. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност апсолутне грешке се заокружује на једну значајну цифру и то на већу вредност. Ако је апсолутна грешка,, заокружићемо је на једну значајну цифру, тј. на трећу децималу. Биће,3. Ако постоји само једна значајна цифра различита од нуле, онда се вредност те цифре не мења. ОЈЛЕРОВА МЕТОДА Задатак Диференцијална једначина је облика y = t + y, а почетна вредност y() =. Уз помоћ Ојлерове методе нађите апроксимативну вредност y() у четири корака. Поделити интервал на 4 једнака дела. 5 t y t e t. Аналитичко решење је: T n = 4 h =,5 y() = y() =? Табела. Нумеричко решење помоћу Ојлерове формуле. t y y h y y + h y,5,5,5,5 3,5,85,35,5,35 5,5,85 3,59375,75 3,59375 7,9375,984375 5,5785 5,5785 4 y y y,98 Аналитичко решење: y 5 e Грешка: y() = 5 3 4, y 8, 4863 Задатак Примените Ојлерову методу за решавање диференцијалних једначине:
dy t 4t y t 3 e у тачки t =,5. Број подинтервала је 5, почетни услов y() =. dt n = 5 h =, y() = y(,5) =? Табела. Нумеричко решење помоћу Ојлерове формуле. t y y h y y + h y,5,5,,,,8964,3,9996755,4,8998664,5,77647886,893986,84535,95768365,7457774 Аналитичко решење је:,5,476,355,7394,9363,57435,87754473,7573349,596477 3 t 5 t y e e, y,5,76695678 y,5 y,5 y,5,559 Грешка: y(,5) =,77,6. колоквијум Задатак 3 Нађите вредност за у у тачки x =,; ако је дужина корака,. Почетни услов за диференцијалну,9 y једначину y ' је y() =. x n = h =, y() = y() =? Нумеричко решење је: y() =,58677777,7343 Аналитичко решење је: y, y, 6995,5 x Грешка: y y y,45,875 y() =,58,3 Задатак 4
. колоквијум Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији Ојлеровом методом израчунајте y(), ако за диференцијалну једначину y = y t +, важи почетни услов y() =,5 и величина корака h =,5. Аналитичко решење је: 5,3547. n = 4 h =,5 y() =,5 y() =? Нумеричко решење је: y() = 4,4375 y,5 e t 4 t t y 5, 3547 Аналитичко решење је: Грешка: y y y y() = 4,4,9,868, Задатак 5 Користећи алгоритам за Ојлеров метод и број подинтервала нађите апроксимативно решење за проблем y = y t +, t са почетним условом y() =,5 и упоредите га са аналитичким решењем y(t) = (t + ),5e t. Аналитичко решење је: 5,3547. n = h =, y() =,5 y() =? Нумеричко решење је: y() = 4,86578454 y, 5 e t 4 t t y 5, 3547 Аналитичко решење је: Грешка: y y y y() = 4,9,5,44, Задатак 6 x Нађите y(,8), ако је h =, за y' y', y() = користећи Ојлеров метод. y n = 8 h =, y() = y(,8) =? Поступак нумеричког решавања диференцијалне једначине: y = y + h f(x, y ) =, +,* (, *,/, ) =, y = y + h f(x, y ) =, +,* (, *,/, ) =,98 y 3 = y + h f(x, y ) =,98 +,* (,98 *,/,98 ) =,774 y 4 = y 3 + h f(x 3, y 3 ) =,774 +,* (,774 *,3/,774 ) =,358 y 5 = y 4 + h f(x 4, y 4 ) =,358 +,* (,358 *,4/,358 ) =,435 y 6 = y 5 + h f(x 5, y 5 ) =,435 +,* (,435 *,5/,435 ) =,589 y 7 = y 6 + h f(x 6, y 6 ) =,589 +,* (,589 *,6/,589 ) =,583 y 8 = y 7 + h f(x 7, y 7 ) =,583 +,* (,583 *,7/,583 ) =,6497 Нумеричко решење је: y(,8) =,6497 Аналитичко решење је: y x, y,8, 645 3
Грешка: y y y,8,8,8, 37 y(,8) =,65,4. колоквијум Задатак 7 Нађите y(,5), ако је y решење диференцијалне једначине y' = x y, y() =. Користите Ојлеров метод са дужином корака од,. Аналитичко решење је:,8959.,7747 y(,5) =,77,5 Задатак 8 y x Уз помоћ Ојлерове методе нађите апроксимативно решење y ' у тачки x =,, ако се узме да y x је ширина подинтервала h =, и y() =,. Тачно решење је,93. y x y' f x, y y x y = y + h f(x, y ) =, +, ( (,,)/(, +,) ) =, y = y + h f(x, y ) =, +, ( (,,)/(, +,) ) =,39 y 3 = y + h f(x, y ) =,39 +, ( (,39,4)/(,39 +,4) ) =,577 y 4 = y 3 + h f(x 3, y 3 ) =,577 +, ( (,577,6)/(,577 +,6) ) =,756 y 5 = y 4 + h f(x 4, y 4 ) =,756 +, ( (,756,8)/(,756 +,8) ) =,98 y(,) =,,9 Задатак 9 Користите Ојлеров метод како бисте нашли y(,) решавањем диференцијалне једначине y' = x + y + xy, y() = са кораком од h =,. Тачно решење је:,589. f(x, y) = x + y + xy n = h =, y() = y(,) =? Поступак нумеричког решавања диференцијалне једначине: y = y + h f(x, y ) =, +,*( + + *) =, y = y + h f(x, y ) =, +,*(, +, +,*,) =, y 3 = y + h f(x, y ) =, +,*(, +, +,*,) =.3 y 4 = y 3 + h f(x 3, y 3 ) =,3 +,*(,3 +,3 +,3*,3) =,4 y 5 = y 4 + h f(x 4, y 4 ) =,4 +,*(,4 +,4 +,4*,4) =,53 y 6 = y 5 + h f(x 5, y 5 ) =,53 +,*(,5 +,53 +,5*,53) =,65 y 7 = y 6 + h f(x 6, y 6 ) =,65 +,*(,6 +,65 +,6*,65) =,76 y 8 = y 8 + h f(x 7, y 7 ) =,76 +,*(,7 +,76 +,7*,76) =,89 y 9 = y 9 + h f(x 8, y 8 ) =,89 +,*(,8 +,89 +,8*,89) =, y = y + h f(x 9, y 9 ) =, +,*(,9 +, +,9*,) =,4 Нумеричко решење је: y(,) =,4 y,,589 Тачно решење је: T Грешка: y y y,,,,89 y(,8) =,4, 4
. колоквијум Задатак Решите диференцијалну једначину y' = x/y, y()= помоћу Ојлерова методе како бисте добили y(). Узмите да је дужина корака h =, и, и упоредите резултате са аналитичким решењем (y = + x ). Аналитичко решење је:,44. y() = y(,8) =? Аналитичко решење је: y x, y, 44 Поступак нумеричког решавања диференцијалне једначине: за h =, n = y = y + h f(x, y ) =, +,*,/, =, y = y + h f(x, y ) =, +,*,/, =, y 3 = y + h f(x, y ) =, +,*,/, =,98 y 4 = y 3 + h f(x 3, y 3 ) =,98 +,*,3/,98 =,589 y 5 = y 4 + h f(x 4, y 4 ) =,589 +,*,4/,589 =,967 y 6 = y 5 + h f(x 5, y 5 ) =,967 +,*,5/,967 =,43 y 7 = y 6 + h f(x 6, y 6 ) =,43 +,*,6/,43 =,948 y 8 = y 7 + h f(x 7, y 7 ) =,948 +,*,7/,948 =,534 y 9 = y 8 + h f(x 8, y 8 ) =,534 +,*,8/,534 =,37 y = y 9 + h f(x 9, y 9 ) =,37 +,*,9/,37 =,3855 Нумеричко решење је: y() =,3855 y y y,87 Грешка: y() =,39,3 за h =, n = y = y + h f(x, y ) =, +,*,/, =, y = y + h f(x, y ) =, +,*,/, =,4 y 3 = y + h f(x, y ) =,4 +,*,4/,4 =,69 y 4 = y 3 + h f(x 3, y 3 ) =,69 +,*,6/,69 =,43 y 5 = y 4 + h f(x 4, y 4 ) =,43 +,*,8/,43 =,355 Нумеричко решење је: y() =,355 y y y,59 Грешка: y() =,36,6 5
. колоквијум АДАМСОВА ФОРМУЛА Задатак Решите диференцијалну једначину y' = y sin x + cos x у тачки x =,5, ако је y() =. Број подинтервала је 5. Тачно решење је,579. y =,5679389 y T =,579 y =,57,4 Задатак Решите диференцијалну једначину xy' = x y, у тачки x =,3, ако је y() =. Број подинтервала је 5. Аналитичко решење је,957. y =,3347686 y А =,957 y =,3, Задатак 3 Решите диференцијалну једначину y' = x + y + xy, y() = Ојлеровом методом у тачки x =, и у тачки x =,5. Тачно решење је,734. y =,377359 y T =,579 y =,,7 Задатак 4 dy t 4t Naђите решење диференцијалне једначине y t 3 e у тачки x =,3 ако је почетни услов dt t 4t 5e 3e y() =. Тачан израз за у је: y t, а аналитичко решење y А (,3) =,938. y (,3) =,9458 y А (,3) =,938 y (,3) =,94,7 Задатак 5 Нађите у у тачки x =,4 из диференцијалне једначине. Тачан израз за у је: y (,4) =,7684473 y,7343,5 x,45,9 y y ', ако је дужина корака, и y() = x, а аналитичко решење y А (,4) =,767587. 6
y А (,4) =,767587 y (,4) =,7684,9. колоквијум Симсонова и трапезна формула Задатак 6 Израчунати приближну вредност интеграла cos m =,4,6,8 и. Тачно решење је 4,445. m =, I = 4,454648; I = 4,45, m = 4, I = 4,4453937; I = 4,4454,4 m = 6, I = 4,444987; I = 4,4449,9 m = 8, I = 4, 4448387; I = 4,4448, m =, I = 4,444869; I = 4,4448, Задатак 7 Израчунати приближну вредност интеграла I x dxпомоћу Симпсонове формуле за за m = 4,8,, и 6 помоћу I x dx Симпсонове формуле, и упоредити их са тачном вредношћу интеграла. I x dx ln, 693478 T m I ΔI = I T I 4,69354, 8,69355,8,6935,3,69349, 6,69348,9 Задатак 8 Помоћу Симпсонове формуле наћи приближну вредност запремине тела добијеног ротацијом криве y = sin x, око x осе, x,8. Узети да је ширина интервала h =,. Тачан израз након интеграљења: x sin x, аналитички одређена вредност интеграла је,47574. 4 Запремина тела добијеног ротацијом криве y = f (x) око xосе у интервалу [a,b] израчунава се помоћу интеграла b a V y x dx Приближну вредност овог интеграла израчунавамо применом Симпсоновог правила. Имамо да је h =., тј. m = 4. Добили смо да је V Т =,4746. 7
V =,475,. колоквијум Задатак 9 Нађите вредност интеграла dx x помоћу трапезне формуле. Интервал интегрљације је подељен на једнаких делова. Израчуната вредност: I =,69353 Аналитичко решење: I А =,693478 Грешка: I I А =,35 I =,6935 ±,4 Задатак Користећи трапезну формулу израчунати дела. Тачан израз након интеграљења: I,4 dx x 4. Интервал интеграције је подељен на 4 једнака аналитички одређена вредност интеграла је,39798. Израчуната вредност: I =,39778 Аналитичко решење: I А =,39798 Грешка: I I А =, I =,3978 ±,3, Задатак Користећи Симсонову формулу израчунати једнака дела. Тачна вредност интеграла,74684. Израчуната вредност: I =,74685538 Тачно решење: I Т =,74684 Грешка: I I Т =,38 I =,74686 ±,4 x. Интервал интеграције је подељен на 4 I e dx Задатак Користећи Симпсонову формулу израчунати I sin x dx на, 4 и 6 једнаких делова. Тачна вредност интеграла,368. Тачно решење: I Т =,368 m =, I =,35837; I =,35,6 m = 4, I =,3994396; I =,399,4 m = 6, I =,35345; I =,3,7, ако су интервали интеграције подељени 8
. колоквијум Задатак 3 Израчунајте интеграл трапезном формулом за m = 4. Тачна вредност интеграла,368. Израчуната вредност: I =,5549 Тачно решење: I Т =,6 Грешка: I I Т =,845 I =,5 ±,9 Задатак 4 Израчунати интеграл Симпсоновом формулом Нека је интервал интеграције подељен на 5 једнаких делова. Тачна вредност интеграла,436. Израчуната вредност: I =,93567 Тачно решење: I Т =,436 Грешка: I I Т =,85 I =,9 ±, Задатак 5 Израчунајте помоћу трапезне формуле x dx, m = 8. Тачна вредност интеграла 8,66667. Израчуната вредност: I = 8,6785 Тачно решење: I Т = 8,66667 Грешка: I I Т =,833 I = 8,68 ±, Задатак 6 Израчунајте log x dx помоћу трапезне формуле са кораком h =. Аналитичко решење Тачна вредност интеграла 6,935. Израчуната вредност: I = 6,5976333 Аналитичко решење: I А = 6,935 Грешка: I I А =,3587 I = 6,6 ±,4 xxlog x. log Задатак 7 3 Израчунајте x dx помоћу трапезне формуле са кораком h =,5. Аналитичко решење 3 x x 4 3 x. Тачна вредност интеграла 57. 9
Израчуната вредност: I = 57,5 Аналитичко решење: I А = 57 Грешка: I I А =,5 I = 57,5 ±,5. колоквијум Задатак 8 5 Израчунајте dxx ln помоћу трапезне формуле са кораком h =. Тачно решење,5894 Израчуната вредност: I =,6636735 Тачно решење: I Т =,5894 Грешка: I I Т =,748 I =,66 ±,8 ЊУТНОВА ФОРМУЛА Задатак 9 Помоћу Њутнове формуле израчунајте вредности интеграла I = sin(x)dx у опсегу x [, π] за број подинтервала 6. Аналитичко решење cos x. Тачна вредност интеграла. Нумеричко решење,784 I =, ±, Задатак 3 Помоћу Њутнове формуле израчунајте вредност интеграла (sin(x)+) dx у опсегу x [, ] за број подинтервала 8. Тачно решење је I = 8. 8 Задатак 3 Решите следећи интеграл 4,4753947 I = 4,43 ±,5 cos( x) e,5x dx за број подинтервала. Тачно решење је 4,4337.,5x Задатак 3
a Решите следећи интеграл I (a+)x dx,466667 I =, ±,. колоквијум, a = 6 за број подинтервала 5. Тачно решење је I=.