Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
|
|
- Ευφρανωρ Ρόκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ) Αν f : A τότε για κάθε α, β πραγματικό με α=β θα ισχύει f(α)=f(β). ) Αν η f περιττή και το ανήκει στο πεδίο ορισμού της τότε το f() μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. 3) Οι περιοδικές συναρτήσεις δεν παρουσιάζουν ολικά ακρότατα. 4) Αν f ().g() για κάθε πραγματικό τότε η f () ή g() για κάθε πραγματικό. 5) Αν f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το και ισχύει ότι f () g() τότε f () g() ή f () g() για κάθε πραγματικό. 6) Η συνάρτηση, f(), ή είναι και άρτια και περιττή. 7) Μια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι και περιττή και άρτια. 8) Αν η f δεν έχει ρίζες στο πεδίο ορισμού της τότε διατηρεί πρόσημο. 9) Αν μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R τότε δεν έχει ακρότατα. ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το [-,] τότε υπάρχει μοναδικό Α (Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f) για το οποίο ισχύει f( ). ) Αν για την συνάρτηση f: ισχύει ότι f() f( ) τότε η f είναι περιοδική. ) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια θα έχει υποχρεωτικά ή ελάχιστο ή μέγιστο. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 3) Αν δυο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν τον ίδιο τύπο. 4) Αν δυο συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο είναι ίσες.
2 ΣΥΝΘΕΣΗ 5) Αν η f g έχει πεδίο ορισμού το τότε υποχρεωτικά οι f, g έχουν πεδίο ορισμού το. 6) Ισχύει f g g f 7) Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g,h: ισχύει f (g h) f g f h. 8) Αν f() τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση g() ώστε f g () ημ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 9) Αν η f f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε υποχρεωτικά η f είναι γνησίως αύξουσα. ) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε δεν έχει ακρότατα. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα κατά διαστήματα τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. 3) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ] 4) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ]. 5) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ 6) Αν μια συνάρτηση είναι - τότε είναι γνησίως μονότονη. 7) Η συνάρτηση f ( ) ( )( ) είναι -. 8) Αν η f αντιστρέψιμη τότε f f f f. 9) Υπάρχει συνάρτηση άρτια με πεδίο ορισμού το που είναι γνησίως μονότονη 3) Αν δυο αντίστροφες συναρτήσεις έχουν κοινά σημεία τότε αυτά είναι πάνω στην ευθεία ψ=. 3) Υπάρχουν συναρτήσεις f,g: με την g να μην είναι - και η σύνθεσή τους f gείναι -. 3) Αν η f είναι περιττή και αντιστρέψιμη η αντίστροφη είναι περιττή. 33) Η αντίστροφη της συνάρτησης f (), είναι η f (). 34) Υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το που δεν είναι - και η f f είναι -.
3 35) Αν η f είναι συνεχής τότε και η f είναι συνεχής. ΟΡΙΑ 36) Για κάθε συνάρτηση f: ισχύει lim f () f( ) για κάθε. 37) Αν lim f () και g() κοντά στο τότε lim[f () g()]. 38) Το όριο αθροίσματος δυο συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων δυο συναρτήσεων. 39) Αν f () g() h() τότε δεν μπορεί να ισχύει το κριτήριο παρεμβολής. 4) Αν lim f () τότε lim ή. f () 4) Αν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης f είναι το a,,,τότε το lim f από τα α και β. εξαρτάται 4) Αν f :(, ) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε lim f (). 43) Ισχύει πάντα lim f () lim f (). 44) Αν υπάρχουν τα όρια lim f (), limg() και f()<g() κοντά στο τότε lim f () limg(). 45) Αν ημ lim τότε. 46) Ένα όριο είναι πάντα καλά ορισμένο. 47) Αν ένα όριο είναι καλά ορισμένο τότε αυτό υπάρχει. 48) Αν lim f () τότε lim f () ή lim f (). 49) Αν lim f () τότε lim f (). 5) To lim f () υπάρχει μόνον για D f. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 5) Υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο μη σταθερή που παίρνει μόνο ακέραιες τιμές. 5) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και δεν έχει ρίζες τότε διατηρεί πρόσημο. 3
4 53) Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. 54) Αν μια μη σταθερή συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα 55) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. 56) Το ΘΒ ισχύει ακόμη και αν η f είναι συνεχής στο (α,β) 57) Αν f,g συνεχείς στο, τότε η f g συνεχής στο. 58) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] τότε η f παίρνει μόνον τις τιμές μεταξύ του f(α) και f(β). 59) Ισχύει ότι 8ημ 8 6) Μια συνεχής συνάρτηση f μπορεί να αλλάζει πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. 6) Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο [α,β] τότε παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ f(α), f(β). 6) Η f () έχει ένα σημείο ασυνέχειας. 63) Αν μια συνάρτηση δεν έχει ρίζες στο τότε αυτή διατηρεί πρόσημο. 64) Κάθε συνάρτηση συνεχής στο έχει ακρότατα. 65) Η σύνθεση δυο ασυνεχών συναρτήσεων είναι ασυνεχής συνάρτηση. 66) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και συνεχής στο [α,γ] 67) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα πεπερασμένου μήκους τότε το γράφημά της γίνεται μονοκονδυλιά. 68) Αν η f () είναι συνεχής στο Α τότε και η f() συνεχής στο Α. 69) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε έχει και ολικό ma και ολικό min. 7) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε δεν έχει ολικά ακρότατα. 7) Αν η f () είναι συνεχής και η f() είναι συνεχής. 7) Αν ισχύει το θεώρημα Bolzano στο [α,β] τότε η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β). 73) Αν τύπου lim f() και f() για χ κοντά στο τότε το ( ) lim f() είναι απροσδιόριστη μορφή 4
5 Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ) Αν f : A τότε για κάθε α, β πραγματικό με α=β θα ισχύει f(α)=f(β). Αν f () ln το -= - όμως δεν ορίζεται το f(-). ) Αν η f περιττή και το ανήκει στο πεδίο ορισμού της τότε το f() μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Η f περιττή συνεπώς f ( ) f() f () f () άρα δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. 3) Οι περιοδικές συναρτήσεις δεν παρουσιάζουν ολικά ακρότατα. Η f()=ημ είναι περιοδική με περίοδο π και έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. 4) Αν f () g() για κάθε πραγματικό τότε η f () ή g() για κάθε πραγματικό.,, Αν f () και g() τότε f ()g() για κάθε πραγματικό και δεν είναι καμία,, από τις δυο μηδενική συνάρτηση. 5) Αν f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το και ισχύει ότι f() g() τότε f() g() ή f() g() για κάθε χ πραγματικό. g(), Αν f () τότε ισχύει ότι f () g(), για κάθε πραγματικό. g() και δεν ισχύει ότι: f () g() ή f () g(), 6) Η συνάρτηση f () είναι και άρτια και περιττή., ή Αν ήταν άρτια θα έπρεπε f ( ) f() άτοπο ενώ αν ήταν περιττή θα έπρεπε να ισχύει ότι: f ( ) f ( ) άτοπο
6 7) Μια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι και περιττή και άρτια. Η f()= για κάθε πραγματικό είναι και άρτια και περιττή αφού για κάθε πραγματικό το f f f. πραγματικός και 8) Αν η f δεν έχει ρίζες στο πεδίο ορισμού της τότε διατηρεί πρόσημο. Α. Η f() δεν έχει ρίζες και είναι f()< για χ< και f()> για χ>., Β. f () δεν έχει ρίζες και δεν διατηρεί πρόσημο., 9) Αν μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R τότε δεν έχει ακρότατα. H f()=ημ, έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το [-,] τότε υπάρχει μοναδικό Α (Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f) για το οποίο ισχύει f. Η συνάρτηση f()=ημ έχει ελάχιστο το - και όμως το - παρουσιάζεται σε κάθε π κπ, κ. ) Αν για την συνάρτηση f: ισχύει ότι f f τότε η f είναι περιοδική. Αληθές Για, το +, - έχω f f για το - έχω f f και άρα η f είναι περιοδική με περίοδο Τ= αφού για το + και το - ανήκουν στο πεδίο ορισμού της και ισχύει f f f. ) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια θα έχει υποχρεωτικά ή ελάχιστο ή μέγιστο. f ln είναι άρτια με σύνολο τιμών το άρα δεν έχει ακρότατα. Η συνάρτηση ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 3) Αν δυο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν τον ίδιο τύπο. 4 Αν f () και g() με πεδίο ορισμού Df Dg {,,} τότε αυτές έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και για κάθε Df Dg {,,} ισχύει f () g() άρα f=g και όμως δεν έχουν τον ίδιο τύπο. 4) Αν δυο συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο είναι ίσες. 6
7 Αν f () με πεδίο ορισμού το και g() με πεδίο ορισμού το (, ) που δεν είναι ίσες γιατί δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. ΣΥΝΘΕΣΗ 5) Αν η f g έχει πεδίο ορισμού το τότε υποχρεωτικά οι f, g έχουν πεδίο ορισμού το. Αν f(), με Df [,] και g() ημ, Dg τότε D fog {Dg : g() Df} και f g () συν με. 6) Ισχύει f g g f Αν f () και g() προφανώς δεν είναι ίσες. τότε f g () με και g f () με πραγματικό που 7) Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g,h : ισχύει f (g h) f g f h. f, g, h f g h f και Αν με πραγματικό τότε f g f h,. 8) Αν f() τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση g() ώστε f g () ημ. Είναι f g () ημ f g () g () τότε και g () ημχ g () συν, A g() συν. Άπειρες συναρτήσεις g() όπου Α, Β υποσύνολα του χωρίς συν, B κοινά στοιχεία. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 9) Αν η f f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε υποχρεωτικά η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε για κάθε, με f f f f f ( ) f ( ) f f δηλαδή η f f είναι γνησίως αύξουσα και η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. ) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. f ημ δεν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της όμως δεν είναι ούτε γνησίως H φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε δεν έχει ακρότατα. π H f ημ,, έχει μέγιστο το και ελάχιστο το. 7
8 ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα κατά διαστήματα τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) και στο (, ) όμως -< και f(-)<f() οπότε δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. 3) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ] Αληθές Για κάθε f f, [α,β] με f f f f Για κάθε, [β,γ] με Για [α,β], [β,γ] με, ισχύει β (Οι δυο ισότητες δεν f ( ) f ( ).Άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο [α,γ]. μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα) θα είναι 4) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και γνησίως αύξουσα στο [α,γ]., [,] Η f () είναι γνησίως αύξουσα στο [,] και στο(,3] όμως δεν είναι γνησίως, (,3] αύξουσα στο [,3] αφού <3 και f () f (3). 5) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα. f e είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ρίζα αφού e για κάθε πραγματικό. Η συνάρτηση ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ 6) Αν μια συνάρτηση είναι - τότε είναι γνησίως μονότονη., Α) Η συνάρτηση g() είναι αλλά δεν είναι, γνησίως μονότονη, y O y=g() Β) Η f()= είναι - και δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ενώ είναι κατά διαστήματα ) Η συνάρτηση f () ( )( ) είναι -. Είναι f()=f(-)= άρα δεν είναι -. 8) Αν η f αντιστρέψιμη τότε f f f f. 8
9 Αφού το πεδίο ορισμού της f f είναι το πεδίο ορισμού της f και το πεδίο ορισμού της f f είναι το σύνολο τιμών της f. 9) Υπάρχει συνάρτηση άρτια με πεδίο ορισμού το που είναι γνησίως μονότονη. Αφού είναι άρτια για το - f f άρα δεν είναι - άρα δεν είναι γνησίως μονότονη. και 3) Αν δυο αντίστροφες συναρτήσεις έχουν κοινά σημεία τότε αυτά είναι πάνω στην ευθεία y =. Η f () (διχοτόμος ου,4 ου τεταρτημορίου) η αντίστροφη της είναι η f () που κάθε σημείο (α,-α) με α είναι κοινό σημείο και δεν ανήκει στην y =. 3) Υπάρχουν συναρτήσεις f,g: με την g να μην είναι - και η σύνθεσή τους f gείναι -. Για κάθε, με g( ) g( ) f (g( )) f (g( )) άρα η g είναι -. 3) Αν η f είναι περιττή και αντιστρέψιμη η αντίστροφη είναι περιττή. Αληθής Έστω Α το πεδίο ορισμού της f, τότε αν ψ ανήκει στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης (σύνολο τιμών της f ) θα υπάρχει Α τέτοιο ώστε f()=y, όμως το ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και άρα το f(-)= - f()= - y άρα το y ανήκει στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης και f ( y) f ( f()) f (f( )) f (y) δηλαδή η είναι περιττή. f 33) Η αντίστροφη της συνάρτησης f (), είναι η f (). Α. Για ψ=f() έχουμε ψ= άρα η αντίστροφη της είναι η ψ= με,. Β. Το σημείο (,) είναι σημείο της C f όμως το (,) θα ανήκει και στην την f (). f που όμως δεν επαληθεύει 34) Υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το που δεν είναι - και η f f είναι -. Για κάθε, με ff f ( ) f ( ) f (f ( )) f (f ( )) άρα η f είναι -. 35) Αν η f είναι συνεχής τότε και η f είναι συνεχής., Αν f () η f είναι συνεχής για < ως πολυωνυμική και για ως πολυωνυμική άρα,, είναι συνεχής. H f () όμως είναι ασυνεχής στο., (lim f () lim lim f () lim( ) ) 9
10 ΟΡΙΑ 36) Για κάθε συνάρτηση f: ισχύει lim f () f( ) για κάθε., Η f () είναι limf () f()., 37) Αν lim f () και g() κοντά στο τότε Αν f () και g() τότε limf() lim[f()g()] lim[f ()g()]. και g() κοντά στο και όμως 38) Το όριο αθροίσματος δυο συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων δυο συναρτήσεων. Αν f () και g() τότε lim[f () g()] lim ενώ το lim[f ()], lim[g()] δεν υπάρχουν αφού lim[f ()], lim[g()] και lim[f ()], lim[g()] 39) Αν f () g() h() τότε δεν μπορεί να ισχύει το κριτήριο παρεμβολής. Αφού αν f () g() h() τότε ισχύει και ότι f () g() h(). 4) Αν lim f () τότε Η f () είναι lim ή. f () limf() όμως το lim δεν είναι καλά ορισμένο. f () 4) Αν το πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης f είναι το a,,,τότε το lim f εξαρτάται από τα α και β. Aν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης f () στο, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (,) (,) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή ( ) f (). Επομένως, το ζητούμενο όριο είναι limf (). 4) Αν f :(, ) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε lim f ().
11 Η f (), είναι γνησίως αύξουσα και lim f (). 43) Ισχύει πάντα, Αν f (), ορίζεται το limf (). lim f () lim f (). τότε f () και lim f () και το lim f () lim f () οπότε δεν 44) Αν υπάρχουν τα όρια lim f (), limg() και f()<g() κοντά στο τότε lim f () limg(). Αν f () και g() τότε κοντά στο μηδέν είναι f()<g() και όμως limf () limg(). ημ 45) Αν lim τότε. ημ Το lim. π 46) Ένα όριο είναι πάντα καλά ορισμένο. Το lim δεν είναι καλά ορισμένο αφού η f () δεν ορίζεται για αρνητικές τιμές του (κοντά στον - ) 47) Αν ένα όριο είναι καλά ορισμένο τότε αυτό υπάρχει., Αν f (),τότε lim f ενώ είναι καλά ορισμένο δεν υπάρχει, lim f () lim f () 48) Αν lim f () τότε lim f () ή lim f ()., Αν f (), οπότε δεν υπάρχει το τότε f () άρα lim f (). lim f () τότε lim f (), lim f () 49) Αν lim f () τότε lim f (). Αληθής Αφού - f () f () f () και από κριτήριο παρεμβολής το lim f ().
12 5) To lim f () υπάρχει μόνον για Df. Ορίζεται το όριο αν η f ορίζεται κοντά στο. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 5) Υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο μη σταθερή που παίρνει μόνο ακέραιες τιμές. Γιατί αν έπαιρνε δυο διαφορετικές ακέραιες τιμές, επειδή είναι συνεχής, θα έπαιρνε από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, όλες τις τιμές μεταξύ των δυο ακεραίων άρα και μη ακέραιες τιμές. 5) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και δεν έχει ρίζες τότε διατηρεί πρόσημο. Η f () είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και είναι για < το f()< και για > το f()> δηλαδή διατηρεί πρόσημο και δεν έχει ρίζες. 53) Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. Η f () 5 με πεδίο ορισμού το [,] έχει σύνολο τιμών το μονοσύνολο {5}. 54) Αν μια μη σταθερή συνεχής συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα. Σωστό Από θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 55) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [α,β] τότε η f έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα., [, ) Αν f () τότε το σύνολο τιμών της είναι το [,)., [,3] 56) Το ΘΒ ισχύει ακόμη και αν η f είναι συνεχής στο (α,β). 5, (,] Αν f () συνεχής στο (,) ως σταθερή με f ()f () 5 και προφανώς δεν έχει 3, ρίζες. 57) Αν f,g συνεχείς στο, τότε η f g συνεχής στο.
13 Οι συναρτήσεις f () και g() με πεδίο ορισμού το (,+ ) και αντίστοιχα είναι συνεχείς στο ενώ η f g () δεν ορίζεται στο οπότε δεν μπορεί να πούμε ότι είναι συνεχής στο. 58) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] τότε η f παίρνει μόνον τις τιμές μεταξύ του f(α) και f(β). Η f () είναι συνεχής στο [-,] με f(-)= και f()=4 και το f()= που δεν βρίσκεται μεταξύ των f(-) και f(). 59) Ισχύει ότι 8ημ 8 Σωστό 8ημ 8 ημ που ισχύει γιατί ισχύει ότι ημχ χ η ισότητα μόνον για χ= 8 8 οπότε για = 8 έχουμε ημ ημ ) Μια συνεχής συνάρτηση f μπορεί να αλλάζει πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Αν α, β δυο διαδοχικές ρίζες με α < β και αλλάζει πρόσημο στα κ, λ (α,β) με κ < λ τότε στο [κ,λ] ισχύει το θεώρημα Bolzano (συνεχής στο [κ,λ] και f(κ)f(λ) < ) άρα θα έχει ρίζα στο (κ,λ) (α,β) άτοπο. 6) Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο [α,β] τότε παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ f(α), f(β)., [,) H f (), ορίζεται στο [,3] και δεν παίρνει τιμές μεταξύ f()= και f(3)=., [,3] 6) Η f () έχει ένα σημείο ασυνέχειας. Αφού η f είναι συνεχής ως ρητή (στο πεδίο ορισμού της). 63) Αν μια συνάρτηση δεν έχει ρίζες στο τότε αυτή διατηρεί πρόσημο., Αν f () αυτή δεν έχει ρίζες και όμως δεν διατηρεί πρόσημο., 64) Κάθε συνάρτηση συνεχής στο έχει ακρότατα. 3
14 Η f () είναι συνεχής στο και ως γνησίως αύξουσα δεν έχει ακρότατα. 65) Η σύνθεση δυο ασυνεχών συναρτήσεων είναι ασυνεχής συνάρτηση.,, Αν f () και g() τότε (f g)(), και ενώ οι f,g δεν είναι συνεχείς,, στο η f gείναι συνεχής. 66) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και στο (β,γ] τότε αυτή είναι και συνεχής στο [α,γ], [,] Η f () είναι συνεχής στο [,] [συνεχής στο (,) και lim f () f () και, (,3] lim f () f () ] συνεχής στο(,3] όμως δεν είναι συνεχής στο [,3] αφού δεν είναι συνεχής στο γιατί lim f () f () lim f (). 67) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα πεπερασμένου μήκους τότε το γράφημά της γίνεται μονοκονδυλιά. Η f () με πεδίο ορισμού το [-,) (,] που είναι συνεχής σε διάστημα με πεπερασμένο πλάτος που όμως η γραφική παράστασή της διακόπτεται στο. 68) Αν η f () είναι συνεχής στο Α τότε και η f() συνεχής στο Α., Αν f () τότε f () άρα lim f () = f ( ) τότε, συνεπώς η f δεν είναι συνεχής στο. lim f (), lim f () και 69) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε έχει και ολικό ma και ολικό min. Αν f (), (,) ως γνησίως αύξουσα δεν έχει ακρότατα. 7) Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) τότε δεν έχει ολικά ακρότατα. Η f(), (,) που είναι συνεχής στο, σαν πολυωνυμική και έχει ελάχιστο στο το μηδέν. 7) Αν η f () είναι συνεχής και η f() είναι συνεχής. 4
15 , Αν f () τότε f () άρα, συνεπώς η f δεν είναι συνεχής στο. lim f () = f () και lim f () lim f (), 7) Αν ισχύει το θεώρημα Bolzano στο [α,β] τότε η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β). π π Για τη συνάρτηση f()=ημ με πεδίο ορισμού το,π 6 6 ισχύει το θεώρημα Bolzano και έχει ρίζες το,π,π περισσότερες από μία. 73) Αν lim f () και f () για χ κοντά στο τότε το lim είναι απροσδιόριστη μορφή f () τύπου ( ). Για κοντά στο είναι f () άρα lim. f () 5
1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα:
1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. 3 017 f(), D { 1,0,1} και g() D { 1,0,1} f f έχουμε D D και f( 1) g( 1), f(0) g(0), f(1) g(1) g Άρα f()=g() για Df =Dg
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Πες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
lim f ( x ) 0 gof x x για κάθε x., τότε
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι «-» στο πεδίο ορισμού της Α (Μονάδες7)
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 13 Ιανουαρίου 18 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Απόδειξη
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους
Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους 8-9 Θέμα Α Α Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει
Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0
Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους
ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Α4. δ. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1. g x. και. f x g x έχουμε: Για την συνάρτηση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΎΛΗ: Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνάρτησης ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Οκτωβρίου 07 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 5 (Μονάδες 5) Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα
Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x
8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να
Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >
Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις
wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Σάββατο 11 Νοεμβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Σάββατο Νοεμβρίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο
[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]
Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία των πανελλαδικών εξετάσεων [] [] Ορισμοί ) Πότε
1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0
ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z
5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε
Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x
Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει
Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
f (x o ) g (x o ) = 0 f (x o ) = g (x o ).
Ερωτήσεις κατανόησης κεφ. σελίδων 95-99 Ι Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώστε το γράµµα, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής και το γράµµα, αν ο ισχυρισµός είναι ψευδής αιτιολογώντας συγχρόνως
τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)
Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].
ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες
f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A2 Βλέπε Σχολικό βιβλίο
θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x
wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι
( ) 0, x 0. x 1, x Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( x ) = x. 3. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf(x)= π
Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ I. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ χ. Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ= οι συναρτήσεις: i) f()= ( ),, = ii)f()= -συνχ ημχ +, ημχ, = iii) f()= χ-- χ+, χ -, = iv) f()= ηµ 9χ ηµ 5 χ, χ 4, =
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι
ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ
Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών
Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων
f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 26: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό Βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό Βιβλίο σελ 141 Α Σχολικό Βιβλίο σελ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04--07 (ενδεικτικές λύσεις) ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 99 Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 3 Α3. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψ (ψευδής). β)