με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,

Transcript

1 Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών στις Συναρτήσεις και τα Όρια 9-5 Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε η gof είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα,, τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο. γ) Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε δεν υπάρχει η αντίστροφή της. δ) Αν μια συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα, τότε και το πεδίο ορισμού της είναι κλειστό διάστημα. f για κάθε, τότε η ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. στ)αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f ζ)αν f για κάθε κοντά στο και υπάρχει το όριο lim f τότε lim f. η)αν lim f lim g για κάθε,,,τότε f g f lim τότε g,,. θ) Αν lim f. ι)αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα,.,τότε lim f., με f f,τότε για κάθε f για κάθε κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και η εξίσωση f έχει μία μόνο ρίζα στο,, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο,. μ)η σύνθεση δύο περιττών συναρτήσεων f,g : είναι άρτια συνάρτηση. ν) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο. ξ)η συνάρτηση f είναι - στο πεδίο ορισμού της, αν και μόνο αν για κάθε, Af με είναι f f. μ,55 Θέμα Β Έστω η συνάρτηση f,, για την οποία ισχύει ότι: f f για κάθε. α) Να δείξετε ότι. μ 6 β) Να δείξετε ότι η fαντιστρέφεται και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι f f για κάθε. μ 5 e γ) Να λύσετε την εξίσωση: f f f. μ 7 e δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. μ 7

2 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f,, με lim f 7. α) Να δείξετε ότι 3 και. μ β) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε γ) Έστω συνάρτηση gορισμένη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε. f 6 8. μ 5 f g 5 i.να δείξετε ότι g. μ 4 ii.να δείξετε ότι η gείναι γνησίως φθίνουσα. μ 5 lim g g. μ 4,5 iii.να δείξετε ότι iv.να λύσετε την ανίσωση Θέμα Δ 3. μ 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f e f για κάθε και f. α) Να δείξετε ότι f e. μ 6 e β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός για τον οποίο ισχύει ότι: e e. μ 6 Έστω επιπλέον συνάρτηση g : για την οποία ισχύει ότι για κάθε. γ) Να δείξετε ότι g δ) Να υπολογίσετε τα όρια: g i. lim ii. lim g g e e g. μ 5 iii. lim g μ Καλή επιτυχία! Στέλιος Μιχαήλογλου

3 Λύσεις

4 Θέμα Α α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ, στ) Σ, ζ) Λ, η) Σ, θ) Λ, ι) Λ, κ) Σ, λ) Λ, μ) Λ, ν) Λ, ξ) Λ Θέμα Β A f α) () f Af 4 4 Αν, τότε 4, οπότε η σχέση f f δεν ισχύει για κάθε. Αν, τότε από την () έχουμε:, άρα f f. Τότε 4 ύ 4 f και f f f f β) Έστω, f f, τότε άρα η f είναι και αντιστρέφεται. f y y y y y y y y (). Αν y, τότε η () γίνεται 4 και είναι αδύνατη. Αν, τότε και πάλι η () είναι αδύνατη. με y Αν y τότε y f f, γ) Επειδή δηλαδή f f για κάθε y f y, y, άρα y, είναι f f με. e f f f f f e e f f e e e (3) με e ln ln. h e,. Έστω Για κάθε, με είναι (4) και e e (5) Με πρόσθεση κατά μέλη των (4) και (5) έχουμε: e e e e h h h h 3 h h δεκτή.

5 4 4 4 f δ) Έστω τότε f f f, Έστω τότε f f f, Είναι lim f lim lim, lim f lim lim lim f lim και lim f lim η fείναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα Στο διάστημα, f lim f, lim f,. Στο διάστημα, η fείναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα. f A,, f lim f, lim f,.. Θέμα Γ α) Για κάθε είναι f f άρα και lim f lim 4 4 () 4 lim f lim lim lim Επειδή lim f 7 είναι 4 7 3, τότε από (). β) Για 3 και είναι f Έστω h 6 8 f h Έστω 3,,. Είναι 3,, δηλαδή πολυωνυμική, λόγω του θεωρήματος Bolzano, υπάρχει, h και επειδή η φ είναι συνεχής ως τέτοιο, ώστε f 6 8. γ) i. f g 5 g 5 5 g

6 f f ii. f f Είναι,, άρα, και επειδή είναι f f f f f. iii. lim g g lim lim lim lim iv. g 3 3 g g 3 3. Θέμα Δ α) Επειδή e είναι h f πρόσημο. Επειδή h f, είναι h f e f e. f e f f f e f e () και επειδή η hείναι συνεχής, διατηρεί σταθερό β)έστω, με, τότε e e και e e f f f[ f. για κάθε, οπότε η () γίνεται: e f e e e f f f f f f. Είναι lim f lim e και lim f lim e Η fέχει σύνολο τιμών το f A lim f, lim f Επειδή f A υπάρχει μοναδικό.. τέτοιο, ώστε f. g g γ) e e g e g e f g f g. δ)i. g lim lim lim γιατί για κάθε, είναι

7 και από Κ.Π είναι lim. u u ii. lim g lim lim u lim. u u u u u u iii. lim lim g lim αφού lim και γιατί lim και για κάθε,,