ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός /
Βασικές Έννοιες Η επιστήμη της Φυσικής συχνά μελετάει διάφορες διαταραχές που προκαλούνται και διαδίδονται στο χώρο. Μία τέτοια διαταραχή ονομάζεται κύμα. Το κύμα είναι μία διαταραχή η οποία διαδίδεται από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Ένα κύμα μεταφέρει ενέργεια και ορμή, όχι σωματίδια, δηλαδή κατά τη διάδοση του κύματος δεν μεταφέρεται ύλη. Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειαζόμαστε μία πηγή, η οποία θα προκαλεί την διαταραχή. Αυτή την πηγή την ονομάζουμε, πηγή διαταραχής ή κύματος. Αν το κύμα διαδίδεται σε κάποιο υλικό μέσο, τότε το κύμα ονομάζεται μηχανικό. Σημαντικό ρόλο παίζει η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα. Ο τύπος που x χρησιμοποιούμε είναι ο γνωστός από τον ορισμό της ταχύτητας, δηλαδή u (). Η ταχύτητα αυτή ονομάζεται ταχύτητα διάδοσης. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα θα εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου και όχι από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. Επιπλέον υπάρχουν δύο ταχύτητες. Η μία είναι η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα και η άλλη είναι η ταχύτητα με την οποία ταλαντώνεται τα υλικά σημεία του μέσου, μέσα στο οποίο διαδίδεται το κύμα. Τα κύματα μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δύο κατηγορίες ανάλογα τη διεύθυνση στην οποία κινούνται τα σημεία του ελαστικού μέσου. Αυτές είναι τα εγκάρσια κύματα και τα διαμήκη. Τα εγκάρσια διαδίδονται σε στερεά, ενώ τα διαμήκη και σε υγρά και σε αέρια. Εγκάρσια ονομάζουμε τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, π.χ. τα κύματα κατά μήκος μίας χορδής. Επίσης τα κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση εγκάρσια.
Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, π.χ. το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος ενός ελατηρίου. Αν η πηγή του κύματος είναι περιοδική τότε το κύμα ονομάζεται περιοδικό κύμα και σε περίπτωση που η κίνηση της πηγής είναι μία απλή αρμονική ταλάντωση, τότε το κύμα ονομάζεται ημιτονοειδές ή αρμονικό και είναι η κατηγορία κυμάτων που θα μελετήσουμε. Βασικά Μεγέθη Αρμονικού Κύματος Αφού λοιπόν τα κύματα αυτά προκαλούνται από μία απλή αρμονική ταλάντωση θα έχουν και αυτά μία περίοδο. Η περίοδος του κύματος, Τ, είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνει μία ταλάντωση. Επίσης θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε πως σε μία περίοδο του κύματος αν είχαμε τη δυνατότητα να φωτογραφίσουμε το κύμα, θα παρατηρούσαμε πως η εικόνα επαναλαμβάνεται. Η συχνότητα, f, με την οποία ταλαντώνονται τα σημεία του μέσου είναι η συχνότητα του κύματος. Η συχνότητα μας δείχνει τον αριθμό των κορυφών (σε εγκάρσιο κύμα) ή των πυκνωμάτων (σε διάμηκες κύμα). Τέλος, ένα ακόμα σημαντικό μέγεθος, στη μελέτη ενός αρμονικού κύματος, είναι το μήκος κύματος. Μήκος κύματος, λ, ονομάζουμε την απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μίας περιόδου. Επομένως αφού σε χρόνο μίας περιόδου το κύμα έχει διανύσει απόσταση λ, τότε θα x έχουμε: u f (). Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή και ως θεμελιώδης εξίσωση της T κυματικής. 3
Η εξίσωση που περιγράφει ένα αρμονικό κύμα είναι η x y A (3). Όπως T βλέπουμε το κύμα πλέον εξαρτάται και από τον χρόνο αλλά και από το σημείο το οποίο x μελετάμε. Η ποσότητα που είναι μέσα στο ημίτονο, ονομάζεται και φάση του κύματος T x και όπως και στην απλή αρμονική ταλάντωση, μετριέται σε rad. Δηλαδή (4). T Οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν όταν το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Αν το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική, τότε θα έχουμε, x (6). T x y A (5) και T Γραφική Παράσταση Κύματος Η φάση του κύματος εξαρτάται από δύο παράγοντες, το χρόνο και την θέση. Το κύμα δεν διαδίδεται ακαριαία σε όλο το ελαστικό μέσο, αλλά χρειάζεται κάποιο χρονικό διάστημα για να φτάσει σε κάθε σημείο. Επομένως έχουμε δύο είδη γραφικών παραστάσεων, το στιγμιότυπο του κύματος, το οποίο μας δείχνει που έχει φθάσει το κύμα κάποια δεδομένη χρονική στιγμή, δηλαδή έχουμε σταθερό το και μεταβάλλουμε το x, και την ταλάντωση ενός σημείου, δηλαδή μας δείχνει τις διαδοχικές απομακρύνσεις ενός σημείου συναρτήσεις του χρόνου, δηλαδή έχουμε σταθερό το x και μεταβάλλουμε το. Παρακάτω δίνεται το στιγμιότυπο ενός κύματος με εξίσωση για την χρονική στιγμή s και η ταλάντωση του σημείο με x 5m. x y 4
y (m) y (m) Στιγμιότυπο Κύματος 5 5-5 5 5 5 - -5 x (m) 5 Ταλάντωση σημείου 5-5 4 6 8 4 - -5 (s) Επίσης μπορούμε να κάνουμε και δύο γραφικές παραστάσεις για τη φάση του κύματος. Μία με σταθερό χρόνο και μία με σταθερή τη θέση. Χρησιμοποιούμε την φάση του κύματος που χρησιμοποιήσαμε και πριν και θα έχουμε: x. θα είναι: Η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος για σταθερό χρόνο, π.χ. για s 5
φ (rad) φ (rad) Φάση Κύματος με σταθερό 7 6 5 4 3 5 5 5 x (m) Ενώ η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος για σταθερό x, π.χ. για x 5m θα είναι: Φάση Κύματος με σταθερό x 7 6 5 4 3 4 6 8 4 (s) 6
Μεθοδολογία Ασκήσεων x Όπως έχουμε ήδη πει η εξίσωση του κύματος είναι η y A, όταν αυτό T διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση, ενώ όταν διαδίδεται προς την αρνητική θα είναι η x y A. T Την χρονική στιγμή το κύμα ξεκινάει από την πηγή και αρχίζει να διαδίδεται προς όλες τις κατευθύνσεις, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Στιγμιότυπο κύματος 5 5-5 -4-3 - - 3 4 5-5 - -5 7
Α. Αυτό που μας ενδιαφέρει αρχικά είναι να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή που ξεκινάει να ταλαντώνεται ένα σημείο του μέσου, το οποίο απέχει απόσταση x, από την πηγή. Παράδειγμα Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση της μορφής y.4 3 6x διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή που το κύμα φθάνει σε σημείο Σ, με x. 5m. x Θυμόμαστε ότι η γενική εξίσωση αρμονικού κύματος είναι η y A. Στο T y.4 3 6x. Άρα καταλαβαίνουμε ότι: πρόβλημα, μας δίνουν την A.4m, f 3Hz, m 6 Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Αυτή θα την υπολογίσουμε βάσει της σχέσης u f, άρα θα έχουμε: u f 3 u. 5m 6 Τέλος μπορούμε να υπολογίσουμε και τον χρόνο που χρειάζεται το κύμα για να φθάσει στο σημείο Σ. Η απόσταση του Σ από την πηγή είναι x. 5m, άρα από τον γενικό τύπο της ταχύτητας διάδοσης θα έχουμε: x x.5 u s u.5 Άρα το κύμα θα χρειαστεί s για να φτάσει στο Σ. 8
Β. Αρκετές φορές θα μας ζητήσουν να υπολογίσουμε την ταχύτητα ενός σημείου που μετέχει στη διάδοση του κύματος. Σ αυτό το σημείο πρέπει να θυμηθούμε πως ουσιαστικά θεωρούμε στα κύματα πως όλα τα υλικά σημεία εκτελούν μία απλή αρμονική ταλάντωση. Επομένως μπορούμε εύκολα να εφαρμόσουμε όλα όσα μάθαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αφού το σημείο αυτό θα εκτελεί ουσιαστικά μία απλή αρμονική ταλάντωση, θα έχει κινητική και δυναμική ενέργεια. Η ολική ενέργειά του θα είναι το άθροισμα των δύο, και θα μπορεί να γραφεί είτε ως έκφραση της μέγιστης κινητικής ή της δυναμικής ενέργειας. Η μόνη διαφορά με την ΑΑΤ είναι πως πλέον αντί για x στις εξισώσεις θα χρησιμοποιούμε y. Παράδειγμα Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση της μορφής y.4 3 6x διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Να υπολογίσετε την εξίσωση της ταχύτητας για σημείο Σ, με x. 5m. Όπως είδαμε και πριν θα ισχύει: A.4m, f 3Hz, m 6 Η γωνιακή συχνότητα θα είναι: 6r / s. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα θα είναι η: u A 6.4.4 m/ s. Όπως και στην αρμονική ταλάντωση έτσι και στο max αρμονικό κύμα η φάση του τριγωνομετρικού αριθμού δεν θα αλλάξει όταν μεταβούμε από την εξίσωση του κύματος στην εξίσωση της ταχύτητας, επομένως η εξίσωση της ταχύτητας x θα είναι η: u umax. Άρα στο πρόβλημά μας θα είναι η: T u,4 3 6x Επομένως για το σημείο Σ θα ισχύει: u,4 3 3 Θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα ακόμα πιο εύκολα με χρήση παραγώγων. Η ταχύτητα είναι η πρώτη παράγωγος της απομάκρυνσης ως προς τον χρόνο άρα θα ισχύει: 9
x da dy T u A d d x A A T T T T d x T d x umax T x Γ. Αρχικά πρέπει να δούμε πως φτιάχνουμε τις γραφικές παραστάσεις, στιγμιότυπο και ταλάντωσης σημείου. Πάμε αρχικά να δούμε το στιγμιότυπο. Παράδειγμα 3 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση της μορφής y 5 4x διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Να κάνετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή 3s. Αρχικά υπολογίζουμε που έχει φθάσει το κύμα τη χρονική στιγμή θα ισχύει f Hz,, 5m. Επομένως η ταχύτητα διάδοσης θα είναι: u f.5 u. 5m 3s. Για το κύμα Επόμενο βήμα είναι να βρούμε μέχρι που θα έχει φτάσει το κύμα την χρονική στιγμή 3s. Θα έχουμε: x u x u,5 3 x. 5m ή x 6 Δηλαδή το κύμα θα έχει καλύψει 6 μήκη κύματος, οπότε στη γραφική μας παράσταση θα πρέπει να έχουμε έξι «περιόδους». Το σημείο x. 5m που μόλις έχει φτάσει το κύμα, θα είναι στο y, αφού δεν έχει προλάβει ακόμα να ξεκινήσει την ταλάντωση. Το τελευταίο πράγμα που μας μένει είναι να μελετήσουμε τι κάνει η πηγή. Στο x θα έχουμε: y 54. Άρα τη χρονική στιγμή 3 s θα είναι 4 3 5 y 5, άρα η πηγή εκείνη τη στιγμή θα είναι στο y επίσης. Πρέπει
y (m) να βρούμε όμως προς τα πού τείνει να κινηθεί, δηλαδή πρέπει να υπολογίσουμε το συνημίτονο της φάσης. Η φάση εκείνη τη στιγμή θα είναι η άρα θα έχουμε u. Επομένως η πηγή εκείνη τη στιγμή θα κινηθεί προς θετικά y. Άρα η γραφική μας θα είναι μία κλασική ημιτονοειδής καμπύλη. 6 Στιγμιότυπο κύματος 4 -,,4,6,8,,4,6-4 -6 x (m) Επομένως για να κάνουμε το στιγμιότυπο ενός κύματος ακολουθούμε τα εξής απλά βήματα:. Βρίσκουμε μέχρι που έχει φτάσει το κύμα τη δεδομένη χρονική στιγμή. Εκφράζουμε την απόσταση ως συνάρτηση του μήκους κύματος για να ξέρουμε πόσες φορές θα επαναλαμβάνεται το μοτίβο. 3. Το σημείο που μόλις έχει φθάσει το κύμα θα έχει y 4. Βρίσκουμε τη θέση της πηγής και την ταχύτητα της προκειμένου να γνωρίζουμε προς τα πού τείνει να κινηθεί. 5. Ξεκινάμε να σχεδιάζουμε από το μηδέν μία ημιτονοειδής καμπύλη λαμβάνοντας υπόψιν την κατεύθυνση της πηγής. Στη συνέχεια ας δούμε πως φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση σημείου του κύματος.
y (m) Παράδειγμα 4 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση της μορφής y 5 4 x διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Να κάνετε τη γραφική παράσταση υλικού σημείου του μέσου, το οποίο απέχει από την πηγή απόσταση x. 8m. Για το κύμα θα ισχύει f 4Hz,. 5 m. Επομένως η ταχύτητα διάδοσης θα είναι: u f 4.5 u m Επόμενο βήμα είναι να βρούμε ποια χρονική στιγμή θα φτάσει το κύμα στη θέση x. 8m. Θα έχουμε: u x x.8. s u 4 Μέχρι τη χρονική στιγμή. 4s το υλικό σημείο ήταν ακίνητο αφού η διαταραχή δεν είχε φθάσει ακόμα σ αυτό. Άρα η γραφική παράσταση θα είναι όπως φαίνεται παρακάτω. Για η πηγή τείνει να κινηθεί προς τα θετικά y άρα και το σημείο θα «μιμηθεί» την πηγή και θα ξεκινήσει και αυτό να ταλαντώνεται προς τα θετικά y. Επίσης θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της φάσης και θα βλέπαμε ότι είναι θετικό, επομένως θα συμπεραίναμε πως η κίνηση θα γίνει προς τη θετική κατεύθυνση. 6 Γραφική Παράσταση σημείου 4 -,,4,6,8-4 -6 (s)
Επομένως για να κάνουμε τη γραφική παράσταση σημείου ακολουθούμε τα εξής απλά βήματα:. Βρίσκουμε ποια χρονική στιγμή το κύμα θα φτάσει στο σημείο.. Μέχρι εκείνη τη στιγμή το σημείο δεν ταλαντώνεται, αρά η γραφική του θα είναι πάνω στον άξονα x. 3. Βρίσκουμε την κατεύθυνση της κίνησης της πηγής ή το συνημίτονο της φάσης και αναλόγως το πρόσημο θα δούμε προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το σημείο. Δ. Ένα ακόμα σημαντικό θέμα είναι ο υπολογισμός της κατεύθυνσης του σημείου που μετέχει στο κύμα, δηλαδή αν κινείται προς τη θέση ισορροπίας ή προς κάποια ακραία θέση. Αυτό μπορούμε να το υπολογίσουμε είτε μέσω του προσήμου της ταχύτητας αλλά και μέσω του στιγμιότυπου. Παράδειγμα 5 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση της μορφής y 5.5. 5x διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Να βρείτε την κατεύθυνση της κίνησης για σημείο Σ, με x 5m τη χρονική στιγμή 5s. Αρχικά υπολογίζουμε μέχρι που έχει φτάσει το κύμα την χρονική στιγμή που μας ζητάνε. Η ταχύτητα διάδοσης θα είναι: u f 8 u 4m. Άρα τη χρονική στιγμή 5s θα έχει φτάσει μέχρι τη θέση x m, άρα το Σ σίγουρα θα ταλαντώνεται. Επόμενο βήμα είναι ο σχεδιασμός του στιγμιότυπου του κύματος για τη χρονική στιγμή 5s. 3
Στη συνέχεια θα κάνουμε το στιγμιότυπο του κύματος για τη χρονική στιγμή 6s. Τη χρονική στιγμή αυτή το σώμα θα έχει φτάσει μέχρι την θέση x 4m. Το στιγμιότυπο εκείνη τη χρονική στιγμή φαίνεται παρακάτω: Όπως φαίνεται και από τα δύο στιγμιότυπα το σημείο Σ κινείται προς τα πάνω. Αυτό μπορούμε να το δούμε καλύτερα και στο κοινό γράφημα: 4
Σ αυτό το σημείο να τονίσουμε πως πρέπει το ένα στιγμιότυπο με το άλλο να απέχουν γενικά s. Πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας και την περίοδο του κύματος. Εδώ η περίοδος του κύματος είναι T s, άρα δεν έχουμε κάποιο πρόβλημα. Αν πηγαίναμε σε πολλαπλάσιο της περιόδου, τότε θα ξαναπαίρναμε ακριβώς το ίδιο στιγμιότυπο, απλά θα είχε προχωρήσει πιο δεξιά το κύμα. Ε. Σημαντικό ρόλο στη μελέτη ενός μηχανικού αρμονικού κύματος παίζει η φάση του. Φάση του κύματος ονομάζουμε την ποσότητα που βρίσκεται μέσα στο ημίτονο, δηλαδή την x x. Επομένως θα έχουμε. T T Η ποσότητα αυτή μας δίνει αρκετές πληροφορίες. Για δεδομένο υλικό σημείο, μπορούμε να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή που θα αρχίσει να ταλαντώνεται αφού θα πρέπει, δηλαδή θα έχουμε: x x T T T x x T 5
φ (rad) Χρησιμοποιήσαμε την ισότητα αφού μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την χρονική στιγμή που ξεκινά το υλικό σημείο να λαμβάνει μέρος στη διαταραχή. Επίσης για δεδομένη χρονική στιγμή, μπορούμε να υπολογίσουμε ποιο είναι το υλικό σημείο που μόλις ξεκινά να ταλαντώνεται, δηλαδή να έχουμε: T x T x T x x T Η φάση όπως βλέπουμε είναι μία εξίσωση ου βαθμού ως προς x και, άρα οι γραφική της παράσταση σε συνάρτηση με κάθε μία μεταβλητή θα είναι μία ευθεία γραμμή. Παρακάτω δίνονται οι γραφικές παραστάσεις φ-x και φ-. Επίσης πρέπει να τονίσουμε σ αυτό το σημείο ότι, στη μία περίπτωση, φ-, μελετάμε την εξέλιξη της φάσης συγκεκριμένου σημείου, ενώ στην άλλη, φ-x, μελετάμε την εξέλιξη της φάσης για διάφορα σημεία, σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. 4 35 3 5 5 5 Γραφική Παράσταση φ-,5,5,5 (s) 6
φ (rad) Γραφική Παράσταση φ-x 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 x (m) Ο τρόπος σχεδίασης αρκετά απλός. Έστω ότι μας δίνουν την εξίσωση φάσης 8 6 και μας ζητήσουν να κάνουμε την γραφική παράσταση της φάσης με τον χρόνο. Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε την χρονική στιγμή που το σημείο ξεκινάει να ταλαντώνεται, δηλαδή να λύσουμε την εξίσωση καταλαβαίνουμε ότι T x T. Από την εξίσωση της φάσης s 4 και x 3 άρα 3. 75s. Από κείνη τη στιγμή και έπειτα 4 η φάση θα αρχίσει να αυξάνεται. Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι να υπολογίσουμε την φάση και σε μία άλλη χρονική στιγμή και να ενώσουμε τα δύο σημεία. Η ευθεία που θα διέρχεται απ αυτά θα είναι και η γραφική παράσταση της φάσης. Αν πάμε σε δύο τυχαίες χρονικές στιγμές και. Αντίστοιχα εκείνες τις χρονικές στιγμές η φάση θα είναι, 6 και 6. Επομένως αν αφαιρέσουμε κατά 8 μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις τότε θα έχουμε: 8 8 8 8 6 8 6 8 6 6 7
Δηλαδή γενικά θα ισχύει ότι: T Στη συνέχεια ας μελετήσουμε τη φάση σε συνάρτηση με τη θέση. Έστω ότι μας δίνουν την εξίσωση φάσης 3 4x και μας ζητήσουν να κάνουμε την γραφική παράσταση της φάσης με την θέση. Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της φάσης για x, και θα είναι 3. Πρέπει να υπολογίσουμε όμως και μέχρι ποιο σημείο έχει φθάσει το κύμα, δηλαδή να λύσουμε την εξίσωση x T. Βάση της εξίσωσης που μας έχει δοθεί θα έχουμε, x 6 x 8m. Στο σημείο x 8m η φάση θα είναι μηδέν, αφού το κύμα μόλις T έφτασε σ αυτό το σημείο. Η ευθεία που θα διέρχεται απ αυτά θα είναι και η γραφική παράσταση της φάσης. Αν πάμε σε δύο τυχαίες θέσεις x και x. Αντίστοιχα η φάση για αυτά τα σημεία θα είναι, 3 4 x και 3 4 x. Επομένως αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις τότε θα έχουμε: 3 4x 3 4x 4 x x 3 4x 3 4x Δηλαδή γενικά θα ισχύει ότι: x. Όπως παρατηρούμε και από το γράφημα, τα σημεία που είναι κοντά στη πηγή έχουν μεγαλύτερη φάση απ αυτά που είναι πιο μακρυά. 8