Sólido deformable: cables

Sólido deformable: cables Mariano Vázquez Espí Madrid (España), 15 de marzo de 2017.

Robert Hooke (1635 1703) Físico, astrónomo y naturalista Entre otras cosas, introdujo el concepto de célula y analizó la anatomía de los insectos. Thomas Young (1773 1829) Físico y médico Entre otras cosas, introdujo el concepto moderno de energía y contribuyó a descifrar la escritura jeroglífica egipcia. Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 1 / 104

L Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 2 / 104

L L P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 3 / 104

L L L P 2P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 4 / 104

L L L P L 2P 3P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 5 / 104

L L L P L 2P L 3P 4P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 6 / 104

L L L P L 2P L 3P L 4P 5P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 7 / 104

L L L P L 2P L 3P L 4P 5P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 8 / 104

P p P p L L L P 0 L 0 L 0 +δ p L L 2P L 3P L 4P 5P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 9 / 104

P p P P = k δ 1 p L k L L P 0 L 0 L 0 +δ p 0 δ p L δ L 2P L 3P L 4P 5P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 10 / 104

P p P P = k δ 1 p L k L L P 0 L 0 L 0 +δ p 0 δ p L δ L 2P L 3P L 4P el muelle se estrecha! 5P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 11 / 104

c Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 12 / 104

c Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 13 / 104

L 0 = 90 cm, δ u > 90 cm Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 14 / 104

c Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 15 / 104

P 0 < P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 16 / 104

P 0 < P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 17 / 104

P 0 < P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 18 / 104

P 0 < P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 19 / 104

P 0 < P e P 1 > P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 20 / 104

P 0 < P e P 1 > P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 21 / 104

P 0 < P e P 1 > P e P 1 > P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 22 / 104

P 0 < P e P 1 > P e P 1 > P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 23 / 104

P P e p e p P 0 < P e 0 δ e δ P 1 > P e P 1 > P e P 1 > P e Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 24 / 104

A,L Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 25 / 104

A,L P u Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 26 / 104

A,L P u Ensayo de cinta de papel ancho de la cinta: 15mm Valores en la rotura ensayo 1 2 3 P/2 (N) 55,7 56,3 44,9 σ(n/mm) 3,71 3,75 2,99 f u 2, 99 N/mm (100 % de confianza) Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 27 / 104

A,L P u Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 28 / 104

A,L P u? Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 29 / 104

A,L P u 2P u Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 30 / 104

A,L P u 2P u cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 31 / 104

A,L N 2 N N 2 N P < P u 2P < 2P u cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 32 / 104

Tensión ( ) σ = N en este caso P A,L N A A 2 N Fuerza por unidad de área de la sección de la barra. N/m 2 (un pascal ), N 2 NN/mm 2, kn/mm 2, etc. P < P u cte: P u A = 2P u 2A = 2P < 2P u Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 33 / 104

Tensión ( ) σ = N en este caso P A,L N A A 2 N Fuerza por unidad de área de la sección de la barra. N/m 2 (un pascal ), N 2 NN/mm 2, kn/mm 2, etc. Equilibrio: N = σ(x, y) da P < P u σ = σ(x, y) da 2P < 2P u da = N A cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 34 / 104

Tensión ( ) σ = N en este caso P A,L σ N A A 2 N Fuerza A = por πd 2 /4 unidad de área de la sección de la barra. N/m 2 (un pascal ), N 2 NN/mm 2, kn/mm 2, etc. d σ max = Equilibrio: σ σ min = σ max = 2 σ σ max = 3 σ σ max 3,94 σ N = σ(x, y) da P < P u σ = σ(x, y) da 2P < 2P u da = N A cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 35 / 104

A,L N 2 N N 2 N P < P u 2P < 2P u cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 36 / 104

A,L N 2 N L A,L N 2 N P < P u 2P < 2P u cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 37 / 104

A,L N 2 N L A,L N 2 N δ P P < P u 2P < 2P u cte: P u A = 2P u 2A = Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 38 / 104

A,L N 2 N L A,L N 2 N δ P 2L P < P u cte: P u A = 2P u 2A = 2P < 2P u? P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 39 / 104

A,L N 2 N L A,L L N 2 N δ P δ P < P u L 2P < 2P u cte: P u A = 2P u 2A = δ P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 40 / 104

A,L N 2 N L A,L N 2 N δ P 2L P < P u 2P < 2P u cte: P u A = 2P u 2A = 2δ P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 41 / 104

A,L N 2 N L A,L N 2 N δ P 2L P < P u 2P < 2P u cte: δ L = 2δ 2L = cte: P u A = 2P u 2A = 2δ P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 42 / 104

Deformación ε = δ A,L L L A,L N Alargamiento por unidad 2 Nde longitud de la barra. Sin dimensiones (tanto por uno) o en: mm/m, % (cm/m), N etc. 2 N δ 2L P P < P u 2P < 2P u cte: δ L = 2δ 2L = cte: P u A = 2P u 2A = 2δ P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 43 / 104

Deformación ε = δ A,L L L A,L N Alargamiento por unidad 2 Nde longitud de la barra. Sin dimensiones (tanto por uno) o en: mm/m, % (cm/m), N etc. 2 N δ 2L Compatibilidad: P δ = ε(z) dz P < P u cte: δ L = 2δ 2L = 2P L ε(z) < 2Pdz ε = u = δ cte: P u A = 2P u 2A = L dz L 2δ P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 44 / 104

Deformación ε = δ A,L L L A,L N Alargamiento por unidad 2 Nde longitud de la barra. Sin dimensiones (tanto por uno) o en: mm/m, % (cm/m), N etc. 2 N δ 2L Compatibilidad: P δ = ε(z) dz P < P u cte: δ L = 2δ 2L = 2P L ε(z) < 2Pdz ε = u = δ cte: P u A = 2P u 2A = L dz L 2δ P video: http://www.aq.upm.es/departamentos/estructuras/e96-290/doc/ Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 45 / 104

c Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 46 / 104

c Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 47 / 104

Marco Polo describe un puente piedra a piedra. Pero cual es la piedra que sostiene el puente? pregunta Kublai Kan. El puente no está sostenido por esta o aquella piedra, responde Marco sino por la línea del arco que forman. Kublai Kan queda silencioso, reflexionando. De repente, dice: Por qué me hablas entonces de las piedras? Es sólo el arco lo que me importa. Polo responde: Sin piedras no habría arco. Italo Calvino c Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 48 / 104

Piezas traccionadas Comportamiento del material Ley de Hooke: P = Kδ si P < P p ; en otro caso: Plasticidad perfecta : P = P u si δ e < δ < δ u Mientras no se produzca la rotura: Equilibrio: N = P (en el caso de cables verticales) y σ = N A (es decir que N = σa) Compatibilidad: δ = εl (y también ε = δ L ) En el periodo proporcional: K = N δ = σa εl = EA L E = σ ε Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 49 / 104

Modelo elasto-plástico perfecto de los materiales Eε si ε ε e σ(ε)= f u si ε e <ε ε u 0 si ε u <ε Tensión segura: f = f u γ f e =f u f O σ ε f e p E 1 ε e γ 1 1 γ u ε u ε ε p = ε u ε e ductilidad Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 50 / 104

Características importantes de los materiales para las estructuras de los edificios: Ductilidad: cuanto mayor deformación antes de la rotura, mejor! (cuanto menor, mayor margen de seguridad γ habrá que adoptar) Fiabilidad (cuanto menor, mayor margen de seguridad γ habrá que adoptar) Costes físicos específicos: costes físicos C: energía fósil incorporada (embodied energy), emisiones contaminantes, etc, por unidad de cada propiedad mecánica de interés (rigidez E, tensión segura, f, etc). Cuánto menor, mejor! { C E, C } f,... Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 51 / 104

Modelo cable En el estado proporcional, sin superar el límite elástico : ε = δ L ; σ = Eε; N = σa; si ε ε e. K cable = N δ = σa εl = EA L N(ε) = En general: 0 si ε < 0 acortamiento Kδ si 0 ε ε e e. proporcional f u A si ε e ε ε u e. plástico 0 si ε u < ε rotura Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 52 / 104

Cable con peso propio L A ρ f u,e,ε u Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 53 / 104 c

Cable con peso propio Q + ρal L A ρ f u,e,ε u P = ρal Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 54 / 104

Cable con peso propio Q + ρal Q + ρal L A ρ f u,e,ε u P = ρal z P = ρaz N = Q+ρA(L z) Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 55 / 104

Cable con peso propio Q + ρal Q + ρal σ max = σ min + ρl σ L A ρ f u,e,ε u P = ρal z P = ρaz N = Q+ρA(L z) σ(z) = N(z) A Q Q σ min = Q A Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 56 / 104

Resistencia L A ρ f u,e,ε u N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 57 / 104

Resistencia máx N(z) = Q + ρal z L A ρ f u,e,ε u N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 58 / 104

Resistencia máx N(z) = Q + ρal z Af u > γ (Q + ρal) L A ρ f u,e,ε u N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 59 / 104

Resistencia máx N(z) = Q + ρal z Af u > γ (Q + ρal) L A ρ f u,e,ε u A(f u γρl) > γ Q N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 60 / 104

Resistencia máx N(z) = Q + ρal z Af u > γ (Q + ρal) L A ρ f u,e,ε u A(f u γρl) > γ Q N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) A > Q f u γ ρl Q Q Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 61 / 104

Resistencia máx N(z) = Q + ρal z Af u > γ (Q + ρal) L A ρ f u,e,ε u A(f u γρl) > γ Q N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) A > Q f u γ ρl Q Q A > Q f ρl Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 62 / 104

Resistencia máx N(z) = Q + ρal z Af u > γ (Q + ρal) L A ρ f u,e,ε u A(f u γρl) > γ Q N(z) = Q+ρA(L z) L z P = ρa(l z) A > Q f u γ ρl Q Q A > Q f ρl L A = f ρ Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 63 / 104

Rigidez ε max = ε min + ρl E ε L A ρ f u,e,ε u δ =v Q ε min = Q EA Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 64 / 104

Rigidez δ = ε dz ε max = ε min + ρl L E ε L A ρ f u,e,ε u δ =v Q ε min = Q EA Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 65 / 104

Rigidez δ = ε dz ε max = ε min + ρl L E ε δ = 1 2 (ε min + ε max )L L A ρ f u,e,ε u δ =v Q ε min = Q EA Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 66 / 104

Rigidez δ = ε dz ε max = ε min + ρl L E ε δ = 1 2 (ε min + ε max )L L A ρ f u,e,ε u δ = 1 E (Q A + ρl 2 )L δ =v Q ε min = Q EA Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 67 / 104

Rigidez δ = ε dz ε max = ε min + ρl L E ε δ = 1 2 (ε min + ε max )L L A ρ f u,e,ε u δ = 1 E (Q A + ρl 2 )L v = δ v tol δ =v Q ε min = Q EA Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 68 / 104

Rigidez δ = ε dz ε max = ε min + ρl L E ε δ = 1 2 (ε min + ε max )L L A ρ f u,e,ε u δ = 1 E (Q A + ρl 2 )L v = δ v tol δ =v Q ε min = Q EA A Q E v tol L ρl 2 Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 69 / 104

Rigidez δ = ε dz ε max = ε min + ρl L E ε δ = 1 2 (ε min + ε max )L L A ρ f u,e,ε u δ = 1 E (Q A + ρl 2 )L v = δ v tol δ =v Q ε min = Q EA A L 2 E ρ Q E v tol L ρl 2 ( v L) Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 70 / 104 tol

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 71 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L σ t = Q A ε t = σ t E δ = ε t L Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 72 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L σ t = Q A ε t = σ t E δ = ε t L Resistencia El colapso no debe producirse ni siquiera para una carga mayor que la característica: γq con γ > 1. N u = Af u γq Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 73 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L Resistencia σ t = Q A N u = Af u γq ε t = σ t E δ = ε t L Diseño: A γq f u = Q f Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 74 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L Resistencia σ t = Q A N u = Af u γq ε t = σ t E δ = ε t L Diseño: A γq f u = Q f Peritaje: γq A f u σ t = Q A f u γ = f Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 75 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L σ t = Q A ε t = σ t E δ = ε t L Resistencia N u = Af u γq Diseño: A γq f u = Q f Rigidez Bajo la carga característica, el movimiento debe ser menor que un valor tolerable: v v tol. v = δ v tol Peritaje: γq A f u σ t = Q A f u γ = f Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 76 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L Resistencia σ t = Q A N u = Af u γq ε t = σ t E δ = ε t L Rigidez v = δ v tol Diseño: Peritaje: A γq f u = Q f γq A f u σ t = Q A f u γ = f Diseño: A Q E v tol L Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 77 / 104

Cuando el peso propio es despreciable (L pequeña) N Q v =δ Q EA L Resistencia σ t = Q A N u = Af u γq ε t = σ t E δ = ε t L Rigidez v = δ v tol Diseño: Peritaje: A γq f u = Q f γq A f u σ t = Q A f u γ = f Diseño: A Q Peritaje: ε t v tol L σ t σ tol E v tol L = ε tol Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 78 / 104

Modelo cable V = F H = 0 N = F F F Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 79 / 104

Estructura de cables y sólidos indeformables Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 80 / 104

Estructura de cables y sólidos indeformables Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 81 / 104

Estructura de cables y sólidos indeformables (u, v) θ Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 82 / 104

Estructura de cables y sólidos indeformables (u, v) θ 3 ecuaciones de equilibrio 3 esfuerzos desconocidos 3 movimientos desconocidos Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 83 / 104

«Hipótesis de desplazamientos pequeños» El requisito de rigidez impone que los movimientos sean mucho más pequeños que el tamaño T o la proporción P : u T v T tan θ P Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 84 / 104

«Hipótesis de desplazamientos pequeños» El requisito de rigidez impone que los movimientos sean mucho más pequeños que el tamaño T o la proporción P : u T v T tan θ P C Si θ 0, puede sustituirse el arco por la tangente. cos(θ) 1 BC 0 AB AC DB DC Con θ en radianes: θ sin(θ) tan(θ). D θ B A Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 85 / 104

Tabla indeformable suspendida acero corriente: E = 210 kn/mm 2 f u = 260 N/mm 2 ε u = 10 mm/m Barras de 20 mm de diámetro; A = 314 mm 2 3 m A C B 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 86 / 104

Tabla indeformable suspendida acero corriente: E = 210 kn/mm 2 f u = 260 N/mm 2 ε u = 10 mm/m Barras de 20 mm de diámetro; A = 314 mm 2 3 m Es la sustentación suficiente? A C B 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 87 / 104

Tabla indeformable suspendida acero corriente: E = 210 kn/mm 2 f u = 260 N/mm 2 ε u = 10 mm/m Barras de 20 mm de diámetro; A = 314 mm 2 3 m Es la sustentación suficiente? A C B Es la estructura suficiente? Es isostática? 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 88 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 M B = 0 3 m A C B 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 89 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 M B = 0 P 2 m N b 5 m = 0 P 3 m + N a 5 m = 0 3 m A C B 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 90 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 M B = 0 P 2 m N b 5 m = 0 P 3 m + N a 5 m = 0 N b = 2 5 P 3 m N a = 3 5 P A C B 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 91 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 M B = 0 P 2 m N b 5 m = 0 P 3 m + N a 5 m = 0 N b = 2 5 P 3 m N a = 3 5 P A C B N a = 30 kn N b = 20 kn 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 92 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b 3 m σ = N A ε = σ E : 95,5 63,7 N/mm2 : 0,45 0,30 mm/m A C B δ = L ε: 1,36 0,91 mm 50 kn 2 m 3 m Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 93 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b σ = N A : 95,5 63,7 N/mm2 ε = σ : 0,45 0,30 mm/m E δ = L ε: 1,36 0,91 mm A 1,36 mm 0,91 mm C B 50 kn Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 94 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b σ = N A : 95,5 63,7 N/mm2 ε = σ : 0,45 0,30 mm/m E δ = L ε: 1,36 0,91 mm A 1,36 mm 0,91 mm θ C B 50 kn Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 95 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b σ = N A : 95,5 63,7 N/mm2 ε = σ : 0,45 0,30 mm/m E δ = L ε: 1,36 0,91 mm 1,36 mm 0,91 mm θ 5 m A 1,36 mm 0,91 mm θ C 50 kn B θ 0,09 mrad Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 96 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b σ = N A : 95,5 63,7 N/mm2 ε = σ : 0,45 0,30 mm/m E δ = L ε: 1,36 0,91 mm A 1,36 mm 0,91 mm θ C B θ 0,09 mrad δ c = δ b θ 3 m 50 kn Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 97 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b σ = N A : 95,5 63,7 N/mm2 ε = σ : 0,45 0,30 mm/m E δ = L ε: 1,36 0,91 mm A 1,36 mm 0,91 mm θ C B θ 0,09 mrad 50 kn λ e = 260 95,5 = 2,72 Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 98 / 104

Tabla indeformable suspendida M A = 0 N a = 30 kn M B = 0 N b = 20 kn cable : a b σ = N A : 95,5 63,7 N/mm2 ε = σ : 0,45 0,30 mm/m E δ = L ε: 1,36 0,91 mm θ 0,09 mrad λ e = 260 95,5 = 2,72 A 1,36 mm 0,91 mm θ C 50 kn 0,91 mm 2,72 0,24 mrad B 1,36 mm 2,72 P e =50 kn 2,72=136 kn Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 99 / 104

Tabla indeformable suspendida P e = 136 kn cable : a b N : 81,6 54,4 kn σ = N A ε = σ E : 260 173 N/mm2 : 1,24 0,82 mm/m δ = L ε: 3,70 2,48 mm A 1,36 mm 0,91 mm θ C B 50 kn 0,91 mm 2,72 0,24 mrad 1,36 mm 2,72 P e =50 kn 2,72=136 kn Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 100 / 104

Tabla indeformable suspendida P e = 136 kn cable : a b N : 81,6 54,4 kn σ = N A ε = σ E : 260 173 N/mm2 : 1,24 0,82 mm/m δ = L ε: 3,70 2,48 mm Rotura del cable a δ a = 10 mm/m 3 m = 30 mm δ b = 2,48 mm! 30 mm 2,48 mm θ u = 5 m = 5,5 mrad A 1,36 mm 0,91 mm θ C 50 kn 0,91 mm 2,72 0,24 mrad B 1,36 mm 2,72 P e =50 kn 2,72=136 kn Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 101 / 104

Tabla indeformable suspendida 1,36 mm 0,91 mm P e = 136 kn cable : a b N : 81,6 54,4 kn A θ C 50 kn 0,91 mm 2,72 B σ = N A ε = σ E : 260 173 N/mm2 : 1,24 0,82 mm/m 0,24 mrad δ = L ε: 3,70 2,48 mm 1,36 mm 2,72 P e =50 kn 2,72=136 kn Rotura del cable a δ a = 10 mm/m 3 m = 30 mm δ b = 2,48 mm! 30 mm 2,48 mm θ u = 5 m = 5,5 mrad Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 102 / 104

Tabla indeformable suspendida 1,36 mm 0,91 mm P e = 136 kn cable : a b N : 81,6 54,4 kn A θ C 50 kn 0,91 mm 2,72 B σ = N A ε = σ E : 260 173 N/mm2 : 1,24 0,82 mm/m 0,24 mrad δ = L ε: 3,70 2,48 mm 1,36 mm 2,72 P e =50 kn 2,72=136 kn Rotura del cable a δ a = 10 mm/m 3 m = 30 mm δ b = 2,48 mm! 30 mm 2,48 mm θ u = 5 m = 5,5 mrad 136 P ( kn) e u 50 θ ( mm/m) 0,24 5,5 Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 103 / 104

Sólido deformable: cables Mariano Vázquez Espí GIAU+S (UPM) Grupo de Investigacion en Arquitectura, Urbanismo y Sostenibilidad Universidad Politécnica de Madrid http://habitat.aq.upm.es/gi Edicion del 15 de marzo de 2017 compuesto con free software: GNULinux/L A TEX/dvips/ps2pdf Vázquez Espí, 2017

Si no se lo creen... F F L = L = L δ δ δ F 2L 2L F L = L = L 2δ F 2δ F δ δ δ F Vázquez Espí, 2017. <<< >>> Sólido deformable: cables 0 / 104