Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη μας), δηλαδή πρέπει να χρησιμοποιούμε γράμματα, σύμβολα... Πρέπει να περιγράφουμε την κατασκευή με την σωστή ορολογία και τον σωστό βηματισμό. κόμα, ο Πλάτωνας είχε γράψει πάνω στην πόρτα της σχολής του «αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί» για να δείξει πόσο σημαντική ήταν η γεωμετρία. 1. Να αποδείξετε ότι σ ένα τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 180 ο. υτό μπορούμε να το αποδείξουμε με δύο τρόπους. τρόπος Κόβουμε τις γωνίες του τριγώνου, τις βάζουμε την μία δίπλα στην άλλη έτσι ώστε η πλευρά της μιας να είναι πλευρά της άλλης (διαδοχικές εκεί που τελειώνει η μία γωνία αρχίζει η άλλη) και παρατηρούμε ότι σχηματίζεται μία γωνία που πιάνει όλη την ευθεία και είναι 180 ο. υτός είναι ο τρόπος που διδάσκεται στα δημοτικά σχολεία. Β Γ Β τρόπος Φέρνουμε μία παράλληλη προς τη βάση που να περνάει από την κορυφή του τριγώνου. Στην πραγματικότητα το ΒΓ (η βάση του τριγώνου) είναι ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα κομμάτι της ευθείας και έχει συγκεκριμένο μήκος σε αντίθεση με την ευθεία που είναι άπειρη. Επεκτείνουμε το ΒΓ για να έχουμε δύο παράλληλες ευθείες. Τις ευθείες πρέπει να τις ονομάσουμε για να μπορούμε να αναφερόμαστε σ αυτές. Τις ονομάζουμε ε και ε. Έχουμε δηλαδή τις παράλληλες ευθείες ε και ε που τέμνονται από την ζ και τις παράλληλες ευθείες ε και ε που τέμνονται από την ζ (συστήματα δύο παραλλήλων με μία τέμνουσα).
ζ ε ω φ χ ω φ Β Γ ε ζ Εντός εναλλάξ: εντός σημαίνει ότι είναι ανάμεσα στις δύο παράλληλες και εναλλάξ ότι είναι από την μία και από την άλλη μεριά της ευθείας που τέμνει τις δύο παράλληλες. ρκεί να ξέρουμε ότι όλες οι οξείες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι αμβλείες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και το άθροισμα τους (μίας οξείας και μίας αμβλείας γωνίας) είναι 180 ο. ρχικά ονομάζουμε τις γωνίες. Η Β Γ (η κορυφή της γωνίας είναι στη μέση) = ω από το Θεώρημα Θαλή ή εντός εναλλάξ. Επίσης η Γ Β = φ. ω + χ + φ = 180 ο Το ίδιο θα ήταν αν ω ω χ φ φ Δεν είναι υποχρεωτικό δηλαδή η παράλληλη να είναι στην κορυφή. Παραπληρωματικές είναι οι γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο. Συμπληρωματικές είναι οι γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο.
Ο Θαλής διατύπωσε θεωρήματα για την γεωμετρία. Είχε μετρήσει την απόσταση ενός πλοίου στην θάλασσα και το ύψος των πυραμίδων και χάρη στο θεώρημά του μπορούμε να μετρήσουμε το ύψος οποιουδήποτε ψηλού κτιρίου. Θεώρημα Θαλή: 2. Θέλουμε να φτιάξουμε ένα μπλουζάκι με μία στάμπα η οποία θέλουμε να έχει έναν κύκλο και μέσα εγγεγραμμένο ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Πώς θα δουλέψουμε για να το φτιάξουμε; Να δωθούν οι οδηγίες κατασκευής και να υπολογιστεί το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου. Ζωγραφίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα 5 cm με τον χάρακά μας. Β Παίνουμε έναν διαβήτη με άνοιγμα όσο το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος και χαράσουμε κύκλο με κέντρο το Β καθώς και με κέντρο το (ουσιαστικά χαράσουμε μόνο τα τόξα). Τα δύο τόξα τέμνονται στο σημείο Γ. Ενώνουμε το σημείο Γ με τα σημεία και Β. Με αυτόν τον τρόπο έχουμε κατασκευάσει το ισόπλευρο τρίγωνο ΓΒ. Γ Β Όμως αυτό που κάναμε είναι η κατασκευή (τεχνικό κομμάτι). Γιατί αυτό το τρίγωνο είναι ισόπλευρο (μαθηματικά); Ξέρουμε ότι το ΓΒ είναι 5 cm ως ακτίνα του κύκλου που κατασκευάσαμε με κέντρο το Β. Το ίδιο ισχύει και για το Γ με κέντρο το. Άρα είναι ισόπλευρο τρίγωνο ως ακτίνες ίσων κύκλων. Στο ισόπλευρο τρίγωνο η διάμεσος είναι και μεσοκάθετος άρα είναι και ύψος, δηλαδή περνάει από την μέση του Β και συγχρόνως η γωνία που σχηματίζεται με το ευθύγραμμο τμήμα Β είναι 90 ο (ορθή).
Μεσοκάθετος: είναι η ευθεία που τέμνει στο μέσον και κάθετα. Διάμεσος: το ευθύγραμμο τμήμα (έχει αρχή και τέλος) που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ισόπλευρο τρίγωνο: είναι ένα τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες (60 ο ). Τα μόνα εργαλεία που έχουμε να κάνουμε τις κατασκευές μας είναι ένας αδιαβάθμιτος χάρακας (δεν έχει καμία ένδειξη πάνω, δεν μπορούμε δηλαδή να πάρουμε το μέτρο του) και διαβήτης ακριβώς όπως οι αρχαίοι Έλληνες. (Οι καθαρές γεωμετρικές κατασκευές δεν έχουν να κάνουν με αριθμητική και υπολογισμούς.) Πώς κατασκευάζουμε την μεσοκάθετο; Με κέντρο το Β ανοίγουμε τον διαβήτη μας λίγο περισσότερο από το μισό και χαράζουμε ένα τόξο. Το ίδιο κάνουμε και με κέντρο το. Τα παραπάνω βήματα τα επαναλαμβάνουμε και από την κάτω πλευρά του ευθύγραμμου τμήματος και ενώνουμε τα δύο σημεία με αποτέλεσμα να προκύψει η μεσοκάθετος που είναι και διάμεσος και ύψος. Χρειαζόμαστε υποχρεωτικά δύο σημεία είτε από πάνω είτε από κάτω. Προσοχή: εδώ δεν είμαστε υποχρεωμένοι να ανοίξουμε τον διαβήτη όσο το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος Β, γιατί δεν θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Φέρνουμε όλες τις διαμέσους. Το σημείο τομής των διαμέσων είναι το κέντρο του κύκλου. Με κέντρο το σημείο τομής και ακτίνα x φέρνουμε τον κύκλο. Γιατί το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο που τέμνονται οι διάμεσοι; Πώς ξέρουμε ότι το σημειο τομής Ζ έναι το κέντρο του κύκλου; Για να είναι το Ζ το κέντρο του κύκλου θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το ΖΓ = Ζ = ΖΒ. Άμα είναι ίσα θα είναι και ακτίνες του κύκλου. Γνωρίζουμε ότι τα ΖΓ, Ζ, ΖΒ είναι τα τριγώνου. της διαμέσου και το σημείο Ζ λέγεται κέντρο βάρους του
1 2 Ζ 3 Β Γ Γιατί τα τρίγωνα ΖΓ, ΖΒ, ΒΖΓ είναι ίσα μεταξύ τους; Γιατί είναι ίδια μεταξύ τους. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους; (κριτήρια ισότητας τριγώνων) Όταν έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες. Δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία ίση Μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες γωνίες ίσες. Π.χ. έχουμε τα τρίγωνα 1 και 2. Β = Γ γιατί είναι πλευρές ισόπλευρου τριγώνου και όλες οι προσκείμενες γωνίες είναι 30 ο γιατί η διάμεσος είναι και διχοτόμος. Να βρεθεί το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου. Ε τριγώνου = Γνωρίζουμε τη βάση και πρέπει να βρούμε το ύψος. τρόπος Είναι ορθογώνιο τρίγωνο άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (2,5) 2 + υ 2 = 5 2 υ 2 = 5 2 -(2,5) 2 5 υ 2,5
Προσοχή: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30 ο και 60 ο η πλευρά που είναι απέναντι από την γωνία των 30 ο είναι η μισή της υποτείνουσας. Β τρόπος Για τα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε μάθει ότι ισχύουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Ημίτονο = 5 60 ο 2,5 ημ60 ο = 3. Σε ένα τυχαίο τρίγωνο να εγκράψετε ένα τετράγωνο. Φτιάχνουμε ένα τυχαίο τρίγωνο και θέλουμε να εγγράψουμε ένα τετράγωνο. Ένας μεγάλος μαθηματικός έλεγε πως αν δεν μπορείς να λύσεις το πρόβλημα φτιάξε ένα απλούστερο πρόβλημα. Π.χ. αν έχεις δεκαδικούς αριθμούς και δυσκολεύεσαι να λύσεις το πρόβλημα, αντικατέστησε τους δεκαδικούς με ακέραιους και λύσε το πρόβλημα. Μετά ακολουθώντας τα ίδια βήματα με τους δεκαδικούς καταλήγεις στην λύση. Εγγεγραμένο σημαίνει ότι και οι τέσσερις κορυφές του τετραγώνου πρέπει να είναι πάνω στις πλευρές του τριγώνου. ν μας ζητούσαν να κατασκευάσουμε μέσα στο τρίγωνο ένα τετράγωνο που να έχει μόνο τις τρεις κορυφές του πάνω στις πλευρές του τριγώνου πώς θα το φτιάχναμε;
Μπορούμε να φτιάξουμε άπειρα τέτοια τετραγωνάκια. Το πιο μικρό τετράγωνο για να εγγράψουμε είναι αυτό που έχει σχεδόν μηδενικές πλευρές. Κατασκευαστικά: Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο με τις τρεις κορυφές του να είναι πάνω στις πλευρές του τριγώνου. Ενώνουμε την ελεύθερη κορυφή του τετραγώνου με την κορυφή του τριγώνου με μία ευθεία γραμμή και εκεί που τέμνει την άλλη πλευρά του τριγώνου είναι η τέταρτη κορυφή του τετραγώνου. Παρατηρούμε ότι οι κορυφές των τετραγώνων είναι σε μία ευθεία γραμμή. Κλάσματα (μέρος του όλου) Ποιο κλάσμα βλέπετε απευθείας σ αυτό το σχήμα; Βλέπουμε τα (3 από τα 5). Πώς βλέπετε τα ; υτό το κλάσμα μπορούμε να το διαβάσουμε με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Κάθε φορά αυτό που βλέπουμε εξαρτάται από το τι διαλέγουμε σαν όλο. Άμα διαλέξουμε σαν όλο (σαν μονάδα) το 5, τα σκιαγραφημένα είναι τα 3 από τα 5. Άμα διαλέξουμε σαν όλο το 3 τα θα είναι = + = 1 + δηλαδή θα είναι ένα σχήμα που έχει το 1 και τα αυτού του 1 (τα 2 είναι με όλο το 3). Άρα είναι όλο το ορθογώνιο αν θεωρήσουμε σαν όλο τα τρία κομμάτια (δηλαδή τα 3 και τα 2 από τα 3).
Ο τρόπος με τον οποίο υπολόγησε ο Θαλής το ύψος της πυραμίδας και μάλιστα μιας τετραγωνικής πυραμίδας (που έχει βάση τετράγωνη) ήταν ο εξής: μία μέρα που είχε ήλιο έβαλε το ραβδί του σε τέτοιο σημείο κατακόρυφα, ώστε το τέλος της σκιάς του ραβδιού συνέπιπτε με το τέλος της σκιάς της πυραμίδας. υ Δ Β Ε Γ Ποια τρίγωνα λέμε όμοια; Όμοια λέμε τα τρίγωνα που έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες και τις πλευρές τους ανάλογες (είναι σαν να παίρνουμε ένα τρίγωνο και να το μεγενθύνουμε ή να το σμικρίνουμε). Έστω ότι παίρνουμε ένα μεγάλο τρίγωνο και αρχίζουμε να παίρνουμε παράλληλες πλευρές προς τη βάση. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται όμοια τρίγωνα, γιατί η πάνω γωνία είναι κοινή και οι άλλες γωνίες είναι ίσες (εντός εναλλάξ) με βάση το θεώρημα του Θαλή. Το χαρακτηριστικό που έχουν τα όμοια τρίγωνα και σ αυτό στηρίχτηκε ο Θαλής είναι ότι τα όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Π.χ. 2 4 Β Γ Β Γ πέναντι από την γωνία είναι η πλευρά ΒΓ και απέναντι από την γωνία είναι η πλευρά Β Γ άρα ο λόγος γίνεται:
= = Προσοχή: όλα τα ίσα τρίγωνα είναι όμοια όμως όλα τα όμοια τρίγωνα δεν είναι ίσα. Στην πυραμίδα με αυτόν τον τρόπο δημιουργούνται δύο όμοια τρίγωνα ΒΓ και ΔΕΓ. Το ΒΓ είναι το μεγάλο τρίγωνο που σχηματίζεται από την πυραμίδα και το ΔΕΖ είναι το μικρό τρίγωνο που σχηματίζεται από το ραβδί. Πρώτα κοιτάζουμε τις γωνίες. πέναντι από την Β γωνία είναι η πλευρά Γ και απέναντι από την Ε γωνία είναι η πλευρά ΔΓ (η Β γωνία έιναι ίση με την Ε γωνία). πέναντι από την γωνία είναι η πλευρά ΒΓ και απέναντι από την Δ γωνία είναι η πλευρά ΕΓ ( = Δ). Ομοίως και για την Γ γωνία. = = Όπου ΒΓ η σκιά της πυραμίδας, ΕΓ η σκιά του ραβδιού, ΔΕ το ύψος του ραβδιού και Β το ύψος της πυραμίδας. Ο Θαλής ήξερε το ΔΕ, το ΕΓ και μπορούσε να υπολογίσει το ΒΓ (υπολόγιζε την σκιά και μετά επειδή ο πάτος της πυραμίδας ήταν τετράγωνος υπολόγιζε το μισό της πλευράς και τα πρόσθετε). Έλυσε την αναλογία και βρήκε το ύψος της πυραμίδας. Προσοχή! Όταν γράφουμε τις αναλογίες θα βάζουμε στον αριθμητή π.χ. το ένα τρίγωνο και στον παρονομαστή το άλλο τρίγωνο. Δεν μπορούμε να παίρνουμε την μία φορά του ενός και την άλλη φορά του άλλου. 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιαγραφημένου μέρους. Πώς θα το λύνατε; 12 12 12 Θα βρίσκαμε το εμβαδόν του τετραγώνου, μετά το εμβαδόν του ενός κύκλου και μετά για το τρίτο σχήμα θα πολλαπλασιάζαμε το εμβαδόν του κύκλου με το 16 και θα το αφαιρούσαμε από το εμβαδόν του τεραγώνου. Ε τετραγώνου = 12x12 Ε ενός κύκλου = πr 2 16* Ε ενός κύκλου Ε = Ε τετραγώνου 16x Ε ενός κύκλου
Ποια είναι η ακτίνα του κάθε κύκλου στο τρίτο σχήμα; 4δ =12 δ = 3 α = 1,5 Ε κύκλου = π(1,5) 2 5. Ποια από τις 4 παραστάσεις αντιστοιχεί στην εξίσωση y = x. Να δικαιολογηθεί το γιατί. ω Β Γ Δ Ο συντελεστής του x ( ) είναι η κλίση της ευθείας, όπου η κλίση είναι η εφω. εφω = = y = x = γι αυτό λέμε ότι η κλίση της γωνίας είναι. Άρα για να δούμε ποιο από τα σχήματα είναι αρκεί να δούμε ότι το =. Για να είναι αρνητικό το θα πρέπει το ένα (x ή y) να είναι θετικό και το άλλο αρνητικό (δηλαδή δεν θα πρέπει και τα δύο να είναι θετικά ή και τα δύο αρνητικά). Άρα μας κάνουν το και το Δ. ρκεί τώρα να πάρουμε οποιοδήποτε σημείο και να δούμε σε ποιο από αυτά η σχέση του ενός είναι τριπλάσια του άλλου. υτό ισχύει στο. Σε ένα διαγώνισμα που μας είχε δωθεί υπήρχε η εξής ερώτηση: Γράψτε με συμβολικό τρόπο την έκφραση «Σ ένα σχολείο για κάθε καθηγητή αντιστοιχούν 6 μαθητές». Οι περισσότεροι έγραψαν κ = 6μ και δεν σκέφτηκαν να κάνουν επαλήθευση, αν δηλαδή το σχολείο έχει 10 μαθητές τότε από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι θα έχει 60 καθηγητές που είναι παράλογο. Το λάθος που γίνεται εδώ είναι ότι το κ δεν συμβολίζει την συντομογραφία της λέξης καθηγητής αλλά συμβολίζει τον αριθμό των καθηγητών, δηλαδή η μεταβλητή δεν παίρνει το όνομα ανάλογα με το τι συμβολίζει αλλά τον αριθμό αυτών που συμβολίζει.το σωστό δηλαδή θα ήταν κ = μ.
Ο Ερατοσθένης υπολόγισε την ακτίνα της γης χρησιμοποιόντας τα όμοια τρίγωνα. Άσκηση Να εγγράψετε ένα τετράγωνο σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά να το εγγράψετε με μαθηματικό τρόπο (στηριζόμενοι στο θεώρημα του Θαλή).