Μη γραμμικά Φίλτρα. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 1/50

Transcript

1 Μη γραμμικά Φίλτρα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ /50

2 Φίλτρα διάμεσης τιμής (median,order statistic) Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής Μορφολογικά φίλτρα Ομομορφικά φίλτρα Πολυωνυμικά φίλτρα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ /50

3 Φίλτρα διάμεσης τιμής (median filters) Ορισμοί y(n)=median{x(n-m), x(n).x(n+m)} median 5 {,0,3,6,}=median 5 {,,3,6,0}=3 Ακραία σημεία -συνοριακά παράδειγμα Δίνεται το σήμα x = { } y() = Median 3 {,, 80}= y() = Median 3 {, 80, 6} = Median{, 6, 80} = 6 y(3) = Median 3 {80, 6, 3} = Median{3, 6, 80}= 6 y(4) = Median 3 {6, 3, 3}= Median{3, 3, 6} = 3 Αρα y = { } Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50

4 Φίλτρα διάμεσης τιμής (median) Ορισμοί 4 x(n) 0 Το σήμα x(n) y 3 (n) 0 N=3 έξοδος ΦΔΤ με Ν= y 5 (n) 0 N=5 έξοδος ΦΔΤ με Ν= n Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50

5 Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ median {x,x,x3} +median{y,y,y3}median{x+y,x+y,x3+y3} Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 5/50

6 Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες Σήματα - ρίζες Επανειλημμένη εφαρμογή του median φίλτρου καταλήγει σε εικόνες που δεν μεταβάλλονται Θεώρημα: Ένα σήμα ρίζα αποτελείται από σταθερές περιοχές και ακμές Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 6/50

7 Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες Θεώρημα: Επαναλαμβανόμενη εφαρμογή median φίλτρου καταλήγει σε σήμα ρίζα. Για φίλτρο παραθύρου K+ και σήμα μήκους L ο μέγιστος αριθμός των επαναλήψεων είναι: 3 L (K ) Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 7/50

8 Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες Κρουστική απόκριση Τι είναι impulse: Δυο σταθερές περιοχές μέ K σημεία μετάξύ αυτών 0 Ένα ΦΔΤ με μήκος Ν=3 δεν αλλοιώνει το σήμα - σταθερή περιοχή. Για Ν=5 όμως οι δύο παλμοί εξαλείφονται αφού median{0, 0, 0,, }=0 Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8/50

9 Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες Απόκριση σε ακμή (ράμπα) είσοδος x(n) και έξοδος ΦΔΤ φίλτρο μέσης τιμής 0 Απόκριση ΦΔΤ (Ν=3)σε ακμή. Δεικνύεται για σύγκριση και η απόκριση φίλτρου μέσης τιμής. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 9/50

10 Επαναληπτικά φίλτρα Διάμεσης τιμής (Recursive) y(n)=med{y(n-m),y(n-m+) y(n-),x(n),x(n+), x(n+m)} καταλήγουν με ένα πέρασμα σε σήμα-ρίζα Καλύτερο φιλτράρισμα αλλα μεγαλύτερη παραμόρφωση Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 0/50

11 Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες Συμπεριφορά στο θόρυβο N= Το σήμα εισόδου είναι ακολουθία Gaussian θορύβου (,0). Η φιλτραρισμένη έξοδος έχει αισθητά μικρότερη διακύμανση Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ /50

12 Θόρυβος -κατανομές p(z) p(z) b a z a b z Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ /50

13 Συμπεριφορά στο Θόρυβο Θόρυβος στην είσοδο m,σ Φίλτρο μέσης τιμής Φίλτρο median Laplacian f(x) e xm n n Uniform f(x) x x x x x n 3 n Gaussian f(x) e (xm) / n n Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50

14 Λαπλασιανός θόρυβος. Και εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood estimation) f(x) e xm e xx e xx e xx 3...e xx Ν e i xx ι x x i i min Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50

15 Σαν παράδειγμα Δίνεται το σύνολο{,6,} για x= Σ x-xi = =5 για x=6 Σ x-xi = =9 για x= Σ x-xi = =6 Επιλέγεται x=.. Που είναι το median{,6,}= Δηλαδή το median είναι ο καλύτερος εκτιμητής μέσης τιμής σε δεδομένα Λαπλασιανής κατανομής Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 5/50

16 Προσέγγιση των median φίλτρων L(x m ) xm xi Εάν {x i }=,,.5,4,7,7.5,9 i x L(x m ) L(x m ) y(n) ml n ml n L(x m L(x ) m ) x(n) Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 6/50

17 Γενίκευση της median τιμής σε διανυσματικές διαδικασίες Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 7/50

18 Διανυσματικός διάμεσος Vector median Πώς διατάσσονται n διανύσματα?. Υπολογίζονται οι αποστάσεις d(x i x j ) κάθε διανύσματος x i από όλα τα υπόλοιπα. Υπολογίζεται η συνολική απόσταση: d i n j d(x i,x j ) d(x 4 x 3 ) Ο διανυσματικός διάμεσος - Vector Median Filter VMFαντιστοιχεί στο μικρότερο d i Το διάνυσμα#5 έχει την μικρότερη συνολικά (ευκλείδεια) απόσταση από τα υπόλοιπα διανύσματα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8/50

19 Vector Directional Filters - VDF α i with n j A(x A(x i i,x,x j j ) ) cos x x i i x t j x j A 3, Ο VD διανυσματικός διάμεσος αντιστοιχεί στο μικρότερο a i Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 9/50

20 Υλοποίηση των median φιλτρων Αποσύνθεση κατωφλίου Φίλτρα σωρού (stack filters) Θετική συνάρτηση Boole Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 0/50

21 Φίλτρα σωρού stack filters. Στην είσοδο το σήμα αποσυντίθεται με κατωφλιοποίηση και προστίθενται οι έξοδοι. Εάν κάθε γραμμή πραγματοποιεί median πράξη το άθροισμα των δυαδικών εξόδων θα είναι το median φίλτρο Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ /50

22 Θετική συνάρτηση Boole Positive boolean function PBF για median φιλτρο 3 σημείων med{x,x,x3 } η ισοδύναμη δυαδική Boolean συνάρτηση: f(x; x; x3) = xx + xx3 +xx3 Γενικά: f(x, x, x3, x4 x5) = xx + xx3x4 + x4x5 Max-min Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ /50

23 ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΦΙΛΤΡΑ (Από τα median) Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50

24 Alpha trimmed mean filter y(n) N αν j αν Ν αν x ( j) (n) {x(n), x(n-),.,x(n-n+)} και η διατεταγμένη αύξουσα σειρά είναι x () (n) x () (n) x (N) (n) Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50

25 Maximum(A) = max[a(x + i, y + j)] remove negative outlier noise The original 56 x 56 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the maximum filtered image using a 3 x 3 pixel square mask. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 5/50

26 Midpoint Filter y (n) [x ( ) (n) x (N) (n)] {,77,48,50,77,58,0,77,8} η έξοδος (8+0)/ = 09 Εχουν βέλτιστη συμπεριφορά στην καταστολή του θορύβου ομοιόμορφης κατανομής ή γενικώτερα κατανομών μικρής ουράς. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 6/50

27 Range Filter The range filter is used to find edges within an image The original 56 x 56 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the range filtered image using a 5 x 5 pixel square mask Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 7/50

28 Weighted Median Filter Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8/50

29 FIR MEDIAN HYBRID (FMH) φίλτρα x(n) FIR FIR FIR3 M E D I A N y(n) Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 9/50

30 FMH φίλτρα με υποφίλτρα averagers FIR 0 FIR 0 y(n) fw bw k k k i k i x(n i) x(n median{fir 0 i) fw,x(n),fir 0 bw } Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 30/50

31 Median N= FMH3 Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50

32 FMH φίλτρα με υποφίλτρα linear predictors FIR FIR fw bw k i k i h h (i)x(n i) (i)x(n i) 4k 6i ό h(i) k(k ) y(n) median{fir,x(n),fir fw bw } Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50

33 linear predictors -συνέχεια Ουσιαστικά προβλέπουν τις ράμπες signal ramp : x(n) a predictor : x~ (n) a n a a n k i k i 0 a 0 x~ (n) k i k i h(i) ih(i) 0 k i k i h(i)a n a h(i)[a (n i)] 0 h(i)x(n i) h(i)[a (n i) a 0 0 ] συνέχεια Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 33/50

34 για σήμα θόρυβο : σy σx [h(i)] k i Οι συντελεστές h(i) βρίσκονται με την μέθοδο Langrage: k k L(hi,λο,λi ) [h(i)] λο h(i) λ i i k i ih(i) h (i) 4k 6i k(k ) Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 34/50

35 median Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 35/50

36 Βασική ιδιότητα: Τριγωνικά σήματα είναι σήματα-ρίζες Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 36/50

37 Ημιτονικά σήματα και median filtering Αρχικό σήμα Ν= Ν= Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 37/50

38 Διόρθωση της παραμόρφωσης Με FMH7 φίλτρα y(n)=median{fir0fw, FIRfw, FIR0bw, FIRbw, x(n), x(n), x(n)} k 0. 63f s / f in Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 38/50

39 Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 39/50

40 Φίλτρα διάμεσης τιμής δύο διαστάσεων - εικόνα Διάταξη σύμφωνα με την τιμή του pixel διάμεση 5 τιμή Η υλοποίησή τους γίνεται με καθορισμό ενός παραθύρου (μάσκας) που διατρέχει όλη την εικόνα και επιλέγεται ως έξοδος η μεσαία (median) τιμή. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 40/50

41 Vector median filters παράδειγμα (a) Η εικόνα Peppers, 56x56, 4-bit per pixel, (b)noisy Image, (c) Η έξοδος του VMF. Ο Θόρυβος στην αρχική εικόνα είναι gaussian(0,5 ) και κρουστικός(%) σε κάθε κανάλι. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50

42 Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής Για κάθε σύνολο αριθμών x i ισχύει: min{ x i } y CHp y Lp y H y G x y Lp y CHp max{x i } Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50

43 Arithmetic mean y N i xi N x Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 43/50

44 Geometric mean y G N x i i / N N x x... x N The geometric mean filter is very susceptible to negative outliers the geometric mean filtered image using a 3 x 3 pixel square mask Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 44/50

45 Harmonic mean y H N N i x i,, 4 Πολύ καλό για εξάλειψη θετικών outliers The original 80 x 0 pixel image and the harmonic mean filtered image using a x pixel square mask Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 45/50

46 Lp Mean y Lp N i x N p i p Πολύ καλό για εξάλειψη αρνητικών outliers the Yp mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P =. Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 46/50

47 Contra-harmonic The contra-harmonic filter is very good at removing positive outliers for negative values of P and negative outliers for positive values of P y CH N i N i x p i x p i contra-harmonic mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = - Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 47/50

48 Συμπεριφορά σε ακμή CH CH - Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 48/50

49 Συμπεριφορά σε κρουστικό θόρυβο Ν=5, p= Oi αρνητικοί παλμοί φιλτράρονται για p>0 Και αντίστροφα, οι θετικοί φιλτράρονται για p<0 Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 49/50

50 Χρήσιμα sites Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 50/50