Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Transcript

1 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού από την απόσταση μεταξύ ελκτικού κέντρου και σωματίου: Σφαιρική συμμετρία Χρήση σφαιρικών συντεταγμένων x = θ cosφ y = θ φ z = cosθ X Z = P θ φ U U Λαπλασιανή σε σφαιρικές συντεταγμένες Εξίσωση Schöing σε σφαιρικές συντεταγμένες 0 V E Χωρισμός μεταβλητών σε σφαιρικές συντεταγμένες 0 V E Διαιρούμε με όπως και στο ελεύθερο σωμάτιο σε τρισδιάστατο κύβο

2 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 0 V E V E ή Η διαφορική εξίσωση επαληθεύεται μόνον όταν και τα δύο μέλη της είναι ίσα με την ίδια σταθερά εφόσον πρόκειται για συναρτήσεις διαφορετικών μεταβλητών Λύση της Φφ 0 Δοκιμαστική λύση: a i a 0 Μοναδικότητα λύσης: i i Θέτουμε οπότε i A Κανονικοποιώντας: 0 A A i,..., 0,, i

3 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 V E Η διαφορική εξίσωση επαληθεύεται μόνον όταν και τα δύο μέλη της είναι ίσα με την ίδια σταθερά, δηλ. Λύση της Θθ. Αντικαθιστούμε το στην αρχική εξίσωση και διαιρούμε με το Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης ιδιοτιμών απαιτεί ειδικές τεχνικές. Ωστόσο θα δείξουμε ότι μπορούμε να τη συνδέσουμε με την στροφορμή του συστήματος. Σε σφαιρικές συντεταγμένες οι συνιστώσες της στροφορμής γράφονται i i i z y x tan cos tan cos και

4 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Παρατηρήσεις i i z i Η κυματοσυνάρτηση είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή με ιδιοτιμή Άρα η z-συνιστώσα της στροφορμής είναι σαφώς ορισμένη ποσότητα στα κεντρικά δυναμικά! z. Η κυματοσυνάρτηση είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Άρα το τετράγωνο της στροφορμής είναι σαφώς ορισμένη ποσότητα στα κεντρικά δυναμικά! Αποδεικνύεται ότι:,, Το γινόμενο των συναρτήσεων είναι οι σφαιρικές αρμονικές και συμβολίζεται ως ή z,,,, 0,,,3,... 0,,,..., : : Τροχιακός κβαντικός αριθμός Μαγνητικός κβαντικός αριθμός Δείξτε ότι αντίστοιχες σχέσεις δεν μπορεί να ισχύουν για τις συνιστώσες της στροφορμής x και y Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

5 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Σφαιρικές Αρμονικές Πολικά γραφήματα της κατανομής πιθανότητας, Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

6 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Λύση της Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω για την στροφορμή μπορούμε να γράψουμε E V Η οποία καταλήγει στην ακτινική διαφορική εξίσωση E V 0 Ακτινική κινητική ενέργεια Περιστροφική κινητική ενέργεια Ολική Ενέργεια Δυναμική ενέργεια Η ακτινική διαφορική εξίσωση καθορίζει πέραν του ακτινικού μέρους της κυματοσυνάρτησης και τις επιτρεπόμενες ενέργειες του συστήματος. Για να λυθεί η παραπάνω ακτινική διαφορική εξίσωση πρέπει να γνωρίζουμε την συνάρτηση του δυναμικού. Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

7 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Κβάντωση κατεύθυνσης, z Απροσδιοριστία, x y δεν είναι καλά καθορισμένες ποσότητες. Στροφορμής! Στα κεντρικά δυναμικά καλά καθορισμένες ποσότητες είναι οι Αντίθετα οι Κλασικό μοντέλο z Κβαντικό ανάλογο Σαφώς καθορισμένο διάνυσμα στροφορμής, π.χ. κατά μήκος του άξονα z y Σαφώς καθορισμένο διάνυσμα θέσης στο επίπεδο xy x p Z-συνιστώσα του διανύσματος θέσης γνωστή με απόλυτη ακρίβεια Παραβίαση αρχής απροσδιοριστίας του Hisnbg!!! Σε κβαντικά συστήματα σφαιρικής συμμετρίας ο προσανατολισμός του διανύσματος της στροφορμής καθορίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς κι οι οποίοι καθορίζουν το μέτρο του διανύσματος της στροφορμής καθώς και το μέτρο της προβολής του διανύσματος της στροφορμής σε προτιμητέο άξονα z,. Το φαινόμενο αναφέρεται ως κβάντωση κατεύθυνσης ή κβάντωση χώρου spac quantization z Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

8 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Κβάντωση κατεύθυνσης Διανυσματικό μοντέλο Δυνατοί προσανατολισμοί του διανύσματος για δεδομένα z ,0, -,-,0,,,0,,,0,, 6 Το διάνυσμα της στροφορμής δεν μπορεί να ευθυγραμμιστεί με επιλεγμένο άξονα συντεταγμένων! cos z 3D μοντέλο: Εισαγωγή ασάφειας για τις, x y Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

9 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Extas! Τρισδιάστατη απεικόνιση σφαιρικών αρμονικών με τη χρήση Mathatica 3 0, cos 3,, i Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

10 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Extas! Τρισδιάστατη απεικόνιση σφαιρικών αρμονικών με τη χρήση Mathatica 4 5 3cos 0, 4 5,, i Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03

11 Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Extas! Τρισδιάστατη απεικόνιση σφαιρικών αρμονικών με τη χρήση Mathatica 5,, cos i τομή τομή Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03