ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.



Σχετικά έγγραφα
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

βασικές έννοιες (τόμος Β)

(elementary graph algorithms)

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

Γράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Γραφήματα. Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Βασικές Δοµές Δεδοµένων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

1 (6) 9 (6) 2 (3) 10 (9) 3 (6) 11 (6) 4 (8) 12 (6) 5 (6) 13 (8) 6 (5) 14 (6) 7 (6) 15 (11) 8 (8)

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

x (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Μαθηματικά Πληροφορικής

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Κατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Μαθηματικά Πληροφορικής

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

jτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. ver. 21/12/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017

Συνεκτικότητα Γραφήματος

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Ισομορφισμός γράφων: Μία σχέση ισοδυναμίας μεταξύ γράφων.

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Transcript:

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών. Κάθε ακμή συνδέει δύο κορυφές, που δεν είναι απαραίτητο να είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Γειτονικές ή Γειτονικές Adjacent διαδοχικές κορυφές, vertices κορυφές, 11 96 Ανακύκλωση, 96 Βρόχος, 11 Loop Παράλληλες Παράλληλες, Parallel ακμές, 96 πολλαπλές edges ακμές, 11 Πλήρες Πλήρης γρά- Complete Παράδειγμα K 4 : γράφημα, K ν φος ή κλίκα, K n graph 98 17 Διχοτομίσιμο Διμερής Bipartite γράφημα, γράφος, 98 19 Τα δύο σύνολα ανεξαρτησίας αποτελούν οι 3 κορυφές στα αριστερά και οι δύο κορυφές στα δεξιά του γραφήματος αντίστοιχα. Πλήρες και Πλήρης διμερής Complete Παράδειγμα K 3,2 διχοτομίσιμο γράφος and Bipartite γράφημα, K ν,μ 99-1-

Συνδεόμενο Συνδεδεμένος Connected Χρησιμοποιείται συχνά και ο όρος συνεκτικό γράφημα, γράφος, γράφημα. Παραδείγματα: 102 25 Συνεκτικό Μη συνεκτικό Μη συνεκτικό γράφημα γράφημα γράφημα Μονοπάτι, Διαδρομή, Path Ακολουθία από εναλλασσόμενες κορυφές και 101 46 ακμές. Παρά το γεγονός ότι στον τόμο Α (Η διαδρομή στο βιβλίο αναφέρεται για πρώτη φορά στη 24, δεν ορίζεται χρησιμοποιείται ο όρος path, o πλέον δόκιμος αγγλικός όρος για τη διαδρομή είναι walk ή trail. Ο όρος path χρησιμοποιείται για διαδρομές χωρίς επαναλαμβανόμενες ακμές (αυτό που στον Τόμο Β, 46 ορίζεται σαν μονοκονδυλιά). όμως αυστηρά στο σημείο αυτό) Απλό Μονοπάτι, Simple path Ακολουθία από εναλλασσόμενες κορυφές και μονοπάτι, 46 ακμές σε ένα γράφημα, χωρίς 103 επαναλαμβανόμενη κορυφή. Θα πρέπει να προσέξουμε ότι ο όρος μονοπάτι έχει διαφορετικές έννοιες στους δύο τόμους. Κύκλος, Κλειστή Cycle Ακολουθία από εναλλασσόμενες κορυφές και 103 μονοκονδυλιά, ακμές σε ένα γράφημα, χωρίς 47 επαναλαμβανόμενη ακμή όπου η αρχική και η τελική κορυφή συμπίπτουν. Απλός κύκλος, 103 Κύκλος, 47 Simple cycle Ακολουθία από εναλλασσόμενες κορυφές και ακμές σε ένα γράφημα, χωρίς επαναλαμβανόμενη κορυφή (άρα και χωρίς επαναλαμβανόμενη ακμή), εκτός από την αρχική και τελική κορυφή που συμπίπτουν. -2-

Κύκλος του Ευληριανή Euler cycle Στον ορισμό 2.21, τόμος Β, 239, να Euler, περιοδεία, προστεθεί η φράση «και κάθε κορυφή του 107 240 γράφου». Έτσι συμπεριλαμβάνεται η περίπτωση γράφου με απομονωμένη κορυφή ο οποίος δεν έχει κύκλο Euler. Μητρώο Πίνακας Adjacency Υπάρχει μια μικρή διαφοροποίηση ανάμεσα σύνδεσης, γειτνίασης, matrix στους δύο τόμους στην περίπτωση μη απλών 130 26 γραφημάτων που περιλαμβάνουν παράλληλες ακμές. Σύμφωνα με τον τόμο Α τα στοιχεία του πίνακα που αντιστοιχούν σε ζεύγη κορυφών που συνδέονται με παράλληλες ακμές λαμβάνουν την τιμή 1, ενώ σύμφωνα με τον τόμο Β λαμβάνουν σαν τιμή την πολλαπλότητα της ακμής. Αναφέρεται όμως στον τόμο Α μια επέκταση του ορισμού ( 131) που τελικά συμπίπτει με τον ορισμό του τόμου Β Πίνακας Πίνακας Incidence Ο πίνακας πρόσπτωσης ορίζεται στον τόμο Β εφαπτόμενων πρόσπτωσης, matrix και για κατευθυνόμενα γραφήματα ακμών, 27 133 Ισόμορφα Ισομορφικοί Isomorphic Τα παρακάτω γραφήματα είναι γραφήματα, γράφοι, 29 graphs ισόμορφα, αφού με κατάλληλη αρίθμηση των 136 κορυφών τους αντιστοιχούν στο ίδιο ακριβώς μητρώο σύνδεσης Δέντρο με Ριζωμένο δέ- Rooted tree ρίζα, 154 ντρο, 214 Επίπεδο Βάθος Level Η έννοια ορίζεται μόνο σε δέντρα με ρίζα. κορυφής δέντρο, 155 σε κορυφής, 218 Με ρίζα την κορυφή Α, η κορυφές Β,C έχουν επίπεδο κορυφής A B (βάθος) 1 και 2 αντίστοιχα. C Συγγενείς, Αμφιθαλείς, Relatives Συχνά χρησιμοποιείται και ο αγγλικός όρος 156 218 siblings. -3-

Τερματική Φύλλο, Terminal Στον τόμο Β ένα δένδρο με ρίζα είναι κορυφή ή 134, 219. vertex κατευθυντικό γράφημα. Γενικά τα φύλλα φύλλο, αντιστοιχούν σε κορυφές βαθμού 1. Σε ένα 156 δέντρο χωρίς ρίζα, φύλλο είναι κάθε κορυφή βαθμού 1. Σε ένα δέντρο με ρίζα, φύλλο είναι κάθε κορυφή που αποτελεί το τέρμα ενός μεγιστοτικού μονοπατιού που ξεκινάει από τη ρίζα. Με άλλα λόγια, σε ένα δέντρο με ρίζα, φύλλο είναι κάθε κορυφή βαθμού ένα εκτός από την ίδια τη ρίζα αν αυτή έχει βαθμό 1. Το παρακάτω λοιπόν δέντρο έχει δύο φύλλα αν θεωρηθεί δέντρο χωρίς ρίζα. Αν θεωρηθεί ως δέντρο με ρίζα, τότε αν επιλεγεί σαν ρίζα μια από τις κορυφές με βαθμό 1 έχει ένα φύλλο, ενώ αν επιλεγεί σαν ρίζα μια από τις κορυφές με βαθμό 2, έχει δύο φύλλα. Συνδετικό Γεννητορικό Spanning δέντρο επικαλύπτον ή δέντρο, 134 tree Στο γράφημα δέντρο, 162 τα παρακάτω δέντρα αποτελούν συνδετικά δέντρα -4-

ΑΛΛΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Κύκλος Hamilton, 94 Hamilton cycle Κύκλος του γραφήματος που περιέχει κάθε κορυφή ακριβώς μία φορά. Έχει κύκλο Hamilton Δεν έχει κύκλο Hamilton Επίπεδο γράφημα, Planar graph 140 Το γράφημα στα αριστερά είναι επίπεδο γράφημα αφού μπορεί να αποτυπωθεί με τη μορφή που φαίνεται στα δεξιά στην οποία δεν υπάρχει τομή μεταξύ ακμών Όψεις, 141 Ομοιομορφικά γραφήματα, 145 Views Homeomorphic graphs Μη επίπεδο γράφημα Ο πιο δόκιμος αγγλικός όρος για τις όψεις είναι faces. Στο παραπάνω επίπεδο γράφημα υπάρχουν τέσσερις όψεις βαθμού 3 (συμπεριλαμβανομένης της εξωτερικής όψης). -5-

Aυτομορφισμός, 39 Γράφημα μεταβατικό κατά τις κορυφές του, 44 Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα, 37 Αutomorphism Vertex transitive graph Self complementary graph Ο αυτομορφισμός ορίζεται σε ένα γράφημα και όχι σε δύο όπως ο ισομορφισμός. Παράδειγμα K 4 : όπου οποιαδήποτε μετάθεση των κορυφών αποτελεί αυτομορφισμό, δηλαδή ισομορφικό σε σχέση με το πρώτο. Παράδειγμα K 4 : Όπου για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει αυτομορφισμός που απεικονίζει την πρώτη στη δεύτερη. -6-