ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες)

Transcript

1 ΘΕΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας χωρίζεται στα τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α είναι τριαρθρωτό τόξο. Απομονώνοντας το Α και επιλύοντας το τριαρθρωτό τόξο, βρίσκουμε τις αντιδράσεις των αρθρώσεων #3 και #6. Αυτές τοποθετούνται με την αντίθετη φορά, αλλά με το ίδιο μέτρο, στο φορέα του τμήματος Β. Το φορτίο P 2 καταπονεί το τμήμα Β. ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

2 TMHMA A Επίλυση Τμήματος Α M5 = V6 4= 0 V6 = 60kN F y = 0 V 3 + V = 0 V = 0 V3 = 20 M = 0 V 8 + H = H = H6 = 240kN F x = 0 H H 3 6 = 0 H3 = 240kN kn ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 2

3 TMHMA B Επίλυση Τμήματος Β F x = 0 H = 0 H = 50 M 2 kn = V = V = 0 V = kN 2 2 F N y = 0 V + V = 0 V = 0 V = k ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 3

4 Μόρφωση Διαγραμμάτων Εντατικών Μεγεθών [M] Μέλη (45) και (56): Μέλος (2): q l 8 = q l 8 = = 60kNm q l 8 = = 60 knm [Q] [N] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 4

5 ΘΕΜΑ 2 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητείται η χάραξη των διαγραμμάτων M, Q, N χωρίς απολύτων κανέναν υπολογισμό. (2 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Μόρφωση Διαγραμμάτων Εντατικών Μεγεθών [M] Κόμβος #3: Πρέπει να ισχύει: M 32 + M35 = M34 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 5

6 [Q] [N] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 6

7 ΘΕΜΑ 3 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητείται η οριζόντια μετατόπιση του κόμβου 5 για τη φόρτιση και τις υφιστάμενες θερμοκρασίες. (2 μονάδες) Δίνονται: E = 2 0 kn m I = 80000cm 2 A = 5cm h= 0.50m 5 a = 0 / o C T T0 = 5 o C ΕΠΙΛΥΣΗ:.5 tanφ = φ = tanθ = θ = o o E = 2 0 kn m 8 2, cm I = = m, EI = 60000kNm A = 5cm = 5 0 m, EA = 00000kNm m 2 2 Δ T = T T = = 0 o C εσ εξ δt Tεσ + Tεξ o = T = = C 2 2 dt = T T o εσ = = C ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 7

8 Κόμβος #6: F y = 0 S 6 sin φ 80= 0 S6 = kn F = 0 S S cosφ = 0 x 2 6 S2 = 60kN Κόμβος #4: F = y 0 S 4 = 0 F x = 0 S S = 2 S = 60 kn Κόμβος #5: F = 0 S sinθ + S cosφ = S cosφ x S sinθ + S cosφ = 60 () Fy = 0 S cosθ + S sinφ = S sinφ S cos θ S sin φ = 80 (2) Η λύση του συστήματος εξισώσεων () και (2) είναι: S3 0 και S5 = 78.89kN F x = H = 0 H 20 = kn F y = 0 V 80= 0 V = 80 M kn = 0 M = 0 M = 25kNm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 8

9 [Μ] Τμήμα (23): Τμήμα (2): w l 8 = = knm w l 8 = = 60 knm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 9

10 Κόμβος #6: F = y 0 S 6 = 0 F = x 0 S 2 = 0 Κόμβος #4: F = x 0 S = 0 F = y 0 S 4 = 0 Κόμβος #5: F = x 0 S3sinθ + S5cosφ = (3) F = y 0 S3cosθ S5sinφ = 0 (4) Η λύση του συστήματος εξισώσεων (3) και (4) είναι: S3 = S 5 = 0.559kN F = y 0 V = 20kN F x = 0 H = ( 0.559cos φ ) 2 H ( ) = kn M = M + + φ = cos 0 M = 5.5kNm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 0

11 [ M ] [N ] M ΔT S + R Δ = M dx + Ma dx + Na Tdx + S l + S a dtl δ5 i 6 6 i i T T i i EI h δ i= EiAi i= i T i ( 65) (.5) 2 ( 855) (.5 5.5) ( 25) ( 5.5) 4 M M dx = = EI EI + (.5) ( ) = { } = = EI ΔT MaT dx = 0, αφού Δ = 0 o 5 5 T C, NaTδTdx = ( 0.25) = h 6 Si 3 Si li = , αφού EA i= i i i l i S i S i Si Si SSl ( EA ) i i i i i i= i T i ( ) Sa dtl = = Άρα, δ = δ 5 = m= 8.37cm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

12 ΘΕΜΑ 4 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος και για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου από 2 έως 5 ζητείται η χάραξη των γραμμών επιρροής: ) της ροπής κάμψεως στη διατομή α της πακτώσεως. 2) της ροπής κάμψεως στη διατομή β (μέσο του 2-3) 3) της τέμνουσας στη διατομή β (μέσο του 2-3) Να υπολογισθούν οι ακραίες τιμές της ροπής κάμψεως στη διατομή α για φορτίο p = 20kN m απεριορίστου μήκους. ΕΠΙΛΥΣΗ: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 2

13 Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #2: Κινητό φορτίο P= στο β: M = 0 V = 0 δεξ 3 4 Mα = y = 0 V = 0 M β = x = 0 H = 0 Qβ = 0 M 0 F F M = = δεξ M3 = 0 V4 = 0 Mα = 3 Fy = 0 V = αριστ Qβ = 0 Fx = 0 H = 0 δεξ Qβ = M = 0 M = 3 Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #3: Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #4: M δεξ 3 4 Mα = y = 0 V = M β = x = 0 H = 0 Qβ = 0 M 6 F F M = 0 V = 0 = = 6 3 Fx = 0 H = 0 Mα = 0 M = 0 M = 0 M β = 0 M = = Q = 0 αριστ 3 0 V 0 Fy = 0 V4 = β Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #5: M = 0 0 V 6 = 0 V = 0 6 =.67 δεξ Mα = x = 0 H = 0 M β = y = = = 0.67 Qβ = F F V V V M = M = M = [Μ] [Q] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 3

14 Έστω [N] l το μήκος στο οποίο ασκείται το φορτίο, τότε V+ V4 = 20l. Από τη γραμμή επιρροής της M α διαπιστώνεται ότι αυτή μεγιστοποιήθηκε, όταν η Συνεπώς, η μέγιστη l = 4m. V 4 έγινε αρνητική. προκύπτει για μέγιστη καταπόνηση του τμήματος 4-5, δηλαδή για ( ) M δεξ = 0 6 V = 0 V = 06.67kN V + V = 20l V = 20l V = = 26.67kN 4 4 M αριστ = 0 M = 0 M = 60.02kNm 3 Ομοίως σκεπτόμενοι, η ελάχιστη τιμή της M α στη γραμμή επιρροής προκύπτει, όταν το μοναδιαίο φορτίο δεν έχει μοχλοβραχίονα για να μειώσει τη M (σημείο 3) κατά M 3 = 0. Εδώ l = 2m. M δεξ = 0 6 V = 0 V = 60kN F = 0 V + V = 20l = 240 V = 80kN y 4 M αριστ = 0 M = 0 M = 080kNm 3 Επομένως, max Mα = 60.02kNm και min M = 080 knm α V ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 4