О КРУЖНИЦИ УПИСАНОЈ У ПРАВОУГЛИ ТРОУГАО

О КРУЖНИЦИ УПИСАНОЈ У ПРАВОУГЛИ ТРОУГАО Ратко Тошић, Нови Сад Посматраћемо правоугли троугао АВС са правим углом код темена С. Његове странице су a, b, c, при чему су a и b катете (наспрам темена А и В редом) и c хипотенуза. Кружница над пречником AB = c је описана кружница тога троугла и c њен полупречник једнак је. У овом чланку ћемо кроз решења неколико задатака доказати нека тврђења у вези са уписаном кружницом. Њен пречник означаваћемо са r. a+ b c Задатак 1. Докажи да је r=. Решење. Нека је О центар описане кружнице, а P, Q, R редом тачке у којима та кружница додирује странице c, a, b (слика 1). Како су OQ и OR нормалне на странице BC и CA, четвороугао OQCR је квадрат са страницама дужине r. Даље је AP = AR и BQ = BP (једнакост тангентних дужи из тачке на кружницу), одакле је a + b = AR + r + BQ + r = AP + BP + r = c + r, па следи да је r = a + b c, одакле следи тврђење. А P R O C Q слика 1 B Задатак. Нека је CD = h висина на хипотенузу правоуглог троугла АВС и r, r1, r редом полупречници кружница уписаних у троуглове ABC, ADC и BDC. Докажи да је r + r1 + r = h. А p b h D P q C T a B слика 1

О КРУЖНИЦИ УПИСАНОЈ У ПРАВОУГЛИ ТРОУГАО Решење. Нека је AD = p, BD = q (слика ). Троугао ADC је правоугли са катетама p и h и хипотенузом b. Троугао BDC је правоугли са катетама q и h и хипотенузом a. Према претходном задатку је: a+ b c p+ h b q+ h a r=, r1 =, r =. Сабирањем тих једнакости, имајући у виду да је p + q = c, добијамо да је r + r1 + r = h. h Задатак 3. Докажи да за правоугли троугао важи неједнакост r<. Решење 1. Користимо познату формулу за површину произвољног троугла са страницама a, b, c: a+ b+ c S= r. 1 Како је код правоуглог троугла и S= ch, то на основу a + b > c (неједнакост c 1 h троугла), следи да је r < ch, одакле је r<. Решење. Следи на основу слике. (Образложи!) На слици је PT пречник кружнице паралелан висини h. Задатак 4. Докажи да се површина правоуглог троугла може израчунати по формули S = r (c + r). Решење 1. a+ b c a+ b c a+ b c a+ b+ c r( r+ c) = ( c+ ) = = (( a+ b) c) (( a+ b) + c) ( a+ b) c ( a+ b) ( a + b ) ab ab = = = = = = S. 4 4 4 4 Решење. Користимо формулу S = rs за површину троугла, где је s полуобим троугла. Полуобим правоуглог троугла једнак је r + c, одакле следи тврђење. Правоугли троугао код кога су дужине свих страница цели бројеви назива се Питагорин троугао. Такав је, на пример, троугао са страницама дужине 3, 4, 5, а такође и троугао са страницама дужине 5, 1, 13. Дужине страница Питагориног троугла чине Питагорину тројку бројева, тј. тројку природних бројева (x, y, z) такву да је x + y = z. Задатак 5. Докажи да полупречник кружнице уписане у Питагорин троугао има целобројну дужину.

УЗ ПОЧЕТАК 013. ГОДИНЕ a+ b c Решење. Нека су a, b, c дужине страница Питагориног троугла. Како је r=, довољно је доказати да је a + b c паран број. Како је (a + b c) = a + b + c + ab ac bc = c + c + (ab ac bc) = (c + ab ac bc) паран број, следи да је и a + b c паран број, чиме је тврђење доказано. Задаци за самостални рад 1. Докажи да у правоуглом троуглу важи c r S где је S површина троугла.. Докажи да за сваки природан број n постоји Питагорин троугао код кога је полупречник уписане кружнице једнак n. СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БР. 67 Десет најуспешнијих решавалаца овог задатка биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. Наведи пример Питагориног троугла код кога је полупречник уписане кружнице једнак 013. УЗ ПОЧЕТАК 013. ГОДИНЕ Ратко Тошић, Нови Сад 1. У 013. години Марко пуни толико година колики је збир цифара године његовог рођења. То исто важи и за његовог најстаријег брата. Колико је Марко млађи од свог најстаријег брата?. Дешифруј сабирање ABCD + EC = 013. Различита слова представљају различите цифре. 3. Да ли постоји број са збиром цифара 013 који је потпун квадрат? 4. Да ли се број 1 + + 3 +... + 013 може представити у облику збира (а) 01; (б) 011 различитих квадрата природних бројева? Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013. 3

УЗ ПОЧЕТАК 013. ГОДИНЕ 5. Означимо са S(n) збир цифара броја n. Наћи све природне бројеве n такве да је број 013 дељив са n + S(n). 6. Природан број завршава се са 013. Брисањем последње четири цифре број се смањи цео број пута. Који је то број? 7. Постоје ли цели бројеви x, y, z, t такви да је (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 = 01013? 8. Исписани су редом природни бројеви, а затим су прецртани сви они који су квадрати или кубови природних бројева. Који се од непрецртаних бројева налази на 013. месту? 9. По ободу кружнице исписано је 013 бројева међу којима има и парних и непарних. Дозвољено је примењивати следећи операцију: између свака два суседна броја напише се њихов збир, а затим се полазни бројеви избришу. Да ли се после коначног броја операција може постићи да сви бројеви буду парни? 10. Први члан низа бројева је 013, а сваки следећи једнак је збиру цифара претходног. Одреди 013. члан тог низа. 11. У квадратну таблицу 013 013 исписани су бројеви 1,, 3,..., 013, сваки тачно по 013 пута. Испоставило се да је збир бројева изнад главне дијагонале тачно 3 пута већи од збира бројева испод те дијагонале. Који је број уписан у централно поље таблице? 1. Наћи 1007 узастопних природних бројева, таквих да је први од њих дељив са 1, други са 3, трећи са 5,... последњи са 013. 13. Први члан низа је 439, а сваки следећи је 13 пута већи од збира цифара претходног. Одреди 013. члан тога низа. 14. Квадрати природних бројева исписани су у низ један иза другог: 1491653649648110011144... Која цифра стоји на 013. месту? 15. Да ли постоји 013 природних бројева (не обавезно различитих) чији је збир једнак њиховом производу? Решења задатака налазе се на страни 43. 4

ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Ратко Тошић, Нови Сад Корисније је решити један исти задатак на неколико различитих начина него решити неколико задатака сваки на само један начин. Ако се један исти задатак реши на разне начине, може се упоређивањем решења утврдити које је од њих краће, ефектније, елегантније. На тај начин се стиче и изграђује вештина решавања задатака. W. W. Sawyer, Prelude to Mathematics У оквиру ове рубрике на конкретним примерима указиваћемо на могућностима да се једна исти задатак решава на различите начине. При томе ћемо настојати да се у решавању задатака користе само она знања која су доступна ученицима основне школе, трудећи се да поступци решавања буду елегантни и једноставни, јер у математици је лепо оно што је једноставно. Једна неједнакост о правоуглом троуглу Докажи неједнакост a + b < c + h где су a и b катете, c хипотенуза правоуглог троугла и h висина на хипотенузу. Напомена. При решавању задатака користимо неколико добро познатих чињеница о правоуглом троуглу. (Видети чланак О кружници уписаној у правоугли троугао) За правоугли троугао са катетама a и b, хипотенузом c, висином на хипотенузу h и полупречником уписане кружнице r, важи: 1) ch = ab, ) r = a + b c, 3) r < h. Решење 1. a+ b= ( a+ b) = a + b + ab= a + b + ch = + < + + = + = + c ch c ch h ( c h) c h. ab ab Решење. Како је h=, довољно је доказати да је c+ > a+ b, тј. c + ab > ac c c + bc, што је еквивалентно са c ac bc + ab > 0, тј. (c a)(c b) > 0. Последња неједнакост је тачна јер је c > a и c > b. Решење 3. Можемо узети да је a b. Тада је h < a b < c. Како је ch = bh + (c b)h и ab = hb + (a h)b, то је bh + (c b)h = hb + (a h)b, тј. (c b)h = (a h)b. Како је h < b, то је a h < c b, одакле је a + b < c + h. Решење 4. Како је r = a + b c и r < h, то је a + b = c + r < c + h. 5

РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 158 (ЗА I КАТЕГОРИЈУ) I категорија су ученици петог и шестог разреда Оља помаже својој мами, која ради у књижари Насмејани црв, тако што носи књиге купцима који су наручили књиге преко сајта књижаре, а живе близу књижаре. Оља највише може да понесе пет књига одједном, па може да испоручи само оне наруџбине које немају преко пет књига, али може истовремено да понесе више наруџбина, ако укупно нема више од пет књига. Данас треба да испоручи књиге на три места. Сви купци су у истој улици као и књижара и са исте стране у односу на књижару. Ољи је потребна помоћ да испланира испоруке, тако да пређе што мањи пут. Написати програм у коме се уноси, за сваку поруџбину коју Оља треба да испоручи, удаљеност(у метрима) и број књига које треба испоручити. Програм треба да испише колико метара Оља треба да пређе да би обавила све три испоруке. Пример. Улаз: U1 = 00 K1 = 3 U = 150 K = 1 U3 = 300 K3 = 4 Излаз: 500 КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 159 (ЗА II КАТЕГОРИЈУ) II категорија су ученици седмог и осмог разреда Књижара Насмејани црв награђује редовне купце тако што даје попусте за куповине. Када купац први пут купује књиге, он плаћа пуну цену. За сваких потрошених 1000 динара током једне куповине, он приликом следеће куповине добија 1% попуста више него за тренутну куповину, при чему укупан попуст не може да пређе 0%. Дејан, Ољин друг је добио за рођендан одређену количину новца коју је решио да потроши на књиге у књижари Насмејани црв. Приликом сваке куповине, он одабере једну књигу коју жели да купи, затим израчуна колико треба да плати за ту књигу, рачунајући попусте на које има право. Уколико има довољно новца он обави куповину, а ако нема довољно новца он не купује ништа. Написати програм у коме се уноси колико је новца Дејан добио за куповину књига, а затим се уносе цене књига које је Дејан бирао за куповину. Вредности се уносе све док Дејан не потроши сав новац или док му не остаје мање од 10 динара. Програм треба да одреди колико куповина је Дејан обавио. Пример. Улаз: R = 10000 C : 1000 1000 500 1800 4500 3500 1000 460 Излаз: 6 6

РАЧУНАРСТВО РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 156 Program KonZad156; Var p,d,o,r:integer; Begin readln(p,d); readln(o); if o>=3*(p+d) then r:=o-3*(p+d) else if o>=3*p then r:=o-3*p else if o>=3*d then r:=o-3*d else r:=o; writeln(r) End. На почетку програма се уносе цене књига и са колико новца Оља располаже. Најпре се проверава да ли Оља може за све три другарице да купи обе књиге и уколико може рачуна се колико новца ће јој остати након куповине. Уколико нема довољно новца за обе књиге проверава се да ли има довољно новца да купи прву књигу, па уколико може израчунава се колико ће јој новца остати, а ако ни за прву књигу нема довољно новца проверава се да ли може да им купи другу књигу. Ако Оља нема довољно новца ни за другу књигу остаће јој сав новац. Катарина Манојловић, V3, ОШ Вук Караџић, Лозница РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 157 Program KonZad157; Var u,s,b,z,p1,p,i:integer; Begin readln(u,s); readln(b); p1:=0; p:=0; for i:=1 to b do begin readln(z); if z<00 then p1:=p1+z div u else p:=p+z div s end; writeln(p1:4,p:4) End. Након учитавања ширина ужих и ширих полица и броја зидова на које треба поставити полице, учитавају се укупне ширине полица за сваки зид. За учитану укупну ширину полице проверава се да ли је она мања од метра и уколико јесте на потребан број мањих полица додаје се број полица који се поставља на тај зид, а у супротном се на потребан број ширих полица додаје број полица које се постављају. Михајло Крсмановић, VII, ОШ Драгомир Марковић, Крушевац Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013. 7

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Задаци из ове рубрике имају за циљ помоћ како ученицима, тако и наставницима. Разврстани су у три групе у складу са стандардима знања из математике за крај обавезног образовања. Дати су предлози контролних и писмених задатака, при чему је у угластим заградама [ ] дата варијанта за другу групу. III РАЗРЕД МНОЖЕЊЕ. ОБИМ ФИГУРА. MЕРЕЊЕ ВРЕМЕНА, МАСЕ И ЗАПРЕМИНЕ ТЕЧНОСТИ. Основни ниво 1. Израчунај: а) 1 3 = ; б) 107 8 = ; в) 149 3 =.. Која фигура има обим већи од m? а) Троугао са страницама дужине 4cm, 57cm и 80cm. б) Правоугаоник са страницама дужине 5dm и 6dm. в) Квадрата са страницом дужине 53cm. 3. Допиши шта недостаје: а) h = 660 min; б) 1kg = g; в) dl = ml. 10min = sec; 1t = kg; 3l = 300. 86min = 1h min; dl = 3l 90cl. Средњи ниво 4. Израчунај вредност израза: а) 46 3 + 46 7; б) 13 5 3 5. 5. Која фигура има обим већи од 6dm 5 cm? а) Троугао са страницама дужине 1cm, 1dm 1cm и 4dm 8cm. б) Правоугаоник са страницама дужине dm 6cm и 1dm 8cm. в) Квадрата са страницом дужине 151cm. 6. Маса аутомобола и 4 путника од којих сваки има по 75 килограма је једна тона и 350 килограма. Колика је маса аутомобила без путника? 7. Мајстор Лаза обоји једна врата за 48 минута. За колико сати и колико минута ће мајстор Лаза обојити петоро врата? Напредни ниво 8. Израчунај производ збира и разлике бројева 57 и 48. 9. Обим правоугаоника је 3dm 9cm. Ако је једна његова страница два пута краћа од друге, израчунај дужине његових страница. 8

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 10. Израчунај обим фигуре на слици. 6dm cm cm dm 7cm 1cm 6cm 11. Сада је 0 часова и 4 минута. Филм који је почео пре 1 минута завршава се у 1 час и 45 минута. Колико ће проћи времена од почетка до краја филма? 1. Шоља од керамике у којој се налази 50ml воде има масу од 600g. Колика је маса празне шоље? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Множење 1. Израчунај: а) 00 4 = [500 = ]; б) 70 8 = [60 7 = ]; в) 69 5 = [76 6 = ]; г) 139 6 = [137 5 = ].. Ако су чиниоци бројеви 6 и 140 [8 и 10], израчунај њихов производ. 3. Збир бројева 86 и 35 [79 и 48] увећај 6 пута. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Обим фигура 1. Израчунај обим квадрата ако је дужина његове странице 10cm [10cm].. Израчунај обим троугла чије су странице дужине dm, 18cm и 45mm [9cm, 3dm и 55mm]. 3. Правоугаоник, чија је једна страница дужине 4cm [33cm], има обим 876mm [944mm]. Израчунај дужину његове друге странице. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 10 минута Мерење времена 1. Упиши одговарајуће бројеве! а) Пет минута има секунди. [Два сат има минута.] б) Осам дана има сати. [Десет минута има секунди.] в) Девет сати има минута. [Шест дана има сати.] 9

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ. Допуни реченице одговарајућим бројевима: а) Сада је тачно 0.00 [17.00] часова. Пре 15 минута је било тачно. б) Часовник показује тачно 15.15 [13.13]. Пре 0 сати је било: часова и минута. 3. Јована је погледала на сат и видела да је 7 часова и 36 [44] минута. Колико времена треба да чека до полетања авиона у 9 часова и 18 [9] минута? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 10 минута Мерење масе 1. Упиши бројеве који недостају: а) 800g + 600g = kg g [700g + 500g = kg g]; б) kg 450g = kg g [3kg 650g = kg g].. На стоваришту је било 8t 560kg [7t 50kg] угља. Колико је на том стоваришту остало угља после продаје 3t 600kg [t 700kg] угља? 3. Маса једне књиге 1000 задатака коју издаје Друштво математичара Србије је 490 грама. Заокружи слово испред масе 6 [7] таквих књига. а) kg 960g; б) kg 940g; в) 3kg 430g; г) 3kg 530g. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 10 минута Мерење запремине течности 1. Упиши бројеве који недостају: а) 5l = dl [4l = dl]; б) 400ml + ml = 1l [ ml + 00ml = 1l]; в) 150ml + ml = 4dl [40ml + ml = 4dl].. У посуди је 3l 3dl 35ml [4l dl 43ml] воде. Колико воде треба досути па да у посуди буде тачно 6l воде? IV РАЗРЕД МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ У СКУПУ N. ПОВРШИНА КОЦКЕ И КВАДРА. Основни ниво 1. Доврши попуњавање табеле одговарајућим производима: 10 00 47 700 7000 140000 00 000 3408. Израчунај следеће количнике: а) 4300 : 100; б) 440 : 0; в) 540540 : 36; г) 90005 : 45. 10

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 3. Квадар има ивице cm, 5cm и 4cm. Израчунај површину тог квадра. Средњи ниво 4. Израчунај вредност израза: а) 946 73 + 946 7; б) 344 456 + 544 344; в) 956 : 8 156 : 8; г) 90909 : 9 909 : 9. 5. Састави израз и израчунај његову вредност: а) Збир бројева 736 и 469 помножи њиховом разликом. б) Количник бројева 8000 и 5 увећај 6 пута. 6. Једна страна коцке је квадрат обима 0cm. Израчунај површину те коцке. 7. Једна страна квадра је квадрат обима 36cm, a друга правоугаоник површине 90cm. Израчунај површину тог квадра. Напредни ниво 8. Ако је a : b = 360 израчунати вредност израза: а) a : (b 10); б) (a 10) : b; в) (a 10) : (b 10). 9. Број 180180 напиши као збир два броја тако да један буде: а) 9 пута мањи од другог; б) 17 пута већи од другог. 10. Ружица је замислила број који када умањи за 100, па тако добијени број умањи 100 пута добија број 100. Који број је Ружица замислила? 11. Од дрвеног квадра сечењем два пута паралелно једној његовој страни, направљене су 3 једнаке коцке свака површине 150cm. Колика је била површина првобитног квадра? 1. Од 4 једнака квадра направљена је коцка ивице дужине 10cm. Колика је површина једног од тих квадара? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ У СКУПУ N. 1. Израчунај: а) 4500 100 [7800 1000]; б) 378 64 [647 37]; в) 54000 : 000 [3000 : 00]; г) 45888 : 1 [85848 : 1].. Количник бројева 50500 и 5 [50050 и 5] је: а) 10; б) 100; в) 100; г) 1000. Заокружи слово испред тачног одговора. 3. Производ бројева 3556 и 39 [6454 и 19] умањи 6 [38] пута. 11 Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013.

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута ПОВРШИНА КОЦКЕ И КВАДРА 1. Израчунај површину коцке чија је ивица дужине cm [3cm].. Израчунај површина квадра чије су ивице дужине 4cm, 6cm и 3cm [5cm, cm и 4cm]. 3. Једна страна квадра је квадрат површине 4cm [9cm ], a једна ивица је дужине 34cm [17cm]. Израчунај површину тог квадра. ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Израчунај: а) 600 350 [70 5400]; б) 36000 : 900 [160000 : 80]; в) 406 57 [509 38]; г) 07414 : 07 [305915 : 305].. Израчунај вредност израза: а) 376 73 76 73 [4578 45 1578 45]; б) 5614 : 14 + 1386 : 14 [745 : 18 + 1548 : 18]. 3. Ако је a b = 3600 [a b = 400] израчунај вредност израза: а) a (b 10); б) (a : 100) b; в) (a 10) : (b 100). 4. Израчунај површину коцке чија је ивица дужине 8cm [7cm]. 5. Једна страна квадра је квадрат површине 5cm [36cm ]. Израчунај површину тог квадра ако му је једна ивица дужине 10cm. V РАЗРЕД РАЗЛОМЦИ. САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА Основни ниво 1. Између која два узастопна броја из N0 се налазе бројеви: а) 13 ; б) 15 ; в) 4 ; г) 13 1 ; д) 1? 11 7 9 4. Који од израза: а) + ; б) 9 3 1 3 ; в) 13 3 ; 4 14 7 г) 9 1 7 ; д) 1 + 3 5 10 5 10 имају вредност једнаку броју 1? 3. Који од израза: а),05 + 1,6; б) 0,108 + 3,93; в) 9,5 4,0; г) 15,0 10,4 1

има најмању, а који највећу вредност? ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Средњи ниво 4. Који део метра је 1 mm? Који део квадратног метра је 40 cm? 5. На један тас ваге ставимо два тега од по 3 kg, а на други тас ставимо тегове од 4 1 kg и 3 kg. Да ли је вага у равнотежи? 8 6. Израчунај вредност израза: а) 13,6 (30,4 18,3) + 4; б) (1,05 + 6,36) (,48 +,04); в) (11, +3,00 (, + 8,8)). 7. Који од изразa: 1 5 1 3 а) 4 1 + ; 4 8 4 1 5 1 3 в) 4 1 + ; 4 8 4 има најмању вредност? 1 5 1 3 б) 4 1 ; 4 8 4 1 5 1 3 г) 4 1 + 4 8 4 8. Милан је висок 1,78m, његова сестра Мара је за 0,9m нижа, а сестра Мира је за 0,18m виша од Маре. Колико је висока Мара, а колико Мира? Напредни ниво 9. Одреди природан број n тако да неједнакост буде тачна. а) 5 n < < 19 ; б) 13 n < < 4 1. 4 4 8 5 8 0 10. Поређај бројеве од најмањег ка највећем: а) 4 ; 5 ; ; 7 ; б) 13 ; 1,5; 1 5 ; 1 1 ; 3 4 3 16 1 8 в) 15 19 1,91; ; ;. 7 10 11. Први члан једног низа је 5, а сваки следећи је за 3,8 мањи од претходног. Сви чланови низа су већи од нуле. Одреди пети члан тог низа. Колика је разлика највећег и најмањег члана? 1. Поштар треба да возилом носивости 400 килограма превезе четири пакета по 35,5 килограма, три пакета по 150,4 килограма, један пакет од 80,5 килограма и један пакет од 110,6 килограма. Како ће поштар из два пута превести све пакете? 13

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ КОНТРОЛНА ВЕЖБА 3 3 1. Колико милиметара је: а) m m ; 10 5 б) 3 dm 1 dm? 4 4. Израчунај x: а) 5 x = 3 60 ; 8 40 = 4 x 3. Скрати разломак: а) 8 30 ; 4 36 б) 3 x = 5 60. 5 40 = 4 x б) 10 40. 30 350 4. Који бројеви из скупа {0,3;,3; 1,005; 0,8; 1,01; 3,1; 0,06} су: а) мањи од 0,5; б) мањи од 1 и већи од 0,5 [а) већи од 1 и мањи од 1,5; б) већи од 1,5]? 5. Поређај од најмањег ка највећем бројеве 9 ;,03; 3 ; 0, 44; ; 1 ; 0, 404. 4 8 5 ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Који број од датих је највећи, а који најмањи: 1, 4, 5 9, 11, 1 1? 9 8 5 8 4. Израчунај: а) 5 + 1 3 ; б) 4,04 1,04 4 8 5 5 а) ; б) 1, 44 6,58 +. 1 6 3. Напиши одговарајући израз, а затим израчунај бројевну вредност. 1 а) Број 1 додај броју 1 ; б) Збир бројева 1 и 4, умањи за 1,0. 4 5 [а) Број 1,0.] 1 5 одузми од броја 11 ; 4 б) Број 3 4 умањи за разлику бројева, и 4. Реши једначину: 5 1 а) 0, 6+ x= 1, 04 x = ; 6 3 1 1 5 б) 1 x + = [3,=,5 + (1, 0 x)]. 4 8 5. а) Бициклиста Миле је прешао пут од места А до места Б за три дана. Ако је првог дана прешао 5 пута и другог дана за 1 више него првог дана, који део 16 пута је прешао трећег дана? 14

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ [Група радника је асфалтирала један пут за три дана. Ако су првог дана асфалтирали 4 9 пута, а другог дана за 1 мање него првог дана, који део пута су 1 асфалтирали трећег дана?] VI РАЗРЕД СКУП РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА. УПОРЕЂИВАЊЕ, САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА. ЧЕТВОРОУГАО Основни ниво 3 6 1. Поређај, од најмањег до највећег, бројеве: ; ; 0,5; ; 1,7; 1; 0; 0,5. 4 5. Израчунај: а) 1 5 3 ; б) + ; в) 0,7 + 1,; г) 4 3. На следећој слици 7 0,75. 4 oбележи темена правоугаоника ABCD, паралелограма EFGH и трапеза MNPQ. Измери углове ових четвороуглова. Средњи ниво 4. Израчунај вредност следећих израза: 3 7 13 3 5 5 а) + ; б) 3 + ; в) 1,7. 4 8 1 5 3 5 1 5. Ако је a=, b=, 4 и c = 0,4 израчунај: a + b + c, a b + c, a + b c. 4 6. Несуседни углови четвороугла су 50 и 10. Тај четвороугао може бити: а) трапез; б) делтоид; в) паралелограм. Заокружи слова испред тачних одговора. Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013. 7. Конструиши четвороугао чије се дијагонале узајамно полове и једнаке су по 5cm, а њима одређен угао је: а) 60 ; б) 90. 15

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 8. Упореди апсолутне вредности следећих израза: 14 1 4 5 3 4 A= 5 + ; B= 5 1,5; C= 5 ( ); D= 5 ( + 0, 45). 5 5 4 5 3 4 5 7 3 9. Из скупа {,,,,, } A= изабери четири броја тако да њихов збир 5 4 3 4 8 4 буде: а) најмањи; б) највећи могући. 10. Нађи разломак са имениоцем 013 тако да је најближи разломку решења има задатак? 1. Колико 11. Израчунај углове ромба ако је дужина његове странице два пута већа од дужине његове висине. 1. Оштар угао правоуглог трапеза је 60, а основице су 8cm и 5cm. а) Израчунај дужи крак трапеза. б) Конструиши тај трапез. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 0 минута 1 3 5 3 1. Израчунај: а) 1 3 5 3 + + ; 9 5 3 10 6 4 9 5 3 + 10 6 4 б) ( ) ( ). Израчунај: а) 0,7 1, + 0,09 [,4 + 0,04 0,8]; б) 0,7 (1, + 0,09) [,4 (0,04 0,8)]. 5 1 3. Ако су a= [ a= 1 + 3,] и b= 1 0,7 b 3 6 = 5 3 израчунај a + b и a b. 4. Израчунај вредност израза, па нађи најмањи [највећи] међу њима: 3 3 + ; ; 1,5 3; ;,3 1. 3 3 9 + 5 5 10 ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 3 1 5 7 3 5 1. Израчунај: +. 14 7 11 11 1 3 1 3 1. Упореди бројеве: a= 0,5, b= 1,5+ 0,5 и c= 0,5. 4 4 4 1 3 3 4 a 0,75, b 0,5 0,8 и c 0,5 = + = + =. 5 4 4 5. 16

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 1 1 3. За колико је вредност израза b a 3 4 већа од вредности израза 1 b 1 a? 3 4. Израчунај углове паралелограма [једнакокраког трапеза] ако је један од њих седам [четири] пута већи [мањи] од другог. 5. Конструиши правоугли трапез [паралелограм] ABCD ако је AB CD, ABC = 45, AB = 5cm, BC = 4cm [ BAC = 75, AB = 5cm, BD = 7,5cm]. VII РАЗРЕД МНОГОУГАО. РАСТАВЉАЊЕ ПОЛИНОМА НА ПРОСТЕ ЧИНИОЦЕ. КРУГ Основни ниво 1. Правилан троугао и праволан четвороугао имају једнаке обиме. Ако је површина четвороугла 144cm, колико је површина тог троугла?. Напиши у облику производа следеће изразе: а) 3x + 3y; б) 5a 10b + 15c. 3. Дуж AB = 10cm је полупречник једне, а пречник друге кружнице. За колико се разликују обими а за колико површине кругова одређених тим кружницама? Средњи ниво 4. Одреди број дијагонала и збир унутрашњих углова ма ког конвексног тринаестоугла. 5. Напиши у облику производа: 36 а) 7x 4 y 3 14x y 1x 3 y ; б) 0, 81; 5 x в) 144x 4x + 1. 6. Површина неког круга је 100,48cm. Одредити његов обим и дужину највеће тетиве (π 3,14). 7. Површина квадрата је P = 64cm. Израчунај површину кружног прстена који образују описани и уписани круг тог квадрата. Напредни ниво 8. Спољашњи угао правилног многоугла је пет пута мањи од унутрашњег угла. Који је то многоугао? Под којим углом из центра описане кружнице око тог многоугла се види најкраћа дијагонала тог многоугла? 17

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 9. Краћа дијагонала правилног шестуогла је 6 3cm. Израчунај обим и површину тог шестоугла. 10. Реши следеће једначине: 8 1) а) 7 0; 5 x x= б) 16x 9 = 0; в) x + x + 0,5 = 0. ) а) 0,5x = 9x; б) 0,04x = 5; в) 100x = 0x 1. 11. Тачке A, B и C деле кружну линију у односу 4 : 5 : 11. Израчунај унутрашње углове троугла ABC. 1. Површина правилног шестоугла је P= 16 3cm. Израчунај обим и површину дела кружног прстена који је одређен једном страницом шестоугла. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 1. Из једног темена многоугла се може повући 1 [15] дијагонала. Који је то многоугао? Колико тај многоугао има дијагонала? [Колики је збир унутрашњих углова тог многоугла?]. Растави на чиниоце следеће полиноме: a) 16x 8x [9x 18x ]; б) 49x 9 [4 5y ]; в) x 8x +16 [x 10x +5]. 3. Реши једначине: a) x x +1 = 5 [x 4x + 4 = 9]; б) (4x 1) 16x = 7 [(3x 1) 9x = 7]. 4. Конструиши правилан осмоугао [дванаестоугао] ако му је полупречник описног круга 6cm, па нацртај све његове осе симетрије. 5. Правилном троуглу и правилном шестоуглу су једнаки полупречници уписаног [описаног] круга. Одреди однос њихових површина. ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Обим [Површина] једног круга је O 18,4cm [P 8,6cm ]. Израчунај дужину полупречника тог круга и приближну вредност његове површине [његовог обима] (π 3,14).. Површина круга који је уписан у квадрат је 9πcm [описан око квадрата је 18πcm ]. За колико се разликују обим круга и обим квадрата? 3. Напиши у облику производа: а) r π+ rπ [4a π+ 4aπ 3]; б) b 18. 4 a b 3a

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 4. Збир квадрата три [два] узастопна природна [непарна природна] броја је 110 [130]. Који су то бројеви? 5. Површина кружног исечка [Дужина кружног лука] којем одговара централни угао од 60 је 6πcm [6πcm]. Израчунај дужину лука [површину исечка] који одговара том исечку [кружном луку]. VIII РАЗРЕД ПИРАМИДА. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ ПОДАТАКА Основни ниво 1. Допиши речи које недостају тако да се добију тачне реченице. а) Пирамида има најмање основне ивице. б) Бочне стране правилне пирамиде су. в) Апотема је висина стране. г) Десетострана пирамида има укупно ивица и темена.. Напиши дату функцију у облику y = kx + n и одредити k и n. а) y = x; б) x y = 3; в) y = 5; г) x + y 4 = 0. 3. Одреди средњу вредност и медијану бројева: а), 3, 5, 6, 10, 16; б) 4, 15, 7, 1, 8. Средњи ниво 4. Одреди коефицијент k линеарне функције y = kx + ако се зна да њеном 1 графику припада тачка: а) M( 3, 4); б) N(1, 3); в) P,3. 5. Основна ивица правилне четворостране пирамиде је a= 4 cm и висина H = 8cm. Израчунај: а) дијагоналу основе; б) висину бочне стране (апотему). 6. Групи од 60 студената постављено је питање: Која од 4 наведене активности ти се највише допада? Резултат анкете је дат у табели. а) Попуни табелу: Активност Број студената % Вожња бицикле 1 Трчање 15 Пливање 7 Аеробик 6 19 Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013.

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ б) Прикажи податке стубичним дијаграмом; в) Која активност је најпопуларнија? 7. Ако је већи пресек правилне шестостране пирамиде једнакостранични троугао површине 9 3cm онда је запремина пирамиде: а) 7cm 3 ; б) 40,5cm 3 ; в) 16cm 3 3 ; г) 81 3cm. Заокружи слово испред тачног одговора. Напредни ниво 8. Запиши формулу линеарне функције чији график: а) сече x-осу у тачки ( 3, 0) и сече y-осу у тачки (0, 3); 1 б) садржи тачку М(, ) и паралелан је правој y= x 3. 9. Израчунај површину и запремину правилне тростране пирамиде чија је апотема h = 17cm, а висина H = 15cm. 10. а) Како гласе формуле које одговарају свакој од правих на слици? Допиши шта недостаје тако да реченице буде тачна. б) Нула функције којој одговара права p1 је тачка. в) Растуће функције су. г) Угао између праве p и x-осе је. д) Права p3 сече y-осу у тачки. ђ) Паралелне праве имају исти. y p1 1 0 1 p3 x p 11. Тачке M(, ) и N(, ) припадају графику функције y =,4x + 5,. Израчунај дужину дужи MN. 1. Трговац Пера је наручио мајице за пролећну сезону за своје две продавнице. Број мајица је у обе продавнице исти, али се количине по бојама разликује. Кружним дијаграмом је приказан распоред и количина мајица одређених боја. 0

I продавница ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ II продавница а) Попуни табeлу I ком. II ком. беле 40 црне жуте зелене 1 црвене 4 б) Прикажи податке стубичним дијаграмом. в) Колико је мајица набавила свака продавница? г) Која је продавница набавила више зелених мајица? д) Којих мајица има најмање и колико? ђ) Колико је укупно црвених мајица у обе продавнице? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 1. Збир свих ивица једнакоивичне четворостране пирамиде је 4cm [3cm]. Одреди основну и бочну ивицу, висину и апотему те пирамиде.. Израчунај површину правилне тростране пирамиде чији омотач има површину 33cm [1cm ] и апотему 5,5cm [3,5cm]. 3. Површина основе правилне шестостране пирамиде је 4 3cm [ 6 3cm ]. Израчунати њену запремину ако је висина 1,5 пута [3 пута] већа од основне ивице. 4. Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако њена бочна ивица s = 10cm [s = 8cm] заклапа са равни основе угао од 45. 45 45 1

МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 5. Израчунај запремину тела кога чине две тростране једнакоивичне пирамиде које се налазе са разних страна заједничке основе, ако је ивица пирамиде a = 4cm [a = 6cm]. ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Површина омотача правилне четворостране пирамиде је 48cm [60cm ]. Израчунати њену запремину ако је апотема h = 5cm [висина Н = 3cm]. 1 1. Одреди n тако да тачка A, 4 B, 3 функције y = x + n [y = 3x + n]. припада графику линеарне 3. Дата је функција y = x + [y = x 3]. а) Нацртај њен график. б) Одреди нулу функције. в) За које вредности промењиве x је функција позитивна [негативна]? 3m 1 m 3 4. Дата је функција y= x 9 y x 5. = + 4 буде опадајућа [растућа]. Одреди m тако да функција 5. У библиотеци је вођена евиденција о броју уписаних чланова у току једне недеље. Подаци су приказани табелом. дан понедељак уторак среда четвртак петак број чланова 1 [10] 15 [1] 1 [18] 0 [0] 16 [15] а) Нацртај одговарајући линијски дијаграм. б) Ког дана је уписано највише чланова? в) Колико је просечно читалаца уписано једног дана? МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Ненад Вуловић, Крагујевац Јуниорска балканска математичка олимпијада Шеснаеста јуниорска балканска математичка олимпијада (ЈБМО) одржана је у периоду од 5. до 9. јуна 01. године у грчком граду Вериа. Вериа је главни град грчке префектуре Иматиа и броји око 50000 становника. У преко 700 година дугој историји град је пролазио кроз различите периоде. Први записи о граду јављају се у списима грчког историчара Херодота када се за град и његову околину везују различити митови о грчком богу вина Дионису, али и чувени мит о врту краља Миде.

МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Најсветлији период града био је у хеленистичко време, у доба Антигонида, чије је порекло из овог града. Град је имао свој новац, а одржаване су и алтлетске игре у част Александра Македонског. Императори римског царства посећивали су овај град где су одржаване разни фестивали у њихову част. Најзначајнија улога града била је у верском погледу. Апостол Павле у походу ширења хришћанства неколико пута је боравио у Верии где је касније и основана прва хришћанска заједница, а град је био верски центар за остатак Балкана. Из тог периода сачувано је 48 од 7 цркве, а у чак 39 цркви су и до данас сачуване фреске. Због тога овај град често и називају мали Јерусалим. Данас је Вериа модеран град у коме је сачувано неколико историјских четврти које посећују туристи из читавог света. Кратка историја града домаћина ЈБМО само донекле може дочарати изазове, поред математичких, које су чланови екипе Србије имали у слободном времену. Екипа Србије за ЈБМО изабрана је после пет нивоа селекције, закључно са Српском математичком олимпијадом. Чланови екипе Србије били су: Кристина Силађи, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад; Алекса Константинов, ОШ Свети Сава, Кикинда; Станислав Тодоровић, ОШ Свети Сава, Ниш; Лука Вукелић, ОШ при математичкој гимназији, Београд; Никола Самарџић, ОШ при математичкој гимназији, Београд; Александар Милошевић, ОШ при математичкој гимназији, Београд. Лидер екипе био је др Ненад Вуловић, Факултет педагошких наука Универзитета у Крагујевцу, а заменик лидера Милош Ђорић, Математички факултет Универзитета у Београду. Екипа Србије на овогодишњој ЈБМО остварила је, у генералном пласману, треће место међу званичним учесницима такмичења. Пласман Земља Број бодова 1. Турска 3. Румунија 06 3. Србија 140 4. Грчка 111 5. Бугарска 104 6. Молдавија 74 7. Албанија 69 8. БЈР Македонија 68 9. Босна и Херцеговина 57 10. Кипар 44 11. Црна Гора 35 Битан податак је да су сви чланови екипе успели да својим радом освоје неку од медаља. Границе бодова за медаље биле су: златна медаља: 37 40 (8 медаља); сребрна медаља: 36 (7 медаља); бронзана медаља: 13 1 (6 медаља). Чланови екипе Србије освојили су следеће медаље: Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013. 3

МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА Име и презиме Број бодова Медаља Алекса Константинов 9 сребрна Лука Вукелић 9 сребрна Никола Самарџић 7 сребрна Александар Милошевић 0 бронзана Кристина Силађи 0 бронзана Станислав Тодоровић 15 бронзана Екипа Србије после доделе медаља Овом приликом још једанпут честитамо свим члановима екипе на великом успеху. Такође, позивамо све ученике основне школе да се укључе у нови циклус математичких такмичења које организује Друштво математичара Србије и Министарство просвете и науке Републике Србије. Седамнаеста ЈБМО одржаће се крајем јуна 013. године у Измиру, Турска. У наставку дајемо задатке са решењима са ЈБМО 01. Задаци 1. Нека су a, b, c позитивни реални бројеви такви да је a + b + c = 1. Докажи да је a b b c c a 1 a 1 b 1 c + + + + + + 6 + + b a c b a c a b c. У ком случају важи једнакост? 4

МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА. Нека се кругови k1 и k секу у две различите тачке А и В. Нека је T заједничка тангента кругова k1 и k, која k1 додирује у тачки М, а k у тачки N. Ако је t AM и MN = AM, одреди меру угла NMB. 3. На табли је укуцано n ексера и свака два су спојена концем. Сваки конац је обојен једном од датих n различитих боја. За сваке три различите боје постоје 3 ексера која су спојена концима у те три боје. Да ли n може бити: а) 6, б)7? 4. Одреди све природне бројеве x, y, z и t такве да је x y z t 3 + 5 = 7. Решења 1. Замењујући 1 a, 1 b и 1 c редом са b + c, c + a, a + b на десној страни неједнакости, добијамо следећи низ неједнакости: b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a+ b + + + 6 + +, a b c a b c b+ c b+ c c+ a c+ a a+ b a+ b + + + + + 0, a a b b c c b+ c c+ a a+ b + + 0. a b c Како је последња једнакост тачна за све вредности a, b, c, важи и тражена b+ c c+ a a+ b неједнакост. Једнакост важи ако и само ако је = = =, што a b c 1 заједно са условом задатка a + b + c = 1 даје a= b= c=. 3. Нека је C пресечна тачка правих MN и AB. Тада је CN = CB CA и CM = CB CA, па је CM = CN. Како је MN = AM, то је CM = CN = AM, па је троугао АМС једнакокраки и важи NMB = CMB = BCM = 45. N C M t B k 3. а) Не. Претпоставимо супротно. Посматрајмо неку боју, рецимо плаву. Сваки плави конац је страница 4 троугла који се могу формирати од 6 тачака (ексера). Како постоји 10 парова боја који се могу формирати од преосталих 5 боја, закључујемо да постоје најмање 3 плава конца. Исто можемо закључити за 5 A k1

МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА сваку од преосталих 5 боја. То значи да се мора бити најмање 18 конаца на табли. Међутим, како 6 ексера на табли спаја 15 конаца, закључујемо да n не може бити 6. б) Да. Поставимо ексере на табли тако да формирају правилан седмоугао и нека је сваки конац који спаја суседна темена тог седмоугла обојен једном од 7 различитих боја. Посматрајмо сваки ексер као теме седмоугла, а сваки конац затегнимо да представља страницу или дијагоналу седмоугла. Конац који представља дијагоналу седмоугла обојићемо оном бојом којом је обојен конац који представља страницу паралелну са том дијагоналом (види слику). Директном провером следи да је за n = 7 могуће да за сваке три различите боје постоје 3 ексера која су спојена концима у те три боје. 4. Како је 5 z 1 (mod 3), то је z паран број, тј. z = c, c N. Покажимо да је t паран број. Очигледно је t. Претпоставимо да је t непарно, тј. t = d + 1, d N. Једнакост тада постаје x 3 y + 5 c = 7 49 d. Ако је x, имамо да је x 3 y + 5 c 1 (mod 4) и 7 49 d 3 (mod 4), што је контрадикција. Ако је x = 1, имамо 3 y + 5 c = 7 49 d. Сада је 3 y + 5 c 3 y + 1 (mod 4) и 7 49 d 7 (mod 4), па следи да 4 (3 y 3), тј. 4 3 y 1 1 што значи да је y 1 паран број. Сада је y = b + 1, b N па важи 6 9 b + 5 c = 7 49 d. Међутим, како је 6 9 b + 5 c ( 1) b (mod 5), а 7 49 d ( 1) d (mod 5), што је немогуће за свако b, d N, закључујемо да је t парно, тј. t = d, d N. Сада се полазна једнакост може записати у облику 3 y = (7 d 5 c )(7 d + 5 c ). Како је НЗД(7 d 5 c, 7 d + 5 c ) = и 7 d + 5 c >, постоје тачно три могућности: d c x 1 d c y d c 7 5 = 7 5 = 3 7 5 = (1) d c y ; () d c x 1 ; (3) d c x 1 y. 7 + 5 = 3 7 + 5 = 7 + 5 = 3 { { { 6

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ (1) Имамо да је 7 d = x + 3 y. Како је 7 d 1 (mod 3), то мора x 1 (mod 3), па је x паран број, тј. x = a +, a N. Случај a = 0 не разматрамо јер би имали 3 y + 1 = 7 d што је немогуће. Сада имамо 7 d 5 c = 4 a 7 d 1 (mod 4) d = e, e N, одакле је 49 е 5 c = 4 a 5 c 1 (mod 8) c = f, f N, па је 49 е 5 f = 4 a 0 (mod 3), што је немогуће, па закључујемо да у овом случају нема решења. () Из x 1 = 7 d + 5 c 1 добијамо да је x 5. Сада је 7 d + 5 c 0 (mod 4), тј. 3 d + 1 0 (mod 4), па је d непаран број. Како је 7 d = 5 c + 3 y 11, имамо d, тј. d = e + 1, e N. Као у претходном случају, из 7 d = x + 3 y добијамо да је x = a +, a N и a, јер је x 5. Сада је 7 d = 4 a + 3 y, тј. 7 49 e = 4 a + 3 y, одакле је 7 3 y (mod 8). Ово је нетачно јер је 3 y 1 (mod 8) за парно y или 3 y 3 (mod 8) за непарно y, па и у овом случају немамо решење. (3) Из 7 d = 5 c + следи да је последња цифра броја 7 d цифра 7, па је d = 4k + 1, k N. Ако је c, из 7 4k+1 = 5 c + имамо 7 (mod 5) што је нетачно. За c = 1, добијамо d = 1 и решење x = 3, y = 1, z = t =. ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Одабрани задаци служе за вежбу и припрему за такмичења. Препоручују се ученицима као корак који претходи решавању конкурсних задатака. Решења која следе искористити за проверу сопствених. ЗА УЧЕНИКЕ III РАЗРЕДА 819. Милован може да заврши поправку аутомобила за 10 дана. Ако му Радован помогне и ради са њим дана, аутомобил ће бити поправљен за 6 дана. За колико дана би Радован сам поправио аутомобил? 80. За 3kg јабука и 4kg кромпира плаћено је 560 динара, а за 6kg јабука и kg кромпира плаћено је 80 динара. Колико кошта килограм јабука, а колико килограм кромпира? ЗА УЧЕНИКЕ IV РАЗРЕДА 81. Вредност израза a + b c je 151. Колику ће вредност имати овај израз ако се сваки од бројева a, b, c повећа за 500? 8. Колико различитих квадара може да се направи од 1 једнаких коцкица ивице 1cm? 7 Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013.

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА 83. Одреди угао x на слици. x 100 30 84. Који од бројева има најмање делилаца: 013, 310 или 103? ЗА УЧЕНИКЕ VI РАЗРЕДА 85. Конструиши ромб чија је висина h = 4cm и један унутрашњи угао 135. 86. Израчунај вредност израза 0, 4, c= 0, 666... = 0, 6. 1 a 1 b c ако је a= 0,333... = 0,3, b= 0, 444... = ЗА УЧЕНИКЕ VII РАЗРЕДА 87. Којом цифром се завршава број 4 n + 5 n + 6 n? 88. Дата је кружница k(о, r). Око кружнице су описани правилни четвороугао и правилни шестоугао. Одреди однос површина ових многоуглова. ЗА УЧЕНИКЕ VIII РАЗРЕДА 89. Растојање од Новог Сада до Београда Раде је прешао тако што је прву половину времена бицикл возио брзином v1, а другу половину времена возио аутомобил брзином v. Синиша је пак исто растојање прешао тако што је прву половину пута возио бицикл брзином v1, а другу половину пута возио аутомобил брзином v. Ко је у Београд стигао пре: Раде или Синиша? 830. Дата је коцка ABCDA1B1C1D1 чија ивица има дужину a. Раван α која садржи дијагоналу коцке AC1 и теме B, дели дату коцку на два геометријска тела. Израчунај површине и запремине добијених геометријских тела? РЕШЕЊА ОДАБРАНИХ ЗАДАТАКА 819 830 819. Оно за шта Радовану треба дана то Милован уради за 4 дана. Према томе оно што Милован ради 10 дана, то ће Радован урадити за 5 дана. 80. Ако 6kg јабука и kg кромпира коштају 80 динара, онда за 3kg јабука и 1kg кромпира треба дати 410 динара. Како је за 3kg јабука и 4kg кромпира 8

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ плаћено 560 динара, то значи да 3kg кромпира коштају 560 410 = 150 динара.значи да килограм кромпира кошта 50, а килограм јабука 10 динара. 81. Када се сваки од бројева (сабирака) a и b повећају за 500, збир a + b ће се повећати за 1000. Када се c повећа за 500 (умањилац), разлика (a + b ) c ће се смањити за 500. Према томе вредност овог израза ће бити 151 + 1000 500 = 01. 8. Квадар одређују његове ивице. Од 1 коцкица могу да се направе квадри: 1 1 1, 1 106, 1 4 53 и 53. 83. Обележимо тачке А, В и Е (види слику) и нацртамо праву CD тако да је паралелна са АЕ и садржи В. Угао BAE је 80, јер је суплементан углу од 100. Угао AEB је 40, јер допуњује угао од 30 до пуног угла. Углови EAB и ABC су једнаки (углови са паралелним крацима, и оба су оштра), слично и углови AEB и EBD су једнаки, па је х = 180 40 80 = 60. C B D 80 x 40 100 80 A 40 E 30 84. Раставимо дате бројеве на просте чиниоце. 013 = 3 11 61, 310 = 3 11 47, 103 = 3 43. Помоћу њих добијамо све делиоце. Број 013 има делиоце 1, 3, 11, 61, 3 11 = 33, 3 61 = 183, 11 61 = 671, 3 11 61 = 013. Укупно има 8 делилаца. На сличан начин добијамо да број 310 има 16 делилаца. Број 103 има, такође, 16 делилаца. Најмање делилаца има број 013. 85. Нека је ABCD ромб који треба да конструишемо и нека је ABC = 135. Угао код темена А је суплементан углу код темена В па је BАD = 45. Праве којима припадају странице АB и CD су паралелне и на растојању су h једна од друге. Конструкцију ромба можемо извести на следећи начин: - Конструишемо најпре две паралелне праве a и b које су на растојању h једна од друге; - На правој a изаберимо произвољну тачку А у којој конструишемо угао од 45 чији је један крак на правој a; - У пресеку праве b и крака конструисаног угла налази се теме D. Дуж AD је страница ромба ABCD; 9

ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ - На правој a преношењем дужи AD добијамо теме В, а преношењем исте дужи на правој b добијамо теме С, чиме смо одредили сва четири темена ромба. b D C 86. Како је a= 0,3, то је 10a = 3,3. Сада је 10a a= 3,3 0,3, тј. 9a = 3, па је 1 4 a=. На исти начин добијамо да је b= и c=. Сада имамо: 3 9 3 1 1 1 1 1 1 1 1 18 73 a = = = = =. 1 3 4 1 3 4 3 3 19 b 3 19 57 c 9 9 18 3 87. Број 4 n се завршава цифром 4, уколико је n непаран број, а цифром 6 ако је n паран број. Број 5 n се завршава цифром 5, а 6 n се завршава цифром 6. Ако је n непаран број онда се збир 4 n + 5 n + 6 n завршава цифром 5 (4+5+6=15), а ако је n паран број онда се 4 n + 5 n + 6 n завршава цифром 7 (6+5+6=17). 88. Како су око кружнице описани правилни многоуглови, то значи да је кружница уписана у четвороугао и у шестоугао. Правилни четвороугао је a квадрат, па је полупречник уписане кружнице r=, дакле a = r. Површина квадрата је P4 = a, P4 = (r) = 4r. Полупречник уписане кружнице правилног шестоугла је a 3 r=, одакле је Површина правилног шестоугла је 3 r 3 3 4r 3 3 3 3 r. = = 3 9 4r P4 : P6 = =, P 4 : P6 = : 3. 3r 3 а h А 45 30 135 B r r 3 r 3 a 3= r, a= = =. 3 3 3 3 a 3 3 P6 = 6, P6 = a 3= 4 Однос површина ових многоуглова је 89. Нека је растојање од Новог Сада до Београда s и нека је Раде тај пут прешао за v1t r vt r tr ( v1+ v) време tr. Тада је s= + =, па је време tr за које је Раде

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ стигао из Новог Сада у Београд t = утрошио време t s r s v + v 1. Синиша је за своје путовање s s s 1 1 = + = +. v1 v v1 v Нека је s s 1 1 + v 1 + v v1 v 1 1 где је релација коју тражимо. Тада је 4 ( v1+ v ) + или 4v1v v1 v (v1 + v). Даљом трансформацијом добијамо 0 (v1 v), што због услова да је v1 < v, значи да је тражена релација строга неједнакост <, па је tr < ts или Ратко потроши мање времена од Синише и стићи ће у Београд пре Синише. 830. Како дата раван садржи темена A, B и C1, то она садржи и теме D1, па су добијена два подударна геометријска тела чије су запремине једнаке V1 = V = 3 a. Површине добијених тела су такође једнаке и садрже по два квадрата странице a (ABCD и CDD1C1), два једнакокрако правоугла троугла (BCC1 и ADD1) чије су катете a и један правоугаоник (ABC1D1) чије су страница a и a. Дакле тражене површине су P1 = P = 3a + a a = a (3+ ). КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Конкурсни задаци намењени су првенствено ученицима који се у већој мери интересују за математику. Истовремено то је својеврсно такмичење које Математички лист организује сваке школске године. Решења задатака са именима решавалаца објављују се у наредним бројевима часописа. Предност имају они решаваоци који у првих 0 дана по изласку броја из штампе пошаљу исправна решења. Имена решавалаца са бар шест тачних решења објављују се у првом броју следеће школске године. За најбоље решаваоце предвиђене су награде. Упутство за слање решења налази се на страни 48. ЗА УЧЕНИКЕ III РАЗРЕДА 377. Јелена може да распреми и почисти стан за 3 сата и 0 минута. Ако јој њена млађа сестра Ленка помогне и ради заједно са њом сата, распремање стана биће завршено за сата и 0 минута. За колико времена би Ленка сама распремила стан? 378. За 4 кесице кикирикија и паковања чипса плаћено је 330 динара, а за 3 кесице кикирикија и 3 паковања чипса 300 динара. Колико кошта кесица кикирикија, а колико паковање чипса? Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013. 31

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ ЗА УЧЕНИКЕ IV РАЗРЕДА 379. Вредност израза a b : c je 671. Колику ће вредност имати овај израз ако се сваки од бројева a, b, c повећа три пута? 380. Колико различитих квадара може да се направи од 30 једнаких коцкица ивице 1cm? ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА 381. Одреди углове х и y на слици. x y 110 75 50 38. На колико начина можемо записати број 310 као производ два или три различита природна броја? ЗА УЧЕНИКЕ VI РАЗРЕДА 383. Конструиши ромб ABCD чији је један унутрашњи угао 10 и полупречник уписане кружнице cm. 1 384. Израчунај вредност израза 1 a 1 1 b c ако је a= 0,, b= 0, 4, c= 0, 8. ЗА УЧЕНИКЕ VII РАЗРЕДА 385. Којом цифром се завршава број 7 n + 8 n + 9 n? 386. Дата је кружница k(о, r). У кружницу су уписани правилни осмоугао и правилни дванаестоугао. Одреди однос површина ових многоуглова. ЗА УЧЕНИКЕ VIII РАЗРЕДА 387. Крава попасе онолико траве колико коза и гуска заједно. Крава и коза заједно попасу траву са ливаде за 45 дана, крава и гуска за 60 дана, а коза и гуска за 90 дана. За колико дана могу крава, коза и гуска заједно да попасу целу ливаду, при чему треба узети у обзир да трава на ливади непрестано и равномерно расте? 388. Дата је коцка ABCDA1B1C1D1 чија ивица има дужину a. Раван α која садржи дијагоналу коцке AC1 и средиште B ивице BB1, дели дату коцку на два 3

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ геометријска тела. Израчунати површине и запремине добијених геометријских тела? РЕШЕЊА КОНКУРСНИХ ЗАДАТАКА 365 376 365. При сабирању бројева ученик је направио три грешке. Једну цифру јединица 8 је заменио са 3, једну цифру десетица је заменио са 8 и једну цифру стотина 6 је заменио са 7. Тако је добио збир 555. Одреди прави збир. Решење. Замењујући цифру јединица 8 са цифром 3, добијени збир је смањио за 5, замењујући цифру десетица са цифром 8, добијени збир је увећао још за 60 и замењујући цифру стотина 6 са цифром 7 добијени збир је увећао за 100. Према томе прави збир је мањи за 100 + 60 5 = 155 и једнак је 555 155 = 400. Анастасија Милановић, III4, ОШ Јован Јовановић Змај, Брус 366. Тачка N је на правој одређеној тачкама A и B, ван дужи AB и 5 пута је ближа тачки B него тачки A. Одреди дужину дужи AB ако је тачка N од средине дужи AB удаљена 14сm. Решење. А S B N Тачка S је средина дужи АВ. Пошто је тачка N пет пута ближа тачки В него тачки А значи да дуж АВ садржи четири дела као што је ВN, па је тачка N од средине дужи АВ удаљена три таква дела и то износи 14cm. Цела дуж АВ има дужину ((14 : 3) 4)cm. Мина Радовић, III3, ОШ Мирко Јовановић, Крагујевац 367. Могу ли се месеци поделити у две групе, по 6 узастопних, тако да у свакој групи буде једнак број дана? Решење. Да би се поделили у две групе са истим бројем дана година мора имати 366 дана (фебруар 9 дана). Могу на два начина. I начин: 1. група: април, мај, јун, јул, август и септембар;. група: октобар, новембар, децембар, јануар, фебруар и март. II начин: 1. група: јун, јул, август, септембар, октобар, новембар;. група: децембар, јануар, април, мај, јун, јул. Страхиња Драгутиновић, IV1, ОШ Алекса Дејовић, Севојно 368. Најдуговечнији људи живе преко 100 година, чак и 1З8 година. Да ли је постојао неки човек који је живео 1 000 000 сати? А 000 000 сати? Решење. Како је 10 365 4 = 43800 4 = 105100 то значи да је било људи који су живели 1000000 сати. С друге стране не можемо очекивати да ће неко живети 000000 сати. Јана Соколов, IV, ОШ Христо Ботев, Димитровград 33

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 369. На рођенданску прославу Марија и Бранко су позвали своје пријатеље, па је деце на журци било укупно 30. На крају журке се испоставило да је њих петоро јело само празне колаче (без чоколаде, ораха и сувог грожђа). Од осталих, њих десет није јело колаче на којима су били ораси, двоје нису јели колаче који су били украшени чоколадом и орасима.четворо деце није јело колаче на којима је било ораха и сувог грожђа. Петоро је јело само колаче са орасима, а њих дванаест није јело колаче са сувим грожђем, а двоје су јели од сваке врсте. Колико деце је јело колаче и са орасима и са сувим грожђем, ако је свако дете појело бар један колач? Решење. Нека је S скуп ученика који су јели колаче са сувим грожђем, С скуп ученика који су јели колаче са чоколадом и О скуп ученика који су јели колаче са орасима. Петоро деце је јело само празне колаче па их не убрајамо ни у један скуп. Њих двоје је јело све три врсте колача и њих уписујемо у пресек сва три скупа. Двоје није јело колаче са чоколадом и орасима, па њих уписујемо у скуп S. Слично, четворо деце уписујемо само у скуп С, петоро деце само у скуп О. Дванаесторо деце није јело колаче са сувим грожђем. Од дванаесторо деце њих 4 + 5 = 9 смо већ уписали у скуп С или скуп О па њих троје уписујемо у пресек само ова два скупа. Десеторо деце није јело колаче са орасима, па у пресеку само скупова С и S уписујемо 4. Преостали број деце, њих петоро, јело су колаче и са орасима и са сувим грожђем. C S 4 4 Братислав Мијалковић, V5, ОШ 8. септембар, Пирот 370. Свако слово замени неком цифром (различита слова различитим цифрама) тако да сабирање ТРИ + ТРИ = ШЕСТ буде тачно. Нађи сва решења. Решење. Запажамо: - потребно је шест различитих цифара (Т, Р, И, Ш, Е, С); - збир два једнака троцифрена броја је четвороцифрен број; - Ш = 1, a Т мора да буде паран број већи од 5, Т = 6 или Т = 8. За Т = 6 решења су: 643 + 643 = 186, 638 + 638 = 176, 648 + 648 = 196, 678 + 678 = 1356. За Т = 8 решења су: 854 + 854 = 1708, 864 + 864 = 178, 89 + 839 = 1658, 839 + 839 = 1678, 869 + 869 = 1738. Љиљана Јовић, V3, ОШ Олга Петров, Баранда 371. Да ли је производ непарних природних бројева мањих или једнаких од 013 дељив са збиром тих истих бројева? Решење. Непарних бројева од 1 до 013 има 1007. Њихов збир је: 3 34 5 5 5 O

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 1+ 3+ 5 +... + 009+ 011+ 013 = (1+ 013) + (3+ 011) +... + (1005+ 1009) + 1007 = 503 014+ 1007 = 1007 (503 + 1) = 1007 1007. Како је 1007 = 53 19, имамо да је производ непарних бројева мањих или једнаких од 013 дељив са 19 53 1007, тј. са збиром непарних бројева од 1 до 013. Милена Јелић, VI, ОШ Вук Караџић, Бач 37. Конструиши троугао АВС ако је дужина једне странице троугла 6cm, њој одговарајућа висина 5cm, а дужина полупречника описане кружнице 4cm. Решење. Нека је AB = 6cm и висина ha = 5cm. Теме С налази се на правој b која је паралелна правој АВ и на растојању ha од ње. Центар описане кружнице налази се у пресеку кружница полупречника 4cm чији су центри у тачкама А и В. Теме С налази се у пресеку описане кружнице и праве b. Дакле, конструкцију вршимо на следећи начин: - на правој a конструишемо дуж АВ = 6cm; - конструишемо праву b паралелну са правом a на растојању ha; - консртуишемо центар описане кружнице у пресеку кружница полупречника 4cm из темена А и В. - конструишемо описану кружницу троугла. У пресеку кружнице и праве b налазимо треће теме троугла. Како постоје две пресечне тачке, задатак ће имати два решења. b C D a A B Лазар Галић, VI, ОШ Mирослав Антић, Футог 373. Одреди све двоцифрене природне бројеве ab за које важи ab ba= n, где је n N. Решење. Како је n 0 онда је и ab ba 0, ab ba, дакле a b. ab ba= 10a+ b ( 10b+ a) = 10a+ b 10b a= 9a 9b= 9 ( a b), тако је 9(a b) = n. Да би 9(a b) био потпун квадрат онда a b мора бити потпуни квадрат, па је a b {1, 4, 9}, јер су а и b цифре и a b 9. За a b = 1, то јест a 35 C1 Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013.

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ = b + 1 тражени бројеви су 10, 1, 3, 43, 54, 65, 76, 87, 98. За a b = 4, то јест a = b + 4 тражени бројеви су 40, 51, 6, 73, 84, 95. И за a b = 9, то јест a = b + 9 једино решење је број 90. Богдан Раонић, VII, Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац 374. Дијагонале трапеза су 6cm и 8cm и узајамно су нормалне. Израчунај висину и површину трапеза. Решење. Нека је тачка Е на продужетку основице АВ, таква да је ВЕ = CD = b. Четвороугао BECD је паралелограм, па је СЕ = BD = d = 8cm, ACE = AFB = 90 (као углови са паралелним крацима). Како је троугао АСЕ правоугли можемо применити Питагорину теорему, AE = AC + CE, AE = 6 + 8, AE = 100, AE = 10cm, AE = a + b = 10cm. Висина трапеза једнака је висини троугла AE h AC CE АЕС и можемо је израчунати преко површине тог троугла, =, 10 h 6 8 a+ b 10 =, h = 4,8cm. Површина трапеза је P= h, P= 4, 8, P = 4cm. D C F A B E Здравко Бјелић, VII4, ОШ Бранко Радичевић, Шид 375. На колико начина се број 013 може приказати као збир узастопних природних бројева? Решење. Претпостављам да има више од једног сабирка (иначе је решење и број 013). Нека је први број x, а последњи x + k. Тада је њихов збир x + (x + 1) + (x + ) +... + (x + k) = 013, а после сређивања x (k + 1) + 1 + + 3 +... + k = 013. k( k+ 1) k( k+ 1) Важи да је: 1+ +... + k=, па је x( k+ 1) + = 013. Кад све помножимо са, и издвојимо k + 1 добијамо: (k + 1)(x + 1) = 406. Пошто је x 1, тада је и x + k > k + 1, и још треба да приметимо да су та два фактора супротне парности (ако је један од њих паран, други је непаран). Када раставимо 406 = 3 11 61, имамо неколико могућности: 1) k + 1 =, x + k = 013, што даје k = 1 и x = 1006, (1006 + 1007 = 013); ) k + 1 = 3, x + k = 134, што даје k = и x = 670, (670 + 671 + 67 = 013); 3) k + 1 = 6, x + k = 671, што даје k = 5 и x = 333, (333 + 334 + 335 + 336 + 337 + 338 = 013); 4) k + 1 = 11, x + k = 366, што даје k = 10 и x = 178, (178 + 179 + 180 + 181 + 18 + 183 + 184 + 185 + 186 + 187 + 188 = 013); 36

НАГРАДНИ ЗАДАЦИ 5) k + 1 =, x + k = 183, што даје k = 1 и x = 81, (81 + 8 + 83 + 84 +... + 97 + 98 + 99 + 100 + 101 + 10 = 013); 6) k + 1 = 33, x + k = 1, што даје k = 3 и x = 45, (45 + 46 +... + 76 + 77 = 013); 7) k + 1 = 61, x + k = 66, што даје k = 60 и x = 3, (3 + 4 +... + 6 + 63 = 013). Број 103 може се представити на 7 начина као збир узастопних природних бројева. Стеван Војиновић, VIII, OШ Јован Јовановић Змај, Панчево 376. Равни α и β заклапају угао од 60. Њихова пресечна права је права p. У равни β дат је једнакокраки трапез ABCD тако да су основице трапеза AB и CD паралелне са правом p. Ако је површина трапеза ABCD једнака 01, колика је површина четвороугла A B C D који представља пројекцију трапеза ABCD на раван α. Решење. Како су праве AB и CD паралелне са правом p, то су оне паралелне и са равни α, па је A B = AB и C D = CD. Висине једнакокраког трапеза AM = CN са 1 равни α заклапају угао од 60 o, па је A' M' = AM. Дакле, површина трапеза A B C D је једнака половини површине трапеза ABCD, тј. 01 : = 1006. Илија Пуђа, VIII3, OШ Јован Стерија Поповић, Вршац НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Ова рубрика је, као и конкурсни задаци, позив свим нашим читаоцима за такмичење. У сваком броју нашег листа дајемо један задатак за сваки разред. Из сваког разреда, пет најуспешнијих решавалаца биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. Наградни задатак бр. 381 (за ученике III разреда) На једном семафору зелено светло траје 45 секунди, жуто 4 секунде и црвено 50 секунди. Између црвеног и зеленог, односно зеленог и црвеног светла увек се пали жуто. Колико минута и колико секунди прође од када се први пут упали зелено па док се трећи пут угаси црвено светло? Наградни задатак бр. 38 (за ученике IV разреда) Правоугаоник (на пример од папира) површине 013cm чија је једна страница дужине 33cm, резањем (паралелно страницама) је подељен на најмањи број квадрата истих или различитих страница. На колико квадрата је подељен тај правоугаоник? Наградни задатак бр. 383 (за ученике V разреда) Збир два броја је 013. Ако та два броја поделимо са 3 остаци су 5 и 7, а разлика добијених количника је 1. Који су то бројеви? 37

НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Наградни задатак бр. 384 (за ученике VI разреда) Конструиши трапез ABCD (AB CD) ако је AB = 7cm, AC = 5cm, CD = 3cm и ACВ = 60. Наградни задатак бр. 385 (за ученике VII разреда) Колико има седмоцифрених бројева који се исто читају с лева у десно и с десна у лево? Наградни задатак бр. 386 (за ученике VIII разреда) Одредити најмањи природан n број који има тачно 013 делилаца? Доказати да је n природан број. РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 375 (МЛ XLVII-) Решење. а) 5 делова; б) 11 делова; в) 6 делова. Награђени Вранић Вељко, III3, ОШ Светозар Марковић, Краљево Тамара Милорадовић, III1, ОШ Деспот Стефан Лазаревић, Деспотовац Маша Милићевић, III, ОШ Ратко Вукичевић, Ниш Милан Тодосијевић, III3, ОШ Свети Сава, Чачак Никола Младеновић, III, ОШ Вељко Дугошевић, Београд РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 376 (МЛ XLVII-) Решење. Прво рашење пуна чаша напуњена до пола празна Пријатељ (1) 3 1 3 Пријатељ () 3 1 3 Пријатељ (3) 1 5 1 Друго рашење пуна чаша напуњена до пола празна Пријатељ (1) 3 Пријатељ () 3 Пријатељ (3) 3 1 3 38

НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Награђени Валентина Стојановић, IV3, ОШ Бранко Радичевић, Крушевац Ана Филиповић, IV4, ОШ Анте Богићевић, Лозница Страхиња Драгутиновић, IV1, ОШ Алекса Дејовић, Севојно Страхиња Антић, IV3, ОШ Жарко Зрењанин, Качарево Амел Софтић, IV1, ОШ Владимир Перић Валтер, Пријепоље РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 377 (МЛ XLVII-) Решење. С обзиром да је збир два једнака четвороцифрена броја петоцифрен број, то је Д = 1. Даље је А =, па се једноставно долази до јединог решења 816 + 816 = 165. Награђени Александра Јовановић, V1, ОШ Васа Пелагић, Падеж, Крушевац Ана Укропина, V1, ОШ Иван Гундулић, Нови Сад Ана Влаховић, V4, ОШ Васа Пелагић, Котеж, Београд Анђела Јоцић, V5, ОШ Учитељ Таса, Ниш Иван Јевтић, V, ОШ Влада Аксентијевић, Београд РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 378 (МЛ XLVII-) Решење. Нека је троугао АВС тражени троугао, О центар уписане кружнице и D тачка на ВС таква да је OD полупречник уписане кружнице. Из услова задатка знамо да је α + γ = 10, па је β = 60. У правоуглом троуглу ODB познате су нам његова катета и један оштар угао (види слику) па га можемо конструисати. У правоуглом троуглу ODС угао код темена С једнак је половини угла γ. Конструкцију траженог троугла радимо на следећи начин: - Прво конструишемо троугао ODВ. На овај начин добијамо теме В троугла и центар уписане кружнице O; - На полуправу BD наносимо дужину странице BC и добијамо теме С; - Добијени угао OCD једнак је половини угла γ па конструишемо угао γ; - Из темена В конструишемо угао β = 60, а из темена С добијени угао γ. У пресеку кракова ова два угла добијамо треће теме троугла. А r B β / D C Награђени Исидора Гајић, VI1, ОШ "Милош Обреновић", Аранђеловац Владимир Нешић, VI, ОШ "IV краљевачки батаљон", Краљево O 39 Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013.

ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Наталија Дивковић, VI3, ОШ "Херој Иван Мукер", Смедеревска Паланка Дамјан Станковић, VII1, ОШ "Свети Сава", Фоча, Република Српска Теодора Михајловић, VI1, ОШ "Радоје Домановић", Параћин РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 379 (МЛ XLVII-) Решење. Фигура са једним спратом има 1 3 = 3 шибице. Фигура са спрата има 1 3 + 3= 9 шибица. Фигура са 3 спрата има 1 3 + 3 + 3 3 = 18 шибица. Број шибица које се додају у k-том реду је 3k, па следи да фигура са 40 спратова има 1 3 + 3 + 3 3 +... + 38 3 + 39 3 + 40 3 = (1 + + 3 +... + 38 + 39 + 40) 3 = 460 шибица. Награђени Гала Ћалдовић, VII1, ОШ Стари град, Ужице Јован Ђорђевић, VII3, ОШ Свети Сава, Бајина Башта Михајло Бранковић, VIIВ, Математичка гимназија, Београд Лазар Гуглета, VII1, Гимназија Јован Јовановић Змај, Нови Сад Мартин Пошмуга, VI I4, ОШ Учитељ Таса, Ниш РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 380 (МЛ XLVII-) Решење. Нека је тражени троцифрени број abc (a, b и c су цифре траженог броја и a 0). Тада је 100a + 10b + c = 5 (a + b + c) = 5a + 5b + 5c, тј. 75a 15b = 4c. Ако последњу једначину поделимо са 3, добија се једначина 5a 5b = 8c или 5(5a b) = 8c. Како је лева страна једначине дељива са 5, то мора бити и десна, па је c = 0 или c = 5. 1) Ако је c = 0, онда је 5a b = 0, тј. b = 5a. Једина цифра дељива са 5 је број 5, па је a = 1 и b = 5, а тражени број је 150 (провера: 150 = 5 (1 + 5 + 0)). ) Ако је c = 5, онда је 5a b = 8. Добијена једначина има два решења: а) a =, b = и c = 5, па је тражени број 5 (провера: 5 = 5 ( + + 5)); б) a = 3, b = 7 и c = 5, па је тражени број 375 (провера: 375 = 5 (3 + 7 + 5)). Награђени Иван Пауновић, VIII1, ОШ Др Драгиша Мишовић, Чачак Страхиња Закић, VIII4, ОШ Љуба Ненадовић, Београд Анастасија Љубеновић, VIII1, ОШ Петар Петровић Његош, Ниш Катарина Цимеша, VIIIА, Математичка гимназија, Београд Дејан Јовановић, VIII, ОШ Свети Сава, Бајина Башта ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Свако слово замени цифром (различита слова различитим, а иста слова истим цифрама) тако да важи једнакост: АBCD + ABC = 013. 40

ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ РЕШЕЊE ЗАДАТКА СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА (МЛ XLVII-) У сабирању ВЕРА + РАТКО + НЕНАД + БРАНКО треба заменити свих 10 различитих слова одговарајућим цифрама тако да сабирци имају највеће могуће вредности за највећу вредност овог збира, а најмање могуће вредности за најмању вредност збира. При томе, бројеви не почињу нулом. а )Највећа вредност збира је 4586 + 8631 + 75760 + 98671 = 1153388. б) Најмања вредност збира је 540 + 0678 + 34309 + 10378 = 180785. Награђени Немања Радосављевић, V3, OШ Момчило Живојиновић, Младеновац Вељко Пешић, V4, ОШ Свети Сава, Пирот Лазар Митровић, VIII, ОШ Вук Стефановић Караџић, Пожаревац Катарина Стојадиновић, VI1, OШ Доситеј Обрадовић, Ћићевац Јован Марковић, IV1, OШ Милован Глишић, Ваљево Анђела Здравић, V, OШ Јован Јовановић Змај, Брус Селена Томић, VI, OШ Милош Обреновић, Аранђеловац Марина Бабић, VI1, OШ Слободан Савковић, Стари Бановци Филип Тодоровић, VII1, OШ Стојан Новаковић, Блаце Весна Бјелоглав, VIII1, ОШ Јован Дучић, Касиндо, Република Српска РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БРОЈ 66 (МЛ XLVII-) Решење. Примењујући поступак записан у чланку налазимо да мора бити (01 x) (01 y) = 1006 01, при чему је 01 x > 1006 и 01 y > 1006. Најмањи делилац броја 1006 01, који је већи од 1006 је број 01. Одатле следи да једначина нема решење. Дакле, не постоји Питагорина тројка бројева x, y, z таква да је x + y + z = 01. Награђени Данко Ђорђевић, VIII, Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац Милица Теохаревић, VII3, OШ Доситеј Обрадовић, Умка Селена Бакић, VII, OШ Вук Караџић, Крушевац Предраг Цветковић, VII1, OШ Ђура Јакшић, Јелашница Адриана Васовић, VII, ОШ Свети Сава, Чачак Сања Васиљковић, VII5, OШ Владислав Рибникар, Београд ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ Р35. У стаду има коња, једногрбих камила и двогрбих камила. Ако је укупан број грба једнак 00, а број коња једнак броју двогрбих камила, одреди укупан број грла стоке у стаду. 41

ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Р34. У краљевству Јутутуту краљ тринаести Балакаха обећао свом народу да ће извршити монетарну реформу. Он жели да број типова новчаница (по вредности) буде што мањи, а да се при томе свака сума од 1 до 5 може исплатити са највише новчанице (истих или различитих вредности). Колико типова новчаница је потребно одштампати? Решење Р34. Довољно је 7 типова новчаница. Примери: 1, 3, 4, 9, 10, 1, 13 и 1,, 5, 8, 11, 1, 13. Доказаћемо сада да се циљ не може постићи са мање од 7 типова новчаница. Посматрајмо било који шесточлани скуп А подскуп скупа В = {1,, 3,..., 5}. Доказаћемо да постоји бар један број из В који није у А и који није облика m + n, где су m и n бројеви из А, једнаки или различити. Претпоставимо супротно. Извршићемо анализу по броју непарних бројева у А. Посматрајмо прво случај кад се у А налазе три парна и три непарна броја. Како се у скупу В налази 13 непарних бројева, сваки од њих или је у скупу А или се добија као збир једног парног и једног непарног броја из А. На тај начин, међутим, може се добити највише 3 + 3 3 = 1 непарних бројева. Контрадикција. На сличан начин долазимо до контрадикције и када је број непарних бројева у А једнак било ком броју различитом од 3. Стигла су само два непотпуна решења (без доказа да је 7 минималан број типова новчаница). За то решење награђена је Весна Тимотијевић, Ђакона Авакума 91, Чачак. Решење је послала и Мирјана Васовић, Чачак. ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ Н35. Утврди који је број већи 1679616 1679616 985984 985984 или 4478976 4478976. РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Није стигло ни једно тачно решење, што је разумљиво, јер се у формулацији задатка поткрала штампарска грешка, због чега се извињавамо читаоцима. Тачно формулисан задатак гласи Н34. Да ли је број 013 01 + 014 прост или сложен? Читаоци за следећи број Математичког листа могу да шаљу решења и овог задатка. 4

ЧЕТИРИ ПИТАЊА ЗА ТРЕНИРАЊЕ ПАЖЊЕ На свако од следећа три једноставна питања треба одговорити у року од 5 секунди. Запиши одговоре, а затим их провери. 1. Учествујеш у трци. Престижеш другу особу. На ком си сада месту?. Ако престигнеш последњу особу, на ком си онда месту? 3. Маријин отац има пет кћери: 1. Нана,. Нена, 3. Нина, 4. Нона. Како се зове пета кћер? Време за одговор на четврто питање је 10 секунди. 4. Нема особа у продавници жели да купи четкицу за зубе. Имитирајући покрете прања зуба, успева да продавцу објасни шта жели да купи. Ако слеп човек жели да купи наочаре за сунце, како ће то објаснити продавцу? Одговори на питања налазе се на страни 46. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ ЧЛАНКА УЗ ПОЧЕТАК 013. ГОДИНЕ 1. Постоје два броја која сабрана са збиром својих цифара дају 013. То су 199 и 010. Дакле, Марко је рођен 010. године, а његов брат 199. Марко је млађи од свог брата 18 година.. 1985 + 8 = 013, 1976 + 37 = 013, 1967 + 46 = 013, 1930 + 83 = 013. 3. Не. Број 013 даје остатак 6 при дељењу са 9, а потпун квадрат при дељењу са 9 може имати као остатак само 0, 1, 4 и 7. 4. (а) Да. Заменити 109 + 161 са 015, имајући у виду да је 109 + 161 = (3 403) + (4 403) = (5 403) = 015. (б) У збиру добијеним под (а) заменити још и 11 + 1616 са 00, имајући у виду да је 11 + 1616 = (3 404) + (4 404) = (5 404) = 00. 5. Како је 013 = 3 11 61, тражени бројеви су сви они који задовољавају бар једну од једначина: n + S(n) = 3, n + S(n) =11, n + S(n) = 61, n + S(n) = 33 n + S(n) =183, n + S(n) = 671, n + S(n) = 013. Прва једначина нема решење. Решење друге једначине је 10, треће 53, четврте 30, пете 168, шесте 655, а решења седме су 199 и 010. 6. Брисањем последње четири цифре датог броја добија се број А. При томе је полазни број 10000А + 013 дељив са А. Да би тај број био дељив са А мора и 013 да буде дељив са А. Дакле, тражени бројеви су 1013, 3013, 11013, 61013, 33013, 183013, 671013, 013013. 43 Међународно математичко такмичење Кенгур без граница! Датум такмичења: 1. март 013. Пријаве до 8. фебруара 013.

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ ЧЛАНКА УЗ ПОЧЕТАК 013. ГОДИНЕ 7. Не. После степеновања са три, скраћивања и груписања добијамо да је израз на левој страни дељив са 3. 8. Има 44 природна броја мања од 013 који су квадрати и 1 који су кубови (44 = 1936 < 013 < 05 = 45, 1 3 = 178 < 013 < 197 = 13 3 ). Међу њима су три броја који су шести степени, тј. и квадрати и кубови: 1, 64 и 79. Дакле, међу бројевима од 1 до 013 има 01 44 1 + 3 = 1959 бројева који нису ни квадрати ни кубови. Преостаје да видимо која су следећа 54 броја који нису ни квадрати ни кубови. Међу следећих 55 бројева (од 013 до 067) само је број 05 квадрат, а кубова нема. Дакле, 013. број у траженом низу биће 067. 9. Не. Претпоставимо да у једном тренутку добијемо све парне бројеве. Непосредно пре тога морали су сви бројеви бити непарни, а непосредно пре тога су по кружници морали бити наизменично поређани парни и непарни бројеви. То је, међутим, немогуће, јер је број бројева непаран. 10. Испишимо првих неколико чланова низа: 013, 14, 17, 50, 5, 9, 85, 89, 145, 4, 0, 4, 16, 37, 58, 89,... После другог појављивања броја 89 јасно је да ће се периодично понављати бројеви 89, 145, 4, 0, 4, 16, 37, 58. Како пре прве периоде имамо седам чланова низа и 013 = 7 + 50 8 + 6, 013. члан низа биће 6. број периоде, тј. 16. 11. Нека је А збир бројева изнад, а В збир бројева испод дијагонале. Количник А : В имаће највећи вредност кад су испод дијагонале исписани само бројеви 1,, 3,..., 1006, а изнад дијагонале само бројеви 1008, 1009,..., 013 и у том случају је тај количник 3. Заиста, у општем случају је ( k+ 1) + 1 + ( k+ 1) + +... + ( k+ 1) + k= k( k+ 1) + (1+ +... + k) k( k+ 1) k( k+ 1) = k( k+ 1) + = 3 = 3 (1+ +... + k). Дакле, у нашем задатку наступа баш тај случај, па су на главној дијагонали сви бројеви једнаки 1006, према томе и онај у централном пољу таблице. 1. Нека је А = 1 3 5... 013. Тражени бројеви су 44 A+ 1 A+ 3 A+ 013,,...,. 13. Првих неколико чланова низа су 439, 08, 130, 5, 91, 130,... Видимо да је низ периодичан и да је сваки трећи члан 130. Како је број 013 дељив са 3, тражени члан је 130. 14. Бројеви од 1 до 3 имају једноцифрене квадрате, бројеви од 4 до 9 двоцифрене, бројеви од 10 до 31 троцифрене, бројеви од 3 до 99 четвороцифрене, бројеви од 100 до 316 петоцифрене. Укупан број цифара првих 316 квадрата је према томе једнак

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ ЧЛАНКА УЗ ПОЧЕТАК 013. ГОДИНЕ 3 1 + 6 + 3 + 68 4 + 17 5 = 1438. Следећих 013 1438 = 575 цифара покривају шестоцифрени квадрати, међу којима је први број 100489 (= 317 ). Како је 575 = 6 95 + 5, то ће последњи у целости исписан квадрат бити квадрат броја 411. Пета цифра следећег квадрата 41 = 168744 биће 013. цифра у низу, дакле, цифра 4. 15. Да. Треба узети бројеве 013, и 11...11. 011 ПОЗИВ НА МЕЂУНАРОДНО МАТЕМАТИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ КЕНГУР БЕЗ ГРАНИЦА 013 Друштво математичара Србије, с одобрењем Међународне асоцијације Кенгур без граница са центром у Паризу, од школске 006/07. године организујe у Србији Међународно математичко такмичење Кенгур без граница. И за ову годину међународни жири је на Кипру изабрао занимљиве задатке за такмичење које ће се у целој Европи одржати 1. март 013. године (трећи четвртак у марту) у 10.00 часова Ово је једнокружно тест такмичење, у трајању од 60 минута за ученике. разреда, 75 минута за ученике 3. и 4. разреда и 90 минута за ученике 5, 6, 7 и 8. разреда. Сваки задатак има 5 понуђених одговора од којих је само један тачан. Тест садржи 18, 4 односно 30 задатака са три степена тежине. Ове године котизација износи 00 динара по такмичару, а треба је уплатити на рачун Друштва математичара Србије, број 340-11000934-0. Сваки двадесети ученик исте школе има право на бесплатно такмичење. Првих најмање 10%, а највише 15% најбољих такмичара у свакој од категорија добиће признање Друштва математичара Србије за постигнути резултат. Пријаве се могу извршити на два начина: 1. Преко веб странице Друштва http://www.dms.org.rs/kengur/.. Електронском поштом на адресу: kengur@dms.org.rs. Последњи дан за пријаву је 8. фебруар 013. године. На веб страници можете наћи примере задатака из 005, 006, 007, 008. 009. 010. 011. и 01. године и пратити актуелне информације. Свеске са урађеним задацима из претходних година можете набавити преко Друштва математичара по цени од 150 динара по свесци. Нека и код нас, као у целом свету, током такмичења буде празник математике. Рачунамо на вас. 45

ЕНИГМАТСКА СТРАНА Ратко Тошић, Нови Сад Задаци 1. Одреди вредност разломка A R H I M E D E S M A T E M A T I K A ако различита слова представљају различите цифре.. Замени слова цифрама (иста слова истим, различита различитим цифрама) тако да вредност израза M A T E M A T I K A A R H I M E D буде: (а) највећи могући; (б) најмањи могући природан број. 3. Замени слова цифрама (иста слова истим, различита различитим цифрама) тако да вредност израза A R H I M E D M A T E M A T I K A буде: (а) највећи могући; (б) најмањи могући природан број. Решење задатака из претходног броја 1. 984. 95431 3. 99541 4. 471111 5. 511111 ОДГОВОРИ НА ЧЕТИРИ ПИТАЊА ЗА ТРЕНИРАЊЕ ПАЖЊЕ 1. Ако си одговорио да си први ниси у праву. Ако си престигао другу особу, онда си преузео њено место и сада си ти други.. Ако си одговорио да си претпоследњи, поново ниси у праву. Како можеш да престигнеш последњу особу? 3. Није Нуна него Марија. 4. Само треба да му каже шта жели. 46

47

УПУТСТВО ЗА РЕШАВАОЦЕ Решења можете слати на два начина: Елекронском поштом на адресу: matematickilist@yahoo.com Откуцана решења (Word 003 или LaTex) морају сaдржати образложење и прецизно нацртане слике. У поруци обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика слати у одвојеним порукама којима у Subject-у стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр. 143. На пример: Као и до сада стандардном поштом. Решења писати читко, сваки задатак на посебном листу уз обавезно образложење и прецизно нацртане слике. На сваком листу обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика стављати у засебне коверте на којима стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр. 143. На пример: To: matematickilist@yahoo.com Subject: Конкурсни задатак бр. 143 Име и презиме, одељење, школа, адреса школе, место, кућна адреса, поштански број, место. Математички лист Задатак са насловне стране Кнез Михаилова 35/IV, п.п. 355 11000 Београд Решења која не испуњавају наведене услове неће се узимати у обзир. Решења задатака из овог броја послати најкасније до 15. 0. 013. ВАЖНО ОБАВЕШТЕЊЕ ЗА ТАКМИЧАРЕ И ЊИХОВЕ НАСТАВНИКЕ Друштво математичара Србије, односно Комисија за тамичење из математике ученика основних школа, у припреми задатака за такмичења користи задатке из Математичког листа текуће, као и две претходне школске године (у обзир долазе сви задаци, дакле из чланака, припремни, одабрани, конкурсни, наградни, као и задаци са такмичења), и то по принципу: најмање 3 задатка за школски, најмање задатка за општински и најмање 1 задатак за окружни ниво такмичења. У тим задацима неки од података могу бити промењени. 48