Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Transcript

1 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται με α ν και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α.... ν παράγοντες Ερώτηση : Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με βάση πραγματικό και εκθέτη ακέραιο; Οι ιδιότητες των δυνάμεων είναι οι εξής: i) iv) : ii) ( ) v) ( ) iii ) ( ) v i) ( ) ( ) Ερώτηση 3 : Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α; Η τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού x συμβολίζεται με και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Ερώτηση 4 : Ποιες είναι οι ιδιότητες των ριζών; Οι ιδιότητες των ριζών είναι οι εξής: x

2 Ερώτηση 5 : Αν α 0 και β> 0 να αποδείξετε ότι a b a b. Υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους: ( a b) ( a) ( b) ( a b) a b a b Ερώτηση 6 : Αν α 0 και β> 0 να αποδείξετε ότι Υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους: a b a b. ( ) ( ) ( ) a b a b Ερώτηση 7 : Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Αλγεβρική παράσταση ονομάζουμε τις μαθηματικές εκφράσεις που περιέχουν πράξεις με αριθμούς αλλά και μεταβλητές. Ερώτηση 8 : Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης; Αν σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, θα προκύψει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Ερώτηση 9 : Πότε μία αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ακέραια;

3 3 Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι θετικοί ακέραιοι. Ερώτηση 10 : Τι ονομάζεται μονώνυμο και ποια τα μέρη από τα οποία αποτελείται; Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ του αριθμητικού παράγοντα και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού, λέγονται μονώνυμα. Τα μονώνυμα αποτελούνται από : Αριθμητικός παράγοντα που λέγεται συντελεστής Ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του υψωμένων στους αντίστοιχους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Ερώτηση 11 : Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. Ερώτηση 1 : Ποια μονώνυμα ονομάζονται ίσα και ποια αντίθετα; Τα όμοια μονώνυμα που έχουν και τον ίδιο συντελεστή ονομάζονται ίσα. Τα όμοια μονώνυμα που έχουν αντίθετο συντελεστή ονομάζονται αντίθετα. Ερώτηση 13 : Τι ονομάζεται βαθμός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή του; Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή. Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. Ερώτηση 14 : Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό μονώνυμο και ποιος ο βαθμός τους; Οι αριθμοί θεωρούνται ως μονώνυμα και τους ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα. Τα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού. Ερώτηση 15 : Πως ορίζεται το άθροισμα όμοιων μονωνύμων; Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους.

4 4 Ερώτηση 16 : Τι ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων; Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων. Ερώτηση 17 : Πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο με : Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. Ερώτηση 18 : Τι ονομάζεται πολυώνυμο; Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο αλλά μια αλγεβρική παράσταση, που λέγεται πολυώνυμο. Ερώτηση 19 : Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή του; Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμού των όρων του. Ερώτηση 0 : Τι ονομάζεται σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο και ποιος είναι ο βαθμός τους; Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Συγκεκριμένα ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. Ερώτηση 1 : Πως πολλαπλασιάζουμε: α. Μονώνυμο με πολυώνυμο; β. Πολυώνυμο με πολυώνυμο; α. Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν; β. Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

5 5 Ερώτηση : Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. Ερώτηση 3 : Να αποδείξετε τις ταυτότητες: )( ) )( ) )( ) )( ) 3 3 )( ) ( ) )( ) ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 )( ) ( ) Ερώτηση 4 : Τι ονομάζουμε παραγοντοποίηση; Η διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση. Ερώτηση 5 : Ποιες είναι οι χαρακτηριστικές περιπτώσεις της παραγοντοποίησης; Οι χαρακτηριστικές περιπτώσεις της παραγοντοποίησης είναι οι εξής: Κοινός παράγοντας Κοινός παράγοντας κατά ομάδες Διαφορά τετραγώνων Διαφορά άθροισμα κύβων Ανάπτυγμα τετραγώνου Παραγοντοποίηση τριωνύμου της μορφής x +(α+β)x+αβ

6 6 Ερώτηση 6 : Τι ονομάζεται ΕΚΠ και τι ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; ΕΚΠ δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. Ερώτηση 7 : Πότε μία αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ρητή; Μία αλγεβρική παράσταση, που είναι κλάσμα και οι όροι του είναι πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή. Ερώτηση 8 : Πότε μία αλγεβρική παράσταση ορίζεται; Μία αλγεβρική παράσταση ορίζεται μόνο αν οι μεταβλητές της δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Ερώτηση 9 : Πότε μία αλγεβρική παράσταση μπορεί να απλοποιηθεί; Μία αλγεβρική παράσταση μπορεί να απλοποιηθεί, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα. Ερώτηση 30 : Πως κάνουμε πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις; Χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες: Για τον πολλαπλασιασμός:,, Για την διαίρεση: :. Για τη πρόσθεση:. Για την αφαίρεση:.

7 7 Άλγεβρα ο Κεφάλαιο Ερώτηση 31 : Τι ονομάζεται εξίσωση ου βαθμού, με έναν άγνωστο; Όταν η επίλυση ενός προβλήματος μας οδηγεί σε εξίσωση μ έναν άγνωστο και στην οποία ο μεγαλύτερος εκθέτης του αγνώστου είναι ο αριθμός. Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε λέμε ότι η έχουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο (δευτεροβάθμια εξίσωση) (σελ. 90 σχ. βιβλίου) αx +βx+γ=0, με α 0 Ερώτηση 3 : Πότε μία εξίσωση δευτέρου βαθμού: α) έχει δύο άνισες ρίζες; β) έχει μία διπλή ρίζα και γ) δεν έχει ρίζες; Η εξίσωση αx +βx+γ=0, με α 0 έχει: α) Έχει δύο άνισες ρίζες όταν Δ>0 τις x 4 β) Έχει μία διπλή ρίζα όταν Δ=0 την x γ) Δεν έχει ρίζες όταν Δ<0 (αδύνατη) Ερώτηση 33 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της διάταξης; Αν α>β, τότε α-β>0 Αν α<β, τότε α-β<0 Αν α>β, τότε α+γ>β+γ και α-γ>β-γ Αν α>β και γ>0, τότε αγ>βγ και Αν α>β και γ<0, τότε αγ<βγ και Αν α>β και γ>δ, τότε α+γ<β+δ Αν α>β και β>γ τότε α>γ Αν α,β,γ, δ, θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α>β και γ>δ, τότε αγ>βδ

8 8 Άλγεβρα 3 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 34 : Τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και τι λύση της; Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x,y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής αx+βy=γ, και παριστάνει ευθεία όταν με α 0 ή β 0. Λύση μιας εξίσωσης αx+βy=γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x,y) που την επαληθεύει. Ερώτηση 35 : Τι παριστάνουν οι εξισώσεις: y=k με k 0 και η y=0; Η εξίσωση y=k με k 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στο άξονα x x και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0,k), ενώ η εξίσωση y=0 παριστάνει τον άξονα x x. Ερώτηση 36 : Τι ονομάζεται : α) Γραμμικό σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y; β) Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y; α) Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x,y, και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (x,y) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y. β) Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x,y) που επαληθεύει τις εξισώσεις του.

9 9 Άλγεβρα 5ο Κεφάλαιο Ερώτηση 37 : Τι ονομάζεται σύνολο; Μία ομάδα ή αλλιώς μία συλλογή από αντικείμενα τα οποία είναι σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα (διαφορετικά μεταξύ τους), λέγεται σύνολο. Ερώτηση 38 : Πως μπορεί να παρασταθεί ένα σύνολο; α) Με αναγραφή των στοιχείων του. Γράφουμε μία μόνο φορά το καθένα από τα στοιχεία του και με οποιαδήποτε σειρά τα τοποθετούμε ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. Για παράδειγμα : Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 004 είναι το Β={,0,4} β) Με περιγραφή των στοιχείων του. Το σύνολο Α={0,,4,6,8,...} που έχει ως στοιχεία τους άρτιους αριθμούς, μπορούμε να το γράψουμε και ως εξής: { x, όπου x άρτιος αριθμός} γ) Με διάγραμμα Venn. Ένα σύνολο μπορούμε να το παραστήσουμε εποπτικά και με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής. Για παράδειγμα : Το σύνολο των φωνηέντων της Ελληνικής αλφάβητου φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα Venn. Α Ω αδ βεζ Ερώτηση 39 : Πότε ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β; Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι στοιχείο του Β. Γ Ω Β Α

10 10 Ερώτηση 40 : Πότε δύο σύνολα είναι ίσα; Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Ερώτηση 41 : Τι ονομάζεται κενό σύνολο; Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται με. Ερώτηση 4 : Τι ονομάζεται πείραμα τύχης; Πείραμα τύχης λέγεται ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε (με βεβαιότητα) το αποτέλεσμα όσες φορές και αν αυτό επαναληφθεί. Για παράδειγμα: Ρίχνουμε ένα ζάρι και καταγράφουμε το τι θα φέρει. Ρίχνουμε δύο ζάρια συγχρόνως και καταγράφουμε το άθροισμα αυτών που θα φέρουν. Ρίχνουμε ένα κέρμα και καταγράφουμε το αν θα είναι κορώνα ή γράμματα. Ερώτηση 43 : Τι ονομάζεται δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και πως συμβολίζεται; Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων του και συμβολίζεται με Ω. Ερώτηση 44 : Τι ονομάζεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης και πότε αυτό πραγματοποιείται; Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Αν ρίξουμε ένα ζάρι, και φέρουμε τον αριθμό 6, που ανήκει στο σύνολο Α={,4,6}, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται. Ερώτηση 45 : Ποιο ενδεχόμενο ονομάζεται βέβαιο και ποιο αδύνατο σε ένα πείραμα τύχης; Ένα ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράματος τύχης λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.

11 11 Ένα ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του περάματος τύχης λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο. Ερώτηση 46 : Τι ονομάζεται πιθανότητα P(A) ενός ενδεχομένου Α σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα και ποιες οι ιδιότητές της; Σ ένα πείραμα τύχης, με ισοπίθανα αποτελέσματα, πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός PA ( ) πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων NA ( ) πλήθος δυνατών περιπτώσεων N( ) Ιδιότητες: 0 PA ( ) 1 Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Α ισχύει ότι : P(A)+P(A )=1 Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α,Β ισχύει ότι : P( A ) P( A ) P( A) P( )

12 1 Γεωμετρία 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Ερώτηση : Ποια είναι τα ήδη των τριγώνων ως προς : α) τις πλευρές και β) τις γωνίες τους; α) Σκαληνά : Όταν έχουν όλες τις πλευρές τους ανά δύο άνισες. Ισοσκελή : Όταν έχουν δύο πλευρές ίσες. Ισόπλευρά : Όταν έχουν και τις τρεις πλευρές του ίσες. β) Οξυγώνια : Όταν έχουν όλες τις γωνίες οξείες (<90⁰) Αμβλυγώνια : Όταν έχουν μία γωνία αμβλεία (>90⁰) Ορθογώνια : Όταν έχουν μία γωνία ορθή (=90⁰) Ερώτηση 3 : Τι ονομάζεται : α) διάμεσος, β) διχοτόμος και γ) ύψος τριγώνου; α) Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μία κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. β) Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. γ) Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μία κορυφή, είναι κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς και καταλήγει στην ευθεία αυτή. Ερώτηση 4 : Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία.

13 13 Ερώτηση 5 : Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; (Κριτήρια ισότητας τριγώνων). Και πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; 1 ο Κριτήριο ισότητας Π-Γ-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο ίσες πλευρές μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. ο Κριτήριο ισότητας Γ-Π-Γ Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 3 ο Κριτήριο ισότητας Π-Π-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 1 ο Κριτήριο ισότητας ορθογωνίου τριγώνου Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ο Κριτήριο ισότητας ορθογωνίου τριγώνου Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. Ερώτηση 6 : Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος; Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος. Ερώτηση 7 : Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας; Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας, που ισαπέχει από τις πλευρές της είναι σημείο της διχοτόμου του. Ερώτηση 8 : Τι ονομάζεται λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων και με τι ισούται;

14 14 Ο λόγος ενός ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ συμβολίζεται και είναι ο αριθμός λ, για τον οποίο ισχύει : Ερώτηση 9 : Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α,γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β,δ; Τα ευθύγραμμα τμήματα α,γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β,δ, όταν. Ερώτηση 10 : Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών; Αν, τότε αδ=βγ Αν, τότε ή Αν, τότε Ερώτηση 11 : Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, αυτή διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς. Εφαρμογή σχ.βιβλίου σελίδας 0. Ερώτηση 1 : Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια; Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Ερώτηση 13 : Ποιες προτάσεις προκύπτουν από τον ορισμό της ομοιότητας δύο πολυγώνων; Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

15 15 Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους. Ερώτηση 14 : Πότε δύο τρίγωνα λέγονται όμοια; Δύο κανονικά πολύγωνα, που έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια. Ερώτηση 15 : Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; (Κριτήριο ομοιότητας τριγώνων) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. Ερώτηση 16 : Με τι ισούται ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων; Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου της ομοιότητάς τους.

16 16 Γεωμετρία ο Κεφάλαιο Ερώτηση 17 : Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οποιασδήποτε γωνίας; Έστω σημείο Μ(x,y), τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω (που σχηματίζεται με τον άξονα x x (βλ.σελίδα σχ.βιβλίου 33)) είναι: τεταγμένη του σημείου Μ ημω = απόσταση του Μ από το Ο τετμημένη του σημείου Μ συνω = απόσταση του Μ από το Ο τεταγμένη του σημείου Μ εφω = τετμημένη του σημείου Μ y x Ερώτηση 18 : Ποιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω=0⁰ ή ω=90⁰ ή ω=180⁰; ω 30⁰ 45⁰ 60⁰ ημω συνω εφω y x Ερώτηση 19 : Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμού δύο παραπληρωματικών γωνίων; Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180⁰-ω ισχύουν: ημ(180⁰-ω)=ημω συν(180⁰-ω)=-συνω εφ(180⁰-ω)=-εφω Ερώτηση 0 : Να αποδείξετε ότι για μια οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν οι τύποι: (Σχολικό βιβλίο σελίδα 40) Ξέρουμε ότι για την απόσταση ενός σημείου Μ(x,y) από την αρχή των αξόνων είναι :

17 17 ρ= x +y ή ρ =x +y Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το ρ, τότε έχουμε ότι : x y x y ή ( ) ( ) 1, σχέση (1) y x Επειδή ημω= και συνω=,η σχέση (1) γίνεται (ημω) (συνω) 1 ημ ω συν ω 1 Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις ισότητες y x ημω= και συνω=, με την προϋπόθεση ότι συνω 0 y ημω ημω y ημω y συνω x συνω x συνω x