ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή x Σχηματίζουμε τις διαφορές t x, t x,..., t ν x Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος με μηδέν. Μονάδες 7 Α. Αν x,x,,x ν είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους ν και w,w,...,w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε το σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α3. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να δώσετε τους ορισμούς του βέβαιου ενδεχομένου και του αδύνατου ενδεχομένου. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΘΕΜΑ B ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο x 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε lm (f (x) g(x)) lm f (x) lm g(x) x x β) Για κάθε x>0 ισχύει ( ) x x x x 0 0 0 x x γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση xf(t), τη χρονική στιγμή t 0 είναι υ(t 0 )f (t 0 ) δ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x, x με x <x ισχύει f(x )<f(x ) ε) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. ίνεται η συνάρτηση f (x) x x +, x Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το f (x) lm x x Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x 0 0 Μονάδες 0 B3. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα x x Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ Οι τιμές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 60 ατόμων, τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραμμα αδυνατίσματος, έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα: ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ x ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ [0 -...)... 0 [... -...) 6 40 [... -...)... 45 [... -...)... 30 [... -...)... 5 ΣΥΝΟΛΟ 60 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είναι ίσο με 4 Μονάδες 6 Γ. Αφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα σωστά συμπληρωμένο, να υπολογίσετε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s Μονάδες 8 ν Γ3. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 5 Γ4. Αν κάθε άτομο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «η απώλεια βάρους ενός ατόμου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι από 7 μέχρι και 4 κιλά». Μονάδες 6 ίνεται ο τύπος s k ν x ν k x ν ν ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και η συνάρτηση f (x) ln + ( x P(A) ) ( x P(A) ) P(B), x>p(α). Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 5 x o με τιμή f(x o )0, να αποδείξετε ότι: 3 Ρ(Α) και Ρ(Β) 3 Μονάδες Λαμβάνοντας υπόψη το ερώτημα και επιπλέον ότι να βρείτε την πιθανότητα: 5 P(A B), 6 3. να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α, Β. Μονάδες 5 4. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α, Β. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ Α Α θεωρία σχ. βιβλίου σελ 93 Α θεωρία σχ. βιβλίου σελ 87 Α 3 θεωρία σχ. βιβλίου σελ 40 Α 4 α Σ, β Λ, γ Σ, δ Λ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β f(x)- ( x -x+-)- ( x -x+-) lm lm lm x x- x x- x x- (x -x+-) x(x-) x lm lm lm x x x (x-)( x -x++) (x-)( x -x++) x -x++ x- f (x) (x x+) (x-) Β λf (0). x x+ x x+ x x+ Β 3 Αν ω η γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα x x τότε εφω λ εφω- ω 3 π. 4 ΘΕΜΑ Γ Γ Αν c το πλάτος της κλάσης τότε η δεύτερη κλάση είναι της μορφής [c, c) οπότε c+c 6 3c c4
Γ ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ V X.ν X X v Χ [0-4) 0 40 4 80 [4-8) 6 40 40 36 440 [8-) 0 45 450 00 4500 [-6) 4 30 40 96 5880 [6-0) 8 5 450 34 800 ΣΥΝΟΛΟ 60 600 0.000 x. v 600 x 0 v 60 (κιλά) k x v κ (600) s x v (0.000 ) ν ι v 60 60 600.600 (0.000 ) (0.000 6.000).4000 5 60 60 60 60 Άρα s 5 5 κιλά s 5 50 Γ 3 CV 50% > 0% άρα το δείγμα δεν είναι x 0 00 ομοιογενές.
Γ 4 Κατά την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων τα στατιστικά δεδομένα θεωρούμε ότι κατανέμονται ομοιόμορφα σε κάθε κλάση. Τα άτομα που έχουν απώλεια βάρους από 7 μέχρι 4 κιλά είναι: v+ v3+ v4 0+ 45+ 5 70 4 N( A) 70 7 Άρα P(A) N( Ω) 60 6 ΘΕΜΑ Δ Δ f (x) ( x-p(a) ) (x-p(a))( x-p(a) ) x-p(a) (x-p(a)) (x-p(a)) x-p(a) x-p(a) ( ) ( ) f (x) 0 - x-p(a) 0 x-p(a) x-p(a) x P(A)+ γιατί x-p(a)>0 f (x) f(x) + H f είναι συνεχής στο (P(A),+P(A)] με f (x)>0 στο (P(A),+P(A)) άρα η f γν. αύξουσα στο (P(A),+P(A)] H f είναι συνεχής στο [+P(A),+ ) με f (x) < 0 στο (+P(A),+ ) άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο [+P(A),+ ) Για x 0+P(A) η f παρουσιάζει μέγιστο το f(+p(a))p(b)-
Δ 0 5 5 x + P( A) P( A) 3 3 3 5 5 5 + P B 3 3 3 3 3 f( ) 0 ln( ) ( ) ( ) 0 ln-. + P( B) 0 P( B) Δ 3 P(A B)P(A)+P(B)-P(A B) P(A B) P(A)+P(B) P(A B) 5 P(A B) + 3 6 3 P( A B) P( A B) 3 3 [ ] Δ 4 Τα Α-Β, Β-Α είναι ασυμβίβαστα [ ] P ( A B) ( B A) P( A B) + P( B A) P( A) + P( B) P( A B) + 3 3