Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
|
|
- Κυπριανός Γιαννακόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης, οι α, β είναι οι συντελεστές του δευτεροβάθμιου και του πρωτοβάθμιου όρου αντίστοιχα και ο β είναι ο σταθερός όρος). Στην παραπάνω εξίσωση αν β 0 και γ 0, τότε α + β + γ = 0 και λέμε ότι έχουμε την πλήρη μορφή της εξίσωσης π. χ = 0. Στην περίπτωση που έχουμε, γ = 0 και β 0 η δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται α + β = 0 και λέμε ότι έχουμε ελλιπή μορφή (λείπει ο σταθερός όρος) π. χ + = 0. Στην περίπτωση που έχουμε β = 0 και γ 0 η δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται α + γ = 0 και λέμε ότι έχουμε ελλιπή μορφή (λείπει ο πρωτοβάθμιος όρος) π. χ 9 = 0. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων Η επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης γίνεται ως εξής κατά περίπτωση: Όταν έχει την μορφή α + β = 0 α + β = 0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το στο πρώτο μέλος. ( α + β) = 0 η α + β = 0 = 0 η α = - β = 0 η = 0 β = - α Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α.β=0, τότε α=0 ή β=0. Επιλύουμε κάθε μια από τις δύο πρωτοβάθμιες εξισώσεις. Όταν έχει την μορφή α + γ = 0
2 70 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ος ΤΡΟΠΟΣ α + γ = 0 α = γ γ = α = ± γ α ος ΤΡΟΠΟΣ Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. γ Με την προϋπόθεση ότι > 0 εφαρμόζουμε τον ορισμό α = α τοτε = ± α. Ανάλογα με την περίπτωση προσπαθούμε να εφαρμόσουμε διαφορά τετρα- 7 = 0, ( 9) = 0, + = 0 οπότε = ± γώνων π. χ ( )( ) Όταν έχει την μορφή α + β + γ = 0 με α 0 ος ΤΡΟΠΟΣ Αναλύουμε το τριώνυμο σε γινόμενο κατά τα γνωστά π. χ η εξίσωση + = 0 γίνεται + = 0 ( )( ) = η = = 0 Έχουμε α + β= - και α.β= και με δοκιμές α = - και β=-. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α.β=0, τότε α = 0 ή β = 0. Επιλύουμε κάθε μια από τις δύο πρωτοβάθμιες εξισώσεις. ος ΤΡΟΠΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ Έστω η εξίσωση += τότε έχουμε διαδοχικά: 4 + Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής του. Εδώ είναι 4 α=4.=4 ( ) + ( + ) = + 4. = = 48 + = 49 + = 7 ή + = -7 = 6 ή = -8 = ή = -4 Στο πρώτο μέλος δημιουργούμε την παράσταση α +αβ Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β που εδώ είναι β =. Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β
3 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Ο αριθμός 0 είναι λύση της εξίσωσης 4 + = 0. β) Ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης 4 + = 0. γ) Οι λύσεις της εξίσωσης ( ) ( + ) = 0 είναι = και =. δ) Η εξίσωση = 6 έχει μοναδική λύση τον αριθμό = 4. ε) Η εξίσωση = 9 δεν έχει λύση. στ) Η εξίσωση ( ) = 0 έχει διπλή λύση τον αριθμό =. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι λάθος (Λ) γιατί αν βάλουμε στην θέση του στην εξίσωση το 0 θα έχουμε = 0. Η β είναι σωστή (Σ) γιατί αν βάλουμε στην θέση του στην εξίσωση το θα έχουμε = 9-+=0 δηλαδή την επαληθεύει. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α.β=0, τότε α = 0 ή β = 0 οπότε η εξίσωση δίνει τις εξισώσεις -=0 ή +=0 οι οποίες έχουν λύση = ή =- αντίστοιχα. Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί η εξίσωση εκτός από το 4 έχει λύση και το -4 (-4) =6. Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο να μας δίνει -9. Η στ είναι σωστή (Σ) γιατί η εξίσωση ( ) = 0 γίνεται (-)(-)=0 ο- πότε -=0 ή -=0 επομένως = ή = δηλαδή έχει διπλή λύση τον αριθμό =.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Η εξίσωση 5 6 = είναι ου βαθμού. β) Η εξίσωση = ( + ) είναι ου βαθμού. γ) Η εξίσωση (λ ) = 0 είναι i ) ου βαθμού, όταν λ =. i i ) ου βαθμού, όταν λ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί αν φέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος,δηλαδή = 0 είναι της μορφής α +β+ γ = 0 με α 0. Η β είναι λάθος (Λ) γιατί αν κάνουμε πράξεις και φέρουμε όλους τους ό- ρους στο πρώτο μέλος = ( + ) = =0 +8=0,δηλαδή είναι πρώτου βαθμού. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί για λ= γίνεται ( ) = 0 5+=0
4 7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ενώ αν λ είναι της μορφής α +β+ γ = 0 με α 0.οπότε είναι σωστή(σ).. Ένας μαθητής λύνοντας την εξίσωση = 6 απλοποίησε με το και βρήκε ότι έχει μοναδική λύση την = 6. Παρατηρώντας όμως την εξίσωση διαπίστωσε ότι επαληθεύεται και για = 0. Πού έγινε το λάθος και χάθηκε η λύση = 0; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση = 6 γίνεται -6 =0 (-6)=0 =0 ή =6 άρα το λάθος έγινε στην απλοποίηση και χάθηκε η ρίζα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( 4)( +) = 0 β) y (y + 5) = 0 γ) ( ω)(ω + ) = 0 y δ) 7 ( 7) = 0 ε) y = 0 στ) ω ( ω ) = 0 α) 4 = 0 ή + = 0 = 4 ή = β) y = 0 ή y+5 = 0 y = 0 ή y = 5 γ) ω = 0 ή ω + = 0 ω = ή ω = y = ( 7) δ) 7 = 0 7 = 0 ή - 7 = 0 = 0 ή = 7 y y ε) y = 0 y = 0 ή = 0 y 0 ή στ) ω = y = 0 ή y = 6 ( ω ) ω - = 0 ω = = 0 ω = 0 ή διπλή λύση α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα β) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα δ) Ομοίως ε) Ομοίως στ) Ομοίως
5 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) = 7 β) y = 9y γ) ω 7 = 0 δ) t 8 = 0 ε) 0, φ +, = 0 στ) 0,5z = 0 6 α) = 7 7 = 0 ( 7) = 0 = 0 ή 7 = 0 = 0 ή = 7 β) y = 9y y 9y =0 -y(y+9) = 0 y = 0 ή y+9 = 0 y = 0 ή y = 9 γ) ω 7 = 0 (ω 6) = 0 ω 6 = 0 ω = 6 = 6 ή ω = 6 = 6 δ) t 8 = 0 (t +9) = 0 t +9 = 0 ή t =-9 ε) 0, φ +, = 0 0, φ =, φ, = = 6 0, φ = 6 = 4 ή φ = 6 = 4 z στ) 0,5z = z 6 0,5z = z z = 0 z(z ) = 0 z = 0 ή z = z α) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα β) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ) Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα δ) Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα όταν α είναι θετικός, η εξίσωση =α έχει δύο λύσεις, τις = α ή = - α στ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α. β = 0 τότε α=0 ή β = 0. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( ) = 0 β) ( + ) = γ) ( +) = ( 9) δ) = 7 + = ε) ( ) 4 = 0 στ) ( ) 0 α) ( ) = 0 [( ) ][ ( ) +] = 0 ( ) = 0 4( ) = 0 α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
6 74 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ = 0 ή = β) ( + ) = ( + ) = = 4 + = 4 = άρα = = 0 ή + = 4 = άρα = = 4 γ) ( +) = ++ = + = =0 =- αδύνατη ( 9) ( 9) δ) = 7 = 7 ( 9) = = 8 ( 8) = 8 8=0 = 0 ή = 8 ε) ( ) 4 = 0 ( ) ( ) = 0 ( )( + ) = 0 ( )( 5 ) = 0 = ή = 5 στ) ( + ) + ( ) + + = 0 = 0 = 0 ( + ) = 0 = 0 ή = - β) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας γ) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας δ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Αναπτύσσουμε το διώνυμο Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους του όρους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Επειδή προκύπτει ελλιπής μορφή κάνουμε παραγοντοποίηση βγάζοντας κοινό παράγοντα. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ε) Δημιουργούμε την διαφορά τετραγώνων. Χρησιμοποιούμε την αντίστοιχη ταυτότητα και τέλος Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα στ) Αναπτύσσουμε το διώνυμο. Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους του όρους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Επειδή προκύπτει ελλιπής μορφή κάνουμε παραγοντοποίηση βγάζοντας κοινό παράγοντα. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α. β = 0 τότε α=0 ή β = 0. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( +) =5( + ) β) 0,5 ( y) =8 γ) (ω +) (ω 6) = 0 α) ( + ) = 5 ( + ) ( + ) 5 ( + ) = 0 ( + ) ( + 5 ) = 0 ( + ) ( 4 ) = 0 + =0 άρα = ή 4 = 0 άρα = 4 β) 0,5 ( y) = 8 0,5 ( y) = 8 (y ) = 6 y = 6 άρα y =6+=7 ή y = -6 α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα β) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 75 άρα y = -6+= -5 γ) ( ω + ) (ω 6) = 0 ω + =0 ή ω 6 = 0 ω =6 ω = 6 = 4 ή ω = 6 = 4 γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( 4) = 4 β) y + y = 0 γ) ω ω 5 = 0 δ) t 7 t + 6 = 0 ε) φ + = 4φ στ) 5z z 8 = 0 α) 4y ( 4) = 0 = β) y ( y) + ( y + ) γ) ω ( ω) = ( ω ) ω = 5 ή ω = δ) t t ( 4t) ( 4t 7) + y = 0 4y + 4y = 48.y.+.ω. +.4t = 0 ( y) 7t + 6 = 0 ( ) = 48 + = 49 y + = 7 ή y + = -7 y = 6 ή y = -8 y = ή y = -4 ω 5 = 0 4ω = 60 + = 64 ω = 8 ή ω = 8 ω = 0 ή ω = t = 0 = = 0 +.y = 48 = = 0 + 4y 48 = 0 ω.4 60 = 0 = 4t 7 = ή 4t 7 =, t = ή t = α) Κάνουμε τις πράξεις Προκύπτει ανάπτυγμα τετραγώνου. Έχει διπλή λύση το. β) Εδώ χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, δηλαδή: Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της εξίσωσης με το 4α, όπου α ο συντελεστής του δηλαδή το α=. Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος το σταθερό όρο και στο πρώτο μέλος δημιουργούμε παράσταση της μορφής α +αβ ή α -αβ. Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β. Χρησιμοποιούμε μία από τις ταυτότητες (α+β) =α +αβ+β ή (α-β) = =α -αβ+β γ) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=, 4α= 4. δ) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=, 4α =4..
8 76 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ε) φ + = 4φ φ 4φ + = 0 4..φ 4..4φ = 0 ( 6φ) ( 6φ 4) = 4 6φ 4 = φ = ή φ = στ) 5z z 8 = z ( 0z) ( 0z ).6φ z. + = + 4 ή 6φ - 4 = 60 + = z = 0 = 69 0z = ή0z = 8 z = ή z = - 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να λύσετε τις εξισώσεις α) 5 +0+=0 β) y (y-)+4y(y-)+4y-8 = 0 γ) ω +006ω-007 = 0 α) 5 ( 5 + ) = 0 ( 5) y ( y ) + 4y( y ) + 4y ( y ) + 4y( y ) + 4( y ) ( ω + )( ω ) + 006( ω ) ( ω )( ω ) = = = 0 5 = β) 8 = 0 y = 0 ( y )( y + 4y + 4) = 0 ( y y +..y + ) = 0 ( y )( y + ) = 0 y = 0 ή y + = 0 y = ή y = -(διπλή λύση) = 0 = 5 γ) ω + 006ω 007 = 0 ω + 006ω 006 = 0 = 0 ω = 0 ή ω = 0 ω = ή ω = -007 διπλή ε) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=, 4α= 4.. στ) Ομοίως χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου α=5, 4α =4.5. α) Παρατηρούμε ότι η παράσταση του πρώτου μέλους είναι ανάπτυγμα τετραγώνου και σύμφωνα με την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β επιλύουμε την πρωτοβάθμια εξίσωση που προκύπτει. Η λύση που βρίσκουμε είναι διπλή. β) Βγάζουμε κοινό παράγοντα από τους δύο τελευταίους όρους το 4 και προκύπτει κοινός παράγοντας το y- από όλους. Στην δεύτερη παρένθεση η παράσταση είναι ανάπτυγμα τετραγώνου και τέλος Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ) Γράφουμε το -007=-006- για να βγάλουμε κοινό παράγοντα. Και κατόπιν Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 77 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λύσετε τις εξισώσεις α) (α+β)+αβ=0 β) ( ) = 0 ( α + β) α) α) Κάνουμε τις πράξεις. Βγάζουμε κοινό παράγοντα με ομαδοποίηση των δύο πρώτων και των δύο τελευταίων όρων της ( - α) β( - α) ( - α)( - β) = 0 β) + αβ = 0 α - β + αβ = 0 = 0 α = 0 ή - β = 0 = α ή = β ( ) + ( + )( ) = ή = = 0 + = 0 = 0 = 0 ( + ) ( + ) ή - = 0 = 0 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να συμπληρώσετε το αριθμοσταυρόλεξο Οριζόντια:. Μη μηδενική ρίζα της εξίσωσης =.-Ρίζα της εξίσωσης +5=0 4 παράστασης και κατόπιν Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α. β = 0 τότε α=0 ή β = 0. β) Ομοίως με το πρώτο ερώτημα Γινόμενο ριζών της εξίσωσης ( + 4) + 8( + 4) = 0.. Άθροισμα ριζών της εξίσωσης = Η απόλυτη τιμή του γινομένου των ριζών της εξίσωσης = 5 -Η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης =. Κάθετα:. Ρίζα της εξίσωσης = 0.. Το ακέραιο πηλίκο των ριζών της εξίσωσης ( 5) = 5. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης ( 5) ( 5) = Μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης 44 = Ρίζα της εξίσωσης ( ) + 007( ) = 0..
10 78 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ. = 0 ( ) = 0 = 0 ή - = 0 = 0 ή =. ( + 4) + 8( + 4) = 0 ( + 4)( + 8) = = 0 ή + 8 = 0 = -4 ή = -8. = ( 4)( 8) = = = 0 ( ) ( 0) = 64 0 = 8 ή -0 = -8 = 8 ή = = 9 ή = + = 9 + = = ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα = 5 = ± 5 = ± 5 = 5. = 5 = 5 ( 5) = = 0 ή = = = 0 ( ) = 0 ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κατόπιν βρίσκουμε το γινόμενο των ριζών ) Χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και βρίσκουμε τις ρίζες. Κατόπιν βρίσκουμε το άθροισμα των ριζών 4. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Κατόπιν παίρνουμε την απόλυτη τιμή του γινομένου των ριζών.- Μεταφέρουμε ό- λους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ΚΑΘΕΤΑ = 0 ( 0) = 0 0 = 0 = 0. ( -5) = 5 ( -5) ( 5) ( 5)( ) = 0 5 = 0 ή - = 0. ( - 5) ( 5) = 0 ( 5)( 5 ) ( 5)( 6) = 0 5 = 0 ή - 6 = 0 = 5 ή = 5 ή = οπότε = = = 5 = 5.6 = 0 = 0 = 0 = 0.Στο πρώτο μέλος η παράσταση είναι ανάπτυγμα τετραγώνου.. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κατόπιν βρίσκουμε το πηλίκο των ριζών Στο πρώτο μέλος βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κατόπιν βρίσκουμε το γινόμενο των ριζών.
11 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ = ± = 5. ( ) + 007( ) ( )( + 007) 44 = 0 = 007 αδύνατη = 44 = ± = 0 = 0 = 0 ή = Μετά τις παραπάνω εργασίες συμπληρώνουμε τον πίνακα όπως φαίνεται παρακάτω Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέρος τον ακέραιο και χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Η θετική ρίζα είναι το. 5. Στο πρώτο μέλος βγάζουμε κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
12 80 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου Τύπος λύσεων εξίσωσης δευτέρου βαθμού Έστω η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0.Για να βρούμε τις λύσεις της εξίσωσης αυτής όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιούμε την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου.εδώ θα εφαρμόσουμε την μέθοδο αυτή στην γενική της μορφή και θα βρούμε έναν τύπο με την βοήθεια του οποίου θα μπορούμε να λύσουμε κάθε τέτοια εξίσωση(αν έχει λύσεις). Εφαρμόζοντας την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου έχουμε διαδοχικά Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής του. α + β + γ = 0 4α.α + 4αβ + 4αγ = 0 Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος το σταθερό όρο 4α + 4αβ = 4αγ Στο πρώτο μέλος δημιουργούμε την παράσταση α +αβ ( α) + α.β = 4αγ ( α) + α.β + β = 4αγ + β Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β ( α + β) = β 4αγ Αν Δ = β 4αγ > 0 τότε α + β = ± Δ β ± Δ α = -β ± Δ = α έχει δύο ανισες λύσεις Αν Δ = β 4αγ = 0 τότε α + β = 0 β α = -β = έχει μία διπλή λύση α Αν Δ = β 4αγ < 0 τότε η εξίσωση α + β = ± Άρα είναι αδύνατη Δ δεν έχει λύση Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β Ορίζουμε το Δ=β -4αγ ως Διακρίνουσα Εξετάζουμε περιπτώσεις για το Δ ΤΥΠΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘ- ΜΟΥ Αν Δ=0 Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα Αν Δ<0 Η εξίσωση είναι αδύνατη
13 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 8 ΤΥΠΟΣ ΛΥΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Άρα οι λύσεις της εξίσωσης τύπο: α + β + γ = 0 με α 0δίνονται από τον Η παράσταση β ± β 4αγ = με β 4αγ > 0 α β 4αγ ονομάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης και συμβολίζεται με Δ δηλαδή Δ = β 4αγ. Συμπεραίνουμε ότι: β + β 4αγ = α Αν Δ > 0 η εξίσωση δύο άνισες λύσεις τις : β β 4αγ = α β Αν Δ = 0 η εξίσωση έχει μία λύση την = (διπλή ρίζα). α Αν Δ < 0 η εξίσωση δεν έχει λύση είναι δηλαδή αδύνατη. Παραγοντοποίηση τριωνύμου Αν ρ, ρ είναι οι λύσεις της εξίσωσης α +β+γ=0 με α 0, τότε το τριώνυμο α +β+γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο α +β+γ= α(-ρ )(-ρ ) Αν η λύση είναι διπλή, δηλαδή ρ =ρ =ρ τότε α +β+γ= α(-ρ) Για παράδειγμα, η εξίσωση 4-7+5=0 έχει λύσεις τις ρ = και Άρα το τριώνυμο γράφεται: = ( ) 5 ρ = 4
14 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης α + β + γ = 0 με α 0, τότε να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) τη σωστή α- πάντηση από τη στήλη (Β). Στήλη Α Στήλη Β α. Δ > 0 β. γ. δ. Δ = 0 Δ 0 Δ < 0. Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση. Η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις.. Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση. 4. Η εξίσωση δεν έχει λύση. α β γ δ 4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Αν μια εξίσωση ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική, τότε δεν έχει λύση. β) Αν μια εξίσωση ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική ή μηδέν, τότε έχει μία τουλάχιστον λύση. γ) Η εξίσωση = 0 έχει ως λύσεις τους αριθμούς και, τότε το τριώνυμο +4 6 γράφεται = ( )( + ). ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος (Λ), γιατί όταν έχει διακρίνουσα θετική τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις. β) Είναι σωστή (Σ),γιατί όταν έχει διακρίνουσα θετική ή μηδέν τότε αν η διακρίνουσα είναι μηδέν έχει μια λύση ή αν η διακρίνουσα είναι θετική τότε έχει δύο άνισες λύσεις άρα σε κάθε περίπτωση έχει μία τουλάχιστον λύση. γ) Είναι λάθος (Λ), γιατί το τριώνυμο γράφεται σύμφωνα με την α +β+γ= α(-ρ) δηλαδή = ( )( + ).. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι προτιμότερο να λυθούν με τη βοήθεια του τύπου α) =7 β) +8 = 0 γ) +50 = 0 δ) = 0. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η β και η δ, γιατί η α και η γ είναι ελλιπείς μορφές δευτεροβάθμιας και λύνονται με παραγοντοποίηση.
15 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 8 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να φέρετε τις εξισώσεις της πρώτης στήλης στη μορφή α + β +γ = 0 και να συμπληρώσετε τις υπόλοιπες στήλες του πίνακα. Εξίσωση α + β + γ = 0 α β γ ( ) = + 4 = ( + ) ( ) = ( ) ( ) = + 4 = = 0 = 0 ( ) = ( ) + = + = 0 Εξίσωση α + β + γ = 0 α β γ ( ) = + = = ( + ) =0 0 ( ) = ( ) +0+ =0-0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) = 0 β) 4y + y = 0 γ) ω + ω + 6 = 0 δ) z z + = 0 ε) 5t + 0t = 0 στ) = 0 ζ) = 0 η) 4 = 5 θ) + 7 = 0 α) = 0 Είναι α =, β = και γ = και Δ = β 4αγ = ( ) 4 ( ) = +8 = 9 β ± Δ ( ) ± 9 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = τις: α + 4 = = =, ή = = = β) 4y + y = 0 Είναι α = 4, β = + και γ = και Δ = β 4αγ = 4 4( ) = 9+6 = 5
16 84 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ β ± Δ ± 5 ± 5 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: y = = = τις: α y = = = ή y = = = γ) ω + ω + 6 = 0 Είναι α =, β = και γ = 6 και Δ = β 4αγ = 4 ( ) 6 = +48 = 49 β ± Δ ± 49 ± 7 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: ω = = = τις: α ω = = = ή ω = = = δ) z z + = 0 Είναι α =, β = και γ = και Δ = β 4αγ = ( ) 4 = 9 8 = β ± Δ ( ) ± ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: z = = = τις : α z = = = ή z = = = ε) 5t + 0t = 0 Είναι α = 5, β = 0 και γ = και Δ = β 4αγ = 0 4 ( 5) ( ) = = 0 β 0 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την t = = = α 50 5 στ) = 0 Είναι α = 4, β = και γ = 9 και Δ = β 4αγ = ( ) = = 0 β Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = = = = α 8 8 ζ) = 0 Είναι α =, β = 8 και γ = 7 και Δ = β 4αγ = = 4 4 = 0 β 8 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = = = α 6 η) 4 = 5 ή 4 5 = 0 Είναι α =, β = 4 και γ = 5 και Δ = β 4αγ = ( 4) 4 ( 5) = 6+0 = 6 β ± Δ ( 4) ± 6 4 ± 6 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = ή α
17 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ = = = 5 ή = = = θ) + 7 = 0 Είναι α =, β = και γ = 7 και Δ = β 4αγ = ( ) 4 7 = 9 8 = 9 Η εξίσωση είναι αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 = 0 β) 6 = 0 ί) με τη βοήθεια του τύπου. ii) Με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. ί) με τη βοήθεια του τύπου. α) 7 = 0 Είναι α =, β = 7 και γ = 0 και Δ = β 4αγ = ( 7) 4 0 = 49 0 = 49 β ± Δ ( 7) ± 49 7 ± 7 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = η : α = = = 7 ή = = = 0 β) 6 = 0 Είναι α =, β = 0 και γ = 6 και Δ = β 4αγ = 0 4 (-6) = 0+64 = 64 β ± Δ 0 ± 64 ± 8 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = ή α 8 8 = = 4 ή = = 4 ii) Με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. α) 7 = 0 ( 7) = 0 και έχουμε : = 0 ή 7 = 0 δηλ. =7 β) 6 = 0 ( 4)(+4) = 0 και έχουμε : 4 = 0 ή +4 = 0 = 4 ή = 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( ) = + β) (y + ) + (y ) = 5 (y + ) γ) (ω ) (ω ) = ω δ) φ(8 φ) (φ + )(φ + ) =
18 86 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ α) ( ) = + + = =0 Είναι α =, β = 4 και γ = και Δ = β 4αγ = ( 4) 4 = 6 = 4 β ± Δ ( 4) ± 4 4 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = ή α = = = ή = = = β) (y + ) + (y ) = 5 (y + ) y +4y +4 +y y + = 0y +5 y +4y +4 +y y + 0y 5 = 0 y 8y 0 = 0 Είναι α =, β = 8 και γ = 0 και Δ = β 4αγ = ( 8) 4 ( 0) = = 44 β ± Δ ( 8) ± 44 8 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: y = = = ή : α y = = = 5 ή y = = γ) (ω ) (ω ) = ω 4ω ω +9 (ω 4ω +4) ω + = 0 4ω ω +9 ω + 4ω 4 ω + = 0 ω 8ω +6 = 0 (ω 4) = 0 ω 4 = 0 ή ω = 4 διπλή λύση. δ) φ(8 φ) (φ + )(φ + ) = 8φ φ (φ +6φ +φ +) = 8φ φ φ 6φ φ = 0 4φ +φ = 0 Είναι α = 4, β = και γ = και Δ = β 4αγ = 4 ( 4) ( ) = 48 = 47 Η εξίσωση είναι αδύνατη.
19 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 87 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λύσετε τις εξισώσεις + y 6y+ y α) = β) = γ) 0,5t 0,4(t + ) = 0,7(t ) ω δ) ( ω 7) = α) Επειδή το Ε.Κ.Π. είναι το 5 έχουμε : = 5( ) 5 5( ) (+) = = = 0 Είναι α = 5, β = 8 και γ = 6 και Δ = β 4αγ = ( 8) = =4 0 = 4 β ± Δ ( 8) ± 4 8 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = α = = = ή = = = β) Επειδή το Ε.Κ.Π. είναι το έχουμε : y 6y + y = 4 6 4y (6y+) = (y ) 4 4y 8y = y 4 4 4y 8y y = 0 4y 0y + 5 = 0 ή (y 5) = 0 ή y 5 = 0 ή y = 5 ή y = 5 (διπλή) γ) Για να έχουμε ακεραίους συντελεστές πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί 0 και έχουμε. 0 0,5t 0 0,4(t + ) = 0 0,7(t ) 5t 4(t + ) = 7(t ) 5t 4t 8 = 7t 4 5t 4t 8 7t +4 = 0 5t t +6 = 0 ή :
20 88 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Είναι α = 5, β = και γ = 6 και Δ = β 4αγ = ( ) = 0 = β ± Δ ( ) ± ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: t = = =, t = = = ή t = = = δ) Πολλαπλασιάζουμε επί τα μέλη της εξίσωσης και έχουμε : ω ( ω 7) = ω( ω 7) = ω 7ω + = 0 Είναι α =, β = 7, γ = και Δ = β 4αγ = ( 7) 4 = 49 4 = 5 β ± Δ ( 7) ± 5 7 ± 5 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: ω = = = α άρα, α ω = = = = = = ή ( ) ω = 7 5 = = ΑΣΚΗΣΗ 6 = ( ) = Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα α) + 4 β) y 8y + 5 γ) ω +5ω δ) ε) 9y + y + 4 στ) ω + 0ω 5 α) + 4. Επιλύουμε την εξίσωση + 4 = 0. Είναι α =, β = 4, γ = και Δ = β 4αγ = 4 4 ( )= 6+48 = 64 4 ± 8 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, = = = ή = = = 6. Επομένως : + 4 = ( )( + 6) β) y 8y + 5. Επιλύουμε την εξίσωση y 8y + 5 =
21 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 89 Είναι α =, β = 8, γ = 5 και Δ = β 4αγ = ( 8) 4 5= = 4 β ± Δ ( 8) ± 8 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = = άρα, α y = = =, y = = = Επομένως : y 8y + 5 = (y 5 )(y ) = (y 5)(y ). γ) ω +5ω. Επιλύουμε την εξίσωση ω +5ω = 0. Είναι α =, β = 5, γ = και Δ = β 4αγ = 5 4 ( ) ( ) = 5 4 = β ± Δ 5 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: ω = = = α ω = = = ή ω = = = ± 4 Επομένως : ω +5ω = (ω )(ω + ) = ( ω)(ω +). δ) Επιλύουμε την εξίσωση = 0. Είναι α =, β = 6, γ = 64 και Δ = β 4αγ = ( 6) 4 64 = = 0 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = β α 6 = = 8 άρα Επομένως : = ( 8). ε) 9y + y + 4. Επιλύουμε την εξίσωση 9y + y + 4 = 0. Είναι α = 9, β =, γ = 4 και Δ = β 4αγ = = = 0 β Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την = = = α 8 Επομένως : 9y + y + 4 = 9[y ( )] = (y+ ) = (y + ) στ) ω + 0ω 5. Επιλύουμε την εξίσωση ω + 0ω 5 = 0 Είναι α =, β = 0, γ = 5 και Δ = β 4αγ = 0 4 ( ) ( 5) = = 0 Η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή την ω = Επομένως : ω + 0ω 5 = (ω 5). β α 0 = = 5
22 90 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν α, β πραγματικοί αριθμοί με α 0, να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση α) α + α = 0 και β) α + (α + β) + β = 0 α) α + α = 0 Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : ( ) 4α ( α) = 4α + 4α = = (α ) 0 επομένως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση β) α + (α + β) + β = 0 Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: (α+β) 4αβ = α +αβ +β 4αβ = = α αβ +β = (α β) 0 επομένως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η εξίσωση (α + γ) β + (α γ) = 0,όπου α, β, γ μήκη πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Επειδή η εξίσωση (α + γ) β + (α γ) = 0 έχει μία ρίζα διπλή η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ίση με μηδέν. Άρα Δ = (β) 4(α+γ)( α γ) = 0 ή 4β 4(α γ ) = 0 ή 4β = 4(α γ ) ή β = (α γ ) ή β = α γ ή β +γ = α Επομένως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο αφού για τα μήκη των πλευρών ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Αν μια ρίζα της εξίσωσης + α - 4 = 0 είναι το, ποια είναι η άλλη ρίζα της; Εφόσον το είναι ρίζα της εξίσωσης έχουμε ότι + α - 4 = α - 4 = 0 α = 0 α = 0 Άρα η εξίσωση είναι η - 4 = 0 οπότε = 4 = ± 4 = ± Επομένως η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι η -.. Να λύσετε την εξίσωση 4 + α + 9 = 0 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με την εξίσωση +=0.
23 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 9 Έχουμε + = 0 = =. Εφόσον αυτή η λύση είναι και λύση της εξίσωσης 4 + α + 9 = 0 θα έ- χουμε: 4 + α = 0 4. α + 9 = 0 4 α + 9 = 0 0 = α α = 0 Άρα η εξίσωση είναι = 0 Είναι α = 4, β = 0, γ = 9 και Δ = β 4αγ = = = 56 β ± Δ 0 ±6 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, α = = = ή = = = Η κρυμμένη φράση Για να σχηματίσετε το πρώτο μέρος της φράσης, αντικαταστήστε κάθε σύμβολο με το γράμμα της αλφαβήτου που αντιστοιχεί στον αριθμό που βρήκατε (π.χ Α, Β,., 4 Ω). Η λύση της εξίσωσης + =. Το άθροισμα των λύσεων της εξίσωσης = 0. Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης ( ) = 5. Η διαφορά των λύσεων της εξίσωσης = 0. Η μικρότερη λύση της εξίσωσης ( 8) = 7. Λύση της εξίσωσης μικρότερη του 5 ( ) = Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης + = 0. Η λύση της εξίσωσης + = είναι: + = + = 0 = 0 = διπλή Και η αντιστοιχία του γράμματος της αλφαβήτου είναι Α. ( ) ρίζα
24 9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το άθροισμα των λύσεων της εξίσωσης = 0 είναι: Είναι α =, β = -8, γ = 7 και Δ = β 4αγ = (-8) 4 7= 64-8 = 6 β ± Δ 8 ± 6 H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, α = = = 7 ή = = =. άρα + = 7 + = 8και η αντιστοιχία του γράμματος της αλφαβήτου είναι 8 Θ. Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης ( ) = 5 είναι: ( ) = 5 = ± 5 = ± 5 = 7 ή = άρα η μεγαλύτερη ρίζα είναι το 7 Η. Η διαφορά των λύσεων της εξίσωσης = 0 είναι: Είναι α =, β = -7, γ = 0 και Δ = β 4αγ = (-7) 4 0= 89-0=69 β ± Δ 7 ± H εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: = = άρα, α = = = 5 ή = = =. Επομένως η διαφορά των λύσεων της εξίσωσης είναι 5-= Ν. Η μικρότερη λύση της εξίσωσης ( 8) = 7 είναι: ( 8) = 7 ( 8) = 6 8 = ± 6 = 4 ή = είναι το. Λύση της εξίσωσης ( ) = + 4 μικρότερη του 5 είναι: ( ) = = 0 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 ή = 6 είναι το 0 9 Η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης + = 0 είναι: 9 + = = 0 = 4 ή = είναι το 4. Επομένως η κρυμμένη φράση είναι όπως φαίνεται παρακάτω ΑΘΗΝΑ 004 Α θ Η Ν Α 0 0 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΌταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
Διαβάστε περισσότερα1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.
ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a
Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
Διαβάστε περισσότερααπλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,
ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΔ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ. Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου 2016 ΒΑΘΜΟΥ w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους είναι
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΚάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότερα( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι
Διαβάστε περισσότεραΠαραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
0 Παραγοντοποίηση Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ενότητα 4 η Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Σκοπός Ο σκοπός της 4 η ενότητας είναι να αποκτήσουν την ικανότητα
Διαβάστε περισσότεραεξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Διαβάστε περισσότεραΙγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραα έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότερα4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότερα2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα
ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,
Διαβάστε περισσότερα4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της εξίσωσης:
Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού
Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΜ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότερα4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ
ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0
3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;
EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΝα αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά
Διαβάστε περισσότεραAπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΚ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-
3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη
Διαβάστε περισσότερα2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0
1 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση 1 ου βαθµού µε άγνωστο x Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή αx + β = 0. Tο x είναι ο άγνωστος, το α ο συντελεστής του αγνώστου και το β ο σταθερός
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι
Διαβάστε περισσότερα1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις 1/2/2015 Απαντήσεις
ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις //05 Απαντήσεις.Α) Σχολικό βιβλίο : σελίδα 90.Β) α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ.Γ) α) ii β) iii γ) ii δ) v ΘΕΜΑ ο.α) α) β) 3 3 3 : : : 8 4 4
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότερα5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D.
Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 77 τ/8 Αλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αντώνης Κυριακόπουλος - Θανάσης Μαλαφέκας Επιμέλεια: Χρήστος Λαζαρίδης, Χρήστος Τσιφάκης Στα επόμενα, με D θα συμβολίζουμε το σύνολο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΑνισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις
1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y
Διαβάστε περισσότερα