f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

Transcript

1 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() 0 έχει τρεις ακριβώς πραγματικές ρίζες. γ) Αν, είναι οι θέσεις τοπικών ακροτάτων και είναι η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σημεία y. A,f( ), B,f ( ),,f( ) βρίσκονται στην ευθεία δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική y. παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία 007Πανελλήνιες Εξετάσεις Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση Συμπέρασμα Μελέτη τ. ακρότατων και σημείων καμπής. Παραγώγισηπολυωνυμικ ής συνάρτησης έλεγχος προσήμου η ς και η ς παραγώγου. Συμπέρασμα Μελέτη για το ακριβές πλήθος ριζών συνεχούς Συμπέρασμα Επαλήθευση σημείων γνωστής ευθείας. Συμπέρασμα 4 Υπολογισμός εμβαδού ορισμένου από δύο γραφικές παραστάσεις. Σύνολο τιμών συνεχούς Θεωρήματα Bolzano, Ενδιαμέσων Τιμών & συνέπειες. Έλεγχος προσήμου συνεχούς συναρτήσεως. Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με f '(). Η συνάρτηση f ' είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με f ''() 6. Τότε f '() 0 0 ή f ''() Από τον πίνακα μεταβολών της f προκύπτει:

2 Τοπικό μέγιστο στο σημείο A, 0,. Τοπικό ελάχιστο στο σημείο, β) Έχουμε. Σημείο καμπής στο σημείο lim f () lim lim. Άρα για το διάστημα A, γνησίως αύξουσα ισχύει Επειδή 0 f A Ομοίως για το διάστημα A, επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και f A,. υπάρχει μοναδικό A τέτοιο ώστε f ( ) 0. επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα ισχύει Επειδή 0 f A f A,. υπάρχει μοναδικό A τέτοιο ώστε f ( ) 0. lim f () lim lim. Τέλος έχουμε Άρα για το διάστημα A, γνησίως αύξουσα ισχύει Επειδή 0 f A επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και f A,. υπάρχει μοναδικό A τέτοιο ώστε f ( ) 0. Συνεπώς η εξίσωση f () 0 έχει ακριβώς τρεις ρίζες στο R. γ) Αρκεί να δείξω ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ επαληθεύουν την εξίσωση y. A : y ya B : y yb : y 0 y Για δ) Για g() έχουμε: f () g() d d d Από τον πίνακα μεταβολής προσήμου προκύπτει: d d d

3 ln, 0 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(). 0, 0 α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0. β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α. δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει f '( ) f( ) f() για κάθε Πανελλήνιες Εξετάσεις Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση Συμπέρασμα Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της. Κανόνας d l Hospital Συμπέρασμα Μελέτη μονοτονίας Παραγώγιση γινομ. συνάρτήσεων έλεγχος προσήμου η ς παραγώγου. Συμπέρασμα Σύνολο τιμών συνεχούς Συμπέρασμα 5 Απόδειξη ανισότητας με ΘΜΤ Μελέτη μονοτονίας της f Συμπέρασμα 4 Μελέτη για το ακριβές πλήθος ριζών εξίσωσης με διερεύνηση. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, ως γινόμενο συνεχών. ln Επίσης lim ln lim lim lim lim 0 f (0). 0 0 DLH Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,. β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως γινόμενο παραγωγίσιμων με f '() ln ' ln.

4 Τότε f '() 0 ln 0. Ο πίνακας μεταβολών φαίνεται παρακάτω: ) 0 ln 0 Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επίσης επειδή ά f ί ή 0, lim(ln) 0, και γνησίως αύξουσα στο ά f ά ά ί f 0,, lim f() γ) Για 0 έχουμε ln ln f () ά f ί. ί 0, f 0,,0 ά f ί ή 0, ά f ί. ύ, f,, ά f ί ή, Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ι) Αν τότε η εξίσωση f () δεν έχει λύσεις αφού f (A) ιι) Αν τότε η εξίσωση f () έχει μοναδική λύση αφού f () για κάθε 0,, και f

5 ιιι) Αν 0 τότε η εξίσωση f () έχει ακριβώς δύο λύσεις στο 0, αφού f 0,,0 άρα υπάρχει 0, : f και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, η λύση είναι μοναδική. Ομοίως f,,0 άρα υπάρχει, :f και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, η λύση είναι μοναδική. ιν) Αν 0 0, αφού τότε η εξίσωση f () έχει μοναδική λύση στο άρα υπάρχει, : f,. f, 0, αύξουσα στο και η f είναι γνησίως f ή,, 0 δ) f ί, f ( ) f () υπάρχει, : f ' f ( ) f () () Για 0 είναι f ''() 0 f ' f ' f ' () 0,. άρα η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο Τότε για Άρα () () f ( ) f () f '( )