f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x» Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, συμβολίζεται με f ( Α ). Δεν περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία η εξίσωση y f ( x) λύση για x Α. = έχει Άρα για να βρίσκουμε το σύνολο τιμών f ( Α ) της συνάρτησης f/α Β λύνουμε την εξίσωση y= f ( x) με άγνωστο το x και θέτουμε όλους τους κατάλληλους περιορισμούς για το y Β ώστε το x Α. Το σύνολο των περιορισμών που θέτουμε για το y δίνει το ζητούμενο f ( Α ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ έχει πεδίο ορισμού [, ] Αν υποτεθεί ότι η συνάρτηση f με τύπο: f(x) = x+ / Α Α=, να βρείτε το ( ) f Α. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

2 Λύση: Θέτω f ( x) που είναι: x = Επειδή ισχύει x, έχουμε: = y, δηλαδή y= x+ και λύνω ως προς x, 0 y Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης, είναι: f( Α ) = [, ] Σημείωση: Οι τιμές και ονομάζονται ολικά ακρότατα της f. μάλιστα είναι: min ( f (x)) = και max ( f (x)) =.7.. Αντίστροφη συνάρτηση της f / A B Ορισμός: Αντίστροφη της συνάρτησης f/α Β είναι η απεικόνιση του συνόλου Β στο σύνολο Α, ώστε αν x Α και υπάρχει y Β: τότε με y Β υπάρχει x Α : ( ) y= f x x = f (y) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

3 Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση f/α Β αντιστρέφεται, δηλαδή έχει αντίστροφη, μόνο αν είναι «-» Αν η συνάρτηση f/α Β έχει αντίστροφη την f / Β Α Β= f Α, που σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της μιας τότε προφανώς είναι ( ) είναι σύνολο τιμών της άλλης. Ο τύπος της αντίστροφης f (x) βρίσκεται αν η σχέση y= f(x) λυθεί ως προς χ ( διότι x = f (y) ). Συνήθως αλλάζουμε μετά τους αγνώστους x,y μεταξύ τους. 4 Προφανώς ισχύει: ( f ) = f Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x ) και f ( x) γίνουν στο ίδιο σύστημα αξόνων είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο της πρώτης, τρίτης γωνίας των αξόνων. Δηλαδή είναι συμμετρικές με άξονα συμμετρίας την ευθεία y= x. 6 Η εξίσωση f (x) = f(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x) = x μόνο όταν η f είναι γνησίως αύξουσα. Αυτό συμβαίνει, λόγω της συμμετρίας αυτής ως προς τη διχοτόμο ( y= x) που έχει ως συνέπεια να ισχύει: αν f (x) = f(x) = x = y Παραδείγματα συνόλου τιμών αντίστροφης x + x x + Λύση: Θέτω y = x λύνουμε ως προς x και έχουμε:. Αν f(x) = / Α= [,), να βρείτε το f ( Α ). () με x <. Την εξίσωση αυτή () y( x ) = x+ yx x = y + ( ) x = y+ () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

4 Παρατηρούμε ότι είναι y διότι στην αντίθετη περίπτωση, έχουμε ( ) x = + δηλαδή 0=, που είναι αδύνατο. Επειδή λοιπόν είναι y, ισοδύναμα της (), έχουμε: y+ x = y Δεδομένου ότι από το πεδίο ορισμού ισχύει x < έχουμε: y+ < με y Είναι προφανές ότι οι λύσεις της προηγούμενης ανίσωσης είναι οι κοινές λύσεις των: Παρατηρούμε ότι: y+ () και y y+ < (4) () y+ 0 y+ y+ 4 0 y+ 0 Ακόμη έχουμε: (4) ( y+ )( ) 0 y+ < < y () y+ y+ 6 < 0 y + 7 < 0 ( y+ 7)( ) < 0 7 y< ή < y (6) Από τις σχέσεις () και (6) και με την βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

5 Προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης, είναι: Προφανώς είναι max f ( x) τιμών από αριστερά είναι ανοικτό. 7 f( Α ) =, =, ενώ δεν υπάρχει ελάχιστη τιμή, γιατί το πεδίο. Αν η συνάρτηση f / Α έχει τύπο: x f(x) = με Α =, 4, να λυθεί η εξίσωση: f (x) = f(x) Λύση: Η f είναι «-», διότι όταν f(x ) = f(x ), έχουμε: x x = x = x x = x Άρα η f αντιστρέφεται. Θέτουμε f(x) = y και έχουμε: x y = x = y + Επειδή είναι x 4, συνεπάγεται: y + x = y+ 4 y y Επομένως έχω: y + 7 f (y) =, y 0, Αλλάζοντας τα γράμματα προκύπτει: x + 7 f (x) =, x 0, Προκειμένου να λύσουμε την εξίσωση να ακολουθήσουμε δυο τρόπους. f (x) f(x) = (), μπορούμε ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

6 α τρόπος: Η () είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: x + x = x + = 4x x = 7 x = Η ρίζα αυτή απορρίπτεται, γιατί είναι εκτός του πεδίου ορισμού. β τρόπος: Η συνάρτηση x f(x) = είναι γνησίως αύξουσα, επειδή > 0 f (x) = f(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: f(x) = x που απορρίπτεται. x = x x = x = x x = ίδια λύση με τον α τρόπο..7.. Σύνθεση συναρτήσεων Ορισμός: Ονομάζουμε σύνθεση της συνάρτησης f/α με την g/β και συμβολίζουμε g f μια νέα συνάρτηση που έχει τύπο: ( g f )(x) = g( f(x) ) με πεδίο ορισμού το { x : f( x) } Α. Α = Α Β όπου Α Α και Σημείωση: Αν έχουμε τις συναρτήσεις f/α Β και g/β Γ, τότε είναι: g f /Α Γ Δηλαδή έχουμε Α = Α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

7 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει, διότι δεν ισχύει πάντα. Δηλαδή γενικά έχουμε: g f f g Υπάρχει η περίπτωση να ισχύει για μερικές συναρτήσεις, όπως για τις συναρτήσεις: g x = x+ / f ( x) x / = + και ( ) αλλά αυτό δεν συμβαίνει για όλες. Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει. Δηλαδή πάντα έχουμε: ( g f) h= g ( f h) Αν η f /Α Β είναι «-», τότε υπάρχει η αντίστροφη αυτής και ισχύουν: f f (x) = f f(x) = f (y) = x ταυτοτική στο Α ( ) ( ) f ( ) ( ) f f (y) = f f (y) = f(x) = y ταυτοτική στο Β Αν οι δυο συναρτήσεις f / A και g / Β είναι γνησίως μονότονες και του ίδιου είδους μονοτονίας, τότε οι συναρτήσεις: είναι γνησίως αύξουσες. g f και f g Αν οι f / A και g / B είναι γνησίως μονότονες, αλλά διαφορετικού είδους μονοτονίας, τότε οι συναρτήσεις: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

8 είναι γνησίως φθίνουσες. g f και f g ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγμα ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις: x + με x 0 x + με x > f(x) = και g(x) = με x > 0 x 4 με x x Να βρεθεί η συνάρτηση f g. Λύση: Παρατηρώ ότι είναι: ( f ) g (x) ( x + ) ( x+ ) = ( x+ ) + / Ρ x + x 4 = x 4 + / Ρ = ( ) ( ) ( ) ( x + ) = / Ρ x x+ ( x 4 ) = / Ρ x x 4 4 όπου: { x x 0 Ρ = > και + } = { } [ ] { } ( ) { } ( ) Ρ = x και x 4 0 =, Ρ = x > και x+ > 0 =, + Ρ 4 = x και x 4> 0 =, ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

9 Σημείωση: Κανονικά η συνάρτηση f g έχει 4 κλάδους. Επειδή όμως είναι Ρ = έχει τελικά κλάδους. Παράδειγμα ο Αν ισχύουν: g(x) x / = + και ( ) ( ) Να βρεθεί ο τύπος της f. Λύση: Παρατηρώ ότι ισχύει: ( ) f g (x) = 6x+ 7 Δηλαδή έχουμε f ( g(x) ) = 6x+ 7 άρα ισχύει: f g (x) = f g(x) = 6x + 7 / f( x+ ) = 6x+ 7 () Στη συνέχεια ο τύπος της f να μπορεί να προσδιορισθεί με δυο τρόπους. α τρόπος: έχουμε: Στην ισότητα (), θέτω y= x+ f(y) = 6x+ 7 y f(y) = f(y) = ( y) + 7 f (y) = y + Συνεπώς είναι: f(x) = x+ β τρόπος: Στην (), θέτουμε: y= x+ () Άρα έχουμε: y x = και επομένως f( x + ) = ( x) + 7 f( x+ ) = ( x+ ) + 7 Απ αυτή και λόγω της (), προκύπτει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

10 Δηλαδή έχουμε: Άρα: f(y) = ( ) + 7= + 7 f (y) = y + f(x) = x+ μέλος. Κατά τον β τρόπο, προσπαθώ να εμφανίσω το y στο δεύτερο ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Υπάρχει μια ειδική κατηγορία ασκήσεων στις οποίες δεν δίνεται ο τύπος της f/α Β αλλά κάποια σχέση (ιδιότητα), η οποία ισχύει για κάθε x Α (ή για κάθε x,y Α κ. λ. π. ) και η οποία αφορά την f. Με την βοήθεια αυτής της σχέσης, δίνοντας στα x, y,... κάποιες τιμές από το Α, ανάλογα με την κρίση μας, βρίσκουμε τα ζητούμενα. Παράδειγμα: Αν f/ είναι συνάρτηση όχι σταθερή και ισχύει: f(x + y) + f(x y) = f(x) f(y) x, y () Δείξτε ότι: f 0 f x = f x x,y α. ( ) =, β. ( ) ( ) γ. Αν f( ρ ) = 0, τότε ισχύει ( ) ( ) f x+ 4ρ = f x x Λύση: α. Επειδή η () ισχύει για κάθε x, y ισχύει και όταν y= 0. Για την τιμή αυτή του y και για κάθε x, έχουμε: f(x) + f(x) = f(x) f(0) f(x) = f(x) f(0) x f(x) ( f(0) ) = 0 x Από την ισότητα αυτή, επειδή δεν μπορεί να ισχύει f ( x) = 0 x διότι η f δεν είναι σταθερή, προκύπτει: f( 0) = ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

11 β. Στην (), θέτοντας x = 0, έχω: f(y) + f( y) = f(0) f(y) y Απ αυτή και λόγω του ερωτήματος (α), έχω f( y) = f(y) y, άρα ισχύει: f( x) = f(x) x γ. Θέτω στην () y = ρ και έχω: Απ αυτή και επειδή ( ) f(x + ρ ) + f(x ρ ) = f(x) f( ρ) x f ρ = 0, έχω: f(x +ρ ) + f(x ρ ) = 0 x f(x + ρ ) = f(x ρ) x () Στη () θέτω όπου x = y+ ρ και στη συνέχεια x = y+ρ και έχω αντίστοιχα: και f(y+ 4 ρ ) = f(y+ ρ) x () f(y+ ρ ) = f(y) x (4) Από τι σχέσεις () και (4), προκύπτει: f(x+ 4 ρ ) = f(x+ ρ ) = ( f(x) ) = f(x) Επομένως έχουμε: f(y+ 4 ρ ) = f(y) x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ