ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της
|
|
- Ὅμηρ Μιχαηλίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης του κεφ.1.2 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Στο επίκεντρο της ανάλυσης προφανώς βρίσκεται η έννοια της συνάρτησης. Η συνάρτηση μας δίνει τη δυνατότητα να περιγράψουμε τη "σχέση" ή καλύτερα την "εξάρτηση" μεγεθών μεταξύ τους καθώς επίσης και να εκφράσουμε με μαθηματικό τρόπο διάφορες πραγματικές καταστάσεις. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του R(A R με A / O). Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, κάθε νόμο (τρόπο ή διαδικασία) x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο με τον οποίο κάθε στοιχείο x του A ( ) στοιχείο y του R( y R ). Συμβολικά ο κανόνας αυτός γράφεται: :A R ή x y R ή y= ( x) και εννοούμε ότι από το Α το στοιχείο x αντιστοιχίζεται μέσω της στο y R ή ότι η τιμή της στο x είναι y. Σημαντικές παρατηρήσεις i. Το γράμμα x παριστάνει το τυχαίο (το οποιοδήποτε) στοιχείο του Α και λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Το γράμμα y παριστάνει, όπως είπαμε και πιο πάνω, την τιμή της στο x και λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. ii. Το ( x ) ονομάζεται τύπος της συνάρτησης και η y ( x) συνάρτησης. = ονομάζεται εξίσωση της iii. Ονομάζουμε πεδίο ορισμού της συνάρτησης το σύνολο των x R για τα οποία η τιμή της A= D = x R:y= x R { } στο x είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή ( ) 1
2 iv. Ονομάζουμε σύνολο τιμών της συνάρτησης το υποσύνολο ( A ) του R όπου για το κάθε y ( A) και μόνο για αυτά υπάρχει τουλάχιστον ένα x A με y= ( x), δηλαδή (A) = { y R : υπάρχει x A με y = (x) } v. Το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x,y) όπου x = πρότυπο και y = εικόνα του x μέσω της ονομάζεται γραφική παράσταση της και τη συμβολίζουμε με.τα x ονομάζονται τετμημένες των σημείων της και τα y τεταγμένες. Προσοχή: Ασχολούμεθα μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων Προσοχή: Μια συνάρτηση είναι πλήρως ορισμένη αν γνωρίζουμε: α) Το πεδίο ορισμού της Α. β) Τη διαδικασία με την οποία βρίσκουμε την τιμή της (x) για κάθε x A. Ειδικότερα: Όταν δίνεται μόνο ο τύπος (x) μιας συνάρτησης,τότε ως πεδίο ορισμού της θεωρούμε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο το (x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού. 2
3 Εύρεση πεδίου ορισμού 1. Αν γνωρίζουμε την της, τότε το πεδίο ορισμού της είναι η ορθή προβολή της πάνω στον xx', δηλαδή είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της. [ ] D = αβ, 2. Αν για τη συνάρτηση γνωρίζουμε τον τύπο της y ( x) όπως ήδη αναφέρθηκε το: A= D = x R: x R Ειδικότερα: { ( ) } =, τότε το πεδίο ορισμού της είναι Για να εξασφαλιστεί ότι το ( x) R πρέπει να γνωρίζουμε τα παρακάτω: ν x =α x +α x α x +α, με α i R, i = 0,1,..., ν και α 0, ν N i. Αν ( ) 1 ii. ν ν ν (δηλαδή η ( x ) είναι πολυωνυμική συνάρτηση), τότε: A= D = R P(x) Αν (x) = (ρητή συνάρτηση, δηλαδή P(x), Q(x) πολυώνυμα), τότε: Q(x) A = D = x R : Q(x) 0. iii. Αν (x) κ g(x) { } = τότε A = D = { x :g(x) 0} R με κ 2, κ N. ν iv. Αν g(x) (x) = κ τότε h(x) ( ) ( ) g x A = D = x R :h(x) 0 και 0 με κ 2, κ N. h x v. Αν (x) = ln[ P(x) ] τότε A = D = { x : P(x) > 0} vi. Αν (x) [ P(x) ] vii. Αν (x) [ P(x) ] = ηµ τότε A= D = R. = συν τότε A= D = R. R. 3
4 π A= D = x R :P x κπ +, κ Z. 2 viii. Αν (x) = φ[ P(x) ] τότε ( ) ix. Αν (x) = σφ [ P(x) ] τότε A= D = { x :P( x ) κπ, κ Z} R. Προσοχή: Η εύρεση του πεδίου ορισμού πρέπει να προηγείται οποιουδήποτε μετασχηματισμού (ομώνυμα κλάσματα, παραγοντοποιήσεις, απλοποιήσεις κ.λπ.) στη συνάρτηση. Δηλαδή το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε χωρίς να "πειράξουμε καθόλου" τον αρχικό τύπο της συνάρτησης. Εύρεση συνόλου τιμών Αν γνωρίζουμε την της, τότε το σύνολο τιμών της είναι η ορθή προβολή της στον yy' δηλαδή το σύνολο ( A ) των τεταγμένων των σημείων της. πάνω ( A ) =γδ [, ] 4
5 Σημαντικές παρατηρήσεις επαληθεύει την εξίσωση y ( x) ( ) ( ) 1. Κάθε σημείο της M x,y y = x =, δηλαδή: 2. Επειδή κάθε x A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y R σημαίνει ότι δεν υπάρχουν σημεία της που να έχουν την ίδια τετμημένη. Άρα κάθε κατακόρυφη ευθεία θα έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την, π.χ. είναι συνάρτηση ο κύκλος δεν είναι συνάρτηση 3. Η τιμή της στο x 0 είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας x = x0 και της. 4. Οι λύσεις της εξίσωσης ( x) = 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης με τον άξονα χχ'. 5
6 5. Η τεταγμένη του σημείου τομής (αν υπάρχει) της με τον yy' είναι η ρίζα της εξίσωσης ( 0) = y. 6. Η επίλυση της ανισότητας ( x) > 0 μας καθορίζει το διάστημα στο οποίο η είναι πάνω από τον άξονα xx', ενώ η ανισότητα ( x) < 0 μας καθορίζει το διάστημα στο οποίο η είναι κάτω από τον άξονα xx'. 7. Οι λύσεις της εξίσωσης ( x) g( x) g, όπου, g δυο πραγματικές συναρτήσεις. = είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των και 8. Η επίλυση των ανισοτήτων ( x) > g( x) ή g( x) ( x) στα οποία η είναι πάνω από την g ή η > μας καθορίζει τα διαστήματα g πάνω από την. o g o g > στο [ αβ γδ, ) (, ) > στο ( βγ δ, ) (, ] 6
7 o D D = [ α, ] g Έκτος αυτού του διαστήματος δεν έχει νόημα οποιαδήποτε σύγκριση. 9. Η γραφική παράσταση της ( x) είναι συμμετρική με την με άξονα συμμετρίας τον xx'. 10. Για να παραστήσουμε γραφικά την ( x ) κατασκευάζουμε πρώτα την και στη συνέχεια το τμήμα (ή τα τμήματα) της που είναι κάτω από τον xx' το αντικαθιστούμε με το συμμετρικό του (ή τα συμμετρικά τους) ως προς τον xx'. Μην ξεχνάτε: Μια σχέση :A B R με, είναι συνάρτηση όταν και μόνο όταν o Αν ( x1) ( x2) τότε x1 x2 x = x τότε ( x ) ( x ) o Αν για κάθε x 1,x2 = για κάθε x 1,x2 A. A Πρέπει να θυμόμαστε επίσης ότι: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy'. Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) των αξόνων. 7
8 8
9 Ισότητα συναρτήσεων Ορισμός: Δίδονται οι συναρτήσεις :A R και g:b R. Θα λέμε ότι οι και g είναι ίσες ( g) = όταν: 1. έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού ( A B) 2. για κάθε x A ισχύει ( x) = g( x). =. D = Dg = A Συμβολικά: = g και (x) = g(x) για κάθε x A Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Από τον παραπάνω ορισμό είναι φανερό ότι οι ίσες συναρτήσεις,g θα έχουν και ίδια σύνολα τιμών. 2. Αν οι συναρτήσεις και g ορίζονται σε ένα σύνολο D Dg και για κάθε x ισχύει ( x) = g( x), τότε θα λέμε ότι οι, g είναι ίσες στο Δ αλλά, χωρίς απαραίτητα να είναι και ίσες στο πεδίο ορισμού τους. π.χ. ( ) x,d ( ) x, Dg x g x = = R = = R Έστω = [ 0, + ). Παρατηρώ ότι ( x) = x = x = g( x) για κάθε x. Επίσης παρατηρώ ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Όμως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x g x 8 g 8. x R με ( ) ( ), δηλαδή ( ) ( ) Απόρροια του ορισμού είναι ότι δύο συναρτήσεις θα είναι διάφορες μεταξύ τους ( g), αν τουλάχιστον μία από τις δύο συνθήκες δεν ισχύει. Γι' αυτό το λόγο για να ελέγξουμε κατά πόσο δύο συναρτήσεις είναι ίσες εξετάζουμε πρώτα αν έχουν το ίδιο πεδίο x = g x για κάθε x A. ορισμού Α και ύστερα αν ( ) ( ) 4. Αν = g, τότε οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται. 9
10 5. Συχνά όταν g ζητείται να βρεθεί το "ευρύτερο" υποσύνολο του R στο οποίο να είναι ίσες οι συναρτήσεις. Σ' αυτή την περίπτωση προσδιορίζουμε το "ευρύτερο" υποσύνολο του R, έστω Ε, στο οποίο ορίζονται οι, g. Δηλαδή E D Dg x E. Άρα = g στο Ε. και ( x) g( x) = για κάθε 10
11 Πράξεις με συναρτήσεις Ορισμός: Δίδονται δύο συναρτήσεις, g με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα και A B /. O Ορίζουμε ως άθροισμα διαφορά + g, g, γινόμενο g και πηλίκο g των συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους: ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΣΥΜΒΟΛΟ ΤΥΠΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Άθροισμα g Διαφορά g + ( g)( x) ( x) g( x) + = + A B ( g)( x) ( x) g( x) = A B Γινόμενο g ( g)( x) = ( x ) g ( x) A B Πηλίκο g g ( x) ( ) ( ) x = g x { ( ) } A B x A B:g x = 0 Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Το σημείο που πρέπει να προσέξουμε είναι ο προσδιορισμός των πεδίων ορισμού και κυρίως του A B. Στην περίπτωση που A B= O/, τότε δεν ορίζονται οι πράξεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις με τις συναρτήσεις αν πρώτα δεν εξασφαλίσουμε ότι A B /. O 2. Οι + g, g, g,, είναι και αυτές συναρτήσεις. Δηλαδή οι πράξεις είναι ένας g τρόπος δημιουργίας νέων συναρτήσεων. 3. Σ'αυτό το σημείο πρέπει να εξηγήσουμε επίσης τις έννοιες του «γινομένου πραγματικού αριθμού κ επί τη συνάρτηση» καθώς και τη συνάρτηση «δύναμη». Δηλαδή: ( )( x ) ( x) ( ν ν )( x) ( x) κ =κ με Dκ = A και κ R και = με ν = A και ν N * D 11
12 Σύνθεση συναρτήσεων Εκτός από τους ήδη γνωστούς τρόπους δημιουργίας νέων συναρτήσεων από δοσμένες συναρτήσεις :A R, g:b R θα αναφερθούμε σε μία νέα δυνατότητα δημιουργίας συνάρτησης. Δηλαδή: g ( ) ( ) ( ) x x g x (1) Για να έχει νόημα αυτή η διαδικασία θα πρέπει (A) B /. O Τότε μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση στις εξής περιπτώσεις: 1 η περίπτωση Έστω :A R,g:B R, με ( A) B. ( ) Τότε ορίζεται η go : A R, δηλαδή x g ( x) και ονομάζεται σύνθεση της με τη g. Σχηματικά βλέπουμε: 2 η περίπτωση Έστω :A R και g:b R για τις οποίες δεν ισχύει ( A) B, ισχύει όμως ( A) B /. O Σ' αυτήν την περίπτωση προσπαθούμε να βρούμε το υποσύνολο εκείνο του Α, 12
13 τα στοιχεία του οποίου έχουν τιμές ( x) Τότε ορίζουμε μία νέα συνάρτηση: ( ) go : Γ R με x g ( x), όπου Γ= {x A : (x) B} που ονομάζεται σύνθεση της με τη g. Σχηματικά παρατηρούμε: { } B,δηλαδή το σύνολο Γ= x A:( x) B. Σημείωση: Με ανάλογη διαδικασία ορίζεται και η og Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Αν η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το R, τότε για κάθε x A ισχύει ( x) R. Τότε η σύνθεση της τυχαίας συνάρτησης :A R με την g ορίζεται και έχει για πεδίο ορισμού το A. 2. Ο προσδιορισμός του συνόλου Γ στις περιπτώσεις που το Β είναι διάστημα, ανάγεται σε επίλυση και συναλήθευση ανισοτήτων. 3. Έστω : R R τυχαία συνάρτηση και g( x) Τότε og = go, διότι: (α) οι go, og έχουν πεδία ορισμού το R (β) για κάθε x R ισχύει: ( )( ) ( ) ( ) ( ) og x = g x = x και ( )( ) ( ) ( ) ( ) go x = g x = x = x. 13
14 Γι' αυτό το λόγο η g συμβολίζεται με I και ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση. 4. Εν γένει ισχύει og go. Δηλαδή δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στη σύνθεση συναρτήσεων. Ισχύει όμως η προσεταιριστική. Δηλαδή: ( og) oh ( x) = o( goh)( x) 5. Πρέπει να προσέξουμε ότι πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο. Είναι λάθος να βρούμε πρώτα τον τύπο της σύνθεσης και από τον τύπο να βρούμε το πεδίο ορισμού. 6. Στην περίπτωση που οι συναρτήσεις έχουν κλάδους πρέπει να συνθέσουμε τον κάθε κλάδο της μίας με κάθε κλάδο της άλλης. Ημερομηνία τροποποίησης: 14/2/
lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΡητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Πραγματική Συνάρτηση ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του R. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότερα. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:
Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός του συνόλου τιµών, κατάλληλος για τις
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες Συνάρτηση Συνάρτηση ονομάζουμε μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Διαβάστε περισσότεραΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου)
ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 (6.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Διαβάστε περισσότερα( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α
.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 2: Συναρτήσεις Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 8 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην ανάλυση
Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,
Διαβάστε περισσότεραΙ. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)
Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C
Διαβάστε περισσότεραπ x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. f : συνάρτηση, με f(x ) f ( x ) x x
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Η αντιστοιχία : A B λέγεται συνάρτηση αν για κάθε αντιστοιχίζεται ένα μόνο y : συνάρτηση, με ( ) ( ) ή ισοδύναμα : συνάρτηση, με ( ) ( ) Το σύνολο Α λέγεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ A y Ορισμός: Η αντιστοιχία : λέγεται συνάρτηση αν για κάθε x αντιστοιχίζεται ένα μόνο : συνάρτηση, με ( x ) ( x ) ή ισοδύναμα 1 2 1 2 1 2 : συνάρτηση, με (x ) ( x ) x x 1 2 1 2 1 2 Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότερα1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα
Θέμα Α Α1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα 018-19 «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων,g :, 0 ή g 0» ισχύει ότι g 0 αν και μόνο αν α) Να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού
5-6 Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού Σημειώσεις μαθηματικών που απευθύνονται σε μαθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες για την καλύτερη κατανόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΒασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x
8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 1 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 1 Συναρτήσεις 1.1 Έννοια συνάρτησης Ορισμός 1 Έστω Α, Β δύο υποσύνολα του R. Μια διαδικασία με το όνομα f ονομάζεται αν σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραR={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραx y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότερα4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ
1 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 14 A Οµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 + = 1 Είναι = ( 1) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και 1 0 0 και 1 (περιορισµοί)
Διαβάστε περισσότερα47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f g α) β) γ) f και f +
Διαβάστε περισσότερα6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R
. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότερα1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.
Διαβάστε περισσότερα1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής ;
Μάθημα Κεφάλαιο: Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Θεματικές Ενότητες:. Η έννοια της συνάρτησης.. Πεδίο ορισμού συνάρτησης. 3. Σύνολο τιμών συνάρτησης. Τι είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής ; Από
Διαβάστε περισσότεραProapaitoÔmenec gn seic.
ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότερα6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων
ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης
ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΡΙΝΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Τίτλος Θεματικές Ενότητες Σελίδες. Δυο λόγια προς τους μαθητές.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τίτλος Θεματικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σημείωμα Δυο λόγια προς τους μαθητές. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Όρια Συνέχεια Συνάρτησης 1-177 Μέρος 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-85 Μάθημα 1 Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις
2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής ΤΕΥΧΟΣ Α
Ν. Ζανταρίδης Κ. Τηλέγραφος Κ. Αθανασιάδης Π. Παντούλας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής ΤΕΥΧΟΣ Α Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Διαφορικός Λογισμός
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.
ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 5. Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός. Θεµατικές ενότητες: 1. Συνέχεια συνάρτησης
Μάθηµα 5 Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές ενότητες: Συνέχεια συνάρτησης Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο («σηµείο» σηµαίνει «τιµή του χ») του πεδίου ορισµού της; Ορισµός: Μια
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότερα