 x x 2 дељив са 7? Решење. 2857. Остаци при дељењу са 7 бројева 2 x и x 2 редом понављају се са периодама 3 и 7 (4, 2, 1 и 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0). Зато остаци при дељењу 2 x x 2 са 7 чине периодични низ са периодом дужине 21. Међу бројевима x од 1 до 21, једнаки остаци при дељењу са 7 се добијају за 6 вредности x. Зато међу бројевима од 1 до 9996 = 21 476 има 476 6 = 2856 тражених бројева. Од преостала три (9997, 9998, 9999) услов задовољава само број 9998. 5 k

ПЕРИОДИЧНИ НИЗОВИ Задатак 18. Докажи да не постоје два различита степена двојке који се један из другог могу добити пермутовањем цифара. Решење. Два броја који се разликују само поретком цифара дају исте остатке при дељењу са 9. Међутим, низ остатака при дељењу 2 n са 9 је 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2,... и он је периодичан са дужином периоде 6. Следи да ако два степена двојке имају једнаке остатке при дељењу са 9, онда је један од њих бар 64 пута већи од другог; међутим, тада се они разликују по броју цифара па се не могу један из другог добити пермутовањем цифара. Задатак 19. Низ бројева формира се на следећи начин: Први члан низа је број 3 2014 ; сваки следећи, почев од другог, једнак је збиру цифара претходног. Нађи који број у том низу стоји на 2014. месту. Решење. Ако је број дељив са 9, онда је и збир његових цифара дељив са 9. Како је 3 2014 = 9 3 2012, следи да је сваки број у посматраном низу дељив са 9. Може се дати следећа оцена величине броја у низу: Како је 3 2 < 10, то је 3 2014 < 10 1007, тј. број 3 2014 нема више од 1007 цифара. Одатле следи да други број у низу није већи од 9 1007 < 10 5, тј. он нема више од пет цифара. Према томе, трећи број у низу није већи од 9 5 = 45, а како је дељив са 9, то мора бити неки од бројева 9, 18, 27, 36, 45. Како је збир цифара сваког од ових бројева једнак 9, следи да је сваки члан низа, почев од четвртог, једнак 9. Задатак 20. На столу се налазе жетони, међу којима има црних и белих. Пера од жетона прави два стуба на следећи начин: он узима један по један жетон и ставља их на један од два стуба. При томе не сме никад поставити неки жетон на жетон исте боје. Десети и једанаести жетон које је узео Пера су беле боје, а двадесет пети је црне боје. Које је боје двадесет шести жетон? Решење. Разликоваћемо два типа позиција: (1) оба жетона на врховима стубова су исте боје; (2) жетони на врховима стубова су различите боје. Приметимо да се та два типа позиције смењују после постављања сваког жетона. Како су десети и једанаести жетон бели, после постављања једанаестог жетона имамо позицију првог типа. Зато ћемо и после постављања двадесет петог жетона имати позицију првог типа, али су сада оба жетона на врху црне боје. Зато ће следећи, двадесет шести жетон, бити беле боје. Задаци за самостални рад 1. Дат је низ бројева у коме је сваки члан, почев од другог, једнак производу два суседна члана. Производ првих 10 чланова једнак је 18, а производ првих 20 једнак је 12. Нађи производ првих 2014 чланова низа. 2. Докажи да последње цифре бројева n n образују периодичан низ. 3. Нека је a1 природан број који није дељив са 5 и нека је а1, а2, а3,... 6

ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА низ у коме се сваки члан, почев од другог добија тако што се претходни члан сабере са његовом последњом цифром. Докажи да тај низ садржи бесконачно много степена двојке. 4. За дати природни број n формира се низ природних бројева n1, n2, n3,... тако да је број n1 једнак збиру кубова цифара броја n; n2 је збир кубова цифара броја n1, итд. Докажи да се, почевши од неког места, бројеви у том низу периодично понављају. СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БР. 73 Десет најуспешнијих решавалаца овог задатка биће награђено. Упутство за слање решења је на страни 48. На табли је написан број 237. Сваке секунде број на табли замењује се бројем који се добије кад се производ цифара написаног броја повећа за 13. Који ће број бити написан на табли после 2014 секунди? ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Јожеф Варга, Темерин Корисније је решити један исти задатак на неколико различитих начина него решити неколико задатака сваки на само један начин. Ако се један исти задатак реши на разне начине, може се упоређивањем решења утврдити које је од њих краће, ефектније, елегантније. На тај начин се стиче и изграђује вештина решавања задатака. W. W. Sawyer, Prelude to Mathematics У оквиру ове рубрике на конкретним примерима указиваћемо на могућностима да се једна исти задатак решава на различите начине. При томе ћемо настојати да се у решавању задатака користе само она знања која су доступна ученицима основне школе, трудећи се да поступци решавања буду елегантни и једноставни, јер у математици је лепо оно што је једноставно. Задатак. (Окружно такмичење из математике, 2009.) Дата је коцка ABCDA1B1C1D1. Са S је означен центар те коцке. Израчунај запремину пирамиде A1BC1S. B1 А1 D1 C1 B S A C слика 1 D 7

ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Решење 1. Израчунајмо дужине свих ивица пирамиде (слика 1). Ивице А1В, А1С1 и ВС1 су дијагонале квадрата, који су стране коцке, те су им дужине a 2, где је а дужина ивице 3 коцке. А1S, BS и C1S су половине дијагонала коцке, те им је дужина a. Нека је 2 троугао А1ВC1 основа те пирамиде, а P је средиште тог (једнакостраничног) троугла. Тада је PS висина пирамиде. Дужине PA1, PB и PC1 су међу собом једнаке и износе две 2 3 6 трећине висине троугла А1ВC1, тј. a 2 = a, а висина пирамиде PS из 3 2 3 правоуглог троугла A1PS добија се помоћу Питагорине теореме, и износи 2 2 3 6 3 a a a 2 = 3 6 3 3 a 2 = a, те 4 2. Површина троугла А1ВC1 је ( ) 2 2 3 1 2 3 3 a запремина пирамиде А1ВC1S је V = a a =. 3 2 6 12 Решење 2. Нормалном пројекцијом коцке на раван ВВ1D1D тачке А1 и С1 пресликају се у средиште дужи В1D1, а тачке А и С у средиште дужи ВD (слика 2). Означимо та средишта са Q1 и Q. Троугао А1ВС1 се преслика у дуж ВQ1. Нека је P тачка пресека дијагонале В1D и дужи BQ1. Нека је даље P1 тачка пресека дијагонале В1D и дужи D1Q. С обзиром да су дужи ВQ1 и D1Q паралелне, то по Талесовој теореми дужи В1P и PP1 су једнаке дужине. Слично су једнаке дужине и дужи PP1 и P1D. С обзиром да је S средиште дужи В1D то је S средиште дужи PP1, значи дужина дужи PS једнака је половини дужине дужи В1P, а то значи да је запремина пирамиде А1ВС1S једнака половини запремине пирамиде А1ВС1В1. Ова пирамида се пак може посматрати као пирамида са основом А1С1В1 и 3 2 1 1 a висином ВВ1, тј њена запремина је a a =. Закључак: запремина пирамиде 2 3 6 3 3 1 a a А1ВС1S је V = =, где је а дужина ивице коцке. 2 6 12 B1 Q1 D1 P S P1 B Q слика 2 D Решење 3. Раван одређена тачкама А1, B и S садржи тачке D1 и C и дели коцку на два подударне призме (слика 3). Пирамида A1BC1S се комплетно налази само у једном од те две призме, и то у призми A1BB1D1CC1. Ову призму раван A1BC1 дели на тространу пирамиду A1BC1B1 и једну четворострану пирамиду A1BCD1C1 (основа је A1BCD1). Како тространа пирамида A1BC1B1 и тространа призма A1BB1D1CC1 имају заједничку основу 8

РАЧУНАРСТВО A1BB1 и исту висину B1C1, то је запремина пирамиде једнака једној трeћини запремини призме, док четворострана пирамида A1BCD1C1 има запремину једнаку 2 3 запремине призме A1BB1D1CC1, односно 1 3 запремине коцке. Са друге стране пирамида A1BC1S има основу A1BS једнаку четвртини основе пирамиде A1BCD1C1 и исту висину. Значи 3 a пирамида A1BC1S једнака је једној дванаестини запремине коцке, тј. V =, где је a 12 дужина ивице коцке. C1 D1 B1 A1 D S C A слика 3 B Решење 4. Раван одређена тачкама А1, B и S садржи тачке D1 и C, и с њом је права C1B1 паралелна. Из тог разлога запремина пирамиде A1BC1S једнака је запремини пирамиде A1BB1S (иста основа A1BS и иста висина због претходне паралелности). Запремину пирамиде A1BB1S можемо рачунати тако што за основу узимамо троугао A1BB1, а за 2 3 1 a a a висину удаљеност тачке S од (било које) стране коцке, тј. V = = где је a 3 2 2 12 дужина ивице коцке. РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 166 (ЗА I КАТЕГОРИЈУ) I категорија су ученици петог и шестог разреда На крају свог пута Билбо треба да пронађе великог чаробњака чије име треба да остане тајна до последњег тренутка. Да би му наговестио о коме се ради Кили му је на договореним местима остављао кратке поруке. Билбо је знао да ће тајно име открити ако из прве поруке узме прво слово, из друге поруке друго слово и тако редом до последње поруке. У случају да је порука краћа од потребног броја карактера, онда Билбо треба да броји знакове од почетка до краја, рачунајући и празнине, па са бројањем наставља од почетка поруке и тако док не стигне до предвиђеног броја. Написати програм који учитава колико порука је Билбо пронашао и текст сваке поруке. Програм треба да испише тајно име. 9

Пример. Улаз: N = 6 Put je dug Pesma Paradajz cveta Tata-rata-ta List je zut TOP Излаз: Pera P РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 167 (ЗА II КАТЕГОРИЈУ) II категорија су ученици седмог и осмог разреда Билбу је на путовању Кили оставио још једну тајну поруку. Билбо је стигао у подножје Великог степеништа до чијег врха има тачно 500 степеника. Кили му је оставио поруку на ком степенику га чека следећа порука. Када је стигао до тог степеника тамо га је чекала нова порука о томе на ком степенику га чека следећа порука. У тој потрази за порукама Билбо је до неких степеника морао да се пење, а до неких да силази. Сваки пут када би се Билбо попео 100 степеника он би се уморио и морао да седне и направи паузу. При пењању, као пауза не рачунају се степеници на којима је налазио поруке. Силазак низ степенике није умарао Билба, већ га је одмарао, па би га тек ново пењање уз степенице умарало. Написати програм у коме се уноси број порука које је Билбо пронашао и редни број степеника из сваке поруке, оним редом којим је проналазио поруке. Програм треба да испише редне бројеве степеника на којима се Билбо одмарао више пута. Пример. Улаз: N = 12 S: 50 120 45 200 400 145 250 418 450 415 Излаз: 245 345 Објашњењ: Билбо се одмарао редом на степеницама 100 145 245 345 245 345 445 РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 164 Program KonZad166; Var b,t,o,m1,m2,m3:integer; Begin readln(b,t,o); m1:=b; if m1<t then m2:=t else begin m2:=m1; m1:=t; end; if o<m1 then begin m3:=m2; m2:=m1; m1:=o; end else if(o>=m1) and (o<m2) then begin m3:=m2; 10

РАЧУНАРСТВО m2:=o; end else m3:=o; if (m2-m1<=5) and (m3-m2<=3) then writeln('put nastavljaju zajedno') else writeln('put ne nastavljaju zajedno') End. На почетку програма се уносе протекли број дана за Билба, Торина и Оина. Унете вредности се уређују, тако да променљива М1 добија најмању вредност од унетих, М2 другу по вредности, а М3 највећу од унетих вредности. Једини начин да сва три пријатеља наставе пут заједно је да је разлика између првог и другог највише 5, а између другог и трећег највише 3. У свим осталим случајевима, се неће наћи сва тројица пријатеља. Златан Васовић, VI3, ОШ Свети Сава, Чачак РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 165 Program KonZad167; Var t,r,k,p:integer; Begin r:=0; k:=0; p:=0; while r<>15 do begin readln(t); if t>p then r:=t-p else begin r:=t+50-p; k:=k+1; end; p:=t; end; writeln(k) End. У програму треба дефинисати четири променљиве. Вредност променљиве T се учитава и представља број каменчића које Билбо има у кеси када стигне на преноћиште. Променљива P памти број каменчића на претходном преноћишту. Променљива R памти колико каменчића је Билбо покупио измеђе два одредишта и програм се завршава када ова променљива добије вредност 15. Уколико је вредност променљиве T већа од вредности променљиве P, то значи да Билбо није празнио кесу између два преноћишта и вредност променљиве R постаје разлика променљивих T и P. Променљива K представља број пражњења кесе са каменчићима и ова променљива се увећава за један увек када је број каменчића у кеси мањи од онога што је Билбо пребројао на претходном преноћишту, при овоме је такође потребно израчунати и вредност променљиве R узимајући у обзир да је из кесе просуто 50 каменчића. Виктор Убовић, VIIа, Математичка гимназија, Београд 11

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Задаци из ове рубрике имају за циљ помоћ како ученицима, тако и наставницима. Разврстани су у три групе у складу са стандардима знања из математике за крај обавезног образовања. Дати су предлози контролних и писмених задатака, при чему је у угластим заградама [ ] дата варијанта за другу групу. III разред МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ. ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ. РАЗЛОМЦИ. ДЕЉЕЊЕ СА ОСТАТКОМ Основни ниво 1. Израчунај: а) 50 6; б) 230 3; в) 205 4; г) 325 2; д) 80 : 4; ђ) 350 : 7; е) 963 : 3; ж) 824 : 8. 2. Повежи сваку једначину са њеним решењем: 10 х = 120 х 5 = 105 х : 4 = 30 612 : х = 6 120 12 102 21 3. У следећим задацима заокружи број испред тачног одговора. а) Пола године има: 1) 12 месеци; 2) 5 месеци; 3) 6 месеци; 4) 24 месеци. б) Четвртина метра има: 1) 10cm; 2) 25cm; 3) 50cm; 4) 100cm. в) 1 4 г) 1 6 килограма има: 1) 1000g; 2) 50g; 3) 250g; 4) 100g. часа има: 1) 30min; 2) 50min; 3) 60min; 4) 10min. Средњи ниво 4. Допуни слику бројевима и одговарајућим операцијама тако да сви добијени резултати буду тачни: a) б) 5 200 10 4 : 2 8 8 48 : 6 12

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5. Израчунај вредност х, ако је х: а) производ бројева 19 и 8; б) количник бројева 798 и 7; в) трећина броја 453. Утврди која од израчунатих вредности х припада скупу решења неједначине 114 х < 152. 6. Аутомобил је пут од 360km прешао за четири часа. Првог часа је прешао 1, 3 другог 1, 4 а трећег 1 6 тог пута. Колико је километара прешао четвртог часа? 7. Израчунај количник и остатак при дељењу: а) броја 49 бројем 5; б) броја 127 бројем 6; в) броја 328 бројем 8. Провери тачност дељења. Напредни ниво 8. Ако 9 кликера стаје 63 динара, колико кликера Лука може да купи за 600 динара? Да ли ће му остати нешто новца после куповине? 9. а) Који број подељен са 5 даје количник 82 и остатак 3? б) Којим бројем треба поделити 457 да би се добио количник 50 и остатак 7? 10. Највећи број друге десетице четврте стотине подели са 1 6 броја 240. 1 11. Израчунај збира броја 21 и највећег парног троцифреног броја чије су све 9 цифре једнаке. 12. Дужина правоугаоника је 280mm, а ширина износи правоугаоника износи: а) 35mm; б) 630mm; в) 315mm; г) 140mm. Заокружи слово испред тачног одговора. 1 8 дужине. Обим овог КОНТРОЛНА ВЕЖБА 20 минута Множење и дељење 1. Израчунај производе: а) 69 10 = [47 10 = ]; б) 120 7 = [130 6 = ]; в) 207 3 = [209 4 = ]; в) 174 5 = [182 5 = ]. 2. Израчунај количнике: а) 846 : 2 = [693 : 3 = ]; б) 624 : 6 = [721 : 7 = ]; в) 325 : 5 = [435 : 5 = ]. 3. Виолета је 4 оловке платила 540 [580] динара. 13

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ а) Колико стаје једна оловка? б) Колико би Виолета платила да је купила 7 [6] таквих оловака? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 25 минута Једначине и неједначине 1. Реши једначине: а) 3 х = 639 [4 х = 848]; б) х 5 = 455 [х 5 = 355]; в) х : 2 = 312 [х : 3 = 132]; г) 320 : х = 80 [280 : х = 70]. 2. а) Који од бројева 207, 227, 270, 272, 277 [306, 336, 330, 360, 363] припадају скупу решења неједначине х > 270 [х < 360]? Заокружи их. б) У скупу природних бројева одреди скуп решења неједначине х 521 [х 439]. 3. Андреј је замислио један број. Кад га је помножио са 7 [6] добио је производ 994 [882]. Напиши једначину из које се одређује непознати број и одреди број који је Андреј замислио. 4. Напиши парне [непарне] бројеве који припадају скупу решења неједначине 437 х < 450 [359 < х 370]. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 20 минута Разломци 1. Трећина [четвртина] броја 150 [120] износи: а) 30; б) 450; в) 50 [а) 30; б) 40; в) 480]. Заокружи тачан одговор. 2. а) Израчунај једну осмину [седмину] броја 560 [420]. б) Колика је 1 1 7 6 броја 287 [246]? 3. Ако петина [трећина] пице стаје 150 [240] динара, колико стаје цела пица? 4. Марија треба да прочита књигу од 246 [217] страница. Ако је прочитала колико још страница треба да прочита? 1 3 1, 7 КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Дељење са остатком 1. Израчунај количник и остатак при дељењу: а) броја 37 [42] бројем 5; б) броја 165 [243] бројем 8; в) броја 471 [356] бројем 6. 2. До Владиног рођендана има још 34 [45] дана. За колико седмица и дана Влада слави рођендан? 3. Који број подељен са 9 даје количник 43 [32] и остатак 2[3]? 14

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ IV разред БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ. ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ. РАЗЛОМЦИ Основни ниво 1. Израчунај: а) 2014 : 19 106; б) 19 106 2014 : 2. 2. Реши једначине: а) 17 х = 1887; б) х : 29 = 123. 3. а) У празна поља упиши колико седмина треба додати следећим разломцима да би се добило једно цело: 1 2 4 +, +, +. 7 7 7 б) Израчунај 3 7 броја 14. Средњи ниво 4. Израчунај вредност израза: а) 4 37 25; б) 119 17 17 2 + 425 : 17; в) (1 345 : 100 345 : 100) 2 + 14. 5. Реши једначине: а) 0 : 1 342 = х + 0; б) (7 458 + 3 276) х + 13 = 13; в) 19 х 19 = 418; г) (2 014 х) 16 = 32 160. 6. Реши неједначине: а) 13х 78 > 195; б) (3х 3) 33 < 396. 7. а) Који део фигуре је обојен? б) Колико још квадратића треба обојити па да буде обојена 1 2 нацртане фигуре? Напредни ниво 8. а) Ако је а b = 2014 израчунај: 1) (а 2) b; 2) а (b 2); 3) (а : 2) b; 4) а (b : 2). б) Ако је а : b = 2 014 израчунај: 1) (а 2) : b; 2) а : (b 2); 3) (а : 2) : b; 4) а : (b : 2). 9. Реши једначину 2014 : (х + 36) + 1961 = 2014. 10. Ученик треба да има најмање десет пута већу масу од терета који носи. Колико килограма може имати Сашина школска торба ако Саша има 50 килограма, а поред школске торбе носи и додатну опрему чија је маса 1 килограм? 15

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 11. Горани су једног дана засадили 450 садница и остало им је да другог дана засаде још 3 укупног броја садница. Колико је укупно садница засађено? 8 12. Под у једној просторији има облик правоугаоника дужине 7m. Тепих правоугаоног облика чије су димензије 4m и 3m 5dm прекрива 2 5 површине тог пода. Израчунај ширину пода. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Разломци 1. Израчунај: 1 1 а) 4 3 броја 1476; б) 5 3 6 5 броја 3 690. 2. Напиши број а ако је: а) трећина [четвртина] броја а једнака броју 321; 3 5 б) 5 6 броја а једнако броју 150. 3. Израчунај обим и површину правоугаоника чије су странице 20cm и 3 25cm и m. 5 ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Израчунај вредност израза: а) 123 5 + 85 [213 4 + 48]; б) 4 525 525 : 25 [4 325 325 : 25]. 3 4 m 2. Реши једначине: а) х : 6 = 257 [х : 8 = 175]; б) 10х 5429 = 1111 [10х 3218 = 2222]. 3. Одреди скуп решења неједначине: а) 19х < 228 [13 х < 143]; б) х 11 536 > 267 [х 11 356 > 381]. 4. Израчунај: 1 1 а) 5 4 броја 6420; б) 3 2 4 3 броја 3852. 4 3 5. Пера је потрошио 7 5 свог џепарца и остало му је 600 динара. И Вери је остало 5 4 600 динара кад је потрошила 8 7 свог џепарца. Ко је од њих имао већи џепарац и за колико? 16

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ V разред МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА. ОСНА СИМЕТРИЈА Основни ниво 1. Уместо x стави број тако да добијеш тачну једнакост: а) 3 x = 9 ; б) 4 5 x = ; в) 2 5 x : = ; 5 4 20 7 8 28 3 11 30 1 3 г) 2 : = 15; д) 2, 014 20,14 ; 4 x x = ђ) 201, 4 : x= 0,214. 2. Шта је веће: а) 3 5 од 2,5 или 4 7 од 2,8; б) 1 1 1 : 1,5 или 1, 4 : 1? 5 4 s m 3. Тачкама А и B нацртај осно симетричне тачке: а) А1 и B1 у односу на праву p; б) А2 и B2 у односу на праву s; в) А3 и B3 у односу на праву m. A B p Средњи ниво 4. Цена килограма пица сира је 726 динара. Колико кошта: a) 1 kg; 3 б) 0,1kg; в) 1,5kg? 5. Заокружи слово испред израза чија је вредност већа од 1. 2 а) (0,5 + 0,9) 0,2; б) 0,9 0,5 0,2; в) (0,9 0,5) : 0,2; г) 0,5 + 0,9 : 0,2. 6. У продавницу здраве хране допремљен је џак муслија од 15kg. Треба га размерити и спаковати у кесице тако да у свакој кесици буде треба припремити? 1 kg 4 муслија. Колико кесица 7. Нацртај осно симетричну фигуру датој фигури у односу на праву s. s 17

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 8. На слици је дата полуправа Op и ван ње тачка S. Конструиши угао poq тако да тачка S припада његовој симетрали. S p 9. Обим правоугаоника је 16,4cm, а једна страница 5,3cm. Израчунај површину тог правоугаоника. 10. Одреди: а) производ реципрочних вредности бројева б) реципрочну вредност количника бројева 1,2 и O 3 1. 5 2 2 3 и 0,33; 11. Када је купио сендвич који је платио 5 8 суме новца коју је понео и сок који је коштао 2 5 понео? од цене сендвича, Милану је остало 50 динара. Колико је новца Милан 12. Конструиши: а) симетралу s странице AB четвороугла ABCD; б) четвороугао A1B1C1D1 симетричан четвороуглу ABCD у односу на праву s. D C A B КОНТРОЛНА ВЕЖБА Множење и дељење разломака 1. Провери тачност једнакости: а) 3 7 = 1 4 5 2 ; 7 9 3 = 5 8 б) 2 : 4 = 8 3 : 9 1 ; 5 5 25 = 7 7 3 в) 1,5 0,3 = 4,5 [1,2 0,4 = 0,48]. 2 3 2. Израчунај 2 a 1 a 5 5 ако је: a) 1 1 a= a ; 6 = 4 б) a= 1,5 [ a= 2,5]. 18

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 3. Зорана је 0,75kg [1,25kg] јагода платила 112,5 динара [187,5 динара]. Колико кошта 1kg тих јагода? 4. Реши једначину: а) 2,4x = 13,7 10,1 [1,5x = 0,9 + 2,7]; б) 1 1 3 3 2 1 x : 1 = x : 1. 3 2 4 + = 4 7 2 КОНТРОЛНА ВЕЖБА Осна симетрија 1. Заокружи слово испред слике која представља осно симетричну фигуру. а) б) в) г) д) 2. Тачкама A, B и C конструиши осносиметричне тачке у односу на праву p. p B A B A p C C 3. Конструиши четвртину датог угла α, на слици. α α 4. Конструиши кружницу k која додирује краке датог угла aob и притом садржи тачку B [A]. a a A O B b O b ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 4 3 1 2 1. Израчунај: а) 4,56 0,3 [3,45 0,7]; б) 2 : 1 3 : 2. 5 4 5 3 19

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 2. На под собе површине 11,52m 2 [10,08m 2 ] постављено је 800 [700] плочица паркета квадратног облика. Колика је површина једне плочице? 3. Израчунај вредност израза: 1 1 а) 2 0,7 : 0, 09 1 0, 6 : 0, 07 + ; 2 2 б) 1 2 7 2 2 5 1 1 : 0,3 3 1 : 0,5 +. 3 5 10 5 3 9 4. Која од датих тачака има своју симетричну тачку у односу на праву s? Запиши парове симетричних тачака. A M A s M B N B N C P C P D E Q D F Q F R E R G H G H s 5. Дат је четвороугао ABCD, на слици. Конструиши: а) симетралу угла C [ D]; б) четвороугао A1B1C1D1 симетричан четвороуглу ABCD у односу на симетралу угла C [ D]. D C A B 1. Попуни табелу: VI разред МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА. ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА Основни ниво Израз 0,5 : 5 0,5 5 5 : 0,5 0,5 0,05 0,5 : 0,05 0,05 : 0,5 Вредност израза 2. Израчунај: а) 3 4 од броја 20 ; б) 1,8 од броја 2,2; в) 12% броја 420. 21 3. Ако је површина квадрата А на слици једнака 16cm 2 израчунај површине фигура Б, В, Г, Д, Ђ и Ж. 20

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ A Б В Г Д Ђ Ж 4. Ако a { 2; 1,5; 2 } 1 а) a ; 9 израчунај: 5 5 б) 3 a ; 8 Средњи ниво в) 4 ( 0,5) : a; г) ( 4 : a) : ( 0,05). 5. Израчунај: а) 4% од 100 1,5; б) 25% од 40,4 : 0,4; в) 1,2% од 120. 6. а) Колика је разлика броја 2,6 и половине збира бројева 1 и 3,4? 1 б) Колика је петина количника бројева 1,2 и? 2 5 в) Који је то број чијих износи 25? 11 г) Који је то број чија половина је за 2 већа од производа бројева 0,15 и 1? 5 7. Који део правоугаоника ABCD на слици заузима трапез ABFE ако је AB = 12,5cm, BC = CF = 4cm и DE = 0,4 BC? D E F C A B Напредни ниво 8. Површина троугла ABC је 120cm 2. Израчунај површине троуглова ABD и DBC ако тачка D припада страници AC тако да је AD : DC = 1 : 4. 3 1 : 2 0, 6 9. Ако је a 4 2 0, 6 = и b= 0,2 2 1 :( 0,2) 5 a израчунај а b и. b 10. Једна продавница спортске опреме по свакој продатој тренерци заради 360 динара, што износи 5,4% од продајне цене. Друга продавница од продаје исте 21

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ такве тренерке заради 420 динара што износи 7% од продајне цене. У којој продавници је тренерка јефтинија? 11. Нека су F и D средишта страница AC и AB троугла ABC на слици. Ако тачка E дели страницу BC у односу 2 : 1 који део троугла је осенчени четвороугао? C F E A D B 12. Од једнакокраког трапеза исечен је мањи једнакокраки трапез тако да су им одговарајуће странице паралелне (види слику). На основу података са слике израчунај површину преосталог дела трапеза. 6cm 2cm 45 6cm 18cm КОНТРОЛНА ВЕЖБА 25 минута 1. Израчунај: а) 55,5 ( 0,5); б) 2,22 : ( 0,2) [а) 1,1 ( 0,1); б) 3,33: ( 3,3)]. 2. Израчунај: а) 1 ( 1,5); б) 5 1 0,5 : 5 2 2 1 а) :( 1,2 ) ; б) 0,5 :( 0,2 ). 3 2 3. Реши једначину 1 x = 3 8 4 1 3 x =. 4 2 4. Ако у лонац сипамо 25 литара воде она ће заузети 5 8 запремине лонца. Са колико литара воде се може напунити лонац? [Количину од 2 литра течности треба разделити у бочице од 0,05 литара. Колико таквих бочица је потребно?] 4a 3 5. Израчунај вредност израза ако је а = 1,2 и b=. b 2 3 3 Израчунај вредност израза ако је a 0, 4 и b. = = 2ab 4 22

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ КОНТРОЛНА ВЕЖБА 25 минута 1. Колико пута ће се смањити површина правоугаоника ако странице постану двоструко мање? [Колико пута ће се повећати површина правоугаоника ако се један пар наспрамних страница удвостручи, а други утростручи?] 2. Израчунај обим и површину паралелограма ABCD ако је а = 4cm, b = 2,2cm и ha = b. [Израчунај обим и површину ромба ABCD ако је а = 6cm, и h = 0,8 а.] 3. Израчунај површину правоуглог троугла ABC чија су катете а = 4,2 cm и b =2а. [Израчунај површину троугла ABC чија је страница а = 2,8 cm, а висина ha је два пута већа од странице а.] 4. Израчунај површину трапеза на слици. 9,6cm 12cm 2cm 6cm 16,2cm 10,5cm 5. Површина троугла је 60cm 2. Израчунај страницу а ако је одговарајућа висина ha = 5cm. [Површина паралелограма је 48cm 2. Израчунај страницу а ако је одговарајућа висина ha = 5 cm.] ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1 1. а) Израчунај петину [деветину] броја 2. 7 б) Напиши збир [разлику] броја 2,1 и производа [количника] бројева затим израчунај његову вредност. 2. Реши једначине: а) 3 x= 1 1 ; б) 0,2 ( x 1, 4) = 1 [a) 4 2 4 2 и 1,5, а 5 1 6 : x= 1 ; б) (0,2x+ 2) : ( 1,5) = 1]. 2 3. а) Израчунај површину ромба ABCD чија је страница a = 16cm [a = 12,6cm] и одговарајућа висина h = 1,8cm [h = 12cm]. б) Израчунај површину паралелограма ABCD чија је страница a = 4cm [a = 6,4cm] и одговарајућа висина h = 6,4cm [h = 8cm]. 4. Паралеграм и троугао имају једнаке површине P = 156cm 2 [96cm 2 ]. Ако је једна страница правоугаоника једнака једној страници троугла и износи 12cm [16cm] израчунај другу страницу правоугаоника и одговарајућу висину троугла. 23

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5. Израчунај површину фигура А и Б на слици. 2cm 2cm 2cm 2cm Б A A Б VII разред КООРДИНАТНА РАВАН. ПРОПОРЦИЈА И ПРОЦЕНАТ. ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ И СЛИЧНОСТ Основни ниво 1. Одреди у координатној равни следеће тачке: А(3, 1), B( 1, 4), C( 2, 3), D(0, 5). 2. За спремање ручка за 4 особе је потребно 400g меса, 600g кромпира, 1 kg 2 и 500g хлеба. Колико је ових намирница потребно ако се спрема ручак за: а) једну особу; б) две oсобе; в) осам особа? купуса 3. Растојање два места на карти је 3cm. Израчунај колико је растојање тих места у стварности ако је карта у размери 1 : 300000. Средњи ниво 4. Одреди обим троугла A( 2, 0), B(4, 0), C(0, 5). 5. Израчунај х из пропорције: а) (2 + x) = 4 : 5; б) 1 3 x = 2. 3 3 5 6. Три истовремено укључене једнаке пумпе испразне базен за 10 часова. а) За које време би 5 таквих пумпи испразнило тај базен? б) За које време би те три пумпе испразниле базен који има за 50% воде више од датог базена? 7. Растојање два места у стварности је 3,5km, а на карти 1,4cm. Колика је размера те карте? Напредни ниво 8. Који број треба додати бројевима 3, 7 и 12 да би размера прва два броја била једнака размери другог и трећег броја? 9. Сируп за преливање колача се, по рецепту, прави од 9 шољица шећера и 4 шољице воде. Мица је погрешно сипала 11 шољица шећера и 5 шољица воде. 24

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Колико шољица: а) воде; б) шећера Мица треба да дода концентрацију по рецепту? да би сируп имао 10. Нека легура је смеша бакра и цинка и при томе је 20% више бакра него цинка. Ако је потрошено 150 грама бакра за предмет направљен од те легуре, колика је маса тог предмета? 11. Нацртај разностранични троугао АВС. Конструиши правоугаоник PQRS при чему P AB, Q AB, R BС, S AC и PQ : QR = 3 : 2. 12. Странице једног троугла су 12cm, 16cm и 24cm. Ако је збир најдуже и најкраће странице њему сличног троугла 24cm израчунај странице тог другог троугла. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 20 минута 1. Нацртај график зависности величина х и у ако је у = 3х [у = 2х], за x R +. 2. За 5,2kg јабука је плаћено 442 [390] динара. Колико треба платити за 3,4kg [1,5kg] исте те врсте јабука? 3. Соком од јабука су напуњене 44 [32] флаше од 0,5 [0,75] литара. Колико би флаша од 0,75 [0,5] литара било напуњено тим истим соком? 4. Може ли се од бројева 2, 4, 5, 6 [3, 4, 6, 8] саставити пропорција? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 20 минута 1. Конструиши тачке А и В на дужи ЕМ = 8cm [ЕМ = 10cm] тако да је ЕА : АВ : ВМ = 1 : 2 : 3 [ЕА : АВ : ВМ = 3 : 2 : 1]. 2. Странице троугла АВС су 5cm, 7cm и 8cm, а странице троугла А1В1С1 су 35cm, 56cm и 49cm [21cm, 20cm и 24cm]. Да ли су ови троуглови слични? 3. Да ли су троуглови АВС и А1В1С1 слични ако је: B = 82, C = 45, A1 = 55, C1 = 45 [ A = 35, B = 97, C1 = 48, A1 = 35 ]? ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Израчунај дужину странице наспрам највећег угла троугла АВС ако је A(3, 0), B(5, 0), C(0, 4) [A(1, 0), B(5, 0), C(0, 5)]. 2. Ако је x 2 x 3 = y 3 = y 4 израчунај x+ y x+ 2y. 2x+ 3y 4 x+ 3y 3. У биоскопу Слика 2012. године је било 14520 посетилаца, а прошле године је било 16698 [10890]. За колико процената се повећао [смањио] број посетилаца за годину дана? 4. Аутомобил троши на 100 километара 8 [12] литара бензина [гаса] по цени од 155 [88] динара литар. Колико ће коштати гориво за путовање дуго 250 километара? 25

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 5. Катете правоуглог троугла су 6cm и 8cm [5cm и 12cm]. Ако је најкраћа [најдужа] странице њему сличног троугла 9cm [26cm] израчунај обим тог другог троуглa. VIII разред СИСТЕМИ ЈЕДНАЧИНА. ВАЉАК, КУПА, ЛОПТА. 1. Реши систем једначина : Основни ниво x= 2y 1, y= 2x+ 8. 2. Израчунај површину и запремину ваљка ако је његова висина 12сm, а пречник основе 6cm. 3. Израчунај површину и запремину купе ако је полупречник основе 3cm, а висина је једнака 3 4 пречника основе. Средњи ниво 4. За које вредности p и q је уређени пар бројева ( 2, 1) решење система једначина x 1 2( y + 1) = 2 p q, 3 2 2( x 2) + 0,2( y 9) = 5p 3 q. 5. Да ли може 5000l течности стати у суд облика ваљка чији је унутрашњи пречник 140cm и висина 3,2m? (Узми да је π 22 7 ). 6. Из дрвене коцке ивице 12cm је извађена купа. Основа купе је круг уписан у једну страну коцке, а врх је центру наспрамне стране. Израчунај површину тог удубљења. 7. Површина лопте је 144πcm 2. Одреди однос запремина те лопте и лопте чији је полупречник за 3cm дужи од полупречника дате лопте. Напредни ниво 8. Збир цифара двоцифреног броја је 12.Када се тај број подели разликом цифре десетица и цифре јединица добија се количник 37 и остатак 1.Који је то број? 9. Равнострани ваљка је пресечен са равни која је паралелна оси ваљка на растојању 2 једнаком половини полупречника основе. Ако је површина тог пресека 216 3cm израчунај површину и запремину ваљка. 26

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 10. Кружни исечак који је шестина круга, савијен је у омотач купе. Израчунај запремину купе ако је обим круга 12πcm. 11. Троугао у координатној равни, кога заклапају графици функција x 2y + 6 = 0 и 3x 4y + 12 = 0 и x оса, ротира за 360 око y осе. Израчунај површину и запремину насталог обртног тела. 12. Над страницом AB са унутрашње стране квадрата ABCD конструисан је полукруг, а над страницом DC са спољашње стране једнакостранични троугао. Добијена фигура ротира за 180 око своје осе симетрије. Израчунај површину и запремину насталог обртног тела. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 25 минута 1. Реши системе једначина: а) 2 x y= 4, x+ y= 1, 2x y= 7, ; y= x 3 y= 2x+ 1 б) 4 x+ 3y= 6, ; 3x 4 y= 13 x 2y= 7 x y 1 x+ y 3 = 0, x+ y 3 x y+ 5 0, в) 2 3 = 3 2. 1,7 x+ 0, 6y= 4 1, 4 x+ 5, 8 y= 3 2. Размера два броја је 3 : 4. Који су то бројеви ако се зна да је збир двоструког збира та два броја и троструке разлике већег и мањег броја 51? [Разлика два броја је 5. Који су то бројеви ако се зна да је разлика петоструког збира та два броја и троструке разлике већег и мањег броја 100?] КОНТРОЛНА ВЕЖБА 25 минута 1. Пречник ваљка је 7cm [Полупречник ваљка је 4,5cm], а висина ваљка је за 3cm дужа [1,5cm краћа] од полупречника [пречника] основе ваљка. Израчунај површину омотача тог ваљка. 2. Обим основе ваљка је 12πcm. [Површина основе ваљка је 64πcm 2 ]. Израчунај површину и запремину ваљка ако је полупречник [висина] једнак трећини висине [једнака четвртини полупрачника]. 3. Површина ваљка је 208πcm 2 [90πcm 2 ], а површина његовог осног пресека је 80cm 2 [његове основе је 9πcm 2 ]. Израчунај запремину тог ваљка. 4. Правоугаоник чија је дијагонала 17cm [25cm] и једна страница 15cm [24cm] ротира око своје осе симетрије која пресеца краће [дуже] странице. Израчунај површину и запремину насталог обртног тела. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 2 2 1. Ако је 3x+ y= 5 x 2y 3 3 + = 3 и 1 1 x+ 2y= 2 2x y 4 2 = 2 колико је x2 2y [y 2 4x]? 27

ПРИЈЕМНИ ИСПИТИ 2. Два другара, Милан и Иван, имају укупно 1128 динара. Договорили су се да купе лопту и да је плате по пола. После куповине Милану је остала четвртина суме коју је имао, а Ивану четири деветине суме коју је он имао. Колико је пре куповине имао Милан, колико Иван и колико кошта лопта? [Двe другарице, Милена и Ивана, имају укупно 984 динара. Договориле су се да купе лопту и да је плате по пола При куповини Милена је потрошила пет шестина суме коју је имала, а Ивана седам осмина суме коју је она имала. Колико је пре куповине имала Милена, колико Ивана и колико кошта лопта?] 3. Око коцке [У коцку] површине 432cm 2 [216cm 2 ] описан [уписан] је ваљак. Израчунај површину и запремину тог ваљка. 4. Размера полупречника и изводнице [полупречника и висине] купе је 3 : 5 [8 : 15], а висина [изводница] купе је 28cm [35cm]. Израчунај површину омотача [запремину] купе. 5. Израчунај површину и запремину лопте чији је пречник 4 3cm [6 2cm]. ПРИЈЕМНИ ИСПИТИ Пријемни испит за упис у Математичку гимназију 08.06.2013. године 1. Која од следећих тврђења су тачна? (I) И збир и производ три узастопна природна броја су дељиви бројем 3. (II) И збир и производ четири узастопна природна броја су дељиви бројем 4. (III) И збир и производ пет узастопних природних бројева су дељиви бројем 5. А) Сва; Б) Ниједно; В) Само (I); Г) Све осим (II); Д) Само (III); Н) Не знам. 2. Ако је: 5 2 28, 8 : 13 + 6, 6 : 1 x : 1 : 7 3 +, 1 = y 11 2+ 1 : 2,25 3 16 онда је y : x једнако: 10 43 123 А) 56 : 5; Б) 28 : 5; В) 8 : ; Г) : ; Д) 2 : 1; Н) Не знам. 7 30 23 3. Дужина паралелних тетива AB и CD круга k пречника дужине 26cm су једнаке 24cm и 10cm. Ако су тетиве с разних страна средишта, онда је растојање између њих једнако (у cm) А) 10; Б) 12; В) 13; Г) 15; Д) 17; Н) Не знам. 28

ПРИЈЕМНИ ИСПИТИ 4. Једначина (m 2 1)x + m + 1 = 0, где је m реалан број, а x непозната има тачно једно решење за: А) m (, + ); Б) m = 1; В) m (, 1) ( 1,1) (1, + ); Г) m = 1; Д) m { 1,1}; Н) Не знам. 5. У запису BA B = CBA различитим словима одговарају различите цифре. Тада је A + B + C једнако: А) 12; Б) 17; В) 15; Г) 14; Д) 13; Н) Не знам. 6. Колико има троцифрених бројева који су 12 пута већи од збира својих цифара? А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3; Д) 4; Н) Не знам. 7. Ако се број страница правилног многоугла са n страица повећа за 2, добија се правилни многоугао чији је унутрашњи угао за 9 већи. Тада је n једнако: А) 7; Б) 8; В) 9; Г) 10; Д) 12; Н) Не знам. 2 x 6x+ 9 8. Скуп решења неједначине 1 2 је: x 9 А) [ 2, + ); Б) [ 4, 3) ( 3,3) (3, + ); В) (, 3) [ 2, + ); Г) [, 4) ( 3,3) (3, + ); Д) (, 4] ( 3, + ); Н) Не знам. 9. На једном острву 2 3 свих мушкараца је ожењено, и то са женама са острва, а 3 5 свих жена је удато, и то за мушкарце са острва. Који део свих становника тог острва је у браку? А) 6 ; 19 Б) 19 ; 30 В) 11 ; 15 Г) 12 ; 19 Д) 7 ; 15 29 Н) Не знам. 10. Правоугли троугао АВС са катетама АС = 6cm и ВС = 8cm је основа пирамиде једнаких бочних ивица SA = SB = SC = 13cm. Запремина пирамиде је: А) 192cm 3 ; Б) 96cm 3 ; В) 288cm 3 ; Г) 104cm 3 ; Д) 208cm 3 ; Н) Не знам. 11. Тачка K припада продужетку тежишне дужи AM преко тачке M троугла АВС. Ако је 1 MK= AM и површина троугла MCK је једнака 1cm 2, површина троугла ABC 2 једнака је [у cm 2 ]: А) 4; Б) 5 ; В) 2; Г) 2 3 ; Д) 3; Н) Не знам. 12. Права p паралелна страници АВ једнакостраничног троугла АВС садржи његово тежиште Т и сече странице АС и ВС у тачкама M и N. Ротацијом троугла MNC око праве p настаје тело запремине V1, а ротацијом четвороугла ABNM око праве p настаје тело запремине V2. Тада је: 1 А) 3 V1 = V2 ; Б) 3V1 = V2; В) V1 = V2; Г) V1 = V2 ; Д) 3V1 = 2V2; Н) Не знам. 2

ПРИЈЕМНИ ИСПИТИ Тест способности из математике за упис у седми разред 15.06.2013. године 1. Вредност израза 2, 4 0,25 0,75 : 2,5 1 3 2, 4 + 2,5 4 4 је: А) 30 ; 4 Б) 57 ; 4 В) 1 ; 2 Г) 1 ; 3 Д) 3 ; 4 Н) Не знам. 2. Збир свих решења једначине x 15 + 6 15 x 3 = 2013 је: А) 303; Б) 273; В) 30; Г) 15; Д) једначина нема решења; Н) Не знам. 3. Симетрале спољашњих углова код темена В и С троугла АВС секу се у тачки О. Ако је ВОС = 51, тада је унутрашњи угао троугла код темена А једнак: А) 78 ; Б) 51 ; В) 67 30 ; Г) 59 ; Д) 60 ; Н) Не знам. 4. Производ 2013 природних бројева једнак је 2013. Најмања могућа вредност збира тих 2013 бројева је: А) 2013; Б) 2085; В) 2105; Г) 2205; Д) 4025; Н) Не знам. 5. У трапезу ABCD је DAB = 65, BCD = 130, BC = 5cm и CD = 4cm. Дужина основице АВ је: А) 4,5cm; Б) 6,5cm; В) 8cm; Г) 9cm; Д) 10cm; Н) Не знам. 6. Сваки од три квадрата има страницу чија је дужина цео број центиметара. Од њих се може саставити правоугаоник површине 96cm 2. Обим тог правоугаоника је: А) 16cm; Б) 32cm; В) 40cm; Г) 48cm; Д) 60cm; Н) Не знам. 7. Тест се састојао од три групе задатака. У првој групи је било 25% свих задатака на тесту, а у другој 30% свих задатака. Маја је одговорила тачно на 60% задатака из прве групе, 70% задатака из друге групе и 80% задатака из треће групе. Проценат Мајиних тачних одговора на све задатке у тесту био је: А) 70%; Б) 72%; В) 74%; Г) 76%; Д) 78%; Н) Не знам. 8. Стране коцке за игру означене су бројевима од 1 до 6. На сто је, једна на другу, поређано 5 таквих коцки тако да образују квадар. Сабрани су сви бројеви који се виде на странама тог квадра (укупно 21 број). Затим је уклоњена горња коцка, па су поново сабрани сви бројеви који се виде. Показало се да је нови збир за 19 мањи од претходног. Који се број налази на горњој страни новог квадра? А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) не може се са сигурношћу одредити; Н) Не знам. Одговоре можете пронаћи у следећем броју Математичког листа. 30

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Одабрани задаци служе за вежбу и припрему за такмичења. Препоручују се ученицима као корак који претходи решавању конкурсних задатака. Решења која следе искористити за проверу сопствених. За ученике III разреда 2891. Одреди два броја чији је количник 5, а разлика 192. 2892. Јоца и Боца имају заједно 750 динара. Одреди колико који дечак има новца ако знаш да је половина Јоцине суме једнака трећини Боцине суме. За ученике IV разреда 2893. Фудбалски тим је одиграо три утакмице: једну је добио, једну играо нерешено и једну изгубио. На овим утакмицама је дао три гола и примио један гол. Којим резултатом је завршена свака од ових утакмица? 2894. Квадрат је са три праве подељен на четири једнака правоугаоника. Обим једног тако добијеног правоугаоника је 30cm. Израчунај површину квадрата. За ученике V разреда 2895. Један радник би неки посао сам завршио за 12 дана, други за 15 дана, а трећи за 20 дана. Први радник је сам завршио четвртину тог посла, затим је дошао други и радио сам три дана. Остатак посла је сам завршио трећи радник. Колико дана је радио трећи радник? a a 2896. Одреди нескративе разломке, a N, b N, < 1, тако да је збир бројиоца и b b имениоца 37. При томе, разломцима одговара коначан децимални запис. За ученике VI разреда 2897. Докажи да међу осам произвољних природних бројева постоје бар два чија је разлика дељива са 7. 2898. Докажи да је центар описаног круга најближи најдужој страници троугла. За ученике VII разреда 2899. Нека су AD и BE симетрале углова при основици једнакокраког троугла ABC. Докажи да је AE = ED = DB. 2900. Марко је помножио неколико природних бројева и добио производ 224. Колико је бројева Марко помножио ако се зна да је највећи од њих тачно два пута већи од најмањег? За ученике VIII разреда 2901. У једнакокраком троуглу са основицом a и краком b, угао при врху је 20. Докажи да је b < 3a. 2902. Постоје ли различити природни бројеви a, b, c, d такви да је 31

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 1 1 1 1 + + + = 1? a b c d РЕШЕЊА ОДАБРАНИХ ЗАДАТАКА 2879 2890. 2891. Нека су х и у тражени бројеви. Тада из х : у = 5 закључујемо да је х пет пута веће од у, тј. х = 5 у. Како је х у = 192, то је 5у у = 192, тј. 4у = 192, те је у = 48, а х = 240. 2892. Ако са j обележимо Јоцину суму, а са b Боцину, тада је 1 j= 1 b= x. Како Јоца у 2 3 својој суми има две половине, а Боца три трећине, то је ј = 2х, а b = 3х. Пошто заједно имају 750 динара, то је ј + b = 750, тј. 2х + 3х = 750, те је 5х = 750, х = 150. Тада Јоца има ј = 2х = 2 150 = 300 динара, а Боца b = 3х = 3 150 = 450 динара. 2893. Ако је тим изгубио утакмицу, то значи да је примио више голова него што је дао. Пошто је примио само један гол, то значи да је изгубљена утакмица завршена резултатом 0 : 1. Пошто тим на осталим утакмицама није примио ни један гол, значи да је нерешена утакмица завршена резултатом 0 : 0. Значи да је тим постигао три гола на утакмици у којој је победио, па је та утакмица завршена резултатом 3 : 0. Утакмице су завршене резултатима 3 : 0, 0 : 0 и 0 : 1. 2894. Означимо са x мању страницу правоугаоника (слика). Тада је обим једног правоугаоника 2 (x + а) = 30, 2 (x + 4х) = 30, x + 4x = 15, па је x = 3cm. Дакле, a = 4 3, a = 12cm, P = 12 12, P = 144cm 2. x x x x а = 4х 1 1 2895. За један дан први радник би сам урадио, други, 12 15 трећи 1 посла, при 20 чему смо са 1 (једним целим) означили цео посао. По услову задатка први радник 1 1 је урадио четвртину посла, други такође четвртину јер је 3 =. Означимо са 12 4 х број дана које је трећи радник радио до завршетка посла. Тада је 1 1 1 1 x x 1 x 1 + + x = 1. Даље је: + = 1, = 1, =, x= 10. Дакле, трећи 4 4 20 2 20 20 2 20 2 радник је радио 10 дана. a 2896. Разломак, a N, b N је нескратив, има коначан децимални запис и мањи је b од 1 ако су a и b узајамно прости, прости чиниоци броја b су двојке и петице и a < b. По услову задатка је a + b = 37, па следи a = 5, b = 32 = 2 2 2 2 2; 32 а

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ a = 12, b = 25 = 5 5; a = 17, b = 20 = 2 2 5. Остали случајеви не испуњавају 5 12 услове. Тражени разломци су, 32 25 и 17. 20 2897. У односу на дељење природних бројева са 7 постоји 7 могућности, односно бројеви могу бити облика 7k, 7k1 + 1, 7k2 + 2, 7k3 + 3, 7k4 + 4, 7k5 + 5, 7k6 + 6 где смо са k, k1, k2, k3, k4, k5, k6 обележили количнике при дељењу са 7. Сваки од осам произвољних природних бројева је тачно једног од ових облика, односно има један од могућих остатака при дељењу са 7. При томе, два или више од тих бројева могу имати исте остатке. По Дирихлеовом принципу, у најгорем случају седам од тих бројева имају различите остатке при дељењу са 7, а осми мора имати исти остатак са неким од првих седам бројева. Нека су та два природна броја, који имају исти остатак s, s {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, при дељењу са 7, бројеви 7a + s и 7b + s, при чему је a > b. Тада је њихова разлика (7a + s) (7b + s) = 7a + s 7b s = 7a 7b = 7(a b) дељива са 7. 2898. Размотрићемо различите случајеве; када је центар описаног круга у унутрашњој области троугла, када је на једној страници и када је у спољашњој области троугла. C C C A1 A B1 O C1 A1 B A O B A B1 C1 O B слика 1 слика 2 слика3 Нека је АВС дати оштоугли троугао и нека је АС < ВС < АВ (слика 1). Праве А1О, В1О и С1О су симетрале редом страница ВС, СА и АВ троугла АВС и О је центар описаног круга. Растојања центра О од страница ВС, СА и АВ су редом ОА1, ОВ1 и ОС1. Треба да докажемо да је ОС1 < ОА1 и ОС1 < ОВ1. У троуглу В1С1О за углове В1С1О и С1В1О важи: B1C1O = AC1O AC1B1 = 90 AC1B1 = 90 β и C1B1O = AB1O AB1C1 = 90 AB1C1 = 90 γ, јер су AC1B1 = β и AB1C1 = γ као углови са паралелним крацима. По претпоставци је АС < АВ, па је β < γ, односно 90 β > 90 γ и B1C1O > C1B1O. Наспрам већег угла у троуглу се налази већа страница па је ОВ1 > ОС1. Аналогно доказујемо да је ОА1 > ОС1. Када је троугао правоугли центар описаног круга припада хипотенузи, па је тврђење тачно (слика 2). У случају када је троугао тупоугли углови троугла В1С1О су B1C1O = AC1O + AC1B1 = 90 + AC1B1 = 90 + β и C1B1O = AB1C1 AB1O = AB1C1 90 = γ 90, јер су AC1B1 = β и AB1C1 = γ као углови са паралелним крацима (слика 3). 33

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ По претпоставци је АС < АВ, па је β < γ, односно, 90 + β > γ 90 и B1C1O > C1B1O, па важи ОВ1 > ОС1. Аналогно доказујемо да је ОА1 > ОС1. 2899. Решење 1. Из АВЕ = ADЕ следи да тачке A, B, D, E леже на C једној кружници (слика). Једнакост AE = ED = DB следи на основу једнакости периферијских углова ABE, DАЕ и BАD. Решење 2. Троуглови ABE и BAD (слика) су подударни (УСУ), па је AE = BD и AD = BE. Одатле следи подударност троуглова ADE и BED (СУС). Такође, закључујемо да су троуглови ABS и DES E D једнакокраки са заједничким врхом S и једнаким угловима при врху, као унакрсни (са S смо означили пресек симетрала S AD и ВЕ). Зато су и углови при основицама једнаки, па је EAD А = EDA, па је и троугао ADE једнакокрак, одакле следи да је AE B = ED. Слично добијамо да је BD = ED. Решење 3. Као у решењу 2, закључујемо да је AE = BD. По Талесовој теореми, тада је ED AB, одакле је EDA = BAD = EAD. Дакле, троугао ADE је једнакокрак. Даље доказ иде као у решењу 2. 2900. 224 = 2 5 7. У разлагању на просте чиниоце, у највећем броју је изложилац броја 2 за један већи од оног у најмањем броју. Ни најмањи ни највећи број не садрже чинилац 7, па су оба степени двојке. Како највећи број мора бити већи од 7, једина могућност је да су тражени бројеви 4, 7 и 8. 2901. Решење 1. Нека је дат троугао АВС са врхом С (слика1). Уочимо у унутрашњости троугла тачку D такву да је ABD једнакостраничан троугао. Све странице тога троугла су дужине а. Троугао ADC има углове од 20, 10 и 150. Повуцимо полуправу са почетком у тачки D која заклапа угао од 10 са полуправом DC и нека она сече крак AC у тачки Е. Троуглови ADE и DCE су једнакокраки са крацима дужине a. Изломљена линија ADEC састоји се од три дужи дужине a, па за дуж AC = b (крак датог троугла) важи да је b < 3a. Решење 2. Сложимо три таква троугла у петоугао са две суседне странице b и три суседне странице a (слика 2). Угао између две веће странице је 60, а њихови крајеви су такође на растојању b. С друге стране, ти крајеви су спојени изломљеном линијом састављеном од три дужи дужине а. C E b b b А D a a a B слика 1 слика 2 34 a

2902. Да, постоје. Из КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 1 1 1 1 1 1 1 + + = 1 следи + + =, 2 3 6 2 2 2 3 2 6 2 тј. 1 1 1 1 + + = и 4 6 12 2 даље 1 + 1 + 1 + 1 = 1. 2 4 6 12 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Конкурсни задаци намењени су првенствено ученицима који се у већој мери интересују за математику. Истовремено то је својеврсно такмичење које Математички лист организује сваке школске године. Решења задатака са именима решавалаца објављују се у наредним бројевима часописа. Предност имају они решаваоци који у првих 20 дана по изласку броја из штампе пошаљу исправна решења. Имена решавалаца са бар шест тачних решења објављују се у првом броју следеће школске године. За најбоље решаваоце предвиђене су награде. Упутство за слање решења налази се на страни 48. За ученике III разреда 2449. Збир два броја је 485. Ако већи поделимо мањим, добије се количник 15 и остатак 5. Одреди те бројеве. 2450. Ана и Лара имају заједно 450 динара. Ако Ана потроши једну половину, а Лара две трећине свог новца, остаће им једнаке суме. Колико новца је имала Ана, а колико Лара? За ученике IV разреда 2451. Фудбалски тим је одиграо шест утакмица: две је добио, две играо нерешено и две изгубио. На овим утакмицама тим је дао три гола и примио два гола. Којим резултатом је завршена свака од ових утакмица? 2452. Квадрат је подељен са четири праве на пет једнаких правоугаоника. Обим једног тако добијеног правоугаоника је 24 cm. Израчунај површину квадрата. За ученике V разреда 2453. Један радник би неки посао сам завршио за 12 дана, други за 15 дана, а трећи за 20 дана. Колико ће посла остати недовршено ако сва три радника раде заједно 4 дана? a 2454. Одреди нескративе разломке, a N, b N, тако да је производ бројиоца и b имениоца 220. При томе, разломцима одговара коначан децимални запис. За ученике VI разреда 2455. Докажи да међу 12 произвољних природних бројева постоје бар два чија је разлика дељива са 11. 2456. Докажи да је центар уписаног круга најближи темену највећег угла троугла. 35

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ За ученике VII разреда 2457. Дате су колинеарне тачке C, D и B, при чему је тачка D између тачака C и В. Конструиши једнакокраки троугао АВС са теменом при врху С, теменом на основици В, где је AD симетрала угла при основици. 2458. Марко је помножио неколико природних бројева и добио производ 82080. Колико је бројева помножио Марко ако се зна да је највећи од њих тачно два пута већи од најмањег? За ученике VIII разреда 2459. У једнакокраком троуглу са основицом a и краком b, угао при врху је 9. Докажи да је b < 7a. 2460. Постоје ли различити природни бројеви a, b, c, d такви да је 1 + 1 + 1 + 1 = 1? a b c d 2014 РЕШЕЊА КОНКУРСНИХ ЗАДАТАКА 2437 2448 2437. Ако раде заједно, Аца, Јоца и Моца могу да заврше неки посао за 10 часова. Али, после 4 сати заједничког рада, Јоца је морао да оде. Колико још часова треба да раде Аца и Моца да би завршили остатак посла? Решење. Да би се завршио посао, треба радити 3 10 = 30 часова. Прва 4 сата су радила сва три радника, тако да су одрадили 4 3 = 12 сати посла. Преостала 30 12 = 18 сати посла треба да обаве Аца и Моца, што значи да треба да раде још 18 : 2 = 9 часова. Мина Петровић, III, ОШ Васа Пелагић, Село Крвавица, Падеж 2438. У оба дата случаја на слици теразије су у равнотежи. Колика је маса једне јабуке, а колика је маса једне шљиве? 40g 250g Решење. На основу прве слике закључујемо да маса две јабуке (j) износи колико и маса 5 шљива (ш) и тега од 40 грама. Ако то ставимо уместо две јабуке на леви тас друге слике, добијамо да маса 2 + 5 = 7 шљива и тега од 40 грама износи 250 грама, тј. 7ш + 40 = 250. Решавањем ове једначине добијамо да је маса шљиве 30 грама. Уврштавањем те вредности у 2ј = 40 + 5ш (прва слика) или у 2ј + 2ш = 250 (друга слика), добијамо да је маса јабуке 95 грама. Сара Анђелковић, III2, ОШ Коста Ђукић, Младеновац 2439. Производ два броја је 2014. Ако се један од њих смањи за 14, производ ће бити 1482. Који су то бројеви? Решење. Производ бројева а и b може се представити као површина правоугаоника чије су странице а и b. 36

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ b а b = 2014 b 1482 532 b а 14 14 а a Ако се једна страница смањи за 14, тада се и површина смањи за 2014 1482 = 532. Дакле, 14 b = 532, b = 532 : 14, b = 38. Тада је а = 2014 : 38, а = 53. Тражени бројеви су 53 и 38. Урош Топаловић, IV2, ОШ Душан Јерковић, Ужице 2440. Ако се једна ивица коцке повећа за 1cm, друга за 2cm, а трећа за 3cm, добије се квадар чија је површина за 262cm 2 већа од површине коцке. Израчунај површину коцке и површину квадра. Решење. Нека је ивица коцке х. Ако се једна ивица повећа за 1cm, друга за 2 cm, а трећа за 3 cm, површина једне стране коцке ће се повећати за 1 х + 1 3 + 3 х = 4 х + 3. Површина друге стране коцке ће се повећати за 2 х + 2 1 + 1 х = 3 х + 2. Површина треће стране коцке ће се повећати за 3 х + 2 3 + 2 х = 5 х + 6. Површина целе коцке повећала се за 2 (4 х + 3 + 3 х + 2 + 5 х + 6) = 2 (12 х + 11) = 24 х + 22. Дакле, 24 х + 22 = 262, 24 х = 262 22, 24 х = 240, х = 240 : 24, х = 10. Ивица коцке је 10cm. Тада су ивице квадра 11cm, 12cm и 13cm. Површина коцке је Р1 = 6 10 2, Р1 = 600cm 2. Површина квадра је Р2 = 2 (13 12 + 13 11 + 12 11), Р2 = 862cm 2. Лука Будисављевић, IV1, ОШ Стари Град, Београд 33 2 38 2441. Одреди све просте природне бројеве p тако да важи < <. 2013 p 2014 33 33 1 38 38 1 Решење. Скратимо разломке:,. 2013 = 3 11 61 = 61 2014 = 2 19 53 = Тада дата 53 1 2 1 2 2 2 неједнакост гласи < <, односно < <. Следи да је 106 < p < 122, па 61 p 53 122 p 106 су тражени прости бројеви p {107, 109, 113}. Срећко Богдановић, V4, ОШ Радоје Домановић, Параћин 2442. Одреди угао који заклапају казаљке на сату у 14 часова и 20 минута. Решење. У 14 часова минутна казаљка је на 12, а сатна на 2 (14 h) и заклапају 60. За 20 минута минутна казаљка направи угао од 20 6 = 120, а сатна 20 30 = 600 =10. У 14 часова и 20 минутa казаљке ће заклапати угао од 120 60 10 = 50. Владан Королија, V1, ОШ Владислав Рибникар, Београд 2443. За целе бројеве a, b, c, d важи да је (a 2)(2b 3)(3c 4)(4d 5) = 6. Израчунај збир a + b + c + d. 37

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Решење. Бројеви a, b, c, d су цели, па су цели и бројеви a 2, 2b 3, 3c 4, 4d 5. Aкo бројеви а 2, 2b 3, 3c 4 и 4d 5 не морају бити различити, постоје следеће могућности дате у табели: а 2 2b 3 3c 4 4d 5 a b c d a + b + c + d 6 1 1 1 8 2 1 1 12 6 1 1 1 4 1 1 1 1 2 3 1 1 0 0 1 1 2 2 3 1 1 4 3 1 1 9 2 1 1 3 0 2 1 2 5 2 1 1 3 4 1 1 2 8 3 1 2 1 1 2 2 1 4 3 1 2 1 5 1 2 1 9 1 3 2 1 3 0 2 1 6 1 3 2 1 1 3 2 1 7 1 1 2 3 3 2 2 2 9 1 1 2 3 1 1 2 2 6 Дакле, збир a + b + c + d може имати вредности 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 12. Златан Васовић, VI3, ОШ Свети Сава, Чачак 2444. Конструиши правоугли троугао АВС са правим углом код темена С ако је дат збир хипотенузе и катете с + а = 7cm и угао BAC = 22 30. Решење. Ако је ABC тражени троугао, тада одредимо тачку D на правој АВ тако да је BC = BD. Троугао CBD је једнакокрак са CBD = 90 + 22 30 = 112 30 при врху. Тада је DCB = D B BDC = 1 (180 112 30 ). A 2 C Дакле конструишемо троугао ACD који је једнозначно одређен страницом и налеглим угловима: AD = c + a = 7cm, CAD = 22 30, CDB = CDA = 1 (180 112 30 ). Теме В 2 је пресечна тачка симетрале дужи CD и праве AD јер је троугао CBD једнакокрак. Мина Гајић, VI3, ОШ Сава Керковић, Љиг 2445. Познато је да 45 свески стаје толико евра колико се свески може купити за 20 евра. Колико стаје 75 свески? Решење. Према услову задатка, ако се 45 свески може купити за x евра, онда се x свески може купити за 20 евра. Дакле, 45 x, x = 20 одакле је 900 = x2, тј. x = 30. Дакле, 30 свески стаје 20 евра, што значи да 75 свески стаје 50 евра. Алексеј Остојић, VII3, ОШ,,Стевица Јовановић, Панчево 38

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 2446. За дан кажемо да је паран ако се његов датум, месец и година записују само помоћу парних цифара. На пример, 8. април 2026. године биће паран дан, јер у његовом запису на уобичајени начин појављују се само парне цифре: 8.4.2026. а) Колико ће у 3. миленијуму бити парних дана? б) Који је био први паран дан трећег миленијума? в) Који ће бити последњи паран дан трећег миленијума? Решење. а) У 3. миленијуму има 5 парних векова и у сваком од њих 25 парних година, осим у 21. веку који има 24 парне године. Дакле, у 3. миленијуму има укупно 124 парне године. У свакој парној години има 4 парна месеца са по 9 парних дана. Према томе, у свакој парној години има 36 парних дана. Укупно ће онда у 3. миленијуму бити 124 36 = 4644 парних дана. б) 2.2.2002. в) 28.8.2888. Маја Цветковић, VII5, ОШ,,Мирослав Антић, Ниш 2447. При окретању калкулатора за 180 цифре 0, 1 и 8 се не мењају, 6 и 9 замењују улоге, а остале цифре губе смисао. Колико има деветоцифрених бројева који се не мењају при окретању калкулатора за 180? Решење. Такви бројеви могу садржати само бројеве 0, 1, 8, 6 и 9 и одређени су са првих пет цифара. При томе прва цифра не може бити 0, а пета не може бити ни 6 ни 9. Дакле, за прву цифру постоје 4 могућности, за пету 3, за остале 5 могућности. Тражени број је 4 5 3 3 = 1500. Стефан Степановић, VIII3, ОШ Јован Цвијић, Лозница 2448. Произвољна тачка М у унутрашњости троугла ABC спојена је дужима са теменима троугла. На тај начин је троугао ABC подељен на три троугла. Нека су Т1, Т2, Т3 тежишта тих троуглова. Колико је пута површина троугла АВС већа од површине троугла Т1Т2Т3? Решење. Нека су A1, B1, C1 редом средишта C страница BC, CA, AB (слика). Странице троугла А1B1C1 су паралелне одговарајућим страницама троугла АВС и свака је два пута мања од одговарајуће странице троугла АВС. B1 А1 Како је Т1 тежиште троугла MBC, то је MT1 : MA1 T2 T1 = 2 : 3. Исто тако је MT2 : MB1 = 2 : 3. По M Талесовој теореми је тада T1T2 A1B1 и Т1Т2 : T3 2 1 А1В1 = 2 : 3, тј. TT 1 2= A1 B1 = AB. А B 3 3 C1 На исти начин доказујемо да су дужи Т2Т3 и Т3Т1 редом паралелне страницама BC и CА и 1 1 да је T2 T3 = BC и T3 T1 = CA. Дакле, троуглови ABC и T1T2T3 су слични, са 3 3 коефицијентом сличности 3, па је површина троугла АВС девет пута већа од површине троугла Т1Т2Т3. Aдриана Васовић, VIII2, ОШ Свети Сава, Чачак 39

НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Ова рубрика је, као и конкурсни задаци, позив свим нашим читаоцима за такмичење. У сваком броју нашег листа дајемо један задатак за сваки разред. Из сваког разреда, пет најуспешнијих решавалаца биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. Наградни задатак бр. 417 (за ученике III разреда) Игор се договорио да за обављен посао, као награду, добије лопту и још 750 динара. Међутим, Игор је обавио само половину тог посла, па је добио лопту и 300 динара. Колика је цена лопте? Наградни задатак бр. 418 (за ученике IV разреда) Један радник може да уради неки посао за 4 сата, а други радник може да уради исти посао под истим условима за 12 сати. За колико сати ће тај посао бити урађен ако оба радника раде заједно? Наградни задатак бр. 419 (за ученике V разреда) Саша је ученик основне школе и решавао је задатке из Математичког листа. Када је написао своје податке на крају решења, помножио је број својих година, број разреда у који иде, двоцифрени број зграде у којој је школа и троцифрени број зграде у којој станује. Добио је број 279279. Који је број зграде у којој Саша станује? Наградни задатак бр. 420 (за ученике VI разреда) Дат је правоугаоник ABCD (AB > BC). Нормала из темена В на дијагоналу АС, сече дијагоналу АС у тачки М, тако да је дуж АМ три пута већа од дужи МС. Одреди угао под којим се секу дијагонале тог правоугаоника. Наградни задатак бр. 421 (за ученике VII разреда) Нађи све природне бројеве који су 17 пута већи од збира својих цифара. Наградни задатак бр. 422 (за ученике VIII разреда) Нађи збир свих природних бројева мањих од 1000 код којих је збир цифара непаран. РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 411 (МЛ XLVIII-3) Решење. Како је обим квадрата који треба исећи 8cm, то значи да из сва четири угла правоугаоника исецамо квадрат странице 2cm, па добијамо фигуру као на слици: 11cm 2cm 2cm 6cm 2cm 2cm 11cm 40 2cm 2cm 2cm 2cm 6cm

НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Како је обим фигуре збир њених страница, то је обим ове фигуре О = 2 11cm + 2 6cm + 8 2cm = 50cm. Обрати пажњу, обим ове фигуре је једнак обиму правоугаоника! Размисли зашто. Награђени Никола Јолић, III1, ОШ Десанка Максимовић, Зајечар Милица Гајић, III2, ОШ Велизар Станковић Корчагин, Велики Шиљеговaц Леа Херчек, III1, ОШ 15. октобар, Пивнице Лана Дерманов, II4, ОШ Соња Маринковић, Нови Сад Никола З. Ковачевић, III4, ОШ Уједињене нације, Београд РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 412 (МЛ XLVIII-3) Решење. 1000000000 = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 = (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) = (2 2 2 2 2 2 2 2 2) (5 5 5 5 5 5 5 5 5) = 512 1953125. Награђени Антонела Тешић, IV2, ОШ Кадињача, Лозница Лазар Огњановић, IV1, ОШ Ђура Јакшић, Плажане Милица Марковић, IV, ОШ Јован Јовановић Змај, Салаш Милош Пурић, IV2, ОШ Карађорђе, Београд Чедомир Матић, IV2, ОШ Рајак Павићевић, Бајина Башта РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 413 (МЛ XLVIII-3) Решење. Маса лимунаде која стаје у две чаше је 1 kg, а у једну 1 kg. Следи да у седам 4 8 7 чаша стаје kg 8 7 1 1kg kg= kg. 8 8 лимунаде, па је маса празног бокала 1 kg = 125g јер је 8 Награђени Настасја Остојић, V2, ОШ Стевица Јовановић, Панчево Даворин Шанта, V1, ОШ Ђура Јакшић, Кикинда Андрија Клокочинац-Терић, V3, ОШ Илија Бирчанин, Земун Поље Невена Јолић, V1, ОШ Десанка Максимовић, Зајечар Филип Ерац, V3, ОШ Свети Сава, Краљево РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 414 (МЛ XLVIII-3) Решење. Нека су девет узастопних природних бројева n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9. Збир неких осам чланова овог низа је 9n + 45 (n + x) где смо са х обележили један од бројева 1, 2, 3,..., 9. Дакле, по услову задатка је 9n + 45 (n + x) 2014 45+ x 1969+ x 1+ x = 2014, односно 8n + 45 x = 2014, n=, n=, n= 246 +. 8 8 8 Следи да за x = 7 је n = 247. Избрисан је број 254 јер је 247 + 7 = 254. 41

НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Награђени Мирослав Поповић, VI1, ОШ Деспот Стефан Лазаревић, Београд Ена Гицић, VI1, ОШ Светозар Марковић, Сјеница Немања Радосављевић, VI3, ОШ Момчило Живојиновић, Младеновац Александра Љубеновић, VI1, ОШ Светозар Марковић, Лесковац Немања Миловановић, VI1, ОШ Ђорђе Јовановић, Селевац РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 415 (МЛ XLVIII-3) У формулацији задатка 415 поткрала се штампарска грешка која мења смисао задатка. Због тога се извињавамо ученицима и објављујемо исправну формулацију овог задатка, који и даље остаје наградни задатак. Сада ученици VII разреда имају два наградна задатка за следећи број Математичког листа. Наградни задатак бр. 415 Кад Марко Краљевић удари тешком топузином у стабло вите јеле, са ње отпадну једна јабука и две кајсије. Кад Милош Обилић удари тешком топузином у стабло вите јеле, са ње отпадну једна јабука и две банане. Кад Реља Крилатица удари тешком топузином у стабло вите јеле, са ње отпадну једна јабука, једна кајсија и једна банана. Удараху три српска јунака летњи дан до подне, а када се уморише, седоше у зелену траву да се одморе и да попију тулумину вина. За то време Косовка девојка засука скуте и рукаве и покупи сво омлаћено воће. Испоставило се да су три српска јунака омлатила 2000 кајсија и 1000 банана. Колико су јабука омлатила три српска јунака ударајући тешким топузинама у стабло вите јеле летњи дан до подне? РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 416 (МЛ XLVIII-3) Решење. Полазимо од сасвим извесне претпоставке да је главни уредник рођен у 20. веку, тј. да је година рођења 19 xy. На основу претпоставки задатка је 1900 + 10x + y + 1 9 x y = 2014, одакле је 10x + y + 9 x y = 114. Лако се види да је x > 1, y > 1 и x y < 12 (јер је 9 12 + 10 > 114). Следи да је x < 6, y < 6. Преостају следеће могућности за xy : 22, 23, 24, 25, 32, 33, 42, 52. Провером тих могућности налазимо да само за xy = 33 и xy= 42 важи 1933 + 1 9 3 3 = 2014 и 1942 + 1 9 4 2 = 2014. Како број година није квадрат, први случај не задовољава услове задатка (1 9 3 3 = 81 = 9 2 ), па је решење x = 4, y = 2. Дакле, главни уредник је рођен 1942. године и 2014. године напуниће 72 године. Награђени Мартин Пошмуга, VIII4, ОШ Учитељ Таса, Ниш Стеван Јуришић, VII4, ОШ Бошко Палковљевић Пинки, Гргуревци Ђурђина Грујовић, VIII3, ОШ Милинко Кушић, Ивањица Мира Милосављевић, VIII4, ОШ Милан Муњас, Совљак, Уб Андрија Филиповић, VIII2, ОШ Радоје Домановић, Параћин 42

ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Свако слово замени цифром (различита слова различитим, а иста слова истим цифрама) тако да важи једнакост: TWO + TWO = FOUR. Нађи сва решења. РЕШЕЊE ЗАДАТКА СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА (МЛ XLVIII-3) Нека решења су: 1354 + 9274 = 10628; 1792 + 8562 = 10354; 1753 + 8493 = 10246. Награђени Михајло Богдановић, V1, ОШ Александар Стојановић-Лесо, Дежева Сара Хорњак, III2, ОШ Јован Дучић, Петроварадин Даница Нешић, IV1, ОШ Светозар Марковић, Лесковац Ђурђија Обрадовић, IV1, ОШ Ђура Јакшић, Плажане Димитрије Поленек, III2, ОШ Вук Караџић, Смедеревска Паланка Бојана Зарубица, VI2, ОШ Вук Караџић, Бачко Добро Поље Давид Стоиљковић, VII2, ОШ Бора Станковић, Каравуково Никола Денић, V3, ОШ Петар Кочић, Инђија Минеа Штрангар, VIА, ОШ 22.октобар, Бачки Моноштор Андреа Златановић, IV3, ОШ Жарко Зрењанин, Качарево РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БРОЈ 72 (МЛ XLVIII-3) Решење. Правилни осмоугао ABCDEFGH се састоји из четири подударна делтоида ABCO, CDEO, EFGO, GHAO. Централни угао правилног осмоугла ABCDEFGH је AOB = 45, па је AOC = 90. Троугао AOC je jеднакокрако правоугли, па се ОB и АC секу под правим углом. Површине уочених делтоида су: PABCO = PCDEO = PEFGO = PGHAO = (bd : 2) : 2 = bd : 4, OB = d : 2 и АС = b, где смо са d обележили најдужу, а са b најкраћу дијагоналу правилног осмоугла. Следи да је PABCDEFGH = 4 (bd : 4), па је PABCDEFGH = bd. F E G d 2 D H 45 45 А B Награђени Милица Теохаревић, VIII3, ОШ Доситеј Обрадовић, Умка Алекса Милисављевић, VIII3, ОШ Јован Цвијић, Лозница d 2 45 O 43 d 2 45 C

ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ Алекса Марковић, VIII3, ОШ Свети Сава, Владичин Хан Миљана Петковић, VII, Гимназија Светозар Марковић, Ниш Златан Васовић, VI3, ОШ Свети Сава, Чачак Маја Цветковић, VII5, ОШ Мирослав Антић, Ниш Владимир Нешић, VII2, ОШ IV краљевачки батаљон, Краљево Игор Пијевац, VII2, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад Катарина Вукосављевић, VIII2, ОШ Вера Благојевић, Бања Ковиљача Павле Ристић, VI1, ОШ Учитељ Таса, Ниш ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ Р41. Међу 2013 наизглед једнаких златника налази се 50 фалсификованих. Сви исправни златници су исте масе и сви фалсификовани су исте масе која се за 1 грам разликује од масе исправних (може бити лакши или тежи). Имамо на располагању теразије са два таса и скалом која показује разлику маса на једном и другом тасу у грамима. Да ли се може за произвољно изабрани златник једним мерењем утврдити да ли је исправан или неисправан? РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Р40. Ученици Аца, Бранко, Воја и Горан рођени су исте године у четири различита месеца. Аца је старији од Бранка 15 дана, Бранко од Воје 22 дана, Воја од Горана 23 дана. Воја се родио у понедељак, а шести рођендан је славио, такође у понедељак. У који дан недеље је Воја славио трећи рођендан? Решење. Разлика у старости између најстаријег (Аце) и најмлађег (Горана) износи 60 дана. То је могуће само ако је Аца рођен 31. јануара, а Горан 1. априла исте године, и то у простој години (у којој фебруар има 28 дана). Лако се види да је онда Бранков рођендан 15. фебруара, а Војин 9. марта. Закључујемо да је те године 9. март био у понедељак. После 6 година 9. март је поново био у понедељак, што значи да је број дана у тих 6 година дељив са 7. Како је у тих шест година било шест фебруара, међу њима су један или два са 29 дана. Међутим, 365 5 + 366 = 2191 је број дељив са 7, а број 365 4 + 366 2 = 2192 није, па следи да је у шест следећих година након рођења дечака била једна преступна година, а осталих пет су просте. Заједно са годином рођења, која је такође проста, имамо 7 узастопних година међу којима је тачно једна преступна. То онда мора бити средња од тих 7 година, тј. година у којој су дечаци прославили трећи рођендан. Како је 365 = 7 52 + 1 и 366 = 7 52 + 2, закључујемо да је Војин први рођендан био у уторак, други у среду, а трећи у петак (између другог и трећег рођендана је прошло 366 дана, јер је Војин рођендан после 29. фебруара). За решење задатка награђен је Александар Стојковић, Вукице Митровић 41, Београд. 44

ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ Задатaк су тачно решили и: Зоран Ковачевић, Београд; Сашко Николић, Владичин Хан; Илинка Траиловић, Београд; Миланка Нешић, Краљево; Душко Галић, Футог; Виолета Савковић, село Витково, Александровац. ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ Н41. Располажемо са 12 штапова, сваки дужине 13dm. Да ли их можемо исећи на делове дужине 3dm, 4dm и 5dm тако да од добијених делова може да се састави 13 правоуглих троуглова са страницама дужине 3dm, 4dm и 5dm? РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ ПРЕТХОДНОГ БРОЈА Н40. Екипе градова А и В имале су сусрет у брзопотезном шаху на 100 табли. У свакој екипи било је и мушкараца и жена и у свакој више мушкараца него жена, с тим што је у екипи града В било више жена него у екипи града А. Сви мушкарци из града В имали су за противнике мушкарце из града А. На мушким таблама шахисти из града А добили су три партије из сваких пет, на женским таблама шахисткиње из града В добиле су две партије из сваке три, а на мешовитим таблама мушкарци из града А добили су две партије из сваке три. Ниједна партија није завршена ремијем. Укупан резултат је био 59 : 41 за град А. Колико је мушкараца играло у екипи града А? Решење. Означимо са m број мушкараца у екипи града А, а са n број мушкараца у екипи града В. Тада је, имајући у виду број добијених партија екипе А, 3n 100 m 2m 2n + + = 59, 5 3 3 односно, 9n + 500 5m + 10m 10n = 885, тј. 5m n = 385, где је 100 > m > n > 50. Из последње једнакости следи да је број n дељив са 5. Нека је n = 5k за неки природан број k. Тада је 5m 5k = 385, m = k + 77. Следи да је 11 k 19 (у противном је n 50 или m 100). Приметимо да број 100 m = 100 k 53 = 47 k мора бити дељив са 3, што је тачно само за k = 11, k = 14 и k = 17. Дакле, сви услови задатка задовољени су само за m = 11 + 77 = 88, m = 14 + 77 = 91 и m = 17 + 77 = 94. Према томе, број мушкараца у екипи града А може бити 88, 91 или 94. За решење задатка награђена је Маја Стојановић, OШ Деспот Стефан Лазаревић, Бабушница. Задатaк су тачно решили и: Љиљана Петровић, ОШ Аца Алексић, Александровац; Илона Јовин, наставник у пензији ОШ Јожеф Атила, Нови Сад; Сашко Николић, ОШ Свети Сава, Владичин Хан; Јелена Јоловић, ОШ Јован Јовановић Змај, Свилајнац; Ђокић Виолета, ОШ Јован Јовановић Змај, Брус; Бранимир Лапчевић, ОШ Стојан Новаковић, Блаце; Слађана Пердув, OШ Вук Караџић, Црвенка; Саша Јовановић, ОШ Душан Радовић, Бор; Тот Габриела, ОШ Мирослав Антић, Палић. 45

ШАЉИВА СТРАНА На часу музичког Херцигоња је компоновао оперу о Ери с оног света, коме је и Бетовен посветио своју Оперу Ероику. Из рубрике Писма читалаца Питање: Школа ми слабо иде од руке. Шта да радим? Одговор: Гледајте да је реформишете. Питања из разних предмета Како би текао развој механике да је Њутну уместо јабуке на главу пала лубеница? Ко је открио Омов Закон? Коме је упућено Вуково Писмо књазу Милошу? О родама Перица пита маму: Како сам се ја родио у јануару кад роде зими живе у Африци? Још једно Перичино питање: А како слончићи долазе на свет? Нећеш ваљда рећи да и њих доносе роде? На часу ђаци прваци причају учитељици о својим подвизима. Перица каже: Ја сам убио пет мува, две мушке и три женске. А како знаш које су мушке, а које женске? Две су биле на пивској флаши, а три на огледалу. Изјаве ученика Удара главом о зид ко мува без главе. Он је успешан кретен јер није школом ометен. Перица препричава књигу коју је читао: На бојном пољу разлегали су се крици лешева. 46

ЕНИГМАТСКА СТРАНА Задаци 1. Која је реч сувишна у скупу речи: ВРАНА, ГЛАВА, РАПАВ, ПРЕЗИМЕНА, ПЛУС? 2. Распореди заграде на левој страни једнакости 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 = 7 тако да она буде тачна. 3. У низу 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 збирови парова суседних бројева су редом 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и чланови тог низа расту за 2 у односу на претходни. Распореди цифре од 1 до 9 тако да у низу збирова чланови расту за 1 у односу на претходни. Решење задатака из претходног броја 1. Из услова задатка следи да је Илија кренуо из Бара крајем месеца и стигао у Суботицу почетком следећег. Није могао стићи првог дана у месецу, јер је број седишта мањи од броја вагона, тј. датума повратка. Дакле, дан повратка је 2. дан у месецу, а број седишта 1. 2. ТРОУГАО, јер је то једина именица мушког рода. 3. Треба да укључишш један прекидач, сачекаш неко време, искључиш га, а затим укључиш други прекидач. Затим улазиш у собу. Сијалица која светли одговара другом прекидачу. Од преостале две, она која је хладна одговара трећем прекидачу, а она топла првом. 47

УПУТСТВО ЗА РЕШАВАОЦЕ Решења можете слати на два начина: Елекронском поштом на адресу: matematickilist@yahoo.com Откуцана решења (Word 2003 или LaTex) морају сaдржати образложење и прецизно нацртане слике. У поруци обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика слати у одвојеним порукама којима у Subject-у стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр. 2143. На пример: To: matematickilist@yahoo.com Subject: Конкурсни задатак бр. 2143 Име и презиме, одељење, школа, адреса школе, место, кућна адреса, поштански број, место. Као и до сада стандардном поштом. Решења писати читко, сваки задатак на посебном листу уз обавезно образложење и прецизно нацртане слике. На сваком листу обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика стављати у засебне коверте на којима стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр. 2143. На пример: Математички лист Задатак са насловне стране Кнез Михаилова 35/IV, п.п. 355 11000 Београд Решења која не испуњавају наведене услове неће се узимати у обзир. Решења задатака из овог броја послати најкасније до 15. 04. 2014. ВАЖНО ОБАВЕШТЕЊЕ ЗА ТАКМИЧАРЕ И ЊИХОВЕ НАСТАВНИКЕ Друштво математичара Србије, односно Комисија за тамичење из математике ученика основних школа, у припреми задатака за такмичења користи задатке из Математичког листа текуће, као и две претходне школске године (у обзир долазе сви задаци, дакле из чланака, припремни, одабрани, конкурсни, наградни, као и задаци са такмичења), и то по принципу: најмање 3 задатка за школски, најмање 2 задатка за општински и најмање 1 задатак за окружни ниво такмичења. У тим задацима неки од података могу бити промењени. 48