ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013

Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου προπτυχιακού εξαµήνου του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων κατά το χειµερινό εξάµηνο 2012-13. Περιέχουν κατά το µάλλον ή ήττον την ύλη που διδάσκεται όπως αυτή αναφέρεται στον Οδηγό Σπουδών 2012-13 του Τµήµατος. Επειδή γράφονται παράλληλα µε την διδασκαλία του µαθήµατος, και αποσκοπούν σε πρώτη ϕάση στο να παράσχουν στο ϕοιτητή µια επίσηµη καταγραφή της ύλης που διδάσκεται, είναι προφανέστατα ΑΤΕΛΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ µέχρι να ολοκληρωθούν (σε όποια µορφή), δηλ. ΟΣΟ ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ Κατά το τρέχον εξάµηνο ϑα αναρτώνται στο διαδίκτυο σε συνεχείς (όσο το δυνατό λιγότερες) εκδόσεις, η ηµεροµηνία των οποίων ϑα αναγράφεται στον τίτλο τους και ο αριθµός έκδοσης σε αυτόν του αρχείου, και στις οποίες οι κυριώτερες συµπληρώσεις, διορθώσεις, αναδιατάξεις, αλλαγές του κειµένου µιας προηγούµενης έκδοσης ϑα εµφανίζονται σε διαφορετικό χρώµα. Ο συγγραφέας επιφυλλάσεται για µια µελλοντική ουσιαστική αναθεώρησή τους. Γ. Γιαννούλης Ιωάννινα, ηµεροµηνία τίτλου Η 2. έκδοση (13.1.2013) δεν περιέχει όλες τις ασκήσεις, παραδείγµατα και πα- ϱατηρήσεις που διαπραγµατεύτηκαν στο µάθηµα. Για την προετοιµασία για την εξέταση της 1.2.2013 συνιστάται η λύση των ασκήσεων των Κεφαλαίων 1-4 του ϐι- ϐλίου Marsden-Tromba, ιανυσµατικός Λογισµός, ΠΕΚ, 2011, εκτός αυτών που στη- ϱίζονται σε έννοιες οι οποίες δεν εισήχθησαν στο µάθηµα (π.χ. διάφορες έννοιες των Φυσικών Επιστηµών), χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι η εξέταση ϑα περιλαµβάνει µόνο τέτοιου είδους ασκήσεις. Επισηµαίνουµε ϱητά ότι όλη η ϐασική ϑεωρία του µαθήµατος περιέχεται στις παρούσες σηµειώσεις καθώς και ότι ως εξεταστέα ύλη νοείται η ύλη που διδάχθηκε στο µάθηµα. 2

Περιεχόµενα 1 Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R n 5 1.1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ............................ 5 1.2 ΓΕΩΜΕΤΡ. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ...................... 9 1.3 ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ....................... 10 1.4 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R n......................... 14 2 ΣΥΝΕΧΕΙΑ 19 2.1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..................... 19 2.2 ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ................. 22 2.3 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.............. 25 2.4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.................... 28 2.5 ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ................. 29 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 3.1 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ.......................... 33 3.2 ΜΕΡ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ. ΤΑΞΗΣ.................... 39 3.3 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..................... 44 3.4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ........................ 55 3.5 ΠΑΡΑΓΩΓ. ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ..................... 60 3.6 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ......................... 66 3.7 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΝ R N.......................... 72 3.8 ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR.......................... 86 3.9 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ........................... 91 3.10ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..................... 97 3.11ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..................... 106 3.12ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ....................... 108 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4

Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι καταρχήν ο διανυσµατικός χώρος (συντεταγµένων) διάστασης n N, πάνω από το σώµα των πραγµατικών αριθµών R ο οποίος έχει ως στοιχεία του τα διανύσµατα x = (x 1,..., x n ) µε συντεταγµένες x i R, i = 1,..., n, ως προς την συνήθη ϐάση ē 1 := (1,..., 0),..., ē n := (0,..., 1). Αυτό σηµαίνει ότι ο R n έχει όλες τις γνωστές από την Γραµµική Αλγεβρα ιδιότητες των διανυσµατικών χώρων. Πιο συγκεκριµένα, στον R n ως διανυσµατικό χώρο ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης + : R n R n R n και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού : R R n R n ως εξής x + ȳ := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) R n x = (x 1,..., x n ), ȳ = (y 1,..., y n ) R n, (1.1) α x := (αx 1,..., αx n ) R n x = (x 1,..., x n ) R n, α R, (1.2) όπου x i + y i R, αx i R, i = 1,..., n, είναι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού στο σώµα των πραγµατικών αριθµών R. Για τις πράξεις (1.1), (1.2) ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων στους διανυσµατικούς χώρους, δηλαδή, εκτός από την κλειστότητά τους, ισχύουν ως προς την πρόσθεση (α ) η προσεταιριστικότητα : x + (ȳ + z) = ( x + ȳ) + z x, ȳ, z R n, (ϐ ) η αντιµεταθετικότητα : x + ȳ = ȳ + x x, ȳ R n, (γ ) η ύπαρξη ουδετέρου : 0 := (0,..., 0) R n x R n : 0 + x = x, (δ ) η ύπαρξη αντιθέτου : x = (x 1,..., x n ) R n x := ( x 1,..., x n ) R n : x + x = 0, 5

1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό (α ) η ύπαρξη ουδετέρου : 1 x = x x R n (ϐ ) η συµβατότητα µε τον πολλαπλασιασµό στο R: α(β x) = (αβ) x α, β R, x R n, ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό (α ) η επιµεριστικότητα του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση : α( x + ȳ) = α x + αȳ x, ȳ R n, α R, (ϐ ) η επιµεριστικότητα της πρόσθεσης στο R ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό : (α + β) x = α x + β x α, β R, x R n. Στον R n ορίζεται το εσωτερικό γινόµενο x ȳ := n x i y i x = (x 1,..., x n ), ȳ = (y 1,..., y n ) R n, (1.3) i=1 µια απεικόνιση (πράξη) από το R n R n στο R, καθιστώντας τον έναν διανυσµατικό χώρο µε εσωτερικό γινόµενο, για το οποίο ισχύουν οι εξής ιδιότητες : η συµµετρία : x ȳ = ȳ x x, ȳ R n η γραµµικότητα (ως προς το πρώτο όρισµα): (α x) ȳ = α( x ȳ) και ( x + ȳ) z = x z + ȳ z α, β R, x, ȳ R n το ϑετικά ορισµένο : x x 0 x R n µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x = 0 R n. Το ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες απορρέει από τους ορισµούς των πράξεων της πρόσθεσης (1.1), του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού (1.2), και του εσωτε- ϱικού γινοµένου (1.3) στον R n και τις ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού στο σώµα των πραγµατικών αριθµών R. Η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση. Λόγω της ιδιότητας του ϑετικά ορισµένου του εσωτερικού γινοµένου (1.3) µπορεί να ορισθεί η Ευκλείδεια στάθµη ή νόρµα (ή µήκος) ενός διανύσµατος x R n x := x x = n x 2 i 0 x Rn, (1.4) i=1 όπου α η πραγµατική (µη αρνητική) ϱίζα ενός µη αρνητικού πραγµατικού αριθµού α, η οποία για n = 1 ταυτίζεται µε την απόλυτη τιµή x ενός πραγµατικού αριθµού x R 1 = R, και οι οποία, όπως κάθε στάθµη ενός διανυσµατικού χώρου, είναι µια απεικόνιση : R n R µε τις ακόλουθες ιδιότητες : 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ ϑετικότητα : x 0 x R n µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x = 0 R n, α x = α x α R, x R n, τριγωνική ανισότητα : x + ȳ x + ȳ x, ȳ R n Ο εφοδιασµός ενός διανυσµατικού χώρου µε εσωτερικό γινόµενο x ȳ µε την στάθµη x 2 = x x τον καθιστά έναν σταθµητό (διανυσµατικό) χώρο ή (διανυσµατικό) χώρο µε νόρµα, ο οποίος πέραν των πιο πάνω ιδιοτήτων της στάθµης και του εσωτερικού γινοµένου έχει και τις ακόλουθες ιδιότητες : Πρόταση 1.1.1. Για x, ȳ R n ισχύουν : (α ) η ανισότητα Cauchy-Schwarz: x ȳ x ȳ µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν τα x, y είναι γραµµικά εξαρτηµένα (δηλ. (α, β) R 2 \{0} : α x+βȳ = 0). (ϐ ) ο κανόνας του παραλληλογράµµου: 2 x 2 + 2 ȳ 2 = x + ȳ 2 + x ȳ 2 (γ ) η ταυτότητα της πόλωσης: 4 x ȳ = x + ȳ 2 x ȳ 2 Απόδειξη. Αφήνονται ως ασκήσεις. Με την ϐοήθεια της Ευκλείδειας στάθµης µπορεί να ορισθεί η απόσταση (µεταξύ) δύο διανυσµάτων του R n d( x, ȳ) := x ȳ x, ȳ R n. (1.5) Η απόσταση είναι µια µετρική, δηλαδή µια απεικόνιση d : R n R n R µε τις ιδιότητες συµµετρία : d( x, ȳ) = d(ȳ, x) x, ȳ R n ϑετικότητα : d( x, ȳ) 0 x, ȳ R n µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν x = ȳ, τριγωνική ανισότητα : d( x, ȳ) d( x, z) + d( z, ȳ) x, ȳ, z R n Ο R n είναι δηλαδή ένας µετρικός χώρος, µε ότι αυτό συνεπάγεται. Ο εφοδιασµός του διανυσµατικού χώρου (συντεταγµένων) R n µε το εσωτερικό γινόµενο (1.3), την στάθµη (1.4) και την απόσταση (1.5) ορίζει τον R n ως τον n- διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Α 1. Να αποδείξετε ότι µέσω των x 1 := n i=1 x i καί x := max{ x 1,..., x n }, x = (x 1,..., x n ) R n, ορίζονται στάθµες στον R n, οι οποίες είναι ισοδύναµες µε την Ευκλείδεια στάθµη (1.4) x (=: x 2 ), και ειδικότερα x R n ισχύουν x x 1 n x, (1.6) x x 2 n x, (1.7) 1 x 2 x 1 n x 2. n (1.8) 7

1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N Να σχεδιάσετε στο επίπεδο τα σύνολα { x R 2 : x = 1}, { x R 2 : x 1 = 1} και { x R 2 : x = 1}. (Γενικά, δύο στάθµες i, i = 1, 2, ενός σταθµητού διανυσµατικού χώρου X ονοµάζονται ισοδύναµες αν c, C > 0 x X : c x 2 x 1 C x 2 και αποδεικνύεται ότι σε έναν σταθµητό διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης διάστασης όλες οι στάθµες είναι ισοδύναµες.) Λύση : i = 1,..., n : x i x x 2 i x 2 και άρα x 1 = n i=1 x i n x και x 2 = x 2 2 = n i=1 x2 i n x 2 x = x 2 n x. Απ την άλλη, j {1,..., n} : x j = x και άρα x 1 = n i=1 x i x j = x και x 2 = x 2 2 = n i=1 x2 i x2 j = x 2 x = x 2 x. ΣΧΗΜΑΤΑ Α 2. (α ) Να δειχθεί ότι x + ȳ 2 = x 2 + ȳ 2 ανν (: αν και µόνο αν) x ȳ = 0. Πώς ονοµάζεται αυτή η σχέση στην Γεωµετρία; Λύση : x + ȳ 2 = ( x + ȳ) ( x + ȳ)[= x ( x + ȳ) + ȳ ( x + ȳ) = ( x + ȳ) x + ( x + ȳ) ȳ = x x + ȳ x + x ȳ + ȳ ȳ] = x 2 + ȳ 2 + 2 x ȳ = x 2 + ȳ 2 ανν x ȳ = 0 : x, ȳ R n κάθετα. Η σχέση αυτή είναι το Πυθαγώρειο Θεώρηµα. ΣΧΗΜΑ (ϐ ) Να αποδείξετε και να ερµηνεύσετε γεωµετρικά τον κανόνα του παραλληλογράµ- µου και την ταυτότητα της πόλωσης (ϐλ. Πρόταση 1.1.1, (2) και (3)). (γ ) Πότε ισχύει για µια στάθµη που επάγεται από εσωτερικό γινόµενο; x + ȳ = x + ȳ (1.9) Λύση : Αν κάποιο από τα δύο διανύσµατα x, ȳ είναι το µηδενικό, τότε προφανώς η ισότητα (1.9) ισχύει. Εστω τώρα x, ȳ 0. Τότε (1.9) x+ȳ 2 = ( x + ȳ ) 2 x 2 + ȳ 2 +2 x ȳ = x 2 + ȳ 2 +2 x ȳ x ȳ = x ȳ x ȳ = x ȳ και άρα σύµφωνα µε την ανισότητα Cauchy-Schwarz (ϐλ. Πρόταση 1.1.1, (1)) τα x, ȳ ϑα είναι γραµµικά εξαρτηµένα, δηλ. (α, β) R 2 \ {0} : α x + βȳ = 0, και αφού x, ȳ 0 έχουµε αβ 0 και ȳ = λ x µε λ = α β 0. Τότε (1.9) λ x 2 = x ȳ λ = ȳ x > 0, δήλ. τα x, ȳ ϑα πρέπει να είναι οµόρροπα. (δ ) Να δειχθεί ότι x ȳ x + ȳ x, ȳ R n. Πότε ισχύει η ισότητα; Λύση : x ȳ = x + ( ȳ) x + ( ȳ) = x + ȳ και σύµφωνα µε την Άσκηση 2, (γ ), η ισότητα ισχύει όταν τα x, ȳ είναι οµόρροπα, δηλ. όταν τα x, ȳ είναι αντίρροπα. (ε ) Να δειχθεί ότι x ȳ x ȳ. Λύση : x = x ȳ + ȳ x ȳ + ȳ x ȳ x ȳ και ανάλογα ȳ = ȳ x + x ȳ x + x ȳ x ȳ x = x ȳ. Άρα ±( x ȳ ) x ȳ x ȳ x ȳ. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.2. ΓΕΩΜΕΤΡ. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 1.2 Γεωµετρική αναπαράσταση του R 3 Ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος R n στις διαστάσεις n = 1, 2, 3 µπορεί να αναπαρασταθεί ή να ταυτιστεί γεωµετρικά µε την ευθεία, το επίπεδο και τον (τρισδιάστατο) χώρο, αντίστοιχα, µέσω της εισαγωγής Καρτεσιανών συστηµάτων συντεταγµένων (ή αναφοράς). Εισάγωντας π.χ. στον ϕυσικό χώρο R 3 ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων µπορούµε να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο (x 1, x 2, x 3 ) R 3 το διάνυσµα x = (x 1, x 2, x 3 ) του διανυσµατικού χώρου R 3. ΣΧΗΜΑ Ετσι, στα πλαίσια της Αναλυτικής Γεωµετρίας, µπορούµε να αναπαραστήσου- µε πολλά γεωµετρικά αντικείµενα του R 3 αλγεβρικά, και αντίστροφα ϐλέπουµε ότι τα περισσότερα από τα αλγεβρικά αντικείµενα που ορίσαµε πιο πάνω έχουν µια γεωµετρική ερµηνεία, όπως π.χ. η έννοια του µήκους x (1.4) ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 πού δίνει την απόσταση d( x, 0) = x 0 = x του σηµείου (x 1, x 2, x 3 ) από το σηµείο αναφοράς 0 R 3, όπως και γενικότερα η έννοια της απόστασης d( x, ȳ) = x ȳ (1.5) που δίνει την απόσταση (µεταξύ) δύο σηµείων x = (x 1, x 2, x 3 ) και ȳ = (y 1, y 2, y 3 ) του χώρου R 3. Το εσωτερικό γινόµενο x ȳ δίνει για δύο µη µηδενικά διανύσµατα x, ȳ 0 R 3 ( x, ȳ 0 R) το συνηµίτονο της γώνιας ϑ που σχηµατίζουν : cos ϑ = x ȳ x ȳ ΣΧΗΜΑΤΑ Ενας µονοδιάστατος υπόχωρος x := {α x : α R} που παράγεται από ένα µη µηδενικό διάνυσµα x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 σχηµατίζει γεωµετρικά την ευθεία στον χώρο που περνάει από το σηµείο αναφοράς 0 και το σηµείο (x 1, x 2, x 3 ), ενώ ο δισδιάστατος υπόχωρος x, ȳ := {α x + βȳ : α, β R} που παράγεται από δύο γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα x = (x 1, x 2, x 3 ), ȳ = (y 1, y 2, y 3 ) παριστάνεται από το επίπεδο που περιέχει τα σηµεία 0, (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ). ΣΧΗΜΑΤΑ Ειδικότερα, οι υπόχωροι ē i, i = 1, 2, 3, δίνουν τους άξονες του συστήµατος συντεταγµένων 0x i και οι υπόχωροι ē i, ē j i, j = 1, 2, 3, i < j, τα επίπεδα 0x i x j, αντίστοιχα. Τέλος, µε την ϐοήθεια της απόστασης ορίζονται η ανοικτή και η κλειστή µπάλα και η σφαίρα ακτίνας r > 0 και κέντρου x στον R n ως αντίστοιχα. B( x, r) := {ȳ R n : x ȳ < r}, (1.10) B( x, r) := {ȳ R n : x ȳ r}, (1.11) B( x, r) := {ȳ R n : x ȳ = r}, (1.12) Παρατηρηση 1. Να προσεχθεί ότι οι ανοικτές και κλειστές µπάλες και οι σφαίρες έχουν πάντα ϑετική ακτίνα r > 0. 9

1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.3 Τοπολογικές ιδιότητες Μετά από τις αλγεβρικές-γεωµετρικές ιδιότητες του R n ϑα αναφερθούµε τώρα στις τοπολογικές του ιδιότητες οι οποίες σχετίζονται άµεσα µε την έννοια του ορίου (πραγ- µατικών ή διανυσµατικών) ακολουθιών και συναρτήσεων ορισµένων σε ένα υποσύνολο U του R n, συµβολικά U R n. Οι ιδιότητες που ϑα εξετάσουµε στηρίζονται στην έννοια της µετρικής d που ορίστηκε στον R n µέσω της (1.5) και άρα συνιστούν α- πλά εφαρµογές των τοπολογικών ιδιοτήτων όπως αυτές εξετάζονται στην Τοπολογία (µετρικών χώρων) για µια γενική µετρική d. Ετσι ότι ισχύει γενικά για µετρικούς χώρους ισχύει και για τον R n. Με την ϐοήθεια της έννοιας της ανοικτής µπάλας που ορίσαµε πιο πάνω, (1.10), µπορούµε να ορίσουµε τα ανοικτά και κλειστά υποσύνολα του R n στα οποία εδράζονται οι τοπολογικές του ιδιότητες. Ορισµός 1.3.1. Ενα υποσύνολο U R n ονοµάζεται (α ) ανοικτό, αν για κάθε x 0 U υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B( x 0, ε) U, (ϐ ) κλειστό, αν το R n \ U είναι ανοικτό. Πρόταση 1.3.1. Κάθε ανοικτή µπάλα B( x 0, r) = x R n : x x 0 < r, x 0 R n, r > 0, είναι ανοικτό υποσύνολο του R n. Απόδειξη. Εστω x B( x 0, r). Τότε x 0 x < r, δηλ. ε > 0 : x 0 x = r ε. Αλλά τότε, ȳ B( x, ε) : ȳ x 0 x x 0 + x ȳ < r ε + ε = r, δηλ. ȳ B( x 0, r), και άρα B( x, ε) B( x 0, r). Συνεπώς για κάθε x B( x 0, r) υπάρχει µια ανοικτή µπάλα κέντρου x που ϐρίσκεται µέσα στο B( x 0, r), και άρα το τελευταίο είναι ανοικτό. Πρόταση 1.3.2. Η ένωση µιας οικογένειας ανοικτών υποσυνόλων του R n και η τοµή ενός πεπερασµένου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων του R n είναι ανοικτά υποσύνολα του R n. Απόδειξη. Εστω x i I U i, U i ανοικτά για κάθε i I. Τότε υπάρχει i 0 I µε x U i0 και αφού το U i0 είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 µε B( x, ε) U i0 i I U i. Αφού αυτό ισχύει για κάθε x i I U i, το τελευταίο ϑα είναι ανοικτό. Εστω τώρα x k i=1 U i, U i ανοικτά για κάθε i = 1,..., k. Τότε, αφού x U i i = 1,..., k, υπάρχουν ε i > 0 τέτοια ώστε B( x, ε i ) U i. Άρα για ε := min ε i > 0 έχουµε B( x, ε) k i=1 U i. i=1,...,k Παρατηρηση 2. Η τοµή ενός άπειρου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων δεν είναι ανοικτό υποσύνολο του R n. Π.χ. τα ανοικτά υποσύνολα B( x 0, 1 n ) του Rn έχουν τοµή n=1 B( x 0, 1 n ) = { x 0} που δεν είναι ανοικτό υποσύνολο, αφού δεν υπάρχει ανοικτή µπάλα που να περιέχεται σε αυτό. Πρόταση 1.3.3. Η τοµή µιας οικογένειας κλειστών υποσυνόλων του R n και η ένωση ενός πεπερασµένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του R n είναι κλειστά υποσύνολα του R n. 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Ορισµός 1.3.2. Εστω U R n. Ενα σηµείο x R n λέγεται (α ) εσωτερικό σηµείο του U, αν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B( x, ε) U, (ϐ ) εξωτερικό σηµείο του U, αν το x είναι εσωτερικό σηµείο του R n \ U, (γ ) συνοριακό σηµείο του U, αν το x δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σηµείο του U, (δ ) σηµείο συσσώρευσης (ή οριακό σηµείο) του U, αν ε > 0 : U B( x, ε) \ { x 0 }, (ε ) µεµονωµένο σηµείο του U, αν ε > 0 : U B( x, ε) = { x} Παρατηρηση 3. Προσοχή! εν πρέπει να συγχέονται οι έννοιες του συνοριακού σηµείου (boundary point) και του οριακού σηµείου (limit point). (Γι αυτό είναι προτιµότερο το αναφερόµαστε στο τελευταίο ως σηµείο συσσώρευσης (accumulation point).) Π.χ. το µονοσύνολο U = { x} R n έχει ως µοναδικό συνοριακό σηµείο το σηµείο x αλλά είναι µεµονωµένο σηµείο, δηλ. δεν είναι σηµείο συσσώρευσης. ( Ενα µεµονωµένο σηµείο (isolated point) είναι πάντα συνοριακό σηµείο.) Επίσης ένα σηµείο συσσώρευσης µπορεί να είναι εσωτερικό σηµείο, οπότε δεν είναι συνοριακό σηµείο. ΣΧΗΜΑΤΑ Ορισµός 1.3.3. Εστω U R n. (α ) Το σύνολο των εσωτερικών σηµείων του U λέγεται εσωτερικό του U και συµ- ϐολίζεται µε U, (ϐ ) Το σύνολο των συνοριακών σηµείων του U λέγεται σύνορο του U και συµβολιζεται µε U, (γ ) Η τοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων του R n που περιέχουν το U λέγεται το (τοπολογικό) κάλυµµα (ή κλείσιµο) του U και συµβολίζεται µε Ū. Πρόταση 1.3.4. Το U R n είναι κλειστό ανν περιέχει κάθε σηµείο συσσώρευσής του. Απόδειξη. U κλειστό R n \ U ανοικτό x R n \ U ε > 0 : B( x, ε) R n \ U x R n \ U ε > 0 : B( x, ε) U = x R n \ U ε > 0 : B( x, ε) (U \ { x}) = x R n \ U : το x δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του U { x R n : x είναι σηµείο συσσώρευσης του U} U. 11

1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N Πρόταση 1.3.5. Εστω U R n. Τότε (α ) U Ū (ϐ ) Ū είναι κλειστό (γ ) U = Ū U είναι κλειστό (δ ) x Ū x U ή το x είναι σηµείο συσσώρευσης του U Απόδειξη. (α ) Εστω x U. Τότε x V για κάθε V U και άρα ειδικότερα x V για κάθε κλειστό V U. Συνεπώς το x περιέχεται και στην τοµή όλων των κλειστών V U. (ϐ ) Το Ū είναι κλειστό ως η τοµή της οικογένειας όλων των κλειστών υποσυνόλων του R n που περιέχουν το U, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.3. (γ ) : Προκύπτει από το 2. : U Ū σύµφωνα µε το 1 και Ū U, αφού το U ως κλειστό υποσύνολο που περιέχει το U ϑα περιέχει την τοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων που περιέχουν το U. (δ ) : Αν x U δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε, αν x R n \ U δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του U τότε υπάρχει ε > 0 µε B( x, ε) U = ή ισοδύναµα U R n \B( x, ε). Αλλά το τελευταίο αυτό υποσύνολο είναι κλειστό και περιέχει το U. Συνεπώς Ū Rn \ B( x, ε), που σηµαίνει x Ū, άτοπο. : Αν x U, τότε x Ū από το 1 ενώ αν x Rn \U είναι σηµείο συσσώρευσης του U, τότε x Ū, γιατί αν ήταν x Rn \ Ū, αφού αυτό το υποσύνολο είναι ανοικτό σύµφωνα µε το 2, ϑα υπήρχε ε > 0 µε B( x, ε) R n \ Ū και άρα B( x, ε) R n \ U ή ισοδύναµα B( x, ε) U = που σηµαίνει ότι το x δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του U, άτοπο. Ορισµός 1.3.4. Το U R n λέγεται (α ) ϕραγµένο αν r > 0 : U B( 0, r), (ϐ ) συµπαγές αν είναι κλειστό και ϕραγµένο. Α 3. Αν U := B( x 0, r), x 0 R n, r > 0, να δείξετε ότι U = U, Ū = B( x 0, r), όπως αυτό ορίστηκε στο (1.11), και U = B( x 0, r), όπως αυτό ορίστηκε στο (1.12). Απόδειξη. Αφού, όπως δείξαµε στην Πρόταση 1.3.1, το U είναι ανοικτό, κάθε σηµείο του είναι εσωτερικό σηµείο, σύµφωνα µε τους ορισµούς του ανοικτού υποσυνόλου και του εσωτερικού σηµείου. Άρα U U. Αφού απ την άλλη εξ ορισµού U U έχουµε συνολικά U = U. Θα δείξουµε τώρα ότι U = B( x 0, r) := { x R n : x x 0 = r}. Εστω x R n µε x x 0 r. Τότε ή x x 0 < r ή x x 0 > r. Στην πρώτη περίπτωση, x B( x 0, r) και άρα όπως είδαµε πιο πάνω το x είναι εσωτερικό σηµείο του U. Στην δεύτερη περίπτωση, ε > 0 : x x 0 = r + ε και άρα ȳ B( x, ε) : 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ȳ x 0 x x 0 x ȳ > (r + ε) ε = r, δηλ. B( x, ε) R n \ U, καί άρα το x είναι εξωτερικό σηµείο του U. Συνεπώς, τα x R n µε x x 0 r δεν είναι συνοριακά σηµεία του U. Απ την άλλη, αν x x 0 = r, τότε ε > 0 : x := x ε x x 0 2 x x B( x, ε) B( x 0 0, r) και x + := x+ ε x x 0 2 x x B( x, 0 ε) (Rn \B( x 0, r)), αφού x ± x = ε 2 και x ± x 0 = r ± ε 2. Συνεπώς, το x δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σηµείο του U και άρα σύµφωνα µε τον ορισµό είναι συνοριακό σηµείο του U. Τέλος, όπως µόλις είδαµε τα x U είναι σηµεία συσσώρευσης του U (αφού ε > 0 : x B( x, ε) B( x 0, r)), ενώ πιο πάνω είδαµε ότι τα σηµεία x R n µε x x 0 > r δεν είναι σηµεία συσσώρευσης (αφού ε > 0 : B( x, ε) U = ). Άρα, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5, 4, Ū = B( x 0, r) := { x R n : x x 0 r}. Α 4. Εστω U := { x = (x 1,..., x n ) R n : x n > 0}. Βρείτε τα U, Ū, U. Απόδειξη. Εστω x R n µε x = (x 1,..., x n 1, x n ) =: ( x, x n ), όπου x n > 0. Τότε η Ευκλείδεια απόσταση του x από το υποσύνολο U := { x R n : x n = 0} = R n 1 {0} είναι d( x, U ) := inf{d( x, ȳ) : ȳ U } := inf{ x ȳ : ȳ U } αφού για ȳ = (ȳ, y n ) U ȳ R n 1, y n = 0, έχουµε = min{ x ȳ : ȳ U } = x n = x n, x ȳ = ( x, x n ) ( x, y n ) = x ȳ 2 + (x n y n ) 2 = x ȳ 2 + x 2 n x n = ( x, x n ) ( x, 0) Συνεπώς z B( x, x n ) z x < x n έχουµε x n z n x n z n x z < x n και άρα z n > 0, δηλ. B( x, x n ) U. Ετσι έχουµε U U και αφού εξ ορισµού U U συνολικά U = U. Σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5,4 Ū = U { x R n : x είναι σηµείο συσσώρευσης του U}. Εστω ȳ = (ȳ, 0) U. Τότε ε > 0 : ȳ + ε 2ēn U B(ȳ, ε) \ {ȳ} = και άρα το ȳ είναι σηµείο συσσώρευσης του U. Εξ άλλου δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σηµείο του U. Απ την άλλη, για x = ( x, x n ) µε x n < 0 x n > 0 z B( x, x n ) z x < x n έχουµε z n x n x n z n x z < x n και άρα z n < 0, δηλ. B( x, x n ) R n \ U. Συνεπώς τα x = ( x, x n ) µε x n < 0 είναι εξωτερικά σηµεία και δεν είναι σηµεία συσσώρευσης. Άρα Ū = { x Rn : x n 0} και U = U. Α 5. Να δειχθεί ότι : U R n : U = Ū \ U. 13

1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.4 Ακολουθίες στον R n Οι ακολουθίες στον R n, συµβολικά ( x ν ) ν N R n ή απλούστερα ( x ν ) R n, ορίζονται εντελώς ανάλογα µε τις πραγµατικές ακολουθίες (x ν ) R και έχουν ως επί το πλείστον τις ίδιες ιδιότητες µε αυτές, που αποδεικνύονται πανοµοιότυπα, µε µόνη διαφορά την αντικατάσταση της απόλυτης τιµής στον R µε την Ευκλείδεια στάθµη στον R n. Οι περισσότερες αυτών των ιδιοτήτων δεν είναι καν χαρακτηριστικό των ακολουθιών στον R n αλλά ισχύουν όµοια και σε (πλήρεις) µετρικούς χώρους, αν αντικαταστήσουµε την απόσταση x ȳ δύο σηµείων στον R n µε την µετρική d(x, y) του µετρικού χώρου στον οποίο ϐρίσκονται οι εξεταζόµενες ακολουθίες. Το ϐασικότερο αποτέλεσµα που προκύπτει από την µελέτη των ακολουθιών στον R n είναι ότι κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει, το οποίο τον καθιστά έναν πλήρη µετρικό χώρο. Ειδικότερα, αφού ο R n είναι ένας σταθµητός χώρος, είναι τώρα ένας πλήρης σταθµητός χώρος, δηλαδή ένας χώρος Banach, και ακόµα ειδικότερα, αφού η στάθµη του επάγεται από ένα εσωτερικό γινόµενο, είναι τώρα ένας πλήρης χώρος µε εσωτερικό γινόµενο, δηλαδή ένας χώρος Hilbert. Η γενική ϑεωρία πλήρων χώρων µε νόρµα ή εσωτερικό γινόµενο είναι αντικείµενο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Ορισµός 1.4.1. Μια απεικόνιση ν N : ν x ν R n ονοµάζεται ακολουθία στον R n και συµβολίζεται µε ( x ν ) ν N R n ή πιο απλά ( x ν ) R n. Ορισµός 1.4.2. Μια ακολουθία ( x ν ) R n συγκλίνει στο x 0 R n ή έχει όριο το x 0 R n, συµβολικά x ν x 0 όταν ν ή απλούστερα x ν x 0, αν x ν x 0 0 στο R, δηλ. x ν x 0 : x ν x 0 0 ε > 0 ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν x 0 < ε. Πρόταση 1.4.1. Το όριο µιας συγκλίνουσας ακολουθίας ( x ν ) R n ορίζεται µονοσήµαντα και συµβολίζεται µε lim ν x ν. Απόδειξη. Εστω x ν x 0, x ν ȳ 0 µε x 0 ȳ 0, δηλ. x 0 ȳ 0 > 0. Τότε (για ε = x0 ȳ0 2 > 0) ν 1 N ν N, ν ν 1 : x ν x 0 < x 0 ȳ 0 2 ν 2 N ν N, ν ν 2 : x ν ȳ 0 < x 0 ȳ 0 2 και άρα ν N, ν max{ν 1, ν 2 }: x 0 ȳ 0 x 0 x ν + x ν ȳ 0 < x 0 ȳ 0 2 + x 0 ȳ 0 2 = x 0 ȳ 0, άτοπο. 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N Πρόταση 1.4.2. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία ( x ν ) R n είναι και ϕραγµένη, δηλ. r > 0 : ( x ν ) B( 0, r). Απόδειξη. Εστω x ν x 0. Τότε (για ε = 1) και, αφού x ν x ν x 0 + x 0, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν x 0 < 1 ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν < 1 + x 0. Άρα ν N : x ν max{ x 1,..., x ν0, 1 + x 0 } =: r 0 και συνεπώς για κάθε r > r 0 έχουµε το αποδεικτέο. Πρόταση 1.4.3. x ν = (x (1) ν,..., x (n) ν ) x 0 = (x (1) 0,..., x(n) 0 ) i = 1,..., n : x(i) ν x (i) 0 Απόδειξη. : Εστω ε > 0. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό της σύγκλισης ακολουθίας, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν x 0 < ε και αφού, σύµφωνα µε την ισοδυναµία (1.7), i = 1,..., n : x (i) ν x (i) 0 x ν x 0 x ν x 0, συνεπάγεται i = 1,..., n : ν 0 N ν N, ν ν 0 : x (i) ν x (i) 0 < ε. : Εστω ε > 0. Τότε i = 1,..., n ν i N ν N, ν ν i : x (i) ν x (i) 0 < ε n και άρα για ν 0 := max{ν 1,..., ν n } έχουµε από τον ορισµό της και την (1.7) ν N, ν ν 0 : x (i) ν x (i) 0 < ε i = 1,..., n x ν x 0 < ε x ν x 0 < ε. n n Θεώρηµα 1.4.4. (Bolzano-Weierstrass) Κάθε ϕραγµένη ακολουθία ( x ν ) R n έχει τουλάχιστον µια συγκλίνουσα υπακολουθία ( x kν ) ( x ν ). Απόδειξη. Αφού η ( x ν ) = ((x (1) ν τέτοιο ώστε,..., x (n) ν )) R n είναι ϕραγµένη, υπάρχει r > 0 i = 1,..., n : x (i) ν x ν < r ν N, δηλ. οι ακολουθίες (x (i) ν ) R είναι ϕραγµένες i = 1,..., n. Από το Θεώρηµα Bolzano-Weierstrass στον R γνωρίζουµε ότι για κάθε i = 1,..., n υπάρχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία της (x (i) ν ). Μπορούµε να κατασκευάσουµε µία υπακολουθία ( x kν ) = ((x (1) k ν,..., x (n) k ν )) ( x ν ) = ((x (1) ν 15,..., x (n) ν ))

1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N έτσι ώστε x (i) k ν x (i) 0 R i = 1,..., n, δηλ. (Πρόταση 1.4.3) x kν x 0 := (x (1) 0,..., x(n) 0 ) Rn. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής : Εστω (x (1) l ν ) µια συγκλίνουσα υπακολουθία της (x (1) ν ). Θεωρούµε την (x (2) l ν ). Ως υπακολουθία της (x (2) ν ) είναι και αυτή ϕραγµένη και άρα εχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω (x (2) m lν ). Τότε όµως ϑα συγκλίνει και η (x (1) m lν ) ως υπακολουθία της συγκλίνουσας ακολουθίας (x (1) l ν ). Βρήκαµε λοιπόν µία υπακολουθία ( x mlν ) έτσι ώστε και η (x (1) m lν ) και η (x (2) m lν ) να συγκλίνουν. Επιλέγοντας µια υπακολουθία-της έτσι ώστε η αντίστοιχη της τρίτης συντεταγµένης να συγκλίνει, ϑα έχουµε ότι για αυτήν την υπακολουθία ϑα συγκλίνουν οι αντίστοιχες και των τριών πρώτων συντεταγµένων. Συνεχίζοντας έτσι, µετά από n ϐήµατα, ϑα έχουµε κατασκευάσει την υπακολουθία ( x kν ) της οποίας οι αντίστοιχες όλων των συντεταγµένων της ϑα συγκλίνουν. Παρατηρηση 4. Τα όρια των συγκλινουσών υπακολουθιών της ( x ν ) ονοµάζονται ση- µεία συσσώρευσης (ή οριακά σηµεία) της ακολουθίας. Ορισµός 1.4.3. Μια ακολουθία ( x ν ) R n λέγεται ακολουθία Cauchy (ή ϐασική ακολουθία) αν ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν x µ < ε. Θεώρηµα 1.4.5. Μια ακολουθία ( x ν ) R n συγκλίνει ανν είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη. ( x ν ) είναι ακολουθία Cauchy ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν x µ < ε ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν x µ < ε ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν (i) x µ (i) < ε i = 1,..., n i = 1,..., n : ε > 0 ν i N ν, µ N, ν, µ ν i : x ν (i) x µ (i) < ε i = 1,..., n: (x (i) ν ) είναι ακολουθία Cauchy στο R i = 1,..., n: (x (i) ν ) συγκλίνει στο R ( x ν ) συγκλίνει στο R n Παρατήρηση : Να προσεχθεί ότι η δεύτερη έως τέταρτη πρόταση ισχυρίζονται ότι ε > 0 ν i (ε) N τέτοιο ώστε να ισχύει η πρόταση p(ε, ν i (ε)). Οι ισοδυναµίες που τις περιέχουν ισχύουν συνολικά για όλα τα ε > 0. Ενα συγκεκριµένο (ε, ν i (ε)) στο ένα µέρος µιας ισοδυναµίας µπορεί να αλλάζει στο άλλο. Αυτό ισχύει στην δεύτερη ισοδυναµία, όπου αλλάζει το ε, και στην τέταρτη, όπου αλλάζει το ν i. Πρόταση 1.4.6. Εστω U R n. Το x R n είναι σηµείο συσσώρευσης του U ανν ( x ν ) U \ { x} : x ν x. Απόδειξη. : Αφού ε > 0: U B( x, ε) \ { x}, έχουµε ειδικότερα ν N x ν U B( x, 1 ν ) \ { x} και άρα x ν x < 1 ν 0, δηλ. x ν x. : Αφού ε > 0 ν N : x ν x < ε και x ν U \ { x}, έχουµε ε > 0 : U B( x, ε) \ { x}. Πρόταση 1.4.7. Εστω U R n. Τότε : x Ū ( x ν) U : x ν x. 16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5 (4) αρκεί να δείξουµε ότι το δεξί µέρος της ισοδυναµίας ισοδυναµεί µε την πρόταση : x U ή x είναι σηµείο συσσώρευσης του U. : Εστω ( x ν ) U µε x ν x. Αν υπάρχει ν 0 N τέτοιο ώστε ν ν 0 : x ν = x, τότε x U. Αν για κάθε ν N υπάρχει ένα k ν ν µε ȳ ν := x kν x, τότε ȳ ν x, αφού k ν ν, δηλ. ε > 0 ȳ ν U \ { x} : ȳ ν x < ε ή ισοδύναµα ε > 0 ȳ ν U B( x, ε) \ { x}. : Αν x U τότε υπάρχει η ( x ν ) U µε x ν := x x. Αν x U, τότε ν N x ν U B( x, 1 ν ) \ { x} και άρα x ν x < 1 ν 0, δηλ. x ν x. Παρατήρηση : Να προσεχθεί ότι η ακολουθία (ȳ ν ) της απόδειξης δεν είναι απαραίτητα υπακολουθία της ( x ν ), αφού µπορεί για ν µ να έχουµε k ν = k µ και άρα ȳ ν = ȳ µ = x kν, δηλ. ο ίδιος όρος της ( x ν ) να έχει επιλεγεί δυο ϕορές. Αλλιώς αν το (k ν ) N δεν αυξάνει γνήσια, τότε η ( x kν ) δεν είναι υπακολουθία της ( x ν ). Οµως, ακόµα και για µια απλώς αύξουσα ακολουθία k ν ν, η (ȳ ν ) = ( x kν ) τείνει στο όριο της συγκλίνουσας ( x ν ). Πρόταση 1.4.8. U R n κλειστό ( x ν ) U µε x ν x 0 R n : x 0 U. Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.4 αρκεί να δείξουµε ότι το δεξί µέρος της ισοδυναµίας ισοδυναµεί µε το ότι το U περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσής του. : Εστω ( x ν ) U µε x ν x 0 R n. Τότε αν ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν = x 0 δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε. Αν ν N µ N, µ ν : x µ x 0 επιλέγουµε για κάθε ν N ένα τέτοιο x µ =: ȳ ν και έχουµε µια ακολουθία (ȳ ν ) U \ { x 0 } µε ȳ ν x 0 R n. Αλλά τότε το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U, αφού ε > 0 ȳ ν U \ { x 0 } : ȳ ν x 0 < ε ή ισοδύναµα ε > 0 ȳ ν (U \ { x 0 }) B( x 0, ε). : Εστω x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Τότε ν N x ν (U \ { x 0 }) B( x 0, 1 ν ) και άρα x ν x 0 1 ν 0, δηλ. x ν x 0 U. Πρόταση 1.4.9. U R n συµπαγές ( x ν ) U ( x kν ) ( x ν ) : lim ν x k ν U. Απόδειξη. : Εστω ( x ν ) U. Αφού το U R n είναι συµπαγές, εξ ορισµού (ϐλ. τον Ορισµό 1.3.4 (2)) ϑα είναι και ϕραγµένο και άρα και η ( x ν ) ϑα είναι ϕραγµένη. Συνεπώς, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Bolzano-Weierstrass (Θ. 1.4.4), υπάρχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία-της ( x kν ) ( x ν ) U µε x kν x 0 R n. Αλλά τότε x 0 U, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.8, αφού το U είναι κλειστό εξ ορισµού. : Εστω ότι το U δεν είναι ϕραγµένο, δηλ. r > 0 : U B( 0, r) ή ισοδύναµα r > 0 x U : x r και συνεπώς ειδικότερα ν N x ν U : x ν ν. Άρα η ( x ν ) δεν έχει συγκλίνουσες υπακολουθίες, αφού για κάθε ( x kν ) ( x ν ) ισχύει x kν k ν > ν, και άρα η ( x kν ) δεν είναι ϕραγµένη, ενώ µια συγκλίνουσα ακολουθία είναι πάντα ϕραγµένη (Πρόταση 1.4.2). Για να δείξουµε ότι το U είναι κλειστό, έστω x Ū. Τότε, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.7, υπάρχει ( x ν ) U µε x ν x. Από την υπόθεση, υπάρχει ( x kν ) ( x ν ) µε x kν x 0 U. Αφού όµως κάθε υπακολουθία µιας συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει στο ίδιο όριο (Άσκηση) έχουµε και x kν x, και άρα από την µοναδικότητα 17

1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N του ορίου συγκλίνουσας ακολουθίας (Πρόταση 1.4.1) x = x 0 U. Συνεπώς, Ū U και αφού U Ū, έχουµε U = Ū κλειστό (Πρόταση 1.3.5 (1), (2)). Α 6. είξτε ότι : x ν x R n x ν x R. Λύση. Εξ ορισµού x ν x : x ν x 0 και από την Άσκηση 2, (ε ) 0 x ν x x ν x. Συνεπώς, από το Θεώρηµα Ισοσυγκλινουσών (πραγµατικών) Ακολουθιών προκύπτει το αποδεικτέο. Α 7. Εστω x R n. είξτε ότι το µονοσύνολο { x} είναι συµπαγές. Λύση. Προκύπτει άµεσα από την Πρόταση 1.4.9, αφού η µοναδική ακολουθία ( x ν ) { x} είναι η σταθερή ακολουθία x ν = x x. 18

Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικών µεταβλητών Ορισµός 2.1.1. Εστω U R n, n N. Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών f : U R µια απεικόνιση από το U στο R, U x = (x 1,..., x n ) f( x) = f(x 1,..., x n ) R (δηλ. σε κάθε x U R n αντιστοιχούµε ένα µοναδικό f( x) R, την τιµή της f στο x). Το U είναι το πεδίο ορισµού, το R το πεδίο τιµών, το f(u) := {f( x) : x U} R το σύνολο τιµών ή η εικόνα, και το Γ f := {( x, f( x)) : x U} R n+1 το γράφηµα της f. Παρατηρηση 5. Οταν n = 1 έχουµε τις γνωστές από το σχολείο και τους Απειροστικούς Λογισµούς Ι και ΙΙ πραγµατικές συναρτήσεις (µιας µεταβλητής) f : R U R, ενώ όταν n > 2, λέµε ότι η f : R n U R είναι µια πραγµατική συνάρτηση πολλών (ή περισσοτέρων) µεταβλητών, η µελέτη των οποίων (µαζί µε την µελέτη των διανυσµατικών συναρτήσεων που ϑα γνωρίσουµε αργότερα) είναι το αντικείµενο των Απειροστικών Λογισµών ΙΙΙ και IV, δηλ. της Ανάλυσης σε περισσότερες µεταβλητές. Συνήθως όταν εννοούµε µια πραγµατική συνάρτηση (µίας ή πολλών µεταβλητών) παραλλείπουµε τον όρο πραγµατική και αναφερόµαστε απλά σε συνάρτηση, ενώ όταν εννοούµε µια διανυσµατική συνάρτηση για λόγους σαφήνειας καλό είναι να αναφέρουµε και τον όρο διανυσµατική. Παρατηρηση 6. Στην περίπτωση n = 1 το γράφηµα Γ f = {(x, f(x)) : x U R} R 2 19

2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ της f : R U R, x f(x), µπορεί να απεικονισθεί (γραφική παράσταση) ως µια καµπύλη στο επίπεδο, R 2, ενώ στη περίπτωση n = 2 µιας πραγµατικής συνάρτησης δύο µεταβλητών f : R 2 U R το γράφηµα Γ f = {(x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) : (x 1, x 2 ) U R 2 } R 3 της f µπορεί να απεικονισθεί ως µια επιφάνεια στον χώρο, R 3, αντιστοιχώντας σε κάθε σηµείο x = (x 1, x 2 ) U R 2 του επιπέδου το ύψος f(x 1, x 2 ) R της f στο σηµείο αυτό. Παρατηρηση 7. Να προσεχθεί ότι όταν µια πραγµατική συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού στον R n, το γράφηµά της είναι πάντα ένα υποσύνολο (πιο συγκεκριµένα : µια υπερεπιφάνεια) του R n+1. ΣΧΗΜΑΤΑ Ορισµός 2.1.2. Εστω f : U R, U R n, και c R. Ονοµάζουµε σύνολο στάθµης c της f το υποσύνολο του πεδίου ορισµού της στο οποίο η f έχει την τιµή c R, L f (c) := { x U : f( x) = c} U R n. Για n = 2 το σύνολο στάθµης ονοµάζεται και καµπύλη στάθµης c της f : R 2 U R L f (c) = {(x 1, x 2 ) U : f(x 1, x 2 ) = c} U R 2, ενώ για n = 3 το σύνολο στάθµης ονοµάζεται και επιφάνεια στάθµης c της f : R 3 U R L f (c) = {(x 1, x 2, x 3 ) U : f(x 1, x 2, x 3 ) = c} U R 3, Παρατηρηση 8. Προφανώς L f (c) =, όταν η f δεν λαµβάνει την τιµή c, δηλ. c f(u) R. Να προσεχθεί επίσης ότι στις περιπτώσεις n = 2, 3 καµπύλες και επιφάνειες στάθµης, αντίστοιχα, είναι υποσύνολα του πεδίου ορισµού της f και όχι απαραίτητα καµπύλες ή επιφάνειες µε την γεωµετρική τους έννοια, ϐλ. τα ακόλουθα παραδείγµατα. Παρατηρηση 9. Να προσεχθεί ότι όταν µια πραγµατική συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού στον R n, τα σύνολα στάθµης της είναι πάντα υποσύνολα του πεδίου ορισµού της και άρα του R n. Παραδειγµα 1. Το γράφηµα της συνάρτησης f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2, είναι η επιφάνεια στον χώρο Γ f = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 = x 2 1 + x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2 } R 3 20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ δηλ. ένα παραβολοειδές από περιστροφή, και οι καµπύλες στάθµης c R δίνονται από τα υποσύνολα του επιπέδου R 2 L f (c) = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 1 + x 2 2 = c} {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 1 + x 2 2 = ( c) 2 } για c > 0, = {(0, 0)} για c = 0, για c < 0, δηλαδή για c > 0 είναι οι κύκλοι του επιπέδου R 2 κέντρου (0, 0) και ακτίνας c > 0. ΣΧΗΜΑΤΑ Αν για κάθε c 0 µεταφέρουµε την καµπύλη στάθµης c > 0 κάθετα προς το επίπεδο x 1 x 2 στο ύψος (στάθµη) x 3 = c και ενώσουµε όλες αυτές τις καµπύλες L f (c) {c} = {(x 1, x 2, c) R 3 : (x 1, x 2 ) L f (c)} ϑα έχουµε συνολικά ολόκληρη την επιφάνεια Γ f του παραβολοειδούς. Αυτό ισχύει ανάλογα και για κάθε γράφηµα µιας (πραγµατικής) συνάρτησης δύο µεταβλητών. Οι καµπύλες L f (c) {c} προκύπτουν δηλαδή από την τοµή του γραφήµατος Γ f µε το επίπεδο x 3 = c και οι καµπύλες στάθµης c είναι οι κάθετες προβολές τους στο επίπεδο x 3 = 0. Παραδειγµα 2. Η σταθερή συνάρτηση στο επίπεδο f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = d R, x = (x 1, x 2 ) R 2 έχει ως γράφηµα το οριζόντιο επίπεδο Γ f = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 = d, (x 1, x 2 ) R 2 } R 3 δηλ. το επίπεδο x 3 = d του R 3, και ως σύνολο (ή καµπύλη ) στάθµης c όλο το πεδίο ορισµού της για c = d και το κενό σύνολο για c d, { R 2 για c = d, L f (c) = για c d R2 Βλέπουµε δηλαδή ότι και στις δύο περιπτώσεις το σύνολο στάθµης της σταθερής συνάρτησης δεν είναι καµπύλη στον R 2 µε την γεωµετρική έννοια. Γενικότερα, η σταθερή συνάρτηση στον R n, f( x) = d R, x = (x 1,..., x n ) R n, έχει ως γράφηµα το υπερεπίπεδο Γ f = {( x, x n+1 ) = (x 1,..., x n, x n+1 ) R n+1 : x n+1 = d, x R n } R n+1 δηλ. το υπερεπίπεδο x n+1 = d του R n+1, και ως σύνολο στάθµης c όλο το πεδίο ορισµού της για c = d και το κενό σύνολο για c d, { R n για c = d, L f (c) = για c d Rn. Οταν n = 3 ϐλέπουµε ότι η επιφάνεια στάθµης της σταθερής συνάρτησης είναι όλο το R 3. 21

2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α 8. Μελετήστε γραφικά την συνάρτηση f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2. Ειδικότερα, δώστε το γραφήµά της Γ f και τις καµπύλες στάθµης c, L f (c). Προσπαθήστε να σχεδιάσετε την f χρησιµοποιώντας και τις τοµές του γραφήµατός της µε τα επίπεδα x 1 = a, x 2 = b και x 3 = c για κατάλληλα επιλεγµένα a, b, c R. Α 9. Να µελετήσετε την Παράγραφο 2.1 του [;] και να κάνετε όσες περισσότερες µπορείτε από τις Ασκήσεις 1-31 της παραγράφου αυτής. 2.2 Ορια πραγµατικών συναρτήσεων Ορισµός 2.2.1. Εστω U R n, f : U R, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R. Τότε λέµε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο l όταν το x τείνει στο x 0 ή η f έχει στο x 0 το όριο l, συµβολικά f( x) l όταν x x 0, αν ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l Παρατηρηση 10. Να προσεχθεί ότι στον πιο πάνω ακολουθιακό ορισµό η σύγκλιση x ν x 0 λαµβάνει χώρα στον R n, ενώ η σύγκλιση f( x ν ) l λαµβάνει χώρα στον R. Πρόταση 2.2.1. Εστω U R n, f : U R, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R. Τότε f( x) l όταν x x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε Απόδειξη. : Εστω ότι ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l ε. Τότε ειδικότερα ν N x ν U B( x 0, 1 ν ) \ { x 0} : f( x ν ) l ε, δηλ. ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0 και f( x ν ) l, άτοπο. : Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0 και ε > 0. Τότε δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε. Απ την άλλη, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν U B( x 0, δ) \ { x 0 }. Συνεπώς, ν N, ν ν 0 : f( x ν ) l < ε. Πρόταση 2.2.2. Εστω U R n, f : U R και x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Το όριο µιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x 0 είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε lim x x 0 f( x). Απόδειξη. Εστω ότι όταν το x τείνει στο x 0 η f τείνει και στο l 1 και στο l 2 µε l 1 l 2 > 0. Τότε για i = 1, 2 δ i > 0 x U B( x 0, δ i ) \ { x 0 } : f( x) l i < l 1 l 2 2 και άρα για δ := min{δ 1, δ 2 } > 0 έχουµε άτοπο. x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : l 1 l 2 l 1 f( x) + f( x) l 2 < l 1 l 2, 22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Παρατηρηση 11. (α ) Από την Πρόταση 2.2.1 προκύπτει lim f( x) = l lim f( x) l = 0. x x 0 x x 0 (ϐ ) Αφού το x 0 είναι εσωτερικό σηµείο του U, ϑα υπάρχει ένα δ 0 > 0 µε B( x 0, δ 0 ) U, και αφού δ > 0: x B( x 0, δ) η := x x 0 B( 0, δ), έχουµε lim f( x) = l ε > 0 δ (0, δ 0 ) x B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε x x 0 ε > 0 δ (0, δ 0 ) η B( 0, δ) \ { 0} : f( x 0 + η) l < ε lim f( x 0 + η) = l. η 0 Ορισµός 2.2.2. Εστω f, g : U R, U R n. Τότε ορίζονται (α ) το άθροισµα των f και g, f + g : U R, (f + g)( x) := f( x) + g( x) x U, (ϐ ) το ϐαθµωτό γινόµενο της f µε το α R, αf : U R, (αf)( x) := αf( x) x U, (γ ) το γινόµενο των f και g, fg : U R, (fg)( x) := f( x)g( x) x U, (δ ) αν g( x) 0 x U, το πηλίκο της f δια την g, f g : U R, ( ) f ( x) := f( x) g g( x) x U, (ε ) η σύνθεση της f µε την h : V R, f(u) V R, h f : U R, (h f)( x) := h(f( x)) x U. Θεώρηµα 2.2.3. Εστω f, g : U R, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και lim f( x) = l R, lim g( x) = m R. Τότε υπάρχουν τα όρια x x 0 x x 0 (α ) (ϐ ) (γ ) lim x x 0 (f + g)( x) = l + m, lim x x 0 (αf)( x) = α l για α R, lim x x 0 (fg)( x) = l m, 23

2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ (δ ) (ε ) lim x x 0 ( ) f ( x) = l, αν m 0, g m lim (h f)( x) = h(l) για h : V R, f(u) V R, συνεχή στο l V. x x 0 Απόδειξη. Οι αποδείξεις των 1, 3 και 4 αφήνονται ως ασκήσεις. Απόδειξη του 5: Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0. Τότε (f( x ν )) V µε f( x ν ) l V και άρα, αφού η h : V R είναι συνεχής στο l, (h f)( x ν ) = h(f( x ν )) h(l). Απόδειξη του 2: Ακολουθεί αµέσως από το 5 για h(y) = αy, y R. Πόρισµα 2.2.4. Εστω f : U R, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και lim x x 0 f( x) = l R. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) lim x x 0 f( x) = l, lim x x 0 f( x) = l. Απόδειξη. Προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 2.2.3, 5 για τις συνεχείς συναρτήσεις h(y) = y, y R, και h(y) = y, y R, αντίστοιχα. Παραδειγµα 3. (α ) Η f(x, y) = x, (x, y) R 2, έχει γράφηµα το κεκλιµένο επίπεδο στον R 3 Γ f = {(x, y, x) R 3 : (x, y) R 2 } µε αλγεβρική εξίσωση στον χώρο z = x και καµπύλες στάθµης c R τις ευθείες L f (c) = {(x, y) R 2 : x = c} = {(c, y) R 2 : y R} µε αλγεβρική εξίσωση στο επίπεδο xy την x = c. Επίσης lim f(x, y) = lim x = x 0, (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) αφού f(x, y) x 0 = x x 0 (x, y) (x 0, y 0 ) και άρα ε > 0 δ := ε > 0 τέτοιο ώστε (x, y) B((x 0, y 0 ), δ), δηλ. (x, y) R 2 µε (x, y) (x 0, y 0 ) < δ να ισχύει f(x, y) x 0 < ε. (ϐ ) Η f(x, y) = xy, (x, y) R 2, έχει γράφηµα Γ f = {(x, y, xy) R 3 : (x, y) R 2 } µε αλγεβρική εξίσωση z = xy και καµπύλες στάθµης c R L f (c) = {(x, y) R 2 : xy = c} 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ δηλαδή τις υπερβολές στο επίπεδο xy µε αλγεβρική εξίσωση y = c x. Επίσης, σύµφωνα µε το Παράδειγµα 3.1 και την άλγεβρα ορίων, για x = (x, y), x 0 = (x 0, y 0 ) lim xy = lim x lim y = x 0 y 0 x x 0 x x 0 x x 0 (γ ) f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y = sin( x 2 ) 2 x = f( x), x > 0. Βλέπουµε ότι η f εξαρτάται 2 µόνο από την απόσταση του x = (x, y) από το σηµείο αναφοράς 0 = (0, 0). (Μια τέτοια συνάρτηση ονοµάζεται συχνά ακτινική (radial).) 2.3 Συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων Ορισµός 2.3.1. Η συνάρτηση f : U R, U R n, λέγεται (α ) συνεχής στο σηµείο x 0 U, αν ( x ν ) U : x ν x 0 f( x ν ) f( x 0 ) (ϐ ) συνεχής στο A U, αν η f : U R είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x 0 A. (γ ) συνεχής, αν η f : U R είναι συνεχής στο U. Παρατηρηση 12. Να προσεχθεί ότι όταν το A δεν είναι ανοικτό µπορεί ο περιορισµός της f : U R στο A U, f A : A R, f A ( x) := f( x) x A να είναι συνεχής, ενώ η f να µην είναι συνεχής στο A. (Αντιπαράδειγµα; Γιατί αυτό δεν µπορεί να συµβεί όταν το A είναι ανοικτό;) Παρατηρηση 13. Σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό µια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της. (Γιατί;) Συνήθως όµως όταν µιλάµε για την συνέχεια µιας συνάρτησης f : U R σε ένα σηµείο x 0 U υπονοούµε ότι το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό του ορίου συνάρτησης, ισχύουν οι ισοδυναµίες (η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση) f συνεχής στο x 0 lim x x 0 f( x) = f( x 0 ) ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε και λέµε ισοδύναµα ότι η f έχει στο x 0 το όριο f( x 0 ) ή η f τείνει στο f( x 0 ) όταν το x τείνει στο x 0, συµβολικά f( x) f( x 0 ) όταν x x 0. Αποδεικνύεται ότι η πρόσθεση, το ϐαθµωτό γινόµενο, το γινόµενο, το πηλίκο και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα ισχύει : 25

2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεώρηµα 2.3.1. Εστω f, g : U R συνεχείς στο x 0 U R n. Τότε οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο x 0 : (α ) f + g, (ϐ ) αf για α R, (γ ) fg, (δ ) f g, αν g( x 0) 0, (ε ) h f για h : V R, f(u) V R, συνεχή στο f( x 0 ). Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 17, αν το x 0 είναι µεµονωµένο σηµείο του U δεν χρειάζεται να αποδείξουµε τίποτα, ενώ αν το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης, το παρόν ϑεώρηµα είναι πόρισµα του Θεωρήµατος 2.2.3. Πόρισµα 2.3.2. Εστω f : U R συνεχής στο x 0 U R n. Τότε οι συναρτήσεις f : U R, f ( x) := f( x) x U, f : U R, f ( x) := f( x) x U, είναι συνεχείς στο x 0. Απόδειξη. Προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 2.5.4, 3 για τις συνεχείς συναρτήσεις h(y) = y, y R, και h(y) = y, y R, αντίστοιχα. Ορισµός 2.3.2. Εστω U R n. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : U R ονοµάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συµβολίζεται µε Πόρισµα 2.3.3. C(U) := {f : U R : f συνεχής}. f, g C(U), α R f + g, αf, fg, f, f C(U) Θεώρηµα 2.3.4. Εστω f : U R συνεχής και U R n συµπαγές. Τότε το f(u) είναι συµπαγές και η f λαµβάνει µέγιστο και ελάχιστο στο U, τα αντίστοιχα, δηλ. max f := max f(u) = max{f( x) R : x U}, min f := min f(u) = min{f( x) R : x U}, x m, x M U : min f = f( x m ) f( x) f( x M ) = max f x U. 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Απόδειξη. Το ότι το f(u) R είναι συµπαγές προκύπτει ως ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήµατος 2.5.6. Οµως κάθε συµπαγές υποσύνολο του R λαµβάνει µέγιστο και ελάχιστο. Στην περίπτωση του min f η αναλυτική απόδειξη έχει ως εξής : Αφού το f(u) R είναι συµπαγές είναι και ϕραγµένο. Άρα έχει µέγιστο κάτω ϕράγµα inf f := inf f(u) = inf{f( x) R : x U} R, δηλ. ν N ( x ν ) U : f( x ν ) [ inf f, inf f + 1 ) ν και άρα f( x ν ) inf f. Τότε όµως, αφού το f(u) είναι και κλειστό, ϑα ισχύει σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.8, inf f = min f f(u), δηλ. x m U : f( x m ) = min f. Ορισµός 2.3.3. Η συνάρτηση f : U R, U R n, λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ δ : f( x) f(ȳ) < ε Θεώρηµα 2.3.5. Εστω U R n συµπαγές και f : U R συνεχής. Τότε η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη. Είναι η ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήµατος 2.5.7. Παραδείγµατα συνεχών συναρτήσεων : σταθερή, πολυώνυµικές, ϱητές, προκύπτουσες από σύνθεση συναρτήσεων. Ασκήσεις Α 10. Αποδείξτε τις ισοδυναµίες της Παρατήρησης 17. Λύση. Η δεύτερη ισοδυναµία καθώς και η κατεύθυνση της πρώτης είναι προφανείς. Για την κατεύθυνση της πρώτης ισοδυναµίας, έστω ( x ν ) U µε x ν x 0. Τότε, αν ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν = x 0, προφανώς f( x ν ) = f( x 0 ) f( x 0 ). Αν δεν ισχύει η προηγούµενη υπόθεση, τότε αφαιρώντας από την ακολουθία ( x ν ) όλους τους όρους x ν = x 0 έχω µια υπακολουθία (ȳ n ) ( x n ) U \ { x 0 } µε ȳ ν x 0 και άρα f(ȳ ν ) f( x 0 ), δήλ. ε > 0 ν 0 N ν N, ν ν 0 : f(ȳ ν ) f( x 0 ) < ε. Το τελευταίο όµως ϑα ισχύει και αν αντικαταστήσω το ȳ ν µε το x ν, αφού ισχύει και για τους αφαιρεθέντες όρους. (Εναλλακτικά µπορούµε να πάµε και από το δεξιό µέλος της δεύτερης ισοδυνα- µίας στον αριστερό µέλος της πρώτης όπως στην Πρόταση 2.2.1: Εστω ( x ν ) U µε x ν x 0 και ε > 0. Τότε δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε. Απ την άλλη, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν U B( x 0, δ). Συνεπώς, ν N, ν ν 0 : f( x ν ) f( x 0 ) < ε.) 27

2.4. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.4 ιανυσµατικές συναρτήσεις Ορισµός 2.4.1. Εστω U R n, n N. Μια συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών f : U R m, m N, R n U x = (x 1,..., x n ) f( x) = f 1 ( x). f m ( x) = f 1 (x 1,..., x n ). f m (x 1,..., x n ) R m µε συνιστώσες τις (πραγµατικές) συναρτήσεις f j : U R, j = 1,..., m, ονοµάζεται διανυσµατική συνάρτηση όταν m 2 και πραγµατική ή ϐαθµωτή συνάρτηση όταν m = 1. Παρατηρηση 14. Η f : U R m, U R n, έχει πεδίο ορισµού το U, πεδίο τιµών το R m, σύνολο τιµών ή εικόνα το f(u) := { f( x) : x U} R m και γράφηµα το Γ f := {( x, f( x)) : x U} R n+m. Οταν n = 1, το πεδίο ορισµού της f : U R m είναι ένα διάστηµα U = I R και η f συνεχής (ϐλ. πιο κάτω) το σύνολο τιµών (!) της f(u) := { f(t) : t U} R m δίνει µια καµπύλη στον R m και γι αυτό η f ονοµάζεται (παραµετρική) καµπύλη στον R m µε παράµετρο την ανεξάρτητη µεταβλητή t I. Συνήθως χρησιµοποιούµε το t (αντί του x) για να συµβολίσουµε την ανεξάρτητη µεταβλητή γιατί ϕανταζόµαστε ότι η τιµή f(t) R m της καµπύλης αντιστοιχεί στην ϑέση ενός κινούµενου σηµείου στον χώρο R m την χρονική στιγµή t I. Ειδικότερα στους χώρους R m µε διάσταση m = 1, 2, 3 συµβολίζουµε τις συνιστώσες της καµπύλης f µε x, y, z: m = 1 : f(t) = f(t) = x(t) R, t I (καµπύλη στην ευθεία) ( ) x(t) m = 2 : f(t) = R 2, t I (καµπύλη στο επίπεδο) y(t) x(t) m = 3 : f(t) = y(t) R 3, t I (καµπύλη στον χώρο) z(t) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΣΧΗΜΑΤΑ Οταν m = n 2 οι διανυσµατικές συνάρτησεις f : U R n, U R n, λέγονται διανυσµατικό πεδία. Αυτά αντιστοιχούν σε κάθε διάνυσµα του χώρου x R n ένα διάνυσµα ίδιας διάστασης f( x)r n και χρησιµοποιούνται ευρέως στις Φυσικές Επιστήµες και στην Γεωµετρία κυρίως στις διαστάσεις m = n = 2, 3. Γραφικά, παριστάνουµε τα διανυσµατικά πεδία σχεδιάζοντας σε κάθε σηµείο του χώρου x R n ένα ϐέλος µε αρχή το σηµείο x και κατεύθυνση και µήκος που αντιστοιχεί στο διάνυσµα f( x). Παραδειγµα 4. Ρευστό σταθερής ϱοής σε σωλήνα 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. Πεδίο ϐαρύτητας Περιστροφική κίνηση µε ταχύτητα εξαρτώµενη από την απόσταση από την αρχή των αξόνων Περιστροφική κίνηση µε σταθερό µήκος ταχύτητας 2.5 Ορια και συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων Οι ορισµοί, οι προτάσεις και οι αποδείξεις τους που γνωρίσαµε στις παραγράφους 2.2 και 2.3 σχετικά µε τα όρια και την συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων f : U R ισχύουν στο µεγαλύτερό τους µέρος ανάλογα και για διανυσµατικές συναρτήσεις f : U R m, αφού οι πρώτες είναι η ειδική περίπτωση m = 1 των δεύτερων. Εξαίρεση αποτελούν τα αποτελέσµατα που σχετίζονται µε την (εσωτερική) πράξη του πολλαπλασιασµού και την διάταξη στον R τις οποίες δεν έχουµε ορίσει στον R m για m 2. Κατά τα άλλα ουσιαστικά αρκεί να αντικαταστήσουµε στις σχετικές έννοιες την απόλυτη τιµή, που είναι η Ευκλείδεια µετρική στο πεδίο τιµών R των πραγµατικών συναρτήσεων, µε την Ευκλείδεια µετρική στο πεδίο τιµών R m των διανυσµατικών συναρτήσεων. Για αυτούς τους λόγους αναφέρουµε στα επόµενα τα ισχύοντα σχετικά µε τα όρια και την συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων n πραγµατικών µεταβλητών χω- ϱίς απόδειξη και προ(ς)καλούµε τον αναγνώστη να ελέγξει τα παραπάνω λεχθέντα ξαναδιαβάζοντας τις σχετικές αποδείξεις στις παραγράφους 2.2 και 2.3 και κάνοντας νοερά την αναφερθείσα αντικατάσταση. Στα επόµενα ισχύει πάντα n, m, k N. Ορισµός 2.5.1. Εστω U R n, f : U R m, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R m. Τότε λέµε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο l όταν το x τείνει στο x 0 ή η f έχει στο x 0 το όριο l, συµβολικά f( x) l όταν x x 0, αν ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l Παρατηρηση 15. Η σύγκλιση x ν x 0 λαµβάνει χώρα στον R n, ενώ η σύγκλιση f( x ν ) l λαµβάνει χώρα στον R m. Πρόταση 2.5.1. Εστω U R n, f : U R m, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R m. Τότε f( x) = (f 1 ( x),..., f m ( x)) l = (l 1,..., l m ) όταν x x 0 j = 1,..., m : f j ( x) l j όταν x x 0 j = 1,..., m : lim f j ( x) = l j x x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) B( l, ε) 29

2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Απόδειξη. ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f j ( x ν ) l j j = 1,..., m ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f j ( x) l j < ε j = 1,..., m ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε Πρόταση 2.5.2. Εστω U R n, f : U R m και x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Το όριο µιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x 0 είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε lim f( x). x x 0 Παρατηρηση 16. Από την προτελευταία ισοδυναµία της Πρότασης 2.5.1 και την Πρόταση 2.2.1 έχουµε lim f( x) = l lim f( x) l = 0, x x 0 x x 0 και άρα, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 11 (2), επίσης lim f( x) = l lim f( x 0 + η) = l. x x 0 η 0 Ορισµός 2.5.2. Η συνάρτηση f : U R m, U R n, λέγεται (α ) συνεχής στο σηµείο x 0 U, αν ( x ν ) U : x ν x 0 f( x ν ) f( x 0 ) (ϐ ) συνεχής στο A U, αν η f : U R m είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x 0 A. (γ ) συνεχής, αν η f : U R m είναι συνεχής στο U. Παρατηρηση 17. Μια διανυσµατική συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της. Οταν το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U ισχύει f συνεχής στο x 0 lim x x 0 f( x) = f( x0 ) Και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν οι ισοδυναµίες f συνεχής στο x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) B( f( x 0 ), ε) j = 1,..., m : f j συνεχείς στο x 0, όπου f = (f 1,..., f m ). Ορισµός 2.5.3. Εστω f, ḡ : U R m, U R n. Τότε ορίζονται (α ) το άθροισµα των f και ḡ, f + ḡ : U R, ( f + ḡ)( x) := f( x) + ḡ( x) x U, 30