Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Transcript

1 Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε τον πολλαπλασιασμό δύο μηκών; Δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε εκατοστά με εκατοστά. Άρα το εμβαδόν μπορούμε να το μετρήσουμε με 2 διαφορετικούς τρόπους: 3 σειρές από 5 πλακάκια (3 x 5cm 2 ) ή 5 στήλες από 3 πλακάκια (5 x 3cm 2 ) Αυτός είναι ο σωστός τρόπος για το εμβαδόν. Επίσης καλύτερα είναι να γράψουμε 3 x 5 παρά 3cm x 5cm. o Τι είναι το εμβαδόν; Εμβαδόν είναι ένας αριθμός που δείχνει το αποτέλεσμα της μέτρησης μιας επφάνειας (με μία μονάδα μέτρησης). Αν μετράμε ευθύγραμμα τμήματα είναι μονοδιάστατο μέγεθος, άμα μετράμε επιφάνιες έχουμε δισδιάστατα σχήματα.... Σχέση όλων των μονάδων μέτρησης Πώς μπορούμε να βρούμε τις σχέσεις όλων των μονάδων μέτρησης; 1m 2 = ; mm 2 Το 1m 2 είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου που έχει πλευρά 1m.

2 1m 1m 2 1m 1m = 1000mm = 10 3 mm E = 10 3 x10 3 = 10 6 mm 2 Άρα 1m 2 =10 3 x10 3 =10 6 mm 1mm 2 = ; cm 2 Περιμένουμε να είναι ένας αριθμός μικρότερος από το 1. Το 1mm 2 είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1mm 1mm= cm 1mm 1mm 2 1mm Ε = x = = cm 2 Ή = = 10 0 :10 2 = =10-2 cm 2 Εμβαδά Στην πραγματικότητα όλοι οι τύποι για τα εμβαδά στηρίζονται στον τύπο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

3 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Ε=βxυ υ β Ξέροντας μόνο τον τύπο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου πώς θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλογράμμου, του τριγώνου, του τραπεζίου και του κύκλου χωρίς να ξέρουμε τίποτα άλλο; κορυφή Πλάγιο παραλληλόγραμμο υ υ β Καλύτερα είναι να χρησιμοποιούμε τις έννοιες πλευρά 1 και πλευρά 2, γιατί οποιαδήποτε πλευρά του τετραπλεύρου μπορεί να θεωρηθεί βάση του πλάγιου παραλληλογράμμου. Πόσα ύψη μπορούμε να φέρουμε σ ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο; Σε μέγεθος (μήκος) μπορούμε να έχουμε δύο διαφορετικά ύψη. Το ύψος πρέπει να είναι κάθετο στην βάση.

4 Πώς θα είναι το ύψος σε αυτή την περίπτωση (πρέπει να αποφασίσουμε από ποια κορυφή θα φέρουμε το ύψος); β1 υ1 υ β βxυ = β1xυ1 άρα και τα δύο μου δίνουν το εμβαδόν. Έστω ότι β=6cm,το β1=4cm και το Ε=18cm 2. Πόσο θα είναι το υ1; Ε = β 1 x υ 1 18=4 x υ 1 υ 1 = = = 4,5cm Η πονηριά της άσκησης ήταν ότι έδινε το β το οποίο δεν χρειαζόταν. Ε πλάγιου παραλληλογράμμου = β x υ Είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, γιατί αν πάρουμε το σκιαγραφημένο τριγωνάκι και το κολλήσουμε στην άλλη πλευρά σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και γι αυτό ο τύπος του εμβαδού του πλάγιου παραλληλογράμμου είναι ο ίδιος με του ορθογωνίου παραλληλογράμου. Βασικά τετράπλευρα είναι οι ρόμβοι, τα τετράγωνα, τα παραλληλόγραμμα και τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

5 Τρίγωνο Με την ίδια λογική βρίσκουμε το εμβαδόν ενός οποιοδήποτε τριγώνου. Ε =. Γιατί; Α υ Β β Γ Έχουμε ένα τυχαίο τρίγωνο. Φέρνουμε μία παράλληλη από την κορυφή Α του τριγώνου και άλλη μία από την κορυφή Γ του τριγώνου και παρατηρούμε ότι τέμνονται. Έτσι προκύπτει ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο. Είναι δηλαδή σαν να παίρνουμε δύο τρίγωνα, όμως εμείς θέλουμε το εμβαδόν του ενός γι αυτό και Ε =. Τραπέζιο Ε =. Να το αποδείξετε. β υ 1 2 υ Β Θέλουμε να χωρίσουμε το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα. Ε τραπεζίου = Ε 1 + Ε 2 = + = = Γιατί αυτά τα δύο ύψη είναι ίσα; Τα ύψη είναι οι αποστάσεις μεταξύ δύο παραλλήλων ή σαν να είναι απέναντι πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου γι αυτό και τα ύψη είναι ίσα. Παράλληλες είναι οι ευθείες εκείνες που η απόστασή τους είναι σταθερή.

6 Όταν μιλάμε για απόσταση στα μαθηματικά εννοούμε την κάθετη απόσταση. Κύκλος Παίρνουμε τον κύκλο, τον χωρίζουμε σε όσο το δυνατόν πιο πολλούς κυκλικούς τομείς και μετά τους τοποθετούμε όπως παρακάτω και προκύπτει ότι Ε = πr 2. Ασκησίδιο 1 Ένας άνθρωπος έχει στην αυλή του μία τετράγωνη δεξαμενή. Στην άκρη έχει φυτέψει δέντρα. Θέλει να διπλασιάσει το εμβαδόν της δεξαμενής χωρίς να κόψει τα δέντρα. Τι θα κάνει; Αποδείξτε το. Θέλουμε να παραμείνει τετράγωνη αλλά με διπλάσιο εμβαδόν. Θα πάρουμε το τρίγωνο Ο και θα φτιάξουμε το ίδιο ακριβώς απέξω και το ίδιο θα κάνουμε και για τα υπόλοιπα 3 (εμείς φτιάχνουμε τα τριγωνάκια). Ο φ 1 Ο φ φ 1 Φ 2 φ 2 Χ Χ ν ν * *

7 Πρέπει να αποδείξουμε όμως ότι είναι ευθεία η γραμμή. Για να αποδείξουμε ότι η γραμμή είναι ευθεία, πρέπει να αποδείξουμε ότι όλες οι γωνίες από το ένα μέρος της είναι 180 ο (ευθεία γωνία). Αρχικά ονομάζουμε τις γωνίες. φ = 90 ο γιατί είναι γωνία του τετραγώνου. Τη φ τη σπάμε σε δύο γωνίες την φ 1 και τη φ 2, οι οποίες είναι ίσες φ 1 = φ 2 γιατί η διαγώνιος του τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες (αυτό συμβαίνει μόνο στο τετράγωνο). Επίσης η φ 1 = φ 1 και η φ 2 = φ 2 επειδή φτιάξαμε ίδια τα τρίγωνα. φ 1 + φ 2 + φ 1 + φ 2 = 2φ 1 + 2φ 2 = 2 (φ 1 + φ 2 ) = 2φ = 2 x 90 ο = 180 ο άρα είναι ευθεία. Οι διαγώνιες του τετραγώνου είναι και άξονες συμμετρίας. Ασκησίδιο 2 Πόσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα βλέπετε; Α Ι Β Ε Κ Η Ζ Λ Θ Δ Μ Γ ΑΒΓΔ, ΑΙΚΕ, ΕΚΛΖ, ΖΛΜΔ, ΙΒΗΚ, ΚΗΘΔ, ΛΘΓΜ, ΑΙΜΔ, ΙΒΓΜ,... Υπάρχει κίνδυνος, ενώ ξέρουμε ότι υπάρχουν κι άλλα κάποια να τα ξεχάσουμε. o Μπορούμε με κάποιο σχέδιο να καταγράψουμε τα ορθογώνια χωρίς να ξεχάσουμε κανένα; Πώς θα οργανώσουμε την σκέψη μας;

8 Μια καλή στρατηγική είναι να πάρουμε πρώτα όλα τα μονά που είναι 6, μετά τα διπλά,...και τέλος το ΑΒΓΔ. Ασκησίδιο 3 Έχουμε έναν κύβο ακμής 5 m και τον βάφουμε γύρω γύρω κόκκινο. Αυτός ο κύβος είναι φτιαγμένος από μικρότερα κυβάκια ακμής 1 m (σαν τον κύβο τουrubik). Ακμή είναι η κόψη στην καθιμιλουμένη, εκεί που κόβονται/συναντιούνται οι δύο έδρες. Όλες οι ακμές είναι ίσες. Να βρείτε σ αυτόν τον κύβο πόσες το πολύ χρωματισμένες πλευρές μπορούν να έχουν τα μικρά κυβάκια. Το πολύ πολύ να έχουν 3 πλευρές χρωματισμένες. Να βρείτε πόσα κυβάκια έχουν 3 πλευρές κόκκινες, 2 πλευρές κόκκινες, 1 πλευρά κόκκινη και καμία πλευρά κόκκινη. 3 πλευρές κόκκινες έχουν τα κυβάκια που είναι στις γωνίες/κορυφές. Ένας κύβος έχει 8 κορυφές. Αφού έχει 8 κορυφές θα έχει και 8 κυβάκια με 3 πλευρές κόκκινες (αυτά που βρίσκονται στις κορυφές). 2 πλευρές κόκκινες θα έχουν τα κυβάκια που βρίσκονται στις ακμές. Έχουμε 12 ακμές και σε κάθε ακμή έχουμε 5 κυβάκια, δηλαδή θα έπρεπε να είναι 12 x 5 = 60 κυβάκια με δύο πλευρές κόκκινες. Όμως έχουμε και 8 κυβάκια με τρεις πλευρές κόκκινες που βρίσκονται στις κορυφές (που βρίσκονται πάνω στις ακμές). Άρα στις 12 ακμές πρέπει να υπολογίσουμε 3 κυβάκια άρα 12 x 3 = 36 κυβάκια με δύο πλευρές κόκκινες. Έχουμε 9 κυβάκια στην μία πλευρά του κύβου που έχουν μία πλευρά κόκκινη. Συνολικά ο κύβος όμως έχει 6 πλευρές άρα 6 x 9 = 54 κυβάκια που έχουν μία πλευρά κόκκινη. Πόσα συνολικά κυβάκια έχουμε; Δηλαδή πόσα κυβάκια με πλευρά 1 m χρειάζονται για να μας γεμίσουν τον κύβο; 5 3 = 125 (όγκος του κύβου, γεμίζουμε τον χώρο).

9 Η πρώτη στρώση έχει εμβαδόν 5 x 5 και μέχρι να γεμίσει πλήρως ο κύβος χρειάζονται 5 στρώσεις, γι αυτό και V κύβου = π ( ) = = 27 κυβάκια άχρωμα. Α τρόπος Το άθροισμα δύο διαδοχικών αριθμών είναι 423. Ποιοι είναι οι αριθμοί; Θέτουμε x τον έναν αριθμό και x+1 τον επόμενο. x + x + 1 = x = 422 x = 211 άρα ο ένας αριθμός θα είναι ο 211 και ο επόμενός του το212. Β τρόπος Είναι δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 1. Αν αφαιρέσουμε 1από το 423 μπορούμε να διαιρέσουμε με το 2, αφού οι αριθμοί έχουν γίνει ίσοι με το 211 και στον έναν από τους δύο να προσθέτουμε 1 και γίνεται 212. Βρείτε τους διψήφιους αριθμούς που διαιρούνται με το 5 και το ψηφίο των δεκάδων τους διαιρείται με το 2 και με το 3. Έστω ότι ο διψήφιος αριθμός είναι ο αβ. Το α διαιρείται με το 2 και με το 3 άρα θα πρέπει να είναι ο αριθμός 6. Το β θα είναι το 0 ή το 5 για να διαιρείται με το 5 άρα προκύπτουν οι αριθμοί 60 και 65. Η Έφη από ένα ορθογώνιο χαρτόνι που είχε μήκος 20 και πλάτος 10 έκοψε ένα τετράγωνο πλευράς 8. o Ποια είναι η περίμετρος του ορθογωνίου που έμεινε μετά το κόψιμο; Π = (20-8) = = 76 o Τι ποσοστό του εμβαδού του αρχικού χαρτονιού είναι το εμβαδόν του τετραγώνου που κόπηκε; Ε ορθογωνίου = 20 x 10 = 200 m 2 E τετραγώνου = 8 2 = 64 m 2

10 = 200*x = 100*64 x = = 32% Η λέξη ποσοστό συνδέεται με τις αναλογίες. Έχουμε τις ευθείες ε 1 και ε 2. Η ε 1 είναι y = 3x + 2 και η ε 2 είναι y = 4x - 3. ε 1 Α ε 2 0 a) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α. x = 0: y = 3 x = = 2 άρα τοα (0, 2) b) Να εξετάσετε αν κάποια από τις δύο ευθείες διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες Κ(2,5). Για να πούμε ότι βρίσκεται πάνω στην ευθεία ή ότι η ευθεία περνάει πάνω από αυτό το σημείο θα πρέπει το (2,5) να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. ε 1 : 5 = 3 x = άρα η ε 1 δεν διέρχεται από το σημείο Κ. ε 2 : 5 = 4 x = = 5 άρα η ε 2 διέρχεται από το σημείο Κ. c) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών. Το σημείο τομής επαληθεύει και την μία και την άλλη ευθεία, δηλαδή το y θα είναι το ίδιο και για τις δύο, γι αυτό τις εξισώνουμε. y = 3x + 2 y = 4x - 3 y = 3 x = = 17 3x + 2 = 4x = 4x - 3x x = 5 Άρα το σημείο τομής των ευθειών θα είναι το Γ(5,17).