ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ NEWTON - LEIBNIZ. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥΣ. ΣΤΕΦΑΝΟΣ Ι. ΚΑΡΝΑΒΑΣ ΑΘΗΝΑ 2004

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος σελίδες 10 Βιογραφία και έργο του Newton σελίδες Ένα σοβαρό σιωπηλό αγόρι. 2. Ο µοναχικός φοιτητής. 3. Anni Mirabiles ( Τα θαυµαστά χρόνια ) 4. Λουκασιανός Καθηγητής 5. Εξέγερση 6. Τα χρόνια της σιωπής 7. Οι Αρχές 8. Η επανάσταση 9. Το Νοµισµατοκοπείο 10. Πρόεδρος της βασιλικής εταιρείας 11. Τα χρόνια της παρακµής 12. Τα έργα του Newton 13. Μερικές ιδιαιτερότητες του Newton Το έργο του Newton σελίδες 19 Leibniz Gottfried Wilhelm, βαρόνος, φον σελίδες 14 Η διαµάχη των Newton και Leibniz για τον λογισµό σελίδες Εισαγωγή 2. Οι ρίζες του λογισµού. 2.1 Το χρέος στους προκατόχους. 2.2 Ποιος πέτυχε πρώτος ; Ο Newton ή ο Leibniz ; 3. Leibniz : Οι κατηγορίες εναντίον του. 3.1 Η επίσκεψη του Leibniz το 1673 στο Λονδίνο. 3.2 Η αλληλογραφία του Leibniz µε τον Oldenburg. 3.3 H επίσκεψη του Leibniz το 1676 στο Λονδίνο. 3.4 Η σύνθεση όλων των στοιχείων : Οι κατηγορίες. 4. Οι ρίζες της διένεξης. 4.1 Η πρώτη δηµοσίευση του λογισµού του Leibniz το Η έναρξη της διαµάχης. 4.3 Το πρόβληµα της βραχυστόχρονης. 4.4 Η µεταβολή της γνώµης του Leibniz για τον Newton. 4.5 Η επίθεση του Keill εναντίον του Leibniz. 4.6 Η έκκληση του Leibniz για αποκατάσταση. 5. Συµπεράσµατα Μία σύγκριση των έργων των Newton και Leibniz σελίδες 2 Κριτική του έργου των Newton και Leibniz σελίδες 8 Βιβλιογραφία. σελίδες 1

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ιαφορικός λογισµός είναι θεωρία λογισµού, που ασχολείται µε ποσότητες που µεταβάλλονται στην αύξηση τους κατά απείρως µικρές διαφορές σε µερικά µεταβλητά µεγέθη. Ο λογισµός αυτός επιτρέπει να προσδιορίσουµε τις υπάρχουσες σχέσεις µεταξύ ορισµένων µεγεθών, σχέσεις τις οποίες δεν θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε µε άµεσο τρόπο, διότι τα δοσµένα και τα άγνωστα στοιχεία δεν έχουν σύµµετρη σχέση. Η ανάπτυξη και το περιεχόµενο του διαφορικού λογισµού συνδέονται στενά µε την ανάπτυξη και το περιεχόµενο του ολοκληρωτικού λογισµού, µαζί µε τον οποίο ο διαφορικός λογισµός αποτελεί βασικό τµήµα της µαθηµατικής ανάλυσης. Η κεντρική έννοια του διαφορικού λογισµού, η παράγωγος, προέκυψε από την εξέταση µεγάλου αριθµού προβληµάτων των φυσικών επιστηµών και της µαθηµατικής επιστήµης, που αναφέρονται στον υπολογισµό των ορίων του ίδιου τύπου. Τα σπουδαιότερα από αυτά είναι ο προσδιορισµός της ταχύτητας της ευθύγραµµης κίνησης και η κατασκευή εφαπτοµένης µίας επίπεδης καµπύλης. Έστω ότι ζητείται να καθορισθεί η ταχύτητα της ευθύγραµµης κίνησης ενός υλικού σηµείου : Αν η κίνηση είναι ισοταχής, τότε το διάστηµα που διανύθηκε από το σηµείο είναι ευθέως ανάλογο προς τον χρόνο της κίνησης. Η ταχύτητα αυτής της κίνησης µπορεί να ορισθεί σαν διάστηµα, που διανύθηκε στην µονάδα του χρόνου ή σαν το λόγο του διαστήµατος, που διανύθηκε σε κάποιο διάστηµα χρόνου, προς την χρονική διάρκεια αυτού του διαστήµατος. Αν όµως η κίνηση είναι ανισοταχής, τότε τα διαστήµατα που διανύθηκαν από το σηµείο σε ίσα στη διάρκεια τους διαστήµατα, θα είναι γενικώς διαφορετικά. Οι κύριες ιδέες οι οποίες υποστύλωσαν τον λογισµό, αναπτύσσονταν για µία µεγάλη χρονική περίοδο. Τα πρώτα βήµατα είχαν γίνει από τους Έλληνες µαθηµατικούς.για τους Έλληνες, οι αριθµοί ήταν λόγοι ακεραίων, έτσι η ευθεία των αριθµών είχε «τρύπες».παρέκαµψαν αυτή την δυσκολία χρησιµοποιώντας µήκη, εµβαδά και όγκους συµπληρωµατικά στους αριθµούς που για τους Έλληνες δεν ήταν όλα τα µήκη αριθµοί. Ο Ζήνων ο Ελεάτης, περίπου το 450 π. Χ., έδωσε στην δηµοσιότητα έναν αριθµό προβληµάτων τα οποία στηρίζονταν στο άπειρο. Για παράδειγµα υποστήριξε την άποψη ότι η κίνηση είναι αδύνατη : «Αν ένα σώµα κινείται από το Α στο Β, τότε πριν φτάσει στο Β, περνά διαµέσου του ενδιαµέσου σηµείου Β 1 του ΑΒ. Τώρα για να µετακινηθεί στο Β 1 πρέπει πρώτα να προσεγγίσει το ενδιάµεσο σηµείο Β 2 του Α Β 1. Συνεχίζοντας αυτό το επιχείρηµα βλέπει ότι το Α πρέπει να µετακινηθεί µέσω ενός άπειρου πλήθους αποστάσεων και άρα δεν µπορεί να µετακινηθεί». Η έννοια του συνεχούς αποτελούσε αντικείµενο προβληµατισµού και έρευνας ήδη από τα χρόνια της αρχαιότητας. Η ανακάλυψη των αρρήτων που ανέτρεψε την αρµονία ανάµεσα στην αριθµητική και στη γεωµετρία, σε συνδυασµό µε τα µετέπειτα παράδοξα που αποδίδονται στον Ζήνωνα τον Ελεάτη, σχετικά µε τις ατέρµονες διαδικασίες και µε τις αντιλήψεις για το «απείρως µικρό» και το «απείρως µεγάλο», υπήρξαν οι απαρχές - αφορµές για τη διερεύνηση της έννοιας του συνεχούς, ιδιαίτερα από τον Αριστοτέλη. Κατά τον µεσαίωνα, η µελέτη των έργων του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, από σχολαστικούς φιλοσόφους, συνδυαζόµενη µε θεωρητικές αναζητήσεις για τη φύση της

4 θεότητας, οδήγησε σε λεπτεπίλεπτες εικασίες για τη φύση της κίνησης, για το συνεχές και για το άπειρο. Οι Λύσιππος, ηµόκριτος και Αντιφών είχαν συνεισφορά στην ελληνική µέθοδο της εξάντλησης η οποία τοποθετήθηκε σε µία επιστηµονική βάση από τον Εύδοξο, περίπου το 370 π.χ.. Η µέθοδος της εξάντλησης καλείται έτσι διότι κάποιος σκέπτεται ότι τα εµβαδά µετρώνται επεκτείνοντας έτσι ώστε αυτά να υπολογίζονται για επιπλέον και επιπλέον του ζητούµενου εµβαδού. Ο Εύδοξος χρησιµοποιώντας την «µέθοδο της εξάντλησης» υπολόγισε τον όγκο του κώνου. Το όνοµα του Ζήνωνα, του Ευδόξου και του Αρχιµήδη 1 συνδέονται άµεσα µε την επινόηση «ατέρµονων διαδικασιών» για τον υπολογισµό διαφόρων προβληµάτων. Οι «ατέρµονες ή άπειρες» διαδικασίες είναι στενά συνδεδεµένες µε την έννοια του «ορίου». Όµως ο Αρχιµήδης ( π.χ. ), περίπου το 225 π. Χ., έκανε µία από τις πιο αξιοσηµείωτες συνεισφορές από όλους τους Έλληνες µέχρι τότε. Η πρώτη του σηµαντική κίνηση προς τα εµπρός ήταν να αποδείξει ότι το εµβαδόν ενός τµήµατος µίας παραβολής είναι τα 4/3 του εµβαδού ενός τριγώνου µε την ίδια βάση και ύψος ( κορυφή ), και τα 2/3 του εµβαδού του περιγεγραµµένου παραλληλογράµµου. Ο Αρχιµήδης κατασκεύασε µία άπειρη σειρά από τρίγωνα αρχίζοντας µε ένα που είχε εµβαδόν Α και συνεχώς προσέθετε επιπλέον τρίγωνα ανάµεσα στα ήδη υπάρχοντα τρίγωνα και στην παραβολή της οποίας ήθελε να βρει το εµβαδόν. A A A, A + A A, 4 16 Άρα το εµβαδόν του τµήµατος της παραβολής είναι : A A A A + + +, A( ) = A( ) = A Αυτό είναι το πρώτο γνωστό παράδειγµα άθροισης µίας άπειρης σειράς.ο Αρχιµήδης χρησιµοποιούσε την µέθοδο της εξάντλησης για να βρει µία προσέγγιση του εµβαδού του κύκλου. Αυτό φυσικά είναι ένα πρώιµο παράδειγµα ολοκλήρωσης το οποίο οδηγεί στο να προσεγγιστούν οι τιµές του π. Εδώ είναι το διάγραµµα του Αρχιµήδη : Ανάµεσα σε άλλες «ολοκληρώσεις» από τον Αρχιµήδη ήταν ο όγκος και η επιφάνεια της σφαίρας, ο όγκος και η επιφάνεια του κώνου, το εµβαδόν της επιφάνειας της έλλειψης, το εµβαδόν χωρίου που περιέχεται µεταξύ της παραβολής ψ = χ 2 και 1 Το έργο του οποίου είχε τεράστια επιρροή σε όλη την µεταγενέστερη εξέλιξη των µαθηµατικών

5 κάποιων ευθειών, ο όγκος κάθε τµήµατος ενός παραβολοειδούς από περιστροφή και τµήµατος υπερβολοειδούς εκ περιστροφής. Καµία περαιτέρω πρόοδος δεν είχε γίνει µέχρι τον 16 ο αιώνα όταν οι µηχανικοί άρχισαν να οδηγούν τους µαθηµατικούς να εξετάζουν προβλήµατα τέτοια όπως τα κέντρα βάρους. Η ιδέα της άπειρης διαδικασίας και τα προβλήµατα που δηµιουργεί, βρήκε για πρώτη φορά έκφραση στα περίφηµα µαθηµατικοφιλοσοφικά παράδοξα του Ζήνωνα που είναι κυριολεκτικά ανεξάντλητα σε προεκτάσεις και ερµηνείες. Η βαθιά εντύπωση που προξένησαν στην αρχαία ελληνική διανόηση αυτά τα παράδοξα είχε ως αποτέλεσµα την ολική απόρριψη από τους µαθηµατικούς της αρχαιότητας της έννοιας του ορίου, σαν συµπληρωµένης και τελειωµένης µετά από ένα άπειρο αριθµό βηµάτων διαδικασίας. Έτσι οι αποδείξεις του Ευδόξου ή του Αρχιµήδη που σήµερα θα θεωρούσαµε ότι ασχολούνται µε υπολογισµούς ορίων, ποτέ δεν χρησιµοποιούν κατά εκπεφρασµένο τρόπο την έννοια του ορίου, που την θεωρούσαν όχι µαθηµατικά έγκυρη και αυστηρή, αλλά βασίζονται σε µία πεπερασµένου τύπου µέθοδο διπλής αντίφασης. Κατά την διάκριση του Αριστοτέλη, εξ άλλου, οι µαθηµατικοί δεν χρησιµοποιούσαν τα απείρως µεγάλα ή τα απείρως µικρά µεγέθη, αλλά µεγέθη, οσοδήποτε µεγάλα ή οσοδήποτε µικρά. Αυτή η τάση των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών επηρέασε αποφασιστικά τα µεταγενέστερα µαθηµατικά για πολλούς αιώνες και ιδιαίτερα την περίοδο µέχρι τον 16 Ο 17 Ο αιώνα, οπότε από πολλές πλευρές δηµιουργήθηκε µία αντίδραση στην δεσµευτική για την ανάπτυξη των µαθηµατικών ( όπως πίστευαν ) αυστηρότητα που είχαν επιβάλει µε το κύρος τους οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί. Κυριότεροι εκφραστές αυτής της αντίδρασης ήταν οι : B. Pascal, P. Fermat, J. Kepler και ο Γαλιλαίος καθώς και οι µαθητές του µεταξύ των οποίων και ο B. Cavalieri. Η µέθοδος του Αρχιµήδη συνέχισε να χρησιµοποιείται, ώσπου τον 16 Ο αιώνα άρχισε να αποσαφηνίζεται η έννοια του ορίου, από τον Ιταλό Luca Valerio και τον Φλαµανδό Simm Stevin, οι οποίοι αποφεύγουν την χρήση της µεθόδου της εξάντλησης και της διπλής αντίφασης. Η έννοια του ορίου εισήχθη για να αντιµετωπισθούν οι δυσκολίες σε τρία βασικά προβλήµατα. Γεωµετρικά προβλήµατα ( υπολογισµοί εµβαδών, µελέτη της φύσης των γεωµετρικών µηκών, υπολογισµοί όγκων, εφαπτόµενη καµπύλης, ). Το πρόβληµα του αθροίσµατος και το ύψος της σύγκλισης µίας σειράς. Πρόβληµα της διαφόρισης ( που προκύπτουν από τη σχέση δύο ποσοτήτων που συγχρόνως τείνουν στο 0 ). Την αρχική έννοια του «ορίου» πρέπει να την αναζητήσουµε στους γεωµετρικούς υπολογισµούς των εµβαδών και των όγκων την εποχή του ορθολογισµού, της φιλοσοφίας και της επιστηµονικής αντιµετώπισης των προβληµάτων από τους µεγάλους Έλληνες µαθηµατικούς. Εκείνο που χαρακτηρίζει την παράγωγο, ως έννοια, είναι ότι συνδέει την ταχύτητα µε την οποία κινείται ένα σηµείο µίας καµπύλης, µε την εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο αυτό. Είναι εποµένως φυσικοµαθηµατική έννοια. εν είναι λοιπόν τυχαίο ότι τα πρώτα στοιχεία αυτής της έννοιας εµφανίζονται στα έργα του Αρχιµήδη και συγκεκριµένα στο έργο του «Περί ελίκων». Όταν µία ευθεία περιστρέφεται οµαλά γύρω από ένα σηµείο Ο,ενώ ένα σηµείο P, ξεκινώντας από το Ο κινείται οµαλά κατά µήκος αυτής, τότε το σηµείο P διαγράφει µία έλικα.

6 Ο Αρχιµήδης απέδειξε ( µε µεθόδους που παραπέµπουν στο σύγχρονο ορισµό της παραγώγου ) ότι η διεύθυνση της ταχύτητας του σηµείου P πάνω στην έλικα είναι η διεύθυνση της εφαπτοµένης της έλικας στο P. Είναι αξιοσηµείωτο ότι ο κινητικός ορισµός της έλικας που έδωσε ο Αρχιµήδης καθιστά εύκολη τη φυσική έννοια της εφαπτοµένης ως ταχύτητας. Αυτό δεν είναι το µοναδικό στοιχείο που έχουµε για τη συνεισφορά του Αρχιµήδη στο διαφορικό λογισµό. Στο έργο του «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» διερευνά τις συνθήκες επίλυσης µίας εξίσωσης 3 ου βαθµού και κατά τη διερεύνηση αυτή καταλήγει στην ανάγκη προσδιορισµού της µέγιστης τιµής µίας ποσότητας. Τη µέγιστη αυτή τιµή την προσδιορίζει πάλι µε µεθόδους, οι οποίες ανάγονται ευθέως στις σηµερινές. Είναι βέβαιο ότι αν είχε κάνει το ελάχιστο βήµα προς την έννοια του ορίου, θα ήταν ο θεµελιωτής και του διαφορικού και του ολοκληρωτικού λογισµού. Για αυτό άλλωστε, όπως µας πληροφορεί ο Τ. L. Heath, «Οι εργασίες του Αρχιµήδη τόσο δυνατά και καθαρά υποδεικνύουν τις νεότερες µεθόδους της ανάλυσης, ώστε τον 17 Ο αιώνα ο Torricelli και ο Wallis ριψοκινδύνεψαν την άποψη ότι οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί έκρυψαν εσκεµµένα, κάτω από τις συνθετικές αποδείξεις τους, τα αναλυτικά τους τεχνάσµατα, µε τα οποία οδηγήθηκαν στην ανακάλυψη της ανάλυσης». Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων µέχρι τον 12 Ο µ.χ. αιώνα στην Ευρώπη δεν παρατηρείται παραγωγή έργου προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης της ανάλυσης. Η ελληνική παράδοση όµως καλλιεργήθηκε από τους Άραβες, οι οποίοι συγκέντρωσαν τα µέχρι τότε διασωθέντα χειρόγραφα των αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών και τα µετέφρασαν στα αραβικά. Περί το 800 µ.χ. ο χαλίφης της Βαγδάτης Αλ Μαµούν, προστάτης των γραµµάτων και των επιστηµών, αποδύεται σε µία πρωτοφανή εκστρατεία συγκέντρωσης και µετάφρασης των αρχαίων ελληνικών κειµένων. Για το θέµα που µας απασχολεί, σηµαντικός Άραβας µαθηµατικός είναι ο Σαράφ αλ Ντιν αλ Τουστ ( ), συνεχιστής του έργου του Οµάρ αλ Καγιάµ. Σαν µυστικοσύµβουλος του Χουλαγκού, εγγονού του Τσέγκις Χαν, τον έπεισε να ιδρύσει στο Μαραγκά του περσικού Αζερµπαϊτζάν µέγα αστεροσκοπείο, βιβλιοθήκη εκ τόµων και ακαδηµία, της οποίας τα µέλη µισθοδοτούνταν αδρώς. Μεταξύ των συγγραµµάτων του αναφέρονται : Το πρώτο αυτοτελές βιβλίο ευθυγράµµου και σφαιρικής τριγωνοµετρίας, στο οποίο γίνεται χρήση όλων των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Ερµηνείες και διορθώσεις της «Συντάξεως» του Πτολεµαίου. «Λογική» «Ηθική» «Προλεγόµενα στην αστρονοµία» Πραγµατεία περί αστρολάβου Περί ηµερολογίου Ερµηνεία και προσθήκες στα έργα του Αβικέννα και

7 Άλγεβρα, στα πλαίσια της οποίας, αφού ολοκλήρωσε τη γεωµετρική µελέτη των εξισώσεων 3 ου βαθµού, οδηγήθηκε στη µελέτη καµπυλών γενικότερα. Φαίνεται ότι στη µελέτη αυτή χρειάστηκε και χρησιµοποίησε ένα εργαλείο που θα πρέπει να ονοµάσουµε παράγωγο. Με δεδοµένο ότι τα έργα του Αρχιµήδη είχαν µεταφραστεί στα αραβικά, πιθανολογούµε ότι θα τα είχε µελετήσει και αν µη τι άλλο χρησιµοποίησε στοιχεία από αυτά. Υπό την επίδραση της ανατολής αναζωπυρώνεται το ενδιαφέρον για τα αρχαία κείµενα και στη δύση. Πολλά έργα µεταφράζονται από τα αραβικά στα λατινικά. Οι έννοιες του απείρου, του απειροστού, του συνεχούς, που είναι έννοιες της ανάλυσης, ανακαλύπτονται αρχικά από τους σχολαστικούς φιλοσόφους στα «Φυσικά» του Αριστοτέλη. Κατά τον 14 Ο αιώνα ο Richard Suiseth, γνωστός ως Calculator και ο Nicole Oresme ενδιαφέρονται για το µαθηµατικό περιεχόµενο αυτών των εννοιών. Ο Calculator στο έργο του «Liber Calculationum» ασχολείται µεταξύ άλλων και µε λόγους µεταβολής και διατυπώνει την πρόταση : «Η ποσότητα, της οποίας ο λόγος µεταβολής γίνεται άπειρος, έχει έναν πεπερασµένο µέσο λόγο µεταβολής». Χρησιµοποιεί τη λέξη fluent για τη µεταβλητή ποσότητα και τη λέξη fluxion για το ρυθµό µεταβολής, λέξεις που θα χρησιµοποιήσει 300 χρόνια αργότερα ο Νεύτωνας. Υποστήριζε ότι ο λόγος µεταβολής, αλλά και ο ρυθµός µεταβολής του λόγου µεταβολής µπορούν να αποδοθούν αριθµητικά, αλλά δεν έδωσε ορισµούς. Ο Nicole Oresme ( ) αναφέρεται στο έργο του Calculator και ήταν ο πρώτος που παρέστησε τον στιγµιαίο ρυθµό µεταβολής µε ευθεία γραµµή. Ούτε αυτός έδωσε ορισµό της στιγµιαίας ταχύτητας κινητού, αλλά πλησίασε στον καθορισµό της παραγώγου σε σηµείο καµπύλης. Εν τω µεταξύ το δύσχρηστο σύστηµα των Ρωµαϊκών συµβόλων έχει αντικατασταθεί από τους ινδοαραβικούς χαρακτήρες που έφερε ο Fibonacci ( ) από τα ταξίδια του στις µουσουλµανικές χώρες, ενώ τα µαθηµατικά σύµβολα των πράξεων εισάγονται περί το 1489 και της ισότητας ( από τον Robert Recorde ) το Το 1591 ο Vieta επινοεί τη συµβολική άλγεβρα και αργότερα, τον 17 Ο αιώνα, ο Pierre Fermat και ο Descartes, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, την αναλυτική γεωµετρία. Όµως µόνο από τον 16 Ο αιώνα και µετά, αφ ότου έγιναν γνωστά τα έργα του Αρχιµήδη * αρχίζει πλέον η ουσιαστική προσπάθεια για την ανάπτυξη της ανάλυσης. Η αναλυτική γεωµετρία ήταν µία πραγµατική επανάσταση. Τώρα οι καµπύλες µπορούσαν να παρασταθούν µε εξισώσεις, αλλά και κάθε εξίσωση όριζε µία καµπύλη. Οι Έλληνες και οι Άραβες είχαν µελετήσει κυρίως τον κύκλο και τις κωνικές τοµές, καθώς και ορισµένες καµπύλες που ορίζονταν από γεωµετρικούς τόπους και είχαν βρει τις εφαπτόµενες και το εµβαδόν τους. Αλλά τώρα το πλήθος των καµπυλών ήταν απεριόριστο. Και για αυτές οι µέθοδοι της συνθετικής γεωµετρίας ήταν ανεπαρκείς. Ακόµη ετίθετο θέµα ορισµού των εννοιών. Με πρωτοβουλία του φιλοµαθούς Πάπα Νικολάου του Ε, στα µέσα του 15 ου αιώνα, ακριβώς την εποχή που έσβηνε η Βυζαντινή Αυτοκρατορία, τα ελληνικά χειρόγραφα µεταφράστηκαν στα λατινικά από τον κληρικό Ιάκωβο της Κρεµόνας.Ο γερµανικής καταγωγής αστρονόµος Johann Muller, γνωστός ως Regiomontatus ( ) διόρθωσε τη µετάφραση του Ιακώβου της Κρεµόνας το 1462 και είχε σκοπό να εκδώσει τα έργα του Αρχιµήδη µε το ελληνικό κείµενο και τη λατινική µετάφραση, αλλά πέθανε πριν προλάβει να πραγµατοποιήσει αυτή την έκδοση. Η πρώτη έκδοση των έργων του Αρχιµήδη µε τα ελληνικά πρωτότυπα και βελτιωµένη λατινική µετάφραση έγινε από τον Thomas Gerchauff ( Venatorius ) ( ), το 1554, στον οίκο Ioannes Hervagius της Βασιλείας ( Ελβετίας ).

8 Για τους αρχαίους Έλληνες η εφαπτοµένη καµπύλης ήταν η ευθεία που «αγγίζει» την καµπύλη, χωρίς να την τέµνει : «Ευθεία κύκλου εφάπτεσθαι λέγεται, ήτις απτοµένη του κύκλου και εκβαλλοµένη ου τέµνει τον κύκλον.» 3 Ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, Ορισµός β. ) Σε ελεύθερη µετάφραση : «Εφαπτοµένη κύκλου λέγεται η ευθεία, η οποία αγγίζει τον κύκλο και όταν προεκταθεί δεν τον τέµνει.» Παρατηρούµε ότι ο ορισµός του Ευκλείδη ήταν ένας στατικός ορισµός της εφαπτοµένης και αναφέρεται αποκλειστικά σε εφαπτοµένη κύκλου. Αυτή η έννοια της εφαπτοµένης µπορεί να ήταν ικανοποιητική για τις καµπύλες µε αρκούντως οµαλή συµπεριφορά που είχαν µελετηθεί µέχρι τότε, όπως ο κύκλος ή οι κωνικές τοµές. Τι θα µπορούσε όµως να πει κανείς για τις εφαπτόµενες καµπυλών, όπως η γραφική παράσταση της συνάρτησης Χ ηµ ( 1/ χ ), αν χ 0 F ( χ ) = { 0, αν χ = 0 Είναι γεγονός ότι ο στατικός ορισµός της εφαπτοµένης είναι ανεπαρκής. Ο Gilles Persone de Roberval ( ), στο έργο του «Τraite des Invisibles», το οποίο χρονολογείται από το 1634, αν και δεν εξεδόθη µέχρι το 1693, γενίκευσε τη µέθοδο που είχε χρησιµοποιήσει ο Αρχιµήδης για την εύρεση της εφαπτοµένης στο τυχόν σηµείο της έλικας του. Όπως ο Αρχιµήδης, έτσι και ο Roberval αντιλαµβανόταν την καµπύλη ως την τροχιά ενός σηµείου, το οποίο κινείται υπό την επίδραση δύο ταχυτήτων. Ο Torricelli ( ) παρατήρησε ότι η µέθοδος του Roberval χρησιµοποιούσε µία αρχή ήδη διατυπωθείσα από τον Γαλιλαίο, δηλαδή ότι η οριζόντια και η κάθετη ταχύτητα δρούσαν η µία ανεξαρτήτως της άλλης. Στο σηµείο αυτό αξίζει να παρατηρήσουµε ότι, κατά τον 17 ο αιώνα, η µαθηµατική επιστήµη και κυρίως ο απειροστικός λογισµός, γνώρισε µία πρωτοφανή άνθηση. Για πρώτη φορά µετά την αρχαιότητα τα µαθηµατικά απετέλεσαν το επίκεντρο της πνευµατικής ανάπτυξης µίας εποχής. Από εκείνη τη στιγµή, που χαρακτηρίζεται κυρίως από τη συµβολή του J. Kepler, του Γαλιλαίου και των µαθητών του, δύο αστρονόµων και φυσικών, παρά µαθηµατικών, αρχίζει ένας οργασµός ανάπτυξης του απειροστικού λογισµού, που συµπληρώνεται σε ένα πρώτο στάδιο το 1675 περίπου µε το έργο του

9 Isaac Barrow, του Νεύτωνα, κυρίως φυσικού και του Leibniz, κυρίως φιλοσόφου, παρά µαθηµατικών. Το γεγονός αυτό έχει την ερµηνεία του. Στην αρχαία Ελλάδα το κίνητρο για την εξέλιξη των µαθηµατικών ήταν φιλοσοφικό και θεωρητικό και αυτό είχε ως αποτέλεσµα την αναζήτηση της εσωτερικής αρµονίας και της υψηλής αυστηρότητας. Κατά τον 17 ο αιώνα ένα από τα κίνητρα για την εξέλιξη των µαθηµατικών ήταν η αναζήτηση και η απόκτηση της γνώσης που θα ήταν χρήσιµη για τη θεµελίωση της επερχόµενης τεχνολογικής ανάπτυξης. Έτσι πολλά θεµελιώδη µαθηµατικά που χρησιµοποιούσαν τις έννοιες του απειροστικού λογισµού προέρχονταν από τη µελέτη της αστρονοµίας, της µηχανικής και της φυσικής ( την ταχύτητα, την κίνηση των πλανητών ) µε στόχο, όχι τόσο θεωρητικό, όσο να αποκτηθούν οι πρακτικές γνώσεις σε µία εποχή που χαρακτηριζόταν από την κινητικότητα και την ανάπτυξη του εµπορίου και της ναυσιπλοΐας. Ο Kepler στην εργασία του για την κίνηση των πλανητών, έπρεπε να υπολογίσει το εµβαδόν τµηµάτων µίας έλλειψης. Η µέθοδος του συνίστατο στο να θεωρεί τα εµβαδά ως αθροίσµατα γραµµών, µία ακατέργαστη µορφή ολοκλήρωσης, αλλά ο Kepler είχε λίγο χρόνο για «ελληνική αυστηρότητα» ( ακρίβεια αποδείξεων ) και ήταν αρκετά τυχερός στο να εξασφαλίσει την σωστή απάντηση αφότου έκανε 2 λάθος διαγραφές σε αυτήν την εργασία! Τρεις µαθηµατικοί, γεννηµένοι µε 3 έτη διαφορά ο ένας από τον άλλο, ήταν οι επόµενοι που είχαν σηµαντικές συνεισφορές. Αυτοί ήταν οι Fermat, Roberval, Cavalieri. Ο Cavalieri οδηγήθηκε στην δική του «µέθοδο των αδιαιρέτων» από τις προσπάθειες του Kepler στην ολοκλήρωση. Αυτός δεν ήταν αυστηρός στην προσέγγιση του και είναι δύσκολο να δούµε καθαρά πως σκέφθηκε αυτός σχετικά µε την µέθοδο του. Εµφανίζεται ότι ο Cavalieri σκέφθηκε µία επιφάνεια σα να ήταν φτιαγµένη από συστατικά τα οποία ήταν γραµµές και τότε άθροισε τον άπειρο αριθµό των «αδιαιρέτων». Αυτός έδειξε χρησιµοποιώντας τέτοιες µεθόδους, ότι το ολοκλήρωµα του χ n από 0 έως α, ήταν α n + 1 / n + 1, δείχνοντας το αποτέλεσµα για έναν αριθµό τιµών του n και συνάγοντας το γενικό αποτέλεσµα. Ο Huygens, ήταν επικριτικός στις αποδείξεις του Cavalieri λέγοντας ότι αυτό που κάποιος χρειάζεται είναι µία απόδειξη η οποία τελικά να πείθει κάποιον ότι µία αυστηρή απόδειξη µπορούσε να κατασκευαστεί. Ο Huygens άσκησε µείζονα επιρροή στον Leibniz και εξ αυτού έπαιξε αξιόλογο ρόλο στο να παράγει µία περισσότερο ικανοποιητική προσέγγιση του λογισµού. Ο Roberval θεώρησε προβλήµατα του ίδιου τύπου αλλά ήταν περισσότερο αυστηρός από τον Cavalieri. Ο Roberval κοίταξε το εµβαδόν ανάµεσα σε µία καµπύλη και µία ευθεία γραµµή, ως να ήταν φτιαγµένο από έναν άπειρο αριθµό, απείρως στενών ορθογωνίων λωρίδων. Αυτός το εφάρµοσε αυτό στο ολοκλήρωµα του χ m από 0 έως 1 το οποίο έδειξε ότι έχει την προσεγγιστική τιµή : Ο Roberval τότε ισχυρίσθηκε ότι αυτό κατευθύνεται προς το 1 / m + 1, όσο το n τείνει στο άπειρο και έτσι υπολόγισε το εµβαδόν. Ο Torricelli εφάρµοσε την µέθοδο του Roberval για να βρει τις εφαπτόµενες των καµπυλών µε εξισώσεις της µορφής ψ = χ n ( µε σηµερινό συµβολισµό ). Παρόλο που ο ορισµός της εφαπτοµένης ως ευθείας που έχει τη διεύθυνση της συνισταµένης ταχύτητας ήταν πιο σύνθετος από τον ορισµό της ως «αγγίζουσας» ευθείας µίας καµπύλης, αυτός ο νέος ορισµός µπορούσε να εφαρµοστεί σε καµπύλες, στις οποίες ο παλαιότερος ορισµός ήταν ανεπαρκής. Ήταν επίσης χρήσιµος διότι συνέδεε τη στατική γεωµετρία µε τη δυναµική, οι οποίες πριν την εργασία του

10 Γαλιλαίου αντιµετωπίζονταν στην ουσία ως ξεχωριστοί τοµείς. εν ήταν όµως δεκτός από µαθηµατική πλευρά διότι στηριζόταν σε φυσικές έννοιες. Υπήρχαν καµπύλες, οι οποίες εµφανίζονταν σε καταστάσεις που δεν είχαν σχέση µε κίνηση και εποµένως αυτός ο ορισµός της εφαπτοµένης δεν ήταν εφαρµόσιµος. Κατόπιν όλων αυτών άρχιζαν να προκύπτουν και άλλες µέθοδοι εύρεσης εφαπτόµενων. Προς αυτή την κατεύθυνση κινούνται οι εργασίες των Pierre Fermat και Isaac Barrow. O Pierre Fermat ( ), ο «πρίγκιπας των ερασιτεχνών», ήταν βοηθός στο ανώτατο δικαστήριο της Τουλούζης και ασχολήθηκε µε τα µαθηµατικά στον ελεύθερο χρόνο του, για διασκέδαση. Οι D Αlembert, Lagrange και Laplace του αποδίδουν τις πρώτες ιδέες του διαφορικού λογισµού. Θεµελίωσε τη σύγχρονη θεωρία αριθµών, έβαλε µαζί µε τον Pascal τις βάσεις για τη θεωρία πιθανοτήτων και επινόησε, λίγα χρόνια πριν από τον Descartes, την αναλυτική γεωµετρία. Ο Fermat ήταν επίσης περισσότερο αυστηρός στην προσέγγιση του, αλλά δεν έδωσε καµία απόδειξη. Γενίκευσε την παραβολή και την υπερβολή : Σε αυτή την εξελικτική πορεία που εξετάζουµε ψ / α = ( χ / β ) ρ, ο Fermat υπολόγισε το άθροισµα του r p από r = 1 έως r = n. Ο Fermat επίσης υπολόγισε µέγιστα και ελάχιστα θεωρώντας ότι η εφαπτοµένη στην καµπύλη ήταν παράλληλη στον άξονα των χ. Έγραψε στον Descartes, δίνοντας του την µέθοδο που ουσιαστικά χρησιµοποιείται ακόµα και σήµερα, βρίσκοντας µέγιστα και ελάχιστα υπολογίζοντας πότε η παράγωγος της συνάρτησης ήταν µηδέν. Ο Fermat έλυσε για πρώτη φορά προβλήµατα µεγίστων και ελαχίστων µελετώντας τη συµπεριφορά των συναρτήσεων κοντά στις ακραίες τιµές τους. Η βασική του παρατήρηση ήταν ότι αν η τιµή f ( χ ο ) είναι µεγίστη ή ελαχίστη για τη συνάρτηση f, τότε η f µεταβάλλεται µε µεγάλη βραδύτητα κοντά στο χ ο. Από τα προβλήµατα µεγίστων και ελαχίστων ο Fermat οδηγήθηκε σε µία µέθοδο για τη χάραξη εφαπτόµενων καµπύλης. Η κεντρική ιδέα είναι ότι η εφαπτοµένη θεωρείται ως τέµνουσα, της οποίας τα δύο σηµεία προσεγγίζουν όλο και περισσότερο µέχρι να συµπέσουν. Η µέθοδος για την εύρεση της εφαπτοµένης της καµπύλης ψ = f ( χ ) περιλαµβάνει τον υπολογισµό της κλίσης { f ( x + h ) f ( x ) } / h της τέµνουσας, την αλγεβρική επεξεργασία που απαιτεί ο τύπος f ( x + h ) στον αριθµητή και στη συνέχεια τη διαίρεση µε το h. Όλη αυτή η διαδικασία υποδηλώνει ότι, όταν η ποσότητα h µηδενίζεται, η τέµνουσα γίνεται εφαπτοµένη και έτσι η παράλειψη του h στον τύπο κλίσης της τέµνουσας δίνει την κλίση της εφαπτοµένης.το µεγαλύτερο µέρος του έργου του περιέχεται σε επιστολές προς άλλους µαθηµατικούς. ηµοσιεύτηκε µετά το θάνατο του από το γιο του Σαµουήλ. Ο Isaac Barrow ( ) έδωσε επίσης µία ανάλογη µέθοδο κατασκευής εφαπτόµενων σε καµπύλες, όπου η εφαπτοµένη δίνεται ως το όριο µίας χορδής ενόσω τα σηµεία προσεγγίζουν το καθένα, γνωστή ως το διαφορικό τρίγωνο του Barrow.

11 Μαζί οι Barrow και Torricelli µελέτησαν το πρόβληµα της κίνησης µε µεταβλητή ταχύτητα. Η εργασία του Torricelli συνεχίστηκε στην Ιταλία από τους Mengoli και Angeli. Γνωρίζοντας καλά ελληνικά και αραβικά, ο Barrow, µετέφρασε ορισµένα έργα του Ευκλείδη και βελτίωσε τις µεταφράσεις αρκετών έργων των Ευκλείδη, Απολλώνιου και Αρχιµήδη. Το κύριο έργο του, «Lectiones Geometricae» ( 1669 ) είναι µία από τις µεγαλύτερες συνεισφορές στην ανάλυση. Η συµβολή των Fermat και Barrow στην εξέλιξη του διαφορικού λογισµού είναι πολύ πιο ουσιαστική από ότι είναι γενικώς παραδεκτό. Στις εργασίες τους προσέγγισαν την έννοια της παραγώγου µέσω της εφαπτοµένης καµπύλης, µε καθαρά γεωµετρικό τρόπο και όχι µέσω στιγµιαίας ταχύτητας. ηλαδή η παράγωγος επινοήθηκε αρχικά από καθαρά µαθηµατικές ανάγκες και συγκεκριµένα από την ανάγκη να βρεθούν οι λύσεις εξισώσεων, πράγµα που οδήγησε στον προσδιορισµό ακρότατων σε συνδυασµό µε την κατασκευή της εφαπτοµένης καµπύλης. Η κυριότερη αξία των προβληµάτων φυσικής που συνδέθηκαν µε την εξέλιξη της έννοιας της παραγώγου έγκειται στο γεγονός ότι εισήγαγαν την έννοια της µεταβολής στα µαθηµατικά. H παράγωγος της απόστασης είναι η ταχύτητα και η αντίστροφη λειτουργία πηγαίνει από την ταχύτητα στην απόσταση. Ως εκ τούτου η επίγνωση της αντιστροφής της παραγώγισης άρχισε να αναπτύσσεται φυσιολογικά και η ιδέα ότι το ολοκλήρωµα και η παράγωγος ήταν αντίστροφα το ένα του άλλου έγινε οικεία στον Barrow. Στην πραγµατικότητα, παρόλο που ο Barrow ποτέ δεν διατύπωσε κατηγορηµατικά το θεµελιώδες θεώρηµα του λογισµού, εργαζόταν προς αυτήν την κατεύθυνση και ο Newton ήταν αυτός που συνέχισε σε αυτήν την κατεύθυνση και διατύπωσε κατηγορηµατικά το θεµελιώδες θεώρηµα του λογισµού. Το 1656 ο Wallis εξέδωσε το έργο «Arithematica Infinitorum», στο οποίο γίνεται χρήση κάποιας «έννοιας ορίου». Το έργο αυτό έχει γεωµετρικό χαρακτήρα. Ο Ιταλός Pietro Nengoli το 1659 µε το βιβλίο του «Geometrica Speciosa» βελτίωσε την µέθοδο του Luca Valerio για αναπαράσταση εµβαδών κάτω από συγκεκριµένες καµπύλες. Ο Luca Valerio ( ) εξέδωσε στη Ρώµη το 1606 το De quadratura parabolae το οποίο συνέχιζε τις ελληνικές µεθόδους αντιµετώπισης προβληµάτων εµβαδού αυτού του είδους. Οι Καρτέσιος, Fermat και D Alembert προσέγγισαν την έννοια του ορίου µέσω της κλίσης εφαπτοµένης καµπύλης σε σηµείο. Ο Καρτέσιος βρήκε µέθοδο για τον υπολογισµό της εφαπτοµένης µίας καµπύλης σε ένα σηµείο Μ ( χ 1, ψ 1 ). Ο Fermat ( ) προσπαθώντας να λύσει το πρόβληµα της εφαπτοµένης και το πρόβληµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής µίας συνάρτησης, εισάγει µία βασική ιδέα :

12 «αυξάνει ελάχιστα την µεταβλητή και µετά τις πράξεις, αφήνει την αύξηση να εξαφανίζεται». Ο Barrow ( 1650 ) για τη χάραξη εφαπτοµένων, ακολουθεί µέθοδο που µοιάζει µε του Fermat και µε την διαδικασία που ακολουθούµε σήµερα. ιαφέρει µόνον ως προς την ορολογία και τον συµβολισµό. Κατά τον 17 Ο αιώνα έχουµε ραγδαία ανάπτυξη των µαθηµατικών και αυτό προέκυψε από την ανάγκη να αντιµετωπισθούν προβλήµατα των φυσικών επιστηµών που απαιτούσαν αλλαγή στις µεθόδους που επικρατούσαν µέχρι τότε. Ότι είχε γίνει όµως µέχρι τον 17 ο αιώνα ήταν αποσπασµατικό και αθεµελίωτο. Ήταν καιρός να δοµηθεί ο ίδιος ο απειροστικός λογισµός µε τη µορφή ενός αποτελεσµατικού εργαλείου αναλυτικών µεθόδων που να στηρίζονται σε αυστηρούς φορµαλιστικούς κανόνες. Υπό αυτήν την έννοια ο απειροστικός λογισµός είναι έργο των Isaac Newton και Gottfried Wilhelm Leibniz. O Isaac Newton µάλιστα, εθεωρείτο ο πατέρας του διαφορικού λογισµού µέχρι το 1934, οπότε ο Louis Trenchard Moore ανακάλυψε µία σηµείωση που έφερε την αλήθεια στο φως, απονέµοντας στον Fermat την αναγνώριση που εδικαιούτο. Σε αυτήν ο Newton ανέφερε ότι είχε αναπτύξει τον διαφορικό λογισµό του, µε βάση «τη µέθοδο του κυρίου Fermat για το σχεδιασµό των εφαπτόµενων». Η δηµιουργία του διαφορικού λογισµού σαν ανεξάρτητου κλάδου των µαθηµατικών πραγµατοποιήθηκε από τους Newton και Leibniz. Αυτοί ορθολογιστικά απέδειξαν ότι η διαφόριση και η ολοκλήρωση είναι πράξεις αµοιβαία αντίστροφες. Από εκείνη την εποχή ο διαφορικός λογισµός αναπτύχθηκε σε διαρκή δεσµό µε τον ολοκληρωτικό λογισµό. Παρ όλα αυτά τα θεµέλια του λογισµού πάσχουν από ασάφειες, απουσιάζουν οι αυστηροί ορισµοί και ο τρόπος διατύπωσης των νοηµάτων εµποδίζει την κατανόηση και η σύγχυση που προκαλείται σχετικά µε τις άπειρα µικρές ποσότητες επιφέρει αυστηρές επικρίσεις, ιδιαίτερα του επισκόπου Berkley, το 1734.

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23 Σήµερα µπορεί κανείς να δει πολλά από αυτά τα κείµενα στο Internet, στη διεύθυνση του προγράµµατος Νεύτων ( ). To απροσδόκητο περιεχόµενο αυτών των κειµένων είχε καταπλήξει κάποτε τον John Μέιναρντ Κέινς, που είχε αγοράσει µερικά σε έναν πλειστηριασµό στου Σόθµπις, το Πως είχαν καταλήξει στο σφυρί ; Με µία πράξη βανδαλισµού που έµεινε στην ιστορία, ο λόρδος Λάιµινγκτον, κόµης του Πόρτσµουθ, τα είχε ξεπουλήσει για ένα κοµµάτι ψωµί, προκειµένου να χρηµατοδοτήσει τη Βρετανική ένωση φασιστών. Αργότερα, πολλά από αυτά τα κείµενα επιστράφηκαν ( ο Κέινς έδωσε τα δικά του στο Τίνιτι Κόλετζ ), αλλά εξακολουθεί να αγνοείται η τύχη πολλών άλλων.

24 DATES LIFE OF ISAAC NEWTON TIMES 1642 April (exact date unknown): Marriage of the elder Isaac Newton, an illiterate but quite well-to-do yeoman farmer, to Hannah Ayscough. Oct: Death of the elder Isaac Newton (buried 6/16 Oct.). Death of Galileo Galilei. Marriage of Princess Mary (later Mary II, Then aged nine) to William of Orange. Outbreak of English Civil War (Oct.). 1642/3 25 Dec./4 Jan.: Birth of Isaac Newton in Woolsthorpe, Lincolnshire Royalist defeat at Battle of Naseby Jan./6 Feb.: Hannah Newton marries Barnabas Smith, rector of North Witham (about a mile and a half from Woolsthorpe), and moves to North Witham, leaving young Isaac in Woolsthorpe in the care of Hannah's mother, Margery. marks the beginning of the end of the Civil War. Birth of Gottfried Wilhelm Leibniz. Birth of John Flamsteed Peace of Westphalia ends Thirty Years War in Northern Europe Execution of Charles I; England becomes a republic Death of René Descartes Publication of Thomas Hobbes' Leviathan Publication of Elias Ashmole's alchemical verse anthology Theatrum Chemicum Britannicum Death of Barnabas Smith. Hannah returns to Woolsthorpe with her three children by Oliver Cromwell appointed Lord Protector. her second marriage, Mary (b. 1647), Benjamin (b. 1651) and Hannah (b. 1652) Newton is enrolled at King's School, Grantham (about 7 miles from Woolsthorpe). Boards with a Mr. Clark, the town apothecary, who provides the first stimulus to his interest in chemistry. Initially regarded as a poor scholar, he eventually rises to top of the class. Publication of The Marrow of Alchemy by 'Eirenæus Philalethes' (i.e. George Starkey) Birth of Edmond Halley. c Leaves school and is set to learn to manage the family estate. Perhaps wilfully, proves thoroughly incompetent and neglectful. The Grantham schoolmaster, Henry Stokes, and Hannah's brother, William, persuade her to let him return to the Grantham school to be trained for university. Apparently forms a short-lived romantic attachment to Clark's step-daughter (according to a report of her recollections in her old age). Death of Oliver Cromwell (24 Aug./3 Sept. 1658). Succeeded as Protector by his son Richard Publication of Lazarus Zetzner's huge

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 6 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΞΙ) REF : 201/045/26-ADV. 10 December 2013

LESSON 6 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΞΙ) REF : 201/045/26-ADV. 10 December 2013 LESSON 6 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΞΙ) REF : 201/045/26-ADV 10 December 2013 I get up/i stand up I wash myself I shave myself I comb myself I dress myself Once (one time) Twice (two times) Three times Salary/wage/pay Alone/only

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 03.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1 2 υωνυμικό Θεώρημα (o Newton κατέληξε στο δυωνυμικό θεώρημα από ένα πρόβλημα τετραγωνισμού!) Άπειρη σειρά: Σύγκλιση? Γιατί το Δυωνυμικό Θεώρημα θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 20.05.14 Χ. Χαραλάμπους 1 2 Απειροσειρές Περιεχόμενα Πρώτη περιγραφή του απειροστικού λογισμού Οι βασικές ιδέες του λογισμού του Newotn έχουν να κάνουν με κίνηση. Θεωρεί ότι οι ποσότητες-μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

FINAL TEST B TERM-JUNIOR B STARTING STEPS IN GRAMMAR UNITS 8-17

FINAL TEST B TERM-JUNIOR B STARTING STEPS IN GRAMMAR UNITS 8-17 FINAL TEST B TERM-JUNIOR B STARTING STEPS IN GRAMMAR UNITS 8-17 Name: Surname: Date: Class: 1. Write these words in the correct order. /Γράψε αυτέσ τισ λέξεισ ςτη ςωςτή ςειρά. 1) playing / his / not /

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

þÿ»±íº »¹ Áà  : É º±¹ Ä þÿ Á³ Ä Å : ¼¹± ºÁ¹Ä¹º ±À Ä ¼

þÿ»±íº »¹ Áà  : É º±¹ Ä þÿ Á³ Ä Å : ¼¹± ºÁ¹Ä¹º ±À Ä ¼ Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Health Sciences http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ»±íº »¹ Áà  : É º±¹ Ä þÿ Á³ Ä Å : ¼¹± ºÁ¹Ä¹º ±À Ä ¼ þÿ Ä Æ Á Â, Á ÃÄ Â þÿ Á̳Á±¼¼±

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Οι αρχές του Απειροστικού Λογισμού. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης.

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης. Φυσική Ι 1ο εξάμηνο Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης 2 ο μάθημα Κεφάλαιο 3 Διανύσματα Διάνυσμα μετατόπισης Σχήμα. Διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Ενότητα 1β: Principles of PS Ιφιγένεια Μαχίλη Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

«ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE

«ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE «ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE We would like to invite you to participate in GAMIAN- Europe research project. You should only participate if you want to and choosing

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΡΟΠΤΙΜΙΣΤΡΙΕΣ ΕΛΛΗΝΙΔΕΣ

ΣΟΡΟΠΤΙΜΙΣΤΡΙΕΣ ΕΛΛΗΝΙΔΕΣ ΕΛΛΗΝΙΔΕΣ ΣΟΡΟΠΤΙΜΙΣΤΡΙΕΣ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΣΟΡΟΠΤΙΜΙΣΤΙΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ - ΤΕΥΧΟΣ Νο 110 - Δ ΤΡΙΜΗΝΟ 2014 Το πρώτο βραβείο κέρδισε η Ελλάδα για την φωτογραφία Blue + Yellow = Green στον διαγωνισμό 2014 του

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 102/018/16-BEG. 4 March 2014

LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 102/018/16-BEG. 4 March 2014 LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 102/018/16-BEG 4 March 2014 Family η οικογένεια a/one(fem.) μία a/one(masc.) ένας father ο πατέρας mother η μητέρα man/male/husband ο άντρας letter το γράμμα brother ο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. Χρυσάνθη Στυλιανού Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

1999 MODERN GREEK 2 UNIT Z

1999 MODERN GREEK 2 UNIT Z STUDENT NUMBER CENTRE NUMBER HIGHER SCHOOL CERTIFICATE EXAMINATION 1999 MODERN GREEK 2 UNIT Z (55 Marks) Time allowed Two hours (Plus 5 minutes reading time) DIRECTIONS TO CANDIDATES Write your Student

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Démographie spatiale/spatial Demography

Démographie spatiale/spatial Demography ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014 LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV 4 February 2014 Somewhere κάπου (kapoo) Nowhere πουθενά (poothena) Elsewhere αλλού (aloo) Drawer το συρτάρι (sirtari) Page η σελίδα (selida) News τα νέα (nea)

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου

Διαβάστε περισσότερα

Code Breaker. TEACHER s NOTES

Code Breaker. TEACHER s NOTES TEACHER s NOTES Time: 50 minutes Learning Outcomes: To relate the genetic code to the assembly of proteins To summarize factors that lead to different types of mutations To distinguish among positive,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Young 12.1-12.7 Ζήσος Κεφ.8

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Young 12.1-12.7 Ζήσος Κεφ.8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Young 1.1-1.7 Ζήσος Κεφ.8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΝΤΑΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΩΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΑΖΑΣ- ΓΗ ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

@ BY AVENUES PRIVATE INSTITUTE JUNE 2014

@ BY AVENUES PRIVATE INSTITUTE JUNE 2014 1 Εκεί που η ποιότητα συναντά την επιτυχία Λεωφ. Αρχ. Μακαρίου 7, Αρεδιού Τηλ. 22874368/9 2 ENGLISH INSTITUTE A Place where quality meets success 7, Makarios Avenue, Arediou, Tel. 22874368/9 99606442 Anglia

Διαβάστε περισσότερα

Όλνκα πνπδάζηξηαο: Γξεγνξία αββίδνπ Α.Δ.Μ:7859. Δπηβιέπνλ Καζεγεηήο: Παζραιίδεο Αζαλάζηνο ΑΝΩΣΑΣΟ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΟ ΔΚΠΑΗΓΔΤΣΗΚΟ ΗΓΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑ

Όλνκα πνπδάζηξηαο: Γξεγνξία αββίδνπ Α.Δ.Μ:7859. Δπηβιέπνλ Καζεγεηήο: Παζραιίδεο Αζαλάζηνο ΑΝΩΣΑΣΟ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΟ ΔΚΠΑΗΓΔΤΣΗΚΟ ΗΓΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑ ΑΝΩΣΑΣΟ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΟ ΔΚΠΑΗΓΔΤΣΗΚΟ ΗΓΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑ ΥΟΛΖ ΓΗΟΗΚΖΖ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΑ ΣΜΖΜΑ ΛΟΓΗΣΗΚΖ Εςπωπαϊϊκή Εταιιπείία,, ο θεσμόρ καιι η ανάπτςξη τηρ. Όλνκα πνπδάζηξηαο: Γξεγνξία αββίδνπ Α.Δ.Μ:7859 Δπηβιέπνλ Καζεγεηήο:

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Οι αρχές του Απειροστικού Λογισμού Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ. 7. How much money do you plan to spend on Kos per person? (Excluding tickets)

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ. 7. How much money do you plan to spend on Kos per person? (Excluding tickets) ΤΟΥΡΙΣΜΟΣ Στο συγκεκριμένο project μελετήσαμε τον τουρισμό και κυρίως αυτόν στο νησί μας. Πιο συγκεκριμένα, κατά πόσο αυτός είναι σωστά ανεπτυγμένος και οργανωμένος. Για την ουσιαστικότερη προσέγγιση του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Ο ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΑΡΚΙΝΟ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥΣ ΣΤΙΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΦΟΡΕΙΣ ΤΟΥ ΟΓΚΟΓΟΝΙΔΙΟΥ BRCA1 ΚΑΙ BRCA2. Βασούλλα

Διαβάστε περισσότερα

Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΣΟΦΙΑ ΑΡΑΒΟΥ ΠΑΠΑΔΑΤΟΥ

Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΣΟΦΙΑ ΑΡΑΒΟΥ ΠΑΠΑΔΑΤΟΥ EΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : Λεωφ. Αντ.Τρίτση, Αργοστόλι Κεφαλληνίας Τ.Κ. 28 100 τηλ. : 26710-27311 fax : 26710-27312

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία ΓΝΩΣΕΙΣ KAI ΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟΝ HIV. Στυλιανού Στυλιανή

Πτυχιακή Εργασία ΓΝΩΣΕΙΣ KAI ΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟΝ HIV. Στυλιανού Στυλιανή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΓΝΩΣΕΙΣ KAI ΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟΝ HIV Στυλιανού Στυλιανή Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Paper Reference. Paper Reference(s) 1776/04 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 4 Writing. Thursday 21 May 2009 Afternoon Time: 1 hour 15 minutes

Paper Reference. Paper Reference(s) 1776/04 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 4 Writing. Thursday 21 May 2009 Afternoon Time: 1 hour 15 minutes Centre No. Candidate No. Paper Reference(s) 1776/04 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 4 Writing Thursday 21 May 2009 Afternoon Time: 1 hour 15 minutes Materials required for examination Nil Paper Reference

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΙΜΑΤΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΤΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΙΜΑΤΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΤΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΙΜΑΤΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΤΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΕΩΝΙΔΟΥ Λεμεσός, 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Το κοινωνικό στίγμα της ψυχικής ασθένειας

Το κοινωνικό στίγμα της ψυχικής ασθένειας Διεπιζηημονική Φρονηίδα Υγείας(2015) Τόμος 7,Τεύχος 1, 8-18 ISSN 1791-9649 Το κοινωνικό στίγμα της ψυχικής ασθένειας Κνξδώζε Α 1, Σαξίδε Μ 2, Σνπιηώηεο Κ 3 1 Ννζειεύηξηα ΤΔ, MSc, Γεληθό Ννζνθνκείν Κνξίλζνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΗΓΕΣΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *6301456813* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ

Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ Νικόλας Χριστοδούλου Λευκωσία, 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα διπλωματικής εργασίας: «Από το «φρενοκομείο» στη Λέρο και την Ψυχιατρική Μεταρρύθμιση: νομικό πλαίσιο και ηθικοκοινωνικές διαστάσεις»

Θέμα διπλωματικής εργασίας: «Από το «φρενοκομείο» στη Λέρο και την Ψυχιατρική Μεταρρύθμιση: νομικό πλαίσιο και ηθικοκοινωνικές διαστάσεις» ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΕΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ & ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑΤΑ ΝΟΜΙΚΗΣ & ΘΕΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ: ΔΙΚΑΙΙΚΗ ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΙ ΒΙΟΗΘΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Οι Υποθέσεις Η Απλή Περίπτωση για λi = μi 25 = Η Γενική Περίπτωση για λi μi..35

ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Οι Υποθέσεις Η Απλή Περίπτωση για λi = μi 25 = Η Γενική Περίπτωση για λi μi..35 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ ΧΡΕΟΚΟΠΙΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.

Διαβάστε περισσότερα

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Economic Sciences and Business http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ ½»Åà Äɽ µ½½ ¹Î½ Ä Â þÿ±¾¹»ì³ à  º±¹ Ä Â þÿ±à ĵ»µÃ¼±Ä¹ºÌÄ Ä±Â

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ Socm09008@soc.aegean.gr

ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ Socm09008@soc.aegean.gr ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΧΗ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: Διερεύνηση των απόψεων

Διαβάστε περισσότερα

H Βιοηθική και η διδακτική της. Μυρτώ Δραγώνα-Μονάχου

H Βιοηθική και η διδακτική της. Μυρτώ Δραγώνα-Μονάχου H Βιοηθική και η διδακτική της Teaching Bioethics Μυρτώ Δραγώνα-Μονάχου Περίληψη Το κείμενο αυτό διαβάστηκε κατά τη συνάντηση του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Βιοηθικής στο Κολυμπάρι Χανίων τον Σεπτέμβριο

Διαβάστε περισσότερα

Commission d'enquête sur la mesure des émissions dans le secteur de l'automobile

Commission d'enquête sur la mesure des émissions dans le secteur de l'automobile Parlement européen 2014-2019 Commission d'enquête sur la mesure des émissions dans le secteur de l'automobile 23.6.2016 2016/2090(INI) AMENDEMENTS 1-7 Projet de rapport Pablo Zalba Bidegain, Gerben-Jan

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 28 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΟΚΤΩ) REF : 201/033/28. 2 December 2014

LESSON 28 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΟΚΤΩ) REF : 201/033/28. 2 December 2014 LESSON 28 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΚΟΣΙ ΟΚΤΩ) REF : 201/033/28 2 December 2014 Place/Seat Right (noun) I am right I am not right It matters It does not matter The same (singular) The same (Plural) Η θέση Το δίκιο Έχω

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Οι αρχές του Απειροστικού Λογισμού. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ- ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ- ΧΡΗΜΑΤΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΙΚΩΝ ΤΡΑΠΕΖΩΝ

ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ- ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ- ΧΡΗΜΑΤΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΙΚΩΝ ΤΡΑΠΕΖΩΝ «ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ-ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ- ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΙΚΩΝ ΤΡΑΠΕΖΩΝ ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΤΡΙΕΤΙΑ» ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΖΕΡΒΟΣ AM 507 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Επίκαιρα Θέματα Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Σταμάτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education *4358398658* GREEK 0543/04 Paper 4 Writing May/June 2015 1 hour Candidates answer on the Question

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014 LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV 18 February 2014 Slowly/quietly Clear/clearly Clean Quickly/quick/fast Hurry (in a hurry) Driver Attention/caution/notice/care Dance Σιγά Καθαρά Καθαρός/η/ο

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Ο ΠΡΟΩΡΟΣ ΤΟΚΕΤΟΣ ΚΑΙ Η ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΝΑΠΝΕΥΣΤΙΚΗΣ ΔΥΣΧΕΡΕΙΑΣ Όνομα Φοιτήτριας: Χρυσοστομή Αγαθοκλέους Αριθμός φοιτητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία "Η ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΣΤΗ ΠΡΟΛΗΨΗ ΤΗΣ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑΣ" Ειρήνη Σωτηρίου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Πολιτικών και Δομικών Έργων

Τμήμα Πολιτικών και Δομικών Έργων Τμήμα Πολιτικών και Δομικών Έργων Πτυχιακή Εργασία: Τοπογραφικό διάγραμμα σε ηλεκτρονική μορφή κεντρικού λιμένα Κέρκυρας και κτιρίου νέου επιβατικού σταθμού σε τρισδιάστατη μορφή και σχεδίαση με AutoCAD

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

2nd Training Workshop of scientists- practitioners in the juvenile judicial system Volos, EVALUATION REPORT

2nd Training Workshop of scientists- practitioners in the juvenile judicial system Volos, EVALUATION REPORT 2nd Training Workshop of scientists- practitioners in the juvenile judicial system Volos, 26-6-2016 Can anyone hear me? The participation of juveniles in juvenile justice. EVALUATION REPORT 80 professionals

Διαβάστε περισσότερα

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1)

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1) Name: Date: Nuclear Physics 5. A sample of radioactive carbon-4 decays into a stable isotope of nitrogen. As the carbon-4 decays, the rate at which the amount of nitrogen is produced A. decreases linearly

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Verklarte Nacht, Op.4 (Εξαϋλωμένη Νύχτα, Έργο 4) Arnold Schoenberg (1874-1951)

Verklarte Nacht, Op.4 (Εξαϋλωμένη Νύχτα, Έργο 4) Arnold Schoenberg (1874-1951) 1 Verklarte Nacht, Op.4 (Εξαϋλωμένη Νύχτα, Έργο 4) Arnold Schoenberg (1874-1951) Αναγνώσματα από το βιβλίο Η Απόλαυση της Μουσικής (Machlis, Forney), για τους μαθητές που θα μελετήσουν το έργο: «Ο Σαίνμπεργκ

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education *3148288373* GREEK 0543/04 Paper 4 Writing May/June 2016 1 hour Candidates answer on the Question

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορεί κανείς να έχει έναν διερμηνέα κατά την επίσκεψή του στον Οικογενειακό του Γιατρό στο Ίσλινγκτον Getting an interpreter when you visit your

Πώς μπορεί κανείς να έχει έναν διερμηνέα κατά την επίσκεψή του στον Οικογενειακό του Γιατρό στο Ίσλινγκτον Getting an interpreter when you visit your Πώς μπορεί κανείς να έχει έναν διερμηνέα κατά την επίσκεψή του στον Οικογενειακό του Γιατρό στο Ίσλινγκτον Getting an interpreter when you visit your GP practice in Islington Σε όλα τα Ιατρεία Οικογενειακού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ

ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ Ονοματεπώνυμο: Λοϊζιά Ελένη Λεμεσός 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ Ονοματεπώνυμο: Μιχαέλλα Σάββα Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΚΑΙ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ ΣΤΙΓΜΑΤΙΣΜΟ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ HIV Μιλτιάδους Γιώργος Λεμεσός

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 202/059/36-ADV. 4 March 2014

LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 202/059/36-ADV. 4 March 2014 LESSON 16 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΕΞΙ) REF : 202/059/36-ADV 4 March 2014 Immediately/At once I arrive/reach αμέσως φτάνω I arrive I start/begin Present : φτάνω ξεκινάω (ξεκινώ) S.Past : έφτασα ξεκίνησα S.Future :

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT Date: 21 October 2016 Time: 14:00 hrs Subject: BULLETIN No 3 Document No: 1.3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΧΡΙΣΤΙΝΑ Σ. ΛΑΠΠΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ. Φοινίκη Αλεξάνδρου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ. Φοινίκη Αλεξάνδρου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ Φοινίκη Αλεξάνδρου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΓΙΑ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΥΤΟΚΤΟΝΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΓΙΑ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΥΤΟΚΤΟΝΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή διατριβή Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΓΙΑ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΥΤΟΚΤΟΝΙΑΣ Παναγιώτου Νεοφύτα 2008969752 Επιβλέπων καθηγητής Δρ. Νίκος Μίτλεττον,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα