force acting on the particles of the medium is proportional to the displacement of the particles, we can

1 Ανοικτή Επιστοή Προς την Επιτροπή Θεμάτων της Φυσικής Κατεύθυνσης Επειδή αμβάνουμε ποά παράπονα από συναδέϕους διορθωτές σύμϕωνα με τα οποία η επιτροπή των θεμάτων του υπουργείου απορρίπτει απόυτα τη ύση του ερωτήματος Β2 μέσω των στασίμων κυμάτων αά και τη ύση του Γ4 μέσω των τααντώσεων θα θέαμε την απάντηση τους στηριγμένη αρχικά στο σχοικό βιβίο (το οποίο βασει του νομου είναι το μόνο που ο μαθητής υποχρεώνεται να γνωρίζει) αά και στη διεθνή πανεπιστημιακή βιβιογραϕία αν θεωρούν ότι διαϕωνούν σε κάποιο σημείο με τα παρακάτω. Οπως και να έχει όμως θα πρέπει η επιτροπή να συνειδητοποιήσει ότι όχι μόνο οι υποδειγματικές ύσεις που στένει θα πρέπει να στηρίζονται στο σχοικό βιβίο αά θα πρέπει και να ενθαρρύνει τους διορθωτές να αποδέχονται σαν σωστή την κάθε ύση η οποία είναι σωστά τεκμηριωμένη με βάση το σχοικο βιβίο. Ακόμα και στην περίπτωση κατά την οποία το σχοικό βιβίο δεν είναι απόυτα σωστό. 1. Το ερώτημα Β2 Το συγκεκριμένο ερώτημα θα μπορούσε να υθεί και γεωμετρικά π.χ. καθώς ο μαθητής γνώριζε τον αρχικό αριθμό των δεσμών και μπορούσε πού εύκοα να υποογίσει τον υποτριπασιασμό του μήκους κύματος. Κατά τη γνώμη μας και η ύση αυτή είναι απόυτα σωστή καθώς στηρίζεται στο σχοικό βιβίο. Εμείς με βάση τα ακόουθα υποστηρίζουμε ότι στο συγκεκριμένο ϕαινόμενο στην ευθεία ανάμεσα στις πηγές ορθώς ο μαθητής χρησιμοποίησε στάσιμα κύματα, αρκεί να δικαιοόγησε επαρκώς την απάντηση του. Και αυτό γιατί: Σαν στάσιμα κύματα ορίζει το σχοικό βιβίο (και πού σωστά κατά τη γνώμη μας) δύο κύματα ίδιου πάτους και ίδιας συχνότητας τα οποία καθώς διαδίδονται στο ίδιο εαστικό μέσο με αντίθετη ϕορά συμβάουν. Μάιστα με τα μαύρα γράμματα τονίζει: Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέεσμα της συμβοής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. Το θέμα Β2 των Πανεηνίων εξετάσεων του 2013 ανέϕερε: Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π 2 που βρίσκονται αντίστοιχα στα σημεία Κ και Λ της επιϕάνειας υγρού παράγουν πανομοιότυπα εγκάρσια κύματα με ίδιο πάτος ίσες συχνότητες f 1 και ίσα μήκη κύματος 1. Αν η απόσταση των σημείων Κ και Λ είναι d = 2 1 τότε δημιουργούνται τέσσερις υπερβοές απόσβεσης ανάμεσα στα σημεία Κ και Λ. Ποοί μαθητές θεώρησαν ότι ανάμεσα στα Κ και Λ αναπτύσονται στάσιμα κύματα. Εϊναι σωστή αυτή η προσέγγιση τους; Αρχικά από κάποιους συναδέϕους διατυπώνεται η αντίρρηση ότι στάσιμα κύματα έχουμε μόνο σε γραμμικό μέσο (χορδή). Αυτή είναι μια πού σωστή παρατήρηση κατά το ήμισυ. Το ερώτημα είναι τι είναι γραμμικό μέσο. Οι Halliday- Resnick στην 8η έκδοση τους (η οποία τώρα μεταϕράζεται στα εηνικά) (σε. 546) αναϕέρουν: When analyzing a linear medium, that is, one in which the restoring force acting on the particles of the medium is proportional to the displacement of the particles, we can

2 apply the principle of superposition to determine the resultant disturbance. Δηαδή γραμμικό μέσο είναι αυτό στο οποίο η δύναμη που ασκείται στα σωματίδια του μέσου είναι ανάογη της μετατόπισης τους. Αυτό είναι το γραμμικό μέσο που αναϕέρει η βιβιογραϕία και όχι κατ ανάγκη μια χορδή. Συνεπώς σαν γραμμικό μέσο θεωρούμε το κάθε μέσο στο οποίο ισχύει η αρχή της επαηίας. Στο σχοικό βιβίο αναϕέρεται η αρχή της επαηίας για κάθε εαστικό μέσο. Συνεπώς ο μαθητής οϕείει να θεωρεί το κάθε εαστικό μέσο γραμμικό. Επομένως καθώς στάσιμα κύματα εμϕανίζονται σε όους τους ανοικτούς ή κειστούς ηχητικούς σωήνες είναι προϕανώς και ο αέρας γραμμικό μέσο. Προϕανώς είναι και το υγρό της άσκησης γραμμικό μέσο καθώς σε αυτό ισχύει η αρχή της επαηίας (εϕόσον δεχόμαστε ότι ισχύει η συμβοή). Ομως αυτά δεν είναι ανάγκη να τα ξέρουν οι μαθητές. Οι μαθητές απαιτείται να γνωρίζουν βάσει του νόμου το σχοικό βιβίο. Σε αυτό δίνεται μεν σαν παράδειγμα η χορδή αά δεν αναϕέρεται περιορισμός στο μέσο. Ενας συνάδεϕος που έχει συναίσθηση της αποστοής του και που το μόνο που θα τον ενδιέϕερε θα ήταν να αποδώσει δικαιοσύνη στους μαθητές ανάογα με τα γραπτά τους θα έθετε μόνο την εξής ερώτηση: Βάσει του ορισμού που γνωρίζουν οι μαθητές από το σχοικό βιβίο δικαιοογείται η θέση τους πως στην ευθεία ανάμεσα στις πηγές αναπτύσονται στάσιμα κύματα; Ο ορισμός θέτει τις εξής προϋποθέσεις: (αʹ) Τα δυο κύματα να είναι όμοια (ίδιο πάτος, ίδια συχνότητα). ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙΤΑΙ. (βʹ) Τα δύο κύματα να κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. (γʹ) Τα δύο κύματα να διαδίδονται στο ίδιο μέσο και να συμβάουν. ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙΤΑΙ. ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Συνεπώς ικανοποιούνται και οι τρείς προϋποθέσεις που θέτει το σχοικό βιβίο. Ε- πομένως σύμϕωνα με τις γνώσεις του μαθητή είναι στάσιμα κύματα. Κάποιοι μάιστα συνάδεϕοι διαχώρισαν το ϕαινόμενο της συμβοής από αυτό των στασίμων κυμάτων. Ακόμα και σωστό να ήταν αυτό ο ορισμός του σχοικού βιβίου δείχνει ότι τα στάσιμα κύματα είναι υποπερίπτωση της συμβοής. Σε αυτό συμϕωνεί και η διεθνής βιβιογραϕία (π.χ. Alonso-Finn - Θεμειώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Εηνική Εκδοση, 3ος τόμος, σε 230). Επίσης κάποιοι άοι χρησιμοποιούν το εξής επιχείρημα: Στις πηγές έχουμε πρόβημα και γι αυτό η εικόνα δεν είναι στάσιμο κύμα αά είναι συνθήκες στάσιμου κύματος. Η πρόθεση αυτών των συναδέϕων είναι οοϕάνερη. Επειδή τέτοιος ορισμός ( δηαδή διαχωρισμός του ϕαινομένου των στασίμων κυμάτων από μια κατάσταση που μοιάζει με στάσιμο κύμα αά δεν είναι) δεν υπάρχει στο σχοικό βιβίο, στόχος είναι να μεταϕέρουν τη συζήτηση μακριά από τις γνώσεις του μαθητή σε δήθεν επιστημονικό επίπεδο. Η απάντηση είναι προϕανής: (αʹ) Υπάρχει διεθνής βιβιογραϕία η οποία κάνει αυτό το διαχωρισμό; Αν ναι τότε αυτοί οι συνάδεϕοι που στο συγκεκριμένο θέμα θέουν να αποδείξουν ότι το σχοικό βιβίο κάνει άθος θα πρέπει να την παρουσιάσουν. Άσχετα με αυτό πάντως οι μαθητές δεν είναι υποχρεωμένοι να διαβάζουν πανεπιστημιακά συγγράματα πριν δώσουν πανεήνιες εξετάσεις. Συνεπώς ακόμα και αν το σχοικό βιβίο κάνει άθος οι μαθητές δεν υποχρεώνονται να το ξέρουν. Τότε όμως η επιτροπή είναι διπά υπόογη καθώς επέεξε θέμα στο οποίο στο σχοικό βιβίο υπάρχει πρόβημα. Αυτό ως προς τη δεοντοογία.

3 (βʹ) Αν το γεγονός πως η ενέργεια του δεύτερου κύματος όταν ϕθάνει στην πηγή του πρώτου την επηρεάζει με αποτέεσμα να υπάρχει πρόβημα καθώς η πηγή δεν τααντώνεται με το πάτος του στάσιμου αά με το δικό της, η απάντηση είναι πως το ίδιο συμβαίνει και στη συμβοή. Αν οιπόν έχουμε συμβοή αά όχι στάσιμο όπως η επιτροπή υποστηρίζει τότε πάνω στην πηγή έχουμε πρόβημα καθώς το πάτος της ταάντωσης της πηγής θα είναι (από τη θεωρία της συμβοής και όχι του στάσιμου) A = 2A συν 2π(x 2 x 1 ) x 2 = 0 x 1 = 2 A = 2A συν 2π2 = 2A (1) Συνεπώς και εδώ θα έχουμε πρόβημα στις πηγές, άρα δεν έχουμε συμβοή αά συνθήκες συμβοής και όη η άσκηση είναι άθος. Συνεπώς οι εξισώσεις που χρησιμοποιούμε δεν περιαμβάνουν τις πηγές ούτε στη συμβοή ούτε και στο στάσιμο. Αυτό δε σημαίνει ότι το αμέσως επόμενο σημείο από τις πηγές παραβιάζει τις εξισώσεις. Κάποιος θα μπορούσε να μας πει ότι αϕού η πηγή είναι στη θέση της κοιίας αά δεν είναι κοιία δεν έχουμε στάσιμα. Η απάντηση αυτή είναι παράογη γιατί τότε το ϕαινόμενο θα άαζε ανάογα με το αν στο τμήμα του χώρου που μεετάμε συμπεριαμβάνουμε τις πηγές ή όχι. Οπως θα δούμε και παρακάτω ένας μαθητής θα μπορούσε να υποογίσει τους δεσμούς ξεκινώντας από τη μεσοκάθετο που είναι όντως κοιία και να μην εμπέξει τις πηγές. Αν οιπόν αυτός ο μαθητής μεετούσε το χώρο 0.05 < x < 1.96 ( δηαδή μια περιοχή του χώρου που δεν υπάρχουν πηγές αά μόνο δύο όμοια τρέχοντα αντίθετα κύματα) ποιο ϕαινόμενο θα παρατηρούσε; Σύμϕωνα με το ογική των συναδέϕων ο μαθητής θα είχε στάσιμα κύματα ή συνθήκες στάσιμων κυμάτων; Βέπουμε πόσο η ϕυσική μπερδεύται όταν σχεδιάζουμε προβήματα εκτός πραγματικότητας. Και τέτοια προβήματα είναι όα τα προβήματα που μεετούν κύματα ξεχνώντας ότι αυτά δημιουργήθηκαν από πηγές.γιατί όμως δεν μας ενδιαϕέρει αν ένα σημείο είναι η πηγή; Γιατί πού απά στην Αρχή της Επαηίας θεωρούμε ότι το ένα κύμα είναι ανεξάρτητο από το άο. Συνεπώς ακόμα και αν ένα σημείο είναι η πηγή το δεύτερο κύμα θα περάσει από εκεί ανεξάρτητα από τι συμβαίνει στο πρώτο. Δηαδή το 2Α που βρήκαμε παραπάνω οϕείεται σύμϕωνα με την Αρχή της Επαηίας κατά το μισό στην πηγή η οποία είναι ένας μηχανισμός που μεταϕέρει ενεργεια στο μέσο και κατά το άο μισό στην ενέργεια του δεύτερου κύματος που ϕτάνει σε αυτό το σημείο. Η προσέγγιση αυτή ισχύει για όες τις περιπτώσεις συμβοής και κατά συνέπεια και για την υποπερίπτωση των στασίμων κυμάτων. Εξάου σύμϕωνα με την Αρχή του Huygens κάθε σημείο του κύματος μπορεί να θεωρηθεί σαν μια δευτερογενής πηγή. Τότε όος ο χώρος θα αποτεείται από πηγές. Πως οιπόν θα μπορούσαμε να μεετήσουμε το ϕαινόμενο αν εξαιρούσαμε τα σημεία των πηγών; (γʹ) Επειδή όμως στη ϕύση τα κύματα δεν δημιουργούνται μόνα τους αά πάντα θα έχουμε πηγές κυμάτων στις οποίες όταν θα ϕθάνει η ενέργεια του δευτερου κυματος αυτές θα συνεχίζουν να τααντώνονται με το δικό τους πάτος με τη ογική των συναδέϕων δεν θα υπάρχουν ποτέ στάσιμα κύματα (ή συμβοή όπως αποδείξαμε παραπάνω) αά μόνο συνθήκες στασίμων κυμάτων ή συμβοής. (δʹ) Τι αναϕέρει όμως η διεθνής βιβιογραϕία; i. Οι Alonso-Finn ( Θεμειώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Εηνική Εκδοση, 3ος τόμος, σε 256) αναϕέρουν ξεκάθαρα ότι σε ανοικτούς και κειστούς ηχητικούς σωήνες όταν ϕυσάμε από το ένα του άκρο δημιουργούνται στάσιμα κύματα στο εσωτερικό τους (το στόμα μας

4 είναι προϕανώς η πηγή των στασίμων κυμάτων) εξαιτίας της ανάκασης των κυμάτων στο άο άκρο. Επίσης στο σχήμα 22.16 (σε. 252) αναϕέρονται σε στάσιμα κύματα σε μια χορδή που έχει και τα δύο άκρα στερεωμένα. ii. Οι Halliday- Resnick (Εηνική έκδοση της Β έκδοσης τους, Α Τόμος σε 483) αναϕέρουν ότι σε μια χορδή πεπερασμένου μήκους τα τρέχοντα κύματα παθαίνουν ανάκαση στα άκρα της χορδής παράγοντας στάσιμα κύματα. Του συγγραϕείς δεν τους ενοχεί πως προϕανώς καπου ανάμεσα στα δύο άκρα, δηαδή κάπου στο χώρο που μεετούν υπάρχει η πηγή ( η οποία μπορεί να βρίσκεται και σε μια κοιία). Οι συγγραϕείς αναϕέρουν χαρακτηριστικά ότι η επαηία ενός προσπίπτοντος κύματος και ενός ανακώμενου, όντας το άθροισμα δύο κυμάτων που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις θα δημιουργήσει ένα στάσιμο κύμα. Στην 8η έκδοση τους (η οποία τώρα μεταϕράζεται στα εηνικά),(σε 550 της αγγικής έκδοσης) αναϕέρεται: A standing wave, such as the one shown in Figure 18.4, is an oscillation pattern with a stationary outline that results from the superposition of two identical waves traveling in opposite directions. Μάιστα στο σχήμα 18.6 (σε. 552) παρουσιάζεται η εικόνα ενός στάσιμου κύματος (standing wave pattern) σε μια χορδή πακτωμένη και στα δύο άκρα με ένα επιπέον δεσμό. Προϕανώς κάπου εκεί μέσα υπάρχει και η πηγή αά αυτό δεν ενοχεί τους συγγραϕείς. Οπως και δεν τους ενοχεί που θα βάει κάποιος το x = 0. Μάιστα η παράγραϕος 18.3 έχει ακριβώς αυτό τον τίτο: STANDING WAVES IN A STRING FIXED AT BOTH ENDS. iii. Ο Pain (Εηνική Εκδοση της Φυσικής των τααντώσεων και των Κυμάτων, σε 134) μεετά και αυτός τη δημιουργία στασίμων κυμάτων σε χορδή πεπερασμένου μήκους στο εσωτερικό της οποίας προϕανώς βρίσκεται και η πηγή. Αναϕορά και εδώ σε συνθήκες στασίμων κυμάτων αά όχι στάσιμα κύματα δεν υπάρχουν. iv. Ο Hecht (Physics: Algebra-Trig., Brooks-Cole Publishing Company, 1994) στη σείδα 458 αναϕέρει τα ίδια. Στη δε σείδα 462, ποαπά παραδείγματα με ανοικτούς και κειστούς σωήνες Στη βιβιογραϕία αυτή αναϕέρεται πάντα ότι όταν δύο όμοια κύματα κινούνται αντίθετα στο ίδιο (γραμμικό) μέσο παράγουν στάσιμα κύματα. Πουθενά δεν αναϕέρεται όρος συνθήκες στασίμων κυμάτων αά όχι στάσιμα κύματα. Μήπως όμως το σχοικό βιβίο κάνει άθος και δεν έχουμε στάσιμα κύματα; Ας δούμε και τη μαθηματική επεξεργασία. Στο διπανό σχήμα παρουσιάζονται δύο πηγές που απέχουν απόσταση d = 2 όπως έδινε η άσκηση. Η καθε πηγή παράγει ένα κύμα Π 1 x d x 2 Π 2 y 1 = Aηµ2π( t T x ) Π 1 y 2 = Aηµ2π( t T x (2) 2 ) Π 2 c c Και στις δύο εξισωσεις έχουμε αρνητικό πρόσημο στο χωρικό τμήμα της ϕάσης γιατί πάντα η ϕάση μικραίνει καθώς το κύμα απομακρύνεται από την πηγή.

5 Η συμβοή των δύο κυμάτων μας δίνει: y 1 = Aηµ2π( t T x ) y 2 = Aηµ2π( t T x 2 ) y = y 1 + y 2 x 2 = d x y = A[ηµ2π( t T x ) + ηµ2π( t T N x )] d = N y = A[ηµ2π( t T x ) + ηµ(2π( t T + x 2πx ) 2Nπ)] = 2Aσυν ηµ2πt T (3) Που είναι η εξίσωση των στασίμων κυμάτων. ϕαινόμενο σαν στάσιμα κύματα. Συνεπώς σωστά οι μαθητές περιέγραψαν το Κάποιοι όμως συνάδεϕοι εξακοουθούν να το αρνούνται υποστηρίζοντας ότι όο αυτό έτυχε καθώς η απόσταση των δυο πηγών ήταν ακέραιο ποαπάσιο του μήκους κύματος. Προσπερνώντας το γεγονός πως στην άσκηση που δόθηκε η απόσταση ήταν 2 συνεπώς ανήκει στην προηγούμενη περίπτωση, ας μεετήσουμε και τη γενική περίπτωση: Αν η απόσταση ήταν γενικά d τότε θα είχαμε y 1 = Aηµ2π( t T x ) y 2 = Aηµ2π( t T x 2 ) y = y 1 + y 2 y = A[ηµ2π( t T x ) + ηµ2π( t T d x )] x 2 = d x y = A[ηµ2π( t T x ) + ηµ(2π( t T + x) d 2π)] = 2Aσυν[ 2πx + πd ]ηµ[2πt T + πd ] (4) Μη μας ξεγεά η εξίσωση επειδή δεν είναι ακριβώς όμοια με αυτή του σχοικού βιβίου. Είναι εξίσωση στασίμων κυμάτων καθώς η αρμονική συμπεριϕορά όγω θέσης είναι απόυτα διαχωρισμένη από την χρονική αρμονική συμπεριϕορά. Συνεπώς κάθε σημείο κάνει ταάντωση με συγκεκριμένο πάτος διαϕορετικό από το διπανό του. Αν μάιστα θέσω σαν αρχή το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος d 2 δηαδή έχω x 1 = x d 2 και t 1 = t d 2c όπου c η ταχύτητα διάδοσης του κύματος (ουσιαστικά ο χρόνος που

6 χρειάστηκε από τη μια πηγή να ϕτάσει στη μεσοκάθετο που θεωρησαμε αρχή των αξόνων), τότε: y = 2Aσυν[ 2π(x 1 + d 2 ) + πd 2π(t 1 ]ηµ[ T d 2c ) + πd ] = 2Aσυν 2πx 1 ηµ2πt 1 T Που είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος του σχοικού βιβίου. Συνεπώς το σχοικό βιβίο σωστά αναϕέρεται σε στάσιμα κύματα στο χώρο ανάμεσα σε δυο πηγές που παράγουν όμοια κύματα που κινούνται αντίθετα. Απά οι μαθητές θα πρέπει να είναι προσεκτικοί ώστε πάντα το x = 0 να είναι κοιία, συνθήκη που ικανοποιείται για τις πηγές όταν d = N. Οι δεσμοί θα βρίσκονται στο σημείο (5) συν[ 2πx + πd ] = 0 [ 2πx + πd ] = (2N + 1)π 2 x = d 2 (2N + 1) 4 (6) Αυτό μας θυμίζει την εικόνα της συμβοής καθώς στη μεσοκάθετο x = d/2 έχουμε ενίσχυση και από εκεί ανά /4 διαδοχικά θα συναντάμε απόσβεση και ενίσχυση. Μέ βάση αυτά θα μπορούσε ένας μαθητής να πει το εξής πού σωστό (και να μη χρειαστεί να ασχοηθεί καθόου με το τι συμβαίνει στο x = 0): Καθώς τα στάσιμα κύματα είναι υποπερίπτωση της συμβοής και εγώ γνωρίζω ότι στο μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τις δύο πηγές έχω πάντα ενίσχυση άρα θα έχω κοιία στο σημείο αυτό στην εικόνα του στασίμου κύματος. Συνεπώς αϕού το νέο μήκος κύματος είναι 3 σε απόσταση από τη μεσοκάθετο x = 1 4 3 = 12 ακοουθούν σε απόσταση 1 2 3 = 6 έχω τον πρώτο δεσμό. Οι υπόοιποι ο καθένας. Συνεπώς από τη μεσοκάθετο μέχρι τη μια πηγή θα έχω 6 δεσμούς. Και άους τόσους από τη μεσοκάθετο μέχρι την άη πηγή, το σύνοο 12. Με αυτή την απόυτα σωστή ύση ο μαθητής θα έδειχνε ότι έχει καταάβει τη σύνδεση στασίμων κυμάτων και συμβοής πού περισσότερο και από κάποιους συναδέϕους. 2. Το ερώτημα Γ4 Η συνηθισμένη ύση γι αυτό το ερώτημα είναι μέσω της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας (όχι της μηχανικής ενέργειας καθώς καταναώνει έργο η μη συντηρητική δύναμη της τριβής). Οι μαθητές γνωρίζουν την ΑΔΕ μέσα από το Θεώρημα Εργου Ενέργειας ή αιώς Θεώρημα Μεταβοής της Κινητικής Ενέργειας. Το πρόβημα το οποίο ανακύπτει σε αυτό το ερώτημα είναι ότι οι μαθητές δεν είχαν εκπαιδευθεί σε αντίστοιχα ερωτήματα στη διάρκεια της Λυκειακής τους Εκπαίδευσης, δηαδή ενώ γνωρίζουν τη γενική έκϕραση του ΘΜΚΕ, δεν είχαν εκπαιδευθεί σε προβήματα με έργο εατηρίου και έργο τριβής οίσθησης. Αντίθετα οι μαθητές κατά τη διάρκεια της σχοικής τους εκπαίδευσης είχαν εκπαιδευθεί σε προβήματα τααντώσεων ακόμα και όταν μια δύναμη που είναι σταθερή σε μέτρο και διεύθυνση όπως το βάρος (αά όπως και η τριβή στο τμήμα της κίνησης για το οποίο τους ζητήθηκε να βρεθεί η μέγιστη συσπείρωση

7 του εατηρίου) δρά ταυτόχρονα με το εατήριο. Επίσης στη διάρκεια της υκειακής τους εκπαίδευσης οι μαθητές εκπαιδεύθηκαν να μεετούν ακόμα και τμήματα κινήσεων. Παράδειγμα η γνωστή άσκηση όπου μια μικρή σϕαίρα κινείται σε ένα ημισϕαίριο. Υπάρχει άσκηση η οποία ζητά από το μαθητή να υποογίσει την κάθετη αντίδραση του ημισϕαιρίου όταν η σϕαίρα περνά από την κατώτατη θέση της κίνησης της. Σε αυτή την περίπτωση ο μαθητής αναγνωρίζει ότι η σϕαίρα εκτεεί τμήμα κυκικής κίνησης (και όχι όη την κυκική κίνηση) και εϕαρμόζει τους νόμους που γνωρίζει για την κυκική κίνηση στο συγκεκριμένο τμήμα υποογίζοντας αυτό που του ζητήθηκε. Ο μαθητής ποτέ δεν έχει ενδιαϕερθεί για το γεγονός πως το σώμα από ένα σημείο και πέρα μπορεί να μην οοκηρώσει την κυκική κίνηση καθώς μπορεί και να αάξει είδος κίνησης. Στο ερώτημα Γ4 υπήρξαν μαθητές όπως μαθαίνουμε από συναδέϕους οι οποίοι θεώρησαν ότι η κίνηση του σώματος από την κρούση μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για πρώτη ϕορά είναι τμήμα απής αρμονικής ταάντωσης και εϕαρμόζοντας τους γνωστούς νόμους των αμείωτων αρμονικών τααντώσεων υποόγισαν σωστά τη μέγιστη συσπείρωση του εατηρίου. Θα πρέπει αυτοί οι μαθητές (εϕόσον αναγνώρισαν σωστά ότι είναι τμήμα ταάντωσης αά η Θέση Κρούσης δεν ταυτίζεται με τη Θέση Ισορροπίας) να τιμωρηθούν ή να ανταμειϕθούν βαθμοογικά; Η άποψη μας είναι ότι πρέπει η ύση τους να θεωρηθεί απόυτα σωστή γιατί είναι απόυτα σωστή ϕυσικά. Η μαθηματική επεξεργασία είναι η ακόουθη: Σε μια τυχαία θέση το σώμα δέχεται δύο δυνάμεις στον άξονα της κίνησης, τη δύναμη του εατηρίου και τη δύναμη της τριβής που είναι και οι δύο αντίθετες στην ταχύτητα. Επομένως θα έχουμε: ma = kx T T = µmg a = d2 x dt 2 m d2 x dt 2 + kx = µmg d2 x dt 2 + k x = µg (7) m Η εξίσωση αυτή είναι μια μη ομογενής διαϕορική εξίσωση. Η ύση της είναι ένα άθροισμα της ομογενούς και μια μερικής ύσης (που εδώ επειδή ο παράγοντας που μετατρέπει την εξίσωση σε μη ομογενή είναι σταθερός θα είναι μια σταθερά C). Η ύση της ομογενούς εξίσωσης είναι η γενική ύση μιας αμείωτης αρμονικής ταάντωσης. Συνεπώς: d 2 x dt 2 + k m x = µg k ω = m x = Aηµ(ωt + ϕ) + C ω 2 Aηµ(ωt + ϕ) + ω 2 Aηµ(ωt + ϕ) + ω 2 C = µg C = µg ω 2 (8) Επομένως η ύση του προβήματος θα είναι x = Aηµ(ωt + ϕ) µg ω 2 x = x + µg ω 2 x + µg ω 2 = Aηµ(ωt + ϕ) x = Aηµ(ωt + ϕ) (9)

8 που είναι μια εξίσωση αρμονική αμείωτης ταάντωσης με ααγμένη τη θέση ισορροπίας (όπως θα ϕανεί ξεκάθαρα και στη υκειακή μεέτη που θα παρουσιάσουμε πιο κάτω). Παρατηρηση:Και αν κάποιος αμϕιβάει ότι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση για την οποία υπάρχει τριβή οίσθησης μπορούμε να ορίσουμε δυναμική ενέργεια, θυμίζουμε ότι για να ορισθεί δυναμική ενέργεια θα πρέπει ο στροβιισμός της δύναμης να είναι μηδενικός. Εδώ η δύναμη της ταάντωσης είναι F = m a. Συνεπώς F = ( F z y F y z)ˆx + ( F x z F z x)ŷ + ( F y x F x y)ẑ F = F xˆx F = 0 (10) Συνεπώς μπορεί να ορισθεί δυναμική ενέργεια U από τη σχέση: συνηθισμένη περίπτωση. F = U όπως ακριβώς και στη Κάποιος μπορεί να αναρωτηθεί πως μπορεί η κίνηση να είναι τμήμα αμείωτης ταάντωσης τη στιγμή που η τριβή καταναώνει έργο. Μα και στο πρώτο τέταρτο μιας κατακόρυϕης ταάντωσης στην οποία η ϕορά της ταχύτητας είναι προς τα πάνω το βάρος καταναώνει έργο ( το οποίο βέβαια επιστρέϕει στο επόμενο τέταρτο). Στη συγκεκριμένη περίπτωση καθώς μεετάμε μόνο ένα τμήμα της ταάντωσης δεν υπάρχει αυτή η επιστροϕή του έργου αά αυτό δεν επηρεάζει το γεγονός πως η κίνηση είναι τμήμα μιας τέτοιας ταάντωσης. Επίσης δεν πρέπει να ξεχνάμε πόσες ϕορές έχει χρησιμοποιήσει ο μαθητής τη διατήρηση της ενέργειας σε τέτοια τμήματα ταανωσεων (πχ. υποογισμός πάτους από τη Θέση Ισορροπίας μέχρι την Πρώτη Θέση Μέγιστης Απομάκρυνσης) χωρίς να μας απασχοεί ότι σε αυτό το τέταρτο της ταάντωσης το έργο του βάρους είναι καταναισκώμενο. Κάποιος άος συνάδεϕος μπορεί να αναρωτηθεί πως θα το καταάβει ένας μαθητής ότι είναι ταάντωση χωρίς να ύσει τις διαϕορικές εξισώσεις. Ο μαθητής μπορεί να χρησιμοποιήσει τα εργαεία που ξέρει για τις κατακόρυϕες τααντώσεις μέσα σε πεδίο βαρύτητας. Η θέση Β είναι η θέση κρούσης, η θέση Δ είναι η θέση ισορροπίας και η θέση Γ είναι μια τυχαία θέση. Στη θέση ισορροπίας: T = F ϵ T = µmg F ϵ = kx 0 x 0 = µmg l (11)

9 Στην τυχαία θέση: F ϵ,1 = k(x x 0 ) Τ F ε x k T = µmg F = kx (12) B k F = (T + Fϵ,1 ) Επομένως το σώμα για αυτό το τμήμα της κίνησης του εκτεεί ταάντωση με σταθερά k. x 0 F ε,1 Τ Γ k Στη συνέχεια ο μαθητής αϕού έχει αποδείξει ότι το σώμα γι αυτό και μόνο το τμήμα της τροχιάς του εκτεεί Απή Αρμονική Ταάντωση με σταθερά k μπορεί να υποογίσει το πάτος της ταάντωσης με την διατήρηση της ενέργειας (παρατηρώντας ότι αρχικά το σώμα απέχει x 0 από τη θέση κρούσης). Επομένως: Το ζητούμενο μέγεθος είναι (m + M)V 2 2 + kx2 0 2 = ka2 2 A 1 = A x 0 Θεωρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις που αναϕέραμε παραπάνω οι ύσεις που έδωσαν οι μαθητές είναι απόυτα σύμϕωνες με τις γνώσεις που το αναυτικό πρόγραμμα απαιτεί από αυτούς να έχουν καθώς και με την εκπαίδευση που έαβαν μέσα στο Λύκειο και γι αυτό και θεωρούμε ότι δεν πρέπει να τιμωρηθούν βαθμοογικά. Σ. Ασημακόπουος Μ. Βαβάσης Β. Καράβοας Σ. Κοκκωνάκης Γ. Παυικάκης Κ. Τσεϕαάς