Μη-Γραμμικός Αναλογικός Ολοκληρωτικός Έλεγχος για Consensus Πολύ-πρακτορικών Συστημάτων με Εναλλασσόμενες Τοπολογίες και Συνεκτική Ένωση Γράφων

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Σημάτων, Ελέγχου και Ρομποτικής Μη-Γραμμικός Αναλογικός Ολοκληρωτικός Έλεγχος για Consensus Πολύ-πρακτορικών Συστημάτων με Εναλλασσόμενες Τοπολογίες και Συνεκτική Ένωση Γράφων Διπλωματική Εργασία του Δημητρίου Φ Θεοχάρη Επιβλέπων: Ψυλλάκης Χαράλαμπος Λέκτορας ΕΜΠ Αθήνα, Οκτώβριος 7

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Σημάτων, Ελέγχου και Ρομποτικής Μη-Γραμμικός Αναλογικός Ολοκληρωτικός Έλεγχος για Consensus Πολύ-πρακτορικών Συστημάτων με Εναλλασσόμενες Τοπολογίες και Συνεκτική Ένωση Γράφων Διπλωματική Εργασία του Δημητρίου Φ Θεοχάρη Επιβλέπων: Ψυλλάκης Χαράλαμπος Λέκτορας ΕΜΠ Εγκρίθηκε από την τριμελή επιτροπή την η Οκτωβρίου 7 Υπογραφή Υπογραφή Υπογραφή Ψυλλάκης Χαράλαμπος Μαράτος Νικόλαος Τζαφέστας Κωνσταντίνος Λέκτορας ΕΜΠ Καθηγητής ΕΜΠ Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Οκτώβριος 7 3

Δημήτριος Φ Θεοχάρης Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ Copygh Δημήτριος Φ Θεοχάρης, 7 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος All ghs eseved Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή, για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς το συγγραφέα Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου 4

Περίληψη Το πρόβλημα Consensus είναι τόσο παλαιό όσο και το ίδιο το πεδίο του Κατανεμημένου Υπολογισμού και Ελέγχου Dsbued Compung and Conol Σε προβλήματα Κατανεμημένου Υπολογισμού και Ελέγχου, το αντικείμενο μελέτης είναι ένα δίκτυο πρακτόρων οι οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους Το είδος αλληλεπίδρασης και ο τρόπος με τον οποίο οι πράκτορες συνδέονται τοπολογία δικτύου, γράφος δικτύου κλπ εξαρτάται από τη φύση του προβλήματος που αντιμετωπίζεται κατά περίπτωση Ωστόσο σε όλες τις περιπτώσεις ο στόχος είναι κοινός: η εφαρμογή του κατάλληλου κατανεμημένου νόμου ελέγχου, δηλαδή ενός συνόλου νόμων ελέγχου κάθε στοιχείο του οποίου εφαρμόζεται σε έναν πράκτορα του δικτύου αλλά η τιμή του εξαρτάται από τις καταστάσεις ορισμένων από τους άλλους πράκτορες, ώστε τελικά το δίκτυο πρακτόρων να συγκλίνει σε επιθυμητή κατάσταση που έχει καθοριστεί βάσει συγκεκριμένων προδιαγραφών Consensus Στόχος της διπλωματικής εργασίας είναι η μαθηματική θεμελίωση και απόδειξη της αποτελεσματικότητας μιας ειδικής μορφής PI κατανεμημένου ελέγχου σε δίκτυα πρακτόρων με εναλλασσόμενες τοπολογίες, κάθε μια από τις οποίες έχει μη συνεκτικό γράφο με ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες, ενώ η ένωση των συνιστωσών όλων των τοπολογιών του δικτύου είναι γράφος συνεκτικός Το αποτέλεσμα της εργασίας εξασφαλίζει μεγαλύτερο εύρος ισχύος του συγκεκριμένου PI κατανεμημένου ελέγχου Λέξεις κλειδιά: Πολύ-πρακτορικά δίκτυα, μη γραμμικός έλεγχος,προβλήματα consensus,κατανεμημένος υπολογισμός, θεωρία γράφων, ένωση γράφων 5

6

Absac he Consensus poblem was spawned along wh he feld of Dsbued Compung and Conol self In poblems of Dsbued Compung and Conol, he man subjec suded s a newo of agens who neac wh each ohe he fom of ha neacon and he way n whch he agens ae conneced newo opology, newo gaph ec ae dependable upon he naue of he poblem o be solved eveheless, n all such cases a sngle objecve commonly emeges: he applcaon of a dsbued conol law, ha s a se of conol laws appled specfcally on an agen bu wh dependence upon he sae of some of he ohe agens of he newo When appled, he se of laws leads he newo agens o convege o a desed common sae, whch s deemned by ou fm euemens Consensus hs dploma hess ams o popose and lay he mahemacal foundaons of a specfc dsbued PI conol law, as well as o pove s effecveness when appled o newos wh swchng opologes, wh each opology beng descbed by a non conneced gaph wh songly conneced and balanced componens, wheeas he unon of all componens s a conneced gaph he esuls of he hess yeld a geae ange of applcaon fo he specfc PI conol law Key wods: Mul-agens newos, non lnea conol, consensus poblems, dsbued compung, gaph heoy, unon of gaphs 7

8

9 Στην Οικογένεια μου

Ευχαριστίες Θα ήθελα καταρχήν να ευχαριστήσω το Λέκτορα κψυλλάκη Χαράλαμπο για την επίβλεψη της διπλωματικής εργασίας Κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας με δίδαξε πολλά, έδειξε υπομονή με τα λάθη μου αλλά και με δίδαξε υπομονή, μέχρι το αποτέλεσμα της δουλειάς να αγγίξει το τέλειο Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου, καθέναν ξεχωριστά, που καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας και σε όλες τις δυσκολίες ήταν δίπλα μου και μου έδωσαν δύναμη να μη χάσω τη συγκέντρωσή μου Θεοχάρης Φ Δημήτριος Οκτώβριος 7

Πρόλογος Το πεδίο του Κατανεμημένου Υπολογισμού και Ελέγχου είναι ένα από τα πιο επίκαιρα πεδία μελέτης του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού και όχι μόνο Ουσιαστικά, οποιοδήποτε πρόβλημα που αφορά μια πολυσύνθετη μηχανή που δουλεύει σύμφωνα με πολυάριθμες παραμέτρους, όπως ένα σύστημα πολλών επεξεργαστών, ή σε πιο αφηρημένο επίπεδο, ένας όγκος πληροφοριών που ρέουν μέσα σε ένα δίκτυο εξυπηρετητών, μπορεί να μοντελοποιηθεί με ένα πολύπρακτορικό σύστημα Οπότε το πρόβλημα Consensus εμφανίζεται σε πολυάριθμα ζητήματα που μπορούν να απασχολούν Ηλεκτρολόγους και άλλους Μηχανικούς, και οι μαθηματικές και υπολογιστικές προκλήσεις που επιφυλάσσει είναι συναρπαστικές Με γνώμονα λοιπόν τα ανωτέρω, η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο του να προτείνει μια λύση για ένα από τα πολλά σημερινά ενδιαφέροντα προβλήματα Consensus, επεκτείνοντας έτσι λίγο παραπάνω τη γνώση πάνω σε πολύ-πρακτορικά δίκτυα Όλες οι ιδέες που θα παρουσιαστούν προέκυψαν μετά από μακρές συζητήσεις και επίμονη εργασία στο γραφείο του επιβλέποντος καθηγητή κ Ψυλλάκη στα παλαιά κτίρια Ηλεκτρολόγων της σχολής, και προσομοιώθηκαν σε συστήματα που στεγάζονται εκεί Η εργασία βασίστηκε σε αποτελέσματα προηγούμενης δουλειάς του κ Ψυλλάκη [], και στα αποτελέσματα που ακολουθούν μπορούν να βασιστούν πληθώρα μελλοντικών εργασιών, μιας και το πεδίο Κατανεμημένου Ελέγχου είναι κυριολεκτικά ανεξάντλητο 3

4

Περιεχόμενα 3 4 5 5 5 53 54 3 4 3 3 3 3 3 3 33 Κεφάλαιο : Εισαγωγή Αντικείμενο Συνεισφορά της εργασίας Οργάνωση του τόμου Μαθηματικά προαπαιτούμενα Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Θεωρία γράφων Συναρτησιακή Ανάλυση Αυτόματος Έλεγχος Κεφάλαιο : Μαθηματικά αποτελέσματα Θεωρητική ανάλυση του προβλήματος Διατύπωση προβλήματος Πράκτορες απλής ολοκλήρωσης Πράκτορες διπλής ολοκλήρωσης Αναγωγή στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 3: Προσομοιώσεις Τα δεδομένα Τα αποτελέσματα Συμπεράσματα Σύνοψη και αποτελέσματα Επεκτάσεις Βιβλιογραφία 7 8 3 6 8 3 34 34 36 43 5 57 57 59 68 68 68 7 5

6

Κεφάλαιο Εισαγωγή Τα προβλήματα Consensus αποτελούν ένα υποσύνολο του πεδίου Κατανεμημένου Υπολογισμού και Ελέγχου Η γενική μορφή ενός κατανεμημένου δικτύου απεικονίζεται με ένα γράφο, όπως φαίνεται στο σχήμα Στο γράφο αυτό κάθε πράκτορας αναπαριστάνεται με ένα κόμβο Κάθε πράκτορας κόμβος του δικτύου μπορεί να σχ: Ένα κατανεμημένο δίκτυο Σχ : Ένα κατανεμημένο δίκτυο επικοινωνεί με οποιονδήποτε άλλο κόμβο του δικτύου, ή και με κανέναν Οι ακμές που ενώνουν δύο κόμβους του γράφου πράκτορες, είναι δυνατόν να αναπαριστούν κάθε είδος αλληλεπίδρασης μεταξύ τους, από πραγματικές δυνάμεις μέχρι ροή κάποιου είδους πληροφορίας Η τελευταία περίπτωση, η διάχυση της πληροφορίας στο δίκτυο, είναι αυτή με το υψηλότερο ενδιαφέρον για έναν Μηχανικό Ελέγχου, ο οποίος καλείται να επιλέξει κατάλληλο σύνολο νόμων που καθένας θα εξαρτάται από την κατάσταση ενός πράκτορα και ορισμένων γειτονικών αυτού, ώστε να επιτύχει σύγκλιση καταστάσεων στο δίκτυο Το θεωρητικό υπόβαθρο διατύπωσης και λύσης προβλημάτων Consensus δόθηκε από τους Olfa-Sabe και Muay στις εργασίες [] και [3] 7

Κεφάλαιο Ορισμός : Αλγόριθμος ή Πρωτόκολλο Consensus είναι ένας νόμος αλληλεπίδρασης μεταξύ των πρακτόρων, που σχεδιάζεται με βάση τους περιορισμούς στην ανταλλαγή πληροφορίας μεταξύ ενός πράκτορα και των υπολοίπων πρακτόρων του δικτύου με σκοπό τη σύγκλιση των πρακτόρων σε κοινή επιθυμητή κατάσταση Αντικείμενο Αντικείμενο του πεδίου προβλημάτων δυναμικής Consensus Consensus dynamcs ή Ageemen dynamcs είναι οι διαδικασίες με τις οποίες ένα πολυπρακτορικό δίκτυο συγκλίνει σε μια επιθυμητή κατάσταση Το ακόλουθο παράδειγμα, το οποίο προέρχεται από τον τομέα των δικτύων αισθητήρων senso newos είναι χαρακτηριστικό των προβλημάτων του πεδίου δυναμικής Consensus Κάθε αεροπλάνο διαθέτει όργανο που πληροφορεί τον πιλότο για το υψόμετρο στο οποίο πραγματοποιείται η πτήση Εάν, για οποιοδήποτε λόγο, το όργανο αυτό δώσει εσφαλμένη ή καθόλου ένδειξη, είναι αυτονόητο ότι το αεροπλάνο θα βρεθεί σε υψηλό κίνδυνο Συνεπώς, προκειμένου να περιοριστεί στο ελάχιστο μια τέτοια πιθανότη- Σχ : Όργανα μικρού αεροπλάνου [πηγή:wpeda] 8

Κεφάλαιο τα, κάθε αεροπλάνο εξοπλίζεται με περισσότερα του ενός όμοια όργανα, τα οποία όμως σε πραγματικό χρόνο πρέπει να συγκλίνουν σε μια ορισμένη ένδειξη για να πληροφορήσουν τον πιλότο αξιόπιστα Τα όργανα της ανωτέρω περίπτωσης μπορούν να μοντελοποιηθούν με ένα πολύ-πρακτορικό δίκτυο Κατά τη μελέτη του δικτύου αυτού αναζητάμε ένα κατανεμημένο νόμο ελέγχου που, όταν εφαρμοστεί στο δίκτυο, το σύνολο των ξεχωριστών μετρήσεων των οργάνων θα συγκλίνει στην καταλληλότερη τιμή, η οποία τελικά θα μεταφερθεί στους πιλότους Στο σχήμα απεικονίζεται ένα τυπικό σύστημα οργάνων ενός μικρού αεροπλάνου, καθένα από τα οποία συλλέγει δύο διαφορετικές ενδείξεις και συγκλίνει σε μια κοινή ένδειξη, πριν πληροφορήσει το πιλοτήριο Ένας άλλος κυρίαρχος τομέας στον οποίο προέκυψε αμέσως η ανάγκη για consensus είναι αυτός των υπολογιστικών συστημάτων Είτε πρόκειται για έναν υπολογιστή με πολλούς επεξεργαστές είτε για δίκτυο πολλών υπολογιστών, αντίστοιχα οι επεξεργαστές ή οι υπολογιστικές μονάδες μπορεί να βρίσκονται σε διαφορετικές και αντικρουόμενες καταστάσεις Το consensus πρόβλημα εδώ είναι το ακόλουθο: το δίκτυο επεξεργαστών ή υπολογιστών αντίστοιχα πρέπει να συγκλίνει σε μια έξοδο, ακόμα και αν Σχ 3: Ένα δίκτυο υπολογιστών οι είσοδοι στις μονάδες είναι διαφορετικές Η διαφορετικότητα στις καταστάσεις μπορεί να οφείλεται σε ποικίλους παράγοντες, από διακοπή λειτουργίας μιας μονάδας λόγω παροχής ρεύματος, έως χαοτική συμπεριφορά λόγω προβλήματος σε επίπεδο sofwae Το πεδίο προβλημάτων δυναμικής Consensus είναι ευρύτατο και διαρκώς αναπτυσσόμενο Ενδεικτικά, εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι εξής εφαρμογές [4]: 9

Κεφάλαιο Συγχρονισμός συζευγμένων ταλαντωτών Θεωρία κοπαδιού Flocng heoy Γρήγορο Consensus σε Μικρούς-Κόσμους Rendezvous n Space Κατανεμημένη διάχυση πληροφορίας αισθητήρων Τα παραδείγματα εφαρμογών είναι αναρίθμητα Σχ 4: υπικό δίκτυο υπολογιστών[πηγή:wpeda] 3 Συνεισφορά της εργασίας Συνεισφορά της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η επέκταση ορισμένων αποτελεσμάτων εφαρμογής ΡΙ ελέγχου [] σε μια ειδική περίπτωση δικτύου πρακτόρων: δίκτυα εναλλασσόμενων τοπολογιών που περιγράφονται από γράφους μη συνεκτικούς Ειδικότερα, κάθε τοπολογία από τις προκύπτουσες έχει γράφο με συνιστώσες ειδικής μορφής αυστηρός ορισμός δίνεται στο επόμενο εδάφιο ενώ η ένωση των συνεκτικών συνιστωσών των γράφων όλων των τοπολογιών είναι γράφος ισχυρά συνεκτικός jonly conneced gaph Τέτοιες μορφές δικτύων μπορούν να εμφανιστούν σε προβλήματα consensus που αφορούν: Συστήματα φυσικής μοντελοποίησης Γενετικά δίκτυα Μεγάλης κλίμακας ενεργειακά συστήματα Ομάδες οχημάτων ξηράς, θαλάσσης ή αέρος

Κεφάλαιο 4 Οργάνωση του τόμου Ο παρών τόμος οργανώνεται ως εξής: Στο κεφάλαιο, γίνεται μια εισαγωγή στο πεδίο προβληματων δυναμικής consensus καθώς και στις εφαρμογές πάνω στις οποίες μπορεί να εργαστεί ο Ηλεκτρολόγος Μηχανικός χρησιμοποιώντας πρωτόκολλα consensus Επιπλέον, παρουσιάζονται τα μαθηματικά προαπαιτούμενα των αποτελεσμάτων της παρούσας διπλωματικής εργασίας Στο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα θεωρητικά αποτελέσματα της εργασίας Συγκεκριμένα, προτείνεται η απόδειηξη δύο μαθηματικών λημμάτων που είναι αναγκαία για την απόδειξη consensus του δικτύου που μελετάται Ακολούθως διατυπώνεται και αναλύεται θεωρητικά το πρόβλημα consensus που αντιμετωπίζεται στον παρόντα τόμο Στο κεφάλαιο 3, παρατίθενται τα αποτελέσματα προσομοιώσεων στον υπολογιστή, δύο περιπτώσεων δικτύων που υπάγονται στον τύπο προβλήματος consensus που μελετάται Ακολουθεί η εξαγωγή συμπερασμάτων και οι προτάσεις για επέκταση των αποτελεσμάτων σε μελλοντικές εργασίες Ο τόμος ολοκληρώνεται με τη σχετική βιβλιογραφία 5 Μαθηματικά προαπαιτούμενα 5 Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Δοθείσης μιγαδικής μήτρας είναι ένα μη αρνητικό βαθμωτό μέγεθος και και μη μηδενικά m και n διανύσματα αντίστοιχα, τέτοια ώστε A με m σειρές και n στήλες, αν * A v u και A u v u v είναι

Κεφάλαιο τότε το είναι μια ιδιάζουσα τιμή sngula value της και u και διανύσματα sngula vecos της A Στη γενική περίπτωση, όπως αναφέρθηκε, οι παραπάνω πίνακες είναι μιγαδικοί, αλλά τα ίδια ισχύουν και για πραγματικούς Είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε ένα θεμελιώδες εργαλείο για την παρούσα εργασία: v είναι τα αντίστοιχα δεξιά και αριστερά ιδιάζοντα Θεώρημα 5: Δοθείσης μιγαδικής μήτρας A με m σειρές και n στήλες, υπάρχουν μήτρες,, Σ για τις οποίες ισχύουν τα εξής: Οι μήτρες και είναι ορθοκανονικές unay Η μήτρα Σ έχει μη αρνητικά στοιχεία στην κύρια διαγώ- νιο και μηδενικά αλλού * A Η τελευταία μορφή καλείται Διάσπαση Ιδιαζουσών Τιμών Sngula alue Decomposon-SD Τα ανάλογα ισχύουν και για πραγματικές μήτρες A Σχ 5: Η διάσπαση SD μιας μήτρας Α Σημειώνεται ότι από το σημείο αυτό και στο εξής, θα αναφερόμαστε στη Διάσπαση Ιδιαζουσών Τιμών ως διάσπαση SD Η διάσπαση SD είναι το βασικό εργαλείο απόδειξης του δεύτερου βασικού λήμματος της εργασίας [] που θα παρατεθεί αμέσως παρακάτω, και το οποίο αφορά συνεκτικό γράφο G

Κεφάλαιο 5 Θεωρία Γράφων Σε αυτό το εδάφιο, γίνεται ανασκόπηση ορισμένων θεμελιωδών εννοιών από τη Θεωρία Γράφων Έστω προσανατολισμένος γράφος Ο γενικός συμβολισμός του είναι G, E όπου {,,, } ένα μη κενό πεπερασμένο σύνολο από κόμβους και ένα σύνολο ακμών που περιγράφει την επικοινωνία μεταξύ των κόμβων του Εάν, j E τότε υπάρχει ακμή από τον κόμβο στον κόμβο j Μια ακολουθία διαδοχικών ακμών {,,, l,, m, j} είναι ένα προσανατολισμένο μονοπάτι από τον κόμβο στον κόμβο j G E Ορισμός 5: O προσανατολισμένος γράφος είναι ισχυρά συνεκτικός songly conneced εάν υπάρχει προσανατολισμένο μονοπάτι από τον κόμβο στον, με j G j G, j E Σχ 6: Παραδείγματα ισχυρά συνεκτικών γράφων Ορισμός 5: Μήτρα γειτνίασης adjacency ma A ενός γράφου G είναι μια μήτρα και A ] [ j με στοιχεία,, j αν, j E και διαφορετικά j Κάθε κόμβος του G έχει ένα πλήθος ακμών που προσπίπ- 3

Κεφάλαιο τουν σε αυτόν, το οποίο καλείται έσω-βαθμός n-degee και γράφεται ως d και ένα πλήθος ακμών που αναχωρούν j j από αυτόν, που είναι ο έξω-βαθμός ou-degee και αντίστοιχα γράφεται ως d Ο G είναι ισορροπημένος balan- ced αν ισχύει Στο γράφο G o o d d j j αντιστοιχεί η διαγώνια μήτρα G G D dag } { d Ορισμός 53: Ως αποκομμένη ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου G ορίζουμε έναν υπογράφο του G, που είναι ισχυρά συνεκτικός, ισορροπημένος και απόλυτα αποκομμένος από τους υπόλοιπους κόμβους του G Στο εξής θα καλείται συνιστώσα sc του Ορισμός 54: Κάθε γράφος έχει λαπλασιανή μήτρα L D A, L Κάθε λαπλασιανή μήτρα έχει δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες: Έχει πάντοτε μια μηδενική ιδιοτιμή, την που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα v [,,, ] Αυτό ισχύει όταν ο γράφος είναι ισχυρά συνεκτικός Όταν όμως δεν είναι συνεκτικός αλλά με αποκομμένες συνεκτικές συνιστώσες, η λαπλότητα και αντιστοιχούν σε αυτή ιδιοδιανύσματα ειδικής μορφής Για ισορροπημένο γράφο, οι ιδιοτιμές της λαπλασιανής είναι πραγματικές και διατάσσονται σε αύξουσα σειρά Για παράδειγμα, στο διπλανό σχήμα ο γράφος συνεκτικός με δύο cs s, την sc {,,4} και την cs {3} Οι δύο συνιστώσες είναι ισορροπημένες, ισχυρά συνεκτικές και απόλυτα αποκομμένες μεταξύ τους Τα δίκτυα που εξετάζονται στην παρούσα Σχ 7: Μη συνεκτικός γράφος με εργασία αποτελούνται από δύο sc s τοπολογίες με γράφους της πα- έχει πολ- G είναι μη 4

Κεφάλαιο παραπάνω δομής Για γράφο ισχυρά συνεκτικό, στην εργασία [] παρατίθενται και αποδεικνύονται δύο ειδικά λήμματα, τη διατύπωση των οποίων θα παρουσιάσουμε και εδώ Ένας από τους στόχους της παρούσας εργασίας είναι η επέκταση των λημμάτων αυτών και για την περίπτωση που ο G είναι μη συνεκτικός με ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες Έχουμε λοιπόν: G Λήμμα 5: [] Για γράφο G ισχυρά συνεκτικό και ισορροπημένο, ισχύει: L L και ull L L span Λήμμα 5: [] Για ισορροπημένο, ισχυρά συνεκτικό και προσανατολισμένο γράφο με Λαπλασιανή μήτρα L ισχύει L L L L με L L / L L Τα δίκτυα που εξετάζονται στην παρούσα διπλωματική εργασία αποτελούνται από εναλλασσόμενες τοπολογίες, οι γράφοι των οποίων αποτελούνται από τους ίδιους κόμβους και από διαφορετικά σύνολα ακμών Επομένως χρειάζεται να οριστεί η Ένωση των γράφων όλων των τοπολογιών ενός δικτύου: Ορισμός 55: Ένωση των γράφων G,G,,G των τοπολογιών ενός δικτύου είναι ένας γράφος G με σύνολο κόμβων την ένωση των επιμέρους συνόλων κόμβων των G,G,,G, και σύνολο ακμών την ένωση του συνόλου των ακμών καθενός από τους G,G,,G Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η ένωση των συνεκτικών και ισορροπημένων συνιστωσών των τριών γράφων εντός των γαλάζιων πλαισίων, που είναι ο τέταρτος γράφος κάτω από αυτούς Σχ 8: Ένωση sc συνιστωσών 5

Κεφάλαιο 53 Συναρτησιακή Ανάλυση Για μια κλαδικά δεξιά-συνεχή συνάρτηση pecewse gh connuous funcon, ορίζουμε την πεπερασμένη ή { } άπειρη ακολουθία σημείων ασυνέχειας, με σύνολο δεικτών I {,, } ενώ αν το έχει πεπερασμένο πληθάριθμο, ορίζουμε n I Ορισμός 53: Έστω κλαδικά δεξιά-συνεχής συνάρτηση f :[, και { j} ji η ακολουθία των σημείων ασυνέχειας με Η συνάρτηση f καλείται ομοιόμορφα κλαδικά δεξιάσυνεχής αν για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε f f I για όλα τα j ji [,, j I με, j j Ένα από τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας βασίζεται στη γενίκευση [] του λήμματος Babala που παρατίθεται στο βιβλίο [5] Αυτά ακολουθούν: Λήμμα 53 Babala :[5] Έστω : μια ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο [, Έστω επίσης ότι το όριο lm s ds υπάρχει και είναι πεπερασμένο Τότε καθώς Μια γενίκευση του λήμματος Babala ακολουθεί: Λήμμα 53:[] Έστω :[, μια κλαδικά δεξιάσυνεχής συνάρτηση και { } η πεπερασμένη ή άπειρη j ji ακολουθία σημείων ασυνέχειας με I Έστω επίσης ότι η είναι ομοιόμορφα κλαδικά δεξιά-συνεχής και το όριο lm s ds υπάρχει και είναι πεπερασμένο Τότε αν υπάρχει τέτοιο ώστε j j για όλα τα j I τότε lm Το βασικό εργαλείο που εξασφαλίζει ότι ο PI όρος του νόμου ελέγχου, που προτάθηκε στην παρούσα εργασία και στην [], είναι φραγμένος, είναι το ακόλουθο: 6

Κεφάλαιο Λήμμα 533:[] Έστω M [, μια κλαδικά δεξιάσυνεχής συνάρτηση και : f S [, μια συνεχής, κλαδικά : f διαφορίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε S [ S cos S ] M με σταθερές, Αν S S / [, τότε f Κλείνοντας το εδάφιο της μαθηματικής θεωρίας, παραθέτουμε μια θεμελιώδη μαθηματική ιδιότητα που ικανοποιούν τα δυναμικά συστήματα που εξετάζονται στην παρούσα εργασία Για ένα δυναμικό σύστημα με εξισώσεις κατάστασης και αρχικές συνθήκες αντίστοιχα: f,, o περιμένουμε ότι αυτό θα μεταβληθεί έπειτα από την αρχική στιγμή και η κατάστασή του θα μπορεί να ορισθεί για κάποιο Επίσης, εφόσον πρόκειται για ντετερμινιστικό σύστημα, αναμένουμε ότι όσες φορές κι αν επαναληφθεί το πείραμα στο οποίο μελετάμε το σύστημα, το τελευταίο θα εξελιχθεί ακριβώς με τον ίδιο τρόπο κάθε φορά και θα έχει την ίδια κατάσταση για ίδια Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης για τέτοιο σύστημα μπορούν να εξασφαλιστούν με την επιβολή, στη συνάρτηση, του εξής περιορισμού: f Ορισμός 53:[5] Για τη συνάρτηση του συστήματος, η ανίσωση f, f, y L y καλείται συνθήκη Lpschz για όλα τα και, y σε κάποια γειτονιά του o, Ειδικότερα αν f : η συνθήκη Lpschz μπορεί να γραφεί ως: f y f L y, f 7

Κεφάλαιο η οποία δηλώνει ότι στο γράφημα της ως προς θεία γραμμή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία της μπορεί να έχει κλίση με απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από L f, μια ευ- f δε Θεώρημα 53:[5] Τοπική Ύπαρξη και Μοναδικότητα Έστω μια κλαδικά συνεχής ως προς συνάρτηση που ι- κανοποιεί τη συνθήκη Lpschz: f, f, y L y, f,, y B { },, ] Τότε υπάρχει κάποιο [ τέτοιο ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση στο [, Από το σημείο αυτό και στο εξής, για οποιαδήποτε συνάρτηση ικανοποιεί το παραπάνω θεώρημα, θα λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι Locally Lpschz ] 54 Στοιχεία Θεωρίας Αυτομάτου Ελέγχου Στην παρούσα εργασία, καθώς και στην εργασία [], ο κατάνεμημένος νόμος ελέγχου που προτείνεται και εφαρμόζεται στους πράκτορες του δικτύου είναι PI νόμος ελέγχου, δηλαδή Αναλογικός-Ολοκληρωτικός νόμος ελέγχου Popoonal-Inegave conol law Από το σημείο αυτό και στο εξής θα αναφερόμαστε σε οποιοδήποτε Αναλογικό-Ολοκληρωτικό νόμο ελέγχου ως PI έλεγχο Σύμφωνα με την ονομασία, κάθε νόμος ελέγχου PI αποτελείται από το άθροισμα ενός αναλογικού ελεγκτή P και ενός ολοκληρωτικού ελεγκτή ή ολοκληρωτή Ι Και οι δύο ελεγκτές επιτελούν ανάδραση feedbac στο σύστημα που δρουν Ορισμός 54: Ανάδραση ενός συστήματος καλείται η ανατροφοδότηση των εξόδων του ως μέρος των εισόδων του, δημιουργώντας έναν κλειστό βρόχο closed loop 8

Κεφάλαιο Σχ 9: Γενική μορφή συστήματος με ανάδραση [πηγή: Wpeda] ελαχιστοποιήσει Ειδικότερα, στην είσοδο α- νατροφοδοτείται η κατάσταση του συστήματος και υπολογίζεται η απόκλιση της από μια επιθυμητή τιμή σφάλμα Το σφάλμα αυτό είναι η είσοδος του ελεγκτή, ο οποίος προσπαθεί να το Ορισμός 54: PI νόμος ελέγχου είναι νόμος της μορφής: J Q[ D, W s ds] Οι συναρτήσεις ως προς γραμμικός έλεγχος Q, D και W μπορεί να είναι γραμμικές γραμμικός έλεγχος ή μη γραμμικές μη Σχ : Λειτουργικό διάγραμμα συστήματος με PI έλεγχο, όπου οι όροι Ρ και Ι προστίθενται Όπως φαίνεται στο σχήμα, με K P και K I συμβολίζονται οι σταθερές κέρδους, για τον αναλογικό και ολοκληρωτικό ελεγκτη και στο συγκεκριμένο παράδειγμα η συνάρτηση είναι πρόσθεση των δύο όρων Q 9

3

Κεφάλαιο Μαθηματικά αποτελέσματα Στο παρόν εδάφιο παρουσιάζεται η απόδειξη της επέκτασης των λημμάτων 5 και 5 για την περίπτωση που ο γράφος του δικτύου, ο G, είναι μη συνεκτικός με ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες ορισμός 53 Τότε στην ιδιοτιμή,,, που είναι της μορφής: αντιστοιχούν τα ιδιοδιανύσματα j jsc e j jsc όπου είναι ο κόμβος που ανήκει στην e [ ] στο j e j sc συνιστώσα και j -οστό κελί Βάσει αυτών, ένα από τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας είναι το ακόλουθο: Λήμμα : Για γράφο G μη συνεκτικό με αποκομμένες ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες ισχύει: ull L L span{,,, } Απόδειξη: Για οποιαδήποτε μήτρα A ισχύει de A de A Βάσει αυτού, οι μήτρες L και L έχουν ίδιες ιδιοτιμές διότι L si L si L si από το οποίο προκύπτει de L si de L si Επίσης, για την ιδιοτιμή οι L και L έχουν ίδια ιδιοδιανύσματα Έστω ότι ένα από τα ιδιοδιανύσματα αυτά, και ισχύει: L Αναστρέφοντας το γινόμενο, παίρνουμε L από το οποίο τελικά: L 3

Κεφάλαιο Επιπλέον κάθε cs συνιστώσα, βάσει ορισμού 53, είναι αποκομμένη από τον υπόλοιπο γράφο άρα: j j όπου, j {,, } οι κόμβοι της sc συνιστώσας, και επειδή j j αυτή είναι και ισορροπημένη, ισχύει: j από το οποίο προκύπτει ότι πάγεται ότι:,, j j, j L ull L L span{,,, } j Από τα παραπάνω συνε- Ακολουθεί το δεύτερο από τα βασικά αποτελέσματά μας Για τον ίδιο γράφο με παραπάνω, η λαπλασιανή μήτρα του γράφεται με τις εξής διασπάσεις SD: G Τότε: L L L L Λήμμα : Για μη συνεκτικό προσανατολισμένο γράφο με sc συνιστώσες και λαπλασιανή μήτρα, ισχύει L L L L με MI / MAX όπου, οι ενδιάμεσες μήτρες των παραπάνω SD διασπάσεων Απόδειξη: Εφόσον ull L L ull L L span{,,, } έχουμε την SD διάσπαση L L L L όπου :, : και πολλαπλότητα της ιδιοτιμής της μήτρας L Οι μήτρες,, ορθογώνιες οπότε: L είναι 3

33 Κεφάλαιο I Βάσει αυτού έχουμε: I I L L {μηδενικοί όροι} διότι Επομένως: MAX L L και λόγω ορθογωνιότητας ισχύει: I από το οποίο προκύπτει: I Αντικαθιστώντας στην παραπάνω ανίσωση, αυτή γίνεται: MAX MAX I L L MAX {μηδενικοί όροι} διότι Άρα: MAX L L Όμως ισχύει MI το οποίο συνεπάγεται ότι MI Βάσει αυτού, η παραπάνω ανίσωση γί- νεται: MI MAX MAX L L

Κεφάλαιο ή ισοδύναμα: L L MAX MI L L Θεωρητική ανάλυση του προβλήματος Διατύπωση Προβλήματος Στο παρόν εδάφιο παρουσιάζεται η μαθηματική αναπαράσταση των πολύ-πρακτορικών δικτύων που θα εξετάσουμε και θα διατυπωθούν οι απαραίτητες υποθέσεις και συμβολισμοί που θα χρησιμοποιηθούν στις αποδείξεις των θεωρητικών αποτελεσμάτων Σε καθένα από τα επόμενα εδάφια παρουσιάζεται ξεχωριστή περίπτωση δυναμικού συστήματος και η θεωρητική απόδειξη της επίτευξης Consensus για τον PI έλεγχο που προτείνεται σε κάθε περίπτωση Συγκεκριμένα στο εδάφιο αναλύεται η περίπτωση συστήματος με απλούς ολοκληρωτές snglenegao agens, στο εδάφιο 3 αναλύεται η περίπτωση συστήματος με διπλούς ολοκληρωτές double-negao agens και στο εδάφιο 4 γίνεται αναγωγή των αποτελεσμάτων των εδαφίων και 3 στις δύο διαστάσεις, τόσο για απλής ολοκλήρωσης σύστημα όσο και για διπλής Για δίκτυο περιπτώσεις: πρακτόρων, θεωρούμε τις παρακάτω bu Sngle-negao Dynamcs v v bu Double-negao Dynamcs Και για τις δύο περιπτώσεις: είναι οι θέσεις των πρακτόρων v είναι οι ταχύτητές τους u είναι οι είσοδοι ελέγχου 34

Κεφάλαιο Ισχύει b είναι κέρδη υψηλής συχνότητας, v, u, b Ακολουθεί η διατύπωση των υποθέσεων: Υπόθεση : Όλα τα κέρδη b,,,, είναι άγνωστα, μη μηδενικά με άγνωστα και πιθανώς όχι ίδια πρόσημα Υπόθεση : Υποθέτουμε μια πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία χρονικών στιγμών εναλλαγής τοπολογίας, ένα { } σύνολο πιθανών τοπολογιών δικτύου που περιγράφονται από M τις Λαπλασιανές μήτρες { Ll } l και μια απεικόνιση n : I {,, M} τέτοια ώστε L Ln [,, j I Επίσης, έστω j j j μια άγνωστη σταθερά τέτοια ώστε j j j I Υπόθεση 3: Έστω και οι χρονικές στιγμές ενεργοποί- j j ησης και απενεργοποίησης αντίστοιχα, για οστή φορά, μιας τοπολογίας στην οποία οι κόμβοι και είναι γείτονες Τότε θα υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε: ma j j ma Η τρίτη υπόθεση ουσιαστικά εξασφαλίζει ότι καθεμιά από τις εναλλασσόμενες τοπολογίες διαρκεί για πεπερασμένο χρονικό διάστημα, ενώ η διαδοχή των συγκεκριμένων τοπολογιών του δικτύου οι οποίες ορίζονται από την εκφώνηση του προβλήματος και είναι πεπερασμένου πλήθους συνεχίζεται απεριόριστα, με το χρόνο μεταξύ απενεργοποίησης μιας τοπολογίας και της επανενεργοποίησης της να είναι άνω φραγμένος Για παράδειγμα, αν G, G, G3, G4 οι τοπολογίες μιας συγκεκριμένης περίπτωσης, η διαδοχή αυτών εξελίσσεται ως εξής: G G G3 G4 G G G3 G4 Τέλος, στα εδάφια και 3 παρουσιάζεται πρώτα το θεώρημα που έχει ήδη αποδειχθεί στην εργασία [] και αφορά εναλλασσόμενες τοπολογίες με συνεκτικούς γράφους Αμέσως μετά παρουσιάζεται το αντίστοιχο κύριο αποτέλεσμα της παρούσας εργασίας, που είναι η επέκταση της ισχύος του θεωρήματος και η απόδειξή του για εναλλασσόμενες τοπολο- j j ji 35

Κεφάλαιο γίες μη συνεκτικών γράφων, καθένας από τους οποίους έχει αποκομμένες, ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες sc s και όλοι μαζί έχουν συνεκτική ένωση jonly conneced gaphs Πράκτορες Απλής Ολοκλήρωσης Για ένα δίκτυο πρακτόρων με δυναμική απλής ολοκλήρωσης της μορφής: bu ορίζουμε:, και [ ] Θεώρημα :[] Αν σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών με συνεκτικούς γράφους, που περιγράφεται από τις υποθέσεις και του εδαφίου, επιλέξουμε τον κατανεμημένο νόμο ελέγχου: u S cos S με PI όρο S s s ds, u με, τότε όλα τα, είναι φραγμένα και lm [ ],,,, Θεώρημα : Αν σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών μη συνεκτικών γράφων, καθένας από τους οποίους έχει αποκομμένες ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες sc s και όλοι μαζί έχουν συνεκτική ένωση jonly conneced gaphs, το οποίο περιγράφεται από τις υποθέσεις, και 3 του εδαφίου, επιλέξουμε τον κατανεμημένο νόμο ελέγχου: u S cos S με PI όρο u S s s ds με,, τότε όλα τα, είναι φραγμένα και lm [ ],,,, 36

Κεφάλαιο Απόδειξη: Ξεκινάμε γράφοντας τις εξισώσεις κατάστασης του συστήματος και τους νόμους ελέγχου σε διανυσματική μορφή Για το σκοπό αυτό, ορίζουμε το γενικευμένο διάνυσμα κατάστασης: όπου ag : [ y ] : [,, ], y : [ y,, y ] και y : s s ds, Τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν τη μορφή: με Q ag, y L y e e L, Q ag : dag{ b / y cos / y } και e την -οστή του μοναδιαίου πίνακα Λόγω της, η απεικόνιση f από το δυναμικό σύστημα που προκύπτει, f,, είναι κλαδικά συνεχής και τοπικά Lpschz Επομένως υπάρχει μοναδική συνεχής λύση που μπορεί να εκτείνεται σε ένα διάστημα μέγιστου χρόνου, το,, όπως αποδεικνύεται στην εργασία [6] Παραγωγίζοντας τον ΡΙ όρο έχουμε: S b u [ b u ] [ b S cos S ] ag ag [ f, [, f ag Απευθείας χρήση του λήμματος 533 δίνει ότι ο ΡΙ όρος είναι φραγμένος: S S / b [, f Βάσει αυτού, φραγμένο θα είναι και το παρακάτω άθροισμα: 37

Κεφάλαιο για κάθε S s s ds s L s L s s ds, [, f Απευθείας χρήση του λήμματος 5 δίνει ότι: L s s ds S Από την παραπάνω ανάλυση συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι φραγμένα στο Επομένως, ολόκληρο το διά-, y νυσμα f ag [, f είναι φραγμένο και η λύση θα ορίζεται μέχρι το [6],[7] Ισοδύναμα έχουμε L για την παράγωγο του οποίου ισχύει: L L b u L, [, Αξιοποιώντας την ιδιότητα ότι L L, εφαρμόζοντας το λήμμα 33 γενικευμένο λήμμα Babala έχουμε ότι: lm,,,, Έστω μια από τις πολλές διαδοχικές τοπολογίες, η οποία έχει γράφο G με πράκτορες Ο G έχει αποκομμένες ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες solaed songly conneced balanced, sc,,, και έστω ότι η Λαπλασιανή μήτρα του έχει μηδενική ιδιοτιμή με πολλαπλότητα και μπορεί να γραφτεί ως εξής: L 38

39 Κεφάλαιο ] [ όπου : e sc με sc την οστή από τις sc συνιστώσες του G της συγ- κεκριμένης τοπολογίας και sc e Η μήτρα ] [,, είναι ορθογώνια, οπότε: I ] [ το οποίο ισοδυναμεί με I Τελικά παίρνουμε: I 3 Επιπλέον ισχύει: : sc h 4 Επομένως έχουμε: L Πολλαπλασιασμός από δεξιά με δίνει:

4 Κεφάλαιο Πολλαπλασιασμός από δεξιά με δίνει: Αντικαθιστώντας την 3 γίνεται: I ] [ και λόγω της 4 γίνεται: h h h Στο σημείο αυτό, για το οστό κόμβο του G ισχύει:,, sc sc j j sc e sc e e e Άρα για το οστό και οστό κόμβο του G παίρνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ISC ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Έστω ότι είναι η sc συνιστώσα Εφόσον αυτή είναι αποκομμένη, οι κόμβοι μ και λ δε θα ανήκουν σε άλλη Τότε: h e h e e e

4 Κεφάλαιο sc sc e h e h e e e e Συνεπώς λόγω της εφόσον, τότε θα υπάρχουν κάποια, τέτοια ώστε ],, [, a ΔΕΝ ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ISC ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Από Υπόθεση 3 σελ9 έχουμε το φραγμένο χρονικό διάστημα κατά το οποίο ήταν γείτονες για οστή φορά Από την παραπάνω ανάλυση, εφόσον για κάθε θα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε: ],, [, Ορισμός : Έστω * η τελευταία χρονική στιγμή πριν τη στιγμή κατά την οποία οι κόμβοι μ και λ ήταν γείτονες Έστω λοιπόν μια χρονική στιγμή κατά την οποία δεν είναι γείτονες Τότε: * * * * και λόγω Τριγωνικής Ανισότητας: * * * * Για τους δύο πρώτους απόλυτους προσθετέους του δεξιού μέλους εφαρμόζουμε Θεώρημα Μέσης Τιμής:

Κεφάλαιο 5 * * l l, * Όμως από Υπόθεση 3, το διάστημα * είναι φραγμένο: 5α * ma Επιπλέον, ισχύει και που συνεπάγεται ότι b u u, άρα Επομένως θα υπάρχει τέτοιο ώστε: 5β 4 Με χρήση των 5α,5β η σχέση 5 γίνεται: * 6 4 Με την ίδια λογική, για το δεύτερο απόλυτο προσθετέο ισχύει * 7 4 Τέλος, για τον τρίτο απόλυτο προσθετέο, παρατηρούμε ότι για * οι κόμβοι μ και λ ήταν γείτονες Επομένως ισχύει: * * 8 Συνεπώς με χρήση των 6,7 και 8 παίρνουμε: b 4 4 ma 4

Κεφάλαιο Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα a και b προκύπτει ότι για οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων μ και λ ισχύει lm [ ], δηλαδή η απόσταση μεταξύ τους τείνει στο μηδέν οπότε επιτυγχάνεται Consensus 3 Πράκτορες Διπλής Ολοκλήρωσης Για ένα δίκτυο πρακτόρων με δυναμική διπλής ολοκλήρωσης της μορφής: v ορίζουμε: και v b u v v,, [ ], [ ] Θεώρημα 3:[] Αν σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών με συνεκτικούς γράφους, που περιγράφεται από τις υποθέσεις και του εδαφίου, επιλέξουμε τον κατανεμημένο νόμο ελέγχου: u R cos R [ v ] όπου, με PI όρο v,,, v, u R s s ds όπου με, τότε όλα τα, είναι φραγμένα και lm [ ], lm [ v v ],,,,, 43

Κεφάλαιο Θεώρημα 3: Αν σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών μη συνεκτικών γράφων, καθένας από τους οποίους έχει αποκομμένες ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες sc s και όλοι μαζί έχουν συνεκτική ένωση jonly conneced gaphs, το οποίο περιγράφεται από τις υποθέσεις, και 3 του εδαφίου, επιλέξουμε τον κατανεμημένο νόμο ελέγχου: u R cos R [ v ] με PI όρο R v s ds s s ds με,,, τότε όλα τα, v, u είναι φραγμένα και lm [ ], lm [ v v ],,,,, Απόδειξη: Παρόμοια με το προηγούμενο εδάφιο, γράφουμε τις εξισώσεις κατάστασης του συστήματος και τους νόμους ελέγχου σε διανυσματική μορφή Έτσι ορίζουμε τα γενικευμένα διανύσματα κατάστασης: όπου [,, και ag 3 [ v y ], : z : [ v ] : ], v : [ v,, v ], y : [ y, y : s s ds, Τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν τη μορφή:, y ] με z ag, y z y v e e L v, ag : W ag L W ag I I L και W ag : dag{ b cos / y } Λόγω της, η απεικόνιση f από το δυναμικό σύστημα που προκύπτει, f,, είναι κλαδικά συνεχής και τοπικά Lpschz ag ag Επομένως υπάρχει μοναδική συνεχής λύση που μπορεί ag 44

45 Κεφάλαιο να εκτείνεται σε ένα διάστημα μέγιστου χρόνου, το, [ f, όπως αποδεικνύεται στην εργασία [6] Παραγωγίζοντας τον ΡΙ όρο έχουμε: v v R ] [ ] [ v v v b u ] [ v b u ] [ ] cos [ v R R b, για κάθε, [ f Απευθείας χρήση του λήμματος 533 δίνει ότι ο ΡΙ όρος είναι φραγμένος: [, / f b R R Βάσει αυτού, φραγμένο θα είναι και το παρακάτω άθροισμα: ds s s ds s v R ds s v ds s s L s L s,, [ f Απευθείας χρήση του λήμματος 5 δίνει ότι: R ds s s L ds s v Από την παραπάνω ανάλυση συνεπάγεται ότι τα διανύσματα y v,, είναι φραγμένα στο, [ f Επομένως, ολόκληρο το διά- νυσμα ag είναι φραγμένο και η λύση θα ορίζεται μέχρι το f [6],[7] Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι L,,,,, οπότε και L u,,,, Επίσης προκύπτει ότι L L v,,,,

Κεφάλαιο v Για τις ταχύτητες η εφαρμογή του λήμματος 53 γενικευμένο λήμμα Babala δίνει ότι: lm,,, v, Ισοδύναμα έχουμε L και παραγωγίζοντας: L L [ v ] L [ Bu v] L [, Αξιοποιώντας την ιδιότητα ότι L L, εφαρμόζοντας το λήμμα 53 γενικευμένο λήμμα Babala έχουμε ότι: lm,,, 3, Από το σημείο αυτό και παρακάτω, ο τρόπος εργασίας είναι ίδιος με αυτόν στην απόδειξη του θεωρήματος Έστω μια από τις πολλές διαδοχικές τοπολογίες, η οποία έχει γράφο με πράκτορες Ο G έχει αποκομμένες ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες solaed songly conneced balanced, sc,,, και έστω ότι η Λαπλασιανή μήτρα του έχει μηδενική ιδιοτιμή με πολλαπλότητα και μπορεί να γραφτεί ως εξής: G L [ ] όπου e sc : 46

47 Κεφάλαιο με sc την οστή από τις sc συνιστώσες του G της συγ- κεκριμένης τοπολογίας και sc e Η μήτρα, ], [ είναι ορθογώνια οπότε I ] [ Αυτό συνεπάγεται ότι: I 4 Επιπλέον ισχύει: ] : [ sc sc h v 5 Επομένως έχουμε: L Πολλαπλασιασμός από δεξιά με δίνει: Πολλαπλασιασμός από δεξιά με δίνει: και αντικαθιστώντας την 4 γίνεται: I ] [

48 Κεφάλαιο και λόγω της 5 γίνεται: h h h Στο σημείο αυτό, για το οστό κόμβο του G ισχύει:,, sc sc j j sc e sc e e e Άρα για το οστό και οστό κόμβο του G παίρνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ISC ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Έστω ότι είναι η sc συνιστώσα Τότε: h e h e e e sc sc e h e h e e e e Συνεπώς λόγω της 3 εφόσον, τότε θα υπάρχουν κάποια, τέτοια ώστε ],, [, a*

Κεφάλαιο ΔΕΝ ΑΝΗΚΟΥΝ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ISC ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Από Υπόθεση 3 σελ9 έχουμε το φραγμένο χρονικό διάστημα κατά το οποίο ήταν γείτονες για φορά Από την παραπάνω ανάλυση, εφόσον για κάθε θα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε:, [, ], Ορισμός 3: Έστω * οστή η τελευταία χρονική στιγμή πριν τη στιγμή κατά την οποία οι κόμβοι μ και λ ήταν γείτονες Έστω λοιπόν μια χρονική στιγμή κατά την οποία δεν είναι γείτονες Τότε: * * * * και λόγω Τριγωνικής Ανισότητας: * * * * Για τους δύο πρώτους απόλυτους προσθετέους του δεξιού μέλους, κατά τα γνωστά εφαρμόζουμε Θεώρημα Μέσης Τιμής: 6 * * l l, * Όμως από Υπόθεση 3, το διάστημα είναι φραγμένο: * 6α * ma και επιπλέον, ισχύει v και παραγωγίζοντας: v b u v 49

Κεφάλαιο Λόγω της 3 είναι v που συνεπάγεται ότι u Άρα Επομένως θα υπάρχει τέτοιο ώστε: 6β 4 ma Με χρήση των 6α,6β η σχέση 6 γίνεται: * 7 4 Με την ίδια λογική, για το δεύτερο απόλυτο προσθετέο έχουμε * 8 4 Τέλος, για τον τρίτο απόλυτο προσθετέο, παρατηρούμε ότι για * οι κόμβοι μ και λ ήταν γείτονες Επομένως ισχύει: * * 9 Συνεπώς συνδυάζοντας τις 7,8 και 9 παίρνουμε: b* 4 4 Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα a* και b* προκύπτει ότι για οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων μ και λ ισχύει lm [ ] 5

Κεφάλαιο H ανάλυση ολοκληρώνεται με τη σύγκλιση των θέσεων και των ταχυτήτων των πρακτόρων Από τον ορισμό των έχουμε το οποίο για δίνει: s e e e s ds Σχηματίζοντας αυτή την ποσότητα για τους κόμβους μ και λ και χρησιμοποιώντας τριγωνική ανισότητα έχουμε: e [ ] s e e s s ds για όλα τα,, {,, } Εφόσον L υπάρχει, {,, } Επομένως για όλα τα c τέτοιο ώστε c για όλα τα : ma {,/ ln 4c / } λόγω της και επειδή για κάθε και,, {,, }, έχουμε: e e s s s ds ce Έτσι, για κάθε υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε: δηλαδή lm [ ] για κάθε, {,, } 5

Κεφάλαιο Τέλος, από τον ορισμό των έχουμε: lm [ v δηλαδή v ] lm lm για κάθε, {,, } [ lm [ v v ] [ ], ] Συνεπώς για οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων, συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω αποτελέσματα, η απόσταση μεταξύ τους και οι ταχύτητές τους τείνουν στο μηδέν οπότε τελικά επιτυγχάνεται Consensus Παρατήρηση: στον ΡΙ όρο του θεωρήματος 3 προστέθηκαν και οι όροι, v s ds επιπλέον αυτών που υπάρχουν στο θεώρημα 3, προκειμένου να αποδειχθεί ότι οι ταχύτητες των πρακτόρων είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, ώστε να εξασφαλιστεί η σύγκλισή τους στο μηδέν μέσω του λήμματος Babala 4 Αναγωγή στις δύο διαστάσεις Στο παρόν εδάφιο γίνεται διατύπωση του προβλήματος που αναλύθηκε παραπάνω, στις δύο διαστάσεις Οι υποθέσεις, και 3 της σελίδας 9 γίνονται και εδώ, ενώ ολόκληρο το μαθηματικό υπόβαθρο και οι ορισμοί που διατυπώθηκαν μέχρι αυτό το σημείο έχουν ισχύ και στην περίπτωση των δύο διαστάσεων Όπως θα γίνει φανερό στη συνέχεια, η λύση του προβλήματος δύο διαστάσεων ισοδυναμεί με τη λύση δύο μονοδιάστατων προβλημάτων, όπως αυτή δόθηκε στα εδάφια και 3 για δίκτυα απλής και διπλής ολοκλήρωσης αντίστοιχα Συνεπώς θα περιοριστούμε μόνο στη διατύπωση των αντίστοιχων προβλημάτων δύο διαστάσεων 5

Κεφάλαιο Δίκτυο απλών ολοκληρωτών Για το δυναμικό σύστημα: b u b u, ορίζουμε ίδια λαπλασιανή μήτρα και για τις δύο διαστάσεις: Σημειώνεται ότι τα ίδιας λαπλασιανής μήτρας Είναι είναι κοινά για κάθε διάσταση λόγω και,, Ο νόμος ελέγχου για την πρώτη διάσταση είναι: με ΡΙ όρο u S S cos S s s ds, και αντίστοιχα για τη δεύτερη: με ΡΙ όρο u S cos S 53

Κεφάλαιο με, S s s ds, Διατυπώνοντας για τις δύο διαστάσεις: L και L, με,, και L για κάθε διάσταση ακολουθείται η ίδια μεθοδολογία με αυτή του εδαφίου, ώστε να αποδειχθεί σύγκλιση θέσεων των πρακτόρων Δίκτυο διπλών ολοκληρωτών Για το δυναμικό σύστημα: v v v v b u b u,, ορίζουμε: j j j και j v με j, j v Ο νόμος ελέγχου που επιλέγεται για κάθε διάσταση είναι: όπου u j R cos R [ v ] j j j j j 54

Κεφάλαιο :,, j, j Αντίστοιχα ο ΡΙ όρος είναι: R j j j j j vj s ds j j s s ds όπου : v,, j, j j j με,, Διατυπώνοντας για τις δύο διαστάσεις: L και L, με, και L, j,, για κάθε διάσταση, όπως πριν, ακολουθείται η ίδια μεθοδολογία με αυτή του εδαφίου 3, ώστε να αποδειχθεί σύγκλιση θέσεων και ταχυτήτων των πρακτόρων 55

56

Κεφάλαιο 3 3 Προσομοιώσεις 3 Τα δεδομένα Στο κεφάλαιο αυτό θα εκτελέσουμε προσομοίωση consensus ενός δικτύου με τέσσερις πράκτορες Θα μελετηθούν δύο περιπτώσεις δικτύου, σε καθεμιά από τις οποίες προκύπτουν τρεις εναλλασσόμενες τοπολογίες γράφων Καθένας από τους γράφους αυτούς είναι μη συνεκτικός με ισχυρά συνεκτικές και απόλυτα απομονωμένες συνιστώσες, όπως αυτές έχουν ορισθεί από τον ορισμό 53 σελίδα 8 Επισημαίνεται ότι και στις δύο περιπτώσεις μελέτης, η ένωση των είναι γράφος από κοινού συνεκτικός jonly conneced gaph Η διαδοχή των τοπολογιών είναι η ακόλουθη: G G G G G G, G G, 3 G, G G, 3 G3 3 και ισχύει: G, G G, G, 3 [,5 mod [5, mod [, mod Οι προσομοιώσεις έγιναν στο πρόγραμμα Malab R9a Οι γράφοι των τοπολογιών και οι αντίστοιχες λαπλασιανές μήτρες παρουσιάζονται στην επόμενη σελίδα: 57

58 Κεφάλαιο 3 Περίπτωση :,, 3 L L L Σχήμα : Τοπολογίες περίπτωσης G+G+G3 G G G3

59 Κεφάλαιο 3 Περίπτωση :,, 3 L L L 3 Τα αποτελέσματα Περίπτωση : Θέτουμε ως διάνυσμα αρχικών θέσεων το εξής: 5 545 5 85 Δίκτυο απλών ολοκληρωτών Σχήμα : Τοπολογίες περίπτωσης G+G+G G G G3

Κεφάλαιο 3 Το διάνυσμα με τα κέρδη ελέγχου είναι: b Επίσης θέτουμε 6 Ακολουθούν τα γραφήματα θέσεων και νόμων ελέγχου ως προς χρόνο 6

Κεφάλαιο 3 Περίπτωση : Διάνυσμα αρχικών καταστάσεων: Κέρδη ελέγχου: b Επίσης 6 45 5 5 85 6

Κεφάλαιο 3 Δίκτυο διπλών ολοκληρωτών Ως διανύσματα αρχικών θέσεων και ταχυτήτων των πρακτόρων θέτουμε αντίστοιχα: 5 5 5 v v Το διάνυσμα με τα κέρδη ελέγχου εδώ είναι: b Τέλος, θέτουμε και Ακολουθούν τα γραφήματα θέσεων, ταχυτήτων και νόμων ελέγχου ως προς χρόνο Περίπτωση : 6 6

63 Κεφάλαιο 3

Κεφάλαιο 3 Περίπτωση : 64

Κεφάλαιο 3 Δύο διαστάσεις Το παρόν εδάφιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση στιγμιοτύπων από τις προσομοιώσεις των δικτύων που μελετήθηκαν παραπάνω, όταν αυτά ανάγονται στην περίπτωση δύο διαστάσεων Και για τις δύο περιπτώσεις δικτύου θέτουμε: Κέρδη ελέγχου: b Για τους απλούς ολοκληρωτές: 6 Για τους διπλούς ολοκληρωτές:, 6 Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται τα στιγμιότυπα, πρώτα για το δίκτυο της περίπτωσης και μετά για αυτό της περίπτωσης Σημειώνεται ότι σε κάθε περίπτωση, τα διανύσματα αρχικών θέσεων είναι ίδια τόσο για τους απλούς όσο και για τους διπλούς ολοκληρωτές 65

Κεφάλαιο 3 Περίπτωση Διανύσματα αρχικών θέσεων: 5 5 5, y y 5 3 66

Κεφάλαιο 3 Περίπτωση Διανύσματα αρχικών θέσεων: 3 5 5 45, y y 5 3 75 67

Κεφάλαιο 3 3 Συμπεράσματα 3 Σύνοψη και αποτελέσματα Στην παρούσα διπλωματική εργασία προτείναμε μια λύση για το πρόβλημα consensus με πράκτορες που έχουν άγνωστες, μη ταυτόσημες κατευθύνσεις ελέγχου και το δίκτυο παρουσιάζει εναλλασσόμενες τοπολογίες, κάθε μια από τις οποίες έχει μη συνεκτικό γράφο με απόλυτα αποκομμένες ισχυρά συνεκτικές και ισορροπημένες συνιστώσες Η ένωση των γράφων όλων των τοπολογιών είναι ένας ισχυρά συνεκτικός γράφος Τα κύρια εργαλεία μας είναι η γενίκευση του λήμματος Babala για ομοιόμορφα κλαδικά συνεχείς συναρτήσεις [] λήμμα 53 και η επέκταση των λημμάτων της εργασίας [] ώστε να έχουν ισχύ και στον τύπο προβλήματος consensus που εξετάστηκε στον παρόντα τόμο Στις προσομοιώσεις του κεφαλαίου αυτού είναι φανερή η επίτευξη consensus μεταξύ των κόμβων, και για τις δύο περιπτώσεις δικτύου που προσομοιώθηκαν Από τα γραφήματα διαπιστώνεται πως η πυκνότητα του δικτύου, δηλαδή το πλήθος των ακμών κάθε αποκομμένης ισχυρά συνεκτικής συνιστώσας καθενός από τους γράφους των τοπολογιών, επηρεάζει την ταχύτητα σύγκλισης του δικτύου Έτσι, στη δεύτερη περίπτωση δικτύου, που η πυκνότητα των γράφων είναι μεγαλύτερη, η σύγκλιση θέσεων των πρακτόρων επιτυγχάνεται φανερά γρηγορότερα από τη σύγκλιση θέσεων της πρώτης περίπτωσης, ακόμα και με μικρότερα κέρδη ελέγχου, και στους απλούς και στους διπλούς ολοκληρωτές 3 Επεκτάσεις Η περίπτωση προβλήματος που μελετήθηκε στην παρούσα διπλωματική είναι μια από τις πολλές που μπορεί να αντιμετωπίσει ο Μηχανικός Ελέγχου Ενδεικτικά, ορισμένες ιδέες πάνω στις οποίες μπορεί να υπάρξει επέκταση των αποτελεσμάτων μας στο μέλλον είναι: 68

Κεφάλαιο 3 PI έλεγχος σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών, με γράφους μη συνεκτικούς και συνιστώσες οι οποίες δεν είναι απόλυτα αποκομμένες από τους υπόλοιπους κόμβους, όπως στην περίπτωση που εξετάσαμε PI έλεγχος σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών, το οποίο θα έχει δυναμική με στοχαστικές διαταραχές Έλεγχος με επιπλέον όρο παραγώγου PID στην περίπτωση δικτύου που εξετάστηκε στον παρόντα τόμο PI έλεγχος σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών, με γράφους συνεκτικούς αλλά όχι ισορροπημένους PI έλεγχος σε δίκτυο εναλλασσόμενων τοπολογιών, στις εξισώσεις κατάστασης του οποίου υπάρχει και δυναμική, δηλαδή κάποιος όρος που περιέχει μια συνάρτηση της μεταβλητής, γραμμική ή μη 69

Κεφάλαιο 3 33 Βιβλιογραφία [] Has E Psllas, Consensus n newos of agens wh unnown hgh-feuency gan sgns and swchng opology, IEEE ans Auom Conol, vol 6, pp 3993-3998, 7 [] R Olfa-Sabe, Rchad M Muay, Consensus poocols fo newos of dynamc agens, n Poc 3 Am Conol Conf, 3, pp 95-956 [3] R Olfa-Sabe, Rchad M Muay, Consensus poblems n newos of agens wh swchng opology and me delays, IEEE ans Auom Conol, vol 49, no 9, pp 5-533, Sepembe 4 [4] R Olfa-Sabe, J Ale Fa, Rchad M Muay, Consensus and coopeaon n newoed mul-agen sysems, IEEE ans Auom Conol, vol 95, no, Januay 7 [5] H K Khall, on Lnea Sysems, hd edon, Pence Hall, [6] M W Hsch, S Smale, S Dffeenal Euaons, Dynamcal Sysems and Lnea Algeba, Academc Pess, ew Yo, 974 [7] H Zhang, F Lews and Z Qu, Lyapunov, adapve and opmal desgn echnues fo coopeave sysems on deced communcaon gaphs, IEEE ans Ind Elec, vol 59, no 7, pp 36-34, [8] J Peng and X Ye, Coopeave conol of mulple heeogeneous agens wh unnown hgh-feuency gan sgns, Sysems & Conol Lees, vol 68, pp 5-56, 4 7