Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης, οι α, β είναι οι συντελεστές του δευτεροβάθμιου και του πρωτοβάθμιου όρου αντίστοιχα και ο β είναι ο σταθερός όρος). Στην παραπάνω εξίσωση αν β 0 και γ 0, τότε α + β + γ = 0 και λέμε ότι έχουμε την πλήρη μορφή της εξίσωσης π. χ = 0. Στην περίπτωση που έχουμε, γ = 0 και β 0 η δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται α + β = 0 και λέμε ότι έχουμε ελλιπή μορφή (λείπει ο σταθερός όρος) π. χ + = 0. Στην περίπτωση που έχουμε β = 0 και γ 0 η δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται α + γ = 0 και λέμε ότι έχουμε ελλιπή μορφή (λείπει ο πρωτοβάθμιος όρος) π. χ 9 = 0. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων Η επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης γίνεται ως εξής κατά περίπτωση: Όταν έχει την μορφή α + β = 0 α + β = 0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το στο πρώτο μέλος. ( α + β) = 0 η α + β = 0 = 0 η α = - β = 0 η = 0 β = - α Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α.β=0, τότε α=0 ή β=0. Επιλύουμε κάθε μια από τις δύο πρωτοβάθμιες εξισώσεις. Όταν έχει την μορφή α + γ = 0

2 70 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ος ΤΡΟΠΟΣ α + γ = 0 α = γ γ = α = ± γ α ος ΤΡΟΠΟΣ Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. γ Με την προϋπόθεση ότι > 0 εφαρμόζουμε τον ορισμό α = α τοτε = ± α. Ανάλογα με την περίπτωση προσπαθούμε να εφαρμόσουμε διαφορά τετρα- 7 = 0, ( 9) = 0, + = 0 οπότε = ± γώνων π. χ ( )( ) Όταν έχει την μορφή α + β + γ = 0 με α 0 ος ΤΡΟΠΟΣ Αναλύουμε το τριώνυμο σε γινόμενο κατά τα γνωστά π. χ η εξίσωση + = 0 γίνεται + = 0 ( )( ) = η = = 0 Έχουμε α + β= - και α.β= και με δοκιμές α = - και β=-. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α.β=0, τότε α = 0 ή β = 0. Επιλύουμε κάθε μια από τις δύο πρωτοβάθμιες εξισώσεις. ος ΤΡΟΠΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ Έστω η εξίσωση += τότε έχουμε διαδοχικά: 4 + Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής του. Εδώ είναι 4 α=4.=4 ( ) + ( + ) = + 4. = = 48 + = 49 + = 7 ή + = -7 = 6 ή = -8 = ή = -4 Στο πρώτο μέλος δημιουργούμε την παράσταση α +αβ Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β που εδώ είναι β =. Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Ο αριθμός 0 είναι λύση της εξίσωσης 4 + = 0. β) Ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης 4 + = 0. γ) Οι λύσεις της εξίσωσης ( ) ( + ) = 0 είναι = και =. δ) Η εξίσωση = 6 έχει μοναδική λύση τον αριθμό = 4. ε) Η εξίσωση = 9 δεν έχει λύση. στ) Η εξίσωση ( ) = 0 έχει διπλή λύση τον αριθμό =. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι λάθος (Λ) γιατί αν βάλουμε στην θέση του στην εξίσωση το 0 θα έχουμε = 0. Η β είναι σωστή (Σ) γιατί αν βάλουμε στην θέση του στην εξίσωση το θα έχουμε = 9-+=0 δηλαδή την επαληθεύει. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α.β=0, τότε α = 0 ή β = 0 οπότε η εξίσωση δίνει τις εξισώσεις -=0 ή +=0 οι οποίες έχουν λύση = ή =- αντίστοιχα. Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί η εξίσωση εκτός από το 4 έχει λύση και το -4 (-4) =6. Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο να μας δίνει -9. Η στ είναι σωστή (Σ) γιατί η εξίσωση ( ) = 0 γίνεται (-)(-)=0 ο- πότε -=0 ή -=0 επομένως = ή = δηλαδή έχει διπλή λύση τον αριθμό =.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Η εξίσωση 5 6 = είναι ου βαθμού. β) Η εξίσωση = ( + ) είναι ου βαθμού. γ) Η εξίσωση (λ ) = 0 είναι i ) ου βαθμού, όταν λ =. i i ) ου βαθμού, όταν λ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί αν φέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος,δηλαδή = 0 είναι της μορφής α +β+ γ = 0 με α 0. Η β είναι λάθος (Λ) γιατί αν κάνουμε πράξεις και φέρουμε όλους τους ό- ρους στο πρώτο μέλος = ( + ) = =0 +8=0,δηλαδή είναι πρώτου βαθμού. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί για λ= γίνεται ( ) = 0 5+=0

4 7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ενώ αν λ είναι της μορφής α +β+ γ = 0 με α 0.οπότε είναι σωστή(σ).. Ένας μαθητής λύνοντας την εξίσωση = 6 απλοποίησε με το και βρήκε ότι έχει μοναδική λύση την = 6. Παρατηρώντας όμως την εξίσωση διαπίστωσε ότι επαληθεύεται και για = 0. Πού έγινε το λάθος και χάθηκε η λύση = 0; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση = 6 γίνεται -6 =0 (-6)=0 =0 ή =6 άρα το λάθος έγινε στην απλοποίηση και χάθηκε η ρίζα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( 4)( +) = 0 β) y (y + 5) = 0 γ) ( ω)(ω + ) = 0 y δ) 7 ( 7) = 0 ε) y = 0 στ) ω ( ω ) = 0 α) 4 = 0 ή + = 0 = 4 ή = β) y = 0 ή y+5 = 0 y = 0 ή y = 5 γ) ω = 0 ή ω + = 0 ω = ή ω = y = ( 7) δ) 7 = 0 7 = 0 ή - 7 = 0 = 0 ή = 7 y y ε) y = 0 y = 0 ή = 0 y 0 ή στ) ω = y = 0 ή y = 6 ( ω ) ω - = 0 ω = = 0 ω = 0 ή διπλή λύση α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα β) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα δ) Ομοίως ε) Ομοίως στ) Ομοίως

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) = 7 β) y = 9y γ) ω 7 = 0 δ) t 8 = 0 ε) 0, φ +, = 0 στ) 0,5z = 0 6 α) = 7 7 = 0 ( 7) = 0 = 0 ή 7 = 0 = 0 ή = 7 β) y = 9y y 9y =0 -y(y+9) = 0 y = 0 ή y+9 = 0 y = 0 ή y = 9 γ) ω 7 = 0 (ω 6) = 0 ω 6 = 0 ω = 6 = 6 ή ω = 6 = 6 δ) t 8 = 0 (t +9) = 0 t +9 = 0 ή t =-9 ε) 0, φ +, = 0 0, φ =, φ, = = 6 0, φ = 6 = 4 ή φ = 6 = 4 z στ) 0,5z = z 6 0,5z = z z = 0 z(z ) = 0 z = 0 ή z = z α) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα β) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ) Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα δ) Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα όταν α είναι θετικός, η εξίσωση =α έχει δύο λύσεις, τις = α ή = - α στ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α. β = 0 τότε α=0 ή β = 0. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( ) = 0 β) ( + ) = γ) ( +) = ( 9) δ) = 7 + = ε) ( ) 4 = 0 στ) ( ) 0 α) ( ) = 0 [( ) ][ ( ) +] = 0 ( ) = 0 4( ) = 0 α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

6 74 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ = 0 ή = β) ( + ) = ( + ) = = 4 + = 4 = άρα = = 0 ή + = 4 = άρα = = 4 γ) ( +) = ++ = + = =0 =- αδύνατη ( 9) ( 9) δ) = 7 = 7 ( 9) = = 8 ( 8) = 8 8=0 = 0 ή = 8 ε) ( ) 4 = 0 ( ) ( ) = 0 ( )( + ) = 0 ( )( 5 ) = 0 = ή = 5 στ) ( + ) + ( ) + + = 0 = 0 = 0 ( + ) = 0 = 0 ή = - β) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας γ) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας δ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Αναπτύσσουμε το διώνυμο Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους του όρους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Επειδή προκύπτει ελλιπής μορφή κάνουμε παραγοντοποίηση βγάζοντας κοινό παράγοντα. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ε) Δημιουργούμε την διαφορά τετραγώνων. Χρησιμοποιούμε την αντίστοιχη ταυτότητα και τέλος Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα στ) Αναπτύσσουμε το διώνυμο. Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους του όρους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Επειδή προκύπτει ελλιπής μορφή κάνουμε παραγοντοποίηση βγάζοντας κοινό παράγοντα. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α. β = 0 τότε α=0 ή β = 0. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( +) =5( + ) β) 0,5 ( y) =8 γ) (ω +) (ω 6) = 0 α) ( + ) = 5 ( + ) ( + ) 5 ( + ) = 0 ( + ) ( + 5 ) = 0 ( + ) ( 4 ) = 0 + =0 άρα = ή 4 = 0 άρα = 4 β) 0,5 ( y) = 8 0,5 ( y) = 8 (y ) = 6 y = 6 άρα y =6+=7 ή y = -6 α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα β) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 75 άρα y = -6+= -5 γ) ( ω + ) (ω 6) = 0 ω + =0 ή ω 6 = 0 ω =6 ω = 6 = 4 ή ω = 6 = 4 γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( 4) = 4 β) y + y = 0 γ) ω ω 5 = 0 δ) t 7 t + 6 = 0 ε) φ + = 4φ στ) 5z z 8 = 0 α) 4y ( 4) = 0 = β) y ( y) + ( y + ) γ) ω ( ω) = ( ω ) ω = 5 ή ω = δ) t t ( 4t) ( 4t 7) + y = 0 4y + 4y = 48.y.+.ω. +.4t = 0 ( y) 7t + 6 = 0 ( ) = 48 + = 49 y + = 7 ή y + = -7 y = 6 ή y = -8 y = ή y = -4 ω 5 = 0 4ω = 60 + = 64 ω = 8 ή ω = 8 ω = 0 ή ω = t = 0 = = 0 +.y = 48 = = 0 + 4y 48 = 0 ω.4 60 = 0 = 4t 7 = ή 4t 7 =, t = ή t = α) Κάνουμε τις πράξεις Προκύπτει ανάπτυγμα τετραγώνου. Έχει διπλή λύση το. β) Εδώ χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, δηλαδή: Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της εξίσωσης με το 4α, όπου α ο συντελεστής του δηλαδή το α=. Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος το σταθερό όρο και στο πρώτο μέλος δημιουργούμε παράσταση της μορφής α +αβ ή α -αβ. Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β. Χρησιμοποιούμε μία από τις ταυτότητες (α+β) =α +αβ+β ή (α-β) = =α -αβ+β γ) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=, 4α= 4. δ) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=, 4α =4..

8 76 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ε) φ + = 4φ φ 4φ + = 0 4..φ 4..4φ = 0 ( 6φ) ( 6φ 4) = 4 6φ 4 = φ = ή φ = στ) 5z z 8 = z ( 0z) ( 0z ).6φ z. + = + 4 ή 6φ - 4 = 60 + = z = 0 = 69 0z = ή0z = 8 z = ή z = - 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να λύσετε τις εξισώσεις α) 5 +0+=0 β) y (y-)+4y(y-)+4y-8 = 0 γ) ω +006ω-007 = 0 α) 5 ( 5 + ) = 0 ( 5) y ( y ) + 4y( y ) + 4y ( y ) + 4y( y ) + 4( y ) ( ω + )( ω ) + 006( ω ) ( ω )( ω ) = = = 0 5 = β) 8 = 0 y = 0 ( y )( y + 4y + 4) = 0 ( y y +..y + ) = 0 ( y )( y + ) = 0 y = 0 ή y + = 0 y = ή y = -(διπλή λύση) = 0 = 5 γ) ω + 006ω 007 = 0 ω + 006ω 006 = 0 = 0 ω = 0 ή ω = 0 ω = ή ω = -007 διπλή ε) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=, 4α= 4.. στ) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=5, 4α =4.5. α) Παρατηρούμε ότι η παράσταση του πρώτου μέλους είναι ανάπτυγμα τετραγώνου και σύμφωνα με την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β επιλύουμε την πρωτοβάθμια εξίσωση που προκύπτει. Η λύση που βρίσκουμε είναι διπλή. β) Βγάζουμε κοινό παράγοντα από τους δύο τελευταίους όρους το 4 και προκύπτει κοινός παράγοντας το y- από όλους. Στην δεύτερη παρένθεση η παράσταση είναι ανάπτυγμα τετραγώνου και τέλος Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ) Γράφουμε το -007=-006- για να βγάλουμε κοινό παράγοντα. Και κατόπιν Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 77 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λύσετε τις εξισώσεις α) (α+β)+αβ=0 β) ( ) = 0 ( α + β) α) α) Κάνουμε τις πράξεις. Βγάζουμε κοινό παράγοντα με ομαδοποίηση των δύο πρώτων και των δύο τελευταίων όρων της ( - α) β( - α) ( - α)( - β) = 0 β) + αβ = 0 α - β + αβ = 0 = 0 α = 0 ή - β = 0 = α ή = β ( ) + ( + )( ) = ή = = 0 + = 0 = 0 = 0 ( + ) ( + ) ή - = 0 = 0 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να συμπληρώσετε το αριθμοσταυρόλεξο Οριζόντια:. Μη μηδενική ρίζα της εξίσωσης =.-Ρίζα της εξίσωσης +5=0 4 παράστασης και κατόπιν Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α. β = 0 τότε α=0 ή β = 0. β) Ομοίως με το πρώτο ερώτημα Γινόμενο ριζών της εξίσωσης ( + 4) + 8( + 4) = 0.. Άθροισμα ριζών της εξίσωσης = Η απόλυτη τιμή του γινομένου των ριζών της εξίσωσης = 5 -Η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης =. Κάθετα:. Ρίζα της εξίσωσης = 0.. Το ακέραιο πηλίκο των ριζών της εξίσωσης ( 5) = 5. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης ( 5) ( 5) = Μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης 44 = Ρίζα της εξίσωσης ( ) + 007( ) = 0..

10 78 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ. = 0 ( ) = 0 = 0 ή - = 0 = 0 ή =. ( + 4) + 8( + 4) = 0 ( + 4)( + 8) = = 0 ή + 8 = 0 = -4 ή = -8. = ( 4)( 8) = = = 0 ( ) ( 0) = 64 0 = 8 ή -0 = -8 = 8 ή = = 9 ή = + = 9 + = = ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα = 5 = ± 5 = ± 5 = 5. = 5 = 5 ( 5) = = 0 ή = = = 0 ( ) = 0 ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κατόπιν βρίσκουμε το γινόμενο των ριζών ) Χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και βρίσκουμε τις ρίζες. Κατόπιν βρίσκουμε το άθροισμα των ριζών 4. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Κατόπιν παίρνουμε την απόλυτη τιμή του γινομένου των ριζών.- Μεταφέρουμε ό- λους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ΚΑΘΕΤΑ = 0 ( 0) = 0 0 = 0 = 0. ( -5) = 5 ( -5) ( 5) ( 5)( ) = 0 5 = 0 ή - = 0. ( - 5) ( 5) = 0 ( 5)( 5 ) ( 5)( 6) = 0 5 = 0 ή - 6 = 0 = 5 ή = 5 ή = οπότε = = = 5 = 5.6 = 0 = 0 = 0 = 0.Στο πρώτο μέλος η παράσταση είναι ανάπτυγμα τετραγώνου.. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κατόπιν βρίσκουμε το πηλίκο των ριζών Στο πρώτο μέλος βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κατόπιν βρίσκουμε το γινόμενο των ριζών.

11 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ = ± = 5. ( ) + 007( ) ( )( + 007) 44 = 0 = 007 αδύνατη = 44 = ± = 0 = 0 = 0 ή = Μετά τις παραπάνω εργασίες συμπληρώνουμε τον πίνακα όπως φαίνεται παρακάτω Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέρος τον ακέραιο και χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Η θετική ρίζα είναι το. 5. Στο πρώτο μέλος βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

12 80 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου Τύπος λύσεων εξίσωσης δευτέρου βαθμού Έστω η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0.Για να βρούμε τις λύσεις της εξίσωσης αυτής όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιούμε την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου.εδώ θα εφαρμόσουμε την μέθοδο αυτή στην γενική της μορφή και θα βρούμε έναν τύπο με την βοήθεια του οποίου θα μπορούμε να λύσουμε κάθε τέτοια εξίσωση(αν έχει λύσεις). Εφαρμόζοντας την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου έχουμε διαδοχικά Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής του. α + β + γ = 0 4α.α + 4αβ + 4αγ = 0 Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος το σταθερό όρο 4α + 4αβ = 4αγ Στο πρώτο μέλος δημιουργούμε την παράσταση α +αβ ( α) + α.β = 4αγ ( α) + α.β + β = 4αγ + β Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β ( α + β) = β 4αγ Αν Δ = β 4αγ > 0 τότε α + β = ± Δ β ± Δ α = -β ± Δ = α έχει δύο ανισες λύσεις Αν Δ = β 4αγ = 0 τότε α + β = 0 β α = -β = έχει μία διπλή λύση α Αν Δ = β 4αγ < 0 τότε η εξίσωση α + β = ± Άρα είναι αδύνατη Δ δεν έχει λύση Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β Ορίζουμε το Δ=β -4αγ ως Διακρίνουσα Εξετάζουμε περιπτώσεις για το Δ ΤΥΠΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘ- ΜΟΥ Αν Δ=0 Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα Αν Δ<0 Η εξίσωση είναι αδύνατη

13 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 8 ΤΥΠΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Άρα οι λύσεις της εξίσωσης τύπο: α + β + γ = 0 με α 0δίνονται από τον Η παράσταση β ± β 4αγ = με β 4αγ > 0 α β 4αγ ονομάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης και συμβολίζεται με Δ δηλαδή Δ = β 4αγ. Συμπεραίνουμε ότι: β + β 4αγ = α Αν Δ > 0 η εξίσωση δύο άνισες λύσεις τις : β β 4αγ = α β Αν Δ = 0 η εξίσωση έχει μία λύση την = (διπλή ρίζα). α Αν Δ < 0 η εξίσωση δεν έχει λύση είναι δηλαδή αδύνατη. Παραγοντοποίηση τριωνύμου Αν ρ, ρ είναι οι λύσεις της εξίσωσης α +β+γ=0 με α 0, τότε το τριώνυμο α +β+γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο α +β+γ= α(-ρ )(-ρ ) Αν η λύση είναι διπλή, δηλαδή ρ =ρ =ρ τότε α +β+γ= α(-ρ) Για παράδειγμα, η εξίσωση 4-7+5=0 έχει λύσεις τις ρ = και Άρα το τριώνυμο γράφεται: = ( ) 5 ρ = 4

14 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης α + β + γ = 0 με α 0, τότε να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) τη σωστή α- πάντηση από τη στήλη (Β). Στήλη Α Στήλη Β α. Δ > 0 β. γ. δ. Δ = 0 Δ 0 Δ < 0. Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση. Η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις.. Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση. 4. Η εξίσωση δεν έχει λύση. α β γ δ 4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Αν μια εξίσωση ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική, τότε δεν έχει λύση. β) Αν μια εξίσωση ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική ή μηδέν, τότε έχει μία τουλάχιστον λύση. γ) Η εξίσωση = 0 έχει ως λύσεις τους αριθμούς και, τότε το τριώνυμο +4 6 γράφεται = ( )( + ). ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος (Λ), γιατί όταν έχει διακρίνουσα θετική τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις. β) Είναι σωστή (Σ),γιατί όταν έχει διακρίνουσα θετική ή μηδέν τότε αν η διακρίνουσα είναι μηδέν έχει μια λύση ή αν η διακρίνουσα είναι θετική τότε έχει δύο άνισες λύσεις άρα σε κάθε περίπτωση έχει μία τουλάχιστον λύση. γ) Είναι λάθος (Λ), γιατί το τριώνυμο γράφεται σύμφωνα με την α +β+γ= α(-ρ) δηλαδή = ( )( + ).. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι προτιμότερο να λυθούν με τη βοήθεια του τύπου α) =7 β) +8 = 0 γ) +50 = 0 δ) = 0. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η β και η δ, γιατί η α και η γ είναι ελλιπείς μορφές δευτεροβάθμιας και λύνονται με παραγοντοποίηση.

15 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 8 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να φέρετε τις εξισώσεις της πρώτης στήλης στη μορφή α + β +γ = 0 και να συμπληρώσετε τις υπόλοιπες στήλες του πίνακα. Εξίσωση α + β + γ = 0 α β γ ( ) = + 4 = ( + ) ( ) = ( ) ( ) = + 4 = = 0 = 0 ( ) = ( ) + = + = 0 Εξίσωση α + β + γ = 0 α β γ ( ) = + = = ( + ) =0 0 ( ) = ( ) +0+ =0-0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) = 0 β) 4y + y = 0 γ) ω + ω + 6 = 0 δ) z z + = 0 ε) 5t + 0t = 0 στ) = 0 ζ) = 0 η) 4 = 5 θ) + 7 = 0 α) = 0 Είναι α =, β = και γ = και Δ = β 4αγ = ( ) 4 ( ) = +8 = 9 β ± Δ ( ) ± 9 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = τις: α + 4 = = =, ή = = = β) 4y + y = 0 Είναι α = 4, β = + και γ = και Δ = β 4αγ = 4 4( ) = 9+6 = 5

16 84 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ β ± Δ ± 5 ± 5 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: y = = = τις: α y = = = ή y = = = γ) ω + ω + 6 = 0 Είναι α =, β = και γ = 6 και Δ = β 4αγ = 4 ( ) 6 = +48 = 49 β ± Δ ± 49 ± 7 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: ω = = = τις: α ω = = = ή ω = = = δ) z z + = 0 Είναι α =, β = και γ = και Δ = β 4αγ = ( ) 4 = 9 8 = β ± Δ ( ) ± ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: z = = = τις : α z = = = ή z = = = ε) 5t + 0t = 0 Είναι α = 5, β = 0 και γ = και Δ = β 4αγ = 0 4 ( 5) ( ) = = 0 β 0 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την t = = = α 50 5 στ) = 0 Είναι α = 4, β = και γ = 9 και Δ = β 4αγ = ( ) = = 0 β Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = = = = α 8 8 ζ) = 0 Είναι α =, β = 8 και γ = 7 και Δ = β 4αγ = = 4 4 = 0 β 8 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = = = α 6 η) 4 = 5 ή 4 5 = 0 Είναι α =, β = 4 και γ = 5 και Δ = β 4αγ = ( 4) 4 ( 5) = 6+0 = 6 β ± Δ ( 4) ± 6 4 ± 6 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = ή α

17 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ = = = 5 ή = = = θ) + 7 = 0 Είναι α =, β = και γ = 7 και Δ = β 4αγ = ( ) 4 7 = 9 8 = 9 Η εξίσωση είναι αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 = 0 β) 6 = 0 ί) με τη βοήθεια του τύπου. ii) Με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. ί) με τη βοήθεια του τύπου. α) 7 = 0 Είναι α =, β = 7 και γ = 0 και Δ = β 4αγ = ( 7) 4 0 = 49 0 = 49 β ± Δ ( 7) ± 49 7 ± 7 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = η : α = = = 7 ή = = = 0 β) 6 = 0 Είναι α =, β = 0 και γ = 6 και Δ = β 4αγ = 0 4 (-6) = 0+64 = 64 β ± Δ 0 ± 64 ± 8 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = ή α 8 8 = = 4 ή = = 4 ii) Με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. α) 7 = 0 ( 7) = 0 και έχουμε : = 0 ή 7 = 0 δηλ. =7 β) 6 = 0 ( 4)(+4) = 0 και έχουμε : 4 = 0 ή +4 = 0 = 4 ή = 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( ) = + β) (y + ) + (y ) = 5 (y + ) γ) (ω ) (ω ) = ω δ) φ(8 φ) (φ + )(φ + ) =

18 86 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ α) ( ) = + + = =0 Είναι α =, β = 4 και γ = και Δ = β 4αγ = ( 4) 4 = 6 = 4 β ± Δ ( 4) ± 4 4 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = ή α = = = ή = = = β) (y + ) + (y ) = 5 (y + ) y +4y +4 +y y + = 0y +5 y +4y +4 +y y + 0y 5 = 0 y 8y 0 = 0 Είναι α =, β = 8 και γ = 0 και Δ = β 4αγ = ( 8) 4 ( 0) = = 44 β ± Δ ( 8) ± 44 8 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: y = = = ή : α y = = = 5 ή y = = γ) (ω ) (ω ) = ω 4ω ω +9 (ω 4ω +4) ω + = 0 4ω ω +9 ω + 4ω 4 ω + = 0 ω 8ω +6 = 0 (ω 4) = 0 ω 4 = 0 ή ω = 4 διπλή λύση. δ) φ(8 φ) (φ + )(φ + ) = 8φ φ (φ +6φ +φ +) = 8φ φ φ 6φ φ = 0 4φ +φ = 0 Είναι α = 4, β = και γ = και Δ = β 4αγ = 4 ( 4) ( ) = 48 = 47 Η εξίσωση είναι αδύνατη.

19 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 87 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λύσετε τις εξισώσεις + y 6y+ y α) = β) = γ) 0,5t 0,4(t + ) = 0,7(t ) ω δ) ( ω 7) = α) Επειδή το Ε.Κ.Π. είναι το 5 έχουμε : = 5( ) 5 5( ) (+) = = = 0 Είναι α = 5, β = 8 και γ = 6 και Δ = β 4αγ = ( 8) = =4 0 = 4 β ± Δ ( 8) ± 4 8 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = α = = = ή = = = β) Επειδή το Ε.Κ.Π. είναι το έχουμε : y 6y + y = 4 6 4y (6y+) = (y ) 4 4y 8y = y 4 4 4y 8y y = 0 4y 0y + 5 = 0 ή (y 5) = 0 ή y 5 = 0 ή y = 5 ή y = 5 (διπλή) γ) Για να έχουμε ακεραίους συντελεστές πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί 0 και έχουμε. 0 0,5t 0 0,4(t + ) = 0 0,7(t ) 5t 4(t + ) = 7(t ) 5t 4t 8 = 7t 4 5t 4t 8 7t +4 = 0 5t t +6 = 0 ή :

20 88 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Είναι α = 5, β = και γ = 6 και Δ = β 4αγ = ( ) = 0 = β ± Δ ( ) ± ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: t = = =, t = = = ή t = = = δ) Πολλαπλασιάζουμε επί τα μέλη της εξίσωσης και έχουμε : ω ( ω 7) = ω( ω 7) = ω 7ω + = 0 Είναι α =, β = 7, γ = και Δ = β 4αγ = ( 7) 4 = 49 4 = 5 β ± Δ ( 7) ± 5 7 ± 5 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: ω = = = α άρα, α ω = = = = = = ή ( ) ω = 7 5 = = ΑΣΚΗΣΗ 6 = ( ) = Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) + 4 β) y 8y + 5 γ) ω +5ω δ) ε) 9y + y + 4 στ) ω + 0ω 5 α) + 4. Επιλύουμε την εξίσωση + 4 = 0. Είναι α =, β = 4, γ = και Δ = β 4αγ = 4 4 ( )= 6+48 = 64 4 ± 8 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, = = = ή = = = 6. Επομένως : + 4 = ( )( + 6) β) y 8y + 5. Επιλύουμε την εξίσωση y 8y + 5 =

21 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 89 Είναι α =, β = 8, γ = 5 και Δ = β 4αγ = ( 8) 4 5= = 4 β ± Δ ( 8) ± 8 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = άρα, α y = = =, y = = = Επομένως : y 8y + 5 = (y 5 )(y ) = (y 5)(y ). γ) ω +5ω. Επιλύουμε την εξίσωση ω +5ω = 0. Είναι α =, β = 5, γ = και Δ = β 4αγ = 5 4 ( ) ( ) = 5 4 = β ± Δ 5 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: ω = = = α ω = = = ή ω = = = ± 4 Επομένως : ω +5ω = (ω )(ω + ) = ( ω)(ω +). δ) Επιλύουμε την εξίσωση = 0. Είναι α =, β = 6, γ = 64 και Δ = β 4αγ = ( 6) 4 64 = = 0 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = β α 6 = = 8 άρα Επομένως : = ( 8). ε) 9y + y + 4. Επιλύουμε την εξίσωση 9y + y + 4 = 0. Είναι α = 9, β =, γ = 4 και Δ = β 4αγ = = = 0 β Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = = = α 8 Επομένως : 9y + y + 4 = 9[y ( )] = (y+ ) = (y + ) στ) ω + 0ω 5. Επιλύουμε την εξίσωση ω + 0ω 5 = 0 Είναι α =, β = 0, γ = 5 και Δ = β 4αγ = 0 4 ( ) ( 5) = = 0 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την ω = Επομένως : ω + 0ω 5 = (ω 5). β α 0 = = 5

22 90 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν α, β πραγματικοί αριθμοί με α 0, να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση α) α + α = 0 και β) α + (α + β) + β = 0 α) α + α = 0 Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : ( ) 4α ( α) = 4α + 4α = = (α ) 0 επομένως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση β) α + (α + β) + β = 0 Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: (α+β) 4αβ = α +αβ +β 4αβ = = α αβ +β = (α β) 0 επομένως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η εξίσωση (α + γ) β + (α γ) = 0,όπου α, β, γ μήκη πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Επειδή η εξίσωση (α + γ) β + (α γ) = 0 έχει μία ρίζα διπλή η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ίση με μηδέν. Άρα Δ = (β) 4(α+γ)( α γ) = 0 ή 4β 4(α γ ) = 0 ή 4β = 4(α γ ) ή β = (α γ ) ή β = α γ ή β +γ = α Επομένως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο αφού για τα μήκη των πλευρών ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Αν μια ρίζα της εξίσωσης + α - 4 = 0 είναι το, ποια είναι η άλλη ρίζα της; Εφόσον το είναι ρίζα της εξίσωσης έχουμε ότι + α - 4 = α - 4 = 0 α = 0 α = 0 Άρα η εξίσωση είναι η - 4 = 0 οπότε = 4 = ± 4 = ± Επομένως η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι η -.. Να λύσετε την εξίσωση 4 + α + 9 = 0 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με την εξίσωση +=0.

23 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 9 Έχουμε + = 0 = =. Εφόσον αυτή η λύση είναι και λύση της εξίσωσης 4 + α + 9 = 0 θα έ- χουμε: 4 + α = 0 4. α + 9 = 0 4 α + 9 = 0 0 = α α = 0 Άρα η εξίσωση είναι = 0 Είναι α = 4, β = 0, γ = 9 και Δ = β 4αγ = = = 56 β ± Δ 0 ±6 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, α = = = ή = = = Η κρυμμένη φράση Για να σχηματίσετε το πρώτο μέρος της φράσης, αντικαταστήστε κάθε σύμβολο με το γράμμα της αλφαβήτου που αντιστοιχεί στον αριθμό που βρήκατε (π.χ Α, Β,., 4 Ω). Η λύση της εξίσωσης + =. Το άθροισμα των λύσεων της εξίσωσης = 0. Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης ( ) = 5. Η διαφορά των λύσεων της εξίσωσης = 0. Η μικρότερη λύση της εξίσωσης ( 8) = 7. Λύση της εξίσωσης μικρότερη του 5 ( ) = Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης + = 0. Η λύση της εξίσωσης + = είναι: + = + = 0 = 0 = διπλή Και η αντιστοιχία του γράμματος της αλφαβήτου είναι Α. ( ) ρίζα

24 9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το άθροισμα των λύσεων της εξίσωσης = 0 είναι: Είναι α =, β = -8, γ = 7 και Δ = β 4αγ = (-8) 4 7= 64-8 = 6 β ± Δ 8 ± 6 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, α = = = 7 ή = = =. άρα + = 7 + = 8και η αντιστοιχία του γράμματος της αλφαβήτου είναι 8 Θ. Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης ( ) = 5 είναι: ( ) = 5 = ± 5 = ± 5 = 7 ή = άρα η μεγαλύτερη ρίζα είναι το 7 Η. Η διαφορά των λύσεων της εξίσωσης = 0 είναι: Είναι α =, β = -7, γ = 0 και Δ = β 4αγ = (-7) 4 0= 89-0=69 β ± Δ 7 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, α = = = 5 ή = = =. Επομένως η διαφορά των λύσεων της εξίσωσης είναι 5-= Ν. Η μικρότερη λύση της εξίσωσης ( 8) = 7 είναι: ( 8) = 7 ( 8) = 6 8 = ± 6 = 4 ή = είναι το. Λύση της εξίσωσης ( ) = + 4 μικρότερη του 5 είναι: ( ) = = 0 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 ή = 6 είναι το 0 9 Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης + = 0 είναι: 9 + = = 0 = 4 ή = είναι το 4. Επομένως η κρυμμένη φράση είναι όπως φαίνεται παρακάτω ΑΘΗΝΑ 004 Α θ Η Ν Α 0 0 4

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Παραγοντοποίηση Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ενότητα 4 η Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Σκοπός Ο σκοπός της 4 η ενότητας είναι να αποκτήσουν την ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΘΕΜΑΤΑ ΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΩΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : ΘΕΩΡΙΑ Έστω η εξίσωση δευτέρου βαθμού : a με a β γ (). α) Ποια παράσταση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2005-2006 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΙΔΑΙΑΣ ΑΡΙΔΑΙΑ : 15 / 6 / 2006 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ (επιλέξτε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

εξίσωση πρώτου βαθμού

εξίσωση πρώτου βαθμού κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων Μέθοδοι παραγοντοποίησης [ 1] Εξαγωγή κοινού παράγοντα Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 61 Ορισμοί. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Ημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

Παράδειγμα 8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Μιγαδικοί αριθμοί Σελ 10 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 104 Ασκήσεις με παραστάσεις της μορφής συγκεκριμένοι μιγαδικοί z 1 z με z 1,z i Εξετάζουμε μήπως οι μιγαδικοί συνδέονται με σχέση της μορφής z i 1 z ii Αντικάθιστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα