Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Transcript

1 Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Επεξεργασία Εικόνας Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 2

3 Επισκόπιση Μαθήµατος Εικόνα Σκοπός της Επεξεργασίας Εικόνας 2-Δ Γραµµικά Συστήµατα Μετασχηµατισµός Fourier Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Ένα Στοιχειώδες Πρόβληµα Αντιστοίχισης Πυραµίδες Εικόνων 3

4 : Ψηφιακή Εικόνα Ψηφιακή Εικόνα = Ένα 2-Δ Μητρώο ή ένα 2-Δ Μητρώο διανυσµάτων. Κάθε στοιχείο της εικόνας ονοµάζεται εικονοστοιχείο (pixel) και συναναστρέφεται µε µία τιµή στην περίπτωση των εικόνων διαβαθµίσεων του γκρί, ή µε ένα διάνυσµα 3Χ1 στις έγχρωµες εικόνες

5 : Επεξεργασία Ψηφιακής Εικόνας Μια Ψηφιακή Εικόνα µπορεί να είναι: Θορυβώδης ή Θολή 5

6 : Επεξεργασία Ψηφιακής Εικόνας Βασικός σκοπός της Ψηφιακής Επεξεργασίας είναι η βελτίωση της οπτικής ποιότητας της εικόνας. Σύστηµα 6

7 : Επεξεργασία Ψηφιακής ΕΡΩΤΗΣΗ... Εικόνας Υπάρχει ένα ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ µέ το οποίο µπορούµε να επιτύχουµε βελτίωση της οπτικής ποιότητας της εικόνας; + Θόρυβος Σύστηµα Η απάντηση ΔΥΣΤΥΧΩΣ είναι αρνητική... 7

8 : Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας Οι τεχνικές βελτίωσης χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες: Σηµειακές επεξεργασίες Επεξεργασίες βασισµένες στο ιστόγραµµα της εικόνας Χωρικές επεξεργασίες Επεξεργασίες στο πεδίο των χωρικών συχνοτήτων 8

9 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Σηµειακές Επεξεργασίες Εφαρµογή ενός τελεστή µηδενικής µνήµης πάνω σε κάθε ένα εικονοστοιχείο της εικόνας. Η αρχική εικόνα f(x,y) µετασχηµατίζεται στην εικόνα g(x,y) µέσω ενός τελεστή Τ, δηλαδή : f (x, y)! T g(x, y) = T( f (x, y)) 9

10 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Ιστόγραµµα εικόνας Επεξεργασίες βασισµένες στο Ιστόγραµµα της εικόνας Ως ιστόγραµµα µιάς εικόνας f(x,y) µε L επίπεδα του γκρί ορίζεται η ακολουθία: p(u i ) = n i /n, όπου: u i είναι το i-στό επίπεδο του γκρί µε τιµές (ακέραιες) στο διάστηµα [0, L-1], n i είναι το πλήθος των εικονοστοιχείων της f(x,y) µε επίπεδο γκρί ίσο µε u i και n είναι το συνολικό πλήθος των εικονοστοιχείων της. Δηλαδή το ιστόγραµµα µας δείχνει ουσιαστικά τη συχνότητα εµφάνισης των διαφόρων επιπέδων του γκρί. 10

11 Ισοστάθµιση Ιστογράµµατος Υπολογιστική Όραση Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Ιστόγραµµα εικόνας Η αρχική εικόνα µετασχηµατίζεται σε µία νέα εικόνα µε ισοσταθµισµένο ιστόγραµµα. Δηλαδή στην προκύπτουσα εικόνα όλα τα επίπεδα του γκρί έχουν την ίδια συχνότητα εµφάνισης. Ο µετασχηµατισµός που υλοποιεί την ισοστάθµιση ιστογράµµατος είναι ο ακόλουθος: v i T( u i ) i j 0 p( u j ) 1 n i j 0 n j 11

12 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Χωρική Επεξεργασία Χωρικά Φίλτρα Εξοµάλυνσης και Χαµηλοπερατά Φίλτρα. Η πιό συνηθισµένη (και εύκολη στην υλοποίηση) περίπτωση φίλτρου εξοµάλυνσης είναι αυτή του µέσου όρου ή κινούµενου µέσου, όπου η τιµή κάθε εικονοστοιχείου αντικαθίσταται από το µέσο όρο των τιµών των εικονοστοιχείων της γειτονιάς του. Μάσκα Φίλτρου. 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 12

13 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Χωρική Επεξεργασία Χωρικά Φίλτρα Ανάδειξης Ακµών και Υψηπερατά Φίλτρα. Τα φίλτρα αυτά χρησιµοποιούνται για να προσδώσουν έµφαση στις λεπτοµέρειες της εικόνας και να βελτιώσουν τη σαφήνεια της. Μάσκα Φίλτρου. -1/9-1/9-1/9-1/9 8/9-1/9-1/9-1/9-1/9 13

14 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Χωρική Επεξεργασία Χωρικά Φίλτρα Μεσαίου. Στα φίλτρα αυτού του τύπου το κάθε εικονοστοιχείο της αρχικής εικόνας αντικαθίσταται από τον µεσαίο (median) των εικονοστοιχείων της γειτονιάς του. Για να βρεθεί φυσικά ο µεσαίος της εκάστοτε γειτονιάς θα πρέπει πρώτα να προηγηθεί η διάταξη των εικονοστοιχείων ανάλογα µε την τιµή τους (gray level). Τα φίλτρα µεσαίου είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατικά στην αφαίρεση του λεγόµενου κρουστικού θορύβου ή θορύβου αλατοπίπερου (salt & pepper). 14

15 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Επεξεργασία σε Άλλους Χώρους 1) Gray value (histogram) domain 2) Spatial (image) domain 3) Frequency (Fourier) domain 15

16 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Επεξεργασία σε Άλλους Χώρους - Histogram stretching, equalization, specification, κλπ Αρχικό Ιστόγραµµα Αποσυµπίεση Ιστογράµµατος

17 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Επεξεργασία σε Άλλους Χώρους - Average filter, median filter, gradient, laplacian, κλπ 3 X 3 ΜΑ 5 X 5 ΜΑ Ενθόρυβη Εικόνα Salt & Pepper noise) 7 X 7 ΜΑ Μεσαίου (Median) 17

18 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Επεξεργασία σε Άλλους Χώρους - Average filter, median filter, gradient, laplacian, κλπ Αρχική Εικόνα f Μέτρο Βαθµίδας 2 f = f x + f y 2 18

19 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Επεξεργασία σε Άλλους Χώρους - Average filter, median filter, gradient, laplacian, κλπ + = Θολή Εικόνα Laplacian Βελτιωµένη Εικόνα 19

20 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Χωρικές Συχνότητες Επεξεργασίες στο πεδίο των χωρικών συχνοτήτων: Η ανάπτυξη τεχνικών βελτίωσης στο πεδίο των χωρικών συχνοτήτων στηρίζεται στα ισχυρά µαθηµατικά εργαλεία της Θεωρίας Σηµάτων και Συστηµάτων δύο διαστάσεων. Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων απαραίτητο συστατικό στοιχείο στην υλοποίηση των τεχνικών αυτών είναι ο δηµοφιλής αλγόριθµος FFT (Fast Fourier Transform) ο οποίος υπολογίζει τον DFT (Discrete Fourier Transform) µε θεαµατικά χαµηλή υπολογιστική πολυπλοκότητα. 20

21 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Χωρικές Συχνότητες Γραµµικά Φίλτρα στο Πεδίο Συχνοτήτων f(x,y) F F T Ι F F T g(x,y) H(u,v) 21

22 Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας-Χωρικές Συχνότητες Οµοιοµορφικά Φίλτρα στο Πεδίο Συχνοτήτων f(x,y)=r(x,y) i(x,y) δηλαδή γινόµενο δύο διδιάστατων συναρτήσεων όπου: i(x,y) η συνάρτηση έντασης φωτεινότητας και r(x,y) η συνάρτηση αντίθεσης. Τότε: ln(f(x,y))=ln(r(x,y))+ln( i(x,y)) 22

23 Επεξεργασία Εικόνας- 1-Δ Γραµµικά Συστήµατα Μονοδιάστατα (1-Δ) Γραµµικά Συστήµατα: Συνεχούς: " # f * g (x ) = f (!)g (x!!)d!!=!" και m= Διακριτού: f * g ( n) = f ( m) g( n m) χρόνου. 23

24 24 Υπολογιστική Όραση Επεξεργασία Εικόνας- 2-Δ Γραµµικά Συστήµατα = = = a d d y x g f y x g f β β α β α β α ), ( ), ( ), ( * Διδιάστατα (2-Δ) Γραµµικά Συστήµατα: Συνεχούς: και Διακριτού: χρόνου. = = = k l l m k n g l k f m n g f ), ( ), ( ), ( *

25 Jean Baptiste Joseph Fourier Υπολογιστική Όραση Μετασχηµατισµός Fourier 25

26 Θεώρηµα Συνέλιξης (1-Δ) I { f ( x) g( x) } = I{ f ( x) } I{ g( x) } και αντιστοίχως: I { f ( x) g( x) } = I{ f ( x) } I{ g( x) } 26

27 : Θεώρηµα Συνέλιξης (2-Δ) I { f ( x, y) g( x, y) } = I{ f ( x, y) } I{ g( x, y) } και αντιστοίχως: I { f ( x, y) g( x, y) } = I{ f ( x, y) } I{ g( x, y) } 27

28 Μετασχηµατισµός Fourier - Ευθύς Μονοδιάστατος (1-Δ) Συνεχής Μετασχηµατισµός Fourier I { f ( x)} = ( ) F ju = f ( x)e jux dx. x= Διδιάστατος (2-Δ) Συνεχής Μετασχηµατισµός Fourier I { f ( x, y) } = F( ju, jv) = x= f y= ( x, y)e j( ux+ vy) dxdy. 28

29 Μετασχηµατισµός Fourier (1-Δ) Αντίστροφος Μονοδιάστατος (1-Δ) Συνεχής Μετασχηµατισµός Fourier!{ f (x )} = ( ) F ju = f ( x)e jux dx. x= Μονοδιάστατος (1-Δ) Συνεχής Αντίστροφος Μετ/σµός Fourier! "1 {F ( ju )}= f (x ) = 1 2! " # F ( ju )e jux du. u=!" 29

30 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ) Αντίστροφος Διδιάστατος (2-Δ) Συνεχής Μετασχηµατισµός Fourier I { f ( x, y) } = F( ju, jv) = x= f y= ( x, y)e j( ux+ vy) dxdy. Διδιάστατος (2-Δ) Συνεχής Αντίστροφος Μετα/σµός Fourier 1 I { F ( ju, jv)} = f ( x, y) = 1 j( ux+ vy) (2π ) 2 u= v= F( ju, jv)e dudv. 30

31 : Συναρτήσεις Βάσης Μονοδιάστατες (1-Δ) Συναρτήσεις Βάσης: e jux Re( e Im( e jux jux ) ) = cos( ux) = sin( ux) cos( ux) 1 x Μήκος Κύµατος:2π/u 31

32 : Συναρτήσεις Βάσης Διδιάστατες (2-Δ) Συναρτήσεις Βάσης: e j( ux+ vy) Re( e Im( e j( ux+ vy ) j( ux+ vy ) ) ) = cos( ux = sin( ux + vy) + vy) 32

33 Μήκος Κύµατος: 1/ u + v. Κατεύθυνση: u / v. Υπολογιστική Όραση: Συναρτήσεις Βάσης v 2 2 u=-2, v=2 u=-1, v=2 u=0, v=2 u=1, v=2 u=2, v=2 u=-2, v=1 u=-1, v=1 u=0, v=1 u=1, v=1 u=2, v=1 u u=-2, v=0 u=-1, v=0 u=0, v=0 u=1, v=0 u=2, v=0 u=-2, v=-1 u=-1, v=-1 u=0, v=-1 u=1, v=-1 u=2, v=-1 u=-2, v=-2 u=-1, v=-2 u=0, v=-2 u=1, v=-2 u=2, v=-2 33

34 Διακριτός Μετασχηµατισµός Fourier - Ευθύς Μονοδιάστατος (1-Δ) Διακριτός Μετασχηµατισµός Fourier N 1 n= 0 2πjnk I { x ( n)} = N X ( k) = x( n) e. Διδιάστατος (2-Δ) Διακριτός Μετασχηµατισµός Fourier I { x( n, m) } = X ( k, l) N 1 M 1 = n= 0 m= 0 x( n, m) e 2πj ( kn+ lm) NM. 34

35 Διακριτός Μετασχηµατισµός Fourier - Αντίστροφος = I } ) ( { 1 k X. ) ( 1 ) ( = = N k N jnk e k X N n x π Μονοδιάστατος (1-Δ) Αντίστροφος Διακριτός Μετ/σµός Fourier I } = ), ( { 1 l k X Διδιάστατος (2-Δ) Αντίστροφος Διακριτός Μετ/σµός Fourier. ), ( 1 ), ( ) ( NM lm kn j N k M l m e n x NM m n x + = = = π 35

36 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ) Αρχική Εικόνα Μέτρο Μετ/σµού Fourier F(u,v) 36

37 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ) Αρχική Εικόνα Λογ. Μέτρο Μετ/σµού Fourier log(1 + F(u,v) ) 37

38 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Συχνοτικές Ζώνες Αρχική Εικόνα Μέτρο Μετ/σµού Fourier Ισχύς της εικόνας (%) που περιέχεται σε κάθε κύκλο ακτίνας Μ. 90%, 95%, 98%, 99%, 99.5%, 99.9% 38

39 Συχνοτικές Ζώνες-Φιλτράρισµα 90% 95% 98% 99% 99.5% 99.9% 39

40 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Αποµάκρυνση Θορύβου Αρχική Εικόνα Αρχική Εικόνα + Θόρυβος 40

41 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Αποµάκρυνση Θορύβου Θορυβώδης Εικόνα Μέτρο Μετ/σµού Fourier Μετ/σµός Fourier Αρχική Εικόνα «Καθαρή» Εικόνα 41

42 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Αποµάκρυνση Θορύβου Θορυβώδης Εικόνα Μέτρο Μετ/σµού Fourier «Καθαρή» Εικόνα 42

43 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων Αρχική Εικόνα Φιλτραρισµένη Εικόνα Υψηπερατό Φίλτρο 43

44 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων Αρχική Εικόνα Φιλτραρισµένη Εικόνα Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων + = 44

45 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων Αρχική Εικόνα Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων 45

46 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων Αρχική Εικόνα Φιλτραρισµένη Εικόνα Υψηπερατό Φίλτρο Έµφαση Υψηλών Συχνοτήτων Εξίσωση Ιστογράµµατος 46

47 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Σχεδίαση Φίλτρων Σχεδίαση 2-Δ Φίλτρων: Επεκτάσεις των 1-Δ Μεθόδων, αλλά και µε µεθόδους που δεν έχουν 1-Δ αντίστοιχο. Μέθοδοι Σχεδίασης Βέλτιστων 2-Δ FIR IIR-Φίλτρων µε χρήση των σταθµών Lp (p={2, }) Μέθοδοι Σχεδίασης 2-Δ FIR Φίλτρων µε Μετασχηµατισµό 1-Δ φίλτρων. Το πρόβληµα της Ευστάθειας των ΙΙR είναι ένα πολύ πιο δύσκολο πρόβληµα από το αντίστοιχο 1-Δ (κατάρα των διαστάσεων). 47

48 Μετασχηµατισµός Fourier (2-Δ)-Σχεδίαση Φίλτρων Απόκριση Συχνότητας Ζωνοπερατού Φίλτρου Ισοϋψείς Ζωνοπερατού Φίλτρου

49 Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Aν g(n 1, n 2 ) είναι ένα διδιάστατο σήµα µε περιοχή υποστήριξης [0 Ν-1] [0 Μ-1] τότε ο ορθός (forward) και ο αντίστροφος (inverse) γραµµικός µετασχηµατισµός του σήµατος, ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: N 1 M 1 G( k, k ) = g( n, n ) K ( n, k : n, k ) 1 2 n = 0 n 1 2 = 0 N 1 M f g( n, n ) = G( k, k ) K ( k, n : k, n ) 1 2 k = 0 k 1 2 = i όπου Κ f (n 1,k 1 :n 2,k 2 ) και Κ i (k 1,n 1 :k 2,n 2 ) οι πυρήνες του ορθού και του αντίστροφου γραµµικού µετασχηµατισµού αντίστοιχα. Η φύση κάθε γραµµικού µετασχηµατισµού καθορίζεται από τις ιδιότητες του πυρήνα του. 49

50 Ένας µετασχηµατισµός είναι ορθοµοναδιαίος (unitary), αν οι πυρήνες Κ f (n 1,k 1 :n 2,k 2 ) και Κ i (k 1,n 1 :k 2,n 2 ) ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες ορθοκανονικότητας: N 1 M 1 * K f n1 k1 n2 k2 K f l1 k1 l2 k2 = δ n1 l1 n2 l2 k1= 0 k2 = 0 N 1 M 1 * K f n1 k1 n2 k2 K f n1 m1 n2 m2 = δ k1 m1 k2 m2 n = 0n = Υπολογιστική Όραση Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί (, :, ) (, :, ) (, ) (, :, ) (, :, ) (, ) N 1 M 1 * Ki n1 k1 n2 k2 Ki l1 k1 l2 k2 = δ n1 l1 n2 l2 k1= 0 k2 = 0 (, :, ) (, :, ) (, ) N 1 M 1 * Ki n1 k1 n2 k2 Ki n1 m1 n2 m2 = δ k1 m1 k2 m2 n1 = 0 n2 = 0 (, :, ) (, :, ) (, ) όπου Κ*( ) συµβολίζει την συζυγή συνάρτηση της Κ( ) και δ(n 1,n 2 ) η διδιάστατη ακολουθία Kronecker 50

51 Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Βασικές ιδιότητες γνωστών ορθοµοναδιαίων µετασχηµατισµών: Διατηρήση της ενέργειας του σήµατος. Ενσωµάτωση του µεγαλύτερου ποσοστού της ενέργειας του σήµατος σε ένα µικρό αριθµό συντελεστών του µετασχηµατισµού. Μείωση της συσχέτισης των συντελεστών του µετασχηµατισµού. Η δυνατότητα παραγοντοποίησης του πίνακα του µετασχηµατισµού σε βασικούς πίνακες οι οποίοι περιέχουν ένα πολύ µικρό αριθµό µη µηδενικών στοιχείων. Αυτή η ιδιότητα είναι που µας παρέχει την δυνατότητα γρήγορου υπολογισµού των περισσότερων ορθοµοναδιαίων µετασχηµατισµών. 51

52 Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Ενας πυρήνας είναι διαχωρίσιµος αν ικανοποιεί την παρακάτω σχέση: K ( k, n : k, n ) = K ( k, n ) K ( k, n ) f f 1 1 f Η διαχωρισιµότητα του πυρήνα ενός µετασχηµατισµού είναι αυτή που µας παρέχει την δυνατότητα υπολογισµού των συντελεστών του, χρησιµοποιώντας τεχνικές αποσύνθεσης γραµµών-στηλών (row-column decomposition techniques). Ένας διαχωρίσιµος πυρήνας είναι συµµετρικός αν ικανοποιεί την σχέση: K ( k, n ) = K ( k, n) f 1 2 f 52

53 Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Διακριτός µετασχηµατισµός Fourier (DFT) Ο πυρήνας του 2-Δ διακριτού µετασχηµατισµού Fourier ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: K ( k, n : k, n ) f n e 1k1 n2k2 1 j2π ( + ) N N = 2 N Από την παραπάνω σχέση είναι φανερή η διαχωρισιµότητα και η συµµετρικότητα του πυρήνα του. Οι ιδιότητες αυτές του πυρήνα επιτρέπουν την ανάπτυξη γρήγορων αλγορίθµων υπολογισµού του. 53

54 Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Διακριτός µετασχηµατισµός συνηµιτόνου (DCT) Ο µετασχηµατισµός συνηµιτόνου είναι ένας πολύ χρήσιµος πραγµατικός µετασχηµατισµός του οποίου ο πυρήνας δίνεται από την παρακάτω σχέση: n k n k K f ( k, n : k, n ) a( k ) a( k )cos( ( 2 ) )cos( ( ) π π = 1 2 ) 2N 2N µε τα α(k) να ορίζονται από την σχέση:! # 1 # N, k i = 0 a(k i ) = " # 2 # N, k i =1,..., N-1 $,i =1, 2. 54

55 C ( n, n, l, l ) = E{( g( n, n ) E{ g( n, n )})( g( l, l ) E{ g( l, l )})} g Υπολογιστική Όραση Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Διακριτός Karhunen-Loeve Μετασχηµατισµός (ΚLT) Ο διακριτός KLΤ είναι ένας ορθοµοναδιαίος µετασχηµατισµός ο οποίος βασίζεται σε στατιστικές ιδιότητες του σήµατος εισόδου. Συγκεκριµένα, τα δύο βασικά σηµεία στα οποία διαφέρει ο ΚLT είναι τα ακόλουθα: το σήµα εισόδου g(n 1, n 2 ) µε περιοχή υποστήριξης [0 Ν-1] [0 Μ-1] θεωρούµε ότι περιγράφει µία τυχαία διαδικασία µε γνωστή ακολουθία συνδιασπορών C g (n 1,n 2,k 1,k 2 ) η οποία ορίζεται από την σχέση: ο πυρήνας K f (n 1,n 2 :k 1,k 2 ) του µετασχηµατισµού δεν ορίζεται αναλυτικά αλλά προκύπτει από την λύση του ακόλουθου γραµµικού συστήµατος: N!1 M!1!(k 1,k 2 )K f (n 1,n 2 : k 1,k 2 ) = " " C g (n 1,n 2,l 1,l 2 )K f (l 1,l 2 : k 1,k 2 ) l 1 =0 l 2 =0 55

56 Βασικοί 2-Δ Μετασχηµατισµοί Ο KLT παρουσιάζει πολύ µεγάλο θεωρητικό ενδιαφέρον εξ αιτίας ορισµένων βέλτιστων χαρακτηριστικών που έχει όπως: το ότι οι συντελεστές του µετασχηµατισµού είναι ασυσχέτιστοι και στο γεγονός ότι από όλους τους γραµµικούς µετασχηµατισµούς της ίδιας τάξης, ο ΚLT είναι αυτός που ενσωµατώνει στους συντελεστές του το µεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας του σήµατος. 56

57 Multi-Resolution Image Representation 57

58 Multi-Resolution Image Representation Gaussian Πυραµίδες Laplacian Πυραµίδες 58

59 Χαµηλή Ανάλυση (LR) Υπολογιστική Όραση Πυραµίδες Υψηλή Ανάλυση (HR) 59

60 Pattern Matching Αρχική Εικόνα Pattern Search Πώς µπορούµε να λύσουµε το παραπάνω στοιχειώδες πρόβληµα; 60

61 Pattern Matching Αρχική Εικόνα Pattern Search Λύσαµε το πρόβληµα, αλλά το υπολογιστικό κόστος; Μήπως υπάρχει κάποια εναλλακτική λύση; 61

62 Fast Pattern Matching Search Search Search Search 62

63 Χαµηλή Ανάλυση (LR) Υπολογιστική Όραση Gaussian Πυραµίδα Υποδειγµατοληψία I 4 = ( I 3 * Gaussian ) 2 Φιλτράρισµα I = I * Gaussian ) 2 Υποδειγµατοληψία 3 ( 2 Φιλτράρισµα I 2 = ( I 1 * Gaussian ) 2 Υποδειγµατοληψία Φιλτράρισµα I 1 = ( I 0 * Gaussian ) 2 Φιλτράρισµα Υψηλή Ανάλυση (HR) I 0 = Αρχική Εικόνα 63

64 Gaussian Πυραµίδα G 2 G n Υπολογιστική Όραση Laplacian Πυραµίδα G i = Li i+ Παρεµβολή + expand( G ) 1 L i = Gi i+ expand( G ) 1 Laplacian Πυραµίδα - = 2 L n = G n L G 1 - = L 1 G 0 L 0 - = 64