Συναρτήσεις. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β γράφουμε f Α Β και χ f (χ)

Συναρτήσεις Ορισμός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία σε κάθε στοιχείο χ του συνόλου Α αντιστοιχίζεται ένα και μόνο στοιχείο ψ του συνόλου Β. Η μεταβλητή χ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή γιατί δεν εξαρτάται από πουθενά παρά μόνο από την αυθαίρετη επιλογή μας (η οποία συνήθως γίνεται στην τύχη). Η μεταβλητή ψ λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή γιατί η τιμή της εξαρτάται από την επιλογή της αντίστοιχης τιμής χ. Συμβολισμός Μια συνάρτηση συμβολίζεται συνήθως με ένα λατινικό γράμμα όπως f, g, h, F. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f τότε πολλές φορές τη μεταβλητή ψ τη συμβολίζουμε και f (χ) δηλώνοντας έτσι την εξάρτησή της από το χ. Στο εξής το f (χ) και το ψ θα είναι το ίδιο πράγμα.. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β γράφουμε f Α Β και χ f (χ) Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού. Το σύνολο Β λέγεται σύνολο αφίξεως. Το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Β τα οποία αποτελούν και τιμή της συνάρτησης f συμβολίζεται με f (Α) και λέγεται σύνολο τιμών. f (Α) = ψ Β / υπάρχει χ Α με f (χ) = ψ και f(α) Β Παρατήρηση Στον ορισμό της συνάρτησης έχουμε τονίσει δύο φράσεις. Η φράση σε κάθε τιμή της μεταβλητής χ σημαίνεί ότι αν η μεταβλητή χ μπορεί να πάρει 10 τιμές τότε η συνάρτηση πρέπει να τις πάρει και τις 10 και να τις αντιστοιχήσει. Δεν μπορεί λοιπόν μια διαδικασία για να είναι συνάρτηση να αφήσει μια τιμή του χ χωρίς να την αντιστοιχίσει. Η φράση σε μία και μόνο τιμή της μεταβλητής ψ σημαίνει ότι το κάθε χ η συνάρτηση πρέπει να το αντιστοιχήσει σε ένα μόνο ψ. Δεν μπορεί λοιπόν μια διαδικασία για να είναι συνάρτηση να πάρει ένα χ και να το αντιστοιχήσει σε δύο διαφορετικά ψ. Αν παραβιάζεται ένας από τους δύο αυτούς κανόνες τότε δεν είναι συνάρτηση παρά μόνο μια απλή διαδικασία αντιστοίχησης. Μια συνάρτηση όμως μπορεί να πάρει δύο διαφορετικά χ και να τα αντιστοιχήσει στο ίδιο ψ, όπως επίσης μπορεί να περισσέψουν κάποιες τιμές του ψ οι οποίες δεν έχουν αντιστοιχηθεί από κάποια χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

Σχηματικά τα παραπάνω έχουν ως εξής Τύπος συνάρτησης Ένα από τα στοιχεία που πρέπει να ξέρουμε για μια συνάρτηση είναι να γνωρίζουμε σε ποιο ψ αντιστοιχίζεται το κάθε χ, δηλαδή να γνωρίζουμε το f (χ) για κάθε χ. Αυτή η πληροφορία μπορεί να δοθεί με διάφορους τρόπους. Ένας από αυτούς είναι να ξέρουμε τον τύπο της δηλαδή την ισότητα που την περιγράφει.έτσι για παράδειγμα η ισότητα ψ=3χ είναι ο τύπος της συνάρτησης που παίρνει μια τιμή και την τριπλασιάζει.λέμε λοιπόν ότι έχουμε τη συνάρτηση f με τύπο ψ = f (χ) =3χ ή πιο απλά ότι έχουμε τη συνάρτηση f (χ) =3χ. Συντομογραφία συνάρτησης Για να οριστεί πλήρως μια συνάρτηση πρέπει να ξέρουμε 1) το πεδίο ορισμού Α, ) το σύνολο αφίξεως Β, 3) το f (χ) για κάθε χ Εμείς θα ασχοληθούμε με πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής δηλαδή με συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει Α και Β. Αν δεν μας δίνεται το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, τότε για τέτοιο θεωρούμε το ευρύτερο από τα υποσύνολα του στα οποία το (χ) έχει νόημα Αν δεν μας δίνεται το σύνολο αφίξεως της, τότε για τέτοιο θεωρούμε το. Ισότητα συναρτήσεων Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ισχύει f (χ) = g (χ) για κάθε χ Α. Σε μια τέτοια περίπτωση γράφουμε f = g Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

Παραδείγματα 1) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 1. Να βρείτε τα f (0), f (1), f (-1), f (), f (α+1), f (α) Όταν δίνεται ο τύπος μιας συνάρτησης και μας ζητούν να βρούμε το f (1) τότε πάμε στον τύπο της συνάρτησης και βάζουμε όπου χ το 1. Γενικά f ( κάτι ) σημαίνει όπου χ το κάτι. f (0) = 0 0 1 0 0 1 1 f (1) = 1 11 1 1 f (-1) = ( 1) ( 1) 1 1 1 5 f () = 1 4 4 1 5 f ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 4 1 1 f ( ) ( ) 1 4 4 1 8 4 1 3 ) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) =. α) Να βρείτε για ποια τιμή του χ δεν ορίζεται η συνάρτηση. f (3) 19 f (1) f (0) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α) Επειδή ο τύπος της συνάρτησης περιέχει κλάσμα δεν μπορούμε να δώσουμε όποια τιμή θέλουμε στην μεταβλητή χ, αλλά μόνο αυτές για τις οποίες ο παρονομαστής δεν γίνεται 0.Ο παρονομαστής όμως γίνεται 0 όταν το χ γίνει. Επομένως η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ =. β) Πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα f (3), f (1), f (0) 3 3 9 3 1 3 1 3 Είναι f (3)= 1, f (1)= 5 3 1 1 1 0 3 0 3 3 f (0)= 0 Έτσι η παράσταση γίνεται 3 (1 19) ( 5) ( ) 5 3 4 10 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

3 4 10 3) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) =. Να βρείτε το α αν ισχύει f (α) = 0 Θα αντικαταστήσουμε στον τύπο της συνάρτησης το χ με α και το f (χ) με 0 και θα λύσουμε την εξίσωση που θα προκύψει.τονίζουμε ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ=.είναι 3 4 10 3 4 10 3 4 ( 10 ) 0 0 0 3 4 10 5 6 0 0 5 6 0 ( )( 3) 0 δηλαδή α = - ή α = -3. Επομένως f (-) = f (-3) = 0. Τονίζουμε ότι αυτό γίνεται, δηλαδή και το και το 3 να αντιστοιχίζονται στο 0. 4) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων 1 ) f ( ) 3, ) f ( ) 5, ) f ( ) 1 3 1 1 ) f ( ), ) f ( ), ) f ( ) 1 1 3 3 3 1 1 9 8 9 8 α) Πρέπει 1 0 1 και 3 0 3 3 Συνεπώς Α =,3 1 β) Πρέπει 0 και 5 0 5 5 Συναληθεύοντας βρίσκουμε ότι πρέπει 5. Συνεπώς Α =. Συνεπώς Α =,3. γ) Πρέπει 3 0 3 3 δ) Πρέπει 0 και 1 0 1,5. και 1 0 1 1 3 1 1 Συνεπώς Α= 1,,3. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

ε) Πρέπει 3 1 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 ( 1)( 1)( 1) 0 ( 1) ( 1) 0 1 1 Συνεπώς Α = 1,1. στ) Πρέπει 1 0 1 1 και και και και 9 0 9 3 3 3 8 0 8 9 0 το οποίο ισχύει πάντα 3 3 8 0 8 Συνεπώς Α= 1,, 3. 5) Ορίζεται συνάρτηση με τύπο f ( ) 3 5 Για να ορίζεται μια τέτοια συνάρτηση πρέπει 3 0 3 και 5 0 5 Επομένως δεν ορίζεται τέτοια συνάρτηση. 3, 4 6) Δίνεται ο τύπος f ( ), α) Να βρείτε τα α και δ ώστε ο παραπάνω τύπος να είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. β) Να βρείτε τα β και γ αν f ( 1) f (1). γ) Να βρείτε τα f (3), f (3 4 3), f ( ). α) Για να έχει πεδίο ορισμού το πρέπει 4 4. 3, 0 Ο τύπος γίνεται f ( ), 0 Παρατηρούμε ότι ο τύπος αυτός δίνει για χ = 0 δύο τιμές. Για να είναι συνάρτηση πρέπει η τιμή χ = 0 να αντιστοιχίζεται σε ένα f (χ). Πρέπει λοιπόν 0 3 0 3 Άρα πρέπει α = και δ = 3. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

3, 0 Ο τύπος γίνεται f ( ) 3, 0 β) f ( 1) ( 1) 3 3 1 1 f (1) 3 1 3 1 1 Άρα β = γ =1 3, 0 Ο τύπος γίνεται f ( ) 3, 0 γ) Για χ = 3 έχουμε Για χ = f (3) 3 3 3 9 6 3 43 9 1 3 έχουμε f ( 3) 3 3 0 Για 1, 41 έχουμε f ( ) 3 ( ) 3 1 7) Εξετάστε αν ο τύπος f ( ) εκφράζει συνάρτηση. Για να είναι συνάρτηση πρέπει για κάθε χ να έχουμε ένα ακριβώς f (χ). Στο συγκεκριμένο τύπο για χ = 0 έχουμε f (0) 0 f (0) f (0) Βλέπουμε λοιπόν ότι για χ = 0 έχουμε δύο f (0) και επομένως δεν είναι συνάρτηση. 8) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = χ 1 Να βρείτε τα α) f (f (f (χ))) και β) f (f (f (0))) α) Είναι f ( f ( )) f ( ) 1 11 και f (f (f (χ))) = f ( f ( )) 1 1 3 Επομένως f (f (f (χ))) = χ 3. β) Η τελευταία σχέση μας δίνει για χ = 0 f (f (f (0))) = 0 3 = -3. 9) Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες 1 f ( ) και g( ) 1 ( 1)( ) Παρατηρούμε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο. Όμως το πεδίο ορισμού της f είναι το 1 ενώ της g είναι το 1, Επομένως δεν είναι ίσες γιατί δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

10) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) Να λυθεί η εξίσωση f ( 1) f ( 1) 8 β) Να αποδείξετε ότι f ( ) 4 α) Είναι f ( 1) f ( 1) 8 ( 1) ( 1) 8 1 ( 1) 8 1 1 8 4 8 β) Είναι f ( ) 4 ( ) 4 4 4 0 0 ( ) 0 που ισχύει. Συντεταγμένες στο επίπεδο Σύστημα ορθογωνίων αξόνων Θεωρούμε δύο άξονες χ χ και ψ ψ οι οποίοι τέμνονται κάθετα και το σημείο τομής τους είναι η κοινή αρχή τους. Το σχήμα αυτό λέγεται σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Αν επιπλέον επιλέξουμε και στους δύο άξονες την ίδια μονάδα μέτρησης τότε έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Εμείς θα ασχοληθούμε με ορθοκανονικά συστήματα αξόνων, με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να βρούμε την ακριβή θέση ενός σημείου στο επίπεδο. Διατεταγμένο ζεύγος Για να τοποθετήσουμε ένα σημείο πάνω σε έναν άξονα αρκεί η γνώση ενός μόνο αριθμού.για να τοποθετήσουμε όμως ένα σημείο σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, δεν φτάνει να γνωρίζουμε ένα μόνο αριθμό.χρειαζόμαστε δύο αριθμούς (ένα για κάθε άξονα ) ή όπως λέμε ένα ζεύγος αριθμών (χ,ψ). Έχουμε συμφωνήσει ότι όταν έχουμε ένα ζεύγος αριθμών (χ, ψ), ο πρώτος χ να αναφέρεται στον άξονα χ χ και ο δεύτερος ψ στον άξονα ψ ψ.με αυτή τη συμφωνία καθορίζουμε ποιο στοιχείο θα είναι πρώτο και ποιο δεύτερο, για αυτό λέμε ότι έχουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

Τοποθέτηση σημείου σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και ένα σημείο Μ του επιπέδου. Από το Μ φέρνουμε δύο κάθετες, μία στον άξονα χ χ που τον τέμνει στο σημείο που παριστάνεται ένας αριθμός χ και μία στον άξονα ψ ψ που τον τέμνει στο σημείο που παριστάνεται ένας αριθμός ψ. Με αυτόν τον τρόπο αντιστοιχίζουμε στο σημείο Μ δύο αριθμούς,τους χ και ψ ή ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (χ, ψ). Ο αριθμός χ λέγεται τετμημένη του Μ. Ο αριθμός ψ λέγεται τεταγμένη του Μ.Και οι δύο μαζί λέγονται συντεταγμένες του Μ. Αντίστροφα, αν έχουμε ένα σημείο Μ με συντεταγμένες ( α,β ) τότε για να προσδιορίσουμε τη θέση του Μ στο επίπεδο κάνουμε το εξής.βρίσκούμε το σημείο που παριστάνεται ο αριθμός α πάνω στο χ χ και φέρνουμε από το σημείο αυτό κάθετη στο χ χ.βρίσκούμε το σημείο που παριστάνεται ο αριθμός β πάνω στο ψ ψ και φέρνουμε από το σημείο αυτό κάθετη στο ψ ψ.το σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο αυτές κάθετες είναι η θέση του δοσμένου σημείου Μ στο επίπεδο. Παρατήρηση 1)Αν ένα σημείο έχει τετμημένη 0 τότε βρίσκεται πάνω στον άξονα ψ ψ Και αντίστροφα κάθε σημείο που βρίσκεται πάνω στον ψ ψ έχει τετμημένη 0. )Αν ένα σημείο έχει τεταγμένη 0 τότε βρίσκεται πάνω στον άξονα χ χ Και αντίστροφα κάθε σημείο που βρίσκεται πάνω στον χ χ έχει τεταγμένη 0. 3) Η κοινή αρχή των αξόνων έχει συντεταγμένες (0,0). 4) Δοσμένου ενός διατεταγμένου ζεύγους αριθμών (χ,ψ), υπάρχει ένα σημείο του επιπέδου και είναι και το μοναδικό, με συντεταγμένες το συγκεκριμένο ζεύγος. 5) Ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 ορθές γωνίες που κάθε μια λέγεται τεταρτημόριο. Ανάλογα με το πρόσημο των συντεταγμένων του, ένα σημείο βρίσκεται και στο αντίστοιχο τεταρτημόριο. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

Συμμετρικά σημεία Δίνεται σημείο Α(α, β). Το συμμετρικό του Α ως προς χ χ είναι το Α Χ ( α, -β). Το συμμετρικό του Α ως προς ψ ψ είναι το Α Ψ ( -α, β). Το συμμετρικό του Α ως προς Ο είναι το Α ο (-α, -β). Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της 1 ης και 3 ης γωνίας δηλαδή της ευθείας ψ = χ είναι το Α (β, α). Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της ης και 4 ης γωνίας δηλαδή της ευθείας ψ = -χ είναι το Α (-β, -α). Απόσταση σημείων Δίνονται δύο σημεία Α ( χ 1, ψ 1 ) και Β(χ, ψ ). Η απόστασή τους (ΑΒ) δίνεται από τον τύπο Αν ψ 1 = ψ τότε (ΑΒ) = χ -χ 1. Αν χ 1 = χ τότε (ΑΒ) = ψ -ψ 1. ( ) ( ) ( ) 1 1 Παραδείγματα 1) Να τοποθετήσετε σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων τα παρακάτω σημεία Α(1, ) Β(, 1 ) Γ( -1, ) Δ( -1, - ) Ε( 1, -) Ζ( 1,1) Η(-1,-1) Θ( 1,-1) Ι(-1,1) Κ(,0) Λ(0,) Ο(0,0) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων του παρακάτω σχήματος Α(,1) Β(0,4) Γ(-1,) Δ(-,1) Ε(-4,0) Ζ(-3,-) Η(3,0) Θ(,-1) Ι(0,-3) Κ(4,-4) Λ(-,-4) 3) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ με Α(6,5) και Β( 4,) Η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τον τύπο ( ) (6 4) (5 ) 4 9 13 4) Αν Α(3,5), Β(6,), Γ(6,8) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Για να αποδείξω το ζητούμενο πρέπει πρώτα να υπολογίσω τα μήκη την πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 10

( ) (6 3) ( 5) 9 9 18, ( ) (6 3) (8 5) 9 9 18 ( ) 8 6 Αφού (ΑΒ)=(ΑΓ) είναι ισοσκελές. Για να αποδείξω ότι είναι και ορθογώνιο θα πρέπει να ελέγξω αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Επειδή 18 < 6 η ΒΓ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και είναι ΒΓ = 6 =36 και ΑΒ + ΑΓ =18 +18 =36 Ισχύει δηλαδή ότι ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη ΒΓ. Τελικά το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 5) Να βρεθούν τα α και β ώστε το σημείο με συντεταγμένες ( α 1, 3-6β) α) να βρίσκεται πάνω στο χ χ, β) να βρίσκεται πάνω στο ψ ψ γ) να είναι η αρχή των αξόνων α) Για να βρίσκεται πάνω στο χ χ πρέπει να έχει τεταγμένη 0 δηλαδή 3-6β=0 δηλαδή -6β = -3 δηλαδή β = 1 β) Για να βρίσκεται πάνω στο ψ ψ πρέπει να έχει τετμημένη 0 δηλαδή α -1=0 δηλαδή α = 1 δηλαδή α = 1 γ) Για να είναι η αρχή των αξόνων πρέπει οι συντεταγμένες του να είναι 0 δηλαδή α = β = 1 6) Δίνεται ένα σημείο με συντεταγμένες ( α, β ). Τι συμπέρασμα βγάζετε για το σημείο αυτό αν Α) α>0 και β<0 Β) α=0 και β>0 Γ) α<0 και β=0 Δ) α>0 Ε) β 0 ΣΤ) αβ>0 Ζ) αβ<0 Η) αβ=0 Θ) α=3 Ι) β= - Α) βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο Β) βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα Οψ Γ) βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα Οχ Δ) βρίσκεται στο 1 ο ή στο 4 ο τεταρτημόριο ( όχι όμως στον ψ ψ ) Ε) βρίσκεται στο ο ή στο 4 ο τεταρτημόριο ( ενδεχομένως και στον χ χ ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 11

ΣΤ) οι α, β είναι ομόσημοι, δηλαδή ή και οι δύο θετικοί οπότε βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο ή και οι δύο αρνητικοί οπότε βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο Ζ) οι α, β είναι ετερόσημοι, δηλαδή α>0 και β<0 οπότε βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο ή α<0 και β>0 οπότε βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο. Η) κάποιος από τους δύο είναι 0. Αν α=0 βρίσκεται στον ψ ψ. Αν β=0 βρίσκεται στον χ χ Αν α=β=0 είναι η αρχή των αξόνων. Θ) η τετμημένη του 3 δηλαδή βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στον χ χ στο 3 Ι) η τεταγμένη του - δηλαδή βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στον ψ ψ στο. 7) Δίνεται το σημείο Α(-, 3). Να βρείτε το συμμετρικό του Α α) ως προς χ χ β) ως προς ψ ψ γ) ως προς Ο δ) ως προς τη ψ = χ ε ) ως προς τη ψ = -χ α) ως προς χ χ είναι Α χ ( -, -3 ) β) ως προς ψ ψ είναι Α ψ (, 3 ) γ) ως προς Ο είναι Α ο (, -3) δ) ως προς τη ψ = χ Α ( 3, - ) ε ) ως προς τη ψ = -χ Α (-3, ) 8) Να βρεθούν τα α,β ώστε τα σημεία Α( α-, 3) και Β( -1, 4-β) να είναι συμμετρικά α) ως προς χ χ β) ως προς Ο. α) Πρέπει α- = -1 δηλαδή α=1 και 4-β = -3 δηλαδή β=1. β) Πρέπει α- = 1 δηλαδή α=3 και 4-β = -3 δηλαδή β=1. 10) Εξετάστε αν τα σημεία Α(,3 ), Β( 3, 4 ), Γ( 5,6 ) είναι συνευθειακά. Υπολογίζω τις αποστάσεις (ΑΒ), (ΒΓ), (ΑΓ). ( ) (4 3) (3 ) 11 ( ) (5 3) (6 4) 4 4 4 ( ) (5 ) (6 3) 9 9 9 3 Επειδή (ΑΒ) + (ΒΓ) = 3 = (ΑΓ) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και μάλιστα το Β είναι ανάμεσα των Α και Γ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

11) Εξετάστε αν το Β είναι το μέσο του ΑΓ όπου Α(,3 ), Β( 3, 4 ), Γ( 4,5 ). Υπολογίζω τις αποστάσεις (ΑΒ), (ΒΓ), (ΑΓ). ( ) (4 3) (3 ) 11 ( ) (4 3) (5 4) 11 ( ) (4 ) (5 3) 4 4 4 Επειδή (ΑΒ) + (ΒΓ) = 3 = (ΑΓ) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Επειδή είναι και επιπλέον (ΑΒ) = (ΒΓ) συμπεραίνουμε ότι το Β είναι και μέσο του ΑΓ. Παρατήρηση Αν δεν ξέραμε ότι είναι συνευθειακά η ισότητα (ΑΒ) = (ΒΓ) μόνη της δεν σημαίνει ότι το Β είναι μέσο, αλλά ότι το Β ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΓ 1) Να βρεθεί το χ ώστε η απόσταση των σημείων Α( χ, 3 ) και Β( -1, -1 ) να είναι 5 Είναι ( ) ( ( 1)) (3 ( 1)) ( 1) 16 και (ΑΒ) = 5. Συνεπώς έχουμε ( 1) 16 5 ( 1) 16 5 ( 1) 9 1 3 1 3 4 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 13

Πίνακας τιμών συνάρτησης Σε μια συνάρτηση μπορούμε να δίνουμε αυθαίρετα μια τιμή στην μεταβλητή χ και να βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή του ψ.αν το κάνουμε αυτό για μερικές τιμές του χ και τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα που βρίσκουμε σε ένα πίνακα φτιάχνουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση ψ = χ+1. Να φτιάξετε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης αυτής. Δίνουμε αυθαίρετα κάποιες τιμές στο και έχουμε Για χ = 0 έχουμε ψ = 0 1 1 Για χ = 1 έχουμε ψ = 11 1 3 Για χ = -1 έχουμε ψ = ( 1) 1 1 1 Για χ = έχουμε ψ = 1 4 1 5 Για χ = - έχουμε ψ = ( ) 1 4 1 3 Για χ = 3 έχουμε ψ = 31 6 1 7 Για χ = -3 έχουμε ψ = ( 3) 1 6 1 5 χ 0 1-1 - 3-3 ψ 1 3-1 5-3 7-5 Γραφική παράσταση συνάρτησης Είδαμε παραπάνω πως μπορούμε να δίνουμε μια τυχαία τιμή στη μεταβλητή χ και να βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής ψ.με αυτό τον τρόπο μπορούμε να φτιάχνουμε ζευγάρια τιμών (χ,ψ).με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων μπορούμε να παραστήσουμε κάθε ζεύγος τιμών (χ,ψ) με ένα σημείο του επιπέδου.αν αυτό γίνει για όλα τα ζεύγη τιμών (χ, ψ) μιας συνάρτησης τότε το σύνολο των σημείων που βρίσκουμε λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Ανάλογα με την συνάρτηση έχουμε και την αντίστοιχη γραφική παράσταση, η οποία είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα της συνάρτησης αυτής. Δεν υπάρχει δηλαδή άλλη συνάρτηση με την ίδια ακριβώς γραφική παράσταση. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να είναι κάποια σημεία σκόρπια στο επίπεδο, μπορεί όμως και να σχηματίζουν μια ευθεία ή μια καμπύλη. Πρακτικά είναι αδύνατο να τοποθετήσουμε όλα τα ζευγάρια τιμών μιας συνάρτησης πάνω στο επίπεδο, γιατί αυτά είναι πολλά ενδεχομένως και άπειρα. Αυτό που κάνουμε για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, είναι να βρίσκουμε μερικά μόνο σημεία και να μαντεύουμε τη μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση, ενώνοντας τα σημεία αυτά με μια συνεχή γραμμή. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 14

Παράδειγμα Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (χ) =χ+1. Έχουμε φτιάξει παραπάνω ένα πίνακα τιμών της συνάρτησης αυτής. χ 0 1-1 - 3-3 ψ 1 3-1 5-3 7-5 Τοποθετούμε τα ζευγάρια τιμών πάνω σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έπειτα ενώνουμε τα σημεία αυτά με μια συνεχή γραμμή. Ερώτηση 1 η Τι σημαίνει η φράση το σημείο Α(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ή ισοδύναμα η φράση η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α (α, β). Απάντηση Σημαίνει ότι f (α) = β, δηλαδή αν βάλουμε στον τύπο της συνάρτησης όπου χ το α και όπου ψ το β θα έχουμε ισότητα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 15

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 5. Το σημείο Α(α, 3) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Να βρείτε το α. 5 Είναι f (α) = 3 δηλαδή 3 που είναι μια κλασματική εξίσωση ως προς α την οποία θα λύσουμε για να βρούμε το α. Πρέπει και αν κάνουμε χιαστί έχουμε 5 3 5 3( ) 5 3 6 3 6 5 11 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f (χ) =. Να βρείτε το α αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α ( 3,4 ) Είναι f (3) = 4 3 3 4 9 6 4 4 9 6 1 Ερώτηση η Πως θα βρούμε σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τον άξονα ψ ψ. Απάντηση Το σημείο στο οποίο η f τέμνει τον άξονα ψ ψ θα έχει τετμημένη 0 ( αφού θα βρίσκεται πάνω στον ψ ψ ) Θα βάλουμε λοιπόν στον τύπο της συνάρτησης όπου χ το 0 και η τιμή που θα βρούμε θα είναι η τεταγμένη του ζητούμενου σημείου. Επομένως το ζητούμενο σημείο θα έχει συντεταγμένες ( 0, f (0) ). Αν η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ=0 τότε δεν τέμνει πουθενά τον άξονα ψ ψ. Μια γραφική παράσταση δεν μπορεί να τέμνει τον άξονα ψ ψ ( όπως και κάθε άλλη κατακόρυφη γραμμή ) σε παραπάνω από ένα σημεία. Παράδειγμα Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 16

Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνουν οι παρακάτω συναρτήσεις τον άξονα ψ ψ. α) f (χ ) = χ+5 β) f (χ ) = α) Η συνάρτηση ορίζεται για χ=0 και επομένως για χ=0 έχουμε f (0 ) = 0 +5=5 Επομένως το σημείο που τέμνει τον ψ ψ είναι το σημείο με συντεταγμένες ( 0, 5 ) β) Η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ=0 και επομένως δεν τέμνει τον άξονα ψ ψ. Ερώτηση 3 η Πως θα βρούμε σε ποιο τέμνει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f άξονα χ χ. τον Απάντηση Το σημείο στο οποίο η f τέμνει τον άξονα χ χ θα έχει τεταγμένη 0 ( αφού θα βρίσκεται πάνω στον χ χ ) Θα βάλουμε λοιπόν στον τύπο της συνάρτησης όπου ψ το 0 και θα λύσουμε την εξίσωση που θα προκύψει. Οι λύσεις της εξίσωσης εφόσον ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι και οι τετμημένες των ζητούμενων σημείων και οι τεταγμένες τους φυσικά 0.Όσες δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού απορρίπτονται και αν απορρίπτονται όλες, τότε δεν τέμνει τον χχ. Όσο είναι το πλήθος των λύσεων που θα έχει η εξίσωση θα είναι και το πλήθος των σημείων τομής με τον άξονα χ χ ( τώρα σε αντίθεση με πριν μπορεί να έχω και παραπάνω από ένα σημεία,ακόμα και άπειρα). Αν η εξίσωση είναι αδύνατη τότε δεν τέμνει τον άξονα χ χ. Παράδειγμα Να βρεθούν τα σημεία τομής των παρακάτω συναρτήσεων με τον άξονα χ χ. α) f (χ) = 5 6, β) f (χ) = 4 4, β) f (χ) = 9 α) Βάζουμε ψ = f (χ) =0 και έχουμε 5 6 =0 ( )( 3) 0 3 δεκτές αφού Α=R Επομένως τέμνει τον άξονα χ χ σε δύο σημεία με συντεταγμένες (-, 0 ) και (-3, 0 ). β) Βάζουμε ψ = f (χ) =0 και έχουμε 4 4 =0 ( ) 0 δεκτή αφού Α=R. Επομένως τέμνει τον άξονα χ χ σε ένα σημείο με συντεταγμένες (-,0) γ) Βάζουμε ψ = f (χ) =0 και έχουμε 9 0 9 Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη, πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δεν τέμνει τον άξονα χ χ. Ερώτηση 4 η Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 17

Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g. Πως θα βρούμε σε ποιο σημείο τέμνονται οι γραφικές τους παραστάσεις. Απάντηση Το σημείο τομής θα ανήκει στη γραφική παράσταση και των δύο συναρτήσεων. Σύμφωνα λοιπόν με την ερώτηση 1 θα πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου αυτού ( α, β ) να επαληθεύουν και τους δύο τύπους των f, g. Θα πρέπει λοιπόν f (α) = g (α ) = β. Αυτό λοιπόν που κάνουμε για να βρούμε το σημείο τομής είναι να εξισώνουμε τους δύο τύπους δηλαδή να λύνουμε την εξίσωση f (χ ) = g (χ ) Οι λύσεις της εξίσωσης εφόσον ανήκουν στο πεδίο ορισμού και των δύο συναρτήσεων, θα είναι οι τετμημένες των σημείων τομής που μπορεί να είναι παραπάνω από ένα. Για να βρούμε και τις αντίστοιχες τεταγμένες θα αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρήκαμε από την εξίσωση σε μια από τις f, g. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης είναι και το πλήθος των σημείων τομής. Αν η εξίσωση είναι αδύνατη τότε οι γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται. Αν η εξίσωση είναι αόριστη τότε οι δύο γραφικές παραστάσεις ταυτίζονται. Παράδειγμα Δίνονται οι συναρτήσεις f (χ) = χ+3 και g (χ) = 7 9 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεών τους. Θα λύσουμε την εξίσωση g (χ) = f (χ) δηλαδή την εξίσωση 7 9 =χ+3 7 9 3 0 5 6 0 ( )( 3) 0 3 δεκτές αφού f g Επομένως έχουμε δύο σημεία τομής.αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές σε μια από τις δύο (π.χ. στην f που έχει και λιγότερες πράξεις ) και έχουμε f (-) =(-)+3= -4+ 3 = -1 και f (-3) =(-3)+3= -6+ 3 = -3 Τελικά τα σημεία τομής είναι τα ( -, -1) και (-3,-3) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 18

Πληροφορίες που μπορούμε να πάρουμε από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Έστω ότι μας δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Από τη γραφική παράσταση μπορούμε να βγάλουμε σημαντικά συμπεράσματα που αφορούν στη συνάρτηση, ακόμα και να μαντέψουμε τον τύπο της. Πληροφορία 1 Για κάθε τιμή του χ μπορούμε να βρούμε το αντίστοιχο ψ δηλαδή το f(χ). Ο τρόπος είναι ο εξής Βρίσκουμε πάνω στον χ χ τη τιμή του χ της οποίας ζητούμε να βρούμε το αντίστοιχο ψ.από το σημείο αυτό φέρνουμε μια παράλληλη στο ψ ψ που τέμνει τη γραφική παράσταση σε ένα σημείο ( αν δεν τη τέμνει τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση για αυτό το χ).από το σημείο που τέμνει τη γραφική παράσταση φέρνουμε παράλληλη στο χ χ που τέμνει το ψ ψ σε ένα σημείο. Η τιμή που παριστάνει το σημείο αυτό πάνω στο ψ ψ είναι το ζητούμενο ψ.τονίζουμε ότι για κάθε χ μπορούμε να βρούμε ένα μόνο ψ, γιατί διαφορετικά δεν θα πρόκειται για γραφική παράσταση συνάρτησης. Ένας λοιπόν τρόπος για να διαπιστώσουμε ότι ένα σχήμα δεν αποτελεί γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης, είναι να βρούμε μια παράλληλη στον ψ ψ που να τέμνει το σχήμα αυτό σε παραπάνω από ένα σημεία. Πληροφορία Μπορούμε να βρούμε για κάθε ψ από ποια χ προέρχεται. Ο τρόπος είναι ο εξής Βρίσκουμε πάνω στον ψ ψ τη τιμή του ψ της οποίας ζητούμε να βρούμε τα αντίστοιχα χ.από το σημείο αυτό φέρνουμε μια παράλληλη στο χ χ που τέμνει τη γραφική παράσταση σε κάποια σημεία ( αν δεν τη τέμνει τότε δεν αποτελεί τιμή της συνάρτησης).από το σημεία αυτά φέρνουμε παράλληλες στο ψ ψ που τέμνουν το χ χ σε ισάριθμα σημεία. Οι τιμές που παριστάνουν τα σημεία αυτά πάνω στο χ χ είναι τα ζητούμενο χ.τονίζουμε ότι ένα ψ μπορεί να προέρχεται από πολλά χ, γιατί διαφορετικά χ μπορούν να αντιστοιχίζονται στο ίδιο ψ.επομένως σε αντίθεση με πριν μια παράλληλη στον χ χ μπορεί να τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε περισσότερα από ένα σημεία.ένα ψ προέρχεται από τόσα χ όσα και τα σημεία τομής της παράλληλης προς το χ χ από το ψ αυτό με τη γραφική παράσταση. Πληροφορία 3 Μπορούμε να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες ψ ψ και χ χ. Είναι προφανές ότι εκεί που τέμνονται η γραφική παράσταση και οι άξονες είναι τα ζητούμενα σημεία. Επίσης μπορεί η γραφική παράσταση και οι άξονες να μην τέμνονται όποτε δεν υπάρχουν και σημεία τομής. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 19

Πληροφορία 4 Μπορούμε να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης. Οι τετμημένες των σημείων που βρίσκονται αριστερότερα και δεξιότερα από όλα τα άλλα σημεία της γραφικής παράστασης αποτελούν τα άκρα του διαστήματος του πεδίου ορισμού. Οι τεταγμένες των σημείων που είναι χαμηλότερα και ψηλότερα από όλα τα άλλα σημεία της γραφικής παράστασης, αποτελούν τα άκρα του διαστήματος του συνόλου τιμών. Αν η γραφική παράσταση επεκτείνεται αριστερά και δεξιά προς το άπειρο τότε έχει πεδίο ορισμού όλο το R. Αν η γραφική παράσταση επεκτείνεαι πάνω και κάτω προς το άπειρο τότε έχει σύνολο τιμών όλο το R. Αν η γραφική παράσταση κόβεται σε κάποιο σημείο και συνεχίζεται από ένα άλλο σημείο και μετά τότε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών είναι ένωση διαστημάτων που προσδιορίζονται όπως πριν. Παράδειγμα Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρεθούν τα f (-5), f (), f (0), f (11) β) Να βρείτε για ποια χ έχουμε ψ = -1 και για ποια ψ = 3 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης α) f (-5) =1.3, f ()=0, f (0) = 1.8, f (11) δεν ορίζεται β) Το ψ = -1 το έχουμε για χ=3 και για χ=9 Το ψ =3 δεν αποτελεί τιμή της συγκεκριμένης συνάρτησης γ) Το σημείο τομής με τον ψ ψ είναι το Ζ ( 0, 1.8 ) Τα σημεία τομής με τον χ χ είναι τα Γ (-6,0 ), Δ (,0), Ε (10,0) δ) Πεδίο ορισμού είναι το -6, 10. Σύνολο τιμών είναι το -,. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

Παράδειγμα Εξετάστε αν το παρακάτω σχήμα αποτελεί γραφική παράστασης κάποιας συνάρτησης Δεν αποτελεί γιατί μπορούμε να βρούμε μια ευθεία παράλληλη στο ψ ψ που να τη τέμνει σε δύο σημεία. Σχετική θέση της γραφικής παράστασης με τον χ χ Τα διαστήματα του χ για τα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω από τον χχ, είναι οι λύσεις της ανίσωσης f ( x) 0. Αντίστοιχα κάτω από τον χχ της ανίσωσης f ( x) 0 Σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων Τα διαστήματα του χ για τα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, είναι οι λύσεις της ανίσωσης f ( x) g( x). Αντίστοιχα κάτω της ανίσωσης f ( x) g( x) Λυμένες ασκήσεις 1) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = ( 1) 4. Να βρείτε το λ αν διέρχεται από το σημείο (, -1). Να βρείτε που τέμνει τους άξονες. Αφού διέρχεται από το σημείο (3, 4) είναι f (3)= 4. Επομένως ( 1)3 3 4 10 9( 1) 6 4 4 9 9 6 4 4 3 9 3 Άρα f (χ) = 6 4. Για χ=0 έχουμε f (0) = 0 60 4 4 δηλαδή τέμνει το ψ ψ στο ( 0, 4 ). Για ψ = 0 έχουμε 6 4 0 ( 3 ) 0 ( )( 1) 0 δηλαδή χ= ή χ=1.επομένως τέμνει το χ χ σε δύο σημεία τα (, 0) και (1,0 ). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

) Να βρείτε τα σημεία τομής των συναρτήσεων f ( χ ) = χ+1, g ( χ ) = χ + χ-3 Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης g(χ) =f (χ) 3 1 3 1 0 4 0 ( )( ) 0 Συνεπώς τέμνονται σε δύο σημεία.αντικαθιστούμε τις τιμές που βρήκαμε σε μία από τις δύο (όποια έχει λιγότερες πράξεις ) για να βρούμε και τις τεταγμένες των σημείων τομής. Για χ = έχουμε f ( ) = 1 5 Για χ=- έχουμε f ( - ) =(-)+1= -3 Επομένως τα σημεία τομής είναι τα (, 5 ) και ( -, -3 ). 3) Να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες, α) f (χ )=( 4) 1, β) g (χ )= ( 4) 1 1 α) Πρέπει 1 0 1. Συνεπώς Α =, Για χ = 0 έχουμε ότι f (0) = -4. Συνεπώς τέμνει το ψψ σ το ( 0,-4) f (χ ) = 0 ( 4) 1 0 4 1 0. Η τιμή - απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο Π.Ο και έτσι τα σημεία τομής είναι 1 (,0 ), (,0). β) Πρέπει 0 1 1, 1. Συνεπώς Α = Το 0 δεν ανήκει στο Π.Ο και συνεπώς δεν τέμνει το ψψ. f (χ ) = 0 ( 4) 0 4 0 1 Η τιμή - απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο Π.Ο και έτσι τα σημεία τομής είναι (,0 ), (1,0). 4) Δίνεται η συνάρτηση f ( ). α) Να βρείτε την τιμή του α αν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( -1, 5 ). Για την τιμή του α που βρήκατε β) ελέγξτε αν διέρχεται από το σημείο (, 3 ) γ) Αν το σημείο ( β,1 ) ανήκει στη γραφική της παράσταση να βρείτε την τιμή του β. δ) Βρείτε τα σημεία τομής της f με τους άξονες ψψ και χχ ε) Βρείτε τα σημεία τομής της f με την g(χ) = χ+1 α) Πρέπει f ( 1) 5 ( 1) ( 1) 5 5 1 β)για να διέρχεται πρέπει να ισχύει f () 3. Είναι f () 1 5 3 και συνεπώς δεν διέρχεται. γ) Πρέπει f ( ) 1 1 1 0 ( 1) 0 β = 0 ή β = 1. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

δ) Πεδίο ορισμού : D f Για χ = 0 είναι f (0) 0 0 1 1 που σημαίνει ότι τέμνει τον ψψ στο (0,1). f ( ) 0 1 0 1 0 ( 1) 0 και άρα αδύνατη. Αυτό σημαίνει ότι δεν τέμνει καθόλου τον χχ. D D ε) f g f ( ) g( ) 1 1 4 0 ( ) 0 χ = 0 ή χ = Για χ = 0 είναι g(0) 1 και για χ = είναι g() 1 5. Συνεπώς υπάρχουν δύο σημεία τομής τα : (0, 1) και (,5 ). Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = α χ είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Για να τη σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε δύο σημεία. Το ένα το ξέρουμε και είναι η αρχή των αξόνων. Το άλλο το βρίσκουμε βάζοντας μια αυθαίρετη τιμή στο χ και βρίσκοντας το αντίστοιχο ψ. Αν α > 0 τότε η ευθεία βρίσκεται στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο. Αν α < 0 τότε η ευθεία βρίσκεται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο. Η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα χ χ μια γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι ίση με α. Αν μια συνάρτηση έχει για γραφική παράσταση μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε σίγουρα η συνάρτηση αυτή έχει εξίσωση της μορφής ψ = α χ Παραδείγματα 1) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων α) ψ = χ β) ψ = -χ Όλες είναι της μορφής ψ = α χ.είναι επομένως ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.χρειαζόμαστε δύο σημεία για να τις σχεδιάσουμε. Το ένα το ξέρουμε και είναι η αρχή των αξόνων. Το άλλο το βρίσκουμε δίνοντας μια τυχαία τιμή στο χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

α) Για χ=1 έχουμε ψ = 1=. Άρα το άλλο σημείο είναι το ( 1, ) Η γραφική παράσταση λοιπόν είναι η εξής β) Για χ = -1 έχουμε ψ = -(-1) =. Άρα το άλλο σημείο είναι το ( -1, ) Η γραφική παράσταση λοιπόν είναι η εξής ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (1, 3 ). Αφού πρόκειται για ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων θα είναι της μορφής ψ = α χ.αρκεί λοιπόν να βρούμε το α. Ξέρουμε όμως ότι περνάει και από το ( 1, 3 ). Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση ψ = α χ. Επομένως έχουμε ότι 3 = α 1 δηλαδή α =3. Τελικά η εξίσωση της ευθείας είναι ψ = 3 χ. 3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων α) ψ = χ και β) ψ = -χ και να δικαιολογήσετε ότι διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων. α) Για χ = 1 έχουμε ψ = 1 δηλαδή το άλλο σημείο είναι το (1, 1). Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 1. Στο τρίγωνο ΟΑΒ οι πλευρές ΟΑ και ΑΒ έχουν και οι δύο μήκος 1. Άρα ΟΑ=ΑΒ πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Είναι όμως και ορθογώνιο και επομένως η γωνία ω είναι ίση με 45. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διχοτομεί την γωνία του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου. β) Για χ = -1 έχουμε ψ = 1 δηλαδή το άλλο σημείο είναι το (-1, 1). Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα. Στο τρίγωνο ΟΓΔ οι πλευρές ΟΔ και ΓΔ έχουν και οι δύο μήκος 1. Άρα ΟΔ=ΓΔ πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Είναι όμως και ορθογώνιο και επομένως η Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

γωνία φ είναι ίση με 45. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διχοτομεί την γωνία του ου και 4 ου τεταρτημορίου. Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ + β Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ+β είναι μια ευθεία (δεν περνάει από την αρχή των αξόνων εκτός αν β=0 ) Είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ = α χ Για να τη σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε δύο σημεία, τα οποία τα βρίσκουμε δίνοντας δύο διαφορετικές τιμές στο χ και βρίσκοντας τα αντίστοιχα ψ. Σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι ίση με α. Οι ευθείες ψ = αχ +β και ψ = αχ + γ είναι παράλληλες γιατί έχουν το ίδιο α. Το α λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. Για χ=0 έχουμε ψ = α 0 +β = β. Επομένως τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο (0, β) Για ψ = 0 έχουμε 0 = αχ +β δηλαδή χ = Επομένως τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο (, 0 ). Αν μια συνάρτηση έχει για γραφική παράσταση μια ευθεία που δεν είναι παράλληλη στο ψ ψ τότε σίγουρα θα είναι της μορφής ψ = α χ + β. Η εξίσωση ψ = β είναι συνάρτηση και έχει γραφική παράσταση μια ευθεία παράλληλη στο χ χ που τέμνει το ψ ψ στο β.έτσι ο χ χ έχει εξίσωση ψ = 0. Η εξίσωση χ = γ δεν είναι συνάρτηση (γιατί σε ένα χ έχω άπειρα ψ). Παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στο ψ ψ και τέμνει το χ χ στο γ. Έτσι ο ψ ψ έχει εξίσωση χ = 0. Κάθε εξίσωση της μορφής αχ + βψ = γ παριστάνει μια ευθεία και αντίστροφα Παρακάτω παρουσιάζουμε τη μορφή της ευθείας ανάλογα με το πρόσημο των α και β. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών Δίνονται δύο ευθείες (ε 1 ) ψ = α 1 χ + β 1 και (ε ) ψ = α χ + β Αν α 1 = α και 1 τότε 1 // Αν α 1 = α και 1 τότε οι 1, ταυτίζονται Αν α 1 α τότε οι 1, τέμνονται ( ένα σημείο τομής ) Αν α 1 α = -1 τότε οι 1, τέμνονται κάθετα Σημείωση : Ισχύουν και τα αντίστροφα των παραπάνω προτάσεων Παραδείγματα 1) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ+1 όταν α) χ είναι πραγματικός αριθμός β) χ γ) χ>- δ) ε) - < χ < στ) - χ < α) Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία και για να τη σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε δύο σημεία. Για χ=0 έχουμε ψ = 0+1=1 δηλαδή ένα σημείο είναι το ( 0, ) Για χ=1 έχουμε ψ= 1+1=3 δηλαδή το άλλο σημείο είναι το ( 1, 3) Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 1. β) Τώρα ο χ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο αυτές που είναι μικρότερες του και τη.αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μου δεν θα επεκτείνετε μέχρι το άπειρο αλλά θα σταματάει στο σημείο με τετμημένη. Έτσι λοιπόν η μια τιμή που θα δώσουμε στο χ είναι σίγουρα η για να δούμε που σταματάει. Για χ= έχουμε ψ = +1=5 δηλαδή το τέλος της ευθείας είναι το σημείο (, 5 ) Επειδή μπορεί να πάρει τη τιμή στο σημείο με τετμημένη βάζουμε κυκλάκι ζωγραφιστό.η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα. γ) Τώρα ο χ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο αυτές που είναι μεγαλύτερες του - χωρίς τη -.Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μου δεν θα ξεκινάει από το άπειρο αλλά από το σημείο με τετμημένη -. Έτσι λοιπόν η μια τιμή που θα δώσουμε στο χ είναι σίγουρα η - για να δούμε από που ξεκινάει.για χ = - έχουμε ψ= (- )+1= -3 δηλαδή η αρχή της ευθείας είναι το σημείο ( -, -3 )Επειδή δεν μπορεί να πάρει τη τιμή - στο σημείο με τετμημένη - βάζουμε σκέτο κυκλάκι.η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 3 δ) Τώρα ο χ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο αυτές που είναι μικρότερες του και μεγαλύτερες του - και τις - και.αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μου δεν θα επεκτείνετε μέχρι το άπειρο αλλά θα σταματάει στο σημείο με τετμημένη και δεν θα ξεκινάει από το άπειρο αλλά από το σημείο με τετμημένη -. Έτσι λοιπόν οι τιμές που θα δώσουμε στο χ είναι οι - και για να δούμε από που ξεκινάει και που σταματάει.επειδή μπορεί να πάρει τις τιμές - και στο σημεία με τετμημένες - και βάζουμε κυκλάκι ζωγραφιστό. Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 4. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

ε) Όπως στο δ) μόνο που στα σημεία με τετμημένες - και θα βάλουμε σκέτα κυκλάκια γιατί τώρα δεν μπορεί να πάρει τις τιμές αυτές. Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 5. στ) Όπως στο δ) μόνο που στο σημείο με τετμημένη θα βάλουμε σκέτο κυκλάκι γιατί τώρα δεν μπορεί να πάρει τη τιμή. Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 6. ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = χ και διέρχεται από το σημείο ( 1, 4 ). Αφού είναι εξίσωση ευθείας θα είναι της μορφής ψ = αχ +β. Αρκεί λοιπόν να βρούμε τα α και β. Αφού είναι παράλληλη στη ψ =χ θ έχουμε ότι α =. Έτσι η εξίσωση γίνεται ψ = χ + β. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

Αφού διέρχεται από το σημείο ( 1, 4 ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν την εξίσωση και επομένως έχουμε ότι 4 = 1 + β δηλαδή β = Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι ψ = χ +. 3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία ( 0, ) και ( 1, 5) Αφού είναι εξίσωση ευθείας θα είναι της μορφής ψ = αχ +β. Αρκεί λοιπόν να βρούμε τα α και β. Αφού διέρχεται από το σημείο ( 0, ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν την εξίσωση και επομένως έχουμε ότι = α 0 + β δηλαδή β = Αφού διέρχεται από το σημείο ( 1, 5 ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν την εξίσωση και επομένως έχουμε ότι 5 = α 1 + β και αφού β= έχουμε 5 = α 1 + δηλαδή α = 3 Τελικά η εξίσωση της ευθείας είναι ψ = 3χ +. 4) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών α) ψ = χ+3 και ψ = χ- β) ψ = χ + 000 και ψ = χ+004 α) Αν ( α, β ) το σημείο τομής των ευθειών τότε αφού ανήκει και στις δύο ευθείες θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις. Επομένως έχουμε ότι β = α +3 και β = α- Από τις δύο αυτές σχέσεις συμπεραίνουμε ότι α +3 = α δηλαδή α = -5 Με αντικατάσταση σε μία από τις δύο σχέσεις ( π.χ. στη η ) βρίσκουμε β = -5-=-7 Τελικά το σημείο τομής είναι το ( 5, -7 ) β) Παρατηρούμε ότι οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν το ίδιο συντελεστή διεύθυνσης ( το ίδιο α ) και επομένως είναι παράλληλες.συνεπώς δεν υπάρχει σημείο τομής. 5) Να σχεδιάσετε τις ευθείες που παριστάνουν οι παρακάτω εξισώσεις και σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η κάθε ευθεία με τους άξονες. α) ψ = -χ + 5, β) ψ = -, γ ) χ = -3 α) Για χ=0 έχουμε ψ = 5 δηλαδή ένα σημείο είναι το ( 0,5 ) Για χ=1 έχουμε ψ = 3 δηλαδή το δεύτερο σημείο είναι το ( 1, 3) Η ζητούμενη ευθεία δίνεται από το παρακάτω σχήμα Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ Είναι ΟΒ= 5 και 5,5 ΟΑ=,5 αφού έχουμε αποδείξει ότι τέμνει το χ χ στο σημείο,55 Άρα 6, 5 β) Η ευθεία ψ = - είναι παράλληλη στο χ χ και επομένως δεν σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες.η ευθεία αυτή δίνεται στο παρακάτω σχήμα. γ) Η ευθεία χ = -3 είναι παράλληλη στο ψ ψ και επομένως δεν σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες.η ευθεία αυτή δίνεται στο παρακάτω σχήμα. 6) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία ψ = χ-3 και διέρχεται από το σημείο (,6 ). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

Αφού πρόκειται για εξίσωση ευθείας θα έχει εξίσωση της μορφής ψ = αχ+ β. Αρκεί να βρούμε τα α, β.αφού είναι κάθετη στην ψ = χ-3 πρέπει 1 1 1 Συνεπώς η εξίσωση γίνεται. Επειδή διέρχεται από το σημείο (,6) έχουμε ότι 1 6 6 1 7. 1 Επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι η 7. 7) Να βρεθεί ο λ αν είναι γνωστό ότι οι παρακάτω ευθείες ψ = χ + 3 και ψ = ( ) 1 α) είναι παράλληλες β) ταυτίζονται γ ) είναι κάθετες α) Για να είναι παράλληλες πρέπει 4 και. Επομένως η ζητούμενη τιμή για το λ είναι η λ = -. β) Για να ταυτίζονται πρέπει 1 3 δηλαδή 1 3 δηλαδή 4 και λ=. Επομένως η ζητούμενη τιμή για το λ είναι η λ =. γ) Για να είναι κάθετες πρέπει 1 1 1 ( 1) 1 1 1 8) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τον χ χ γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι και διέρχεται από το σημείο ( 3, 10 ). Αφού πρόκειται για εξίσωση ευθείας θα έχει εξίσωση της μορφής ψ = αχ+ β. Αρκεί να βρούμε τα α, β.αφού σχηματίζει γωνία με εφαπτομένη έχουμε ότι α =. Συνεπώς η εξίσωση γίνεται ψ = χ+β.αφού διέρχεται από το σημείο ( 3,10 ) έχουμε ότι 10 3 10 6 4. Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η ψ = χ+ 4. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 30

9) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση 1, f ( ) 3, 3 3, 3. Η συνάρτηση αποτελείται από 3 κλάδους που ο καθένας έχει τη δική του γραφική παράσταση και επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησής μου αποτελείται από ημιευθείες και ένα ευθύγραμμο τμήμα που δίνονται στο παρακάτω σχήμα. αν χ < - Για χ = - είναι f ( - ) = 1 (-) = 1+ = 3 Για χ = -3 είναι f ( -3 ) = 1 (-3) = 1+3 = 4 Συνεπώς για χ < - είναι μια ημιευθεία που διέρχεται από τα σημεία ( -, 3 ) ( το οποίο δεν ανήκει στην ημιευθεία αυτή ) και ( -3, 4 ) αν 3 Στο διάστημα αυτό έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f (χ) = 3 και έχει γραφική παράσταση ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στον χ χ που τέμνει το ψ ψ στο 3. αν χ > 3 Για χ = 3 είναι f ( 3 ) = 3 3 = 6-3 = 3 Για χ = 4 είναι f ( 4 ) = 4 3 = 8-3 = 5 Συνεπώς για χ < - είναι μια ημιευθεία που διέρχεται από τα σημεία ( 3, 3 ) και ( 4, 5 ).Με βάση τα παραπάνω έχουμε την εξής γραφική παράσταση Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 31

10) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: x 1 f ( x) x, x 1 x 1 Βρίσκουμε πρώτα τον τύπο τις συνάρτησης χωρίς απόλυτα. Φτιάχνουμε πρώτα πίνακα μεταβολών προσήμου για τις παραστάσεις χ + και χ -1. Έχουμε: χ - - 1 + χ + - 0 + + χ -1 - - 0 + Αν χ < - τότε x 1 ( x 1) f ( x) x. x. x 1 x 1 x.( 1) x x Αν - χ < 1 τότε f x x Αν 1 < χ τότε f x ΠΡΟΣΕΞΕ: Στα παραπάνω διαστήματα δεν συμπεριλάβαμε τη τιμή χ = 1 γιατί από τους περιορισμούς είναι χ 1. x 1 ( ). x.( 1) x 4 x 1 x 1 ( ) x. x. 1 x x 1 Οπότε ο τύπος της f(x) είναι f ( x) x, x x 4, x 1 x, 1 x Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

10) Να βρείτε τη συνάρτηση που έχει για γραφική παράσταση αυτή του παρακάτω σχήματος Η γραφική παράσταση αποτελείται από 3 κομμάτια και επομένως η συνάρτησή μου θα αποτελείται από 3 κλάδους. αν χ < -3 Είναι ευθεία και επομένως θα έχει μορφή ψ = αχ+β Διέρχεται από το σημείο ( -3, 3 ) που σημαίνει ότι 3 = -3 α +β (1) Διέρχεται από το σημείο ( -4, 4 ) που σημαίνει ότι 4 = -4 α +β () Αφαιρώντας τις (1), () κατά μέλη έχουμε ότι 3-4 = -3 α +β ( -4 α +β ) -1 = -3 α +β +4 α β -1 = α Με αντικατάσταση στην (1) έχουμε ότι 3 = - 3 ( -1 ) +β 3 = 3+β β=0 Συνεπώς για χ < -3 η συνάρτηση είναι ψ = -χ αν 3 4 Είναι μια ευθεία παράλληλη στο χ χ που τέμνει το ψ ψ στο 3 Πρόκειται λοιπόν για τη σταθερή συνάρτηση ψ = 3 αν χ > 5 Είναι ευθεία και επομένως θα έχει μορφή ψ = αχ+β Διέρχεται από το σημείο ( 5, 0 ) που σημαίνει ότι 0 = 5 α +β (3) Διέρχεται από το σημείο ( 6, -3 ) που σημαίνει ότι -3 = 6 α +β (4) Αφαιρώντας τις (3), (4) κατά μέλη έχουμε ότι 0-(-3) = 5α +β ( 6α +β ) 3 = 5α +β - 6α β 3 = -α α = -3 Με αντικατάσταση στην (3) έχουμε ότι 0 = 5( -3 ) +β 0 = -15+β β=15 Συνεπώς για χ < 5 η συνάρτηση είναι ψ = -3χ+15 Στο διάστημα 4, 5 ) δεν έχουμε γραφική παράσταση και επομένως δεν ορίζεται η συνάρτηση στο διάστημα αυτό Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η εξής, 3 f ( ) 3, 3 4 3 15, 5 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 33

11)Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, f ( ), 1, 1. Εύρεση των α και β : Διέρχεται από τα σημεία ( -,-) και (1, ). Συνεπώς είναι 4 4 3 4 3 3 4 3 3 Μετατόπιση γραφικής παράστασης Γενικά αν δίνεται μια συνάρτηση f ( χ ) τότε : Α) Η γραφική παράσταση της φ(χ) = f ( χ - α ) προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( χ ) κατά α μονάδες προς τα δεξιά αν α > 0 ή προς τα αριστερά αν α < 0. Β) Η γραφική παράσταση της φ(χ) = f ( χ ) +α προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( χ ) κατά α μονάδες προς τα πάνω αν α > 0 ή προς τα κάτω αν α < 0. Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f, μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f. α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x x, της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M ( x, f ( x)) που είναι συμμετρικά των M ( x, f ( x)), ως προς τον άξονα x x. (Σχ. 9). y O Μ(x,f(x)) Μ (x,f(x)) 9 y=f(x) x y=f(x) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 34

β) Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x x, των τμημάτων της C f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 10). y y= f(x) O 10 y=f(x) x Μελέτη συνάρτησης Συμμετρίες Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται άρτια αν και μόνο αν για κάθε χ και -χ και f ( x) f ( x) Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον ψ ψ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιττή αν και μόνο αν για κάθε χ και -χ και f ( x) f ( x) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Παράδειγμα 1) Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές. 3 3 3 3 α) f ( ) β) f ( ) γ) f ( ) δ) f ( ) 1 3 ε) f ( x) x 3 x 3, στ) f ( x) x 3x 1 α) Πρέπει, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι. Επειδή το - ανήκει στο Π.Ο. και ο αντίθετός του το δεν ανήκει η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. β) Πρέπει, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι. Συνεπώς για κάθε χ και -χ. ( ) 3 3 Επίσης f ( ) f ( ). Επομένως είναι άρτια. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 35

γ) Πρέπει 1 1, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι 1. Συνεπώς για κάθε χ και -χ. 3 3 Είναι f ( ) ( ) 1 1. Παρατηρούμε ότι f ( ) f ( ) και f ( ) f ( ). Επομένως η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. δ) Πρέπει 0, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι 0. Συνεπώς για κάθε χ και -χ. ( ) 3 3 3 Είναι f ( ) f ( ), και άρα είναι περιττή. ε) f ( x) x 3 x 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = R Οπότε για κάθε χα θα ισχύει -χα. Επίσης έχουμε: f ( x) x 3 x 3 x 3 x 3 f ( x) Δηλαδή ισχύει f ( x) f ( x). Άρα η συνάρτηση είναι άρτια στ) f ( x) x 3x 1 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = R Οπότε για κάθε χα θα ισχύει -χα. Επίσης έχουμε: 3 3 3 3 f ( x) ( x) 3( x) 1 ( x ) 3x 1 x 3x 1 ( x 3x 1) Από τη τελευταία σχέση παρατηρούμε ότι είναι f ( x) f ( x) καθώς επίσης και ότι f ( x) f ( x). Οπότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. ) Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αναφέρεται το είδος της αντίστοιχης συνάρτησης. Εσείς να συμπληρώσετε τις γραφικές τους παραστάσεις. ψ 0 x Σχ. 1 περιττή Σχ. άρτια Σχ. 4 άρτια Θυμίζουμε ότι η άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον ψψ ενώ η περιττή κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 36

3)Υπάρχει συνάρτηση που να είναι άρτια και περιττή συγχρόνως ; ΝΑΙ Για να είναι μία συνάρτηση άρτια και περιττή πρέπει να ισχύουν συγχρόνως οι εξής σχέσεις: f(-χ) = f(χ) και f(-χ) = -f(χ) Τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα, έτσι έχουμε f(χ) = -f(χ) f(χ) + f(χ) = 0. f(χ) = 0 f(χ) = 0. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι άρτια και περιττή συγχρόνως η f(χ) = 0. Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν για κάθε 1, με 1 είναι και f ( ) f ( ). 1 Αυτό που λέει ο ορισμός είναι ότι καθώς αυξάνει το χ αυξάνει και το f(χ), δηλαδή κοιτάζοντας τη γραφική της παράσταση από τα αριστερά προς τα δεξιά νιώθουμε ότι ανεβαίνει. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν για κάθε 1, με 1 είναι και f ( ) f ( ). 1 Αυτό που λέει ο ορισμός είναι ότι καθώς αυξάνει το χ το f(χ) μειώνεται, δηλαδή κοιτάζοντας τη γραφική της παράσταση από τα αριστερά προς τα δεξιά νιώθουμε ότι κατεβαίνει. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη. Υπάρχουν συναρτήσεις που σε κάποιο διάστημα του Π.Ο. είναι γνησίως αύξουσες και σε άλλο γνησίως φθίνουσες.αυτές φυσικά δεν είναι γνησίως μονότονες. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες σε καθένα από τα διαστήματα (, ), (, ), χωρίς όμως να είναι γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες σε όλο το Π.Ο. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 37

Αυτό συμβαίνει με συναρτήσεις που δεν είναι συνεχής, δηλαδή που η γραφική τους παράσταση διακόπτεται σε κάποιο σημείο και ξεκινάει από κάποιο άλλο. Π.χ. η συνάρτηση f ( ) Παραδείγματα 1) Να καθορίσετε το είδος μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων 1 i) f ( x) x 5, ii) f ( x) 0, 3 x, iii f x ) ( ) 3x 4, iv f x ) ( ) 5x v) f ( x), x 0 x 4 x, 0 x x( x 4), x vi) f ( x) x 1, x x 3, x 3 x 6x, 3 x 1 i) f ( x) x 5. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. Πως το βρήκαμε; Πρόσεξε τα παρακάτω. α τρόπος: Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R. Έστω χ 1, χ R με χ 1 < χ. Με διαδοχικές πράξεις θα δημιουργήσουμε τις τιμές των f(χ 1 ) και f(χ ) [κτίσιμο της συνάρτησης] ως εξής: Έχουμε χ 1 < χ (πολλαπλασιάζουμε με 1 που είναι θετικό οπότε δεν αλλάζει φορά η ανίσωση) 1 χ 1 < 1 χ 1 χ 1 + 5 < 1 χ + 5 f(χ 1 ) < f(χ ). Άρα η f(χ) είναι γνησίως αύξουσα στο R. β τρόπος: Έστω χ 1, χ R με χ 1 < χ. Τότε έχουμε: f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 1 χ 1 + 5) - ( 1 χ + 5) = 1 χ 1 + 5-1 χ - 5= 1 χ 1-1 χ = 1 ( χ 1 -χ ) < 0 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 38

(γιατί χ 1 < χ χ 1 - χ < 0 ). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) < 0 f(χ 1 ) < f(χ ). Άρα η f(χ) είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ τρόπος: Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ψ = αχ +β όταν έχει α > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο R. α < 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο R. α = 0 είναι σταθερή στο R. Επειδή η 1 f ( x) x 5 έχει α = 1 > 0 θα είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii) f ( x), x 0 3. Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = R οπότε για κάθε χ 1, χ R με χ 1 < χ έχουμε διαδοχικά. χ 1 < χ -0,3.χ 1 > -0,3.χ -0,3.χ 1 + > -0,3.χ + f(χ 1 ) > f(χ ) Άρα η f(χ) είναι γνησίως φθίνουσα στο R. iii) f ( x) 3x 4, x R. Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης χωριστά σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-,0] και [0, +) Έστω χ 1, χ (-,0] με χ 1 < χ < 0. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 3x 4 ) ( 3x 4 ) 3x 4 3x 4 3( x x ) 1 1 1 3( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x 0 x x 1 1 1 1 επίσης είναι x 1 < x < 0 (αρνητικά και τα δύο) οπότε θα είναι και x 1 + x < 0 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) < 0 f(χ 1 ) < f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα (-,0] είναι γνησίως αύξουσα. Έστω χ 1, χ [0, +) με χ 1 < χ. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 3x 4 ) ( 3x 4 ) 3x 4 3x 4 3( x x ) 1 1 1 3( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x 0 x x 1 1 επίσης είναι x 1 + x > 0 γιατί χ 1, χ [0, +) 1 1 ( θετικά και τα δύο). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) > 0 f(χ 1 ) > f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα [0, +) είναι γνησίως φθίνουσα. iv) f ( x) 5 x, x R Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης χωριστά σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-,0] και [0, +) Έστω χ 1, χ (-,0] με χ 1 < χ < 0. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 5 x ) ( 5 x ) 5 x 5 x 5 ( x x ) 1 1 1 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 39

5 ( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x x x 1 1 1 1 0 επίσης είναι x 1 < x < 0 (αρνητικά και τα δύο) οπότε θα είναι και x 1 + x < 0 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) > 0 f(χ 1 ) > f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα (-,0] είναι γνησίως φθίνουσα. Έστω χ 1, χ [0, +) με χ 1 < χ. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 5 x ) ( 5 x ) 5 x 5 x 5 ( x x ) 1 1 1 5 ( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x x x 1 1 1 1 0 επίσης είναι x 1 + x > 0 γιατί χ 1, χ [0, +) ( θετικά και τα δύο). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) < 0 f(χ 1 ) < f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα [0, +) είναι γνησίως αύξουσα. v) f ( x), x 0 x 4 x, 0 x x( x 4), x Α) Έστω x1, x (-,0] με x x 1 Πώς βρίσκουμε τη μονοτονία αυτής της συνάρτησης Θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης f(χ) στα τρία διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία έχει διαφορετικούς τύπους.. Τότε έχουμε: 1 1 f ( x1 ) f ( x ) x x 1 x1 x x1x 0 γιατί x x 0 x x και x x 1 1 1 0 γιατί x, x αρνητικά αφού x, x (-,0] 1 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x ) 1 1 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-,0]. Β) Έστω x1, x [0, ] με x x 1. Τότε έχουμε διαδοχικά: 0 x1 x 0 x1 x 0 x1 x 4 0 x1 x 4 4 0 4 x1 4 x 4 4 4 4 x 4 x 0 4 x 4 x f ( x ) f ( x ) 1 1 1 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, ] Γ) Έστω x1, x (, +) με x x 1. Τότε έχουμε f ( x1 ) f ( x ) x1 ( x1 4) x ( x 4) x1 4x1 x 4x 1 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 40