ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 9 Ιουνίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα. Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9. Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 8. Α.4 α) Λάθος β) Λάθος ΘΕΜΑ Β B. γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος Πεδίο ορισμού = (,5) ( 5,9] Σύνολο τιμών = (,5] B. α) lim f ( ) = β) lim f ( ) δεν υπάρχει διότι lim f = γ) 5 7 lim f = lim f =. lim f = lim f = 4. δ) lim f ( ) δεν υπάρχει διότι lim f =. ε) 9 7 7

2 B. α) lim f ( ) = Αν ( α,) f < οπότε lim f = () Αν (,β) f( ) > οπότε lim f = () (), () lim lim άρα δεν υπάρχει f f( ) β) lim f ( ) = και f( ) > στο ( α,) (,β) γ) ( ) B.4 θέτω f = u 8 8 u 5 u 5 lim f f = lim f u = = = = ενώ lim f f lim f = lim f άρα lim f Αφού lim f ( ) lim f ( ) δεν υπάρχει το lim f ( ) επομένως η f δεν είναι συνεχής στο = 7 lim f = ενώ lim f = Αφού lim f ( ) lim f ( ) δεν υπάρχει lim f ( ) 7 7 επομένως η f δεν είναι συνεχής στο 7 Β.5 = 4. 7 = Το = 4είναι εσωτερικό σημείο του (,5 ) στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο άρα λόγω Θεωρήματος Fermat f ( 4) =. Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9//

3 =. Το = είναι εσωτερικό σημείο του ( 5,7 ) στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο άρα λόγω Θεωρήματος Fermat f ( ) =. = 8. Το = 8 είναι εσωτερικό σημείο του ( 7,9 ) στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο άρα λόγω Θεωρήματος Fermat f ( 8) =. Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// ΘΕΜΑ Γ Γ. f( ) =, R Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( ) = Επιπλέον η f είναι συνεχής στο R,άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R επομένως οπότε αντιστρέφεται Βρίσκω την αντίστροφη y= = y y y y= = = < y y< y< < Άρα f ( y) Γ. y y < = y, y y, y ή συμβολικά f ( ) f ημ > f Πρέπει να δείξω ότι: g = ημ, Θεωρώ συνάρτηση < =,, > και θα βρω το πρόσημό της στο (, )

4 g ( ) = συν = = = Η g είναι παραγωγίσιμη με g ( ) = ημ παρατηρώ ότι g ( ) = ημ = () Η g είναι παραγωγίσιμη με g ( ) = συν Ισχύει g για κάθε. Παρατηρώ ότι g( ) = ημ = () οπότε πρέπει να συγκρίνω την g( ) με το g( ) παρατηρώ ότι g συν () Το «=» ισχύει για άπειρα της μορφής = κπ, κ που όμως δεν αποτελούν ενιαίο g, άρα η g είναι γνησίως διάστημα, η είναι συνεχής στο R άρα και στο [ ) αύξουσα στο [, ) οπότε στο παρουσιάζει ελάχιστο επομένως () g ( ) g ( ) g ( ) για κάθε μηδενίζεται μόνο για = άρα και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα άρα g ( ) > για κάθε > Επιπλέον g ( ) συνεχής στο [, ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) οπότε στο παρουσιάζει ελάχιστο επομένως () g ( ) g ( ) g ( ) για κάθε μηδενίζεται μόνο για = άρα g ( ) > για κάθε [, ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα, >, Επιπλέον η g είναι συνεχής στο () επομένως ισχύει g( ) g( ) g( ) για κάθε. Το «=» ισχύει μόνο για = άρα g( ) > για κάθε > ή >. Επειδή ημ, Df > για κάθε ημ ημ > > για κάθε R=, επιπλέον έδειξα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Χρησιμοποιώ τον ορισμό της μονοτονίας οπότε Για ημ > για κάθε f ημ > f > συμπεραίνω Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// 4

5 Γ. Το σημείο Μ με συντεταγμένες ( t ),y( t ) κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = άρα ισχύει y( t) = ( t) τότε Για t = t : y t = t y t = t t Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// = = y t t t t t t y t = t ( t ) = = = = ( t ) > t t () Επειδή y( t) = ( t) Για t t : = y( t ) ( t ) y( t ) t > () = = = = 9 Τελικά το ζητούμενο σημείο είναι το Μ Γ.4, 9 = = f g d g d g d g d () Στο ο ολοκλήρωμα θέτω = u = u, d = du Αν = τότε u = και αν = τότε u = Επιπλέον η g είναι άρτια άρα g( ) = g( ) Τότε : () = u g u du g d = u g u du g d = = u g u du g d = u g u du g d = = g du g d = 5

6 ΘΕΜΑ Δ Δ. ln, < < f ( ) = = ln, > Η f είναι συνεχής στο (, ) και στο (, ) ως πράξη βασικών συνεχών συναρτήσεων Ελέγχω την συνέχεια στο. ln lim f ( ) = lim () = = ln ln ln d ( ln ) lim f ( ) = lim = lim = = = () d f = () (),(),() lim f = lim f = f ο πότε η f είναι συνεχής και στο. Τελικά η f είναι συνεχής στο (, ) Ελέγχω αν έχει κατακόρυφη την = ln lim f ( ) = lim = ln διότι lim =, lim ln = άρα lim = lim ln = Επομένως η = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη δεξιά του. Δ. = Η f έχει πεδίο ορισμού το (, ) Στο (, ) παραγωγίζεται ως πράξη παραγωγίσιμων με ln ( ln ) ln ( ) ln f ( ) = = = ln f ( ) = > στο (, ) Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9//

7 διότι ln < στο (,) ln > στο (, ) οπότε ln > ως άθροισμα θετικών δηλαδή δεν υπάρχουν ρίζες της f ( ) = στο (,) Στο (, ) παραγωγίζεται ως πράξη παραγωγίσιμων με Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// ln ln ln f ( ) = = = = Ισχύει f ( ) < στο (, ) απόδειξη: ( )( ln ) ln ( ) Θέτω h( ) = ln, [, ) Παρατηρώ ότι h = () h ( ) = ( ln ) = ln < στο (, ), h συνεχής στο[, ) Οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) επομένως η h στο παρουσιάζει μέγιστο άρα ισχύει h h h( ) για κάθε [, ) και επειδή είναι γνησίως φθίνουσα άρα - ισχύει h( ) < για κάθε (, ) h( ) οπότε και f ( ) = < στο (, ) ( ) δηλαδή δεν υπάρχουν ρίζες της f ( ) = στο (, ) Ελέγχω αν παραγωγίζεται στο = Αν ( α,) ln f( ) f ln lim = lim = lim = () ln ln ln ln () lim = lim lim = = Διότι ln ln d ln lim = = = ( ) και lim = () d = 7

8 Αν (, β) ln f f ln lim = lim = lim = ( ) lim ln = lim = DLH ( ln ) = = lim = ln, παρ/μες στο,β (( ) ) ( ) = ( ) στο (, β) lim = lim = lim = (4) ( ) ( ) f( ) f f( ) f (),(4) lim lim οπότε το = είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f. Δ. i) Στο (, ) : άρα η f δεν παραγωγίζεται στο ln f = > ως πηλίκο θετικών συναρτήσεων (αφού ln > για >, > για > ) άρα f( ) στο (, ) f = Στο (, ) : ln f = ln f = > στο, (το έδειξα στο Δ), f συνεχής στο (, ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Στο Δ έδειξα ότι lim f ( ) = και fγν.αύξ. Άρα () lim f = f, = lim f, lim f =, Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// 8

9 οπότε το ανήκει στο f ((, )) άρα υπάρχει ρίζα της f( ) = στο (, ) έστω και είναι μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα άρα. ii) Έδειξα ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της f( ) = στο (, ) η, άρα η μόνο στο σημείο (, ) με (,) επιπλέον η f είναι συνεχής στο εμβαδόν είναι E = f d C f τέμνει τον, Το ζητούμενο Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9// Για (,) με δηλαδή f( ) > στο f γν.αύξ. f = f= < < f < f < f < f <, Τότε ln ln ( ln ) d d = [ ] = ln ln ln ( ) = ln ln E = f ( ) d = d = d d = () Όμως f ( ), (,) ln Τότε Δ.4 = άρα = ln = ln = E= = F = παράγουσα της f στο [, ) άρα παραγωγίσιμη στο [, ) με F ( ) = f( ) Θεωρώ τα διαστήματα [, ] και, [, ) και την συνάρτηση F. Η F είναι παραγωγίσιμη στο [, ) άρα είναι συνεχής στα [, ] και και παραγωγίσιμη στα, και (, ) οπότε ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την F σε κάθε διάστημα, 9

10 άρα υπάρχουν ξ (, ), ξ (, ) τέτοια ώστε F F( ) F F F ( ξ ) = (), F ( ξ ) = () ln F ( ) = f( ) = πρέπει να βρώ την μονοτονία της f ln f ( ) = < στο (, ) όπως το έδειξα στο Δ f συνεχής στο [, ) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) f γν.φθίν. () () < ξ < < ξ < f ξ > f ξ F ξ > F ξ F( ) F( ) F( ) F( ) F F F F > > F( ) > F > F( ) F > ( F( ) F ) > F( ) F( ) > > F( ) F F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F ( ) F( ) > F( ) F Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 9//