ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα 3», αντίστοιχα). Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f («Σχήμα»), η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [ αβ, ], παρατηρούμε ότι καθώς το x «κινείται» στο διάστημα αυτό από αριστερά προς τα δεξιά, η καμπύλη «ανεβαίνει». Δηλαδή καθώς αυξάνονται οι τιμές του x, αυξάνονται και οι αντίστοιχες τιμές f( x ). Στην περίπτωση αυτή θα λέμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ αβ, ]. Γενικότερα: Σχήμα Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x, x Δ με x < x ισχύει: f(x ) < f(x ). Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g («Σχήμα»), η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [ αβ, ], διαπιστώνουμε ότι καθώς το x «κινείται» στο διάστημα αυτό από αριστερά προς τα δεξιά, η καμπύλη «κατεβαίνει». Δηλαδή καθώς αυξάνονται οι τιμές του x, ελαττώνονται οι αντίστοιχες τιμές gx ( ). Στην περίπτωση αυτή θα λέμε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ αβ, ]. Γενικότερα: Σχήμα

2 Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x, x Δ με x < x ισχύει: f(x ) > f(x ). Στο «Σχήμα 3» και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, η οποία είναι ορισμένη σε όλο το, παρατηρούμε ότι καθώς το x «κινείται» από αριστερά προς τα δεξιά, η καμπύλη κινείται παράλληλα στο άξονα x x. Δηλαδή καθώς αυξάνονται οι τιμές του x, οι αντίστοιχες τιμές hx ( ) παραμένουν σταθερές με hx ( ) = 3. Στη περίπτωση αυτή θα λέμε ότι η h είναι σταθερή στο. Γενικότερα: Σχήμα 3 Μία συνάρτηση θα λέμε ότι είναι σταθερή σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x, x Δ με x x ισχύει: f(x ) = f(x ). Ορίζουμε ως γνησίως μονότονη μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ όταν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. Μια συνάρτηση όμως δεν είναι απαραίτητο να είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ή σταθερή σε όλο το πεδίο ορισμού της. Για παράδειγμα η συνάρτηση f της οποίας τη γραφική παράσταση βλέπουμε στο «Σχήμα 4». Παρατηρούμε ότι η f έχει πεδίο ορισμού το. Η γραφική της παράσταση, καθώς αυξάνονται οι τιμές του x: στο διάστημα (, ] ανέρχεται (αυξάνονται και οι αντίστοιχες τιμές f( x )), στο διάστημα [,] κατέρχεται (ελαττώνονται οι αντίστοιχες τιμές f( x )), Σχήμα 4 στο διάστημα [, ] ανέρχεται, στο διάστημα [, 3] είναι παράλληλη στον άξονα x x και

3 στο διάστημα [ 3, + ) κατέρχεται. Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ] όπως και στο διάστημα [ ] φθίνουσα στο διάστημα [,] όπως και στο διάστημα [ 3, + ) και σταθερή στο διάστημα [ ],, γνησίως, 3. 3

4 Ακρότατα Συνάρτησης Έστω οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, h, όπως φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα 5», «Σχήμα 6», «Σχήμα 7», αντίστοιχα). Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, παρατηρούμε ότι για x= x η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της, που είναι η f( x ). Δηλαδή ισχύει: f( x) f( x ), για κάθε x το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x= x, μέγιστο το f( x ). Γενικότερα: Σχήμα 5 Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει: Στο x Α (ολικό) μέγιστο (maximum), το f(x ), όταν f(x) f(x ) για κάθε x Α. Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, διαπιστώνουμε ότι για x= x η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή της, που είναι η gx ( ). Δηλαδή ισχύει: gx ( ) gx ( ), για κάθε x το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει στο x= x, ελάχιστο το gx ( ). Γενικότερα: Σχήμα 6 Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει: Στο x Α (ολικό) ελάχιστο (minimum), το f(x ), όταν f(x) f(x ) για κάθε x Α. Στο «Σχήμα 7» και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, η οποία είναι ορισμένη σε όλο το, παρατηρούμε ότι καθώς το x Σχήμα 7 4

5 αυξάνεται απεριόριστα το hx ( ) αυξάνεται και αυτό απεριόριστα, ενώ καθώς το x ελαττώνεται απεριόριστα το hx ( ) ελαττώνεται και αυτό απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση h δεν παρουσιάζει μέγιστο ούτε ελάχιστο. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης, λέγονται ολικά ακρότατα αυτής. Σχόλιο: Μία συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει μόνο μέγιστο ή μόνο ελάχιστο ή μέγιστο και ελάχιστο ή να μην παρουσιάζει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Όπως διαπιστώσαμε από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h στο «Σχήμα 7», η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα. Παρατηρώντας την όμως κοντά στο x («Σχήμα 8») βλέπουμε ότι η τιμή της hx ( ) είναι η μεγαλύτερη από τις τιμές της h για κάθε x που ανήκει σε ένα ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το x, ή, όπως λέμε σε μια περιοχή του x. Σε μία τέτοια περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση h παρουσιάζει στο σημείο x τοπικό μέγιστο το hx ( ). Γενικότερα: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει: Στο x A τοπικό μέγιστο, όταν f( x) f( x ) για κάθε x σε μία περιοχή του x. Αν όμως παρατηρήσουμε τη συνάρτηση κοντά στο x βλέπουμε ότι η τιμή της hx ( ) είναι η μικρότερη από τις τιμές της h για κάθε x που ανήκει σε μια περιοχή του x. Σε αυτή την περίπτωση θα λέμε ότι η συνάρτηση h παρουσιάζει στο σημείο x τοπικό ελάχιστο το hx ( ). Γενικότερα: Σχήμα 8 Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει: Στο x A τοπικό ελάχιστο, όταν f( x) f( x ) για κάθε x σε μία περιοχή του x. 5

6 Με αντίστοιχους συλλογισμούς διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x= x 3 και τοπικό ελάχιστο για x= x 4. Σε αντίθεση με την περίπτωση όπου μια συνάρτηση έχει ολικά ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) στην οποία δε μπορεί ποτέ το (ολικό) ελάχιστο να είναι μεγαλύτερο από το (ολικό) μέγιστο, όπως παρατηρούμε στη συνάρτηση h ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο ( hx ( 4) > hx ( ) ). Τα τοπικά ή ολικά, μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης ονομάζονται ακρότατα της συνάρτησης. Αξίζει να προσέξουμε την περίπτωση στην οποία το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα διάστημα κλειστό ως προς το ένα άκρο του τουλάχιστον. Ας υποθέσουμε ότι η προηγούμενη συνάρτηση h είχε πεδίο ορισμού το Α= ( αβ, ]. Βλέπε «Σχήμα 9». Παρατηρούμε ότι υπάρχει διάστημα της μορφής ( γ, β ] τέτοιο ώστε η τιμή h( β ) είναι η μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης για κάθε x που ανήκει στο διάστημα ( γ, β ]. Σε μία τέτοια περίπτωση θα λέμε ότι η συνάρτηση h παρουσιάζει στο σημείο x = β τοπικό μέγιστο το h( β ). Ανάλογα για αντίστοιχες περιπτώσεις κλειστών-ημίκλειστων διαστημάτων. Σχήμα 9 6

7 Μονοτονία ακρότατα βασικών συναρτήσεων Στην παράγραφο αυτή υπενθυμίζουμε τη μονοτονία και τα ακρότατα, με χρήση της γραφικής τους παράστασης, των εξής βασικών συναρτήσεων: Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α > της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία με θετικό συντελεστή διεύθυνσης, είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α= και δεν έχει ακρότατα (με f ( Α ) = ). α > Σχήμα Πράγματι αν παρατηρήσουμε τη γραφική παράσταση ανάλογης συνάρτησης («Σχήμα»), καθώς αυξάνεται το x, η καμπύλη «ανέρχεται», δηλαδή για οποιαδήποτε x, x με x < x ισχύει f( x) < f( x ) (γνησίως αύξουσα), επίσης καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα το f( x ) αυξάνεται και αυτό απεριόριστα, ενώ καθώς το x ελαττώνεται απεριόριστα το f( x ) ελαττώνεται και αυτό απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει μέγιστο ούτε ελάχιστο. Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α < της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία με αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης, είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της Α= και δεν έχει ακρότατα (με f ( Α ) = ). α < Σχήμα Αν παρατηρήσουμε τη γραφική παράσταση ανάλογης συνάρτησης («Σχήμα»), καθώς αυξάνεται το x, η καμπύλη «κατέρχεται», δηλαδή για οποιαδήποτε x, x Α με x < x ισχύει f( x) > f( x ) (γνησίως φθίνουσα), επίσης καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα το f( x ) ελαττώνεται και αυτό απεριόριστα, ενώ καθώς το x ελαττώνεται απεριόριστα το f( x ) αυξάνεται απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει μέγιστο ούτε ελάχιστο. 7

8 Η συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, με α > της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή (ανάλογη συνάρτηση βλέπουμε στο «Σχήμα»), είναι γνησίως β φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο α β, +. α α > Παρουσιάζει ελάχιστο (τοπικό και ολικό) για β f = α 4α. β x = α το Σχήμα Η συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, με α < της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή (ανάλογη συνάρτηση βλέπουμε στο «Σχήμα 3») είναι γνησίως β αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο α β, +. Παρουσιάζει μέγιστο (τοπικό και ολικό) για α β x = α το β f = α 4α. α < Σχήμα 3 Η συνάρτηση f( x)= α, με a > της οποίας η γραφική x παράσταση είναι μια υπερβολή (ανάλογη συνάρτηση βλέπουμε στο «Σχήμα 4») είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) και στο ( ), + και δεν παρουσιάζει ακρότατα. α > Σχήμα 4 8

9 Η συνάρτηση f( x)= α, με a < της οποίας η γραφική x παράσταση είναι μια υπερβολή (ανάλογη συνάρτηση βλέπουμε στο «Σχήμα 5»), είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και στο ( ), + και δεν έχει ακρότατα. α < Σχήμα 5 Η συνάρτηση f(x) = αx 3, με α > (ανάλογη συνάρτηση βλέπουμε στο «Σχήμα 6») είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α= αφού για οποιαδήποτε x, x με x < x ισχύει: f( x) < f( x ). Επίσης η f δεν παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ούτε τοπικό ελάχιστο (επομένως ούτε ολικά ακρότατα), εφόσον δεν υπάρχει κανένα σημείο x A τέτοιο ώστε f( x) f( x ) ή f( x) f( x ) αντίστοιχα για κάθε x σε μία περιοχή του x (με f ( Α ) = ). α => Σχήμα 6 Η συνάρτηση f(x) = αx 3, με α < (παράδειγμα ανάλογης συνάρτησης βλέπουμε στο «Σχήμα 7») είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της Α= και δεν έχει ακρότατα (με f ( Α ) = ). α < Σχήμα 7 Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x, με α > (παράδειγμα ανάλογης συνάρτησης, η f(x) = e x, «Σχήμα 8») είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α= και δεν έχει ακρότατα αφού δεν υπάρχει κανένα σημείο x A τέτοιο ώστε η τιμή f( x ) να είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη από τις τιμές της f για κάθε x που ανήκει σε μία περιοχή του x f ( Α ) =, + ). (με ( ) α=e > Σχήμα 8 9

10 Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x, με < α < (ανάλογη συνάρτηση βλέπουμε στο «Σχήμα 9») είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της ( Α= ) και δεν έχει f ( Α ) =, + ). ακρότατα (με ( ) < α < Σχήμα 9 Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log a x, με α > είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α = (, + ) και δεν έχει ακρότατα (με f ( Α ) = ). Τα συμπεράσματα αυτά επιβεβαιώνονται παρατηρώντας τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αυτής της μορφής («Σχήμα»). Σχήμα α > Σχόλιο : Τα παραπάνω συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση f( x) = ln x. Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log a x, με < α < είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της ( (, ) Α = + ) και δεν έχει ακρότατα (με f ( Α ) = ). Τα συμπεράσματα αυτά επιβεβαιώνονται παρατηρώντας τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αυτής της μορφής («Σχήμα»). < α < Σχήμα Η συνάρτηση f(x) = ημx, έχει γραφική παράσταση μια ημιτονοειδή καμπύλη και πεδίο ορισμού το Α=. Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε και γραφικά («Σχήμα»), παρατηρώντας την σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου [, π ] (περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ = π), είναι π γνησίως αύξουσα στο,, γνησίως φθίνουσα στο Σχήμα

11 π 3π, και γνησίως αύξουσα στο 3 π, π άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε π διάστημα της μορφής κπ,κπ +, γνησίως φθίνουσα σε κάθε διάστημα της μορφής π 3π κπ +,κπ + και γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα της μορφής 3π κπ +, ( κ + ) π, με κ Ζ. 3π Παρουσιάζει ελάχιστο, τοπικό και ολικό, για κάθε x = κπ +, κ Ζ, το και μέγιστο, τοπικό π και ολικό, για κάθε x = κπ +, κ Ζ, το, (με f ( Α ) = [,] ). Η συνάρτηση f(x) = συνx, της οποίας τη γραφική παράσταση βλέπουμε στο «Σχήμα 3» έχει πεδίο ορισμού το Α=, είναι γνησίως φθίνουσα στο [,π ] και γνησίως αύξουσα στο [ π,π ]. Επειδή είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ = π η f θα είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε διάστημα της μορφής [ κπ, κπ + π ] και γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα της μορφής [ κπ + π,κπ + π ], με κ Ζ. Σχήμα 3 Παρουσιάζει ελάχιστο, τοπικό και ολικό, για κάθε x = (κ + ) π, κ Ζ, το και μέγιστο, τοπικό και ολικό, για κάθε = f ( Α ) =, ). x κπ, κ Ζ, το, (με [ ] Τέλος η συνάρτηση f(x) = εφx, έχει πεδίο ορισμού το π A= x / x κπ +, κ Z. Παρατηρώντας τη γραφική της παράσταση («Σχήμα 4» ) μπορούμε να π π διαπιστώσουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο, και επειδή είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ = π η f θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα της μορφής π π κπ, κπ +, με κ Ζ και δεν έχει ακρότατα (με f ( Α ) = ). Σχήμα 4

12 Επισημάνσεις - Παρατηρήσεις - Σχόλια Είναι σημαντικό να κάνουμε κάποια σχόλια και παρατηρήσεις που θα μας βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση όλων των εννοιών που διαπραγματευθήκαμε στην ενότητα αυτή και επιπλέον θα μας δώσουν κάποια στοιχεία που θα διευκολύνουν την επίλυση των ασκήσεων.. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα A, τότε είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας σε οποιοδήποτε υποδιάστημα του A. Για παράδειγμα η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο «Σχήμα 4» είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] και όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε είναι γνησίως φθίνουσα και σε κάθε υποδιάστημα του [,], (π.χ. στο [, ], ή στο [.5,.5] ή στο [, ] ).. Μια συνάρτηση μπορεί να έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα, του πεδίου ορισμού της, αλλά όχι απαραίτητα και στην ένωση τους ( ). Στο παράδειγμα της συνάρτησης f με τη γραφική παράσταση να φαίνεται στο «Σχήμα 5» παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,], γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, + ), αλλά δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο(,] (, + ) =, γιατί για < ισχύει f( ) < f (). Δηλαδή υπάρχουν x, x με x < x τέτοια ώστε f( x) < f( x ). Σχήμα 5 3. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση δεν μπορεί να είναι άρτια. Και αντίστροφα, κάθε άρτια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη. Πράγματι αν μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το Α, είναι γνησίως μονότονη τότε για κάθε x, x Α με x < x ισχύει: f( x ) f( x ) f( x ) < f( x ) αν f γν. αύξουσα ή f( x) > f( x ) αν f γν. φθίνουσα), ( άρα δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f συμμετρικά ως προς τον άξονα y y, δηλαδή η f δεν είναι άρτια.

13 Αντίστροφα, αν η μια συνάρτηση f είναι άρτια, θα υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης συμμετρικά ως προς τον y y, που σημαίνει σημεία με αντίθετη τετμημένη ( x = α, x = α με α > ) και ίδια τεταγμένη f( x ) = f( x ) = β ). Άρα για x < xθα ισχύει f( x) = f( x) οπότε η f δεν θα είναι ( γνησίως μονότονη. 4. Αν μία συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο (ένα τουλάχιστον) και τοπικό ελάχιστο (ένα τουλάχιστον), δε σημαίνει ότι υποχρεωτικά το τοπικό μέγιστο είναι μεγαλύτερο από το τοπικό ελάχιστο. Για παράδειγμα η συνάρτηση h όπως παρατηρήσαμε από τη γραφική της παράσταση στο «Σχήμα 8» είχε για x= x τοπικό μέγιστο το hx ( ) μικρότερο από το τοπικό ελάχιστο hx ( 4) (για x= x 4 ). 5. Τα ολικά ακρότατα μιας συνάρτησης είναι και τοπικά ακρότατα αυτής. Ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή ένα τοπικό ακρότατο δεν σημαίνει ότι είναι και ολικό ακρότατο. Πράγματι αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο όπως στο παράδειγμα του «Σχήματος 5» στο x, τότε οι τιμές της συνάρτησης f( x ) θα είναι μικρότερες ή το πολύ ίσες με το f( x ) για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της, άρα και για κάθε x που ανήκει σε μία περιοχή του x, που σημαίνει f( x ) είναι και τοπικό μέγιστο. Ανάλογα διαπιστώνουμε ότι κάθε ολικό ελάχιστο είναι τοπικό ελάχιστο (π.χ. «Σχήμα 6»). Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h στο «Σχήμα 9» το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή υπάρχουν τοπικά ακρότατα ( hx ( ) τοπικό μέγιστο και hx ( ) τοπικό ελάχιστο) τα οποία δεν είναι ολικά ακρότατα. 6. Σε κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x το πολύ σε ένα σημείο. Για παράδειγμα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f («Σχήμα 6») είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της και όπως βλέπουμε τέμνει τον άξονα x x σε ένα μόνο σημείο ( Α( x,) ), ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης g («Σχήμα 7») είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της και δεν τέμνει τον άξονα x x. Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f δεν μπορεί να τέμνει τον x x σε περισσότερα από ένα σημεία γιατί αν υποθέσουμε ότι την τέμνει σε δύο σημεία, Α( x,) και Β( x,) (με x < x ), θα υπάρχουν δύο σημεία της με την ίδια τεταγμένη, δηλαδή για x < x θα ισχύει f( x ) = f( x ) =, πράγμα άτοπο αφού f γνησίως μονότονη. 3

14 Σχήμα 6 Σχήμα 7 7. Αποδεικνύεται ότι μία γνησίως μονότονη συνάρτηση ορισμένη σε ανοικτό διάστημα( a, β ) δεν έχει ακρότατα. Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης f ορισμένης στο( a, β ) («Σχήμα 8») δεν έχει ακρότατα, αφού δεν υπάρχει κανένα σημείο x ( ), a β τέτοιο ώστε η τιμή f( x ) να είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της f σε μία περιοχή του x (τοπικό ελάχιστο) ή η μικρότερη από τις Σχήμα 8 τιμές της f σε μία περιοχή του x (τοπικό μέγιστο). Ανάλογα συμπεράσματα προκύπτουν αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( a, β ). 8. Στην περίπτωση που μία συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο (στο x ) τον αρνητικό αριθμό α ( f( x ) = a < ) τότε f( x ) < για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της Α (αφού για κάθε x που ανήκει στο Α ισχύει f( x) a < ). Αντίστοιχα αν f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο (στο x ) το θετικό αριθμό α ( f( x ) = a > ) τότε f( x) α > για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της. 4

15 Ανακεφαλαίωση Τα βασικά σημεία των εννοιών που παρουσιάστηκαν στην ενότητα αυτή είναι: Ορισμός Γνησίως Αύξουσας Συνάρτησης: Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x, x Δ με x < x ισχύει: f(x ) < f(x ). Ορισμός Γνησίως Φθίνουσας Συνάρτησης: Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x, x Δ με x < x ισχύει: f(x ) > f(x ). Ορισμός Γνησίως Μονότονης Συνάρτησης σε Διάστημα Δ: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ όταν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. Ορισμός Τοπικού Μεγίστου Συνάρτησης: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει: Στο x A τοπικό μέγιστο, όταν f( x) f( x ) για κάθε x σε μία περιοχή του x. Ορισμός Τοπικού Ελαχίστου Συνάρτησης: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει: Στο x A τοπικό ελάχιστο, όταν f( x) f( x ) για κάθε x σε μία περιοχή του x. 5

16 Ορισμός Ακρότατων Συνάρτησης: Τα τοπικά ή ολικά, μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης ονομάζονται ακρότατα της συνάρτησης. 6

17 Παραδείγματα Εφαρμογής Παράδειγμα (Μονοτονία) Μπορείτε να το δείτε στη βιντεοδιάλεξη "Υποενότητα 6" Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση, που η γραφική της παράσταση παρουσιάζεται στο σχήμα, είναι γνησίως μονότονη, σταθερή. (Θέμα Β) Λύση Αφού γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, μπορούμε από το σύνολο των τετμημένων των σημείων της να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της. Δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση η f έχει πεδίο ορισμού το 4 π Α =, +. 3 Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f : Ανέρχεται, είναι διαστήματα που η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Σχήμα Κατέρχεται, είναι διαστήματα που η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Είναι παράλληλη στον άξονα x x, είναι διαστήματα που η συνάρτηση είναι σταθερή. Άρα η συνάρτηση f είναι: - Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα - γνησίως αύξουσα στο διάστημα 4π π, 3 3, π, 3, π - σταθερή στο διάστημα, 3, - γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π π, και π - γνησίως αύξουσα στο διάστημα +,

18 Παράδειγμα (Μονοτονία) Μπορείτε να το δείτε στη βιντεοδιάλεξη "Υποενότητα 7" Έστω :[,] f γνησίως μονότονη συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Κ( 5, ) και ( 3, ) α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. β) Να λύσετε την ανίσωση f( x ) <. (Θέμα Γ) Λύση Λ. α) Από τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, Κ( 5, ), ( 3, ) έχουμε: x < x και > f( x ) f( x ) (αφού > ), και Λ για x = 5 και x = 3 επειδή η f γνησίως μονότονη συνάρτηση θα είναι γνησίως φθίνουσα στο Α= [,]. Επισημάνσεις - Παρατηρήσεις - Σχόλια : Όταν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) στο πεδίο ορισμού της Α και επιπλέον γνωρίζουμε τις τετμημένες x, x (με x < x ) δύο σημείων Β( x, f( x )), (, ( )) Γ x f x της γραφικής παράστασης της f, αν οι αντίστοιχες τεταγμένες των σημείων είναι ομοιοτρόπως άνισες ( f( x) < f( x ) ) η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα, ενώ αν αλλάζει η φορά της ανισότητας ( f( x) > f( x ) ) η f θα είναι γνησίως φθίνουσα. β) Επειδή το είναι η τεταγμένη του σημείου ( 3, ) f( x ) < f( x) < f (3) (). Λ, έχουμε f (3) =, οπότε: Στο (α) υποερώτημα της άσκησης δείξαμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α= [,]. Άρα η σχέση (), βάσει του ορισμού της γνησίως φθίνουσα συνάρτησης, γίνεται ισοδύναμα: f γν. φθίνουσα f( x) < f(3) x > 3 με x, [ ]. Από τη συναλήθευση της ανίσωσης x > 3 με τις τιμές του x που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f προκύπτουν οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης. Συνεπώς ( 3,] x. 8

19 Επισημάνσεις - Παρατηρήσεις - Σχόλια : Πολλές φορές η μονοτονία μιας συνάρτησης μας βοηθάει στην επίλυση ανισώσεων. Για παράδειγμα αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε από την ανίσωση f( x) < f () ισοδύναμα με τη βοήθεια του ορισμού της γνησίως αύξουσας συνάρτησης έχουμε: f( x) < f() x <. Παράδειγμα 3 (Ακρότατα) Μπορείτε να το δείτε στη βιντεοδιάλεξη "Υποενότητα 8" Δίνεται συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο «Σχήμα». Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα τοπικά και τα ολικά ακρότατα της f καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. (Θέμα Β) Λύση Με τη βοήθεια των προβολών των σημείων της γραφικής παράστασης της f στον άξονα x x βρίσκουμε ότι το πεδίο 5 ορισμού της συνάρτησης f είναι: Α=,. Παρατηρούμε ότι για x = και f( x) f ( ) = για κάθε x που ανήκει σε μία περιοχή του, άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x = τοπικό ελάχιστο το f ( ) =. Με ανάλογους συλλογισμούς προκύπτει ότι η f παρουσιάζει στο x = τοπικό ελάχιστο το f () =. Σχήμα Για x =, f( x) f () = για κάθε x που ανήκει σε μία περιοχή του, άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x = τοπικό μέγιστο το f () =. Για x = παρατηρούμε ότι υπάρχει διάστημα της μορφής [, β ) τέτοιο ώστε η τιμή f ( ) είναι η μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης για κάθε x που ανήκει στο διάστημα [, β ). Οπότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο σημείο x = τοπικό μέγιστο το f ( ) =. 5 Τέλος διαπιστώνουμε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x = και για x = το 8 f( ) = f () = και δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο αφού το σύνολο τιμών της f f( A ) =, 5 είναι ανοικτό διάστημα από τα δεξιά, οπότε δεν υπάρχει x Α τέτοιο ώστε f( x) f( x ) για κάθε x Α. 9

20 Επισημάνσεις - Παρατηρήσεις - Σχόλια : Αν μία συνάρτηση f έχει για σύνολο τιμών ένα ανοικτό διάστημα τότε η f δεν έχει ολικά ακρότατα, ενώ αν το σύνολο τιμών της f είναι ανοικτό διάστημα από τα αριστερά (ή από τα δεξιά), δεν θα έχει ελάχιστο (ή μέγιστο αντίστοιχα). Παράδειγμα 4 (Ακρότατα) Μπορείτε να το δείτε στη βιντεοδιάλεξη "Υποενότητα 9" Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων. α) ( ) = + 5 f x x με πεδίο ορισμού το = [, 7] A. β) gx ( ) = x +. (Θέμα Γ) ( τρόποι επίλυσης) Λύση α) Από το πεδίο ορισμού της f, A = [, 7] έχουμε: 7 x 7 ( ) x 7 x x f( x) f( x ) Από τις λύσεις των εξισώσεων: f( x) = x+ 5= x= x= 7και f( x) = x+ 5= x= x =, προκύπτουν οι τιμές του x στις οποίες η f παρουσιάζει ελάχιστο και μέγιστο αντίστοιχα. Επομένως η f για x = 7 παρουσιάζει ελάχιστο το f ( ) =. 3 f (7) = και για x = παρουσιάζει μέγιστο το ος τρόπος Η συνάρτηση f είναι της μορφής f( x)= αx+ β με α = <. Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α.

21 Με τη βοήθεια του ορισμού της γνησίως φθίνουσα συνάρτησης, έχουμε: f γν. φθίνουσα < x< 7 f( ) > f( x) > f (7). Επομένως για κάθε x, [ 7] ισχύει: x 7 f( ) f( x) f(7) ( ) + 5 f( x ) f( x) f( x ). Άρα η f για x = 7 παρουσιάζει ελάχιστο το f ( ) =. 3 f (7) = και για x = παρουσιάζει μέγιστο το β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το Α= και x () για κάθε x ενώ x = για x =. Η σχέση () γίνεται ισοδύναμα: () x+ gx ( ) gx ( ) g (). Άρα η g παρουσιάζει για x = ελάχιστο το. Επισημάνσεις - Παρατηρήσεις - Σχόλια : Κάθε συνάρτηση της μορφής f( x)= x+ έχει: α β με πεδίο ορισμού ένα κλειστό διάστημα A = [, ] Ελάχιστο το f ( γ ) και μέγιστο το f ( δ ) αν α > (f γν. αύξουσα). Ελάχιστο το f ( δ ) και μέγιστο το f ( γ ) αν α < (f γν. φθίνουσα). γδ, θα

22 Παράδειγμα 5 (Ακρότατα) Μπορείτε να το δείτε στη βιντεοδιάλεξη "Υποενότητα " Να κατασκευάσετε πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων για τις συναρτήσεις που ακολουθούν. α) f( x) = x 4x + 3. συν με πεδίο ορισμού το = [, ] β) gx ( ) = x (Θέμα Γ) Λύση α) Η συνάρτηση f είναι της μορφής A ππ. f( x)= αx + βx+ γ με α = < και β 4 4 = = =. Επομένως κατά τα γνωστά η f είναι: α ( ) 4 Γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ) β α =, το f β α ( ) = f( ) = ( ) 4( ) + 3 = = 5 + και παρουσιάζει μέγιστο στο. Εποπτικά η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: β) Η συνάρτηση g αποτελείται από το άθροισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης hx ( )= συν xκαι της σταθερής ( ) = x ππ,. tx, με [ ] Όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση hx ( )= φθίνουσα στο [,π ]. συν xείναι γνησίως αύξουσα στο [ π,] και γνησίως Παρουσιάζει μέγιστο (ολικό) για x = το h() = συν = και ελάχιστο (ολικό) για x = π και για x = π το h( π) = h( π ) =. Άρα: hx () για κάθε x [ ππ ] ( ) Επομένως,,.

23 για κάθε, [,] x x π με x < x ισχύει: hx ( ) < hx ( ) συν x< συν x συν x < συν x gx ( ) < gx ( ), άρα g γνησίως αύξουσα στο [ π,], Και για κάθε, [, ] x x π με x < x ισχύει: hx ( ) > hx ( ) συν x> συν x συν x > συν x gx ( ) > gx ( ), άρα g γνησίως φθίνουσα στο [,π ]. Η σχέση () γίνεται ισοδύναμα: () συν x συν x gx ( ) Οπότε η g παρουσιάζει ελάχιστο για x = π και για x = π το g( π) = g( π ) = και για x = μέγιστο το g () =. Εποπτικά η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Παράδειγμα 6 (Ακρότατα) Μπορείτε να το δείτε στη βιντεοδιάλεξη "Υποενότητα " Ένας αθλητής τοξοβολίας εκτελεί βολή και το βέλος ακολουθεί παραβολική τροχιά με εξίσωση y = x + x +. Στόχος του αθλητή είναι να περάσει το βέλος πάνω από ένα τοίχο ύψους 6 7m. α) Να βρεθεί η απόσταση που πρέπει να έχει ο αθλητής από τον τοίχο έτσι ώστε όταν το βέλος φτάσει στον τοίχο να έχει το μέγιστο ύψος. β) Να εξετάσετε αν μπορεί ο αθλητής να πετύχει το στόχο του. (Θέμα Γ) 3

24 Λύση α) Η συνάρτηση f που μας δίνει το ύψος που έχει το βέλος από το έδαφος ως προς την οριζόντια απόσταση x από τον αθλητή έχει τύπο 6 f( x) = x + x + με x Η συνάρτηση είναι της μορφής f( x)= αx + βx+ γ με α = <, επομένως παρουσιάζει 6 β μέγιστο για x = = = = 6. Άρα η απόσταση που πρέπει να έχει ο αθλητής από α ( ) 6 8 τον τοίχο, έτσι ώστε το βέλος όταν φτάσει στον τοίχο να έχει το μέγιστο ύψος που είναι 6m. β) Το μέγιστο της συνάρτησης είναι: f β α 6 ( ) = f(6) = = = 8. Οπότε ο αθλητής μπορεί να πετύχει το στόχο του και να ξεπεράσει το βέλος τον τοίχο (7m) αφού το μέγιστο ύψος που μπορεί να φτάσει το βέλος είναι τα 8m. Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/ 4

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Η γνησίως αύξουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) < f ( x ). Η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α.

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α. BAΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a / x. Πεδιο Ορισμου: Α = =(-,0) (0, + ) (αφου πρεπει x 0) * 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον;. Aν α, θετικοι. Συνολο Τιμων: f(α) = (αφου,

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2 Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( )

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( ) Συναρτήςεισ Όριο Συνέχεια Πεδίο οριςμού ςυνάρτηςησ 1) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 2) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 3) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάλυση

Εισαγωγή στην ανάλυση Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f.

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f. wwwaskisopolisgr Ασκήσεις 1 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x 5συνx 1 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f x συν x 8 f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ)

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) A. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Συναρτήσεων-Άρτια και περιττή Συνάρτηση Η ανάλυση των πεδίων ορισμού για τις διαφορετικές πραγματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Συναρτήσεις Όριο Συνέχεια

Επανάληψη Συναρτήσεις Όριο Συνέχεια Επανάληψη Συναρτήσεις Όριο Συνέχεια 1) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln (1 lnx) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Μονοτονία-ακρότατα συνάρτησης 1. Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους - Θέµα Α

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Μονοτονία-ακρότατα συνάρτησης 1. Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους - Θέµα Α Μονοτονία-ακρότατα συνάρτησης 1 Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους - Θέµα Α 1. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A, τότε είναι γνησίως αύξουσα σε οποιοδήποτε υποδιάστηµα του A. 2. Αν µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα