Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2 Στο δέκατο τέταρτο μάθημα (30/10/2018), ασχοληθήκαμε με το όριο και τη συνέχεια για πραγματικές συναρτήσεις στο που ορίζονται σε ένα υποσύνολο του R 2. Η έννοια του Ορίου Ξεκινήσαμε με τον ορισμό του ορίου. Ορισμός. Έστω U R 2 και f U R. Η f έχει όριο τον πραγματικό αριθμό L, καθώς το (x, y) τείνει στο (x 0, y 0 ), αν για κάθε ε > 0, υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε αν (x, y) U, με (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ, τότε f (x, y) L < ε. Συμβολίζουμε με lim L. Παρατήρηση. Προκειμένου να έχει νόημα ο παραπάνω ορισμός, θεωρούμε ότι οσοσοδήποτε κοντά στο (x 0, y 0 ), υπάρχουν σημεία (x, y), που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού U της f. Αντίθετα στο (x 0, y 0 ), η f μπορεί να μην ορίζεται. Επίσης η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ διότι 0 < (x, y) (x 0, y 0 ) < δ, (x, y) (x 0, y 0 ) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. Εδώ είδαμε τα παραδείγματα. (1) Αν δείξτε οτι lim (x,y) (0,0) 0. x2 + y 2, 1

2 (2) Αν δείξτε οτι lim (x,y) (0,0) 0. x2 y Υπενθυμίζω λίγο πως δουλέυουμε με τον ορισμό. Για το (1): αν Έστω ε > 0. Ψάχνουμε δ > 0, ώστε να ισχύει + y 2 < δ f (x, y) < ε, όπου εδώ (x 0, y 0 ) = (0, 0) και L = 0. Οπότε Άρα για δ = ε, και για + y 2 f (x, y) = x2 + y 2 x2 + y 2 = + y 2. (1) από την (1) έχουμε + y 2 < δ f (x, y) + y 2 < δ = ε. Παρόμοια δουλέψαμε και για το (2). Για το σπίτι είχατε H/W: Να δείξετε με τον ορισμό τα παρακάτω (i) lim (x,y) (x0,y 0 ) x = x 0. (ii) lim (x,y) (x0,y 0 ) y = y 0. (iii) lim (x,y) (x0,y 0 ) k = k, όπου k R. Στη συνέχεια μιλήσαμε για τις βασικές ιδιότητες των ορίων. Ιδιότητες: Τότε ισχύουν Έστω ότι lim L, και lim g(x, y) = M, όπου L, M R. (1) lim (f (x, y) + g(x, y)) = L + M (2) lim (f (x, y) g(x, y)) = L M 2

3 (3) lim (f (x, y) g(x, y)) = L M (4) lim (k f (x, y)) = k L, όπου κ R. f (x, y) (5) lim g(x, y) = L M, όπου g(x, y) 0 κοντά στο (x 0, y 0 ), Μ 0. (6) lim (f (x, y))m/n = L m/n, m, n N. Για παράδειγμα από τις ιδιότητες προκύπτει ότι + x y + y 3 lim (x,y) (0,1) x 4 y + y = = 1. Στη συνέχεια μιλήσαμε για την μη-ύπαρξη του ορίου και διατυπώσαμε το κριτήριο μη-ύπαρξης ορίου. Όπως είπαμε και στο μάθημα, όταν μελετούσαμε όρια στο R, το x μπορούσε να τείνει στο x 0, μόνο από μία κατεύθυνση. Στο R 2, τα πράγματα είναι διαφορετικά, καθώς το (x, y) μπορεί τείνει στο (x 0, y 0 ), από όλες τις δυνατές διαδρομές. Κριτήριο Μη ύπαρξης ορίου: Αν η f έχει διαφορετικά όρια κατά μήκος δύο διαφορετικών διαδρομών, καθώς το (x, y) τείνει στο (x 0, y 0 ), τότε δεν υπάρχει το όριο lim f (x, y). Είδαμε τα παραδείγματα. Για τις παρακάτω συναρτήσεις δείξτε οτι δεν υπάρχει το όριο lim 0. (x,y) (0,0) (1) (2) x y (3) x2 y x 4 + y 2. Ο τρόπος που δουλέψαμε εδώ ήταν ο εξης. Για το (1), οι δύο διαφορετικές διαδρομές είναι κατά μήκος των αξόνων. Για το (2), κινηθήκαμε πάνω σε ευθείες. Θεωρήσαμε ότι y = λ x και δείξαμε ότι το όριο πάνω στην παραπάνω ευθεία εξαρτάται μόνο από το λ. Άρα για δύο διαφορετικές τιμές του λ (δηλ για δύο διαφορετικές διαδρομές), το όριο έχει άλλη τιμή. Για το (3), κάναμε ότι και στο (2), με τη μόνη διαφορά ότι τώρα κινηθήκαμε σε παραβολές, θεωρώντας ότι y = λ. 3

4 Στη συνέχεια είδαμε και ένα παράδειγμα με πολικές συντεταγμένες. (4) Για την παρακάτω συνάρτηση, δείξτε ότι όριο στο (0, 0) δεν υπάρχει, κάνοντας χρήση πολικών συντεταγμένων. x2 y 2 Συγκεκριμένα εδώ χρησιμοποιήσαμε τις πολικές συντεταγμένες και δείξαμε ότι το όριο x = r cos(θ), y = r sin(θ), r 2 = + y 2 lim f (r cos(θ), r sin(θ)), r 0 εξαρτάται μόνο από το θ. Επομένως για δύο διαφορετικές τιμές του θ, το όριο είναι διαφορετικό. Εδώ για το σπίτι είχατε (δεν θυμάμαι αν το είπα στο μάθημα) H/W: Να εφαρμοστεί το κριτήριο μή-ύπαρξης του ορίου για τια παρακάτω ασκήσεις του βιβλίου στη σελίδα , 41, 42. Συνέχεια Στη συνέχεια διατυπώσαμε τον ορισμό της συνέχειας για μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Ορισμός (Συνέχεια). ισχύουν: Έστω U R 2 και f U R. Η f είναι συνεχής στο (x 0, y 0 ) U, αν (i) Το όριο lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y), υπάρχει στο R. (ii) lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x 0, y 0 ). Αν η f είναι συνεχής σε κάθε (x 0, y 0 ) U, τότε λέμε ότι είναι συνεχής στο U. Εδώ είδαμε τα παραδείγματα (1) Αν, (x, y) (0, 0), x2 +y 2 0, (x, y) = (0, 0). Τότε η f είναι συνεχής στο (0, 0). (2) Αν x y x 2 +y2, (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). Τότε η f δεν είναι συνεχής στο (0, 0). 4

5 Για το σπίτι εδώ είχατε H/W: Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια στο (0, 0), οι παρακάτω συναρτήσεις. (i) x y x 4 +y2, (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). (ii) x y +y2, (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). Τέλος μιλήσαμε για σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Ορισμός. Έστω f U R 2 R, g V R R. Αν f συνεχής στο (x 0, y 0 ) U και g συνεχής στο f (x 0, y 0 ) V, τότε η συνάρτηση g f U R, είναι συνεχής στο (x 0, y 0 ). Για παράδειγμα αν h(x, y) = sin( + y 2 ), τότε η h είναι συνεχής στο R 2 ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων g(x) = sin(x). 5