Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΗΑΙΑΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΑΟΠΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ. 65 (φ. llr-126r)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΗΑΙΑΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΑΟΠΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ. 65 (φ. llr-126r)"

Transcript

1 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ ΕΩΑ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΑ 5 ( ) Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΗΑΙΑΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΑΟΠΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ. 65 (φ. llr-126r) Γνωρίζουμε οτι εποχές ακμής των μαθηματικών στο Βυζάντιο υπήρξαν ο Ε', ΣΤ, Θ', Γ, ΙΓ καί ΙΔ' αιώνας 1. Οι μαθηματικοί τών πρώτων Βυζαντινών χρόνων ήκμασαν στην 'Αλεξάνδρεια. Έπί 'Ιουστινιανού όμως, λόγω τής μεγάλης τότε οικοδομικής δραστηριότητας το κέντρο βάρους μετατοπίστηκε στην Κωνσταντινούπολη 2. Το 726 μ.χ. ενώ το Πανδιδακτήριο τής Κωνσταντινούπολης είχε πλέον παρακμάσει δίδασκαν ακόμα λογιστική και γεωδαισία', ή οποία θεωρείτο κλάδος τής λογιστικής 4. Σημειωτέον, οτι στην αρχαία Έλλά- 1. Η. HUNGER, Die hochsprachliche profane Literatur der Byzantiner, München σέ ελληνική μετάφραση: Η. HUNGER. Βυζαντινή Λογοτεχνία. Ή λόγια κοσμική γραμματεία τών Βυζαντινών, τ. Γ, Μαθηματικά καί 'Αστρονομία. Φυσικές 'Επιστήμες, 'Ιατρική, Πολεμική Τέχνη, Νομική Φιλολογία, Μουσική, μτφρ. Γ.Χ. ΜΑΚΡΗΣ, ΙΩΑΝΝΑ ΟίΚΟΝΟΜΟΥ-ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ, Τ. ΚΟΛΙΑ, ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΠΑΠΑΠΑΝΝΗ. ΣΠ. ΤΡΩΙΑΝΟΣ, Δ. ΓΙΑΝΝΟΥ. (Μορφωτικό Ίδρυμα 'Εθνικής Τραπέζης) 'Αθήνα 1994 (στο έξης: Η. HUNGER, Βυζ. Λογοτεχνία), σ. 19. Κατά το τέλος τοΰ ΙΓ και στις αρχές τοΰ ΙΔ' αϊ ή Κωνσταντινούπολη ήταν τό κέντρο τών ανωτέρων επιστημών. Βλ. C.N. CONSTANTIN1DES, Higher Education in Byzantium, Nicosia 1982 (στό έξης: CONSTANTINIDES, Higher Education), σ Ό. π.,σ Γεωδαισία εστίν επιστήμη τών εν τοις αίσθητοΐς σώμασι μεγεθών και σχημάτων διαιρετική και συνθετική. Λαμβάνει τα αγήματα ον τέλεια ovò' άπηκριβωμένα τω σωματικήν ΰλην ύποβεβλήσθαι, καθώσπερ και ή λογιστική- μετρεϊ γοϋν και σωρον ώς κώνον και φρέατα περιφερή ως κυλινδρικά αγήματα... χρήται δέ, ώς ή γεωμετρία τή αριθμητική, οΰτω και αυτή τή λογιστική... ώσπερ ο γεωμέτρης τάς λογικάς ευθείας μεταχειρίζεται, ούτως ό γεωόαίτης ταΐς αίσθηταΐς προσχρήται... Πόσα μέρη μαθηματικής; Τής μεν τιμιωτέρας καί πρώτης ολοσχερέστερα μέρη δύο, αριθμητική και γεωμετρία, τής δέ περί τά αισθητά ασχολούμενης εξ, λογιστική, γεωδαισία, οπτική, κανονική, μηχανική, αστρονομική. HERONIS ALEXANDRINI, Stereometrica et de mensuris, ed. J. Heiberg. Stutgard τ. Δ', σ. 100,164. Βλ. και εις: The Cambridge Medieval History, v. IV : The Byzantine Empire, part II: Government, church and civilization, ed. J.M. HUSSEY, Cambridge 1967, σέ ελληνική μετάφραση: Πανεπιστήμιο τοΰ Καίμπριτζ. Ή Ιστορία της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, τ. Α'-Β', μτφρ. ΝΤΟΥΝΤΟΥ ΣΑΟΥΛ, Πρόλογος Γ. Καραγιαννόπουλος, έκδ. Μέλισσα, 'Αθήνα 1979 στό: τ. Β', κεφ. XXVIII Κ. VOGEL, Ή Βυζαντινή επιστήμη, (στό έξης: VOGEL. Ή βυζαντινή επιστήμη), σ Ή πρακτική αριθμητική ονομαζόταν άπό τους αρχαίους Έλληνες λογιστική, και δέν άνηκε στις μαθηματικές επιστήμες. Τό Ίδιο ίσχυε καί στό Βυζάντιο μέ τή μόνη διαφορά ότι οι Βυζαντινοί εκτιμούσαν 'ιδιαιτέρως τή λογιστική, επειδή εφαρμοζόταν σέ προβλήματα καθημερινής ζ<υής. Βλ. Ε. ΣΤΑΜΑΤΗΣ. Κριτική βυζαντινού βιβλίου 'Αριθμητικής, Αθήνα (στό εξής: ΣΤΑΜΑΤΗΣ, Κριτική βυζ. βιβλίου Αριθμ.). σ. 12.

2 52 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ δα ό ορός «αριθμητική» σήμαινε τή σημερινή «θεωρία αριθμών». Στή λογιστική όμως οι τύποι χρησιμοποιούνταν χωρίς αποδείξεις και οι γνώσεις τών μαθηματικών και της μηχανικής μεταδίδονταν άπο γενιά σε γενιά στα μέλη τών ομάδων τών οικοδόμων, τών εμπόρων και τών βιοτεχνών 5. Αυτό βέβαια δεν σήμαινε κατ' ανάγκην, ότι οι διδάσκαλοι της λογιστικής αγνοούσαν τα θεωρήματα στα οποία στηρίζονταν οί πρακτικοί κανόνες. Μάλιστα ορισμένοι άπό αυτούς πρέπει να ήταν καλοί γνώστες της θεωρίας, καθώς έδιναν λύσεις πρωτότυπες και διαφορετικές άπό τους συγχρόνους τους. Επιπλέον είναι γνωστό οτι οί Βυζαντινοί έδειχναν προσήλωση στα αρχαιοελληνικά πρότυπα. Διαφύλαξαν όλα όσα είχαν επιτευχθεί, τα όποια και παρέδωσαν προκειμένου να συνεχισθεί ή πρόοδος στις θετικές επιστήμες. Οί Βυζαντινοί όμως δέν διακρίθηκαν για τις γνώσεις τους στή θεωρία άλλα μάλλον για τήν πρακτική χρήση και εφαρμογή τών επιστημονικών γνώσεων στην καθημερινή ζωή 6. Κατά τον 9ο αι. ό Λέων ο μαθηματικός ήταν αυτός πού επανέφερε τήν παράδοση της ανώτατης κρατικής εκπαίδευσης και ò Πατριάρχης Φώτιος ό όποιος ήταν λάτρης της αρχαίας ελληνικής παιδείας «οδήγησε τό Βυζάντιο στον αυθεντικό ελληνισμό», με περιορισμένη όμως τήν παρουσία τών θετικών επιστημών 7. Σ' αυτή τήν περίοδο, ή παιδεία και ή τέχνη είχαν πλέον σκοπό τήν απόκτηση εκείνης της νοοτροπίας, ή οποία θα «απομάκρυνε τον πολίτη άπό κάθε τι τό ανθρώπινο, ώστε να πραγματοποιηθεί ή επιθυμητή στροφή προς τό υπεράνθρωπο»". 'Αργότερα (1008 μ.χ.) εκδόθηκε μία μαθηματική τετρακτύς άγνωστου συντάκτη, ή οποία αν και δέν ήταν υψηλού επιπέδου μας προσέφερε εντούτοις σημαντικές πληροφορίες σχετικά με κάποια είδη κειμένων, τα όποια παραδίδονταν στα πλαίσια τής εκπαιδευτικής πορείας πού άκολουθεΐτο 9. Μεταξύ όσων παρέλαβε άπό τήν αρχαιότητα τό Βυζάντιο, περιλαμβάνονταν 5. VOGEL. Ή βυζαντινή επιστήμη, σ HUNGER, Βυζ. Λογοτεχνία, σ ,18, P. LEMERLE, Le premier humanisme byzantin, Notes et remarques sur enseignement et culture à Byzance des origins au Xe siècle, Paris 1971, σέ ελληνική μετάφραση: P. LEMERLE, Ό πρώτος Βυζαντινός Ουμανισμός, μτφρ. ΜΑΡΙΑ ΝΥΣΤΑΖΟΠΟΥΛΟΥ-ΠΕΛΕΚΙΔΟΥ, (Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης) 'Αθήνα (στό έξης: LEMERLE, Ό πρώτος Βυζαντινός Ουμανισμός), σ. 280, Ό.π., σ Ή αρχαία ελληνική παιόεία αποτελούσε ένα μέσον για να κατανοηθεί καλύτερα ή ύπαρξη του Χρίστου, ό όποιος ήταν πλέον τό κέντρο του κόσμου. Οί έννοιες «Χριστιανισμός» και «Παιδεία του Χρίστου» ήταν ταυτόσημες. Ό Πλάτων διδασκόταν και ήταν αρεστός, διότι απομάκρυνε τό μυαλό άπό τά υλικά και τήν πραγματικότητα τών αισθήσεων και οδηγούσε τόν άνθρωπο σέ κόσμους οπού κατοικούν οί εκλεκτοί νόες τής ανθρώπινης φυλής. W. JEAGER. Early Christianity and Greek Paideia, Harvard 1961, σ. 12, Η. HUNGER, Βυζ. Λογοτεχνία σ. 39.

3 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ γνώσεις τεχνολογίας στους τομείς της μηχανικής, της πολεμικής τέχνης, τής φαρμακευτικής, και τής χημικής τεχνολογίας'". Στα αλχημικά κείμενα μάλιστα σώζονται συνταγές πού παραδίδονταν από γενιά σέ γενιά στους μεταλλουργούς και στους χρυσοτεχνίτες, και οι όποιες περιλάμβαναν οδηγίες σχετικά μέ τη συγκόλληση μετάλλων, τη βαφή, την παρασκευή κραμάτων και τον ποιοτικό τους έλεγχο, ό όποιος γινόταν άπό κρατικούς υπαλλήλους". Άπό τήν εποχή των Παλαιολόγων έχουν σωθεί ή πραγματεία περί χρνσοποΰας τον Νικολάου Βλεμμύδη, και ή ερμηνεία τής επιστήμης τής χρυσοχοΐας ενός μοναχού Κοσμά 12. Όσο καλά οι χρυσοτεχνίτες γνώριζαν οτι δεν υπήρχε μέθοδος μετατροπής αγενούς μετάλλου σέ χρυσό, άλλο τόσο γνώριζαν μεθόδους έπαργύροοσης και επιχρύσωσης, μέ τις όποιες έδιναν όψη αργυρού ή χρυσού σέ άλλα μέταλλα ή σέ κράματα τους. Επειδή δέ τα κράματα των μετάλλων χρησιμοποιούνται τόσο στην άργυροχρυσοχοΐα όσο και τή νομισματοκοπία, είναι αναγκαία ή γνώση τρόπων υπολογισμού των αναλογιών, υπό τις όποιες ευρίσκονται τα μέταλλα σέ κράματα. Τέτοιου είδους υπολογισμοί και όσοι άλλοι σχετίζονταν μέ τή σημερινή πρακτική αριθμητική περιλαμβάνονταν στην καλούμενη λογιστική. Τα μαθηματικά και ή αστρονομία, άπό τήν εποχή πού ό Κωνσταντίνος ό Θ' ( )" αναδιοργάνωσε το Πανδιδακτήριο τής Κί,ονσταντινούπολης, είναι οι επιστήμες πού καλλιεργήθηκαν εντατικά 14. Έπί τής βασιλείας τοΰ Μανουήλ Α' Κομνηνού ( ), το Βυζάντιο ήταν πιο προηγμένο σέ σχέση μέ τή Δύση στον τομέα των μαθηματικών' 5. Περί το 1300 μ.χ. γίνεται πλέον ό διαχωρισμός τών εμπορικών (πρακτικών) 16 από τα ακαδημαϊκά (τα διδασκόμενα στις ανώτερες σχολές) μαθηματικά. 10. Δημιουργικός άρχιτέκνων καί μηχανικός θεωρείτο εκείνος, ό όποιος έχοντας εντρυφήσει στις τέσσερεις μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία), μπορούσε παράλληλα να άσκεΐ μέ επιτυχία τήν τέχνη τοΰ μεταλλουργοί, τοΰ χτίστη, τοϋ μαραγκού, τοΰ ζωγράφου. VOGEL, Ή βυζαντινή επιστήμη, σ Ό.π.,σ Ό.π..σ Υπάρχουν ενδείξεις, οτι ό Κωνσταντίνος ό Θ' Μονομάχος ήταν αυτός πού εισήγαγε τήν τεχνική έκπαίοευση για να ενισχύσει τήν ανερχόμενη τότε τάξη τών εμπόρων καί τών βιοτεχνών περιορίζοντας κατ' αυτόν τον τρόπο τήν εξουσία τής αριστοκρατίας βλ. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΧΟΝΔΡΙΔΟΥ, Ό Κωνσταντίνος Θ' Μονομάχος καί ή είσαγίογή τής τεχνικής εκπαίδευσης. Α Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου (25-27 Σεπτεμβρίου 1998), (περίληψη ανακοίνωσης), Ιωάννινα 1999, σ VOGEL, Ή βυζαντινή επιστήμη, σ Ό.π..σ.8Π. 16. Κατά τον Μ. Βασίλειο: Ή ανθρώπινη σοφία είναι ή εμπειρική γνώση τών πραγμάτων της ζωής σύμφωνα με τήν οποία αποκαλούμε σοφούς τους γνώστες καθεμιάς άπα τις όφέλιμες τέχνες. Β.

4 54 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ Μάλιστα από τον 14ο αι. τα πρακτικά μαθηματικά όχι μόνον δεν περιλαμβάνονταν στη διδακτέα ύλη των ανωτάτων σχολών 17 άλλα κατά την άποψη ορισμένων, βρίσκονταν σε συνεχή ανταγωνισμό με την ΰλη πού διδασκόταν σ' αυτές 18, αφού τα πρακτικά μαθηματικά ενδιέφεραν πλήθος ανθρώπων, καθώς εφαρμόζονταν σε προβλήματα καθημερινής ζωής, και ήταν χρήσιμα σέ πολλά επαγγέλματα. Μολονότι οι τελευταίες δεκαετίες πριν τήν άλωση τής Κωνσταντινούπολης θεωρούνται ασήμαντες σέ προσφορά στα μαθηματικά, ή ύπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων 19 δείχνει αυξημένο ενδιαφέρον τόσο για τίς τέσσαρες μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία, μουσική), όσο και για τή λογιστική και τή γεωδαισία, οι όποιες ήταν κλάδοι τών κατ' εξοχήν εμπορικών μαθηματικών 20. Ή βυζαντινή εποχή τελειώνει με έργα προορισμένα για πρακτική χρήση. Αυτά είναι ως επί τό πλείστον βιβλία αριθμητικής, δηλαδή συλλογές προβλημάτων πού αποτελούνται άπό ποικίλες και επιλεκτικές δημιουργίες κληροδοτημένες άπό τήν παράδοση πολλών χρόνων και λαών. Ό προσδιορισμός τών επιρροών πού δέχθηκαν οι συγγραφείς αυτών τών έργων αποτελεί εξαιρετικά επίπονη διαδικασία, Ίδιατέρως, όταν στις περισσότερες περιπτώσεις διαπιστώνονται αλληλεπιδράσεις μεταξύ Κινέζων, Περσών, 'Ινδών, Δυτικών και Βυζαντινών. Αυτές οι συλλογές περιλαμβάνουν εκτός τών άλλων και στοιχεία πολύτιμα για τήν εξέλιξη τοΰ πολιτισμού και τής γλώσσας, διότι αναφέρονται σέ ζητήματα τής καθημερινής ζωής τών ανθρώπων τής εποχής εκείνης (μετατροπές νομισμάτων, προβλήματα κληρονομιών, φορολογικό καθεστώς, κ.ά.) 21. Τα σχολεία κατά τους βυζαντινούς χρόνους λειτουργούσαν κυρίως σέ χώρους εκκλησιαστικούς. Οι μαθητές έμεναν συνήθως μέσα σέ αυτά 22 και έτσι είχαν τήν δυνατότητα να αναπτύξουν στενές σχέσεις μεταξύ τους, οι όποιες συνέβαλλαν στή δημιουργία κλίματος πού ευνοούσε τις επιστημονικές συζητήσεις 23 και τήν πολύωρη ενασχόληση μέ τα γράμματα 24. Βέβαια, ΨΕΥΤΟΓΚΑΣ, Βασιλείου Καισαρείας τοΰ Μεγάλου 'Άπαντα τα έργα, 7 (Όμιλίαι και Λόγοι). Θεσσαλονίκη 1973 (στο εξής: ΨΕΥΤΟΓΚΑΣ, Μ. Βασιλείου Άπαντα), σ CALINGER, A contextual history of Mathematics to Euler, Prentice Hall 1999, σ. 357, C. B. BOYER - UT.C. MERZBACH, Ή 'Ιστορία τών Μαθηματικών, Αθήνα 1997, σ VOGEL, Ή βυζαντινή επιστήμη, σ Ό.π.,σ ΣΤΑΜΑΤΗΣ, Κριτική βυζ. βιβλίου 'Αριθμ., σ C0NSTANTIN1DES, Higher Education, σ Ό Βασίλειος ό Μέγας στις 'Επιστολές του προς τους Νέους γράφει οτι δια τής μαθήσεως θα κατακτηθεί ή αρετή, και τους προτρέπει να μή δέχονται άκριτα ολα οσα οι δάσκαλοι τους διδάσκουν. ΨΕΥΤΟΓΚΑΣ, Μ. Βασιλείου Άπαντα, σ CONSTANTINIDES, Higher Education, σ. 160.

5 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ όπως προκύπτει άπο τον βιενναΐο έλλ. φιλ. κώδ. 65 (15ος αι.) 25, φαίνεται να υπήρχαν και μαθητές, οι όποιοι για να σπουδάσουν μετακινούνταν σε άλλη πόλη, οπού κατοικούσαν πολλοί μαζί στον ίδιο χώρο πληρώνοντας ενοίκιο. Σχετικά με το είδος τών μαθητών γνωρίζουμε οτι παλαιότερα υπήρχαν μαθητές κάθε ηλικίας, οι όποιοι μπορεί να ήταν κληρικοί, δημόσιοι υπάλληλοι, ακόμα και αξιωματούχοι μαζί μέ τα παιδιά τους 2 ". Ή ύπαρξη αυτού του είδους του ακροατηρίου καθόριζε ως ένα βαθμό και το περιεχόμενο τής διδακτέας ΰλης, ή δποια όσον άφορα στα μαθηματικά τις περισσότερες φορές περιλάμβανε όχι μόνο κεφάλαια πρακτικής αριθμητικής και γεωδαισίας, άλλα και άλγεβρας. 'Επειδή αυτά τα κεφάλαια περιλαμβάνονται στο περιεχόμενο του βιενναίου έλλ. φιλ. κώδ. 65, τίθενται ερωτήματα σχετικά μέ τή σύσταση τοΰ ακροατηρίου, στο όποιο απευθυνόταν. Τούτο διότι τα κεφάλαια τής λογιστικής και τής γεωδαισίας ήταν χρήσιμα κυρίως σέ εμπόρους, χειροτέχνες, διοικητικούς υπαλλήλους, πρωτομάστορες, τοπογράφους, ένώ τής άλγεβρας σέ μαθητές σχολείου. Ενδεικτικά αναφέρουμε τα κεφάλαια τής άλγεβρας στα όποια ό συγγραφέας προτείνει λύσεις για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. Οί λύσεις αυτές είναι εσφαλμένες, άλλα μέχρι το 1615 πού ό Vieta ανακάλυψε την γενική τους λύση 27 είχαν γίνει πολλές αποτυχημένες απόπειρες προς αυτήν τήν κατεύθυνση άπό τους μαθηματικούς όλων τών εποχών. Είναι δέ σαφές οτι ένα τέτοιο θέμα καθαρά ερευνητικό δέν θα ήταν δυνατόν να ενδιαφέρει ανθρώπους πού επιζητούσαν πρακτικές γνώσεις, άφοΰ μάλιστα έως σήμερα οί λύσεις τών εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού διδάσκονται στους μαθητές τών τελευταίων τάξεων τών Λυκείων. Παλαιότερα στα σχολεία αυτά ξεκινούσαν συνήθως μέ ποίηση και ρητορική, και στο τέλος μάθαιναν μαθηματικά, αν και ή σειρά δέν ήταν απολύτως καθορισμένη. Βέβαια οί περισσότεροι μαθητές δέν συνέχιζαν τις σπουδές τους στα ανώτερα μαθηματικά, διότι άφ' ενός μέν οί δάσκαλοι ήταν λιγοστοί, άφ' ετέρου δέ υπήρχε έλλειψη χειρογράφων βιβλίων 28. Καθώς ή τυπογραφία ανακαλύπτεται προς το τέλος τού 15ου αι. μ.χ. τα χειρόγραφα αντέγραφαν πολλές φορές οί ίδιοι οί μαθητές. Οί περισσότεροι δάσκαλοι (Πλανούδης, Βρυέννιος, Παχυμέρης) είχαν δικές τους βιβλιοθήκες άλλα τό πλήθος τών μαθητών πού δέχονταν ήταν περιορισμένο 2 '. 25. Ή μεταγραφή και ή μελέτη τοΰ μαθηματικού περιεχομένου αύτοϋ τοϋ χειρογράφου αποτελείτο θέμα της υπό εκπόνηση διδακτορικής διατριβής μου. 26. Συνήθως τό κράτος αναλάμβανε τήν μόρφωση τών λειτουργών του, και ή εκκλησία τών κληρικών της. LEMERLE, Ό πρώτος Βυζαντινός Ουμανισμός, σ. 52, D.E. SMITH, History of Mathematics, τ. Β', Dover/New York 1958, σ CONSTANTINIDES, Higher Education, σ Ό.π., σ.157.

6 56 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ Ό βιενναΐος ελλ. φιλ. κώδ. 65 είναι χαρτώος καί χρονολογείται στον 15ο αι. 'Αποκτήθηκε από τον Augerius von Busbeck, όταν αυτός ήταν πρεσβευτής τοΰ αυτοκράτορα Φερδινάνδου Α' στην αυλή του σουλτάνου Σουλεϊμάν Β' ( μ.χ.) 30. Περιέχει ένα βιβλίο αριθμητικής με λυμένα προβλήματα (φ. llr-126r), τά όποια καλύπτουν ενα ευρύτατο πεδίο θεμάτων κατάλληλων για διδασκαλία τόσο στο σημερινό δημοτικό δσο στο γυμνάσιο και στο λύκειο. Ή τεράστια ποικιλία των προβλημάτων καθιστά δύσκολο τον καθορισμό του είδους των μαθητών στους οποίους απευθύνεται. Άν επρόκειτο για ολοκληρωμένο πρόγραμμα διδασκαλίας, τότε κατά τήν άποψη μας θα μπορούσε τό ακροατήριο να αποτελείτο άπό μαθητές όλων των τάξεων της σημερινής πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αλλά και από άτομα τά όποια προορίζονταν να ακολουθήσουν τό επάγγελμα τού κρατικού λειτουργού. Έκτος άπό τό είδος των προβλημάτων, εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζει καί ή μαθηματική ορολογία, ή όποια χρησιμοποιείται και είναι ως επί τό πλείστον άγνωστη στον σύγχρονο μαθηματικό. Μερικά παραδείγματα είναι τά έξης: Ό συγγραφέας ονομάζει τον αριθμό ψήφον και ορίζει τό μηδέν ως ουδέν γράφει ότι τό ουδέν ούδενος εστί δηλωτικόν, και τό συμβολίζει με τό άνεστραμένο h. Χρησιμοποιεί τον δρο μηλιούρια ή μιλούνια αντί τοΰ ορθού πού είναι μιλλιούνια, προκειμένου να δηλώσει τά εκατομμύρια. Για τήν πράξη τοΰ πολλαπλασιασμού χρησιμοποιεί δύο σχήματα: τό δίπλευρον (τά ψηφία τοΰ πολλαπλασιαστή τοποθετούνται κατακόρυφα), καί τό οίκος (δια το τετραγωνικώς λαμβάνειν τους ψήφους). Για τον πολλαπλασιασμό, πού σήμερα λέμε ότι έκτελοΰμε χιαστί (όταν π.χ. θέλουμε να κάνουμε δύο κλάσματα ομώνυμα), χρησιμοποιεί τήν έκφραση πολλαπλασιάζω σταυροειδώς. Οι δροι έπιστρεπτικος αριθμός καί άνυπόστροφος, χρησιμοποιοΰνται για να δηλώσει ό συγγραφέας τους σύνθετους καί τους πρώτους αριθμούς αντίστοιχα. Σημειωτέον, ότι ό όρος πρώτος αριθμός χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμό, ο όποιος έχει ως διαιρέτες μόνο τον εαυτόν του καί τή μονάδα, ενώ ό ορός σύνθετος αριθμός δηλώνει τον αριθμό, ό όποιος έχει καί άλλους διαιρέτες εκτός άπό τον εαυτόν του καί τή μονάδα. Οι εκφράσεις ή δια των τριών μεταχείρισις καί δια του κανόνος τοϋ δια των τριών αντιστοιχούν στή σημερινή μέθοδο των τριών. Μία συνήθης ονομασία αυτού τού κανόνα ήταν έμπορων κλείς, ή οποία δείχνει τή σημασία του στις εμπορικές συναλλαγές. Ό συγγραφέας χρησιμοποιεί πολύ συχνά τή μέθοδο τών τριών, καί δέν παραλείπει κάθε φορά, να τήν περιγράφει αναλυτικά. 30. ΣΤΑΜΑΤΗΣ, Κριτική βυζ. βιβλίου 'Αριθμ., σ. 5.

7 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ Ό ορός άφεξαίρεσις σημαίνει τή σημερινή αφαίρεση. Σχετικά με τις αριθμητικές προόδους επισημαίνουμε, ότι μολονότι ό όρος αριθμητική πρόοδος δέν συναντάται στο χειρόγραφο, εντούτοις υπάρχουν προβλήματα υπολογισμού αθροισμάτων αριθμών, οι όποιοι είναι στην πραγματικότητα οροί αριθμητικής προόδου". Ό όρος φυσική ρίζα χρησιμοποιείται για τήν άκεραία ρίζα (π.χ. τήν Vl6), και νόθος ρίζα για αυτή πού δέν δίνει ακέραιο αποτέλεσμα (π.χ. τήν Λ/30). Ό όρος εφίμικτος ρίζα χρησιμοποιείται για να δηλώσει το άθροισμα τών ριζών δύο αριθμών. Σημειωτέον, οτι σήμερα δέν χρησιμοποιούνται αντίστοιχοι ορισμοί. Αξίζει να αναφέρουμε, οτι ό συγγραφέας δίνει αξιόλογες μεθόδους υπολογισμού ριζών δεύτερης και τρίτης τάξης, τις όποιες σχολιάζουμε εκτενώς στή διδακτορική διατριβή' 2. Στις εξισώσεις πρώτου έως και τετάρτου βαθμού ό συγγραφέας ονομάζει αριθμόν κάθε πραγματικόν αριθμό και πράγμα τον άγνωστο χ. Οι όροι τζένσο, κοϋβον, καί κάδρον χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν τήν δευτέρα (τετράγωνο), τρίτη (κύβο) καί τετάρτη δύναμη τοΰ άγνωστου χ αντίστοιχα. Οι γενικές λύσεις για τις εξισώσεις τρίτου καί τέταρτου βαθμού παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι δείχνουν τήν προσπάθεια πού κατέβαλλαν τότε για τήν εύρεση γενικής λύσης. Σημειώνουμε, οτι ό σημερινός όρος ισότητα δυο μελών εμφανίζεται στο χειρόγραφο, ως ομοιότητα. Ρομβοειδες ν ονομάζεται κάθε πλάγιο παραλληλόγραμμο. Σήμερα βέβαια αυτός ό όρος δέν χρησιμοποιείται - εμείς ονομάζουμε ρόμβο τό παραλληλόγραμμο, τό όποιο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ϊσες. Τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα ονομάζονται τετράγωνα. Δέν υπάρχουν δέ οι όροι τού ισοσκελούς καί τού ισοπλεύρου τριγώνου - όποτε ό συγγραφέας αναφέρεται σέ αυτά τα αποκαλεί τρίγωνα με δύο ή με τρεις Ισες πλευρές. Παρατηρούμε, οτι σέ ορισμένα προβλήματα τοΰ χειρόγραφου μας χρησιμοποιείται ό όρος ϋψος τριγώνου για να δηλώσει τή διχοτόμο της γωνίας πού κείται απέναντι άπό τή βάση του. Ό όρος μηνικόν κέρδος αναφέρεται σέ προβλήματα τόκου καί σημαίνει τό κέρδος ενός μηνός. Ό όρος ένιαυτός δηλώνει τήν χρονική διάρκεια ενός 31. ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ, Προβλήματα πολλαπλασιασμοί, διαίρεσης, αναλογιών καί προόδων σέ βιενναΐο κώδικα τοΰ 15ου αι., Β'Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου (24-26 Σεπτεμβρίου 1999) (περίληψη ανακοίνωσης),'αθήνα 2000, σ ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ. Περί ριζών, Γ Συνάντηση Βυζαντινολόγων Έλλάόος και Κύπρου (22-24 Σεπτεμβρίου 2000) (περίληψη ανακοίνωσης), Ρέθυμνο 2002, σ Ό Παχυμέρης ορίζει ώς ρομβοειόές το παρασεσαλευμένον έτερόμηκες, το και τάς πλευράς καί τάς γωνίας έχον άνισους (δέν πρόκειται ακριβώς περί ρόμβου). Βλ. P. TANNERY, Quadrivium de Georges Pachymère, Città del Vaticano 1940, σ. 203.

8 5 Ν ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ έτους. Λείπει εντελώς ο σημερινός ορός επιτόκιο, ό οποίος δηλώνει το ετήσιο κέρδος τών 100 νομισματικών μονάδων. Ό δρος φίνον (πρβλ. affinage) αναφέρεται στο καθαρότατο ασήμι τών 12 ούγγιών, και φίνονμάλαγμαν στον χρυσό τών 24 καρατίων. Όταν όμως πρόκειται για παρασκευή ασημιού μικρότερης καθαρότητας χρησιμοποιείται ό ορός επιβολή χαλκώματος, ενώ για τήν παρασκευή καθαρότερου μετάλλου ο όρος λογαρίζω Μ. Το Πυθαγόρειο θεώρημα αναφέρεται ώς κανών τής σκάόρας, και διευκρινίζεται άπό τον συγγραφέα ότι σκάδρα σημαίνει τετράγωνο. Ό δρος αρριζον τζάκισμα κορυφής αναφέρεται σε κάποιον αριθμό, τοΰ όποιου ζητείται ή τετραγωνική ρίζα, και ό όποιος είναι κλασματικός με αρριζον (κατά τον συγγραφέα δεν μπορείς να υπολογίσεις τή ρίζα) παρανομαστή, όπως π.χ. 3/8,7/14, κ.λπ. Ό ορός άσχημάτιστον ή ατμητον τζάκισμα χρησιμοποιείται για κλάσματα (π.χ. 13/14, 7/16), τα όποια -όπως εξηγεί ό συγγραφέας- δεν μπορούν να λάβουν μετά άπό απλοποίηση μία άπό τις ακόλουθες μορφές: 1/2 ή 1/3 ή 1/4. Σύμφωνα μέ τον συγγραφέα ή ρίζα αυτών τών κλασμάτων δέν είναι δυνατόν νά υπολογισθεί. Στο κεφάλαιο της στερεομετρίας δέν αναφέρονται καν οί όροι παράπλευρη επιφάνεια ή ολική επιφάνεια στέρεου, και όταν ό συγγραφέας ζητεί τήν εύρεση του περιεχομένου τού στέρεου αυτό σημαίνει τον υπολογισμό τοΰ όγκου του. Παρατηρούμε ότι στό χειρόγραφο μας χρησιμοποιείται πολύ συχνά ό δρος άπόοειξη, όταν πρόκειται για απλή επαλήθευση τής ορθότητας τών πράξεων και όχι για κάποια διαδικασία, ή όποια σχετίζεται μέ τή θεωρία. Συχνά μάλιστα αυτή ή επαλήθευση πραγματοποιείται μέ τήν ανάπτυξη μίας διαφορετικής μεθόδου επίλυσης τού ιδίου προβλήματος. Ή ορολογία, ή οποία χρησιμοποιείται στό χειρόγραφο μας αξιολογήθηκε προσεκτικά, καθώς τό κείμενο είναι εξαιρετικά ανορθόγραφο και ή γλώσσα του έπρεπε νά συγκριθεί μέ τή γλώσσα τών βυζαντινών κειμένων τής εποχής. Ή ορολογία συγκρινόμενη μέ τήν σημερινή, παρουσιάζει, όπως θα περίμενε κανείς, ομοιότητες άλλα και σημαντικές διαφορές. "Ετσι ορισμένοι οροί, όπως αυτός τοΰ τριγώνου ή τής ρίζας παραμένουν αναλλοίωτοι - οί περισσότεροι όμως δέν χρησιμοποιούνται πλέον σήμερα, ενώ κάποιοι άλλοι θεωρούνται λανθασμένοι. Π.χ. σήμερα θα ήταν σοβαρό λάθος νά ονομάζαμε τε- 34. Οί χρυσοεψηταί έξελαγάριζαν τήκοντες τον χρυσον εις μικρά όστράκινα σκεύη. Βλ. Φ. ΚΟΥΚΟΥΛΕΣ, Βυζαντινών βίος και πολιτισμός, τ. Β'. 'Αθήνα 1948, σ Περί τον λαγαρϊσαι το χρνσίον: βλ. Collection des Anciens Alchimistes Grecs, ed. M. BERTHELOT, τ. Β', Paris 1888, κεφ. 5, σ. 322,333.

9 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ τράγωνο ένα τυχόν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο - το ϊδιο θα ίσχυε και αν ζητούσαμε τον υπολογισμό του ύψους ενός τριγώνου εννοώντας τη διχοτόμο της γωνίας που είναι απέναντι άπό τη βάση του. Τα Βυζαντινά κείμενα διακρίνονται για την αρμονία και τον ρυθμό τους πού βασίζονται στη συμμετρική σχέση τονιζομένων συλλαβών και συλλαβικών ενοτήτων 3 '. Τούτο ισχύει και για το χειρόγραφο μας. Διαβάζοντας το έχει κανείς τήν αίσθηση, οτι ό συγγραφέας του επιδιώκει να το κάνει να μοιάσει μέ ποίημα. Πιστεύουμε, δτι ή σκοπιμότητα είναι αφενός μεν αισθητική, διότι ό ρυθμός προσδίδει κάλλος, αφετέρου δε παιδαγωγική, διότι τα ανωτέρω χαρακτηριστικά τοΰ λόγου ποιοϋσιν ενσχήμονα τήν ψνχήν αυτών πού άκούουν 36. Έξ' άλλου, αναφερόμενοι και στην ψυχολογία τών μαθηματικών, σύμφωνα μέ σχετικές έρευνες έχει διαπιστωθεί οτι ό μαθητής αφομοιώνει εύκολώτερα τήν ύλη υπό μορφή ποιήματος, ή οποία χαρακτηρίζεται άπό μία μετρική, ένα ρυθμό 37. Επειδή ή γλωσσοπλαστική τάση τών Βυζαντινών έχει δημιουργήσει ένα τεράστιο λεξικογραφικό θησαυρό, για τον όποιο γνωρίζουμε πολύ λίγα (σέ κείμενα ρητορικά, ιστοριογραφικά, νομικά, μαθηματικά), και ή κλασσικίζουσα γλώσσα αναμιγνύεται μέ τήν απλούστερη τών Ευαγγελίων και τή δημώδη, χωρίς να υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ τους, οι ϊδιοι οι συγγραφείς (π.χ. Μιχαήλ Ψελλός, Θεόδωρος Πρόδρομος) παρουσιάζουν διαφορετικές γλωσσικές τάσεις 38. Βέβαια υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας σύμφωνα μέ τον όποιο, ό,τι έχει γραφεί άπό υποτιθέμενους αγράμματους είναι δημώδες 3 ". Αυτό όμως κατά τον Ν. Τωμαδάκη δέν μπορεί να είναι απόλυτο. Και τούτο διότι συνήθως νόθευαν τον άττικισμό μέ τήν κοινή γλώσσα, ή όποια είχε πάρει πολλά στοιχεία άπό τήν λατινική, άλλα και αυτή ή κοινή ακόμα νοθευόταν άπό δημώδεις τύπους. Όμως τα πράγματα φαίνεται να περιπλέκονται περισσότερο αφού ακόμα και ή μεσαιωνική δημώδης νοθεύεται συχνά άπό 35. Γ. ΗΛΙΟΥΔΗΣ, Ό ρυθμός και ή αρμονία τοΰ λόγου σέ λειτουργικά και ύμνογραφικά κείμενα τών Βυζαντινών, Α' Συνάντηση Βυζαντινολόγοι Έλλάόος και Κύπρου (25-27 Σεπτεμβρίου 1998) (περίληψη ανακοίνωσης), 'Ιωάννινα 1999, σ Ό.π..σ Σύμφωνα μέ τή μορφολογική θε(υρία ή αναγνώριση σημαντικών σχέσεων μεταξύ της παλαιάς και της νέας κατάστασης μάθησης είναι θεμελιώδης για τή μεταβίβαση της μάθησης. Αυτό συμβαίνει ακόμα και αν ένας 'ιδιαίτερος ρυθμός επαναλαμβάνεται, παρά τό ότι οι στίχοι διαφέρουν κατά μήκος και δέν έχουν καμία λέξη κοινή. Π. ΓΕΩΡΓΟΥΣΗΣ, Παιδαγωγική Ψυχολογία, 'Αθήνα 1981, σ Θ. ΔΕΤΟΡΑΚΗΣ, Προβλήματα της βυζαντινής λεξικογραφίας. Β'Συνάντηση Βυζαντινολόγων 'Ελλάδος και Κύπρου (24-26 Σεπτεμβρίου 1999) (περίληψη ανακοίνωσης), Αθήνα 2000, σ Ν. ΤΩΜΑΔΑΚΗΣ, Κλείς της βυζαντινής Φιλολογίας, Θεσσαλονίκη 1963, σ. 27.

10 60 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ τύπους λογιώτερους και ή νεοελληνική δημώδης αναμειγνύεται με στοιχεία συντηρητικότερα 40. Άπό τον 12ο αι. μ.χ. ή παιδεία είχε ώς σκοπό να γράφουν οι νέοι την αττική διάλεκτο 41, άλλα δεν πρέπει να παραγνωρίζουμε το γεγονός οτι ό Βυζαντινός, δταν γράφει περί διδακτικών θεμάτων, αγωνίζεται να διακριθεί ακόμα και μέ το ΰφος της γραφής, ιδιαίτερα μάλιστα όταν καταγίνεται με προβλήματα 42. Ή συγγραφή διδακτικών θεμάτων συγκρίνεται μέ αυτήν τών δοκιμίων πού εκθέτουν επιστημονικές γνώσεις μέ τήν κατάλληλη εκλαϊκευτική μορφή. Οι Βυζαντινοί συγγραφείς κατείχαν τήν τέχνη να διδάσκουν λαμβάνοντας υπόψη τους το επίπεδο μόρφωσης του μαθητού καθώς και τον ευρύτερο κύκλο τών ενδιαφερόντων του, και προσπαθώντας να κάνουν ζωντανή τήν διδασκαλία τους τήν εμπλούτιζαν και μέ πνευματώδεις παρατηρήσεις ακόμα 43. Έπί τών Παλαιολόγων ή ροπή προ τήν καθαρεύουσα φθάνει στο αποκορύφωμα και έτσι μεγαλώνει τό χάσμα μεταξύ καθομιλουμένης και γραφομένης. 'Επιπλέον δεν πρέπει να αγνοηθεί το οτι οι Βυζαντινοί έπρεπε σέ πολλά ζητήματα (πολιτικά, στρατιωτικά) να εκφράσουν πλήθος νέων ιδεών και έτσι ήταν πρακτικά αδύνατο να περιορισθούν στο κλασσικό λεξιλόγιο 44. Όσον άφορα στο χειρόγραφο μας ή χρησιμοποιούμενη γλώσσα δείχνει τήν προσπάθεια πού κατέβαλλαν κάποιοι βυζαντινοί για να γράφουν στην επιθυμητή αττική διάλεκτο, ϊσως τεχνητή και εξεζητημένη, ϊσως ακόμη και πολύ διαφορετική άπό τήν καθομιλουμένη. Όμως, βάσει της χρησιμοποιούμενης επιστημονικής ορολογίας, θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε τή γλώσσα τού χειρογράφου μας ώς λογία, μέ εμφανή όμως τή λατινική επιρροή. Βέβαια ή λατινική επιρροή αποδεικνύεται και άπό ορισμένες μεθόδους, τις όποιες χρησιμοποιεί ό συγγραφέας. 'Αναφέρουμε ώς παράδειγμα τή μέθοδο της ταβλέττας (τολέττας) 45, τήν όποια χρησιμοποιεί σέ προβλήματα εμπορικών συναλλαγών. 40. Εκείνο πού μπορεί να συμβαίνει είναι και το αντίστροφο, δηλαδή ένας λόγιος να χρησιμοποιεί τήν δημώδη γραφή και κάποιος πού θεωρείται αγράμματος τήν λογία, ή ακόμα κάποιος μορφωμένος να κάνει σύνθεση λογίας και δημώδους γραφής, ο.π. (σημ. 39), σ ΑΓΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΟΠΟΥΛΟΥ-ΐΩΑΝΝΙΔΟΥ, Ή αναγέννηση τών γραμμάτων κατά τον 12ο αι. στο Βυζάντιο κα'ι ό Όμηρος,'Αθήνα 1971, σ Ν. ΤΩΜΑΔΑΚΗΣ, Βυζαντινή επιστολογραφία, Αθήνα 1969, σ Ό.π.,σ Κ. KRUMBACHER. Geschichte der byzantinischen Litteratur, München 1897, σέ έλλ. μετάφρ. Γ. ΣΩΤΗ- ΡΙΑΔΟΥ. Ιστορία της βυζαντινής Λογοτεχνίας, τόμος Α', εν 'Αθήναις 1897 [ανατύπωση 1974]. σ Ή λέξη tolette είναι τό υποκοριστικό τής λέξης tola ή tavola, ή όποια στή βενετική διάλεκτο σημαίνει τράπεζα. G. LORIA. Ιστορία τών Μαθηματικών. 'Αθήνα 1971, τ. Β', σ. 352.

11 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ Σχετικά μέ τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων παρατηρούμε οτι κάποιες άπό αυτές, όπως π.χ. της δοκιμής του πολλαπλασιασμού, της διαίρεσης και της πρόσθεσης πολλών αριθμών, σήμερα είναι άγνωστες. Μάλιστα αξίζει να αναφέρουμε, οτι σε καμία βαθμίδα τής εκπαίδευσης δέν διδάσκουμε σήμερα μέθοδο δοκιμής αθροισμάτων πολλών προσθετέων. Το ϊδιο συμβαίνει και μέ τις ρίζες τρίτης τάξης 46 δηλαδή, δέν διδάσκεται πλέον ό τρόπος υπολογισμοί) τους. Ή σύγκριση τής μαθητικής ορολογίας και τών μεθόδων εκείνης τής εποχής μέ τις αντίστοιχες σημερινές αποδεικνύει, οτι στο πέρασμα του χρόνου άλλοι μέν τρόποι επίλυσης και επιστημονικοί όροι εξαφανίζονται, άλλοι δέ εξελίσσονται, ενώ άλλοι παραμένουν ϊδιοι. Αυτά τα στοιχεία είναι σημαντικά, διότι βοηθούν στο να σχηματίσουμε μία καλύτερη εικόνα τής εξέλιξης τών μεθόδων διδακτικής τών μαθηματικών, όσον άφορα στην επινόηση μεθόδων επίλυσης προβλημάτων και τρόπων διδασκαλίας για την κατά το δυνατόν καλύτερη κατανόηση τους άπό τους μαθητές. 46. Ώς ρίζα τρίτης τάξης π.χ. του άριθμοϋ 8 ορίζουμε τον αριθμό 2. οιότι 'ισχύει ή 'ισότητα Τ = 8.

12 62 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ SUMMARY MATHEMATICAL EDUCATION AND TERMINOLOGY IN BYZANTIUM ACCORDING TO COD. VIND. PHIL. GR. 65 (15 C.) In this article we present some few results of our study on the mathematical content of the unpublished part (f. 11 r-126r) of Cod. Vind. Phil. gr. 65 (the other part has been published by H. Hunger and K. Vogel), which is the subject of our Dr. thesis (to be submitted). This 15th century Byzantine MS includes the solution of problems of practical arithmetic, geometry and algebra, the roots of which can be traced back to antiquity. Most of them are related to practical human needs and therefore they could be used not only by practical men like merchants, metal workers, builders and other people but also by state employers to calculate taxes. The mathematical terminology used in this MS has been strongly influenced by latin works; nevertheless its comparison with modern Greek mathematical terminology reveals -apart from some differences- many identities and similarities showing the continuity of Greek mathematical tradition through the centuries. MARIA CHALKOU

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Κεφάλαια: 2,3,6,7,8,9,10,11,13,14,15,16,18,19,21,22,23,24,25,26,31,32,37 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛ. ΓΛΩΣΣΑ & ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ Α) Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι: 1. Εισαγωγή α) Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Γ Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση της προϋπάρχουσας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Διαγωνισμός Μαθηματικών ικανοτήτων ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α και Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ο Από τους αριθμούς 12, 13, 14, 15, 17 αυτός που έχει τους περισσότερους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Διδασκαλία III

Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαριάννα Τζεκάκη Απαραίτητα στον εκπαιδευτικό Μαθηματικό περιεχόμενο γνώση Ζητήματα των στόχων της διδασκαλίας των μαθηματικών μάθησης και του σχετικού μαθηματικού περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΧ. ΕΤΟΥΣ

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΧ. ΕΤΟΥΣ 4ον ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΧ. ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΚΕΙΜΕΝΑ: 1. Θαλασσινά τραγούδια σελ. 8 2. Το πιο γλυκό ψωμί σελ. 18 3. Ο παππούς και το εγγονάκι σελ. 43 4. Η

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Ενότητα 4: Ιστορικό πλαίσιο 6 ου αιώνα. Βυζαντινή Ιστοριογραφία: είδη - χαρακτηριστικά. Προκόπιος και Μαλάλας: Βίος και Έργο. Κιαπίδου Ειρήνη-Σοφία Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΚΟΙΝΩΝΙΑ [σελ20-27 ] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ [σελ44-53 ] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η ΠΟΛΙΤΕΙΑ- ΗΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ 5.4 Η συμπολιτεία- Η Ευρωπαϊκή Ένωση 5.5 Η

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 2015 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 2015 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 2015 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ 1.2 Ο μυκηναικός πολιτισμός ( ΟΧΙ Η εξάπλωση και Η παρακμή ) 2.1 Ομηρική εποχή 2.2 Αρχαική εποχή 2.3 Κλασική εποχή ( ΟΧΙ Ο πολιτισμός σελ.112-117

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ: Βιβλίο μαθητή, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, ένα τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, α τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, β τεύχος Τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης Ε.Κολέζα Η μαθηματική δραστηριότητα Α) Υλοποιεί τους στόχους του Π.Σ. Στόχους περιεχομένου (στο τέλος του μαθήματος οι μαθητές θα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πυθαγόρειες Τριάδες: από την ανακάλυψη μιας κανονικότητας στη διατύπωση και την απόδειξη μιας πρότασης

Πυθαγόρειες Τριάδες: από την ανακάλυψη μιας κανονικότητας στη διατύπωση και την απόδειξη μιας πρότασης Πυθαγόρειες Τριάδες: από την ανακάλυψη μιας κανονικότητας στη διατύπωση και την απόδειξη μιας πρότασης Δημήτριος Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Σεραφείμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

17 ο ΓΕΛ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧ. ΕΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

17 ο ΓΕΛ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧ. ΕΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΚΕΙΜΕΝΑ 17 ο ΓΕΛ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧ. ΕΤΟΥΣ 2017-18 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 1) Ελληνικά του Ξενοφώντα - 2.1. 16-32 ( σελ. 46-61) ΑΠΟ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ μόνον για

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά Θεωρητικό πλαίσιο Μαθηµατικά Β Γιώργος Αλβανόπουλος Σχολικός 1 Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Μαθητών - Γενικός Μ.Ο. Τρίτη, 05 Φεβρουάριος :31 - Τελευταία Ενημέρωση Σάββατο, 30 Νοέμβριος :01

Αξιολόγηση Μαθητών - Γενικός Μ.Ο. Τρίτη, 05 Φεβρουάριος :31 - Τελευταία Ενημέρωση Σάββατο, 30 Νοέμβριος :01 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ Αξιολόγηση του μαθητή είναι η συνεχής παιδαγωγική διαδικασία, με βάση την οποία παρακολουθείται η πορεία της μάθησής του, προσδιορίζονται τα τελικά αποτελέσματά της και εκτιμώνται, παράλληλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Η εκπαίδευση στην αρχαιότητα και στο βυζάντιο

Η εκπαίδευση στην αρχαιότητα και στο βυζάντιο Η εκπαίδευση στην αρχαιότητα και στο βυζάντιο Κωνσταντίνος Λιάκος Β2 49 ο Γυμνάσιο Αθηνών 2011-2012 Η εκπαίδευση στην αρχαιότητα και στο βυζάντιο Πρωτοβάθμια εκπαίδευση Όπως και στον σύγχρονο κόσμο, έτσι

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας

ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας Ομιλία με θέμα: ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Εκδήλωση αριστούχων μαθητών: Οι μαθητές συναντούν τη Φυσική και η Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΑΤΗ Η ΥΣΤΕΡΗ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΑΤΗ Η ΥΣΤΕΡΗ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΑΤΗ Η ΥΣΤΕΡΗ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΑ 1. Ύστερη Μεσαιωνική Περίοδος - Η Ύστερη Μεσαιωνική περίοδος ξεκινάει από τον 11 ο αι., ο οποίος σηματοδοτεί την έναρξη μίας διαφορετικής

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013

ΓΕΛ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΓΕΛ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κεφ. 2 ο : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 2.16. Είδη και απλές σχέσεις γωνιών. (Χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΤΑΞΗ Α ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΕΝΌΤΗΤΕΣ : 2,3,6,7,8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21,22, 23, 24, 25.

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΤΑΞΗ Α ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΕΝΌΤΗΤΕΣ : 2,3,6,7,8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21,22, 23, 24, 25. ` ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ &Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΘΗΝΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ι. Ράλλη 8 &Τατοϊου Μεταμόρφωση

Διαβάστε περισσότερα