ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Της Νικολάου Χριστίνας Α.Ε.Μ. 134

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Νικολάου Χριστίνας Α.Ε.Μ. 134 Αλγόριθμοι Επεξεργασίας Εικόνας Τεχνικές Εξαγωγής Χαρακτηριστικών Για αναγνώριση Αντικειμένων Επιβλέπων : Δρ. Τζήμας Δημήτριος Καθηγητής Εφαρμογών Καστοριά Νοέμβριος 2008

2 4

3 Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Της Νικολάου Χριστίνας Αλγόριθμοι Επεξεργασίας Εικόνας Τεχνικές Εξαγωγής Χαρακτηριστικών Για αναγνώριση Αντικειμένων Επιβλέπων : Δρ. Τζήμας Δημήτριος Καθηγητής Εφαρμογών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 4 η Νοεμβρίου Τζήμας Δημήτριος Καθηγητής Εφαρμογών... Νικολάου Σπύρος Καθηγητής Εφαρμογών... Μιχάλας Άγγελος Επίκουρος Καθηγητής Καστοριά Νοέμβριος

4 Copyright 2008 Νικολάου Χριστίνα Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν αποκλειστικά τον συγγραφέα και δεν αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας 1

5 Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη τεχνικών βελτίωσης ποιότητας εικόνας, η ανάπτυξη αλγορίθμων ανίχνευσης και συμπίεσης ψηφιακής εικόνας καθώς και η αναφορά στα σήματα και στις αναπαραστάσεις αυτών. Και τέλος η ανάλυση τεχνικών εξαγωγής χαρακτηριστικών για αναγνώριση αντικειμένων, όπου αναφερόμαστε σε δύο μεθόδους που έχουν είδη αναπτυχθεί την Matching Pursuit και την Basis Pursuit και αναπτύσσουμε τον κώδικα μίας τρίτης μεθόδου, της High Resolution Pursuit. Οι τεχνικές βελτίωσης της ποιότητας ψηφιακής εικόνας βελτιώνουν την υποκειμενική ποιότητα της εικόνας τονίζοντας ορισμένα χαρακτηριστικά της και μειώνοντας το θόρυβο. Λειτουργίες αποκατάστασης και βελτίωσης της ποιότητας εικόνας μπορούν να θεωρηθούν σαν δυσδιάστατα ψηφιακά φίλτρα. Στην πλειοψηφία τους τα φίλτρα αποκατάστασης εικόνας είναι γραμμικά και υλοποιούνται στο πεδίο των συχνοτήτων. Φυσικά, υπάρχουν και μη γραμμικές τεχνικές αποκατάστασης εικόνας. Για τη βελτίωση της ποιότητας της εικόνας χρησιμοποιούμε κυρίως υλοποιήσεις στο πεδίο των χωρικών συντεταγμένων. Οι ακμές είναι βασικά χαρακτηριστικά της εικόνας. Φέρουν χρήσιμες πληροφορίες για τα όρια των αντικειμένων, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ανάλυση εικόνας, προσδιορισμό αντικειμένων, καθώς επίσης και για εφαρμογές φιλτραρίσματος εικόνας. Ο όρος συμπίεση ψηφιακής εικόνας αναφέρεται σε ένα σύνολο τεχνικών και αλγορίθμων που έχουν σαν βασικό σκοπό την εξοικονόμηση της απαιτούμενης μνήμης για την αναπαράσταση και αποθήκευση ψηφιακών εικόνων. Η αποθήκευση μιας ψηφιοποιημένης εικόνας η οποία προέρχεται από μια απλή δειγματοληψία του αναλογικού σήματος οδηγεί σε κακή διαχείριση της μνήμης. Επίσης η συμπίεση προσφέρει και ελάττωση του χρόνου και του εύρους ζώνης μετάδοσης. Τόσο ο φυσικός όσο και ο τεχνητός κόσμος αποτελούνται από συστήματα, τα οποία επικοινωνούν μεταξύ τους μέσω σημάτων. Τα σήματα περιέχουν πληροφορία σχετικά με τη συμπεριφορά ή τη φύση ενός φαινομένου. Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος ασχολείται με την ψηφιακή αναπαράσταση των σημάτων και την ανάλυση, τροποποίηση και εξαγωγή πληροφοριών από αυτά, με τη βοήθεια ψηφιακών επεξεργαστών. Στις περιπτώσεις που θέλουμε να αφαιρέσουμε τον θόρυβο από ένα σήμα χρησιμοποιούμε συνήθως το μετασχηματισμό Fourier ή Wavelet. Για την αναγνώριση αντικειμένου που βασίζεται πάνω στο πρότυπο ταιριάσματος εκτελείται με τη σύγκριση ενός δεδομένου σήματος στοιχείων με ένα σύνολο πρότυπων σημάτων. Σχετικοί μέθοδοι είναι η Matching Pursuit, όπου είναι ένας επαναλαμβανόμενος, προσαρμοστικός αλγόριθμος για την ανάλυση σημάτων, η Basis Pursuit όπου είναι βασισμένη στην επίλυση μιας μεγάλης κλίμακας προβλήματος βελτιστοποίησης και τέλος η High Resolution Pursuit, η οποία είναι συνδυασμός των δύο προηγούμενων μεθόδων λαμβάνοντας υπόψη την υπολογιστική ταχύτητα του MP καθώς επίσης και τις φυσικά σημαντικές αντιπροσωπεύσεις της BP. 2

6 Λέξεις κλειδιά: γραμμικά ψηφιακά φίλτρα, προσαρμοστικά φίλτρα, ιστόγραμμα και ισοστάθμιση ιστογράμματος, ψευδοχρωματισμός, ημιτονισμός ψηφιακής εικόνας, μη γραμμικά ψηφιακά φίλτρα, μονοδιάστατα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής, αποκοπή θορύβου αιχμών, δυσδιάστατα φίλτρα, φίλτρα κινούμενου μέσου και μεσαίου, μορφολογικά φίλτρα, φίλτρα μεγίστου ελαχίστου, τοπικές τεχνικές, καθολικές τεχνικές, ανίχνευση ακμών, ανιχνευτές ακμών prewitt και sobel, ανιχνευτή ακμών με μάσκες, τελεστή laplace, κατωφλίωση ακμών, μετασχηματισμός hough, αλγόριθμοι παρακολούθησης ακμών,,αλγόριθμοι συμπίεσης, ψηφιακή επεξεργασία εικόνας, τεχνικές συμπίεσης, αλγόριθμοι συμπίεσης με απώλειες και χωρίς απώλειες, JPEG, JPEG2000, κωδικοποίηση μετασχηματισμού, σήματα, αναπαράσταση στο χρόνο και τη συχνότητα, ανάλυση Fourier & Wavelet, Matching Pursuit, Basis Pursuit, High Resolution Pursuit, σήμα Gong. 3

7 Abstract The aim of the present work is the development of techniques of improvement of quality of image, the development of algorithms of detection and compression of digital image as well as the report in the signals and in the representations of these. And finally the analysis of techniques of export of characteristics for recognition of objects where we were reported in two methods that types have been developed the Matching Pursuit and the Basis Pursuit and develop the code of new method, High Resolution Pursuit. The techniques of improvement of quality of digital image improve the subjective quality of image stressing her certain characteristics and decreasing the noise. Operations of re-recovery and improvement of quality of image can be considered as two-dimensional digital filters. In their majority the filters of re-reconstruction of image are linear and are represented in the field of frequencies. Naturally, not linear techniques of re-establishment of image also exist. For the improvement of quality of image we use mainly representations in the field of Cartesian coordinates. The edges are basic characteristics of image. They bring what useful information they can on the limits of objects. They are used for analysis of image, recognition of objects, as well as for applications of filtering of image. The term compression of digital image is reported in a total of techniques and algorithms that have as basic aim the saving of required memory for the representation and storage of digital images. The storage of digitized image which emanates from a simple sampling of analogue signal leads to waste of memory. The compression also offers alleviation of time and bounding width. The natural as well the artificial world are constituted by systems, which communicate between them via signals. The signals contain information with regard to the behaviour or the nature of phenomenon. The digital signal processing deals with the digital representation of signals and the analysis, modification and export of information from them, with the help of digital processors. In the cases we want to remove the noise from a signal we usually use the transformation Fourier or Wavelet. For the recognition of object that is based on the matching model it is executed with the comparison of a known of signal of elements with a total of model signals. Relative methods are the Matching Pursuit, where it is a repeated, adoptive algorithm for the analysis of signals, the Basis Pursuit where is based on the resolution of big scale of problem of optimisation and finally the High Resolution Pursuit, which is combination of the two previous methods taking into consideration the processing speed of MP as well as the naturally important representations of BP. 4

8 Key Words: linear digital filters, adaptive filters, histogram and counterbalance of histogram, pseudo-coloring, semitonic digital picture, non linear digital filters, one-dimensional mean filters, trancation of edge noise, 2D filters, moved mean and median filters, morphological filters, maximal minimal filters, local techniques, global techniques, edge detection, edge detectors of prewitt and sobel, edge detectors with masks, laplace operator, thresholding of edges, transformation Hough, algorithms of edges monitoring, algorithms of compression, digital image processing, compression techniques, lossy and lossless compression algorithms, JPEG2000, transformation coding, signals, time and frequency representation, Fourier and Wavelet analysis, Matching Pursuit, Basis Pursuit, High Resolution Pursuit, Gong signal 5

9 Περιεχόμενα Περίληψη 2 Λέξεις κλειδιά. 3 Abstract.. 4 Key Words.. 5 Περιεχόμενα. 6 Ευρετήριο Εικόνων. 8 Ευρετήριο Πινάκων.. 9 ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 o ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Εισαγωγή Τα γραμμικά ψηφιακά Προσαρμοστικά φίλτρα εικόνας Ιστόγραμμα και Ισοστάθμιση Ιστογράμματος Ισοστάθμιση ιστογράμματος Ψευδοχρωματισμός Ημιτονισμός ψηφιακής εικόνας Μη Γραμμικά Ψηφιακά Φίλτρα Μονοδιάστατα Φίλτρα Ενδιάμεσης Τιμής (MEDIAN) Αποκοπή θορύβου αιχμών - Διατήρηση ακμών Είδη σημάτων για το median φίλτρο Δυσδιάστατα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής Φίλτρα κινούμενου μέσου και μεσαίου Φίλτρο Μέσου Όρου Φίλτρο Μεσαίου Μορφολογικά φίλτρα Τα μονοδιάστατα μορφολογικά φίλτρα Δισδιάστατα μορφολογικά φίλτρα Φίλτρα μεγίστου ελαχίστου Φίλτρα βασισμένα σε στατιστικές διατάξεις Είδη θορύβου και κριτήρια επιλογής ψηφιακού φίλτρου 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ & ΣΥΜΠΙΕΣΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Εισαγωγή Ανίχνευση ακμών Κατωφλίωση ακμών Μετασχηματισμός HOUGH Αλγόριθμοι Παρακολούθησης Ακμών Αλγόριθμοι συμπίεσης Αλγόριθμοι συμπίεσης στο χώρο και στο χρόνο Αλγόριθμοι συμπίεσης στο χώρο Ο αλγόριθμος συμπίεσης με πρόβλεψη (prediction coding) Ο αλγόριθμος συμπίεσης με ανάλυση σε υποζώνες Ο αλγόριθμος συμπίεσης με μετασχηματισμό Αλγόριθμοι συμπίεσης στο χρόνο Ο αλγόριθμος ταιριάσματος μπλοκ Αλγόριθμοι Συμπίεσης με απώλειες και χωρίς απώλειες Αλγόριθμοι συμπίεσης με απώλειες ή μη αντιστρεπτοί Κωδικοποίηση μετασχηματισμού JPEG

10 Αλγόριθμοι συμπίεσης χωρίς απώλειες ή αντιστρεπτοί Κωδικοποίηση εντροπίας και πηγής Κωδικοποίηση εντροπίας Κωδικοποίηση Πηγής Κωδικοποίηση Huffman Κωδικοποίηση RLE & LZW JPEG Συμπίεση με fractals Συγκριτική ανάλυση Αποτελέσματα συγκριτικής ανάλυσης Συμπεράσματα συγκριτικής ανάλυσης 48 ΜΕΡΟΣ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Περίληψη Εισαγωγή Σήμα Ψηφιακή επεξεργασία σήματος Αναπαράσταση στο χρόνο και τη συχνότητα Η θεωρία των Wavelets Ανάλυση Fourier & Wavelet 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΞΑΓΩΓΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ Περίληψη Εισαγωγή Προσαρμοστική προσέγγιση των σημάτων Αναζήτηση ταιριάσματος (Matching Pursuit - MP) Αναζήτηση Βάσης (Basic Pursuit BP) Αναζήτηση υψηλής ανάλυσης (High Resolution Pursuit) Σήμα Gong Κώδικας Συμπεράσματα. 65 Βιβλιογραφία. 66 Πηγές διαδικτύου. 67 7

11 Ευρετήριο Εικόνων Εικόνες Σχόλια Σελίδες 1 Παράδειγμα 3D ιστογράμματος. Περιγράφει την κατανομή των χρωμάτων ενός συνόλου εικονοστοιχείων και εκφράζει τη συχνότητα με την οποία κάθε ένα χρώμα εμφανίζεται στο σύνολο του Παράδειγμα ισοστάθμισης ιστογράμματος 13 3 Παράδειγμα ισοστάθμισης ιστογράμματος 14 4 α) Η αρχική εικόνα περιέχει πυκνό θόρυβο αιχμών β) Με τη χρήση ενός δυσδιάστατου median φίλτρου μεγέθους 3x3 ο θόρυβος αιχμών έχει εντελώς εξαλειφθεί Εικόνα που έχει παραμορφωθεί από κρουστικό θόρυβο 18 6 Εικόνα που έχει παραμορφωθεί από κρουστικό θόρυβο 18 7 Η Εικόνα 5 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μέσου όρου 19 8 H Εικόνα 6 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μέσου όρου Η Εικόνα 5 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μεσαίου H Εικόνα 6 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μεσαίου Παράδειγμα φίλτρου μέγιστης τιμής (α) Η αρχική εικόνα του τυπωμένου κυκλώματος περιέχει πολλές ατέλειες (β) Μετά από μορφολογικό opening με δομικό στοιχείο 5x5 η εικόνα έχει βελτιωθεί. Σε όσες ατέλειες δε χωρούσε το δομικό στοιχείο, αυτές έχουν αποκοπεί. Σημειώνεται ότι για το opening ατέλειες θεωρούνται οι λευκές κηλίδες. Μία αντίστοιχη διαδικασία closing θα απαλείψει και τις μαύρες κηλίδες Η μορφολογική πράξη erosion σε συνδυασμό με αφαίρεση από την αρχική εικόνα δίνει τις ακμές της εικόνας Η λέπτυνση των γραμμάτων επιτυγχάνεται με διαδοχικές μορφολογικές πράξεις (Α) Μάσκες ανιχνευτή ακμών Prewitt,. (Β) Μάσκες ανιχνευτή ακμών Sobel Μάσκες Kirsch μέγεθός 3 x (α) Αρχική εικόνα,. (β) Έξοδος του ανιχνευτή ακμών Sobel,. (γ) Οριζόντια ανίχνευση ακμών,.. (δ) Κατακόρυφη ανίχνευση ακμών (α) Μάσκα για ανίχνευση απομονωμένου σημείου. 28 (β) Μάσκες για ανίχνευση γραμμών (α) Ευθεία γραμμή στο επίπεδο τους εικόνας, 30 (β) Η αναπαράσταση τους στον παραμετρικό χώρο Πολική αναπαράσταση ευθείας γραμμής (α) Αρχική εικόνα,. 32 (β) Ημιτονοειδή στον παραμετρικό χώρο που αναπαριστούν ευθείες γραμμές,.. 32 (γ) Ανιχνευμένες ευθείες γραμμές,. 32 (δ) Ανιχνευμένα τμήματα γραμμής στο επίπεδο της εικόνας (α) Ο τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το (xi, yi), (β) Κέντρα κύκλων που διέρχονται από το (xi, yi) και είναι εφαπτόμενοι στο αντίστοιχο στοιχείο της ακμής Μετασχηματισμός μιας εικόνας ακμών σε προσανατολισμένο γράφημα Block diagram for one-dimensional subband coding Block diagram of basic DCT transform coder Εφαρμογή του DCT μετασχηματισμού σε ένα μπλοκ της εικόνας Ο αλγόριθμος ταιριάσματος μπλοκ περιλαμβάνει δύο βασικά βήματα. Πρώτα, χωρίζει την εικόνα σε μπλοκ μεγέθους NxN pixels και στη συνέχεια υπολογίζει ένα διάνυσμα κίνησης Η βασική αρχή της κωδικοποίησης μετασχηματισμού Συμπίεση 6 φορές με JPEG (από 160Kb σε 26Kb)

12 30 Συμπίεση 12 φορές με JPEG (από 160Kb σε 12Kb) Συμπίεση 14 φορές με JPEG (από 160Kb σε 11Kb) Παράδειγμα κώδικα Huffman που παρίσταται σαν ένα δυαδικό δένδρο Παιδιά Τοπίο Λουλούδια Στο ραβδογράφημα παρατηρούμε τα αποτελέσματα των μετατροπών της 47 συμπίεσης. 37 Παραδείγματα σημάτων (α) ομιλίας μιας διάστασης 50 (β) εικόνας δύο διαστάσεων και (γ) ακολουθίας εικόνων τριών διαστάσεων Ένα απλό διακριτό σήμα διακριτού χρόνου, αναπαράσταση στο χρόνο Αναπαράσταση του σήματος της εικόνας 38 στο πεδίο της συχνότητας (με χρήση ταχύ μετασχηματισμού Fourier-FFT) Το αρχικό σήμα συν ένας ισχυρός μοναδιαίος παλμός Εφαρμογή FFT στην εικόνα Αρχική εικόνα (αριστερά) και εμφάνιση συνοριακών ασυνεχειών στα άκρα των παραθύρων ανάλυσης (δεξιά) σε υψηλή συμπίεση JPEG Επιλογή παραθύρου για το Μετασχηματισμό Fourier Βραχέως Χρόνου (STFT) Εγκεφαλογραφήματα δύο ατόμων, ενός υγιούς και ενός που πάσχει από τη νόσο του Alzheimer Wavelet μετασχηματισμοί των δύο παραπάνω σημάτων (α) Ημιτονοειδές σήμα (β) Σήμα wavelet Παρουσιάζεται μια επιστροφή του ραντάρ μιας υψηλής ανάλυσης από ένα Cessna 310 αεροσκάφος. Κάθε μια από τις αιχμές στο σήμα συσχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα του αεροπλάνου Παρουσιάζονται τα πρώτα δέκα στοιχεία των αποσυνθέσεων MP και HRP για το σήμα gong (α) Το σήμα gong,. (β) Γραφική παράσταση χρονοσυχνότητας για το HRP, (γ) Γραφική παράσταση χρονοσυχνότητας για το ΒΡ,.. (δ) Γραφική παράσταση χρονοσυχνότητας για το ΜΡ 50 Βαθμός αλλοίωσης (η απόδοση) των τριών μεθόδων Oι πρώτες 20 προβολές Αποτελέσματα χρησιμοποιώντας την μεγαλύτερη προβολή Ευρετήριο Πινάκων Πίνακας Σχόλια Σελίδες 1 Αποτελέσματα μετατροπών της συμπίεση

13 ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εποχή μας χαρακτηρίζεται από έναν καταιγισμό πληροφορίας, που δεν έχει προηγούμενο στην ανθρώπινη ιστορία. Τεράστιος όγκος πληροφοριών παράγεται, αποθηκεύεται και διακινείται εξαιτίας της αλματώδης προόδου που έχει επιτευχθεί στους τομείς της πληροφορικής και των τηλεπικοινωνιών που εκφράστηκε κυρίως με την επανάσταση που προκάλεσε το διαδίκτυο με τον Παγκόσμιο Ιστό. Μέσα στο περιβάλλον αυτό της ανεπανάληπτης διαθεσιμότητας της πληροφορίας, το ζήτημα της πρόσβασης στην πληροφορία αποτελεί προτεραιότητα και αντικείμενο μεγάλης και εντεινόμενης ερευνητικής δραστηριότητας. Αντικειμενικός στόχος αποτελεί η αποτελεσματικότερη ανάκτηση της πληροφορίας από τον ενδιαφερόμενο σε όποια μορφή κι αν βρίσκεται. Έναν πολύ σημαντικό φορέα πληροφορίας και μέσο επικοινωνίας για τον άνθρωπο αποτελούν οι εικόνες. Η ανάπτυξη των εικόνων, αναφορικά με τον αριθμό, τη διαθεσιμότητα και τη σημασία τους για τον άνθρωπο, υπήρξε αλματώδης. Ενδεικτικό της τεράστιας αύξησης των εικόνων είναι το γεγονός ότι κατά μέσο όρο κάθε ιστοσελίδα στον Παγκόσμιο Ιστό, που διαρκώς γιγαντώνεται, έχει υπολογιστεί ότι περιέχει 14,38 εικόνες. Η εκρηκτική ανάπτυξη των συλλογών με εικόνες, που υπήρξε αποτέλεσμα της προόδου της τεχνολογίας στον τομέα της δημιουργίας και αποθήκευσης της ψηφιακής εικόνας, έκανε επιτακτική την ανάγκη εύρεσης και εξέλιξης νέων τεχνικών για την διαχείριση και αποτελεσματική ανάκτηση των εικόνων. Η ανάγκη για επεξεργασία της πληροφορίας της εικόνας οδηγεί κατ αρχήν στη μαθηματική περιγραφή του περιεχομένου της. Στην πράξη, κάθε εικόνα για να υποστεί ψηφιακή επεξεργασία θα πρέπει αρχικά να μετατραπεί σε ψηφιακή. Δηλαδή η εικόνα θεωρείται ως η κατανομή της πληροφορίας στο επίπεδο. Η ψηφιακή εικόνα μπορεί να ληφθεί είτε από αναλογικές εικόνες είτε απευθείας από συστήματα λήψης ψηφιακών εικόνων. 12 Ένας από τους κύριους σκοπούς της ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας είναι να βελτιώσει την ποιότητα της. Οι τεχνικές αποκατάστασης εικόνας αφορούν κυρίως την ανάκτηση εικόνας που έχει παραμορφωθεί. Για την βελτίωση της ποιότητας εικόνας χρησιμοποιούνται ψηφιακά φίλτρα. Αυτά διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, στα γραμμικά και στα μη γραμμικά ψηφιακά φίλτρα. Επίσης υπάρχουν και τεχνικές αποκατάστασης και βελτίωσης της ποιότητας εικόνας. Τέτοιες τεχνικές είναι ο ψευδοχρωματισμός και ο ημιτονισμός ψηφιακής εικόνας. Επιπροσθέτως, οι ακμές είναι βασικά χαρακτηριστικά της εικόνας οι οποίες φέρουν χρήσιμες πληροφορίες για τα όρια των αντικειμένων και έχουν θεμελιώδη σημασία για την ψηφιακή επεξεργασία και ανάλυση εικόνας. Με δεδομένη τη διαρκώς αυξανόμενη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας, η οποία αντικαθιστά την αναλογική που παραδοσιακά χρησιμοποιείται εδώ και δεκαετίες στις τηλεπικοινωνίες, την τηλεόραση, την «εγγραφή» και την αναπαραγωγή της εικόνας, έχει δοθεί μεγάλη σημασία στην ανάπτυξη μεθόδων συμπίεσης της ψηφιακής πληροφορίας, με στόχο την οικονομία εύρους φάσματος (bandwidth). 10

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Εισαγωγή Οι αισθητήριες συσκευές τείνουν να υποβαθμίσουν την ποιότητα των ψηφιακών εικόνων εισάγοντας θόρυβο, γεωμετρική παραμόρφωση, ή θάμπωμα εξ αιτίας της κίνησης ή της λανθασμένης εστίασης της κάμερας. Ένας από τους κύριους σκοπούς της ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας είναι να βελτιώσει την ποιότητα της εικόνας και να μετριάσει την υποβάθμιση που εισάγεται από τις αισθητήριες συσκευές και τις συσκευές καταγραφής της εικόνας. Οι τεχνικές αποκατάστασης εικόνας αφορούν κυρίως την ανάκτηση εικόνας που έχει παραμορφωθεί. Οι τεχνικές βελτίωσης της ποιότητας ψηφιακής εικόνας βελτιώνουν την υποκειμενική ποιότητα της εικόνας τονίζοντας ορισμένα χαρακτηριστικά της και μειώνοντας το θόρυβο. Λειτουργίες αποκατάστασης και βελτίωσης της ποιότητας εικόνας μπορούν να θεωρηθούν σαν διδιάστατα ψηφιακά φίλτρα. Αυτά διακρίνονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, στα γραμμικά και στα μη γραμμικά ψηφιακά φίλτρα. Τα γραμμικά ψηφιακά φίλτρα μπορούν να σχεδιαστούν και να υλοποιηθούν είτε στο πεδίο των χωρικών συντεταγμένων, είτε στο πεδίο των συχνοτήτων. Στην πλειοψηφία τους τα φίλτρα αποκατάστασης εικόνας είναι γραμμικά και υλοποιούνται στο πεδίο των συχνοτήτων. Φυσικά, υπάρχουν και μη γραμμικές τεχνικές αποκατάστασης εικόνας. Για τη βελτίωση της ποιότητας της εικόνας χρησιμοποιούμε κυρίως υλοποιήσεις στο πεδίο των χωρικών συντεταγμένων. Αυτές οι υλοποιήσεις είναι διδιάστατα ψηφιακά φίλτρα που έχουν περιοχές υποστήριξης αποτελούμενες από ένα απλό στίγμα ή τη γειτονιά ενός στίγματος. 7 Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των ψηφιακών φίλτρων καθώς επίσης θα περιγράψουμε ορισμένες τεχνικές αποκατάστασης και βελτίωσης της ποιότητας εικόνας. Επίσης, θα γνωρίσουμε τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία οπτικών εφέ στην παρουσίαση ψηφιακών εικόνων. Τέτοιες τεχνικές είναι ο ψευδοχρωματισμός και ο ημιτονισμός ψηφιακής εικόνας. Τέλος θα παρουσιάσουμε τα είδη θορύβου και τα κριτήρια επιλογής ψηφιακού φίλτρου. 1.1 Τα γραμμικά ψηφιακά Τα γραμμικά ψηφιακά φίλτρα παρουσιάζουν πεπερασμένης χρονικής διάρκειας απόκριση σε είσοδο μοναδιαίας κρούσης. Στη διεθνή βιβλιογραφία τα συναντούμε ως Finite Impulse Response ή FIR φίλτρα. Αποτελούν ουσιαστικά μερική περίπτωση των φίλτρων άπειρης κρουστικής απόκρισης (IIR). Από τα γραμμικά ψηφιακά φίλτρα τα FIR προτιμούνται συνήθως έναντι των IIR λόγω της ευστάθειας στη λειτουργία τους και της γραμμικής απόκρισης που παρουσιάζουν στη φάση. 12 Δηλαδή, τα γραμμικά ψηφιακά φίλτρα έχουν το πλεονέκτημα της εύκολης ανάλυσης και κατανόησής τους τόσο στο πεδίο του χρόνου (κρουστική απόκριση), όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων (απόκριση συχνότητας). Για τα γραμμικά ψηφιακά φίλτρα (FIR και IIR) ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. Η εφαρμογή της αρχής αυτής δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε τα γραμμικά φίλτρα με απλές διαδικασίες. Αυτό συμβαίνει γιατί μπορούμε να εξετάσουμε τη συμπεριφορά τους σε απλά σήματα και με βάση αυτή να υπολογίσουμε την απόκρισή τους σε πιο σύνθετα σήματα. Η αρχή της υπέρθεσης έχει ως άμεσο αποτέλεσμα την ιδιότητα της συνέλιξης που υλοποιούν τα γραμμικά ψηφιακά φίλτρα. Με τη σειρά της, η συνέλιξη στο χρόνο αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό στη συχνότητα, επομένως μελέτη της συμπεριφοράς των γραμμικών ψηφιακών φίλτρων με βάση την απόκρισή τους στη συχνότητα

15 Προσαρμοστικά φίλτρα εικόνας Οι εικόνες μπορούν να μοντελοποιηθούν σαν δυσδιάστατες στοχαστικές διαδικασίες των οποίων τα χαρακτηριστικά μεταβάλλονται στις διάφορες περιοχές της εικόνας. Επιπλέον, τα χαρακτηριστικά του θορύβου, π.χ. η τυπική απόκλιση ή ακόμα και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, μεταβάλλονται από εφαρμογή σε εφαρμογή. Μερικές φορές, τα χαρακτηριστικά του θορύβου μεταβάλλονται ακόμη και στην ίδια εφαρμογή από εικόνα σε εικόνα. Τέτοιες περιπτώσεις είναι ο θόρυβος του καναλιού στη μετάδοση της εικόνας και ο ατμοσφαιρικός θόρυβος (π.χ. από τα σύννεφα) σε εικόνες από δορυφόρους. Σε αυτά τα περιβάλλοντα, τα μη προσαρμοστικά φίλτρα δεν έχουν καλές επιδόσεις, γιατί τα χαρακτηριστικά τους εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά του σήματος και του θορύβου που είναι άγνωστα. Έτσι, τα προσαρμοστικά φίλτρα είναι η αναγκαία επιλογή σε αυτές τις περιπτώσεις. Οι επιδόσεις των προσαρμοστικών φίλτρων εξαρτώνται από την ακρίβεια εκτίμησης συγκεκριμένων χαρακτηριστικών του σήματος και του θορύβου. Και συγκεκριμένα τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του σήματος κα τυπική απόκλιση του θορύβου. Η εκτίμηση αυτή είναι συνήθως τοπική, δηλαδή σχετικά μικρά παράθυρα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των χαρακτηριστικών του σήματος και του θορύβου. 3 Ένας άλλος λόγος για τη χρήση προσαρμοστικών φίλτρων είναι ότι η πληροφορία των περιγραμμάτων είναι πολύ σημαντική για το ανθρώπινο μάτι και πρέπει να διατηρηθεί. Συγκεκριμένα φίλτρα, π.χ. το φίλτρο κινούμενου μέσου, συμπεριφέρονται καλά σε ομοιογενείς περιοχές της εικόνας αλλά αποτυγχάνουν κοντά στα περιγράμματα. Το αντίθετο συμβαίνει με άλλα φίλτρα, π,χ, το φίλτρο μεσαίου. Έτσι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας συνδυασμός φίλτρων ο οποίος να φιλτράρει με διαφορετικό τρόπο τις ομοιογενείς περιοχές της εικόνας από ότι τα περιγράμματα. Αυτά τα φίλτρα ονομάζονται φίλτρα απόφασης (decision directed filters) γιατί χρησιμοποιούν έναν ανιχνευτή περιγραμμάτων για να διαπιστώσουν την ύπαρξη ή μη περιγραμμάτων. Οι στατιστικές διάταξης δεδομένων είναι ένα πολύ αποτελεσματικό εργαλείο στην ανίχνευση περιγραμμάτων. 8 Τα φίλτρα απόφασης μπορούν να λαμβάνουν υπ όψη τους όχι μόνο την πληροφορία των περιγραμμάτων αλλά και του κρουστικού θορύβου. Οι κρουστικοί παλμοί, όταν ανιχνεύονται, μπορούν να μη χρησιμοποιηθούν στην εκτίμηση του τοπικού μέσου, του τοπικού μεσαίου και της τυπικής απόκλισης. Επιπλέον, όταν εντοπιστεί κάποιο περίγραμμα, τότε το παράθυρο του φίλτρου μπορεί να γίνει μικρότερο έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το θόλωμα του περιγράμματος. Ένα τέτοιο φίλτρο είναι το φίλτρο ανίχνευσης περιγραμμάτων προσαρμοστικού παραθύρου (adaptive window edge detection (AWED) filter) Ιστόγραμμα και Ισοστάθμιση Ιστογράμματος Μια χρήσιμη προσέγγιση στην ψηφιακή επεξεργασία εικόνας είναι να θεωρήσουμε την φωτεινότητα f(i,j) σε κάθε σημείο της εικόνας σαν τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η pdf της εικόνας περιέχει συνολική πληροφορία για το περιεχόμενο της εικόνας. Όμως, γενικά η pdf δεν είναι διαθέσιμη και πρέπει να εκτιμηθεί από την ίδια την εικόνα κάνοντας χρήση της εμπειρικής πυκνότητας πιθανότητας που λέγεται ιστόγραμμα. 8 Το ιστόγραμμα της εικόνας φέρει σημαντική πληροφορία για το περιεχόμενο της. Γενικά περιγράφει την κατανομή των χρωμάτων ενός συνόλου εικονοστοιχείων και εκφράζει τη συχνότητα με την οποία κάθε ένα χρώμα εμφανίζεται στο σύνολο του. Για παράδειγμα στις ασπρόμαυρες εικόνες έχουμε ένα 1D ιστόγραμμα, στις εγχρωμες εικόνες έχουμε 3D ιστόγραμμα & γραμμικοποιημένα (linearized) ιστογράμματα. Αυτό είναι χρήσιμο για συγκεκριμένες τεχνικές ανάλυσης, π.χ. κατωφλίωση

16 Εικόνα 1. Παράδειγμα 3D ιστογράμματος. Περιγράφει την κατανομή των χρωμάτων ενός συνόλου εικονοστοιχείων και εκφράζει τη συχνότητα με την οποία κάθε ένα χρώμα εμφανίζεται στο σύνολο του Ισοστάθμιση ιστογράμματος Αν το ιστόγραμμα μιας εικόνας είναι συγκεντρωμένο σε μια μικρή περιοχή φωτεινοτήτων, τότε η αντίθεση (contrast) της εικόνας και η υποκειμενική ποιότητά της είναι χαμηλή. Η ποιότητα της εικόνας μπορεί να βελτιωθεί τροποποιώντας το ιστόγραμμα. Αυτό μπορεί να γίνει με μια τεχνική που ονομάζεται ισοστάθμιση ιστογράμματος (histogram equalization). 8 Στην παρακάτω σειρά εικόνων παρουσιάζεται ένα παράδειγμα με τη χρήση ισοστάθμισης ιστογράμματος. Οι τιμές των pixels της εικόνας εισόδου 2α βρίσκονται στο διάστημα [0,255]. Στην εικόνα 2β συμπιέζονται στο διάστημα [0,127] και στη συνέχεια, στην 2γ, συμπιέζονται στο διάστημα [128,255]. Τέλος, στην 2δ, αντιστρέφονται συμμετρικά ως προς το α 2β 2γ Εικόνα 2. Παράδειγμα ισοστάθμισης ιστογράμματος 2δ Ένα ακόμα παράδειγμα ισοστάθμισης ιστογράμματος είναι και το παρακάτω. Στην 3α παρουσιάζεται η αρχική εικόνα και στο σχήμα β φαίνεται το ιστόγραμμα της αρχικής εικόνας 13

17 όπου οι τιμές των pixels είναι συγκεντρωμένες στο πρώτο μισό του ιστογράμματος. Στην εικόνα 3γ φαίνεται η επεξεργασία της μετά την ισοστάθμιση του ιστογράμματός της και τέλος στο σχήμα δ παρουσιάζεται το ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα, όπου παρατηρούμε πως οι τιμές των pixels είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε όλο το ιστόγραμμα. 19 Εικόνα 3. Παράδειγμα ισοστάθμισης ιστογράμματος Ψευδοχρωματισμός Σε πολλές εφαρμογές το ανθρώπινο μάτι είναι πιο ευαίσθητο στις αλλαγές χρώματος παρά στις αλλαγές έντασης φωτεινότητας και κυρίως σε εφαρμογές παρακολούθησης, όπως παρακολούθηση για ασφάλεια, έλεγχος ποιότητας και τηλεπισκόπηση. Έτσι, είναι φυσικό να κωδικοποιήσουμε την ένταση φωτεινότητας της ασπρόμαυρης εικόνας χρησιμοποιώντας πληροφορία χρώματος. Αυτή η διαδικασία λέγεται ψευδοχρωματισμός (pseudocoloring). Το αποτέλεσμα του ψευδοχρωματισμού συνήθως είναι ευχάριστο στο ανθρώπινο μάτι. Έτσι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για καλλιτεχνικές εφαρμογές, όπως δημιουργία οπτικών εφέ. 7 Ορισμένοι τρόποι με τους οποίους επιτυγχάνουμε τον ψευδοχρωματισμό μίας ασπρόμαυρης εικόνας βάσει του ιστογράμματος είναι οι ακόλουθοι: 8 Προσδιορισμός συγκεκριμένου χρώματος σε κάθε τμήμα του ιστογράμματος. Με γραμμικούς μετασχηματισμούς του ιστογράμματος. Με τη μέθοδο διακεκριμενοποίηση της έντασης φωτεινότητας και Με φιλτράρισμα Ημιτονισμός ψηφιακής εικόνας Οι περισσότερες ασπρόμαυρες εικόνες περιέχουν ένα αρκετά μεγάλο αριθμό επιπέδων του γκρι (συνήθως 256). Τέτοιες εικόνες μπορούν εύκολα να παρουσιαστούν σε μια οθόνη υπολογιστή. Όμως, δεν μπορούν να εκτυπωθούν, γιατί σχεδόν όλες οι τεχνολογίες εκτύπωσης μπορούν να εκτυπώσουν μόνο δυαδικές εικόνες. Έτσι, οποιαδήποτε εικόνα επιπέδων του γκρι πρέπει πρώτα να μετατραπεί σε δυαδική και μετά να εκτυπωθεί. Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα χάρη σε ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό της ανθρώπινης όρασης. Το ανθρώπινο μάτι βλέπει τις γειτονικές μαύρες και άσπρες κουκίδες σαν κάτι το ενιαίο. Αν οι κουκίδες είναι μικρές και τις βλέπουμε από μια φυσιολογική απόσταση ανάγνωσης, τότε μαύρες και λευκές κουκίδες με διαφορετικές αναλογίες δημιουργούν την εντύπωση 14

18 διαφορετικών επιπέδων του γκρι. Η διαδικασία μετατροπής μιας εικόνας επιπέδων του γκρι σε μια ημιτονισμένη εικόνα ονομάζεται ημιτονισμός. Όπως είναι αναμενόμενο, η ανάλυση μιας ημιτονισμένης εικόνας είναι μικρότερη από την ανάλυση της αντίστοιχης εικόνας με επίπεδα του γκρι, αν οι δυο εικόνες έχουν το ίδιο μέγεθος. Η υψηλή ανάλυση θυσιάζεται για να δημιουργήσουμε επίπεδα του γκρι με ημιτονισμό. Αν η υψηλή ανάλυση είναι μεγάλης σημασίας, τότε πρέπει το μέγεθος της ημιτονισμένης εικόνας να είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό της εικόνας με επίπεδα του γκρι. 8 Αρκετές τεχνικές έχουν επινοηθεί για τον ημιτονισμό ψηφιακής εικόνας. Πολλές από αυτές βασίζονται σε δυαδική κατωφλίωση. Αν και η δυαδική κατωφλίωση είναι το πρώτο βήμα στον ημιτονισμό, δεν παράγει ημιτονισμένες εικόνες, γιατί δεν δημιουργεί περιοχές με μεταβλητή πυκνότητα κουκίδων. Μια καλύτερη τεχνική ημιτονισμού βασίζεται στη δημιουργία δυαδικών φόντων επιπέδων του γκρι. Ο ημιτονισμός με δυαδικά φόντα επιπέδων του γκρι είναι σχετικά απλός και εύκολος στην υλοποίηση. Το κύριο μειονέκτημα του είναι ότι δημιουργεί εσφαλμένες γραμμές και περιγράμματα σε ομοιογενείς περιοχές της εικόνας, που οφείλονται στη διάταξη των κουκίδων όπως προκύπτει από τα δυαδικά φόντα επιπέδων του γκρι. Έτσι, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς κάποια τροποποίηση. Ο ψευδοτυχαίος ημιτονισμός μπορεί να λύσει το πρόβλημα των εσφαλμένων καμπυλών. Αν προστεθεί στην εικόνα τυχαίος θόρυβος και κατόπιν εφαρμοστεί κατωφλίωση, τότε εισάγεται στην ημιτονισμένη εικόνα δυαδικός θόρυβος. Αυτός o θόρυβος καταστρέφει τις εσφαλμένες καμπύλες που δημιουργούνται από τη διαδικασία ημιτονισμού. Αυτή η διαδικασία προσθήκης τυχαίου θορύβου και κατωφλίωσης είναι ισοδύναμη με την κατωφλίωση της εικόνας με τυχαίο κατώφλι Μη Γραμμικά Ψηφιακά Φίλτρα Η απόδοση των γραμμικών ψηφιακών φίλτρων δεν είναι ικανοποιητική σε όλες τις περιπτώσεις της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος. Σε προβλήματα που σχετίζονται με την εξάλειψη ειδικών μορφών θορύβου, με την επεξεργασία σήματος που έχει υποστεί την επίδραση μη γραμμικών συστημάτων ή ακόμα με το διαχωρισμό ειδικών χαρακτηριστικών του σήματος, τα γραμμικά φίλτρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Έτσι ένα απλό γραμμικό φίλτρο, όπως είναι ένα κύκλωμα μέσης τιμής 5 σημείων, δεν μπορεί να αποκόψει τελείως κάποια αιχμή θορύβου, αλλά απλά διασπείρει την ενέργειά της σε έκταση όση είναι το μήκος του φίλτρου. Επίσης, αμβλύνει τις ακμές (απότομη μεταβολή από μία περιοχή σταθερής περίπου τιμής σε μία άλλη) που είναι απαραίτητες σε σήματα όπως είναι οι παλμοί, δημιουργώντας έτσι ένα είδος θόλωσης (blurring). Το φαινόμενο αυτό είναι καταστρεπτικό για τις εικόνες, στα όρια των διαφορετικών περιοχών που περιέχουν. 12 Η χρησιμότητα των μη γραμμικών φίλτρων γίνεται φανερή όταν κανείς ασχοληθεί με την ψυχοφυσιολογία των αισθήσεων (όρασης και ακοής) και διαπιστώσει τον μη γραμμικό τρόπο λειτουργίας τους. Επιπλέον, τα μη γραμμικά φίλτρα έχουν την ιδιότητα να μην αλλοιώνουν τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της εικόνας, όπως είναι οι ακμές της. Θα εστιάσουμε στα δύο σπουδαιότερα είδη μη γραμμικών φίλτρων, τα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής (median) και τα μορφολογικά, και θα μελετήσουμε τόσο τη μονοδιάστατη όσο και τη δισδιάστατη μορφή τους Μονοδιάστατα Φίλτρα Ενδιάμεσης Τιμής Τα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής ή median και η γενικότερη κατηγορία των order statistic φίλτρων αποτελούν δυναμικούς (robust) εκτιμητές στατιστικών παραμέτρων, αλλά και δυναμικά φίλτρα για δύσκολα σήματα. Τα order statistic φίλτρα έχουν καλή συμπεριφορά σε θόρυβο αιχμών, καθώς επίσης και σε θόρυβο που έχει πυκνότητα πιθανότητας με επιμήκη ουρά (long tailed distribution). Επίσης διατηρούν τις ακμές των σημάτων και μπορούν να γίνουν προσαρμοζόμενα. Το median φίλτρο που είναι το πλέον διαδεδομένο από τα order statistic, προτάθηκε από τον Tukey το Στη συνέχεια παρουσιάστηκαν παραλλαγές του 15

19 φίλτρου αυτού με εφαρμογές στην επεξεργασία και ανάλυση εικόνας, στην ψηφιακή τηλεόραση, καθώς και στην επεξεργασία και κωδικοποίηση φωνής Αποκοπή θορύβου αιχμών - Διατήρηση ακμών Το σπουδαιότερο πλεονέκτημα των median φίλτρων είναι η δυνατότητα να αποκόπτουν εντελώς το θόρυβο αιχμών (impulsive ή salt and pepper noise), ενώ διατηρούν αναλλοίωτες τις απότομες αλλαγές του ίδιου του σήματος. Το πλήθος Ν των δειγμάτων που θα χρησιμοποιηθούν κάθε φορά εξαρτάται τόσο από τις ιδιότητες του σήματος, όσο και από αυτές του θορύβου Είδη σημάτων για το median φίλτρο Για τη μελέτη της συμπεριφοράς των φίλτρων median, μερικά ψηφιακά σήματα με ειδικό ενδιαφέρον, έχουν ταξινομηθεί ως εξής: Αιχμή θορύβου καλείται ο παλμός εύρους ενός ή περισσότερων δειγμάτων, ο οποίος όταν περάσει μέσα από ένα median φίλτρο αποκόπτεται πλήρως. Για να γίνει αυτό για ένα median 2Μ+1 σημείων, θα πρέπει το εύρος της αιχμής να είναι το πολύ Μ σημεία. Σταθερή περιοχή σήματος για ένα median φίλτρο 2Μ+1 σημείων ονομάζεται τμήμα του σήματος μήκους μεγαλύτερο από Μ σημεία, με (περίπου) σταθερή τιμή. Το τμήμα αυτό του σήματος παραμένει αμετάβλητο μετά τη διέλευσή του μέσα από το median. Ακμή (edge) σήματος λέγεται το σημείο μεταξύ δύο σταθερών περιοχών. Ταλάντωση σήματος καλείται το σήμα που δεν είναι αιχμή, σταθερή περιοχή ή ακμή. Πρέπει να σημειώσουμε εδώ ότι ένα σήμα μπορεί να περάσει πολλές φορές μέσα από ένα median και κάθε φορά να αλλάζει. Το σήμα που δεν αλλάζει περνώντας μέσα από ένα συγκεκριμένο median λέμε ότι είναι ριζικό σήμα (root) για το median αυτό. Για ένα φίλτρο median δεν υπάρχει μόνο ένα root σήμα. Αντίθετα, κάθε σήμα περνώντας αρκετές φορές μέσα από ένα median θα καταλήξει σε root. Οι υπολογισμοί που απαιτούνται για την υλοποίηση ενός median φίλτρου αυξάνουν δραστικά με την αύξηση του μεγέθους του φίλτρου. Δεδομένου ότι για την υλοποίηση του median φίλτρου χρειάζεται να προβούμε σε συγκρίσεις για να πραγματοποιηθεί η ταξινόμηση των δειγμάτων του σήματος εισόδου, η διαδικασία είναι αρκετά χρονοβόρα. Έτσι, για την ταξινόμηση των δειγμάτων χρησιμοποιούνται διάφοροι αλγόριθμοι (π.χ. quick-sort) που είναι αρκετά γρήγοροι. Με την απλούστερη διαδικασία ταξινόμησης δειγμάτων, αυτή της φυσαλίδας (bubble-sort), απαιτείται αριθμός συγκρίσεων ανάλογος με το τετράγωνο των δειγμάτων του σήματος που ταξινομούνται Δυσδιάστατα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής Τα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής ενδείκνυνται να χρησιμοποιηθούν στα δυσδιάστατα σήματα και κυρίως στην εικόνα. Οι δύο σημαντικότεροι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: Συνήθης θόρυβος στις εικόνες είναι ο θόρυβος αιχμών, τον οποίο τα median φίλτρα εξαλείφουν εντελώς. Τα median φίλτρα δεν αλλοιώνουν τις ακμές στην εικόνα, οι οποίες αποτελούν σημαντικό χαρακτηριστικό για την ανθρώπινη όραση. Ένα παράδειγμα εξαγωγής θορύβου αιχμών από εικόνα με median φίλτρο φαίνεται στην Εικόνα

20 Εικόνα 4. α) Η αρχική εικόνα περιέχει πυκνό θόρυβο αιχμών β) Με τη χρήση ενός δισδιάστατου median φίλτρου μεγέθους 3x3 ο θόρυβος αιχμών έχει εντελώς εξαλειφθεί Τα φίλτρα ενδιάμεσης τιμής εφαρμόζονται στις δύο διαστάσεις με διάφορους τρόπους, ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του σήματος (εικόνας) και τη διατιθέμενη υπολογιστική ισχύ. Οι τρεις κυριότεροι τρόποι εφαρμογής τους είναι οι ακόλουθοι: α. Κάθε εικονοστοιχείο της εικόνας εξόδου υπολογίζεται από την median τιμή των εικονοστοιχείων της εικόνας εισόδου που βρίσκονται στη γειτονιά του. Η γειτονιά αυτή δεν είναι απαραίτητο να είναι τετραγωνική περιοχή. Για μια σχετικά μικρή γειτονιά 5x5, πρέπει να ταξινομηθούν οι τιμές των 25 εικονοστοιχείων που περιέχει. Επομένως η διαδικασία απαιτεί αρκετούς υπολογισμούς όταν το median έχει δύο διαστάσεις (μορφή δυσδιάστατου παραθύρου). β. Εφαρμόζουμε δύο γραμμικά median φίλτρα σε δύο κάθετες κατευθύνσεις. Πρώτα εφαρμόζεται το οριζόντιο median φίλτρο στις γραμμές της εικόνας και στο αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας εφαρμόζεται το κάθετο median στις στήλες. Η διαδικασία αυτή είναι η ταχύτερη δυνατή. γ. Εφαρμόζουμε ταυτόχρονα ένα κάθετο και ένα οριζόντιο median σε κάθε θέση της εικόνας. Το εικονοστοιχείο εξόδου είναι η μέση τιμή της εξόδου των δύο median. 12 Πρέπει να σημειωθεί ότι τα φίλτρα ως γραμμικά συστήματα έχουν και μειονεκτήματα. Το κυριότερο από αυτά είναι η θόλωση που προκαλεί στις ακμές της εικόνας, όταν προσπαθούμε να εξάγουμε θόρυβο Φίλτρα κινούμενου μέσου και μεσαίου O κρουστικός θόρυβος είναι μια συνήθης παραμόρφωση που παρατηρείται στις ψηφιακές εικόνες. Έχει την μορφή έντονων χρωματικά κηλίδων, κατά βάση άσπρων και μαύρων και σε αυτό το φαινόμενο οφείλει και την ονομασία του ως salt and pepper θόρυβος. Η πιο συνηθισμένη αιτία εμφάνισης του είναι η ατελής λειτουργία των στοιχείων που σχετίζονται με την σύλληψη και ψηφιοποίηση μιας εικόνας. Έτσι πρέπει να χρησιμοποιούνται χαμηλoπέρατα φίλτρα για την αφαίρεση του θορύβου. 8 Θα δούμε παρακάτω δύο ψηφιακά φίλτρα που μπορούν να εφαρμοστούν για την αποκατάσταση εικόνων που υποφέρουν από κρουστικό θόρυβο. Τα φίλτρα αυτά, είναι το φίλτρο μέσου όρου (average) και το φίλτρο μεσαίου (median). Δύο grayscale εικόνες θα χρησιμοποιηθούν για την επίδειξη των ιδιοτήτων των φίλτρων και θα παρουσιαστούν υλοποιήσεις τους σε περιβάλλον MATLAB. 9 Ο θόρυβος σε μια εικόνα γίνεται αντιληπτός με την εμφάνιση λευκών και μαύρων κηλίδων στην εικόνα. Οι εικόνες 5 & 6 αποτελούν παραδείγματα εικόνων που έχουν παραμορφωθεί από κρουστικό θόρυβο. Ο θόρυβος είναι πολύ έντονος οπτικά και αυτό οφείλεται στο ότι η εμφάνιση του έχει ως αποτέλεσμα pixels των εικόνων να παίρνουν τις ακραίες τιμές του grayscale φάσματος σε τυχαία σημεία, οπότε δημιουργείται μεγάλη αντίθεση. 17

21 Εικόνα 5. Εικόνα που έχει παραμορφωθεί από κρουστικό θόρυβο Εικόνα 6. Εικόνα που έχει παραμορφωθεί από κρουστικό θόρυβο Οι υψηλές αντιθέσεις που δημιουργούν τα στίγματα του θορύβου στις εικόνες ουσιαστικά υποδεικνύουν ότι ο θόρυβος θα εντοπίζεται στις υψηλές συχνότητες των εικόνων. Κατά συνέπεια, αν κάποιος επιθυμεί να τον απομακρύνει θα πρέπει να κάνει χρήση χαμηλοπερατών φίλτρων. Δύο τέτοια φίλτρα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι το φίλτρο μέσου όρου και το φίλτρο μεσαίου Φίλτρο Μέσου Όρου. Το φίλτρο μέσου όρου (ή αλλιώς κινούμενου μέσου όρου - moving average filter) είναι το απλούστερο δυσδιάστατο χαμηλοπερατό FIR (Finite Impulse Response) φίλτρο. Αν οι διαστάσεις του είναι περιττοί αριθμοί Μ i = 2v i + 1, i = 1,2, τότε ορίζεται ως εξής : 8 ν ν 1 y n n x n k n k (1.1) 2 2 (, ) = (, ) MM 1 2 k1= ν1 k2= ν2 Η κρουστική απόκριση του φίλτρου ορίζεται ως : = 1 MM για ν ν ν ν (1.2) (, ) ( n, n ) [, ] [, ] h n n Στην πράξη, για την υλοποίηση του φίλτρου θεωρούμε ένα παράθυρο μεγέθους n x m (n, m περιττοί αριθμοί) με κέντρο κάθε φορά ένα pixel της εικόνας. Ο μέσος όρος των τιμών όλων των pixels του παραθύρου υπολογίζεται και ο αριθμός που προκύπτει γίνεται η νέα τιμή του κεντρικού pixel του παραθύρου. Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται για όλα τα pixels της εικόνας, εκτός από εκείνα στα άκρα της εικόνας για τα οποία δεν μπορεί να σχηματιστεί το παράθυρο με κέντρο αυτά. Η συνάρτηση που ακολουθεί υλοποιεί σε περιβάλλον MATLAB το φίλτρο μέσου όρου. Στην συγκεκριμένη υλοποίηση το παράθυρο που χρησιμοποιείται είναι διαστάσεων 3x3. Για να υπολογιστούν σε αυτήν την περίπτωση οι τιμές των pixels που βρίσκονται στα άκρα της εικόνας υπάρχουν κάποιες προσεγγίσεις από τις οποίες υιοθετείται η συμπλήρωση του περιγράμματος της εικόνας με επαρκή αριθμό μηδενικών (οπότε προστίθεται ένα περίγραμμα με μηδενικά στην εικόνα προκειμένου να γίνουν οι σχετικοί υπολογισμοί). Τέλος πρέπει να σημειωθεί ότι επειδή ο μέσος όρος που υπολογίζεται με βάση τον παραπάνω περιγραφέν τρόπο, δεν είναι πάντα ακέραιος αριθμός, γίνεται κάθε φορά στρογγυλοποίηση στο κοντινότερο grey level

22 function y = avgfilter2d(x) %Συνάρτηση που υλοποιεί το φίλτρο μέσου όρου %ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : 1. Χρησιμοποιείται παράθυρο μεγέθους 3x3 % 2. Προσθέτουμε μηδενικά (zero padding) στα άκρα % της εικόνας προκειμένου να μπορέσουμε να % υπολογίσουμε τις τιμές των pixels στα άκρα της % αρχικής εικόνας % 3. Γίνεται στρογγυλοποίηση στο κοντινότερο grey level n1 = size(x,1); n2 = size(x,2); y = zeros(n1+2,n2+2); y(2:n1+1,2:n2+1) = x; for i = 2:n2+1 for j = 2:n1+1 y(i,j) = round(sum(sum(y(i-1:i+1,j-1:j+1)))/9); end end y = y(2:n1+1,2:n2+1); Tο παραπάνω φίλτρο εφαρμόζεται στις Εικόνες 5 και 6. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν παρουσιάζονται ακολούθως (Εικόνες 7 και 8 αντίστοιχα). Όπως μπορεί να παρατηρηθεί, τα αποτελέσματα δεν είναι και τόσο ικανοποιητικά. Σίγουρα η ποιότητα των εικόνων έχει βελτιωθεί, αλλά ο θόρυβος που στις αρχικές εικόνες είναι πολύ έντονος δεν έχει εξαλειφθεί, απλά έχει μειωθεί κάπως η αντίθεση του σε σχέση με το περιεχόμενο της εικόνας. Αυτό που παρατηρείται στις εικόνες που έχουν προκύψει μετά το φιλτράρισμα είναι ότι πλέον οι κουκίδες του θορύβου (στίγματα) που υπήρχαν στις αρχικές εικόνες δεν έχουν εξαλειφθεί, απλά το χρώμα τους είναι πλέον πιο κοντά στα χρώματα των γειτονικών pixels δημιουργώντας έτσι μικρότερη αντίθεση στο οπτικό αποτελέσματα. 9 Εικόνα 7. Η Εικόνα 5 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μέσου όρου Εικόνα 8. H Εικόνα 6 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μέσου όρου 19

23 Tο δεύτερο πράγμα που μπορεί να παρατηρηθεί είναι ότι έχει μειωθεί πολύ το sharpness της εικόνας. Τα περιγράμματα μεταξύ των σχημάτων έχουν γίνει λιγότερο έντονα, με αποτέλεσμα να μην τονίζονται οι λεπτομέρειες της εικόνας. Αυτό είναι και το σημαντικότερο μειονέκτημα του φίλτρου αυτού. Καθώς η ισχύς των ακμών, γωνιών και περιγραμμάτων βρίσκεται στις υψηλές συχνότητες, η χρήση ενός τέτοιου χαμηλοπερατού φίλτρου έχει ως αποτέλεσμα την υποβάθμιση τους Φίλτρο Μεσαίου Πέρα από το φίλτρο μέσου όρου, για την αποκατάσταση των εικόνων μπορεί να χρησιμοποιηθεί και κάποιο μη γραμμικό χαμηλοπερατό φίλτρο, το φίλτρο μεσαίου (median), με στόχο την εξάλειψη του θορύβου αλλά παράλληλα την διατήρηση των λεπτομερειών και των περιγραμμάτων των εικόνων. Το φίλτρο μεσαίου βασίζεται στην διάταξη των δεδομένων. Αν έχουμε n παρατηρήσεις (όπου n περιττός) και τις διατάξουμε σε αύξουσα σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, τότε ως μεσαίος ορίζεται η παρατήρηση εκείνη που βρίσκεται στο μέσο της διάταξης, όχι η μεσαία τιμή ή ο μέσος όρος. Για παράδειγμα αν έχουμε τους 8 αριθμούς 0,0,0,0,0,6,8,12,14 (είναι ήδη διαταγμένοι) τότε ο μεσαίος είναι το 0. Πιο φορμαλιστικά, αν θεωρήσουμε n στοιχεία x i, i = 1,...,n (n περιττός) διατεταγμένα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, τότε το στοιχείο που βρίσκεται στην μεσαία θέση της διάταξης ονομάζεται μεσαίος (συμβολίζεται με med(x i )) και είναι το στοιχείο εκείνο που ελαχιστοποιεί την L 1 νόρμα : 8 n xi med min (1.3) i= 1 Από την παραπάνω σχέση, ο μεσαίος είναι ο εκτιμητής της μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood) της θέσης, αν τα δεδομένα ακολουθούν κάποια κατανομή όπως η Laplace. Ένα διδιάστατο φίλτρο μεσαίου έχει τον ακόλουθο ορισμό: 8 { 2 } (, ) (, ):(, ),(, ) y i j = med x i+ r j+ s r s A i j Z (1.4) όπου με Z 2 = Z x Z δηλώνεται το επίπεδο της εικόνας και το Α (υποσύνολο του Z 2 ) είναι το παράθυρο του φίλτρου που χρησιμοποιείται. 8 Για την υλοποίηση του φίλτρου μεσαίου, θεωρείται όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ένα παράθυρο μεγέθους n x m (n, m περιττοί αριθμοί) με κέντρο κάθε φορά ένα pixel της εικόνας. Υπολογίζεται ο μεσαίος των τιμών όλων των pixels του παραθύρου και ο μεσαίος που προκύπτει είναι η νέα τιμή του κεντρικού pixel του παραθύρου. Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται για όλα τα pixels της εικόνας, εκτός από εκείνα στα άκρα της εικόνας για τα οποία δεν μπορεί να σχηματιστεί το παράθυρο με κέντρο αυτά. 8 Προφανώς η σχέση που παρουσιάστηκε παραπάνω, δεν μπορεί να ισχύσει για τα ακραία pixels της εικόνας. Για να εφαρμοστεί το φίλτρο σε αυτά τα pixels υπάρχουν δυο προσεγγίσεις. Η μία είναι να αποκοπεί κατάλληλα το παράθυρο Α του φίλτρου και η άλλη είναι να συμπληρωθεί η εικόνα με επαρκή αριθμό νέων δειγμάτων (pixels στα άκρα της εικόνας) ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί το παράθυρο Α. 9.. Η προσέγγιση που έχει ακολουθηθεί στην υλοποίηση που παρουσιάζεται παρακάτω είναι η δεύτερη. Το περίγραμμα της εικόνας συμπληρώνεται με επαρκή αριθμό μηδενικών (μαύρα pixels) ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί το φίλτρο. Εφόσον έχει επιλεγεί ένα παράθυρο 3x3 αρκεί να προστεθούν μόνο μια σειρά από τέτοια pixels σε κάθε άκρο της εικόνας. Μια τελευταία παρατήρηση σχετικά με την υλοποίηση. Όπως αναφέρθηκε, το φίλτρο στηρίζεται στην διάταξη των στοιχείων. Άρα για την υλοποίηση του χρειάζεται ένας αλγόριθμος διάταξης (sorting) των στοιχείων του εκάστοτε παραθύρου. Προφανώς οποιοσδήποτε τέτοιος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί (π.χ. Heapsort, Quicksort, Mergesort, Bubblesort κτλ). 20

24 Για λόγους απλότητας, στην συγκεκριμένη περίπτωση δε έχει υλοποιηθεί κάποιος τέτοιος αλγόριθμος αλλά γίνεται χρήση της ενσωματωμένης συνάρτησης του MATLAB, sort(). 9 function y = medianfilter2d(x) %Συνάρτηση που υλοποιεί το φίλτρο μεσαίου %ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : 1. Χρησιμοποιείται παράθυρο μεγέθους 3x3 % 2. Προσθέτουμε μηδενικά (zero padding) στα άκρα της % εικόνας προκειμένου να μπορέσουμε να υπολογίσουμε % τις τιμές των pixels στα άκρα της αρχικής εικόνας n1 = size(x,1); n2 = size(x,2); y = zeros(n1+2,n2+2); y(2:n1+1,2:n2+1) = x; for i = 2:n2+1 end for j = 2:n1+1 end winvec(1,1:3) = y(i-1,j-1:j+1); winvec(1,4:6) = y(i,j-1:j+1); winvec(1,7:9) = y(i+1,j-1:j+1); % το διάνυσμα winvec περιέχει τις τιμές όλων των pixels του % παραθύρου % sortvec = sort(winvec); % το sortvec περιέχει σε αύξουσα σειρά τις τιμές όλων των pixels % του παραθύρου % οπότε ο median θα είναι το μεσαίο στοιχείο του διανύσματος y(i,j) = sortvec(5); y = y(2:n1+1,2:n2+1); H εφαρμογή του παραπάνω φίλτρου στις Εικόνες 5 και 6 δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα : Εικόνα 9. Η Εικόνα 5 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μεσαίου Εικόνα 10. H Εικόνα 6 μετά από επεξεργασία με το φίλτρο μεσαίου. 21

25 Όπως μπορεί να παρατηρηθεί το αποτέλεσμα είναι πάρα πολύ ικανοποιητικό, ειδικά σε σύγκριση με το προηγούμενο φίλτρο. Τούτο συμβαίνει γιατί τα φίλτρα μεσαίου έχουν ορισμένες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όπως έχει αναφερθεί είναι χαμηλοπερατά φίλτρα άρα έχουν την ιδιότητα να αφαιρούν το θόρυβο που εμφανίζεται κυρίως στις υψηλές συχνότητες. Επίσης επειδή ο μεσαίος είναι ένας ανθεκτικός εκτιμητής, ένα απλό σφάλμα (όπως π.χ. ένας μοναδιαίος παλμός) δεν επηρεάζει την επίδοση του φίλτρου, ακόμα και αν το μέγεθος του είναι πολύ μεγάλο ή πολύ μικρό. Αυτές οι ιδιότητες ανθεκτικότητας καθιστούν το φίλτρο μεσαίου κατάλληλο για την αφαίρεση κρουστικού θορύβου, πράγμα που αποδεικνύεται από την επιτυχία του φίλτρου στις παραμορφωμένες από κρουστικό θόρυβο Εικόνες 1 και 2. Επιπλέον άλλο ένα χαρακτηριστικό του φίλτρου αυτού είναι ότι έχει την τάση να διατηρεί τα περιγράμματα στην εικόνα. Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσμα να εμφανίζεται η εικόνα καλύτερη στο μάτι σε σχέση με το φίλτρο μέσου όρου που τείνει να εξομαλύνει τα περιγράμματα Μορφολογικά φίλτρα Τα μορφολογικά φίλτρα είναι μη γραμμικά φίλτρα που έχουν τις βάσεις τους στη μαθηματική μορφολογία και κατ' επέκταση στη θεωρία συνόλων. Αποδεικνύεται όμως ότι τα μορφολογικά φίλτρα είναι αλλεπάλληλες διαδικασίες εύρεσης μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Έτσι, παρακάτω, θα μελετήσουμε τα μορφολογικά φίλτρα ως φίλτρα μεγίστου-ελαχίστου. Εξάλλου, η διαδικασία εύρεσης της ελάχιστης ή της μέγιστης τιμής αντιστοιχεί σε order statistic φίλτρο που η έξοδός του είναι το πρώτο (min) ή το τελευταίο (max) από τα ταξινομημένα δείγματα του σήματος. Σημειωτέον ότι η εύρεση της ελάχιστης ή της μέγιστης τιμής από μία ομάδα δειγμάτων του σήματος είναι διαδικασία ταχύτατη και δεν απαιτεί την ταξινόμηση του συνόλου των δειγμάτων Τα μονοδιάστατα μορφολογικά φίλτρα Σε ένα φίλτρο μέγιστης τιμής παρατηρούμε τις τιμές του σήματος μέσα σε ένα παράθυρο μήκους N και επιλέγουμε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή αντίστοιχα. Το μέγεθος του φίλτρου αντιστοιχεί στο μέγεθος του παραθύρου. Τα μονοδιάστατα μορφολογικά φίλτρα είναι ίδια με τα φίλτρα μέγιστης ή ελάχιστης τιμής. Η μόνη διαφορά βρίσκεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιούν επιπλέον ένα σήμα-συνάρτηση μήκους όσο και το μήκος του παραθύρου που παρατηρούμε. Το σήμα αυτό καλείται δομικό στοιχείο (structuring element). 12 Ο τρόπος λειτουργίας των μορφολογικών φίλτρων μέγιστης τιμής είναι ο ακόλουθος: Συνδυάζουμε τους παρακάτω βασικούς τελεστές: Dilation (Διαστολή). Το οποίο απαλείφει μικρές σκοτεινές περιοχές και ορίζεται ως το μέγιστο, σε μια περιοχή της εικόνας, του αθροίσματος της φωτεινότητας της εικόνας και της τιμής μιας μάσκας. Εάν οι τιμές της μάσκας είναι θετικές, η εικόνα εξόδου είναι περισσότερο φωτεινή από την εικόνα εισόδου και το σχήμα της μάσκας (structuring element) επιλέγεται ώστε να δίνει έμφαση ή μη σε συγκεκριμένα στοιχεία της εικόνας. 2. Erosion (Διάβρωση). Ο συγκεκριμένος συντελεστής απαλείφει μικρές φωτεινές περιοχές και ορίζεται ως το ελάχιστο, σε μια περιοχή της εικόνας, της διαφοράς μεταξύ της φωτεινότητας της εικόνας και της τιμής μιας μάσκας. Εάν οι τιμές της μάσκας είναι θετικές, η εικόνα εξόδου είναι λιγότερο φωτεινή από την εικόνα εισόδου. 3. Opening(Άνοιγμα). Αυτός ο τελεστής ορίζεται ως η Διαστολή της Διάβρωσης της εικόνας. 4. Closing(Κλείσιμο) ορίζεται ως η Διάβρωση της Διαστολής της εικόνας. 22