Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες"

Αθανάσιος Καραμήτσος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Στο μαθήμα 28 (3 /2/28), συνεχίσαμε με κάποια παραδείγματα στις κυλινδρικές συντεταγμένες και μετά μιλήσαμε για τις σφαιρικές συντεταγμένες (δείτε Ενότητα 2,6 στο βιβλίο, σελ. 99 για σχήματα). Επίσης, στα παραδείγματα προσπαθήστε να κάνετε τα σχήματα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Maxima (εχω ανεβάσει το link στους Χρήσιμους συνδέσμους ). Παραδείγματα στις κυλινδρικές συντεταγμένες Παράδειγμα. Έστω το στερεό που περικλείεται από τις επιφάνειες z = x 2 + y 2, z = 4 x 2 y 2. (i) Να γράψετε το ως χωρίο τύπου Ι στο R 3, σε καρτεσιανές συντεταγμένες. (ii) Να υπολογίσετε τον όγκο του, κάνοντας αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Λύση: (i): Από την εκφώνηση καταλαβαίνουμε ότι το x 2 + y 2 z 4 x 2 y 2. Για να βρούμε τα όρια για τα x, y πρέπει να βρούμε την προβολή D του στο επίπεδο x y. Για το λόγο αυτό βρίσκουμε την τομή των δύο επιφανειών, κάνοντας απαλοιφή του z. x 2 + y 2 = 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 2. Άρα το D είναι ο κύκλος με κέντρο το (, ) και ακτίνα 2 (κάντε σχήμα!!!). Βλέποντας το D ως χωρίο τύπου I στο R 2, έχουμε ότι D = {(x, y) 2 x 2, 2 x 2 y 2 x 2 }. Οπότε το γράφεται ως = {(x, y, z) 2 x 2, 2 x 2 y 2 x 2, x 2 + y 2 z 4 x 2 y 2 }. (ii): Έχουμε x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z, όπου, r 2, θ, r 2 z 4 r 2.

2 Οπότε = {(r, θ, z) r 2, θ, r 2 z 4 r 2 }. Επίσης, η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι ίση με r, οπότε για τον όγκο του, έχουμε dxdydz r drdθdz 2 r dzdθdr = = 4π. r 2 Παράδειγμα 2. Εστω το χωρίο στο R 3, που φράσσεται από το παραβολοειδές z = 4 x 2 y 2 και τον κώνο z = 3 x 2 + y 2. (i) Να περιγραφεί το σε καρτεσιανές συντεταγμένες, ως χωρίου τύπου I. (ii) Να υπολογιστεί ο όγκος του, κάνοντας αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες. (iii) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα x 2 + y 2 dv. Λύση: (i): Από την εκφώνηση καταλαβαίνουμε ότι 3 x 2 + y 2 z 4 x 2 y 2. Για να βρούμε που κινούνται τα x, y, βρίσκουμε την τομή των δύο επιφανειών. 4 x 2 y 2 = 3 x 2 + y 2 x 2 + y x 2 + y 2 4 = 2 x 2 + y x 2 + y 2 x 2 + y 2 4 = x2 + y 2 x 2 + y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x 2 + y = x2 + y 2 = x 2 + y 2 =. 2

3 Άρα το χωρίο D στο xy-επίπεδο, στο οποίο κινούνται τα x, y, είναι ο μοναδιαίος κύκλος. Τελικά έχουμε = {(x, y, z) x, x 2 y x 2, 3 x 2 + y 2 z 4 x 2 y 2 }. (ii) Έχουμε x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z, όπου, r, θ, 3r z 4 r 2. Οπότε = {(r, θ, z) r, θ, 3r z 4 r 2 }. Επίσης, η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι ίση με r, οπότε για τον όγκο του, έχουμε dxdydz r drdθdz r dzdθdr = = 3π 3r 2. (iii): Κάνοντας αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες, έχουμε x 2 + y 2 dxdydz r 2 r drdθdz r 3 dzdθdr = = 7π 3r 5. Σφαιρικές συντεταγμένες: Έστω το σημείο του χώρου (x, y, z). Οι σφαιρικές συντεταγμένες του (x, y, z), δίνονται από τη σχέση όπου το r = x 2 + y 2 + z 2, δίνει την απόσταση του σημείου από την αρχή των αξόνων, η γωνία θ δίνει την κίνηση στους παράλληλους, ενώ η γωνία φ ( φ π), δίνει την κίνηση στους μεσημβρινούς (Δείτε βιβλίο γα σχήματα!!!). Επίσης, η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι 3

4 (x, y, z) (r, φ, θ) = sin(φ) cos(θ) r cos(φ) cos(θ) r sin(φ) sin(θ) = sin(φ) sin(θ) r cos(φ) sin(θ) r sin(φ) cos(θ) = = r 2 sin(φ). cos(φ) r sin(φ) [ Εδώ Φ(r, φ, θ) = (x(r, φ, θ), y(r, φ, θ), z(r, φ, θ)) = (r cos(θ) sin(φ), r sin(θ) sin(φ), r cos(φ) ) ]. Παρατήρηση. Το βιβλίο αντί για r, χρησιμοποιεί ρ. Παράδειγμα 3. Κάνοντας αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες, να υπολογιστεί ο όγκος σφαίρας με κέντρο το (,, ) και ακτίνα R. Λύση: Έχουμε = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 R 2 }. Κάνοντας αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες, έχουμε οπότε προκύπτει το χωρίο = {(r, φ, θ) r R, φ π, θ }. Επίσης η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι r 2 sin(φ), οπότε dxdydz r 2 sin(φ) drdφdθ π R r 2 sin(φ) drdφdθ = = 4π 3 R3. Παράδειγμα 4. Εστω το χωρίο στο R 3, που αποτελεί το κομμάτι της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 9 στο πρώτο οκτημόριο. Δηλαδή = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 9, x, y, z }. Να υπολογιστεί ο όγκος του, κάνοντας αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες. Λύση: Κάνοντας αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες, έχουμε 4

5 οπότε προκύπτει το χωρίο = {(r, φ, θ) r 3, φ π/2, θ π/2 }. Επίσης η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι r 2 sin(φ), οπότε dxdydz r 2 sin(φ) drdφdθ π/2 π/2 3 r 2 sin(φ) drdφdθ = = 9π 2. 5

Σχετικά έγγραφα

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο