ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΠΛΑ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΠΛΑ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΟΥΡΗΣ ΠΑΤΡΑ 2018

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Η παρούσα Διδακτορική Διατριβή με τίτλο ''Ομογενείς και Διπλά Ομογενείς Γεωδαισιακές Καμπύλες σε Ομογενείς Πολλαπλότητες'' εκπονήθηκε από τον κ. Νικόλαο Παναγιώτη Σουρή, στο πλαίσιο των σπουδών, για απόκτηση Διδακτορικού Διπλώματος που απονέμει το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Εγκρίθηκε στις...από την Επταμελή Εξεταστική Επιτροπή ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΒΑΘΜΙΔΑ ΥΠΟΓΡΑΦΗ 1. Ανδρέας Αρβανιτογεώργος (Επιβλέπων) Αναπληρωτής Καθηγητής 2. Αθανάσιος Κοτσιώλης Καθηγητής 3. Βασίλειος Παπαγεωργίου Καθηγητής 4. Θεόδωρος Βλάχος Καθηγητής 5. Γεώργιος Τσαπόγας Καθηγητής 6. Στυλιανός Σταματάκης Αναπληρωτής Καθηγητής 7. Γεώργιος Καϊμακάμης Αναπληρωτής Καθηγητής Στον κ. Νικόλαο Παναγιώτη Σουρή απενεμήθη ο τίτλος του Διδάκτορα του Τμήματος Μαθηματικών στην υπ' αριθμ. Γ.Σ.Ε.Σ.

... Νικόλαος Παναγιώτης Σουρής Διδάκτορας Τμήματος Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Copyright Νικόλαος Παναγιώτης Σουρής, 2018. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών.

Ομογενείς και Διπλά Ομογενείς Γεωδαισιακές Καμπύλες σε Ομογενείς Πολλαπλότητες Νικόλαος Παναγιώτης Σουρής

ii

Ευχαριστίες Η εκπόνηση της παρούσας διατριβής υπήρξε μια σπουδαία εμπειρία για μένα ενώ η ολοκλήρωσή της σηματοδότησε την εκπλήρωση ενός υψηλού στόχου μου. Τα οφέλη που αποκόμισα από αυτό το ταξίδι είναι ανεκτίμητα. Εμαθα να αξιοποιώ και να εξελίσσω τις δυνάμεις μου, αλλά κυρίως έμαθα να αναγνωρίζω και να πολεμώ τις αδυναμίες μου. Ευελπιστώ όμως ότι τα οφέλη από αυτή τη διαδικασία δε θα περιοριστούν στο προσωπικό επίπεδο και ότι αυτή η διατριβή θα αποτελέσει βοήθημα για άλλους ερευνητές που θα αποφασίσουν να ασχοληθούν με το συγκεκριμένο θέμα. Το να δημιουργείς και να μοιράζεσαι είναι υπέρτατη ευτυχία και εύχομαι η διατριβή αυτή να αποτελέσει την αφετηρία για μια παραγωγική πορεία κατά τη διάρκεια της οποίας θα μοιραστώ και θα συνεισφέρω στον επιστημονικό και μη κόσμο. Θέλω να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντά μου κ. Ανδρέα Αρβανιτογεώργο, Αναπληρωτή Καθηγητή στο τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, για την ανεκτίμητης αξίας καθοδήγηση και στήριξή του σε μένα κατά τη διάρκεια των σπουδών μου στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας, καθώς επίσης και την εξαιρετική μας συνεργασία. Η παρούσα διατριβή ενισχύθηκε από το Πρόγραμμα Κ. Καραθεοδωρή Ε.037 (2014-17) από την Επιτροπή Ερευνών του Πανεπιστημίου Πατρών, τα μέλη της οποίας ευχαριστώ θερμά για την εμπιστοσύνη και στήριξή τους. Επίσης ευχαριστώ τον κ. Βασίλειο Παπαντωνίου, Ομότιμο Καθηγητή στο τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, για τη στήριξή του από τις προπτυχιακές μέχρι τις διδακτορικές σπουδές μου, καθώς και για την ουσιαστική συμβολή του στην διατριβή μου ως μέχρι πρότινος μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής μου. Ευχαριστώ τον κ. Αθανάσιο Κοτσιώλη Καθηγητή στο τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, για την καθοδήγησή του κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου και για τη στήριξή του ως μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής μου. Σημαντικό βοήθημα στις μεταπτυχιακές μου σπουδές καθώς επίσης και στην εκπόνηση της διδακτορικής μου διατριβής αποτέλεσε η διδακτορική διατριβή του κ. Ιωάννη Χρυσικού, γι αυτό και τον ευχαριστώ από την καρδιά μου. Ευχαριστώ την συνάδελφό μου Μαρίνα Σταθά για την πολύτιμη βοήθειά της κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Επίσης, ευχαριστώ τον Καθηγητή Giovanni Calvaruso για τη iii

iv φιλοξενία του, και τον Καθηγητή Yuri Nikonorov για τις χρήσιμες παρατηρήσεις του σε διάφορες εργασίες μου. Αισθάνομαι την ανάγκη να ευχαριστήσω τους φίλους μου για την κατανόηση, την υπομονή και τον σεβασμό τους στη δύσκολη αυτή πορεία, αλλά κυρίως για την βαθιά τους φιλία. Είμαι ευγνώμων σε κάθε άνθρωπο που, δημιουργώντας με πηγαίο πάθος και ανιδιοτελή κίνητρα, μου έδινε δύναμη να συνεχίσω. Στην δύσκολη πορεία του διδακτορικού μου, στα όμορφα και στα άσχημα, ήταν πάντα στήριγμα οι γονείς μου Χαράλαμπος Σουρής και Αργυρή Ταβλά. Το ευχαριστώ σε αυτούς φαντάζει μικρό. Τέλος, ευχαριστώ την Σπυριδούλα Σκλαβενίτη για όλα.

Περίληψη Το γενικό θέμα της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη γεωδαισιακών καμπυλών σε ομογενείς χώρους. Η εύρεση της μορφής των γεωδαισιακών καμπυλών σε μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα αποτελεί ένα ενδιαφέρον και εν γένει δύσκολο πρόβλημα που συνήθως ανάγεται είτε στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, είτε σε εφαρμογή του λογισμού μεταβολών. Στην περίπτωση όμως των ομογενών χώρων G/H η προσέγγιση που ακολουθούμε είναι να θεωρήσουμε συγκεκριμένες μορφές καμπυλών και κατόπιν να αναζητήσουμε τις G-αναλλοίωτες ψευδομετρικές,, έτσι ώστε οι γεωδαισιακές καμπύλες στον (G/H,, ) να έχουν τις αντίστοιχες μορφές. Η προσέγγιση αυτή ευνοείται από το γεγονός ότι η γεωμετρία ενός ομογενούς χώρου G/H είναι αναλλοίωτη σε κάθε σημείο του G/H, συνεπώς οι γεωδαισιακές καμπύλες έχουν επίσης αναλλοίωτη μορφή. Ετσι, η μελέτη των γεωδαισιακών καμπυλών ανάγεται σε μεγάλο βαθμό στη δομική θεωρία και τη θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων και των αλγεβρών Lie, καθώς επίσης και στη μελέτη της δράσης ομάδων Lie σε πολλαπλότητες. Η κυριότερη έρευνα προς αυτή την κατεύθυνση επικεντρώνεται στις γεωδαισιακές καμπύλες που αποτελούν τροχιές μοναπαραμετρικών υποομάδων της G, μέσω της δράσης της G στον G/H, τις λεγόμενες ομογενείς γεωδαισιακές. Μια ομογενής γεωδαισιακή καμπύλη γ έχει τη μορφή γ(t) = exp(tx) p, t R, όπου X είναι ένα διάνυσμα στην άλγεβα Lie g της ομάδας G, p G/H, exp : g G είναι η εκθετική απεικόνιση, και με συμβολίζουμε την δράση της G στον G/H. Οι χώροι γεωδαισιακών τροχιών, δηλαδή χώροι των οποίων όλες οι γεωδαισιακές είναι ομογενείς, προκύπτουν ως μια σημαντική φυσική γενίκευση των συμμετρικών χώρων με ενδιαφέρουσες προεκτάσεις στη Φυσική αλλά και σε άλλους κλάδους, όπως την επιστήμη των υπολογιστών. Η συνεισφορά μας στην ήδη πλούσια βιβλιογραφία, περιλαμβάνει την μελέτη των μετρικών γεωδαισιακών τροχιών Riemann σε συμπαγείς ομογενείς χώρους G/H, τέτοιους ώστε η ισοτροπική αναπαράσταση της H στον εφαπτόμενο χώρο T (G/H) να περιέχει ισοδύναμα αναλλοίωτα υποπρότυπα, κάτι το οποίο δεν είχε προηγουμένως μελετηθεί υπό αυτή τη σκοπιά. Εφαρμόζοντας τα αποτελέσματά μας, v

vi προσδιορίζουμε τις μετρικές γεωδαισιακών τροχιών στις πραγματικές και μιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel. Παράλληλα, εισάγουμε την έννοια της πολλαπλά ομογενούς γεωδαισιακής, που δίνεται ως τροχιά του γινομένου ενός πεπερασμένου πλήθος μονοπαραμετρικών υποομάδων της G, μέσω της δράσης της G στον G/H. Δηλαδή μια τέτοια γεωδαισιακή γ έχει τη μορφή γ(t) = exp(tx 1 ) exp(tx 2 )... exp(tx n ) p, t R, όπου τα X 1,..., X n είναι διανύσματα στην άλγεβρα Lie g. Στην περίπτωση των δύο εκθετικών παραγόντων, βρίσκουμε μια γενική αλγεβρική συνθήκη ύπαρξης διπλά ο- μογενών γεωδαισιακών, και αποκτούμε μια ευρεία κλάση ψευδορημάννειων ομογενών χώρων των οποίων όλες οι γεωδαισιακές είναι διπλά ομογενείς. Αυτοί δίνονται ως ο- λικοί χώροι μιας ομογενούς νηματοποίησης G/H G/K K/H με H K G. Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύουμε ότι κάθε μη συμμετρική πολλαπλότητα σημαιών G/H επιδέχεται τουλάχιστον l μετρικές διπλά γεωδαισιακών τροχιών, όπου l είναι η διάσταση του κέντρου της ομάδας H. Τέλος, εξετάζουμε την ύπαρξη μετρικών τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε γενικευμένους χώρους Wallach.

Abstract The subject of the present thesis is the study of geodesic curves in homogeneous spaces. The problem of determining the form of the geodesic curves in a pseudo- Riemannian manifold is an interesting and in general hard one, and usually reduces to either the solving of a certain system of differential equations or to the application of variational calculus. However in the case of homogeneous spaces G/H we address the problem as follows: We consider specific forms of curves and then we search for those G-invariant pseudo-metrics, such that the geodesic curves in (G/H,, ) admit the above forms. This approach is favored by the fact that the geometry of a homogeneous space is invariant at any point in G/H, therefore the geodesic curves admit the same form at any point in G/H. Thus, the study of geodesic curves is largely reduced to the structural and the representation theory of Lie groups and algebras, as well as the study of Lie group actions on manifolds. The main research regarding geodesics in homogeneous manifolds focuses on those geodesics which are orbits of one-parameter subgroups of G, under the a- ction of G on G/H, namely homogeneous geodesics. The class of geodesic orbit spaces, i.e. spaces all of whose geodesics are homogeneous, constitute an important natural generalization of summetric spaces with important extensions to physics as well as other fields, such as computer science. Our contribution to the already rich bibliography, involves the study of Riemannian geodesic orbit metrics in compact spaces G/H, such that the isotropy representation of H on the tangent space T (G/H) contains equivalent submodules, which is a unique approach to the problem. By applying our results, we determine the geodesic orbit metrics in real and complex Stiefel manifolds. Moreover, we introduce the notion of an n-step homogeneous geodesic, which is defined as the geodesic orbit of the product of n one-parameter subgroups of G, under the action of G on G/H. In particular, an n-step homogeneous geodesic γ has the form vii

viii γ(t) = exp(tx 1 ) exp(tx 2 )... exp(tx n ) p, t R, where X 1,..., X n are vectors in the Lie algebra g of G. For n = 2, we prove a general algebraic condition of existence of two-step homogeneous geodesics, and we obtain a wide class of homogeneous spaces all of whose geodesics are two-step homogeneous. These spaces are given as total spaces of a homogeneous fibration G/H G/K K/H with H K G. As a result, we prove that every nonsymmetric flag manifold G/H admits at least l metrics with two-step homogeneous geodesics, where l is the dimension of the center of H. Finally, we investigate the existence of metrics with three-step homogeneous geodesics in generalized Wallach spaces.

Εισαγωγή Επισκόπηση του προβλήματος Μια γεωδαισιακή καμπύλη σε μια πολλαπλότητα (M, ) με ομοπαραλληλική συνοχή είναι μια καμπύλη γ : I R M το εφαπτόμενο πεδίο της οποίας είναι παράλληλο, ή ισοδύναμα ισχύει ότι γ γ = 0. Στην περίπτωση όπου η (M, ) είναι μια πολλαπλότητα Riemann οι γεωδαισιακές καμπύλες προκύπτουν ως εκείνες οι καμπύλες που ελαχιστοποιούν τοπικά τις αποστάσεις στην M. Αντίστοιχα, από τη σκοπιά της Φυσικής, ένα σώμα το οποίο κινείται σε μια πολλαπλότητα M χωρίς την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων ακολουθεί την τροχιά μιας γεωδαισιακής καμπύλης. Εκτός από τη μαθηματική και φυσική τους σημασία, οι γεωδαισιακές καμπύλες βρίσκουν εφαρμογή και στον κλάδο της τεχνητής νοημοσύνης στην επιστήμη των υπολογιστών, όπου η M περιέχει τα δεδομένα εκμάθησης ενός νευρωνικού δικτύου, πχ όταν η M είναι μια πολλαπλότητα Stiefel. Ειδικότερα, η αλγοριθμική γεωδαισιακή μέθοδος επιτρέπει την ταχύτερη εκπαίδευση ενός τέτοιου συστήματος μέσω της χρήσης των γεωδαισιακών καμπυλών στην M. Το πρόβλημα της εύρεσης της μορφής των γεωδαισιακών καμπυλών σε μια πολλαπλότητα (M, ) είναι σύνθετο, ακόμα και στην απλή περίπτωση, όπου η M είναι μια ομογενής πολλαπλότητα, καθώς η εξίσωση γ γ = 0 αντιστοιχεί σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων του οποίου η επίλυση δεν είναι πάντα εύκολη. Στις απλές περιπτώσεις του χώρου R n εφοδιασμένου με την Ευκλείδια μετρική d eucl και της σφαίρας S n με την επαγόμενη μετρική d ind από τον R n+1, οι γεωδαισιακές καμπύλες ταυτίζονται με τις ευθείες και τους μέγιστους κύκλους αντίστοιχα. Αν σταθούμε σε αυτά τα δύο τετριμμένα παραδείγματα και θυμηθούμε ότι οι παραπάνω πολλαπλότητες είναι ομογενείς (και μάλιστα αποτελούν συμμετρικούς χώρους), καθώς R n = R n /{0} και S n = SO(n)/SO(n 1), μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα κοινό στοιχείο στη μορφή των γεωδαισιακών καμπυλών. Τόσο οι ευθείες στον R n, όσο και οι μέγιστοι κύκλοι στην S n αποτελούν τροχιές μονοπαραμετρικών υποομάδων των ομάδων R n και SO(n) αντίστοιχα, μέσω της δράσης αυτών στις πολλαπλότητες R n και S n. Δηλαδή ix

x αν (G/H, d) είναι μια από τις δύο παραπάνω πολλαπλότητες και γ : R G/H είναι μια γεωδαισιακή τότε γ(t) = exp(tx) γ(0), t R, όπου X είναι ένα διάνυσμα στην άλγεβρα Lie g της G, exp : g G είναι η εκθετική απεικόνιση, και συμβολίζει τη δράση της ομαδας G στην πολλαπλότητα G/H. Πράγματι, για την περίπτωση (R n, d eucl ) έχουμε G = R n, g = R n, exp = id : R n R n, και κάθε γεωδαισιακή γ : R R n με γ(0) = 0, γ(0) = v R n δίνεται ως τροχιά γ(t) = tv = exp(tv) + 0. Αντίστοιχα, για την περίπτωση (S n, d ind ) είναι G = SO(n), g = so(n), και η εκθετική απεικόνιση exp : so(n) SO(n) ταυτίζεται με την συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων exp : M n R Gl n R περιορισμένη στην so(n). Κάθε γεωδαισιακή γ στην (S n, d ind ) με γ(0) = N = (0,..., 1) και γ(0) = v T N S n είναι μέγιστος κύκλος και έχει τη μορφή γ(t) = e tv N, δηλαδή αποτελεί τροχιά μιας μονοπαραμετρικής υποομάδας της SO(n). Οι γεωδαισιακές καμπύλες σε μια πολλαπλότητα (M, ) που αποτελούν τροχιές μονοπαραμετρικών υποομάδων της ομάδας ισομετριών (ή ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών) της (M, ) ονομάζονται ομογενείς γεωδαισιακές. Αντίστοιχα, μια πολλαπλότητα (M, ), ώστε όλες οι γεωδαισιακές της να είναι ομογενείς, ονομάζεται πολλαπλότητα γεωδαισιακών τροχιών (ΠΓΤ). Η αντίστοιχη μετρική ονομάζεται μετρική γεωδαισιακών τροχιών. Οι συνεκτικές πολλαπλότητες γεωδαισιακών τροχιών συνιστούν μια πλούσια κλάση ομογενών χώρων που περιέχει ως βασικές υποκλάσεις αυτές των συμμετρικών χώρων, φυσικά αναγωγικών χώρων, ασθενώς συμμετρικών χώρων, κανονικών ομογενών χώρων καθώς επίσης και Clifford-Wolf ομογενών χώρων. Ο όρος πολλαπλότητα γεωδαισιακών τροχιών οφείλεται στους Kowalski και Vanhecke ([Ko-Va-2]), οι οποίοι ταξινόμησαν τις ΠΓΤ διάστασης μικρότερης ή ίσης του 6. Από την άλλη, το πρόβλημα της ταξινόμησης των ΠΓΤ παραμένει ανοικτό, σε αντίθεση με αυτό της ταξινόμησης των περισσότερων από τις παραπάνω υποκλάσεις, ενώ η βιβλιογραφία σχετικά με το θέμα είναι εκτενής και αντιστοιχεί σε εις βάθος μελέτη από πολλούς συγγραφείς που διαρκεί πάνω από εικοσιπέντε χρόνια. Εκτός από την απλή μαθηματική τους περιγραφή, οι ομογενείς γεωδαισιακές έχουν και φυσική σημασία καθώς αντιστοιχούν σε «σχετικές ισορροπίες» (relative equilibria) χαμιλτονιανών συστημάτων (βλ [Arn], [Pa]). Επιπλέον, κάθε όριο Penrose μιας ψευδορημάννειας πολλαπλότητας, κατά μήκος μιας μηδενικής (null) ομογενούς γεωδαισιακής, είναι ένας ομογενής χώρος ([Fa-Me-Ph], [Ph]). Ως εκ τούτου έχουν ιδιαίτερη σημασία οι ψευδορημμάνειες πολλαπλότητες των οποίων κάθε μηδενική γεωδαισιακή (null geodesic) είναι ομογενής. Από την άλλη πλευρά, στον κλάδο της

xi τεχνητής νοημοσύνης, η απλή περιγραφή των ομογενών γεωδαισιακών επιτρέπει την εύκολη εφαρμογή της γεωδαισιακής αλγοριθμικής μεθόδου σε νευρωνικά δίκτυα των οποίων τα δεδομένα αποτελούν σημεία μιας πολλαπλότητας Stiefel ([Ni-Ak]). Στην παρούσα διατριβή θα ασχοληθούμε με δύο βασικά προβλήματα. Το πρώτο αναφέρεται στην ταξινόμηση των πολλαπλοτήτων γεωδαισιακών τροχιών, για την οποίοα δεν είναι ακόμα γνωστή κάποια προσέγγιση που να οδηγεί στην επίλυσή του. Βασική πρόοδος προς αυτή την κατεύθυνση, έπειτα από την προαναφερθείσα εργασία [Ko-Va-2], γίνεται στις εργασίες [Gor-1],[Ta],[Al-Ar],[Al-Ni],[Ch-Ni]. Συγκεκριμένα, στην εργασία [Gor-1] η Gordon, χρησιμοποιώντας συμμετρίες της διάσπασης Levi μιας άλγεβρας Lie, αποδεικνύει ότι κάθε ΠΓΤ έχει τρεις συγκεκριμμένου τύπου υποπολλαπλότητες γεωδαισιακών τροχιών, με αντίστοιχες ομάδες ισομετριών, μια συμπαγή ημιαπλή ομάδα Lie, μια μη συμπαγή ημιαπλή ομάδα Lie, και μια μηδενοδύναμη ομάδα Lie. Η παραπάνω διαπίστωση ανάγει σε μεγάλο βαθμό την ταξινόμηση των ΠΓΤ, στην ταξινόμηση εκείνων των ΠΓΤ με μια από τους παραπάνω τύπους ομάδας ισομετριών. Επιπλέον, στην εργασία [Gor-1] ταξινομούνται οι ΠΓΤ του τελευταίου τύπου. Ενα άλλο σημαντικό βήμα πραγματοποιείται από τον Tamaru στην εργασία [Ta], όπου αξιοποιώντας τη θεωρία των πολικών αναπαραστάσεων ταξινομεί εκείνους τους χώρους γεωδαισιακών τροχιών (G/H,, ) που είναι εφοδιασμένοι με μια μονοπαραμετρική μετρική, η οποία αντιστοιχεί σε μια νηματοποίηση G/H G/K K/H, τέτοια ώστε η βάση G/K να είναι συμμετρικός χώρος. Βασιζόμενοι στην παραπάνω ταξινόμηση και χρησιμοποιώντας τις δομικές ιδιότητες των ριζικών συστημάτων των απλών αλγεβρών Lie οι Alekseevski και Arvanitoyeorgos στην εργασία [Al-Ar] ταξινομούν τις ΠΓΤ που είναι πολλαπλότητες σημαιών. Οι Alekseevski και Nikonorov στην εργασία [Al-Ni], επεκτείνουν την παραπάνω ταξινόμηση σε αυτή των συμπαγών, απλά συνεκτικών πολλαπλοτήτων γεωδαισιακών τροχιών με θετική χαρακτηριστική Euler. Τέλος, στην πρόσφατη εργασία [Ch-Ni] οι Chen και Nikonorov αξιοποιώντας τη θεωρία των κύριων τύπων τροχιών για γραμμικές αναπαραστάσεις συμπαγών ομάδων Lie, ταξινομούν τους συμπαγείς, απλά συνεκτικούς χώρους γεωδαισιακών τροχιών με δύο ισοτροπικούς προσθετέους. Εκτός από τις προαναφερθείσες εργασίες, υπάρχει μια πληθώρα εργασιών σχετικά με τις ομογενείς γεωδαισιακές και τις ΠΓΤ, πολλές από τις οποίες θα αναφέρουμε στα προσεχή κεφάλαια.

xii Μετρικές γεωδαισιακών τροχιών σε συμπαγείς χώρους Η δική μας συνεισφορά στο πρόβλημα της ταξινόμησης των ΠΓΤ επικεντρώνεται στις συμπαγείς ΠΓΤ. Συγκεκριμμένα, στο Κεφάλαιο 4 θέτουμε και μελετάμε το εξής πρόβλημα: Πρόβλημα 0.1. Εστω G/H ένας συμπαγής ομογενής χώρος. Να βρεθούν οι G- αναλλοίωτες μετρικές Riemann, τέτοιες ώστε ο (G/H,, ) να είναι ένας χώρος γεωδαισιακών τροχιών, δηλαδή να βρεθούν οι μετρικές G-γεωδαισιακών τροχιών της πολλαπλότητας G/H. Για τη μελέτη του παραπάνω προβλήματος αρχικά θεωρούμε ένα Ad-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο B στην άλγεβρα Lie g της G, το οποίο υπάρχει καθώς η G είναι συμπαγής. Στη συνέχεια θεωρούμε μια B-ορθογώνια αναγωγική διάσπαση g = h m, όπου h είναι η άλγεβρα Lie της H και m ταυτίζεται με τον εφαπτόμενο χώρο T o (G/H), o = e H G/H. Κάθε G-αναλλοίωτη μετρική, στον G/H αντιστοιχεί σε έναν Ad(H)-ισοαναλλοίωτο, συμμετρικό και θετικά ορισμένο ενδομορφισμό A : m m τέτοιο ώστε X, Y = B(AX, Y ), X, Y m. Απλοποιώντας μια συνθήκη στην εργασία [Al-Ar], ανάγουμε το παραπάνω πρόβλημα στο εξής: Πρόβλημα 0.2. Εστω G/H ένας συμπαγής ομογενής χώρος με την αναγωγική διάσπαση g = h m ως προς ένα Ad-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στην g. Να βρεθούν οι μετρικοί ενδομορφισμοί A : m m τέτοιοι ώστε για κάθε διάνυσμα X m να υπάρχει ένα διάνυσμα a X h για το οποίο ισχύει ότι [a X + X, AX] = 0. (0.1) Η δυσκολία στη μελέτη της εξίσωσης (0.1) αυξάνεται όσο πιο σύνθετη είναι η μορφή του A. Για να προσδιορίσουμε τη μορφή του A θεωρούμε την ισοτροπική αναπαράσταση χ : H Gl(m), την αντίστοιχη B-ορθογώνια διάσπαση m = m 1 m s, (0.2) σε Ad(H)-αναλλοίωτα, μη αναγώγιμα υποπρότυπα της χ, και μια B-ορθογώνια βάση B του m προσαρμοσμένη στη διάσπαση (0.2). Εάν τα υποπρότυπα της διάσπασης (0.2) είναι ανά δύο μη ισοδύναμα τότε ο πίνακας A B του A ως προς τη βάση B είναι

xiii διαγώνιος, συνεπώς έχει απλή μορφή. Σε αντίθετη περίπτωση, ο πίνακας A B αποκτά μια πιο σύνθετη μορφή που δυσχεραίνει τον χειρισμό της εξίσωσης (0.1) (για μια μελέτη τέτοιων μετρικών παραπέμπουμε στο άρθρο [St]). Σίγουρα για κάθε ενδομορφισμό A μπορούμε να βρούμε μια βάση B ως προς την οποία ο A B είναι διαγώνιος, μια τέτοια βάση όμως εξαρτάται από τον εκάστοτε ενδομορφισμό A. Συνεπώς, για τη μελέτη της εξίσωσης (0.1) είναι ευκολότερο να σταθεροποιήσουμε μια βάση B και να μελετήσουμε κάθε ενδομορφισμό A ως προς τη B. Προκειμένου να απλοποιήσουμε το Πρόβλημα 0.2 θεωρούμε την λεγόμενη ισοτυπική διάσπαση m = V 0 V 1 V N, N < s, του m ως προς το B. Κάθε ισοτυπικός προσθετέος ορίζεται μοναδικά και αποτελεί άθροισμα ισοδύναμων υποπροτύπων της διάσπασης (0.2). Χρησιμοποιώντας την ισοτυπική διάσπαση βρίσκουμε μια γενική μορφή του πίνακα A B (Πρόταση 4.4). Ειδικότερα ισχύει ότι AV i V i. Το κύριο τμήμα της εργασίας μας προς την απλοποίηση του Προβλήματος (0.2) αφιερώνεται στην διαγωνοποίηση των πινάκων A B Vi, όταν ο A αντιστοιχεί σε μια μετρική γεωδαισιακών τροχιών και ταυτόχρονα ο ισοτυπικός προσθετέος V i πληροί κάποιες γενικές αλγεβρικές συνθήκες (Προτάσεις 4.11,4.12, και 4.13). Αξίζει να αναφέρουμε ότι ο ισοτυπικός προσθετέος V 0 = {X m : χ(h)x = X, h H} ταυτίζεται με την άλγεβρα Lie της ομάδας N G (H)/H, όπου N G (H) είναι η κανονικοποιούσα ομάδα της H στην G και ο πίνακας A B V0 αποκτά συγκεκριμένη μορφή όταν A είναι μια μετρική γεωδαισιακών τροχιών. Σημειώνουμε ότι οι μέχρι τώρα μελέτες σε μετρικές γεωδαισιακών τροχιών αφορούσαν διαγώνιες μετρικές συνεπώς η μελέτη του Προβλήματος 0.2 για μη διαγώνιες μετρικές, αποτελεί μια καινούρια προσέγγιση στο πρόβλημα της ταξινόμησης των πολλαπλοτήτων γεωδαισιακών τροχιών. Εφαρμόζοντας την παραπάνω προσέγγιση, προσδιορίζουμε τις SO(n) και U(n)-αναλλοίωτες μετρικές γεωδαισιακών τροχιών στις πολλαπλότητες Stiefel SO(n)/SO(n k) και U(n)/U(n k) αντίστοιχα (Θεωρήματα 4.2 και 4.3), οι οποίες αποτελούν πρωταρχικά παραδείγματα ομογενών χώρων με ισοδύναμα υποπρότυπα της ισοτροπικής αναπαράστασης. Πολλαπλά ομογενείς γεωδαισιακές Το δεύτερο πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε στην παρούσα διατριβή αφορά σε κάποιες γενικεύσεις των ομογενών γεωδαισιακών, τις οποίες καλούμε πολλαπλά ομογενείς γεωδαισιακές (Κεφάλαιο 5). Μια πολλαπλά ομογενής γεωδαισιακή σε έναν

xiv ομογενή χώρο είναι μια γεωδαισιακή τροχιά του γινομένου ενός πεπερασμένου πλήθους μονοπαραμετρικών υποομάδων της G. Συγκεκριμένα, μια πολλαπλά ομογενής γεωδαισιακή γ έχει τη μορφή γ(t) = exp(tx 1 ) exp(tx n ) γ(0), (0.3) όπου τα X 1,..., X n είναι διανύσματα στην άλγεβρα Lie g της G. Ειδικότερα για n = 1 η καμπύλη (0.3) είναι μια ομογενής γεωδαισιακή. Αντίστοιχα, ένας χώρος πολλαπλά γεωδαισιακών τροχιών είναι ένας ομογενής χώρος του οποίου όλες οι γεωδαισιακές είναι πολλαπλά ομογενείς. Ενα βασικό ερώτημα είναι το αν οι γεωδαισιακές καμπύλες σε έναν ομογενή χώρο έχουν πάντα τη μορφή (0.3). Ενα επιχείρημα που ενισχύει τη θετική απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα αποτελεί το γεγονός ότι αν γ X : R G/H είναι μια πολλαπλά ομογενής γεωδαισιακή στον G/H διερχόμενη από το o G/H, με ταχύτητα X T o (G/H), τότε για κάθε g G, η γεωδαισιακή g γ X είναι πολλαπλά ομογενής, διερχόμενη από το g o με ταχύτητα Ad(g)X. Με άλλα λόγια, η ιδιότητα ενός ομογενούς χώρου (G/H,, ) να είναι χώρος πολλαπλά γεωδαισιακών τροχιών είναι επαληθεύσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του G/H (Πόρισμα 5.1), κάτι αναμενόμενο, λόγω της συμμετρικής φύσης του G/H. Το παραπάνω επιχείρημα καθιστά τις πολλαπλά ομογενείς γεωδαισιακές ως ιδανικές υποψήφιες για την περιγραφή των γεωδαισιακών καμπυλών σε ομογενείς χώρους. Μέρος της συνεισφοράς μας αποτελεί η εύρεση μιας γενικής συνθήκης ώστε μια καμπύλη της μορφής (0.3) να είναι γεωδαισιακή (Θεώρημα 5.2). Η έρευνά μας επικεντρώνεται στην περίπτωση n = 2, δηλαδή αυτή των διπλά ομογενών γεωδαισιακών. Οι ορολογίες «διπλά ομογενείς γεωδαισιακές» και «πολλαπλότητα διπλά γεωδαισιακών τροχιών» εισήχθησαν στην εργασία [Ar-So-2], αν και γεωδαισιακές καμπύλες της μορφής γ(t) = exp(tx 1 ) exp(tx 2 ) γ(0), (0.4) έχουν εμφανιστεί και σε παλαιότερες εργασίες. Συγκεκριμένα, στην εργασία [Wa], γεωδαισιακές της μορφής (0.4) προκύπτουν ως οι γεωδαισιακές μιας ημιαπλής ομάδας Lie εφοδιασμένης με μια μοναπαραμετρική οικογένεια μετρικών, επαγόμενη από μια ενέλιξη Cartan. Στην εργασία [Wa-Zi] εμφανίζονται σε απλές ομάδες Lie γεωδαισιακές της μορφής 0.4, ενώ στην εργασία [Doh] αποδεικνύεται ότι μια κλάση ομογενών χώρων Riemann έχει διπλά ομογενείς γεωδαισιακές. Στην παρούσα εργασία εισάγουμε μια γενική συνθήκη ύπαρξης διπλά ομογενών γεωδαισιακών σε ομογενείς χώρους (Θεώρημα 5.3). Συγκεκριμένα, αν ένας ομογενής χώρος G/H είναι εφοδιασμένος με μια μετρική παραμόρφωση A : m m,

xv m = T o (G/H), μιας φυσικά αναγωγικής μετρικής, και m 1, m 2 είναι ιδιόχωροι του ενδομορφισμού A τέτοιοι ώστε [m 1, m 2 ] m 1, τότε κάθε γεωδαισιακή με αρχική ταχύτητα στον χώρο m 1 m 2 m είναι διπλά ομογενής. Εφαρμόζοντας το παραπάνω αποτέλεσμα κατασκευάζουμε ένα γενικό μοντέλο χώρων διπλά γεωδαισιακών τροχιών, οι οποίοι αποτελούν ολικούς χώρους μιας ομογενούς νηματοποίησης G/H G/K K/H, H K G, εφοδιασμένους με μια ειδική κλάση μετρικών (Πρόταση 5.4). Επιπλέον, χρησιμοποιώντας στοιχεία από την παραπάνω δομή καθώς επίσης και τη θεωρία των ριζικών συστημάτων μιας απλής άλγεβρας Lie, αποδεικνύουμε ότι μια (μη συμμετρική) πολλαπλότητα σημαιών G/H δέχεται τουλάχιστον r το πλήθος μετρικές διπλά γεωδαισιακών τροχιών, όπου r είναι η διάσταση του κέντρου της H (Θεώρημα 5.5). Τέλος, μελετάμε την ύπαρξη μετρικών τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε γενικευμένους χώρους Wallach. Το βασικό αποτέλεσμα σε αυτή την κατεύθυνση είναι ότι μια μετρική τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε ένα γενικευμένο χώρο Wallach ανάγεται (με κάποιους περιρισμούς) σε μια μετρική διπλά γεωδαισιακών τροχιών (Θεώρημα 5.6). Δομή της διατριβής Εκτός από τα Κεφάλαια 4 και 5, μέρος των οποιών παραθέσαμε παραπάνω, η δομή του υπόλοιπου κειμένου έχει ως εξής: Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία για γεωδαισιακές και προγεωδαισιακές καμπύλες σε πολλαπλότητες με ομοπαραλληλική συνοχή, για ομάδες και άλγεβρες Lie, καθώς επίσης και για ομογενείς χώρους. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο θέτουμε και τον βασικό συμβολισμό που θα χρησιμοποιήσουμε στο υπόλοιπο κείμενο. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία που έχει αναπτυχθεί για τις ομογενείς γεωδαισιακές και δίνουμε ιδιαίτερη έμφαση σε αλγεβρικά και γεωμετρικά κριτήρια για ομογενείς γεωδαισιακές. Μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα τα κριτήρια που αφορούν ομογενείς γεωδαισιακές σε συμπαγείς πολλαπλότητες, και τα οποία διατυπώνονται δια μέσου της χρήσης του μετρικού ενδομορφισμού. Επιπλέον, παρουσιάζουμε ένα βασικό θεώρημα ύπαρξης ομογενών γεωδαισιακών σε πολλαπλότητες με ομοπαραλληλική συνοχή (Θεώρημα 2.3). Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε τις βασικότερες κλάσεις πολλαπλοτήτων γεωδαισιακών τροχιών με τις αποδείξεις μας να βασίζονται στα κριτήρια του Κεφαλαίου 2. Η βασική μας έρευνα παρουσιάζεται στα Κεφάλαια 4 και 5, το περιεχόμενο των οποίων παραθέσαμε συνοπτικά στις προηγούμενες ενότητες.

xvi Παράλληλα με την βασική ερευνητική δουλειά, στην παρούσα διατριβή παραθέτουμε αρκετές αποδείξεις, οι οποιες είτε παραλείπονται από την βιβλιογραφία είτε είναι δύσκολο να βρεθούν. Επιπλέον, διορθώνουμε κάποιες άλλες, όπως η απόδειξη ότι κάθε ασθενώς συμμετρικός χώρος είναι ένας χώρος γεωδαισιακών τροχιών ([Ber-Ko-Va]). Για την τελευταία εισάγουμε ένα γεωμετρικό κριτήριο για ομογενείς γεωδαισιακές, βασισμένο σε θεωρία υποπολλαπλοτήτων (Θεώρημα 2.1). Τέλος εισάγουμε την έννοια του τοπικά αριστερά αναλλοίωτου διανυσματικού πεδίου σε ομογενείς χώρους (Ορισμός 1.13), το οποίο είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στην απόδειξη σχέσεων όταν έχουμε να κάνουμε με αναλλοίωτες μετρικές. Τα κυριότερα αποτελέσματα που παρουσιάζονται σε αυτή την διατριβή έχουν δημοσιευτεί στις εργασίες [Ar-So-1], [Ar-So-2] και [So].

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά στοιχεία 1 1.1 Γεωδαισιακές καμπύλες......................... 1 1.1.1 Ομοπαραλληλικές συνοχές................... 1 1.1.2 Ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί............... 2 1.1.3 Γεωδαισιακές και προγεωδαισιακές καμπύλες.......... 4 1.1.4 Γεωδαισιακές ροές -μοναδικότητα γεωδαισιακών με αρχικές συνθήκες............................. 6 1.1.5 Η εκθετική απεικόνιση..................... 7 1.1.6 Τοπικές ιδιότητες γεωδαισιακών - Θεώρημα Hopf-Rinow... 7 1.2 Ομάδες Lie................................ 9 1.2.1 Ομάδες και άλγεβρες Lie.................... 9 1.2.2 Μονοπαραμετρικές υποομάδες και εκθετική απεικόνιση.... 10 1.2.3 Υποομάδες και υποάλγεβρες Lie................ 11 1.2.4 Συζυγής αναπαράσταση..................... 11 1.2.5 Ομάδες και άλγεβρες πινάκων.................. 12 1.2.6 Ειδικές κατηγορίες ομάδων και αλγεβρών Lie......... 13 1.2.7 Η μορφή Killing......................... 14 1.2.8 Υποάλγεβρες Cartan και μέγιστοι δακτύλιοι σε συμπαγείς ο- μάδες............................... 14 1.2.9 Ριζική διάσπαση μιγαδικών ημιαπλών αλγεβρών Lie...... 15 1.2.10 Πραγματική μορφή μιγαδικών ημιαπλών αλγεβρών Lie..... 16 1.2.11 Αναλλοίωτες μετρικές σε ομάδες Lie.............. 17 1.3 Ομογενείς Χώροι............................ 17 1.3.1 Δράσεις ομάδων Lie σε πολλαπλότητες............. 17 1.3.2 Αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία σε ομογενείς πολλαπλότητες. 19 1.3.3 Ομογενείς πολλαπλότητες με ομοπαραλληλική συνοχή..... 22 1.3.4 Αναγωγικοί ομογενείς χώροι.................. 23 1.3.5 Ισοτροπική αναπαράσταση ενός ομογενούς χώρου....... 24 1.3.6 Ο μετρικός ενδομορφισμός................... 25 xvii

xviii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 1.3.7 Φυσικά αναγωγικοί και Κανονικοί ομογενείς χώροι...... 25 2 Ομογενείς Γεωδαισιακές 29 2.1 Εισαγωγή................................ 29 2.2 Γεωμετρικές συνθήκες για ομογενείς γεωδαισιακές.......... 30 2.3 Αλγεβρικές συνθήκες για ομογενείς γεωδαισιακές........... 36 2.4 Υπαρξη ομογενών γεωδαισιακών σε ομοπαραλληλικές πολλαπλότητες 42 3 Πολλαπλότητες Γεωδαισιακών τροχιών 45 3.1 Εισαγωγή................................ 45 3.2 Κριτήρια για ομογενείς χώρους γεωδαισιακών τροχιών........ 48 3.3 Βασικές κατηγορίες πολλαπλοτήτων γεωδαισιακών τροχιών...... 50 3.3.1 Φυσικά αναγωγικοί χώροι.................... 50 3.3.2 Ασθενώς συμμετρικοί χώροι.................. 51 3.3.3 δ-ομογενείς χώροι........................ 52 3.4 Υποπολλαπλότητες γεωδαισιακών τροχιών μιας ΠΓΤ......... 55 4 Μετρικές γεωδαισιακών τροχιών σε συμπαγείς χώρους Riemann 61 4.1 Ο μετρικός ενδομορφισμός σε μια συμπαγή ομογενή πολλαπλότητα.. 62 4.1.1 Στοιχεία από τη θεωρία αναπαραστάσεων........... 62 4.1.2 Ισοαναλλοίωτοι ενδομορφισμοί σε πλήρως αναγώγιμες αναπαραστάσεις............................ 64 4.1.3 Η μορφή του μετρικού ενδομορφισμού............. 65 4.2 Ιδιότητες μετρικών γεωδαισιακών τροχιών............... 67 4.2.1 Ιδιοτιμές του μετρικού ενδομορφισμού μιας ΜΓΤ σε συμπαγείς πολλαπλότητες.......................... 67 4.2.2 Μετρικές γεωδαισιακών τροχιών σε συμπαγείς ομάδες Lie.. 69 4.2.3 Διαγωνοποίηση μετρικών γεωδαισιακών τροχιών σε ισοτυπικούς προσθετέους........................ 71 4.3 Μετρικές γεωδαισιακών τροχιών σε πολλαπλότητες Stiefel...... 78 5 Πολλαπλότητες Γενικευμένων Γεωδαισιακών τροχιών 89 5.1 Εισαγωγή................................ 89 5.2 Πολλαπλά ομογενείς γεωδαισιακές................... 90 5.3 Πολλαπλότητες διπλά γεωδαισιακών τροχιών και διπλά ομογενείς γεωδαισιακές................................ 100 5.4 Μετρικές διπλά γεωδαισιακών τροχιών σε πολλαπλότητες σημαιών.. 107 5.4.1 Εισαγωγή............................ 107

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ xix 5.4.2 Κατασκευή των πολλαπλοτήτων σημαιών με θεωρία Lie.... 108 5.4.3 Ο εφαπτόμενος χώρος μιας γενικευμένης πολλαπλότητας σημαιών............................... 110 5.4.4 Διπλά ομογενείς γεωδαισιακές σε πολλαπλότητες σημαιών.. 111 5.5 Μετρικές τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε γενικευμένους χώρους W- allach.................................. 116 5.5.1 Εισαγωγή............................ 116 5.5.2 Μελέτη της ύπαρξης διαγώνιων μετρικών τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε γενικευμένους χώρους Wallach.......... 117 Βιβλιογραφία 123

xx ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά στοιχεία 1.1 Γεωδαισιακές καμπύλες Στην ενότητα αυτή υπενθυμίζουμε τον ορισμό μιας γεωδαισιακής καμπύλης σε μια πολλαπλότητα με ομοπαραλληλική συνοχή, καθώς επίσης και κάποιες βασικές ιδιότητες των γεωδαισιακών καμπυλών, όπως αυτή της τοπικής ελαχιστοποίησης των αποστάσεων σε πολλαπλότητες Riemann. Κάνουμε χρήση του όρου «προγεωδαισιακή καμπύλη» για μια αναπαραμέτρηση μιας γεωδαισιακής καμπύλης και αποδεικνύουμε ένα κριτήριο ώστε μια καμπύλη γ σε μια πολλαπλότητα με αφινική συνοχή να είναι προγεωδαισιακή. Πηγές μας για την παρούσα ενότητα αποτελούν οι [Ba],[Do],[Kob],[Kob-No],[Mi],[On]. 1.1.1 Ομοπαραλληλικές συνοχές Ορισμός 1.1. Εστω M μια λεία πολλαπλότητα και X (M) το σύνολο των λείων διανυσματικών πεδίων στην M. Μια ομοπαραλληλική συνοχή στην M είναι μια απεικόνιση : X (M) X (M) X (M), : (X, Y ) X Y, με τις παρακάτω ιδιότητες: i. fx+gy Z = f X Z + g Y Z, ii. X (Y + Z) = X Y + X Z, iii. X (fy ) = f X Y + X(f)Y, για κάθε X, Y, Z X (M) και f, g C (M). Εστω p M και (x 1,..., x n ) ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Υπάρχουν λείες πραγματικές συναρτήσεις, τα λεγόμενα σύμβολα Christoffel της συνοχής, τέτοιες ώστε 1

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ Α ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ Θέτοντας X = n i=1 f i x i X Y = x i x j = n k=1 Γ k ij και Y = n j=1 g j x j n ( k=1. x k παίρνουμε ότι n f i g j Γ k ij + X(g k )), (1.1) i,j=1 απ όπου προκύπτει ότι το X Y (p) εξαρτάται από τα f i (p), g j (p) και τις παραγώγους X(g k )(p). Θεώρημα 1.1. Εστω (M,, ) μια πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια ψευδομετρική Riemann. Τότε υπάρχει μοναδική συνοχή στην M τέτοια ώστε: i. Η να είναι συμμετρική, δηλαδή X Y Y X = [X, Y ], X, Y X (M). ii. Η να είναι συμβατή με την ψευδομετρική,, δηλαδή X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z, X, Y, Z X (M). Η ονομάζεται συνοχή Levi-Civita της (M,, ). Για τη συνοχή Levi-Civita ισχύει η παρακάτω σχέση η οποία ονομάζεται ταυτότητα του Koszul. 2 Y X, Z = X Y, Z + Y X, Z Z Y, X [X, Z], Y [Y, Z], X [X, Y ], Z. (1.2) Στο εξής, όταν θα θεωρούμε μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα (M, ), θα εννοούμε ότι η M είναι εφοδιασμένη με μια ψευδομετρική Riemann,, και η είναι η συνοχή Levi-Civita της (M,, ). 1.1.2 Ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί Εστω f : M M μια αμφιδιαφόριση μεταξύ των πολλαπλοτήτων M, M και έστω μια ομοπαραλληλική συνοχή στην πολλαπλότητα M. Τότε η απεικόνιση := f : X (M) X (M) X (M), με X Y = f 1 ( f Xf Y ),

1.1. ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚ ΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 3 είναι μια ομοπαραλληλική συνοχή στην M. Ορισμός 1.2. Εστω (M, ), ( M, ) πολλαπλότητες με ομοπαραλληλική συνοχή, και έστω f : M M μια αμφιδιαφόριση. Η f ονομάζεται αφινική απεικόνιση αν = f. Μια αφινική απεικόνιση f : M M ονομάζεται ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός της (M, ). Παρατήρηση 1.1. Στην περίπτωση που η (M, ) είναι μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα, μια απεικόνιση f : M M είναι ένας αφινικός μετασχηματισμός της M εάν και μόνο εάν η f είναι μια ισομετρία. Το σύνολο των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών μιας πολλαπλότητας (M, ) αποτελεί μια ομάδα G και σύμφωνα με μια γενίκευση του γνωστού θεωρήματος των Myers-Steenrod, η οποία οφείλεται στους Nomizu και Hano-Morimoto, η G είναι μια ομάδα Lie ([Kob]). Οταν η (M, ) είναι μια πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια ψευδομετρική Riemann, τότε η ομάδα ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών αυτής συμπίπτει με την ομάδα ισομετριών της. Παρακάτω θα ορίσουμε την έννοια του απειροστικού ομοπαραλληλικού μετασχηματισμού. Προς αυτή την κατεύθυνση, θυμίζουμε τις έννοιες της ολοκληρωτικής καμπύλης και της τοπικής ροής ενός διανυσματικού πεδίου. Ορισμός 1.3. Εστω X ένα λείο διανυματικό πεδίο σε μια πολλαπλότητα M. Μια καμπύλη c : I M ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη του X εάν X c(t) = dc για dt κάθε t I. Η c ονομάζεται μέγιστη ολοκληρωτική καμπύλη του X εάν το I είναι το μέγιστο πεδίο ορισμού της c για το οποίο η c είναι μια ολοκληρωτική καμπύλη του X. Από τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους έχουμε το παρακάτω αποτέλεσμα. Θεώρημα 1.2. Εστω X X (U) ένα λείο διανυσματικό πεδίο σε μια ανοικτή περιοχή U μιας πολλαπλότητας M, και έστω p U. Τότε υπάρχει ανοικτή περιοχή U o U με p U o, ɛ > 0 και μια λεία απεικόνιση φ : ( ɛ, ɛ) U o U, έτσι ώστε για κάθε q U o η καμπύλη φ q : ( ɛ, ɛ) M με φ q (t) = φ(t, q) να είναι η μοναδική μέγιστη ολοκληρωτική καμπύλη του X η οποία για t = 0 διέρχεται από το q U o. Για κάθε t ( ɛ, ɛ) η απεικόνιση φ t : U o U με φ t (q) = φ(t, q) ονομάζεται τοπική ροή του X στο U. Ορισμός 1.4. Εστω (M, ) μια πολλαπλότητα με ομοπαραλληλική συνοχή. Ενα διανυσματικό πεδίο X στην M ονομάζεται απειροστικός ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός της (M, ) εάν οι τοπικές ροές του είναι ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ Α ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ της (M, ). Ο απειροστικός ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός X ονομάζεται πλήρης εάν οι μέγιστες ολοκληρωτικές καμπύλες του ορίζονται σε όλο το R. Στην περίπτωση που η (M, ) είναι μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα, ένας απειροστικός ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός X ονομάζεται πεδίο Killing. Η άλγεβρα Lie της ομάδας των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών της (M, ) ταυτίζεται με την άλγεβρα των πλήρων απειροελάχιστων ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών της (M, ) ([Kob] σελ. 46). Για τα πεδία Kiling ισχύει η εξής: Πρόταση 1.1. Εστω (M,, ) μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα με αντίστοιχη συνοχή και έστω X ένα διανυσματικό πεδίο στην M. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: i.. Το X είναι ένα πεδίο Killing. ii. L X, = 0, όπου L X είναι η παράγωγος Lie. iii. Y, Z X + Z, Y X = 0, για κάθε Y, Z X (M). 1.1.3 Γεωδαισιακές και προγεωδαισιακές καμπύλες Ορισμός 1.5. Εστω (M, ) μια λεία πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια ομοπαραλληλική συνοχή. Μια καμπύλη γ : I M ονομάζεται γεωδαισιακή καμπύλη αν γ γ = 0. Κάθε αναπαραμέτρηση γ μιας γεωδαισιακής καμπύλης γ ονομάζεται προγεωδασιακή καμπύλη. Παρατήρηση 1.2. Για να έχει νόημα ο Ορισμός 1.5 θα πρέπει, το πεδίο γ κατά μήκος της γ να επεκτείνεται σε ένα λείο διανυσματικό πεδίο σε μια ανοικτή περιοχή στην M. Επιπλέον, ο Ορισμός 1.5 είναι ανεξάρτητος της επιλεγμένης επέκτασης. Κάποιοι συγγραφείς αρχικά ορίζουν τις γεωδαισιακές καμπύλες είτε μέσω της έννοιας της συναλλοίωτης παραγώγου, είτε ως λύσεις ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Στη συνέχεια αποδεικνύουν ότι το εφαπτόμενο πεδίο κατά μήκος μιας γεωδαισιακής καμπύλης επιδέχεται μια τοπική επέκταση, το οποίο καθιστά τους προαναφερθέντες ορισμούς ισοδύναμους με τον Ορισμό 1.5. Αυτό που εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τοπικής επέκτασης του γ είναι το Θεώρημα 1.3, το οποίο θα δούμε στην επόμενη υποενότητα. Από τον Ορισμό 1.5 παίρνουμε το εξής. Πρόταση 1.2. Εστω (M 1, 1 ), (M 2, 2 ) δύο ψευδορημάννειες πολλαπλότητες, και έστω f : M 1 M 2 μια ισομετρία. Μια καμπύλη γ είναι γεωδαισιακή στην (M 1, 1 ) αν και μόνο αν η καμπύλη f γ είναι γεωδαισιακή στην (M 2, 2 ).

1.1. ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚ ΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 5 Κάθε γεωδαισιακή καμπύλη σε μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα (M, ) έχει σταθερή ταχύτητα, ενώ δε συμβαίνει το ίδιο για τις προγεωδαισιακές. Η παρακάτω πρόταση μας εξασφαλίζει ποιές ακριβώς προγεωδαισιακές καμπύλες σε μια ψευδορημμάνια πολλαπλότητα είναι γεωδαισιακές. Πρόταση 1.3. Εστω (M, ) μια πολλαπλότητα με ομοπαραλληλική συνοχή, έστω γ : I M μια γεωδαισιακή καμπύλη και έστω γ = γ φ όπου φ : J I, μια αναπαραμέτρηση της γ. Τότε η γ είναι μια γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν φ(t) = at+b, a, b R. Κάθε παράμετρος s = φ(t) για την οποία η γ(s) = γ φ είναι μια γεωδαισιακή ονομάζεται αφινική παράμετρος της γ. Για μια απόδειξη της παραπάνω πρότασης παραπέμπουμε στο [On], σελ 69. Καθώς κάθε γεωδαισιακή σε μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα έχει σταθερή ταχύτητα, οι γεωδαισιακές διακρίνονται σε τρία είδη ανάλογα με τον αιτιακό χαρακτήρα των εφαπτόμενων διανυσμάτων τους. Ορισμός 1.6. Εστω (M, ) μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα και γ : I M μια γεωδαισιακή. Η γ ονομάζεται χωρική αν γ(t) > 0, χρονική αν γ(t) < 0 και μηδενική (φωτοειδής) αν γ(t) = 0. Πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν την ευρύτερη έννοια της προγεωδαισιακής αντί αυτή της γεωδαισιακής. Η παρακάτω πρόταση χρησιμοποιείται στο [Mi] ως εναλλακτικός ορισμός της έννοιας της γεωδαισιακής καμπύλης. Παραθέτουμε μια απόδειξη αυτής βασιζόμενοι στην ορολογία της παρούσας διατριβής. Πρόταση 1.4. Εστω (M, ) μια πολλαπλότητα με ομοπαραλληλική συνοχή και γ : I M καμπύλη στην M. Η γ είναι μια προγεωδαισιακή καμπύλη εάν και μόνο εάν υπάρχει μια πραγματική συνάρτηση k τέτοια ώστε γ γ = k γ. Η γ είναι μια γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η συνάρτηση k είναι μηδενική. Απόδειξη. Η γ είναι μια προγεωδαισιακή καμπύλη εάν και μόνο εάν υπάρχει μια λεία α- ναπαραμέτρηση s : I J τέτοια ώστε η καμπύλη γ := γ(s) να είναι μια γεωδαισιακή, δηλαδή να ισχύει ότι γ γ = γ(s)s γ(s)s = 0. (1.3) Το αριστερό μέλος της παραπάνω εξίσωσης ισούται με

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ Α ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ γ(s)s γ(s)s = s 2 γ(s) γ(s) + s s γ(s). (1.4) Καθώς η γ(s) είναι μια παραμέτρηση της γ έχουμε ότι s (t) 0, t I. Συνεπώς από τις εξισώσεις (1.3) και (1.4) παίρνουμε ότι που μας δίνει το ζητούμενο. γ(s) γ(s) = s s γ(s), Στην περίπτωση μιας ψευδορημάννειας πολλαπλότητας, η Πρόταση 1.4 λαμβάνει την παρακάτω ειδική μορφή. Πόρισμα 1.1. Εστω (M,, ) μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα και γ : I M μια καμπύλη στην M. Η γ είναι μια προγεωδαισιακή εάν και μόνο εάν για κάθε V X (M) ισχύει ότι γ V, γ + γ, [V, γ] 1 V γ, γ = k γ, V. 2 Απόδειξη. Από την Πρόταση 1.4 έπεται ότι η γ είναι μια προγεωδαισιακή εάν και μόνο εάν για κάθε V X (M) ισχύει ότι γ γ, V = k γ, V. Θέτοντας τώρα X = Y = γ και Z = V στη σχέση (1.2) και λαμβάνοντας υπόψη την παραπάνω σχέση παίρνουμε το ζητούμενο. 1.1.4 Γεωδαισιακές ροές -μοναδικότητα γεωδαισιακών με αρχικές συνθήκες Θεώρημα 1.3. Εστω (M, ) μια πολλαπλότητα με ομοπαραλληλική συνοχή. Υ- πάρχει μοναδικό διανυσματικό πεδίο G της εφαπτόμενης δέσμης T M του οποίου οι ολοκληρωτικές καμπύλες έχουν τη μορφή φ : ( ɛ, ɛ) T M με φ(t) = (γ(t), γ(t)) όπου γ είναι μια γεωδαισιακή στην (M, ). Το G ονομάζεται γεωδαισιακό πεδίο της T M, ενώ οι ροές του ονομάζονται γεωδαισιακές ροές της T M. Από τα Θεωρήματα 1.2 και 1.3 παίρνουμε ότι μια γεωδαισιακή καμπύλη με δοσμένες αρχικές συνθήκες είναι μοναδική.

1.1. ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚ ΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 7 Πρόταση 1.5. Εστω (M, ) μια πολλαπλότητα με ομοπαραλληλική συνοχή, p M και v T p M. Τότε υπάρχει μοναδική μέγιστη γεωδαισιακή γ p v : ( ɛ, ɛ) M με γ p v(0) = p και γ p v(0) = v. Αξίζει να επισημανθεί ότι το μήκος του I = ( ɛ, ɛ) είναι αντιστρόφως ανάλογο του μήκους του v T p M. Ισχύει το εξής. Λήμμα 1.1. Εστω γ p v : ( ɛ, ɛ) M η μοναδική μέγιστη γεωδαισιακή που διέρχεται από το p M, με γ p v(0) = v και έστω λ R. Τότε το μέγιστο πεδίο ορισμού της γεωδαισιακής γ p λv είναι το ( ɛ λ, ɛ λ ). 1.1.5 Η εκθετική απεικόνιση Από το Λήμμα 1.1, μπορούμε να βρούμε μια ανοικτή περιοχή V στον T p M τέτοια ώστε το πεδίο ορισμού κάθε γεωδαισιακής γ p v, v V, να περιέχει το 1. Αυτό μας οδηγεί στον παρακάτω ορισμό της εκθετικής απεικόνισης σε μια πολλαπλότητα (M, ). Αρχικά θεωρούμε την προβολή π : T M M. Ορισμός 1.7. Για κάθε p M υπάρχει μια ανοικτή περιοχή U στην εφαπτόμενη δέσμη T M με p π(u), τέτοια ώστε η απεικόνιση exp : U M με exp(q, v) = γ q v(1) να είναι καλώς ορισμένη. Η απεικόνιση exp ονομάζεται εκθετική απεικόνιση στο U T M. Περιοριζόμενοι στο p M, η απεικόνιση exp p : B δ (0) M με exp p (v) = exp(p, v) είναι καλώς ορισμένη σε μια ανοικτή μπάλα B δ (0) T p M. Επιπλέον, ισχύει ((exp p ) ) 0 (v) = v, συνεπώς από το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης, η exp p είναι μια τοπική αμφιδιαφόριση. Ορισμός 1.8. Εστω B ɛ (0) T p M μια ανοικτή μπάλα, τέτοια ώστε η απεικόνιση exp p Bɛ(0) : B ɛ(0) exp p (B ɛ (0)) να είναι μια αμφιδιαφόριση. Η ανοικτή περιοχή B ɛ (p) := exp p (B ɛ (0)) του p ονομάζεται κανονική μπάλα ή γεωδαισιακή μπάλα με κέντρο p M και ακτίνα ɛ. Οι γεωδαισιακές που διέρχονται από το p και βρίσκονται στην B ɛ (p) ονομάζονται ακτινικές γεωδαισιακές. 1.1.6 Τοπικές ιδιότητες γεωδαισιακών - Θεώρημα Hopf- Rinow Κάθε πολλαπλότητα Riemann M επιδέχεται δομή μετρικού χώρου ως εξής. Για κάθε p, q M θεωρούμε το σύνολο A p,q των κατά τμήματα διαφορίσιμων καμπυλών που συνδέουν τα p, q. Η συνάρτηση d : M M R με

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ Α ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ d(p, q) = inf L p,q (c), c A p,q όπου L p,q (c) είναι το μήκος της καμπύλης c από το p στο q, ορίζει μια μετρική στην M. Τα επόμενα αποτελέσματα μας εξασφαλίζουν ότι αν τα p, q είναι αρκετά κοντά μεταξύ τους, η απόσταση d(p, q) υλοποιείται μέσω μιας καμπύλης γ εάν και μόνο εάν η γ είναι μια γεωδαισιακή. Πρόταση 1.6. Εστω (M,, ) μια πολλαπλότητα Riemann, p M, B μια γεωδαισιακή μπάλα με κέντρο p, και γ : [0, 1] B ένα τμήμα μιας γεωδαισιακής με γ(0) = p. Αν c : [0, 1] M είναι μια κατά τμήματα διαφορίσιμη καμπύλη με c(0) = p = γ(0) και c(1) = γ(1) = q τότε L p,q (γ) L p,q (c). Αν επιπλέον ισχύει ότι L p,q (γ) = L p,q (c), τότε γ([0, 1]) = c([0, 1]). Αντίστροφα, έχουμε το παρακάτω. Πρόταση 1.7. Εστω (M,, ) μια πολλαπλότητα Riemann. Εστω μια σταθερής ταχύτητας, κατά τμήματα διαφορίσιμη καμπύλη γ : [a, b] M για την οποία ισχύει ότι L p,q (γ) L p,q (c), για κάθε κατά τμήματα διαφορίσιμη καμπύλη c : [a, b] M με c(a) = γ(a) = p και c(b) = γ(b) = q. Τότε η γ είναι μια γεωδαισιακή της M. Ορισμός 1.9. Μια πολλαπλότητα Riemann ονομάζεται πλήρης αν το πεδίο ορισμού κάθε μέγιστης γεωδαισιακής είναι το R. Το παρακάτω θεώρημα των Hopf-Rinow μας εξασφαλίζει ότι σε μια πλήρη πολλαπλότητα Riemann, οι τοπικές ιδιότητες μιας γεωδαισιακής που δίνονται στις Προτάσεις 1.6 και 1.7, γίνονται ολικές. Θεώρημα 1.4. ( Hopf-Rinow) Εστω (M,, ) μια πολλαπλότητα Riemann και έ- στω p M. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα. i. Η (M,, ) είναι πλήρης. ii. Η απεικόνιση exp p ορίζεται σε όλον τον T p M. iii. Η (M,, ) είναι πλήρης ως μετρικός χώρος (M, d). iv. Κάθε κλειστό και φραγμένο σύνολο στην M είναι συμπαγές. v. Υπάρχει μια ακολουθία συμπαγών συνόλων K n M τέτοια ώστε K n K n+1, n=1 K n = M, και lim n d(p, q n ) = αν q n / K n. Επιπλέον, κάθε μία από τις παραπάνω ιδιότητες συνεπάγεται ότι για κάθε q M υπάρχει μια γεωδαισιακή γ που συνδέει τα p, q τέτοια ώστε d(p, q) = L p,q (γ).

1.2. ΟΜ ΑΔΕΣ LIE 9 1.2 Ομάδες Lie Σε αυτή την ενότητα παραθέτουμε τα βασικά στοιχεία από τη θεωρία των ομάδων και των αλγεβρών Lie, τα οποία θα χρειαστούμε για το υπόλοιπο της διατριβής. Μια προσθήκη μας είναι μια ειδική έκφραση του κανόνα παραγώγισης του Leibniz για την παράγωγο του γινομένου δύο καμπυλών σε μια ομάδα Lie (Λήμμα 1.2). Βασικές αναφορές μας για την παρούσα ενότητα αποτελούν οι [Ar-1], [Bou], [Hel], και [Kir]. 1.2.1 Ομάδες και άλγεβρες Lie Μια ομάδα Lie G είναι μια λεία πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια δομή ομάδας, τέτοια ώστε οι πράξεις µ : G G G και i : G G του πολλαπλασιασμού και της αντιστροφής στην G αντίστοιχα να είναι λείες. Για κάθε g G, η αριστερή μεταφορά L g : G G και η δεξιά μεταφορά R g : G G με τύπους L g (x) = µ(g, x) = gx και R g (x) = µ(x, g) = xg αντίστοιχα, είναι αμφιδιαφορίσεις της G. Ενα διανυσματικό πεδίο V στην G ονομάζεται αριστερά αναλλοίωτο αν (L g ) V = V, και ονομάζεται δεξιά αναλλοίωτο αν (R g ) V = V. Το γινόμενο Lie [V, W ] δύο αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων V, W στην G, είναι επίσης ένα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο στην G. Συνεπώς, το σύνολο g των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων στην G αποκτά τη δομή μιας άλγεβρας Lie. Για κάθε διάνυσμα X T e G θα συμβολίζουμε με X L : G T G το διανυσματικό πεδίο για το οποίο Xg L = (L g ) X, g G, και με X R : G T G το διανυσματικό πεδίο για το οποίο Xg R = (R g ) X, g G. Το πεδίο X L ονομάζεται το επαγόμενο αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο από το X, και το X R ονομάζεται το επαγόμενο δεξιά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο από το X. Η αντιστοιχία X X L επάγει έναν ισομορφισμό (διανυσματικών χώρων) μεταξύ του T e G και της άλγεβρας g. Επιπλέον, το γινόμενο [, ] : T e G T e G T e G με [X, Y ] := [X L, Y L ] e = [X, Y ] L e καθιστά τον εφαπτόμενο χώρο T e G μια άλγεβρα Lie ισόμορφη με την g, η οποία ονομάζεται άλγεβρα Lie της G. Ως διάσταση της ομάδας G ορίζουμε την διάσταση της άλγεβρας Lie g της G. Ενας λείος ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων Lie ονομάζεται ομομορφισμός ομάδων Lie. Μια γραμμική απεικόνιση ψ : g h μεταξύ δύο αλγεβρών Lie ονομάζεται ο- μομορφισμός αλγεβρών Lie, αν ψ([x, Y ]) = [ψ(x), ψ(y )], X, Y g. Αν φ : G H είναι ένας ομομορφισμός ομάδων Lie, και g, h είναι οι αντίστοιχες άλγεβρες Lie των ομάδων G και H, τότε η απεικόνιση (φ ) e : g h είναι ένας ομομορφισμός αλγεβρών Lie.

10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ Α ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ Θα χρειαστούμε το παρακάτω. Λήμμα 1.2. Εστω G μια ομάδα Lie και έστω α, β, γ : I R G καμπύλες στην G τέτοιες ώστε γ(t) = α(t)β(t). Τότε γ(t) = d ds α(t + s)β(t) + d s=0 ds α(t)β(t + s). s=0 Απόδειξη. Εστω µ : G G G ο πολλαπλασιασμός στην G και θεωρούμε τις καμπύλες c α, c β : I G G με c α (s) = (α(t + s), β(t)), c β (s) = (α(t), β(t + s)). Τότε ισχύει ότι c α (0) = c β (0) = (α(t), β(t)) και ċ α (0) = ( α(t), 0), ċ β (0) = (0, β(t)). Είναι γ(t) = d ds γ(t + s) = d s=0 ds α(t + s)β(t + s) = d s=0 ds µ(α(t + s), β(t + s)) ( ) ( ) s=0 ( ) = (µ ) (α(t),β(t)) α(t), β(t) = (µ ) (α(t),β(t)) α(t), 0 + (µ ) (α(t),β(t)) 0, β(t) = d ds (µ c α )(s) + d s=0 ds (µ c β )(s) s=0 = d ds α(t + s)β(t) + d s=0 ds α(t)β(t + s). s=0 1.2.2 Μονοπαραμετρικές υποομάδες και εκθετική α- πεικόνιση Μια μονοπαραμετρική υποομάδα της G είναι ένας ομομορφισμός ομάδων Lie φ : R G. Για κάθε X g υπάρχει μια μοναδική μονοπαραμετρική υποομάδα φ X τέτοια ώστε d dt t=0 φ X (0) = X. Η εκθετική απεικόνιση exp : g G ορίζεται από τον τύπο exp(x) = φ X (1). Αν θέλουμε να δώσουμε έμφαση στην άλγεβρα g θα συμβολίζουμε την εκθετική απεικόνιση με exp g. Πρόταση 1.8. Οι παρακάτω αποτελούν βασικές ιδιότητες της εκθετικής απεικόνισης σε μια ομάδα Lie: i. exp(t + s)x = exp(tx) exp(sx), t, s R, X g. ii. exp(x) 1 = exp( X), X g.

1.2. ΟΜ ΑΔΕΣ LIE 11 iii. d dt t=0 exp(tx) = X. iv. Αν ψ : G H είναι ένας ομομορφισμός ομάδων Lie τότε ψ(exp g (X)) = exp h (ψ X). (1.5) 1.2.3 Υποομάδες και υποάλγεβρες Lie Μια υποομάδα H της ομάδας Lie G ονομάζεται υποομάδα Lie της G εάν η απεικόνιση εγκλεισμού i : H G είναι μια εμβύθιση. Είναι γνωστό ότι μια υποομάδα H της G είναι μια εμφυτευμένη υποπολλαπλότητα της G (άρα μια υποομάδα Lie της G) εάν και μόνο εάν είναι κλειστή υποομάδα στην G. Ενας διανυσματικός υπόχωρος h της άλγεβρας g ονομάζεται υποάλγεβρα Lie της g εάν η h είναι άλγεβρα με πράξη το γινόμενο Lie της g. Μια υποάλγεβρα Lie h της g ονομάζεται ιδεώδες της g εάν ισχύει [g, h] h. Παραθέτουμε τα θεωρήματα του Lie. Θεώρημα 1.5. Εστω g μια άλγεβρα Lie. Τότε υπάρχει μια (όχι απαραίτητα μοναδική) ομάδα Lie G με άλγεβρα Lie την g. Θεώρημα 1.6. Εστω G μια ομάδα Lie με άλγεβρα Lie g. Αν η H είναι υποομάδα Lie της G τότε η αντίστοιχη άλγεβρα h της H είναι υποάλγεβρα Lie της g. Αντίστροφα, για κάθε υποάλγεβρα Lie h της g υπάρχει μια μοναδική συνεκτική υποομάδα Lie H της G με άλγεβρα Lie h. Με την παραπάνω αντιστοιχία, οι κανονικές υποομάδες Lie της G αντιστοιχούν σε ιδεώδη της g και αντίστροφα. Σημειώνουμε ότι αν η h είναι υποάλγεβρα Lie της g τότε από την ιδιότητα (1.5) παίρνουμε ότι exp h = exp h g. Θεώρημα 1.7. Δύο ομάδες Lie G 1, G 2 με ισόμορφες άλγεβρες Lie, είναι τοπικά ισόμορφες. Αν επιπλέον οι G 1, G 2 είναι απλά συνεκτικές τότε είναι μεταξύ τους ισόμορφες. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για κάθε ομάδα Lie G, με άλγεβρα Lie g, υπάρχει μια μοναδική (ως προς ισομορφισμό) απλά συνεκτική ομάδα Lie G με άλγεβρα Lie g. Η ομάδα G ονομάζεται γενικό κάλυμμα της ομάδας G. 1.2.4 Συζυγής αναπαράσταση Για κάθε g G θεωρούμε τον αυτομορφισμό c g : G G με c g = L g R g. Η συζυγής αναπαράσταση της G Ad : G Aut(g) δίνεται ως Ad(g)X = (c g ) X, g G, X g. Η συζυγής αναπαράσταση της g ad : g gl(g) δίνεται ως ad(x)y = (Ad ) e (X)Y =