Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΗΑΙΑΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΑΟΠΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ. 65 (φ. llr-126r)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΗΑΙΑΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΑΟΠΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ. 65 (φ. llr-126r)"

Transcript

1 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ ΕΩΑ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΑ 5 ( ) Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΗΑΙΑΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΑΟΠΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ. 65 (φ. llr-126r) Γνωρίζουμε οτι εποχές ακμής των μαθηματικών στο Βυζάντιο υπήρξαν ο Ε', ΣΤ, Θ', Γ, ΙΓ καί ΙΔ' αιώνας 1. Οι μαθηματικοί τών πρώτων Βυζαντινών χρόνων ήκμασαν στην 'Αλεξάνδρεια. Έπί 'Ιουστινιανού όμως, λόγω τής μεγάλης τότε οικοδομικής δραστηριότητας το κέντρο βάρους μετατοπίστηκε στην Κωνσταντινούπολη 2. Το 726 μ.χ. ενώ το Πανδιδακτήριο τής Κωνσταντινούπολης είχε πλέον παρακμάσει δίδασκαν ακόμα λογιστική και γεωδαισία', ή οποία θεωρείτο κλάδος τής λογιστικής 4. Σημειωτέον, οτι στην αρχαία Έλλά- 1. Η. HUNGER, Die hochsprachliche profane Literatur der Byzantiner, München σέ ελληνική μετάφραση: Η. HUNGER. Βυζαντινή Λογοτεχνία. Ή λόγια κοσμική γραμματεία τών Βυζαντινών, τ. Γ, Μαθηματικά καί 'Αστρονομία. Φυσικές 'Επιστήμες, 'Ιατρική, Πολεμική Τέχνη, Νομική Φιλολογία, Μουσική, μτφρ. Γ.Χ. ΜΑΚΡΗΣ, ΙΩΑΝΝΑ ΟίΚΟΝΟΜΟΥ-ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ, Τ. ΚΟΛΙΑ, ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΠΑΠΑΠΑΝΝΗ. ΣΠ. ΤΡΩΙΑΝΟΣ, Δ. ΓΙΑΝΝΟΥ. (Μορφωτικό Ίδρυμα 'Εθνικής Τραπέζης) 'Αθήνα 1994 (στο έξης: Η. HUNGER, Βυζ. Λογοτεχνία), σ. 19. Κατά το τέλος τοΰ ΙΓ και στις αρχές τοΰ ΙΔ' αϊ ή Κωνσταντινούπολη ήταν τό κέντρο τών ανωτέρων επιστημών. Βλ. C.N. CONSTANTIN1DES, Higher Education in Byzantium, Nicosia 1982 (στό έξης: CONSTANTINIDES, Higher Education), σ Ό. π.,σ Γεωδαισία εστίν επιστήμη τών εν τοις αίσθητοΐς σώμασι μεγεθών και σχημάτων διαιρετική και συνθετική. Λαμβάνει τα αγήματα ον τέλεια ovò' άπηκριβωμένα τω σωματικήν ΰλην ύποβεβλήσθαι, καθώσπερ και ή λογιστική- μετρεϊ γοϋν και σωρον ώς κώνον και φρέατα περιφερή ως κυλινδρικά αγήματα... χρήται δέ, ώς ή γεωμετρία τή αριθμητική, οΰτω και αυτή τή λογιστική... ώσπερ ο γεωμέτρης τάς λογικάς ευθείας μεταχειρίζεται, ούτως ό γεωόαίτης ταΐς αίσθηταΐς προσχρήται... Πόσα μέρη μαθηματικής; Τής μεν τιμιωτέρας καί πρώτης ολοσχερέστερα μέρη δύο, αριθμητική και γεωμετρία, τής δέ περί τά αισθητά ασχολούμενης εξ, λογιστική, γεωδαισία, οπτική, κανονική, μηχανική, αστρονομική. HERONIS ALEXANDRINI, Stereometrica et de mensuris, ed. J. Heiberg. Stutgard τ. Δ', σ. 100,164. Βλ. και εις: The Cambridge Medieval History, v. IV : The Byzantine Empire, part II: Government, church and civilization, ed. J.M. HUSSEY, Cambridge 1967, σέ ελληνική μετάφραση: Πανεπιστήμιο τοΰ Καίμπριτζ. Ή Ιστορία της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, τ. Α'-Β', μτφρ. ΝΤΟΥΝΤΟΥ ΣΑΟΥΛ, Πρόλογος Γ. Καραγιαννόπουλος, έκδ. Μέλισσα, 'Αθήνα 1979 στό: τ. Β', κεφ. XXVIII Κ. VOGEL, Ή Βυζαντινή επιστήμη, (στό έξης: VOGEL. Ή βυζαντινή επιστήμη), σ Ή πρακτική αριθμητική ονομαζόταν άπό τους αρχαίους Έλληνες λογιστική, και δέν άνηκε στις μαθηματικές επιστήμες. Τό Ίδιο ίσχυε καί στό Βυζάντιο μέ τή μόνη διαφορά ότι οι Βυζαντινοί εκτιμούσαν 'ιδιαιτέρως τή λογιστική, επειδή εφαρμοζόταν σέ προβλήματα καθημερινής ζ<υής. Βλ. Ε. ΣΤΑΜΑΤΗΣ. Κριτική βυζαντινού βιβλίου 'Αριθμητικής, Αθήνα (στό εξής: ΣΤΑΜΑΤΗΣ, Κριτική βυζ. βιβλίου Αριθμ.). σ. 12.

2 52 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ δα ό ορός «αριθμητική» σήμαινε τή σημερινή «θεωρία αριθμών». Στή λογιστική όμως οι τύποι χρησιμοποιούνταν χωρίς αποδείξεις και οι γνώσεις τών μαθηματικών και της μηχανικής μεταδίδονταν άπο γενιά σε γενιά στα μέλη τών ομάδων τών οικοδόμων, τών εμπόρων και τών βιοτεχνών 5. Αυτό βέβαια δεν σήμαινε κατ' ανάγκην, ότι οι διδάσκαλοι της λογιστικής αγνοούσαν τα θεωρήματα στα οποία στηρίζονταν οί πρακτικοί κανόνες. Μάλιστα ορισμένοι άπό αυτούς πρέπει να ήταν καλοί γνώστες της θεωρίας, καθώς έδιναν λύσεις πρωτότυπες και διαφορετικές άπό τους συγχρόνους τους. Επιπλέον είναι γνωστό οτι οί Βυζαντινοί έδειχναν προσήλωση στα αρχαιοελληνικά πρότυπα. Διαφύλαξαν όλα όσα είχαν επιτευχθεί, τα όποια και παρέδωσαν προκειμένου να συνεχισθεί ή πρόοδος στις θετικές επιστήμες. Οί Βυζαντινοί όμως δέν διακρίθηκαν για τις γνώσεις τους στή θεωρία άλλα μάλλον για τήν πρακτική χρήση και εφαρμογή τών επιστημονικών γνώσεων στην καθημερινή ζωή 6. Κατά τον 9ο αι. ό Λέων ο μαθηματικός ήταν αυτός πού επανέφερε τήν παράδοση της ανώτατης κρατικής εκπαίδευσης και ò Πατριάρχης Φώτιος ό όποιος ήταν λάτρης της αρχαίας ελληνικής παιδείας «οδήγησε τό Βυζάντιο στον αυθεντικό ελληνισμό», με περιορισμένη όμως τήν παρουσία τών θετικών επιστημών 7. Σ' αυτή τήν περίοδο, ή παιδεία και ή τέχνη είχαν πλέον σκοπό τήν απόκτηση εκείνης της νοοτροπίας, ή οποία θα «απομάκρυνε τον πολίτη άπό κάθε τι τό ανθρώπινο, ώστε να πραγματοποιηθεί ή επιθυμητή στροφή προς τό υπεράνθρωπο»". 'Αργότερα (1008 μ.χ.) εκδόθηκε μία μαθηματική τετρακτύς άγνωστου συντάκτη, ή οποία αν και δέν ήταν υψηλού επιπέδου μας προσέφερε εντούτοις σημαντικές πληροφορίες σχετικά με κάποια είδη κειμένων, τα όποια παραδίδονταν στα πλαίσια τής εκπαιδευτικής πορείας πού άκολουθεΐτο 9. Μεταξύ όσων παρέλαβε άπό τήν αρχαιότητα τό Βυζάντιο, περιλαμβάνονταν 5. VOGEL. Ή βυζαντινή επιστήμη, σ HUNGER, Βυζ. Λογοτεχνία, σ ,18, P. LEMERLE, Le premier humanisme byzantin, Notes et remarques sur enseignement et culture à Byzance des origins au Xe siècle, Paris 1971, σέ ελληνική μετάφραση: P. LEMERLE, Ό πρώτος Βυζαντινός Ουμανισμός, μτφρ. ΜΑΡΙΑ ΝΥΣΤΑΖΟΠΟΥΛΟΥ-ΠΕΛΕΚΙΔΟΥ, (Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης) 'Αθήνα (στό έξης: LEMERLE, Ό πρώτος Βυζαντινός Ουμανισμός), σ. 280, Ό.π., σ Ή αρχαία ελληνική παιόεία αποτελούσε ένα μέσον για να κατανοηθεί καλύτερα ή ύπαρξη του Χρίστου, ό όποιος ήταν πλέον τό κέντρο του κόσμου. Οί έννοιες «Χριστιανισμός» και «Παιδεία του Χρίστου» ήταν ταυτόσημες. Ό Πλάτων διδασκόταν και ήταν αρεστός, διότι απομάκρυνε τό μυαλό άπό τά υλικά και τήν πραγματικότητα τών αισθήσεων και οδηγούσε τόν άνθρωπο σέ κόσμους οπού κατοικούν οί εκλεκτοί νόες τής ανθρώπινης φυλής. W. JEAGER. Early Christianity and Greek Paideia, Harvard 1961, σ. 12, Η. HUNGER, Βυζ. Λογοτεχνία σ. 39.

3 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ γνώσεις τεχνολογίας στους τομείς της μηχανικής, της πολεμικής τέχνης, τής φαρμακευτικής, και τής χημικής τεχνολογίας'". Στα αλχημικά κείμενα μάλιστα σώζονται συνταγές πού παραδίδονταν από γενιά σέ γενιά στους μεταλλουργούς και στους χρυσοτεχνίτες, και οι όποιες περιλάμβαναν οδηγίες σχετικά μέ τη συγκόλληση μετάλλων, τη βαφή, την παρασκευή κραμάτων και τον ποιοτικό τους έλεγχο, ό όποιος γινόταν άπό κρατικούς υπαλλήλους". Άπό τήν εποχή των Παλαιολόγων έχουν σωθεί ή πραγματεία περί χρνσοποΰας τον Νικολάου Βλεμμύδη, και ή ερμηνεία τής επιστήμης τής χρυσοχοΐας ενός μοναχού Κοσμά 12. Όσο καλά οι χρυσοτεχνίτες γνώριζαν οτι δεν υπήρχε μέθοδος μετατροπής αγενούς μετάλλου σέ χρυσό, άλλο τόσο γνώριζαν μεθόδους έπαργύροοσης και επιχρύσωσης, μέ τις όποιες έδιναν όψη αργυρού ή χρυσού σέ άλλα μέταλλα ή σέ κράματα τους. Επειδή δέ τα κράματα των μετάλλων χρησιμοποιούνται τόσο στην άργυροχρυσοχοΐα όσο και τή νομισματοκοπία, είναι αναγκαία ή γνώση τρόπων υπολογισμού των αναλογιών, υπό τις όποιες ευρίσκονται τα μέταλλα σέ κράματα. Τέτοιου είδους υπολογισμοί και όσοι άλλοι σχετίζονταν μέ τή σημερινή πρακτική αριθμητική περιλαμβάνονταν στην καλούμενη λογιστική. Τα μαθηματικά και ή αστρονομία, άπό τήν εποχή πού ό Κωνσταντίνος ό Θ' ( )" αναδιοργάνωσε το Πανδιδακτήριο τής Κί,ονσταντινούπολης, είναι οι επιστήμες πού καλλιεργήθηκαν εντατικά 14. Έπί τής βασιλείας τοΰ Μανουήλ Α' Κομνηνού ( ), το Βυζάντιο ήταν πιο προηγμένο σέ σχέση μέ τή Δύση στον τομέα των μαθηματικών' 5. Περί το 1300 μ.χ. γίνεται πλέον ό διαχωρισμός τών εμπορικών (πρακτικών) 16 από τα ακαδημαϊκά (τα διδασκόμενα στις ανώτερες σχολές) μαθηματικά. 10. Δημιουργικός άρχιτέκνων καί μηχανικός θεωρείτο εκείνος, ό όποιος έχοντας εντρυφήσει στις τέσσερεις μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία), μπορούσε παράλληλα να άσκεΐ μέ επιτυχία τήν τέχνη τοΰ μεταλλουργοί, τοΰ χτίστη, τοϋ μαραγκού, τοΰ ζωγράφου. VOGEL, Ή βυζαντινή επιστήμη, σ Ό.π.,σ Ό.π..σ Υπάρχουν ενδείξεις, οτι ό Κωνσταντίνος ό Θ' Μονομάχος ήταν αυτός πού εισήγαγε τήν τεχνική έκπαίοευση για να ενισχύσει τήν ανερχόμενη τότε τάξη τών εμπόρων καί τών βιοτεχνών περιορίζοντας κατ' αυτόν τον τρόπο τήν εξουσία τής αριστοκρατίας βλ. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΧΟΝΔΡΙΔΟΥ, Ό Κωνσταντίνος Θ' Μονομάχος καί ή είσαγίογή τής τεχνικής εκπαίδευσης. Α Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου (25-27 Σεπτεμβρίου 1998), (περίληψη ανακοίνωσης), Ιωάννινα 1999, σ VOGEL, Ή βυζαντινή επιστήμη, σ Ό.π..σ.8Π. 16. Κατά τον Μ. Βασίλειο: Ή ανθρώπινη σοφία είναι ή εμπειρική γνώση τών πραγμάτων της ζωής σύμφωνα με τήν οποία αποκαλούμε σοφούς τους γνώστες καθεμιάς άπα τις όφέλιμες τέχνες. Β.

4 54 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ Μάλιστα από τον 14ο αι. τα πρακτικά μαθηματικά όχι μόνον δεν περιλαμβάνονταν στη διδακτέα ύλη των ανωτάτων σχολών 17 άλλα κατά την άποψη ορισμένων, βρίσκονταν σε συνεχή ανταγωνισμό με την ΰλη πού διδασκόταν σ' αυτές 18, αφού τα πρακτικά μαθηματικά ενδιέφεραν πλήθος ανθρώπων, καθώς εφαρμόζονταν σε προβλήματα καθημερινής ζωής, και ήταν χρήσιμα σέ πολλά επαγγέλματα. Μολονότι οι τελευταίες δεκαετίες πριν τήν άλωση τής Κωνσταντινούπολης θεωρούνται ασήμαντες σέ προσφορά στα μαθηματικά, ή ύπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων 19 δείχνει αυξημένο ενδιαφέρον τόσο για τίς τέσσαρες μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία, μουσική), όσο και για τή λογιστική και τή γεωδαισία, οι όποιες ήταν κλάδοι τών κατ' εξοχήν εμπορικών μαθηματικών 20. Ή βυζαντινή εποχή τελειώνει με έργα προορισμένα για πρακτική χρήση. Αυτά είναι ως επί τό πλείστον βιβλία αριθμητικής, δηλαδή συλλογές προβλημάτων πού αποτελούνται άπό ποικίλες και επιλεκτικές δημιουργίες κληροδοτημένες άπό τήν παράδοση πολλών χρόνων και λαών. Ό προσδιορισμός τών επιρροών πού δέχθηκαν οι συγγραφείς αυτών τών έργων αποτελεί εξαιρετικά επίπονη διαδικασία, Ίδιατέρως, όταν στις περισσότερες περιπτώσεις διαπιστώνονται αλληλεπιδράσεις μεταξύ Κινέζων, Περσών, 'Ινδών, Δυτικών και Βυζαντινών. Αυτές οι συλλογές περιλαμβάνουν εκτός τών άλλων και στοιχεία πολύτιμα για τήν εξέλιξη τοΰ πολιτισμού και τής γλώσσας, διότι αναφέρονται σέ ζητήματα τής καθημερινής ζωής τών ανθρώπων τής εποχής εκείνης (μετατροπές νομισμάτων, προβλήματα κληρονομιών, φορολογικό καθεστώς, κ.ά.) 21. Τα σχολεία κατά τους βυζαντινούς χρόνους λειτουργούσαν κυρίως σέ χώρους εκκλησιαστικούς. Οι μαθητές έμεναν συνήθως μέσα σέ αυτά 22 και έτσι είχαν τήν δυνατότητα να αναπτύξουν στενές σχέσεις μεταξύ τους, οι όποιες συνέβαλλαν στή δημιουργία κλίματος πού ευνοούσε τις επιστημονικές συζητήσεις 23 και τήν πολύωρη ενασχόληση μέ τα γράμματα 24. Βέβαια, ΨΕΥΤΟΓΚΑΣ, Βασιλείου Καισαρείας τοΰ Μεγάλου 'Άπαντα τα έργα, 7 (Όμιλίαι και Λόγοι). Θεσσαλονίκη 1973 (στο εξής: ΨΕΥΤΟΓΚΑΣ, Μ. Βασιλείου Άπαντα), σ CALINGER, A contextual history of Mathematics to Euler, Prentice Hall 1999, σ. 357, C. B. BOYER - UT.C. MERZBACH, Ή 'Ιστορία τών Μαθηματικών, Αθήνα 1997, σ VOGEL, Ή βυζαντινή επιστήμη, σ Ό.π.,σ ΣΤΑΜΑΤΗΣ, Κριτική βυζ. βιβλίου 'Αριθμ., σ C0NSTANTIN1DES, Higher Education, σ Ό Βασίλειος ό Μέγας στις 'Επιστολές του προς τους Νέους γράφει οτι δια τής μαθήσεως θα κατακτηθεί ή αρετή, και τους προτρέπει να μή δέχονται άκριτα ολα οσα οι δάσκαλοι τους διδάσκουν. ΨΕΥΤΟΓΚΑΣ, Μ. Βασιλείου Άπαντα, σ CONSTANTINIDES, Higher Education, σ. 160.

5 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ όπως προκύπτει άπο τον βιενναΐο έλλ. φιλ. κώδ. 65 (15ος αι.) 25, φαίνεται να υπήρχαν και μαθητές, οι όποιοι για να σπουδάσουν μετακινούνταν σε άλλη πόλη, οπού κατοικούσαν πολλοί μαζί στον ίδιο χώρο πληρώνοντας ενοίκιο. Σχετικά με το είδος τών μαθητών γνωρίζουμε οτι παλαιότερα υπήρχαν μαθητές κάθε ηλικίας, οι όποιοι μπορεί να ήταν κληρικοί, δημόσιοι υπάλληλοι, ακόμα και αξιωματούχοι μαζί μέ τα παιδιά τους 2 ". Ή ύπαρξη αυτού του είδους του ακροατηρίου καθόριζε ως ένα βαθμό και το περιεχόμενο τής διδακτέας ΰλης, ή δποια όσον άφορα στα μαθηματικά τις περισσότερες φορές περιλάμβανε όχι μόνο κεφάλαια πρακτικής αριθμητικής και γεωδαισίας, άλλα και άλγεβρας. 'Επειδή αυτά τα κεφάλαια περιλαμβάνονται στο περιεχόμενο του βιενναίου έλλ. φιλ. κώδ. 65, τίθενται ερωτήματα σχετικά μέ τή σύσταση τοΰ ακροατηρίου, στο όποιο απευθυνόταν. Τούτο διότι τα κεφάλαια τής λογιστικής και τής γεωδαισίας ήταν χρήσιμα κυρίως σέ εμπόρους, χειροτέχνες, διοικητικούς υπαλλήλους, πρωτομάστορες, τοπογράφους, ένώ τής άλγεβρας σέ μαθητές σχολείου. Ενδεικτικά αναφέρουμε τα κεφάλαια τής άλγεβρας στα όποια ό συγγραφέας προτείνει λύσεις για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. Οί λύσεις αυτές είναι εσφαλμένες, άλλα μέχρι το 1615 πού ό Vieta ανακάλυψε την γενική τους λύση 27 είχαν γίνει πολλές αποτυχημένες απόπειρες προς αυτήν τήν κατεύθυνση άπό τους μαθηματικούς όλων τών εποχών. Είναι δέ σαφές οτι ένα τέτοιο θέμα καθαρά ερευνητικό δέν θα ήταν δυνατόν να ενδιαφέρει ανθρώπους πού επιζητούσαν πρακτικές γνώσεις, άφοΰ μάλιστα έως σήμερα οί λύσεις τών εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού διδάσκονται στους μαθητές τών τελευταίων τάξεων τών Λυκείων. Παλαιότερα στα σχολεία αυτά ξεκινούσαν συνήθως μέ ποίηση και ρητορική, και στο τέλος μάθαιναν μαθηματικά, αν και ή σειρά δέν ήταν απολύτως καθορισμένη. Βέβαια οί περισσότεροι μαθητές δέν συνέχιζαν τις σπουδές τους στα ανώτερα μαθηματικά, διότι άφ' ενός μέν οί δάσκαλοι ήταν λιγοστοί, άφ' ετέρου δέ υπήρχε έλλειψη χειρογράφων βιβλίων 28. Καθώς ή τυπογραφία ανακαλύπτεται προς το τέλος τού 15ου αι. μ.χ. τα χειρόγραφα αντέγραφαν πολλές φορές οί ίδιοι οί μαθητές. Οί περισσότεροι δάσκαλοι (Πλανούδης, Βρυέννιος, Παχυμέρης) είχαν δικές τους βιβλιοθήκες άλλα τό πλήθος τών μαθητών πού δέχονταν ήταν περιορισμένο 2 '. 25. Ή μεταγραφή και ή μελέτη τοΰ μαθηματικού περιεχομένου αύτοϋ τοϋ χειρογράφου αποτελείτο θέμα της υπό εκπόνηση διδακτορικής διατριβής μου. 26. Συνήθως τό κράτος αναλάμβανε τήν μόρφωση τών λειτουργών του, και ή εκκλησία τών κληρικών της. LEMERLE, Ό πρώτος Βυζαντινός Ουμανισμός, σ. 52, D.E. SMITH, History of Mathematics, τ. Β', Dover/New York 1958, σ CONSTANTINIDES, Higher Education, σ Ό.π., σ.157.

6 56 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ Ό βιενναΐος ελλ. φιλ. κώδ. 65 είναι χαρτώος καί χρονολογείται στον 15ο αι. 'Αποκτήθηκε από τον Augerius von Busbeck, όταν αυτός ήταν πρεσβευτής τοΰ αυτοκράτορα Φερδινάνδου Α' στην αυλή του σουλτάνου Σουλεϊμάν Β' ( μ.χ.) 30. Περιέχει ένα βιβλίο αριθμητικής με λυμένα προβλήματα (φ. llr-126r), τά όποια καλύπτουν ενα ευρύτατο πεδίο θεμάτων κατάλληλων για διδασκαλία τόσο στο σημερινό δημοτικό δσο στο γυμνάσιο και στο λύκειο. Ή τεράστια ποικιλία των προβλημάτων καθιστά δύσκολο τον καθορισμό του είδους των μαθητών στους οποίους απευθύνεται. Άν επρόκειτο για ολοκληρωμένο πρόγραμμα διδασκαλίας, τότε κατά τήν άποψη μας θα μπορούσε τό ακροατήριο να αποτελείτο άπό μαθητές όλων των τάξεων της σημερινής πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αλλά και από άτομα τά όποια προορίζονταν να ακολουθήσουν τό επάγγελμα τού κρατικού λειτουργού. Έκτος άπό τό είδος των προβλημάτων, εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζει καί ή μαθηματική ορολογία, ή όποια χρησιμοποιείται και είναι ως επί τό πλείστον άγνωστη στον σύγχρονο μαθηματικό. Μερικά παραδείγματα είναι τά έξης: Ό συγγραφέας ονομάζει τον αριθμό ψήφον και ορίζει τό μηδέν ως ουδέν γράφει ότι τό ουδέν ούδενος εστί δηλωτικόν, και τό συμβολίζει με τό άνεστραμένο h. Χρησιμοποιεί τον δρο μηλιούρια ή μιλούνια αντί τοΰ ορθού πού είναι μιλλιούνια, προκειμένου να δηλώσει τά εκατομμύρια. Για τήν πράξη τοΰ πολλαπλασιασμού χρησιμοποιεί δύο σχήματα: τό δίπλευρον (τά ψηφία τοΰ πολλαπλασιαστή τοποθετούνται κατακόρυφα), καί τό οίκος (δια το τετραγωνικώς λαμβάνειν τους ψήφους). Για τον πολλαπλασιασμό, πού σήμερα λέμε ότι έκτελοΰμε χιαστί (όταν π.χ. θέλουμε να κάνουμε δύο κλάσματα ομώνυμα), χρησιμοποιεί τήν έκφραση πολλαπλασιάζω σταυροειδώς. Οι δροι έπιστρεπτικος αριθμός καί άνυπόστροφος, χρησιμοποιοΰνται για να δηλώσει ό συγγραφέας τους σύνθετους καί τους πρώτους αριθμούς αντίστοιχα. Σημειωτέον, ότι ό όρος πρώτος αριθμός χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμό, ο όποιος έχει ως διαιρέτες μόνο τον εαυτόν του καί τή μονάδα, ενώ ό ορός σύνθετος αριθμός δηλώνει τον αριθμό, ό όποιος έχει καί άλλους διαιρέτες εκτός άπό τον εαυτόν του καί τή μονάδα. Οι εκφράσεις ή δια των τριών μεταχείρισις καί δια του κανόνος τοϋ δια των τριών αντιστοιχούν στή σημερινή μέθοδο των τριών. Μία συνήθης ονομασία αυτού τού κανόνα ήταν έμπορων κλείς, ή οποία δείχνει τή σημασία του στις εμπορικές συναλλαγές. Ό συγγραφέας χρησιμοποιεί πολύ συχνά τή μέθοδο τών τριών, καί δέν παραλείπει κάθε φορά, να τήν περιγράφει αναλυτικά. 30. ΣΤΑΜΑΤΗΣ, Κριτική βυζ. βιβλίου 'Αριθμ., σ. 5.

7 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ Ό ορός άφεξαίρεσις σημαίνει τή σημερινή αφαίρεση. Σχετικά με τις αριθμητικές προόδους επισημαίνουμε, ότι μολονότι ό όρος αριθμητική πρόοδος δέν συναντάται στο χειρόγραφο, εντούτοις υπάρχουν προβλήματα υπολογισμού αθροισμάτων αριθμών, οι όποιοι είναι στην πραγματικότητα οροί αριθμητικής προόδου". Ό όρος φυσική ρίζα χρησιμοποιείται για τήν άκεραία ρίζα (π.χ. τήν Vl6), και νόθος ρίζα για αυτή πού δέν δίνει ακέραιο αποτέλεσμα (π.χ. τήν Λ/30). Ό όρος εφίμικτος ρίζα χρησιμοποιείται για να δηλώσει το άθροισμα τών ριζών δύο αριθμών. Σημειωτέον, οτι σήμερα δέν χρησιμοποιούνται αντίστοιχοι ορισμοί. Αξίζει να αναφέρουμε, οτι ό συγγραφέας δίνει αξιόλογες μεθόδους υπολογισμού ριζών δεύτερης και τρίτης τάξης, τις όποιες σχολιάζουμε εκτενώς στή διδακτορική διατριβή' 2. Στις εξισώσεις πρώτου έως και τετάρτου βαθμού ό συγγραφέας ονομάζει αριθμόν κάθε πραγματικόν αριθμό και πράγμα τον άγνωστο χ. Οι όροι τζένσο, κοϋβον, καί κάδρον χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν τήν δευτέρα (τετράγωνο), τρίτη (κύβο) καί τετάρτη δύναμη τοΰ άγνωστου χ αντίστοιχα. Οι γενικές λύσεις για τις εξισώσεις τρίτου καί τέταρτου βαθμού παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι δείχνουν τήν προσπάθεια πού κατέβαλλαν τότε για τήν εύρεση γενικής λύσης. Σημειώνουμε, οτι ό σημερινός όρος ισότητα δυο μελών εμφανίζεται στο χειρόγραφο, ως ομοιότητα. Ρομβοειδες ν ονομάζεται κάθε πλάγιο παραλληλόγραμμο. Σήμερα βέβαια αυτός ό όρος δέν χρησιμοποιείται - εμείς ονομάζουμε ρόμβο τό παραλληλόγραμμο, τό όποιο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ϊσες. Τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα ονομάζονται τετράγωνα. Δέν υπάρχουν δέ οι όροι τού ισοσκελούς καί τού ισοπλεύρου τριγώνου - όποτε ό συγγραφέας αναφέρεται σέ αυτά τα αποκαλεί τρίγωνα με δύο ή με τρεις Ισες πλευρές. Παρατηρούμε, οτι σέ ορισμένα προβλήματα τοΰ χειρόγραφου μας χρησιμοποιείται ό όρος ϋψος τριγώνου για να δηλώσει τή διχοτόμο της γωνίας πού κείται απέναντι άπό τή βάση του. Ό όρος μηνικόν κέρδος αναφέρεται σέ προβλήματα τόκου καί σημαίνει τό κέρδος ενός μηνός. Ό όρος ένιαυτός δηλώνει τήν χρονική διάρκεια ενός 31. ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ, Προβλήματα πολλαπλασιασμοί, διαίρεσης, αναλογιών καί προόδων σέ βιενναΐο κώδικα τοΰ 15ου αι., Β'Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου (24-26 Σεπτεμβρίου 1999) (περίληψη ανακοίνωσης),'αθήνα 2000, σ ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ. Περί ριζών, Γ Συνάντηση Βυζαντινολόγων Έλλάόος και Κύπρου (22-24 Σεπτεμβρίου 2000) (περίληψη ανακοίνωσης), Ρέθυμνο 2002, σ Ό Παχυμέρης ορίζει ώς ρομβοειόές το παρασεσαλευμένον έτερόμηκες, το και τάς πλευράς καί τάς γωνίας έχον άνισους (δέν πρόκειται ακριβώς περί ρόμβου). Βλ. P. TANNERY, Quadrivium de Georges Pachymère, Città del Vaticano 1940, σ. 203.

8 5 Ν ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ έτους. Λείπει εντελώς ο σημερινός ορός επιτόκιο, ό οποίος δηλώνει το ετήσιο κέρδος τών 100 νομισματικών μονάδων. Ό δρος φίνον (πρβλ. affinage) αναφέρεται στο καθαρότατο ασήμι τών 12 ούγγιών, και φίνονμάλαγμαν στον χρυσό τών 24 καρατίων. Όταν όμως πρόκειται για παρασκευή ασημιού μικρότερης καθαρότητας χρησιμοποιείται ό ορός επιβολή χαλκώματος, ενώ για τήν παρασκευή καθαρότερου μετάλλου ο όρος λογαρίζω Μ. Το Πυθαγόρειο θεώρημα αναφέρεται ώς κανών τής σκάόρας, και διευκρινίζεται άπό τον συγγραφέα ότι σκάδρα σημαίνει τετράγωνο. Ό δρος αρριζον τζάκισμα κορυφής αναφέρεται σε κάποιον αριθμό, τοΰ όποιου ζητείται ή τετραγωνική ρίζα, και ό όποιος είναι κλασματικός με αρριζον (κατά τον συγγραφέα δεν μπορείς να υπολογίσεις τή ρίζα) παρανομαστή, όπως π.χ. 3/8,7/14, κ.λπ. Ό ορός άσχημάτιστον ή ατμητον τζάκισμα χρησιμοποιείται για κλάσματα (π.χ. 13/14, 7/16), τα όποια -όπως εξηγεί ό συγγραφέας- δεν μπορούν να λάβουν μετά άπό απλοποίηση μία άπό τις ακόλουθες μορφές: 1/2 ή 1/3 ή 1/4. Σύμφωνα μέ τον συγγραφέα ή ρίζα αυτών τών κλασμάτων δέν είναι δυνατόν νά υπολογισθεί. Στο κεφάλαιο της στερεομετρίας δέν αναφέρονται καν οί όροι παράπλευρη επιφάνεια ή ολική επιφάνεια στέρεου, και όταν ό συγγραφέας ζητεί τήν εύρεση του περιεχομένου τού στέρεου αυτό σημαίνει τον υπολογισμό τοΰ όγκου του. Παρατηρούμε ότι στό χειρόγραφο μας χρησιμοποιείται πολύ συχνά ό δρος άπόοειξη, όταν πρόκειται για απλή επαλήθευση τής ορθότητας τών πράξεων και όχι για κάποια διαδικασία, ή όποια σχετίζεται μέ τή θεωρία. Συχνά μάλιστα αυτή ή επαλήθευση πραγματοποιείται μέ τήν ανάπτυξη μίας διαφορετικής μεθόδου επίλυσης τού ιδίου προβλήματος. Ή ορολογία, ή οποία χρησιμοποιείται στό χειρόγραφο μας αξιολογήθηκε προσεκτικά, καθώς τό κείμενο είναι εξαιρετικά ανορθόγραφο και ή γλώσσα του έπρεπε νά συγκριθεί μέ τή γλώσσα τών βυζαντινών κειμένων τής εποχής. Ή ορολογία συγκρινόμενη μέ τήν σημερινή, παρουσιάζει, όπως θα περίμενε κανείς, ομοιότητες άλλα και σημαντικές διαφορές. "Ετσι ορισμένοι οροί, όπως αυτός τοΰ τριγώνου ή τής ρίζας παραμένουν αναλλοίωτοι - οί περισσότεροι όμως δέν χρησιμοποιούνται πλέον σήμερα, ενώ κάποιοι άλλοι θεωρούνται λανθασμένοι. Π.χ. σήμερα θα ήταν σοβαρό λάθος νά ονομάζαμε τε- 34. Οί χρυσοεψηταί έξελαγάριζαν τήκοντες τον χρυσον εις μικρά όστράκινα σκεύη. Βλ. Φ. ΚΟΥΚΟΥΛΕΣ, Βυζαντινών βίος και πολιτισμός, τ. Β'. 'Αθήνα 1948, σ Περί τον λαγαρϊσαι το χρνσίον: βλ. Collection des Anciens Alchimistes Grecs, ed. M. BERTHELOT, τ. Β', Paris 1888, κεφ. 5, σ. 322,333.

9 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ τράγωνο ένα τυχόν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο - το ϊδιο θα ίσχυε και αν ζητούσαμε τον υπολογισμό του ύψους ενός τριγώνου εννοώντας τη διχοτόμο της γωνίας που είναι απέναντι άπό τη βάση του. Τα Βυζαντινά κείμενα διακρίνονται για την αρμονία και τον ρυθμό τους πού βασίζονται στη συμμετρική σχέση τονιζομένων συλλαβών και συλλαβικών ενοτήτων 3 '. Τούτο ισχύει και για το χειρόγραφο μας. Διαβάζοντας το έχει κανείς τήν αίσθηση, οτι ό συγγραφέας του επιδιώκει να το κάνει να μοιάσει μέ ποίημα. Πιστεύουμε, δτι ή σκοπιμότητα είναι αφενός μεν αισθητική, διότι ό ρυθμός προσδίδει κάλλος, αφετέρου δε παιδαγωγική, διότι τα ανωτέρω χαρακτηριστικά τοΰ λόγου ποιοϋσιν ενσχήμονα τήν ψνχήν αυτών πού άκούουν 36. Έξ' άλλου, αναφερόμενοι και στην ψυχολογία τών μαθηματικών, σύμφωνα μέ σχετικές έρευνες έχει διαπιστωθεί οτι ό μαθητής αφομοιώνει εύκολώτερα τήν ύλη υπό μορφή ποιήματος, ή οποία χαρακτηρίζεται άπό μία μετρική, ένα ρυθμό 37. Επειδή ή γλωσσοπλαστική τάση τών Βυζαντινών έχει δημιουργήσει ένα τεράστιο λεξικογραφικό θησαυρό, για τον όποιο γνωρίζουμε πολύ λίγα (σέ κείμενα ρητορικά, ιστοριογραφικά, νομικά, μαθηματικά), και ή κλασσικίζουσα γλώσσα αναμιγνύεται μέ τήν απλούστερη τών Ευαγγελίων και τή δημώδη, χωρίς να υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ τους, οι ϊδιοι οι συγγραφείς (π.χ. Μιχαήλ Ψελλός, Θεόδωρος Πρόδρομος) παρουσιάζουν διαφορετικές γλωσσικές τάσεις 38. Βέβαια υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας σύμφωνα μέ τον όποιο, ό,τι έχει γραφεί άπό υποτιθέμενους αγράμματους είναι δημώδες 3 ". Αυτό όμως κατά τον Ν. Τωμαδάκη δέν μπορεί να είναι απόλυτο. Και τούτο διότι συνήθως νόθευαν τον άττικισμό μέ τήν κοινή γλώσσα, ή όποια είχε πάρει πολλά στοιχεία άπό τήν λατινική, άλλα και αυτή ή κοινή ακόμα νοθευόταν άπό δημώδεις τύπους. Όμως τα πράγματα φαίνεται να περιπλέκονται περισσότερο αφού ακόμα και ή μεσαιωνική δημώδης νοθεύεται συχνά άπό 35. Γ. ΗΛΙΟΥΔΗΣ, Ό ρυθμός και ή αρμονία τοΰ λόγου σέ λειτουργικά και ύμνογραφικά κείμενα τών Βυζαντινών, Α' Συνάντηση Βυζαντινολόγοι Έλλάόος και Κύπρου (25-27 Σεπτεμβρίου 1998) (περίληψη ανακοίνωσης), 'Ιωάννινα 1999, σ Ό.π..σ Σύμφωνα μέ τή μορφολογική θε(υρία ή αναγνώριση σημαντικών σχέσεων μεταξύ της παλαιάς και της νέας κατάστασης μάθησης είναι θεμελιώδης για τή μεταβίβαση της μάθησης. Αυτό συμβαίνει ακόμα και αν ένας 'ιδιαίτερος ρυθμός επαναλαμβάνεται, παρά τό ότι οι στίχοι διαφέρουν κατά μήκος και δέν έχουν καμία λέξη κοινή. Π. ΓΕΩΡΓΟΥΣΗΣ, Παιδαγωγική Ψυχολογία, 'Αθήνα 1981, σ Θ. ΔΕΤΟΡΑΚΗΣ, Προβλήματα της βυζαντινής λεξικογραφίας. Β'Συνάντηση Βυζαντινολόγων 'Ελλάδος και Κύπρου (24-26 Σεπτεμβρίου 1999) (περίληψη ανακοίνωσης), Αθήνα 2000, σ Ν. ΤΩΜΑΔΑΚΗΣ, Κλείς της βυζαντινής Φιλολογίας, Θεσσαλονίκη 1963, σ. 27.

10 60 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ τύπους λογιώτερους και ή νεοελληνική δημώδης αναμειγνύεται με στοιχεία συντηρητικότερα 40. Άπό τον 12ο αι. μ.χ. ή παιδεία είχε ώς σκοπό να γράφουν οι νέοι την αττική διάλεκτο 41, άλλα δεν πρέπει να παραγνωρίζουμε το γεγονός οτι ό Βυζαντινός, δταν γράφει περί διδακτικών θεμάτων, αγωνίζεται να διακριθεί ακόμα και μέ το ΰφος της γραφής, ιδιαίτερα μάλιστα όταν καταγίνεται με προβλήματα 42. Ή συγγραφή διδακτικών θεμάτων συγκρίνεται μέ αυτήν τών δοκιμίων πού εκθέτουν επιστημονικές γνώσεις μέ τήν κατάλληλη εκλαϊκευτική μορφή. Οι Βυζαντινοί συγγραφείς κατείχαν τήν τέχνη να διδάσκουν λαμβάνοντας υπόψη τους το επίπεδο μόρφωσης του μαθητού καθώς και τον ευρύτερο κύκλο τών ενδιαφερόντων του, και προσπαθώντας να κάνουν ζωντανή τήν διδασκαλία τους τήν εμπλούτιζαν και μέ πνευματώδεις παρατηρήσεις ακόμα 43. Έπί τών Παλαιολόγων ή ροπή προ τήν καθαρεύουσα φθάνει στο αποκορύφωμα και έτσι μεγαλώνει τό χάσμα μεταξύ καθομιλουμένης και γραφομένης. 'Επιπλέον δεν πρέπει να αγνοηθεί το οτι οι Βυζαντινοί έπρεπε σέ πολλά ζητήματα (πολιτικά, στρατιωτικά) να εκφράσουν πλήθος νέων ιδεών και έτσι ήταν πρακτικά αδύνατο να περιορισθούν στο κλασσικό λεξιλόγιο 44. Όσον άφορα στο χειρόγραφο μας ή χρησιμοποιούμενη γλώσσα δείχνει τήν προσπάθεια πού κατέβαλλαν κάποιοι βυζαντινοί για να γράφουν στην επιθυμητή αττική διάλεκτο, ϊσως τεχνητή και εξεζητημένη, ϊσως ακόμη και πολύ διαφορετική άπό τήν καθομιλουμένη. Όμως, βάσει της χρησιμοποιούμενης επιστημονικής ορολογίας, θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε τή γλώσσα τού χειρογράφου μας ώς λογία, μέ εμφανή όμως τή λατινική επιρροή. Βέβαια ή λατινική επιρροή αποδεικνύεται και άπό ορισμένες μεθόδους, τις όποιες χρησιμοποιεί ό συγγραφέας. 'Αναφέρουμε ώς παράδειγμα τή μέθοδο της ταβλέττας (τολέττας) 45, τήν όποια χρησιμοποιεί σέ προβλήματα εμπορικών συναλλαγών. 40. Εκείνο πού μπορεί να συμβαίνει είναι και το αντίστροφο, δηλαδή ένας λόγιος να χρησιμοποιεί τήν δημώδη γραφή και κάποιος πού θεωρείται αγράμματος τήν λογία, ή ακόμα κάποιος μορφωμένος να κάνει σύνθεση λογίας και δημώδους γραφής, ο.π. (σημ. 39), σ ΑΓΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΟΠΟΥΛΟΥ-ΐΩΑΝΝΙΔΟΥ, Ή αναγέννηση τών γραμμάτων κατά τον 12ο αι. στο Βυζάντιο κα'ι ό Όμηρος,'Αθήνα 1971, σ Ν. ΤΩΜΑΔΑΚΗΣ, Βυζαντινή επιστολογραφία, Αθήνα 1969, σ Ό.π.,σ Κ. KRUMBACHER. Geschichte der byzantinischen Litteratur, München 1897, σέ έλλ. μετάφρ. Γ. ΣΩΤΗ- ΡΙΑΔΟΥ. Ιστορία της βυζαντινής Λογοτεχνίας, τόμος Α', εν 'Αθήναις 1897 [ανατύπωση 1974]. σ Ή λέξη tolette είναι τό υποκοριστικό τής λέξης tola ή tavola, ή όποια στή βενετική διάλεκτο σημαίνει τράπεζα. G. LORIA. Ιστορία τών Μαθηματικών. 'Αθήνα 1971, τ. Β', σ. 352.

11 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΒΙΕΝΝΑΙΟ ΕΛΛ. ΦΙΛ. ΚΩΔ Σχετικά μέ τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων παρατηρούμε οτι κάποιες άπό αυτές, όπως π.χ. της δοκιμής του πολλαπλασιασμού, της διαίρεσης και της πρόσθεσης πολλών αριθμών, σήμερα είναι άγνωστες. Μάλιστα αξίζει να αναφέρουμε, οτι σε καμία βαθμίδα τής εκπαίδευσης δέν διδάσκουμε σήμερα μέθοδο δοκιμής αθροισμάτων πολλών προσθετέων. Το ϊδιο συμβαίνει και μέ τις ρίζες τρίτης τάξης 46 δηλαδή, δέν διδάσκεται πλέον ό τρόπος υπολογισμοί) τους. Ή σύγκριση τής μαθητικής ορολογίας και τών μεθόδων εκείνης τής εποχής μέ τις αντίστοιχες σημερινές αποδεικνύει, οτι στο πέρασμα του χρόνου άλλοι μέν τρόποι επίλυσης και επιστημονικοί όροι εξαφανίζονται, άλλοι δέ εξελίσσονται, ενώ άλλοι παραμένουν ϊδιοι. Αυτά τα στοιχεία είναι σημαντικά, διότι βοηθούν στο να σχηματίσουμε μία καλύτερη εικόνα τής εξέλιξης τών μεθόδων διδακτικής τών μαθηματικών, όσον άφορα στην επινόηση μεθόδων επίλυσης προβλημάτων και τρόπων διδασκαλίας για την κατά το δυνατόν καλύτερη κατανόηση τους άπό τους μαθητές. 46. Ώς ρίζα τρίτης τάξης π.χ. του άριθμοϋ 8 ορίζουμε τον αριθμό 2. οιότι 'ισχύει ή 'ισότητα Τ = 8.

12 62 ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ SUMMARY MATHEMATICAL EDUCATION AND TERMINOLOGY IN BYZANTIUM ACCORDING TO COD. VIND. PHIL. GR. 65 (15 C.) In this article we present some few results of our study on the mathematical content of the unpublished part (f. 11 r-126r) of Cod. Vind. Phil. gr. 65 (the other part has been published by H. Hunger and K. Vogel), which is the subject of our Dr. thesis (to be submitted). This 15th century Byzantine MS includes the solution of problems of practical arithmetic, geometry and algebra, the roots of which can be traced back to antiquity. Most of them are related to practical human needs and therefore they could be used not only by practical men like merchants, metal workers, builders and other people but also by state employers to calculate taxes. The mathematical terminology used in this MS has been strongly influenced by latin works; nevertheless its comparison with modern Greek mathematical terminology reveals -apart from some differences- many identities and similarities showing the continuity of Greek mathematical tradition through the centuries. MARIA CHALKOU

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Γ Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση της προϋπάρχουσας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης Ε.Κολέζα Η μαθηματική δραστηριότητα Α) Υλοποιεί τους στόχους του Π.Σ. Στόχους περιεχομένου (στο τέλος του μαθήματος οι μαθητές θα

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Ενότητα 3: Βυζαντινή Επιστολογραφία: είδη - χαρακτηριστικά. Συνέσιος ο Κυρηναίος: Βίος και Έργο Κιαπίδου Ειρήνη-Σοφία Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί ενότητας Οι φοιτητές θα έρθουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. Αξιολόγηση, Προαγωγή και Απόλυση Μαθητών Γενικού Λυκείου

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. Αξιολόγηση, Προαγωγή και Απόλυση Μαθητών Γενικού Λυκείου ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ Στους μαθητές που θα φοιτήσουν φέτος στην Α Λυκείου θα αρχίσει να εφαρμόζεται η νέα δομή του λυκείου. Για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση θα μετράει επιπλέον και ο μέσος όρος των

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Παρουσίαση Λογισμικού: Κατερίνα Αραμπατζή Προμηθευτής: Postscriptum Advanced Communication

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΓΓΡΑΦΗΣ 2011-2012 Κομοτηνή Νοέμβριος 2013 1 Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Εισαγωγή Η μεγάλη ανάπτυξη και ο ρόλος που

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική»

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» ΕΠΕΔΙΜ, 9 Οκτωβρίου 2015 πηγές: Αναλυτικά προγράμματα «προηγμένων εκπαιδευτικά»

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Ενότητα 1: Εισαγωγή στις έννοιες και τα εγχειρίδια της βυζαντινής φιλολογίας. Κιαπίδου Ειρήνη-Σοφία Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί ενότητας Mια πρώτη επαφή με τη Βυζαντινή Φιλολογία.

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 2. Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου

Άρθρο 2. Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου Άρθρο 2 Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου 1. Η Α Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας, στην οποία εφαρμόζεται πρόγραμμα μαθημάτων τριάντα πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Διεύθυνση αλληλογραφίας: Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας/Φιλοσοφική Σχολή/ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων/ Τ.Κ. 45110.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Διεύθυνση αλληλογραφίας: Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας/Φιλοσοφική Σχολή/ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων/ Τ.Κ. 45110. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοματεπώνυμο: Αγγελική Παναγοπούλου Πατρώνυμο: Γεώργιος Τόπος γέννησης: Αθήνα Οικογενειακή κατάσταση: Άγαμη Θέση: Λέκτορας Γνωστικό Αντικείμενο: Βυζαντινή Ιστορία Διεύθυνση αλληλογραφίας:

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

113 Φιλολογίας Ιωαννίνων

113 Φιλολογίας Ιωαννίνων 113 Φιλολογίας Ιωαννίνων Η Φιλοσοφική Σχολή ιδρύθηκε στα Ιωάννινα και λειτούργησε για πρώτη φορά κατά το ακαδημαϊκό έτος 1964-65 ως παράρτημα της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (Β.Δ.

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014 Δημήτρης Μπίρμπας ΠΠΛ Αγίων Αναργύρων Σοφία Παππά ΠΠΛ Ζάννειο Πειραιά Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

www.kalymnikifilia.gr

www.kalymnikifilia.gr Η επιρροή του ελληνικού πολιτισμού και της ελληνικής γλώσσας στη διαμόρφωση του ρωσικού εκπαιδευτικού συστήματος (το παράδειγμα των Εκπαιδευτικών ιδρυμάτων της Μόσχας) ΒΑΝΤΙΜ ΓΙΑΡΟΒΟÏ Kαθηγητής μουσικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Π.Δ 409 του 1994 Για τις προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου Ιουνίου ισχύει το Π.Δ. 508/77 και η Εγκύκλιος ΥΠΕΠΘ Γ2/2764/6-5-96) (ΕΙΔΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΣΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Περίληψη ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Να αποδώσετε περιληπτικά το περιεχόµενο του κειµένου σε 100-120 λέξεις χωρίς δικά σας σχόλια. Το κείµενο αναφέρεται στις επιπτώσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ

ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΙΑΙΟΣ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ----- ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ταχ. Δ/νση: ΤΜΗΜΑ Ανδρέα Παπανδρέου Α 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα