КОНСТРУКЦИЈА ТРОУГЛОВА КОРИШЋЕЊЕМ ИНТЕРАКТИВНЕ ТАБЛЕ И ПРОГРАМА ГеоГебра Израда: Јан Славка, дипломирани математичар ОШ ''Јан Чајак'', Бачки Петровац
Мотивација за реализацију часова GeoГebrе ГеоГебра је бесплатни програм који омогућава да се на једноставан начин представе различити садржаји из геометрије (и алгебре). Инсталација се може бесплатно скинути са адресе http://www.geogebra.org/cms/download. Рад са њиме је прилично једноставан, тако да га могу инсталирази и ученици на својим рачунарима и пренети обрашене лекције из школе кући, како би их могли увежбавати и анализирати. За разлику од неких других софтверских решења које се чешће користе, као што је на пример Power Point, а поготово у односу на класичан начин креда табла, ГеоГебра има могућност да се садржаји приказују динамички, односно да се једноставном променом појединих параметара могу приказати различите ситуације. Ако се ови садржаји реализују и коришћењем интерактивне табле, добија се још једна нова димензија у настави, јер се садржаји не само приказују на табли (као помоћу обичног пројектора) већ се на табли могу и мењати садржаји тако да се ученици активно укључују у рад на часу. Интерактивна табла није неопходна да би се ови садржаји успешно презентовали, све се може одрадити и комбинацијом рачунара и пројектора, или у компјутерској учионици, али интерактивна табла ипак даје више ефекта. Реализација часова У прилогу овог рада се налазе четири ГеоГебра фајла који презентују конструкцију троуглова према четири правила о подударности троуглова (СУС.УСУ,ССС и ССУ ). Градиво обухвата два школска часа, према плану и програму наставе за шести разред основне школе. Часови увежбавања градива су рађени класично, и нису обухваћени овим приказом. Презентација оба часа је одрађена и кориштењем интерактивне табле Мимио и пратећег програма Мимио Студио, али тај део није уврштен у прилог, јер га већина корисника( који не поседују овакву интерактивну таблу) не би и онако могли користити.
Први час Osnovne konstrukcije trouglova (SUS i USU) Предмет: Математика Разред: шести Наставна тема: Подударност троуглова Наставна јединица : Основне конструкције троуглова (СУС и УСУ) Тип часа : Обрада Облик рада : фронтални, индивидуални рад, Метода рада : Дијалошка,илустративна Наставна средства : интерактивна табла, рачунар, пројектор, ГеоГеобра аплети SUS.GGB i USU.GGB Место извођења: Учионица Циљ часа: - Упознавање ученика са етапама конструкције троугла и конструкције троуглова по ставовима СУС и УСУ Образовни стандарди МА 3.3.2 Почетни део часа Анализа домаћег задатка. Пошто се ученици досад нису сретали са правим конструкцијама објаснити им разлику између конструкције и цртања: Конструкција се одвија помоћу лењира и шестара. Обично се одвија у четири корака: 1. Тражење пута како доћи до решења на основу датих података. Зато се скицира фигура и на њој уоче дати елементи. 2. Конструкција, тако да се на основу изведених закључака изводи цртање тражене фигуре помоћу лењираи шетара. 3. Утврђивање да је добијена фигура она која је тражена, и да садржи све задате елементе. 4. Утврђивање постојања решења и броја решења у зависности од односа датих елемената. Поновити ставове о подударности троуглова и повезати са питањем Шта је потребно да знамо о неком троуглу да би он био потпуно одређен? Одговоре на то питање можемо и овако формулисати: СУС. Ако су дате (познате) две странице неког троугла и (познат) угао између њих, тада је тај троугао потпуно одређен. УСУ. Ако је дата једна страница неког троугла и углови који належу на ту страницу, тада је тај троугао потпуно одређен. ССС. Ако су дате све три странице неког троугла, тада је тај троугао потпуно одређен. ССУ. Ако су дате две странице неког троугла и угао наспрам веће од њих, тада је тај троугао потпуно одређен. Главни део часа Конструкција троугла по ставу СУС Конструисати троугао АBC чиjе су странице АB и АC једнаке датим дужима, а угао BAC је једнак датом углу. Наставник покрене SUS.ggb. На њему показује конструкцију. Најпре се покрене аплет, на почетку се виде дати елементи, затим и скица датог троугла и познатих елемената затим се корак по корак приказује конструкција при чему ученици само прате конструкцију на табли. Затим се цео поступак покрене још једанпут, опет се напредује корак по корак, с тим да сада и ученици у свеске раде исту ову конструкцију паралелно са приказом на табли. Након завршене конструкције се ученицима постави питање да ли је оваква конструкција увек могућа. Један од ученика се прозове да на интер. табли ( или
рачунару) проба да менја дужину страница и величину угла. На овај начин се ученици могу уверити да конструкција није могућа ако је дати угао већи од 180 0, док је у свим осталим комбинацијама конструкција могућа. - СУС. Ако су дате (познате) две странице неког троугла и (познат) угао између њих, тада је тај троугао потпуно одређен - Конструкција по ставу УСУ: Конструисати троугао АBC чија је страница АB једнака датој дужи c, А једнак датом углу а B једнак датом углу. Наставник покрене USU.ggb. На њему показује конструкцију. Најпре се покрене аплет, на почетку се виде дати елементи, затим и скица датог троугла и познатих елемената затим се корак по корак приказује конструкција при чему ученици само прате конструкцију на табли. Затим се цео поступак покрене још једанпут, опет се напредује корак по корак, с тим да сада и ученици у свеске раде исту ову конструкцију паралелно са приказом на табли. Кроз дискусију се разматра када је оваква конструкција могућа. Затим се на табли ангажовањем опет неког од ученика мењају параметри. Збир углова се види и на приказу, и ученици могу заклључити да је конструкција могућа само ако је збир датих углова мањи од 180 0. УСУ. Ако је дата једна страница неког троугла и углови који належу на ту страницу, тада је тај троугао потпуно одређен. Уколико је потребно поступци прве или друге конструкције се могу поновити. Ученици треба да покушају да реше следећа два задатка а наставник треба да прати процес решавања и да, уколико постоји потреба за тим, он сам реши задатак на табли 1. Конструиши троугао ABC ако је a=3 cm, b=4 cm, =60 0. 2. Конструисати троугао АBC тако да је а=4cm, =45 0, =60 0. Завршни део часа Поновити речима научене конструкције.. За домаћи задатак дати ученицима два задатка из збирке задатака, који представљају две обрађене конструкције.
2 час: Основне конструкције троуглова (ССС и ССУ) Предмет: Математика Разред: шести Наставна тема: Подударност троуглова Наставна јединица : Основне конструкције троуглова (ССС и ССУ) Тип часа : Обрада Облик рада : фронтални, индивидуални рад, Метода рада : Дијалошка,илустративна Наставна средства : Интерактивна табла, Рачунар, пројектор, ГеоГебра аплети ССС.ггб и ССУ.ггб Место извођења: Учионица Циљ часа: - Конструисање троуглова по ставовима ССС и ССУ, разумејући све етапе конструкције Образовни стандарди МА 3.3.2 Почетни део часа Анализа домаћег задатка. Поновити етапе конструкције. Главни део часа Конструкција троугла по ставу ССС Конструисати троугао АBC чије су странице BC, CA, AB једнаке редом датим дужима а,b и c, при чему је најдужа дуж a. Наставник покрене SSS.ggb. На њему показује конструкцију. Најпре се покрене аплет, на почетку се виде дати елементи, затим и скица датог троугла и познатих елемената затим се корак по корак приказује конструкција при чему ученици само прате конструкцију на табли. Дискусија на табли се виде збирови дужина свака два пара страница. Мењањем дужине датих страница, ученици долазе до закључка да је конструкција могућа ако је збир две странице већи од треће. Кроз додатна питања навести ученика и на потребу испуњења другог услова, који се не види директно, са табле, да разлика две странице мора бити мања од треће стране Троугао је одређен са три странице. Конструкција троугла по ставу ССУ Конструисати троугао АBC, чије су странице AB и АC једнаке датим дужима c и b а C једнак датом углу. Наставник покрене SSU.ggb. На њему показује конструкцију. Најпре се покрене аплет, на почетку се виде дати елементи, затим и скица датог троугла и познатих елемената затим се корак по корак приказује конструкција при чему ученици само прате конструкцију на табли. Дискусија променом дужина страница и датог угла на табли ученици треба да закључе да је решење увек могуће док је страница наспрам датог угла већа. Ако то није случај, мењањем дужине сттанице и величине угла се може показати на табли да тада можемо имати два, једно или ниједно решење са датим величинама страницаи угла. Две странице и угао наспрам веће од њих у потпуности одређују троугао. Пример Ученици решавају примере за дате конструкције из уџбеника.
Завршни део часа Поновити речима научене конструкције.. За домаћи задатак дати ученицима два задатка из збирке задатака који репрезентују обрађене конструкције.
1.ЧАС Предмет: Математика Разред: Седми Наставна тема: Многоугао Наставна јединица: Правилни многоуглови Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Метода рада: разговор, рад на тексту, илустрација Циљ часа: Упознавање ученика са појмом правилног многоугла и његовим особинама Стандарди који се реализују у оквиру методске јединице Ученик/ученица уме да: M.A.1.3.2. влада појмовима: троугао, четвороугао, квадрат и правоугаоник (уочава њихове моделе у реалним ситуацијама и уме да их нацрта користећи прибор; ученик разликује основне врсте троуглова, зна основне елементе троугла и уме да израчуна обим и површину троугла, квадрата и правоугаоника на основу елемената који непосредно фигуришу у датом задатку; уме да израчуна непознату страницу правоуглог троугла примењујући Питагорину теорему) M.A.1.3.3. влада појмовима: круг, кружна линија (издваја њихове основне елементе, уочава њихове моделе у реалним ситуацијама и уме да их нацрта користећи прибор; уме да израчуна обим и површину круга датог полупречника) M.A.2.2.5. користи једначине у једностaвним текстуалним задацима M.A.2.3.1. одреди суплементне и комплементне углове, упoредне и унакрсне углове; рачуна са њима ако су изражени у целим степенима M.A.2.3.2. одреди однос углова и страница у троуглу, збир углова у троуглу и четвороуглу и да решава задатке користећи Питагорину теорему
M.A.2.3.6. уочи осносиметричне фигуре и да одреди осу симетрије; користи подударност и везује је са карактеристичним својствима фигура (нпр. паралелност и једнакост страница паралелограма) M.A.3.3.3. одреди централни и периферијски угао, рачуна површину исечка, као и дужину лука Уводни део часа Анализа домаћег задатка. Поновити: Шта је једнакостраничан троугао? Шта је квадрат? Подсетити се формула за израчунавање полупречника уписане и описане кружнице у и око многоуглова; Главни део часа Наставник коришћењем видео бима приказује и објашњава наставну јединицу Правилни многоуглови. Наставник уводи појам правилног многоугла на основу појмова једнакостранични троугао и квадрат Наставник показује у Геогебри слике правилних многоуглова коришћењем видео бима и наглашава да су правилни многоуглови они који имају све странице међусобно једнаке и све углове међусобно једнаке. Правилан троугао је једнакостранични троугао (унутрашњи углови по 60, спољашњи по 120 ), правилан четвороугао је квадрат (и унутрашњи и спољашњи углови су по 90 ), а код осталих правилних многоуглова унутрашњи углови се добијају тако што се Sn подели са n, а спољашњи угао тако што се 360 подели са n: n Sn n 360 1 Наставник објашњава да са повећањем броја n расте величина унутрашњег угла, и када је n довољно велико правилан многоугао скоро да постаје кружница описана око тог многоугла
Ученици решавају у свескама задатке 1,2 и 3 према датом упутству, па решења проверавамо усмено. Наставник каже да се симетрале страница и симетрале углова правилног многоугла секу у једној тачки која се зове центар многоугла и представља истовремено центар уписане и центар описане кружнице многоугла. Правилни многоуглови имају онолико оса симетрије колико и страница. Наставник показује цртеже правилних многоуглова са осенченим карактеристичним троуглом и поставља питања: Колико оваквих карактеристичних троуглова уочавају у троуглу, колико у четвороуглу, колико у петоуглу? Шта су странице овог троугла? (страница многоугла и полупречници описане кружнице) Какав је овај троугао? (једнакокраки) Шта је врх карактеристичног троугла? Наставник показује централни угао φ правилног многоугла, а пошто у једном многоуглу тих углова има n, они се израчунавају по истој формули као спољашњи угао: 1 Наставник истиче да је карактеристичан троугао веома битан како за конструисање тако и за израчунавање површине правилног многоугла Наставник истиче да је карактеристичан троугао правилног шестоугла једнакостраничан троугао. Завршни део часа Наставник ученицима задаје домаћи задатак
2.ЧАС Предмет: Математика Разред: Седми Наставна тема: Многоугао Наставна јединица: Конструкција правилних многоуглова Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Метода рада: разговор, рад на тексту, илустрација Циљ часа: Упознавање ученика са појмом правилног многоугла и његовим особинама Стандарди који се реализују у оквиру методске јединице Ученик/ученица уме да: M.A.1.3.2. влада појмовима: троугао, четвороугао, квадрат и правоугаоник (уочава њихове моделе у реалним ситуацијама и уме да их нацрта користећи прибор; ученик разликује основне врсте троуглова, зна основне елементе троугла и уме да израчуна обим и површину троугла, квадрата и правоугаоника на основу елемената који непосредно фигуришу у датом задатку; уме да израчуна непознату страницу правоуглог троугла примењујући Питагорину теорему) M.A.1.3.3. влада појмовима: круг, кружна линија (издваја њихове основне елементе, уочава њихове моделе у реалним ситуацијама и уме да их нацрта користећи прибор; уме да израчуна обим и површину круга датог полупречника) M.A.2.3.6. уочи осносиметричне фигуре и да одреди осу симетрије; користи подударност и везује је са карактеристичним својствима фигура (нпр. паралелност и једнакост страница паралелограма) M.A.3.3.2. користи основна својства троугла, четвороугла, паралелограма и трапеза, рачуна њихове обиме и површине на основу елемената који нису обавезно непосредно дати у формулацији задатка; уме да их конструише
M.A.3.3.3. одреди централни и периферијски угао, рачуна површину исечка, као и дужину лука Циљ часа: Упознавање ученика са поступком конструкције правилних многоуглова Уводни део часа Анализа домаћег задатка. Поновити: Шта је правилан многоугао? Чему је једнак унутрашњи угао правилног многоугла? Шта је карактеристичан троугао правилног многоугла? Главни део часа Ученици у свесци конструишу две кружнице полупречника 3 cm. У прву кружницу уписују једнакостраничан троугао и правилан шестоугао, у другу квадрат и правилан осмоугао. Прво се нацрта полупречник, па централни угао, а затим странице. Наставник каже да је ово начин конструкције правилног многоугла ако је познат полупречник описане кружнице. Ученици у свескама покушавају да конструишу правилан шестоугао и осмоугао странице 2cm, пратећи упутства и сугестије наставника и анимације у Геогебри. Наставник каже да се на тај начин, помоћу странице и унутрашњег угла, може конструисати правилан многоугао. Наставник наводи да постоји још један начин конструкције правилног многоугла, када је задат полупречник уписане кружнице и задаје ученицима да конструишу правилан шестоугао ако је полупречник уписане кружнице 3cm. Објашњава да се најпре конструише троугао са познатом дужином катете и угловима од 30 и 60. Завршни део часа Наставник објашњава занимљив, нестандардни начин конструкције правилног многоугла и задаје ученицима домаћи задатак
Литература: 1. Уџбеник: Икодиновић, Н; Димитријевић, С; Математика за 7. разред основне школе, Klett, Београд, 2010; 2. Уџбеник: Стојсављевић-Радовановић, М; Вуковић, Љ; Јончић, З; Математика за 7. разред основне школе, Креативни центар, 2011. Извори: Слика возила пчелињег саћа са: http://www.brnda.com/clanci/pcelinjesace/tabid/68/default.aspx