Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών"

Transcript

1 Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα, όλες οι n-άδες πραγματικών αριθμών: x = (x 1,..., x n ). (Εδώ θα χρησιμοποιούμε παχιά γραμματοσειρά για το σύμβολο του διανύσματος x ενώ στον πίνακα στις διαλέξεις θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο x με το βέλος.) Για τον R 2 χρησιμοποιούμε συνήθως δύο σύμβολα Για τον R 3 : x = (x 1, x 2 ) ή u = (x, y). x = (x 1, x 2, x 3 ) ή u = (x, y, z). Το άθροισμα δύο διανυσμάτων στον R n ορίζεται ως εξής: (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Το γινόμενο αριθμού και διανύσματος στον R n ορίζεται ως εξής: λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ). Το αποτέλεσμα αυτών των πράξεων είναι διάνυσμα στον R n. Το μηδενικό διάνυσμα στον R n είναι το 0 = (0,..., 0). Αποδείξαμε ότι ο γεωμετρικός τρόπος πρόσθεσης δύο διανυσμάτων στον R 2 είναι ο εξής: το u + v είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τα u, v (και τα τρία διανύσματα έχουν αρχή το σημείο 0). Αποδείξαμε ότι ο γεωμετρικός τρόπος πολλαπλασιασμού αριθμού και διανύσματος στον R 2 είναι ο εξής: το λu είναι το διάνυσμα στην ίδια κατεύθυνση, αν λ > 0, με το u και στην αντίθετη κατεύθυνση, αν λ < 0, με το u και με μήκος ίσο με λ φορές το μήκος του u. Το ότι ισχύουν τα ίδια και στον R 3 το αφήσαμε ως άσκηση για το σπίτι. Είδαμε ότι η ευθεία στον R 2 ή στον R 3 που παράγεται από ένα διάνυσμα u 0 στον R 2 ή στον R 3 αποτελείται από όλα τα διανύσματα λu, όπου το λ διατρέχει το R. Επίσης, είδαμε ότι το επίπεδο στον R 3 που παράγεται από δύο διανύσματα u, v στον R 3, τα οποία δεν είναι συνευθειακά, αποτελείται από όλα τα διανύσματα λu + µv, όπου τα λ, µ διατρέχουν το R. Το μήκος ενός διανύσματος x = (x 1,..., x n ) ορίζεται να είναι το x = x x2 n. Αποδείξαμε ότι για διανύσματα στον R 2 και στον R 3 ο τύπος αυτός του μήκους συμφωνεί με τον τύπο του μήκους που μαθαίνουμε στην γεωμετρία. Αποδείξαμε τις βασικές ιδιότητες του μήκους: x 0 x = 0 αν και μόνο αν x = 0 1

3 λx = λ x. Είδαμε ότι, αν x 0, τότε το διάνυσμα 1 x x έχει την ίδια κατεύθυνση με το x και μήκος ίσο με 1 (δηλαδή είναι μοναδιαίο). Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) ορίζεται να είναι το x y = x 1 y x n y n. Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων είναι πάντοτε αριθμός. Αποδείξαμε τις βασικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου: Αποδείξαμε την χρήσιμη ταυτότητα Αποδείξαμε την ανισότητα του Cauchy x x = x 2 x y = y x (λx + µy) z = λ(x z) + µ(y z) x (λy + µz) = λ(x y) + µ(x z) x ± y 2 = x 2 ± 2x y + y 2. x y x y και, βάσει αυτής, αποδείξαμε την τριγωνική ανισότητα x + y x + y. Είδαμε ότι η τριγωνική ανισότητα για διανύσματα στον R 2 και στον R 3 εκφράζει το γνωστό από την γεωμετρία: το άθροισμα των μηκών δύο πλευρών ενός τριγώνου δεν είναι μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς του. Αποδείξαμε την εξής γεωμετρική ταυτότητα για τρίγωνα: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos θ, όπου a, b, c είναι τα μήκη των τριών πλευρών ενός τριγώνου και θ είναι η κυρτή (δηλαδή 0 θ π) γωνία του τριγώνου η οποία βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος a. Βάσει αυτού είδαμε το γεωμετρικό νόημα του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων στον R 2 και στον R 3, δηλαδή ότι u v = u v cos θ, όπου θ είναι η κυρτή γωνία ανάμεσα στα μη-μηδενικά διανύσματα u, v. Έτσι έχουμε και έναν τύπο υπολογισμού της γωνίας θ: cos θ = u v u v. Έτσι, για μη-μηδενικά διανύσματα στον R 2 και στον R 3, βλέπουμε ότι u v αν και μόνο αν θ = π/2. Με αυτό σαν κίνητρο, λέμε γενικότερα για διανύσματα x, y στον R n ότι είναι ορθογώνια ή κάθετα, και αυτό το συμβολίζουμε x y, αν x y = 0. Δηλαδή x y αν και μόνο αν x y = 0. Η κανονική βάση του R n αποτελείται από τα διανύσματα e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),......, e n = (0,..., 0, 1). 2

4 Είδαμε ότι κάθε διάνυσμα στον R n γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των e 1,..., e n ως εξής: (x 1,..., x n ) = x 1 e x n e n. Στον R 2 χρησιμοποιούμε και τα σύμβολα i = e 1 = (1, 0), j = e 2 = (0, 1), οπότε (x, y) = xi + yj. Στον R 3 χρησιμοποιούμε και τα σύμβολα i = e 1 = (1, 0, 0), j = e 2 = (0, 1, 0), k = e 3 = (0, 0, 1), οπότε (x, y, z) = x i + y j + z k. Είδαμε ότι e i e j = { 1, i = j 0, i j Το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων u 1 = (x 1, y 1, z 1 ), u 2 = (x 2, y 2, z 2 ) στον R 3 ορίζεται να είναι το u 1 u 2 = (y 1 z 2 z 1 y 2, z 1 x 2 x 1 z 2, x 1 y 2 y 1 x 2 ) = (y 1 z 2 z 1 y 2 )i (x 1 z 2 z 1 x 2 )j + (x 1 y 2 y 1 x 2 )k. Το εξωτερικό γινόμενο ορίζεται μόνο για διανύσματα στον R 3 και το αποτέλεσμα είναι διάνυσμα στον R 3. Ενώ το εσωτερικό γινόμενο [ διανυσμάτων ] είναι αριθμός. [ ] y1 z Γράφοντας y 1 z 2 z 1 y 2 = det 1 x1 z, x y 2 z 1 z 2 z 1 x 2 = det 1 και x 2 x 2 z 1 y 2 y 1 x 2 = [ ] 2 x1 y det 1, είδαμε ότι x 2 y 2 i j k u 1 u 2 = det x 1 y 1 z 1. x 2 y 2 z 2 Αυτή η ταυτότητα έχει μόνο μνημονική αξία και όχι πραγματικό περιεχόμενο, διότι η πρώτη σειρά του 3 3 πίνακα δεν αποτελείται από αριθμούς. Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου: u u = 0, u 1 u 2 = u 2 u 1, u 1 (λu 2 + µu 3 ) = λ(u 1 u 2 ) + µ(u 1 u 3 ), (λu 1 + µu 2 ) u 3 = λ(u 1 u 3 ) + µ(u 2 u 3 ). Αποδείξαμε τις δύο πρώτες ιδιότητες και αφήσαμε τις δύο τελευταίες σαν άσκηση για το σπίτι. Το μεικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων u 1 = (x 1, y 1, z 1 ), u 2 = (x 2, y 2, z 2 ), u 3 = (x 3, y 3, z 3 ) στον R 3 ορίζεται να είναι το (u 1 u 2 ) u 3 και είναι αριθμός. Είδαμε ότι x 1 y 1 z 1 (u 1 u 2 ) u 3 = det x 2 y 2 z 2. x 3 y 3 z 3 Βάσει αυτού του τύπου αποδείξαμε ότι (u 1 u 2 ) u 1 = 0 και (u 1 u 2 ) u 2 = 0. Δηλαδή (u 1 u 2 ) u 1, (u 1 u 2 ) u 2. 3

5 Άρα το u 1 u 2 είναι διάνυσμα ορθογώνιο στο επίπεδο που παράγεται από τα u 1, u 2 αν αυτά δεν είναι συνευθειακά. Αν u 1, u 2 είναι διανύσματα στον R 2 ή στον R 3, αποδείξαμε ότι το εμβαδό E του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα δύο αυτά διανύσματα είναι ίσο με E = u 1 u 2 sin θ, όπου θ είναι η κυρτή γωνία ανάμεσα στα διανύσματα, και E = u 1 2 u 2 2 (u 1 u 2 ) 2. Ειδικά, αν τα u 1 = (x 1, y 1 ), u 2 = (x 2, y 2 ) είναι διανύσματα στον R 2, τότε είδαμε ότι [ ] E = det x1 y 1. x 2 y 2 Αποδείξαμε ότι το μήκος του u 1 u 2 ισούται με u 1 u 2 = u 1 2 u 2 2 (u 1 u 2 ) 2 και άρα, σύμφωνα με τους προηγούμενους τύπους, u 1 u 2 = E = u 1 u 2 sin θ, όπου E είναι το εμβαδό του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα δύο διανύσματα και θ είναι η κυρτή γωνία τους. Τέλος, αποδείξαμε ότι ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τρία διανύσματα u 1, u 2, u 3 στον R 3 είναι ίσος με V = (u 1 u 2 ) u 3. 4

6 2η εβδομάδα. Συζητήσαμε την παραμετρική εξίσωση ευθείας στον R 2 : u = u 0 + tw, t R ή, ισοδύναμα, { x = x 0 + tξ, y = y 0 + tη, t R, όπου u = (x, y) είναι το τυχόν σημείο της ευθείας, u 0 = (x 0, y 0 ) είναι δοσμένο σημείο της ευθείας και w = (ξ, η) είναι δοσμένο μη-μηδενικό διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία. Το t είναι η παράμετρος. Μια παραλλαγή αυτής της κατάστασης έχουμε με δύο δοσμένα σημεία της ευθείας, το u 0 = (x 0, y 0 ) και το u 1 = (x 1, y 1 ). Τότε το διάνυσμα w = u 1 u 0 = (x 1 x 0, y 1 y 0 ) είναι παράλληλο στην ευθεία και η παραμετρική εξίσωση της ευθείας γράφεται u = u 0 + t(u 1 u 0 ), ή, ισοδύναμα, { x = x 0 + t(x 1 x 0 ), y = y 0 + t(y 1 y 0 ), t R t R. Τα εντελώς ανάλογα ισχύουν για ευθεία στον R 3. Η παραμετρική εξίσωση ευθείας στον R 3 είναι η u = u 0 + tw, t R ή, ισοδύναμα, x = x 0 + tξ, y = y 0 + tη, z = z 0 + tζ, t R, όπου u = (x, y, z) είναι το τυχόν σημείο της ευθείας, u 0 = (x 0, y 0, z 0 ) είναι δοσμένο σημείο της ευθείας και w = (ξ, η, ζ) είναι δοσμένο μη-μηδενικό διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία. Όταν έχουμε δύο δοσμένα σημεία της ευθείας, το u 0 = (x 0, y 0, z 0 ) και το u 1 = (x 1, y 1, z 1 ), τότε το διάνυσμα w = u 1 u 0 = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ) είναι παράλληλο στην ευθεία και η παραμετρική εξίσωση της ευθείας γράφεται ή, ισοδύναμα, u = u 0 + t(u 1 u 0 ), x = x 0 + t(x 1 x 0 ), y = y 0 + t(y 1 y 0 ), z = z 0 + t(z 1 z 0 ), t R t R. 5

7 Η παραμετρική εξίσωση επιπέδου στον R 3 είναι η u = u 0 + tw 1 + sw 2, t, s R ή, ισοδύναμα, x = x 0 + tξ 1 + sξ 2, y = y 0 + tη 1 + sη 2, t, s R, z = z 0 + tζ 1 + sζ 2 όπου u = (x, y, z) είναι το τυχόν σημείο του επιπέδου, u 0 = (x 0, y 0, z 0 ) είναι δοσμένο σημείο του επιπέδου και w 1 = (ξ 1, η 1, ζ 1 ), w 2 = (ξ 2, η 2, ζ 2 ) είναι δοσμένα μη-συνευθειακά διανύσματα παράλληλα στο επίπεδο. Τα t, s είναι οι παράμετροι. Παραλλαγή αυτής της κατάστασης έχουμε με τρία δοσμένα μη-συνευθειακά σημεία του επιπέδου, το u 0 = (x 0, y 0, z 0 ) το u 1 = (x 1, y 1, z 1 ) και το u 2 = (x 2, y 2.z 2 ). Τότε τα διανύσματα w 1 = u 1 u 0 = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ), w 2 = (x 2 x 0, y 2 y 0, z 2 z 0 ) είναι μη-συνευθειακά και παράλληλα στο επίπεδο και η παραμετρική εξίσωση του επιπέδου γράφεται u = u 0 + t(u 1 u 0 ) + s(u 2 u 0 ), t, s R ή, ισοδύναμα, x = x 0 + t(x 1 x 0 ) + s(x 2 x 0 ), y = y 0 + t(y 1 y 0 ) + s(y 2 y 0 ), z = z 0 + t(z 1 z 0 ) + s(z 2 z 0 ) Κατόπιν, μελετήσαμε καρτεσιανές εξισώσεις ευθειών και επιπέδων. Η καρτεσιανή εξίσωση ευθείας στον R 2 γράφεται (u u 0 ) v = 0, t, s R. όπου u = (x, y) είναι το τυχόν σημείο της ευθείας, u 0 = (x 0, y 0 ) είναι δοσμένο σημείο της ευθείας και v = (a, b) είναι δοσμένο μη-μηδενικό διάνυσμα κάθετο στην ευθεία. Ισοδύναμα: ax + by = ax 0 + by 0. Οπότε, αν θεωρήσουμε την σταθερά c = ax 0 + by 0, η καρτεσιανή εξίσωση γράφεται ax + by = c. Μια ευθεία στον R 3 περιγράφεται με δύο καρτεσιανές εξισώσεις: { (u u 0 ) v 1 = 0 (u u 0 ) v 2 = 0 όπου u = (x, y, z) είναι το τυχόν σημείο της ευθείας, u 0 = (x 0, y 0, z 0 ) είναι δοσμένο σημείο της ευθείας και v 1 = (a 1, b 1, c 1 ), v 2 = (a 2, b 2, c 2 ) είναι δοσμένα μη-συνευθειακά διανύσματα κάθετα στην ευθεία (οπότε η ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο που παράγεται από τα v 1, v 2 ). Ισοδύναμα: { a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 όπου d 1 = a 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0, d 2 = a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0. Ένα επίπεδο στον R 3 περιγράφεται με μία καρτεσιανή εξίσωση: (u u 0 ) v = 0, 6

8 όπου u = (x, y, z) είναι το τυχόν σημείο του επιπέδου, u 0 = (x 0, y 0, z 0 ) είναι δοσμένο σημείο του επιπέδου και v = (a, b, c) είναι δοσμένο μη-μηδενικό διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο. Ισοδύναμα: ax + by + cz = d, όπου d = ax 0 + by 0 + cz 0. Κάναμε μερικές παρατηρήσεις: Α. Για να περιγράψουμε μια ευθεία παραμετρικά, είτε στον R 2 είτε στον R 3, χρειαζόμαστε μία παράμετρο. Αυτό έχει να κάνει με το ότι η ευθεία είναι μονοδιάστατο αντικείμενο. Για να περιγράψουμε ένα επίπεδο παραμετρικά στον R 3 χρειαζόμαστε δύο παραμέτρους. Αυτό έχει να κάνει με το ότι το επίπεδο είναι διδιάστατο αντικείμενο. Β. Παραμετρικές αναπαραστάσεις σχετίζονται με παραλληλία. Πράγματι, η παραμετρική αναπαράσταση ευθείας, είτε στον R 2 είτε στον R 3, προκύπτει από ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία και η παραμετρική αναπαράσταση επιπέδου στον R 3 προκύπτει από δύο διανύσματα παράλληλα στο επίπεδο (δηλαδή από ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο). Γ. Καρτεσιανές αναπαραστάσεις σχετίζονται με καθετότητα. Πράγματι, η καρτεσιανή αναπαράσταση ευθείας στον R 2 προκύπτει από ένα διάνυσμα (δηλαδή, ευθεία) κάθετο στην ευθεία. Η καρτεσιανή αναπαράσταση ευθείας στον R 3 προκύπτει από δύο διανύσματα (δηλαδή, επίπεδο) κάθετα στην ευθεία. Η καρτεσιανή αναπαράσταση επιπέδου στον R 3 προκύπτει από ένα διάνυσμα (δηλαδή, ευθεία) κάθετο στην ευθεία. Δ. Μία ευθεία στον R 2 περιγράφεται από μία καρτεσιανή εξίσωση (από το κάθετο διάνυσμα ή, ισοδύναμα, από την κάθετη ευθεία). Μία ευθεία στον R 3 περιγράφεται από δύο καρτεσιανές εξισώσεις (από τα δύο κάθετα διανύσματα ή, ισοδύναμα, από το κάθετο επίπεδο). Ένα επίπεδο στον R 3 πειργράφεται από μία καρτεσιανή εξίσωση (από το κάθετο διάνυσμα ή, ισοδύναμα, από την κάθετη ευθεία). Ε. Όπως είπαμε στο Α, ο αριθμός k των παραμέτρων που χρειάζονται για την περιγραφή ενός αντικειμένου (ευθείας ή επιπέδου) είναι ίδιο με την διάσταση αυτού του αντικειμένου. Ο αριθμός m των καρτεσιανών εξισώσεων που χρειάζονται για την περιγραφή ενός αντικειμένου είναι ίδιο με την διάσταση του κάθετου αντικειμένου. Επειδή η διάσταση του αντικειμένου και η διάσταση του κάθετου αντικειμένου έχουν άθροισμα ίσο με τη συνολική διάσταση n του περιβάλλοντος χώρου, έχουμε ότι k + m = n. (Στις περιπτώσεις που εξετάσαμε, έχουμε: = 2, = 3, = 3.) Η προβολή διανύσματος u στην ευθεία που παράγεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα v είναι κάποιο πολλαπλάσιο tv του v τέτοιο ώστε η διαφορά u tv να είναι κάθετη στην ευθεία ή, ισοδύναμα, κάθετο στο v το οποίο παράγει την ευθεία. Από την εξίσωση (u tv) v = 0 προκύπτει και άρα η προβολή είναι το διάνυσμα t = u v v 2 Pr v (u) = u v v 2 v. Η προβολή διανύσματος u στo επίπεδο που παράγεται από δύο μη-συνευθειακά διανύσματα v 1, v 2 είναι κάποιος γραμμικός συνδυασμός t 1 v 1 + t 2 v 2 τέτοιος ώστε η διαφορά u (t 1 v 1 + t 2 v 2 ) να είναι κάθετη στο επίπεδο ή, ισοδύναμα, κάθετη στα v 1, v 2 τα οποία παράγουν το επίπεδο. Από το σύστημα των εξισώσεων { (u t 1 v 1 t 2 v 2 ) v 1 = 0 (u t 1 v 1 t 2 v 2 ) v 2 = 0 7

9 προκύπτει [ ] u v1 v det 2 v 1 u v 2 v 2 v 2 t 1 = [ ], t 2 = v1 v det 1 v 2 v 1 v 1 v 2 v 2 v 2 Άρα η προβολή είναι το διάνυσμα [ ] v1 v det 1 u v 1 v 1 v 2 u v 2 [ ]. v1 v det 1 v 2 v 1 v 1 v 2 v 2 v 2 Pr v1,v 2 (u) = t 1 v 1 + t 2 v 2, όπου τα t 1, t 2 δίνονται από τους προηγούμενους τύπους. Κατόπιν αποδείξαμε ότι στον R 2 η απόσταση D σημείου u 0 = (x 0, y 0 ) από ευθεία με καρτεσιανή εξίσωση ax + by = c δίνεται από τον τύπο D = ax 0 + by 0 c a 2 + b 2. Ο αντίστοιχος τύπος στον R 3 για την απόσταση D σημείου u 0 καρτεσιανή εξίσωση ax + by + cz = d δίνεται από τον τύπο = (x 0, y 0, z 0 ) από επίπεδο με D = ax 0 + by 0 + cz 0 d a 2 + b 2 + c 2. Να θυμηθούμε μερικά χρήσιμα στοιχεία από τη Γραμμική Άλγεβρα. Θεωρούμε m διανύσματα στον χώρο R n : x 1 = (x 11,..., x 1j,..., x 1n ). x i = (x i1,..., x ij,..., x in ). x m = (x m1,..., x mj,..., x mn ) Τα διανύσματα αυτά παράγουν έναν γραμμικό υπόχωρο, έστω V, του R n. Εξ ορισμού, ο γραμμικός υπόχωρος V που παράγεται από τα x 1,..., x m αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς αυτών των m διανυσμάτων. Δηλαδή V = {λ 1 x λ m x m λ 1,..., λ m R}. Ερώτημα 1: Ποιά είναι η διάσταση του V ; Ο ορισμός της διάστασης του V είναι ο εξής: το πλήθος των στοιχείων μιας βάσης του V. Δηλαδή, αν βρούμε κάποια στοιχεία y 1,..., y k του V τα οποία παράγουν τον V και ταυτόχρονα είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε αυτά αποτελούν βάση του V και επομένως η διάσταση του V είναι ίση με k. Επεξήγηση: Το ότι τα y 1,..., y k παράγουν τον V σημαίνει ότι ο V αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των στοιχείων αυτών. Το ότι τα y 1,..., y k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα σημαίνει ότι κανένα από αυτά δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Τα x 1,..., x m είναι (γιατί;) στοιχεία του V και παράγουν τον V. Αν είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε αποτελούν βάση του V και άρα η διάσταση του V είναι ίση με m. Αν δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε δεν αποτελούν βάση του V. Σ αυτήν την περίπτωση ο V θα έχει μια άλλη βάση με λιγότερα στοιχεία. Ερώτημα 2: Πώς βρίσκουμε μια βάση του V και άρα και την διάστασή του; Υπάρχουν δύο τρόποι (ουσιαστικά ισοδύναμοι). 8

10 Πρώτος τρόπος εύρεσης βάσης του V. Αν τα x 1,..., x m (το οποία, όπως είπαμε, παράγουν τον V ) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε αποτελούν βάση του V και η διάσταση του V είναι ίση με m. Αν τα x 1,..., x m δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε κάποιο από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Ας υποθέσουμε ότι το x m είναι γραμμικός συνδυασμός των x 1,..., x m 1. (Αν δεν είναι το x m, μπορούμε να αριθμήσουμε διαφορετικά τα διανύσματα ώστε το τελευταίο να είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων.) Τότε μπορούμε να παραλείψουμε το x m και τα υπόλοιπα, x 1,..., x m 1, παράγουν, επίσης, τον V. Αν αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε αποτελούν βάση του V και άρα η διάσταση του V είναι ίση με m 1. Αν τα x 1,..., x m 1 δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε κάποιο από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Ας υποθέσουμε ότι το x m 1 είναι γραμμικός συνδυασμός των x 1,..., x m 2. (Αν δεν είναι το x m 1, μπορούμε να αριθμήσουμε διαφορετικά τα διανύσματα ώστε το τελευταίο να είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων.) Τότε μπορούμε να παραλείψουμε το x m 1 και τα υπόλοιπα, x 1,..., x m 2, παράγουν, επίσης, τον V. Αν αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε αποτελούν βάση του V και άρα η διάσταση του V είναι ίση με m 2. Συνεχίζουμε αυτήν την διαδικασία, παραλείποντας διαδοχικά τα x m, x m 1,... (και αλλάζοντας αρίθμηση αν χρειάζεται) μέχρι να βρούμε κάποια στιγμή x 1,..., x k τα οποία παράγουν τον V και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Αυτά αποτελούν βάση του V και η διάστασή του θα είναι ίση με k. Δεύτερος (και προτιμότερος) τρόπος εύρεσης βάσης του V. Εφαρμόζουμε τη διαδικασία απαλοιφής του Gauss στον m n πίνακα A που σχηματίζεται με γραμμές τις n-άδες x 1,..., x m : x x 1j... x 1n... A = x i1... x ij... x in... x m1... x mj... x mn Κάνοντας τις γνωστές πράξεις με τις γραμμές του πίνακα A καταλήγουμε σε έναν m n πίνακα B ο οποίος έχει τη μορφή a a B = a k Η πρώτη γραμμή έχει κάποια αρχικά 0 (μπορεί κανένα), το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο a 1 και ακολουθούν τυχόντες αριθμοί. Η δεύτερη γραμμή έχει κάποια αρχικά 0, το πρώτο μη-μηδενικό a 2 το οποίο είναι δεξιά του a 1 και ακολουθούν τυχόντες αριθμοί. Συνεχίζουμε μέχρι και την k-οστή γραμμή, η οποία έχει κάποια αρχικά 0, το πρώτο μη-μηδενικό a k το οποίο είναι δεξιά του a k 1 της αμέσως προηγούμενης γραμμής και ακολουθούν τυχόντες αριθμοί. Οι υπόλοιπες γραμμές (μπορεί καμία) αποτελούνται μόνο από 0. Οι αριθμοί a 1, a 2,..., a k είναι οι λεγόμενοι οδηγοί των αντίστοιχων γραμμών. Όταν καταλήξουμε σε έναν τέτοιο πίνακα B, τότε οι πρώτες k γραμμές είναι διανύσματα στον R n τα οποία παράγουν τον V και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και άρα αποτελούν βάση του V. Επομένως έχουμε βρει μία βάση του V και τη διάστασή του η οποία είναι ίση με k. Παρατήρηση: Αν m = 2, δηλαδή αν έχουμε δύο διανύσματα, τα x 1, x 2, τότε δεν χρειάζεται να κάνουμε όλη αυτήν τη διαδικασία. Είναι εύκολο να δούμε με το μάτι αν ένα από τα δύο διανύσματα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Αν κανένα από τα δύο διανύσματα δεν είναι πολλαπλάσιο του άλλου (δηλαδή δεν είναι συνευθειακά ), τότε αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και άρα αποτελούν 9

11 βάση του χώρου V τον οποίο παράγουν. Δηλαδή, τα δύο διανύσματα παράγουν χώρο διάστασης 2. (Ειδική περίπτωση: Ο V είναι ολόκληρος ο R 2 αν τα x 1, x 2 είναι στον R 2 ή ο V είναι ένα επίπεδο στον R 3 αν τα x 1, x 2 είναι στον R 3.) Αν ένα από τα δύο διανύσματα είναι πολλαπλάσιο του άλλου, π.χ. x 2 = λx 1, τότε το x 1 αποτελεί βάση του χώρου V που παράγουν τα δύο διανύσματα (δηλαδή, από μόνο του παράγει τον V ). Άρα ο V έχει διάσταση 1. (Ειδική περίπτωση: Ο V είναι μία ευθεία στον R 2 αν τα x 1, x 2 είναι στον R 2 ή ο V είναι μία ευθεία στον R 3 αν τα x 1, x 2 είναι στον R 3.) Η διαδικασία με την μέθοδο του Gauss έχει αξία όταν έχουμε m 3 διανύσματα, οπότε δεν μπορούμε να δούμε εύκολα με το μάτι αν ένα από τα x 1,..., x m είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Μελετήσαμε τις πολικές συντεταγμένες στον R 2. Σε ένα σημείο στον R 2 με ζεύγος καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y) αντιστοιχίζουμε το ζεύγος πολικών συντεταγμένων (r, θ). Το r είναι η απόσταση αυτού του σημείου από την αρχή των αξόνων και το θ είναι η γωνία ανάμεσα στο διάνυσμα (x, y) και στον θετικό x-ημιάξονα. Για την απόσταση r ισχύει προφανώς r 0 και για την γωνία θ ισχύει 0 θ 2π. Η γωνία θ μετριέται ξεκινώντας από τον θετικό x-ημιάξονα και πηγαίνοντας στο διάνυσμα (x, y) με την θετική φορά περιστροφής γύρω από την αρχή των αξόνων, δηλαδή την αντίθετη προς την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. (Προσοχή: η γωνία θ δεν είναι πάντοτε η κυρτή γωνία ανάμεσα στο διάνυσμα (x, y) και στον θετικό x-ημιάξονα.) Είδαμε ότι οι τύποι αλλαγής καρτεσιανών-πολικών συντεταγμένων είναι οι { x = r cos θ y = r sin θ Επίσης, έχουμε και τους τύπους r = x 2 + y 2 και θ = arctan y x. Ο δεύτερος τύπος ισχύει για x, y > 0 (ή ισοδύναμα 0 < θ < π 2 ). Πρώτη παρατήρηση: Στα σημεία του θετικού x-ημιάξονα αντιστοιχίζονται δύο τιμές του θ, το 0 και το 2π. Δεύτερη παρατήρηση: Στο σημείο (0, 0) αντιστοιχίζεται το r = 0. Αλλά κάποιοι συγγραφείς στο σημείο αυτό δεν αντιστοιχίζουν καμία τιμή του θ ενώ άλλοι συγγραφείς αντιστοιχίζουν όλες τις τιμές του θ. Κατόπιν μελετήσαμε τις κυλινδρικές συντεταγμένες στον R 3. Σε ένα σημείο στον R 3 με τριάδα καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y, z) αντιστοιχίζουμε τριάδα κυλινδρικών συντεταγμένων (r, θ, z). Το (r, θ) είναι το ζεύγος πολικών συντεταγμένων που αντιστοιχίζεται στο σημείο (x, y, 0) στο xy-επίπεδο. Το σημείο αυτό είναι η κατακόρυφη προβολή του (x, y, z) στο xy-επίπεδο. Άρα έχουμε r 0 και 0 θ 2π. Για το z δεν υπάρχει περιορισμός. Είδαμε, λοιπόν, ότι οι τύποι αλλαγής καρτεσιανών-κυλινδρικών συντεταγμένων είναι οι x = r cos θ y = r sin θ z = z Ιχύει πάλι ο τύπος r = x 2 + y 2 καθώς και ο θ = arctan y x για x, y > 0 (ή ισοδύναμα 0 < θ < π 2 ). Πρώτη παρατήρηση: Στα σημεία του δεξιού xz-ημιεπιπέδου αντιστοιχίζονται δύο τιμές του θ, το 0 και το 2π. Δεύτερη παρατήρηση: Στα σημεία του z-άξονα αντιστοιχίζεται το r = 0. Τώρα, κάποιοι συγγραφείς στα σημεία αυτά δεν αντιστοιχίζουν καμία τιμή του θ ενώ άλλοι συγγραφείς αντιστοιχίζουν όλες τις τιμές του θ. Τέλος μελετήσαμε τις σφαιρικές συντεταγμένες στον R 3. Σε ένα σημείο στον R 3 με τριάδα καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y, z) αντιστοιχίζουμε τριάδα 10

12 σφαιρικών συντεταγμένων (ρ, θ, ϕ). Το ρ είναι η απόσταση του σημείου (x, y, z) από την αρχή των αξόνων, το θ είναι η δεύτερη πολική συντεταγμένη του σημείου (x, y, 0) στο xy-επίπεδο και το ϕ είναι η κυρτή γωνία ανάμεσα στο διάνυσμα (x, y, z) και στον θετικό z-ημιάξονα. Άρα έχουμε ρ 0 και 0 θ 2π και 0 ϕ π. Είδαμε ότι οι τύποι αλλαγής καρτεσιανών-σφαιρικών συντεταγμένων είναι οι x = ρ cos θ sin ϕ y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos ϕ Έχουμε και τον τύπο ρ = x 2 + y 2 + z 2 καθώς και τον θ = arctan y x για x, y > 0. Επίσης, τον τύπο ϕ = arccos z ρ. Πρώτη παρατήρηση: Στα σημεία του δεξιού xz-ημιεπιπέδου αντιστοιχίζονται δύο τιμές του θ, το 0 και το 2π. Δεύτερη παρατήρηση: Στα σημεία του z-άξονα κάποιοι συγγραφείς δεν αντιστοιχίζουν καμία τιμή του θ ενώ άλλοι συγγραφείς αντιστοιχίζουν όλες τις τιμές του θ. Επίσης, στο σημείο (0, 0, 0) κάποιοι συγγραφείς δεν αντιστοιχίζουν καμία τιμή του ϕ ενώ άλλοι συγγραφείς αντιστοιχίζουν όλες τις τιμές του ϕ. 11

13 3η εβδομάδα. Συζητήσαμε για μερικά χαρακτηριστικά σχήματα στον R 2 και στον R 3. Σχήματα στο επίπεδο. 1. Η καρτεσιανή εξίσωση x 2 + y 2 = r 2 0, όπου το r 0 > 0 είναι δοσμένος αριθμός, ορίζει τον κύκλο κέντρου (0, 0) και ακτίνας r 0. Η πολική εξίσωση του ίδιου κύκλου είναι η r = r 0 (το θ είναι ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). 2. Η καρτεσιανή εξίσωση ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1, a b όπου τα a, b > 0 είναι δοσμένοι αριθμοί, ορίζει την έλλειψη με κέντρο (0, 0) και ημιάξονες a, b. Αν a = b = r 0 παίρνουμε ως ειδική περίπτωση τον κύκλο ακτίνας r Η καρτεσιανή εξίσωση y = x 2 ορίζει την γνωστή παραβολή η οποία είναι συμμετρική ως προς τον y-άξονα, έχει κορυφή το (0, 0) και ανοίγει προς τα πάνω. Με εναλλαγή των x, y προκύπτει η εξίσωση x = y 2 η οποία ορίζει την παραβολή, η οποία είναι συμμετρική ως προς τον x-άξονα, έχει κορυφή το (0, 0) και ανοίγει προς τα δεξιά. Είδαμε πώς από αυτές τις δύο παραβολές προκύπτουν οι γενικότερες παραβολές με καρτεσιανές εξισώσεις y = ax 2 + bx + c, x = ay 2 + by + c, με a Η καρτεσιανή εξίσωση x 2 y 2 = c, όπου το c είναι δοσμένος αριθμός, ορίζει υπερβολή. Διακρίναμε περιπτώσεις. Αν c = 0, το σχήμα που προκύπτει είναι η ένωση των δύο κύριων διαγωνίων του xy-επιπέδου. Αν c > 0, προκύπτουν δύο κλάδοι υπερβολής. Και οι δύο κλάδοι είναι συμμετρικοί ως προς τον x-άξονα. Ο ένας έχει κορυφή το ( c, 0) και ανοίγει προς τα δεξιά και ο άλλος έχει κορυφή το ( c, 0) και ανοίγει προς τα αριστερά. Και οι δύο κλάδοι έχουν ασύμπτωτες τις κύριες διαγώνιες. Οι δύο κλάδοι είναι μεταξύ τους συμμετρικοί ως προς τον y-άξονα. Αν c < 0, προκύπτουν πάλι δύο κλάδοι υπερβολής. Και οι δύο κλάδοι είναι συμμετρικοί ως προς τον y-άξονα. Ο ένας έχει κορυφή το (0, c) και ανοίγει προς τα πάνω και ο άλλος έχει κορυφή το (0, c) και ανοίγει προς τα κάτω. Και οι δύο κλάδοι έχουν ασύμπτωτες τις κύριες διαγώνιες. Οι δύο κλάδοι είναι μεταξύ τους συμμετρικοί ως προς τον x-άξονα. Είδαμε πώς μεταβάλλονται αυτές οι υπερβολές όταν μεταβάλλεται το c. 12

14 5. Η καρτεσιανή εξίσωση xy = c, όπου το c είναι δοσμένος αριθμός, ορίζει υπερβολή. Διακρίναμε περιπτώσεις. Αν c = 0, το σχήμα που προκύπτει είναι η ένωση των δύο αξόνων: του x-άξονα και του y-άξονα. Αν c > 0, προκύπτουν δύο κλάδοι υπερβολής. Και οι δύο κλάδοι είναι συμμετρικοί ως προς την κύρια διαγώνιο y = x. Ο ένας έχει κορυφή το ( c, c) και ανοίγει προς τα δεξιά και πάνω και ο άλλος έχει κορυφή το ( c, c) και ανοίγει προς τα αριστερά και κάτω. Και οι δύο κλάδοι έχουν ασύμπτωτες τους δύο άξονες. Οι δύο κλάδοι είναι μεταξύ τους συμμετρικοί ως προς την κύρια διαγώνιο y = x. Αν c < 0, προκύπτουν πάλι δύο κλάδοι υπερβολής. Και οι δύο κλάδοι είναι συμμετρικοί ως προς την κύρια διαγώνιο y = x. Ο ένας έχει κορυφή το ( c, c) και ανοίγει προς τα αριστερά και πάνω και ο άλλος έχει κορυφή το ( c, c) και ανοίγει προς τα δεξιά και κάτω. Και οι δύο κλάδοι έχουν ασύμπτωτες τους δύο άξονες. Οι δύο κλάδοι είναι μεταξύ τους συμμετρικοί ως προς την κύρια διαγώνιο y = x. Είδαμε πώς μεταβάλλονται αυτές οι υπερβολές όταν μεταβάλλεται το c. Μελετήσαμε την σχέση ανάμεσα στις υπερβολές της περίπτωσης 4 και στις υπερβολές της περίπτωσης 5. Είδαμε ότι η καρτεσιανή εξίσωση x 2 y 2 = c γράφεται (x y)(x + y) = c και ότι, αν θέσουμε ξ = x y και η = x + y, τότε η εξίσωση γράφεται ξη = c. Βάσει αυτού είδαμε ότι οι υπερβολές της περίπτωσης 4 προκύπτουν από τις υπερβολές της περίπτωσης 5 (και αντιστρόφως) με στροφή κατά γωνία π 4. Σχήματα στον χώρο. 1. Η καρτεσιανή εξίσωση x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 0, όπου το r 0 > 0 είναι δοσμένος αριθμός, ορίζει την σφαίρα κέντρου (0, 0, 0) και ακτίνας r 0. Η σφαιρική εξίσωση της ίδιας σφαίρας είναι η ρ = ρ 0 (τα θ, ϕ είναι ελεύθερα στα διαστήματα [0, 2π], [0, π] αντιστοίχως). Η κυλινδρική εξίσωση της ίδιας σφαίρας είναι η r 2 + z 2 = ρ 2 (το θ είναι ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). 2. Η καρτεσιανή εξίσωση ( x ) 2 ( y ) 2 ( z ) = 1, a b c όπου τα a, b, c > 0 είναι δοσμένοι αριθμοί, ορίζει το ελλειψοειδές με κέντρο (0, 0, 0) και ημιάξονες a, b, c. Αν a = b = c = ρ 0 παίρνουμε ως ειδική περίπτωση την σφαίρα ακτίνας ρ 0. Είδαμε με πολλή λεπτομέρεια ότι οι τομές του ελλειψοειδούς με επίπεδα παράλληλα στο yzεπίπεδο (δηλαδή κάθετα στον x-άξονα) είναι ελλείψεις. Πιο συγκεκριμένα, αν a < x 0 < a, η τομή του ελλειψοειδούς με το επίπεδο με εξίσωση x = x 0 ικανοποιεί την εξίσωση ( y ) 2 ( z ) 2 + = 1, κb κc όπου κ = 1 ( x 0 a ) 2 > 0 (και το x είναι σταθερό: x = x 0 ). Όταν x 0 = 0, η αντίστοιχη έλλειψη είναι πάνω στο yz-επίπεδο. Όταν το x 0 αυξάνεται στο διάστημα [0, a), η έλλειψη μεταφέρεται παράλληλα προς τα δεξιά και μικραίνει αφού οι ημιάξονές της είναι κb, κc και το κ μειώνεται από 1 σε 0. Τα ανάλογα ισχύουν όταν το x 0 μειώνεται στο διάστημα ( a, 0]. Όταν x 0 = a ή x 0 = a, το σχήμα αποτελείται από ένα μόνο σημείο: το (a, 0, 0) ή το ( a, 0, 0) αντιστοίχως. Έχουμε ανάλογα συμπεράσματα για τομές παράλληλες στο xy-επίπεδο ή στο xz-επίπεδο. 13

15 3. Η καρτεσιανή εξίσωση x 2 + y 2 = r 2 0 (και το z ελεύθερο) ορίζει τον κύλινδρο η οποίος είναι συμμετρικός ως προς τον z-άξονα, είναι κάθετος στο xy-επίπεδο και τέμνει το xy-επίπεδο στον κύκλο με εξίσωση x 2 +y 2 = r 2 0. Ο κύλινδρος εκτείνεται απεριόριστα προς τα πάνω και προς τα κάτω. Η τομή του κυλίνδρου με οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο στο xy-επίπεδο (δηλαδή κάθετο στον z-άξονα) είναι κύκλος ακτίνας r 0 και με κέντρο πάνω στον z-άξονα. Μέρος του προηγούμενου κυλίνδρου παίρνουμε αν περιορίσουμε τις τιμές του z: x 2 + y 2 = r 2 0, z 1 z z 2. Τώρα έχουμε το μέρος του προηγούμενου κυλίνδρου το οποίο βρίσκεται ανάμεσα στα δύο επίπεδα που είναι παράλληλα στο xy-επίπεδο με καρτεσιανές εξισώσεις z = z 1 και z = z 2. Η κυλινδρική εξίσωση του κυλίνδρου είναι η r = r 0 (το θ είναι ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π] και το z είναι ελεύθερο). Η κυλινδρική εξίσωση του περιορισμένου κυλίνδρου είναι η r = r 0, z 1 z z 2 (το θ είναι ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). Ανάλογους κυλίνδρους παίρνουμε από τις εξισώσεις y 2 + z 2 = r0 2 (και το x ελεύθερο ή περιορισμένο σε διάστημα [x 1, x 2 ]) και x 2 + z 2 = r0 2 (και το y ελεύθερο ή περιορισμένο σε διάστημα [y 1, y 2 ]). 4. Η καρτεσιανή εξίσωση x 2 + y 2 z 2 = 0 ορίζει δύο κώνους. Ο ένας έχει καρτεσιανή εξίσωση z = x 2 + y 2 και ο άλλος έχει καρτεσιανή εξίσωση z = x 2 + y 2. Σχετικά με τον κώνο με καρτεσιανή εξίσωση z = x 2 + y 2 είδαμε τα εξής. Ο κώνος έχει κορυφή το σημείο (0, 0, 0), είναι συμμετρικός ως προς τον z-άξονα και ανοίγει προς τα πάνω. Η τομή του κώνου με οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο στο xy-επίπεδο και πάνω από αυτό είναι κύκλος. Πιο συγκεκριμένα, η τομή του κώνου με το επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση z = z 0, όπου z 0 > 0, είναι κύκλος με κέντρο το σημείο (0, 0, z 0 ) πάνω στον z-άξονα και ακτίνα z 0. Όταν αυξάνεται το z 0 στο διάστημα (0, + ) ο κύκλος ανεβαίνει προς τα πάνω και αυξάνεται η ακτίνα του. Η ένωση όλων αυτών των κύκλων σχηματίζει τον κώνο. Η τομή του κώνου με οποιοδήποτε ημιεπίπεδο το οποίο έχει ως συνοριακή ευθεία τον z-άξονα είναι ημιευθεία. Πιο συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε στο xy-επίπεδο την ημιευθεία με κορυφή το (0, 0, 0) η οποία έχει πολική γωνία θ (με τον θετικό x-ημιάξονα), τότε αυτή η ημιευθεία μαζί με τον z-άξονα σχηματίζουν ένα ημιεπίπεδο στον χώρο με συνοριακή ευθεία τον z-άξονα. Τα σημεία αυτού του ημιεπιπέδου καθορίζονται από το ζεύγος (κυλινδρικών) συντεταγμένων (r, z). Η τομή του κώνου με αυτό το ημιεπίπεδο είναι η ημιευθεία με εξίσωση z = r. H ημιευθεία αυτή έχει γωνία ϕ = π 4 με τον θετικό z-ημιάξονα. Όταν η γωνία θ (η οποία καθορίζει το ημιεπίπεδο) αυξάνεται στο διάστημα [0, 2π] το ημιεπίπεδο περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα και η ημιευθεία (η τομή του κώνου με το ημιεπίπεδο) περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα διατηρώντας σταθερή γωνία ϕ = π 4 με τον θετικό z-άξονα. Η ένωση όλων αυτών των ημιευθειών σχηματίζει τον κώνο. Είδαμε ότι η κυλινδρική εξίσωση του κώνου είναι η z = r 14

16 (και το θ ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). Η σφαιρική εξίσωση του κώνου είναι η ϕ = π 4 (το ρ ελεύθερο στο διάστημα [0, + ) και το θ ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). Ο κώνος με καρτεσιανή εξίσωση z = x 2 + y 2 είναι συμμετρικός του προηγούμενου ως προς το xy-επίπεδο. Έχει κορυφή το σημείο (0, 0, 0), είναι συμμετρικός ως προς τον z-άξονα και ανοίγει προς τα κάτω. Η κυλινδρική εξίσωση του κώνου είναι η z = r (και το θ ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]) και η σφαιρική εξίσωσή του είναι η ϕ = 3π 4 (το ρ ελεύθερο στο διάστημα [0, + ) και το θ ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). Εντελώς ανάλογες περιγραφές έχουμε για τους κώνους με καρτεσιανές εξισώσεις x 2 + y 2 + z 2 = 0 και x 2 y 2 + z 2 = 0. (Αυτοί δεν έχουν απλές κυλινδρικές και σφαιρικές εξισώσεις.) 5. Η καρτεσιανή εξίσωση z = x 2 + y 2 ορίζει ένα παραβολοειδές εκ περιστροφής. Η επιφάνεια αυτή έχει κορυφή το σημείο (0, 0, 0), είναι συμμετρική ως προς τον z-άξονα και ανοίγει προς τα πάνω. Η τομή της επιφάνειας με οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο στο xy-επίπεδο και πάνω από αυτό είναι κύκλος. Πιο συγκεκριμένα, η τομή της επιφάνειας με το επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση z = z 0, όπου z 0 > 0, είναι κύκλος με κέντρο το σημείο (0, 0, z 0 ) πάνω στον z-άξονα και ακτίνα z0. Όταν αυξάνεται το z 0 στο διάστημα (0, + ) ο κύκλος ανεβαίνει προς τα πάνω και αυξάνεται η ακτίνα του. Η ένωση όλων αυτών των κύκλων σχηματίζει την επιφάνεια. Η τομή της επιφάνειας με οποιοδήποτε ημιεπίπεδο το οποίο έχει ως συνοριακή ευθεία τον z-άξονα είναι μισή παραβολή. Πιο συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε στο xy-επίπεδο την ημιευθεία με κορυφή το (0, 0, 0) η οποία έχει πολική γωνία θ (με τον θετικό x-ημιάξονα), τότε αυτή η ημιευθεία μαζί με τον z-άξονα σχηματίζουν ένα ημιεπίπεδο στον χώρο με συνοριακή ευθεία τον z-άξονα. Τα σημεία αυτού του ημιεπιπέδου καθορίζονται από το ζεύγος (κυλινδρικών) συντεταγμένων (r, z). Η τομή της επιφάνειας με αυτό το ημιεπίπεδο είναι η μισή παραβολή με εξίσωση z = r 2. Όταν η γωνία θ (η οποία καθορίζει το ημιεπίπεδο) αυξάνεται στο διάστημα [0, 2π] το ημιεπίπεδο περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα και η μισή παραβολή (η τομή της επιφάνειας με το ημιεπίπεδο) περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα. Η ένωση όλων αυτών των ημι-παραβολών σχηματίζει το παραβολοειδές εκ περιστροφής. Είδαμε ότι η κυλινδρική εξίσωση του παραβολοειδούς εκ περιστροφής είναι η z = r 2 (και το θ ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]) και ότι η σφαιρική εξίσωσή του είναι η (και το θ ελεύθερο στο διάστημα [0, 2π]). 6. Η καρτεσιανή εξίσωση ρ(cos ϕ ρ sin 2 ϕ) = 0 z = x 2 y 2 15

17 όπου το c είναι δοσμένος αριθμός, ορίζει ένα υπερβολικό παραβολοειδές. Η τομή αυτής της επιφάνειας με το xy-επίπεδο αποτελείται από την ένωση των κύριων διαγωνίων του xy-επιπέδου. Η τομή της επιφάνειας με οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο στο xy-επίπεδο και πάνω ή κάτω από αυτό είναι δύο κλάδοι υπερβολής. Πιο συγκεκριμένα, η τομή της επιφάνειας με το επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση z = z 0, όπου z 0 > 0, είναι οι δύο κλάδοι της υπερβολής με καρτεσιανή εξισωση x 2 y 2 = z 0 (στο xy-επίπεδο) υπερυψωμένοι σε ύψος z 0 πάνω από το xy-επίπεδο. Ομοίως, η τομή της επιφάνειας με το επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση z = z 0, όπου z 0 < 0, είναι οι δύο κλάδοι της υπερβολής με καρτεσιανή εξισωση x 2 y 2 = z 0 (στο xy-επίπεδο) βυθισμένοι σε βάθος z 0 = z 0 κάτω από το xy-επίπεδο. Η ένωση όλων αυτών των υπερβολών σχηματίζει το υπερβολικό παραβολοειδές. Η μελέτη του υπερβολικού παραβολοειδούς θα συνεχιστεί την επόμενη εβδομάδα. 16

18 4η εβδομάδα. Είδαμε ότι οι τομές του υπερβολικού παραβολοειδούς με επίπεδα παράλληλα στο yz-επίπεδο είναι παραβολές οι οποίες ανοίγουν προς τα κάτω και οι τομές του με επίπεδα παράλληλα στο xz-επίπεδο είναι παραβολές οι οποίες ανοίγουν προς τα πάνω. Οι τομές του υπερβολικού παραβολοειδούς με επίπεδα παράλληλα στο xy-επίπεδο είναι υπερβολές (εκτός από την τομή με το ίδιο το xy-επίπεδο η οποία αποτελείται από δύο ευθείες). Αρχίσαμε να μιλάμε για συναρτήσεις f : A R m, A R n. Η ανεξάρτητη μεταβλητή x = (x 1,..., x n ) βρίσκεται στο πεδίο ορισμού A, το οποίο είναι κάποιο υποσύνολο του R n, και η εξαρτημένη μεταβλητή y = (y 1,..., y m ) βρίσκεται στον R m. Η ανεξάρτητη και η εξαρτημένη μεταβλητή συνδέονται με τη σχέση y = f(x) ή, ισοδύναμα, (y 1,..., y m ) = f(x 1,..., x n ). Καθεμία από τις συντεταγμένες y 1,..., y m της εξαρτημένης μεταβλητής y εξαρτάται από την ανεξάρτητη μεταβλητή x, δηλαδή είναι συνάρτηση του x. Έτσι μπορούμε να γράψουμε y 1 = f 1 (x) = f 1 (x 1,..., x n ). y m = f m (x) = f m (x 1,..., x n ) όπου οι f 1,..., f m είναι συναρτήσεις ορισμένες στο A και με τιμές στο R: f 1,..., f m : A R, A R n. Οι συναρτήσεις f 1,..., f m ονομάζονται συντεταγμένες συναρτήσεις της f. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f : R R 3 με τύπο f(x) = (2x, x 2 + sin x, e 3x ) έχει τρεις συντεταγμένες συναρτήσεις f 1, f 2, f 3 : R R με τύπους f 1 (x) = 2x, f 2 (x) = x 2 + sin x, f 3 (x) = e 3x. Η συνάρτηση f : R 3 R 2 με τύπο f(x, y, z) = (x 2 y + ye z, x + y sin z) έχει δύο συντεταγμένες συναρτήσεις f 1, f 2 : R 3 R με τύπους f 1 (x, y, z) = x 2 y + ye z, f 2 (x, y, z) = x + y sin z. 17

19 Η συνάρτηση f : A R με τύπο f(x, y) = 1 xy έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = {(x, y) xy 0} = {(x, y) x 0, y 0}, δηλαδή το R 2 εκτός από την ένωση του x-άξονα και του y-άξονα. Η συνάρτηση f έχει μόνο μία συντεταγμένη συνάρτηση, τον εαυτό της. Αν έχουμε μια συνάρτηση f : A R m, A R n, τότε στην περίπτωση m = 1 λέμε ότι η f είναι πραγματική ή βαθμωτή συνάρτηση ενώ στην περίπτωση m 2 λέμε ότι η f είναι διανυσματική συνάρτηση. Επομένως οι συντεταγμένες συναρτήσεις μιας διανυσματικής συνάρτησης είναι πραγματικές συναρτήσεις. Στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης (δηλαδή όταν m = 1) ορίσαμε το γράφημα της f ως το σύνολο f : A R, A R n, G f = {(x, f(x)) x A} = {(x 1,..., x n, f(x 1,..., x n )) (x 1,..., x n ) A}. Το G f είναι υποσύνολο του R n+1 αφού κάθε (x, f(x)) = (x 1,..., x n, f(x 1,..., x n )) έχει n + 1 πραγματικές συντεταγμένες. Πάλι στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης (δηλαδή όταν m = 1) f : A R, A R n, ορίσαμε τα ισοσταθμικά σύνολα της f ως εξής. Για κάθε πραγματική τιμή c R το αντίστοιχο ισοσταθμικό σύνολο είναι το A c = {x A f(x) = c} = {(x 1,..., x n ) A f(x 1,..., x n ) = c}. Δηλαδή κάθε A c είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού A R n και αποτελείται από όλα τα σημεία του A στα οποία η f έχει σταθερή τιμή c: (x 1,..., x n ) A c (x 1,..., x n ) A και f(x 1,..., x n ) = c. Αν η τιμή c δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f, τότε το αντίστοιχο ισοσταθμικό σύνολο A c είναι κενό. Αν η τιμή c ανήκει στο σύνολο τιμών της f, τότε το αντίστοιχο ισοσταθμικό σύνολο A c έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο. Σε διαφορετικές τιμές c 1, c 2 του c στο σύνολο τιμών της f αντιστοιχούν ξένα ανά δύο ισοσταθμικά σύνολα A c1, A c2. Μεταβάλλοντας το c ώστε να διατρέχει το σύνολο τιμών της f παίρνουμε ολόκληρο το πεδίο ορισμού A ως την ένωση όλων των ισοσταθμικών συνόλων A c. Αν n = 1, το γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης είναι συνήθως μια καμπύλη στον R 2. Αν n = 2, το γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης είναι συνήθως μια επιφάνεια στον R 2. Σ αυτές τις δύο περιπτώσεις υπάρχει πολλές φορές η δυνατότητα να σχεδιαστεί το γράφημα της συνάρτησης, ειδικά αν αυτή είναι σχετικά απλή. Αν, όμως, n 3, το γράφημα είναι υποσύνολο του R n+1, όπου n + 1 4, και δεν μπορούμε να το σχεδιάσουμε. Αν n = 1, ένα οποιοδήποτε ισοσταθμικό σύνολο μιας πραγματικής συνάρτησης αποτελείται συνήθως από πεπερασμένου πλήθους σημεία. Αν n = 2, ένα οποιοδήποτε ισοσταθμικό σύνολο 18

20 είναι συνήθως μια καμπύλη στον R 2. Αν n = 3, ένα οποιοδήποτε ισοσταθμικό σύνολο είναι συνήθως μια επιφάνεια στον R 3. Σ αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να σχεδιάσουμε τα ισοσταθμικά σύνολα της συνάρτησης αν αυτή είναι σχετικά απλή. Αν, όμως, n 4, επειδή τα ισοσταθμικά σύνολα είναι υποσύνολα του R n, δεν μπορούμε να τα σχεδιάσουμε. Στην περίπτωση n = 2, όταν έχουμε πραγματική συνάρτηση z = f(x, y) είδαμε και με παραδείγματα τη γεωμετρική εικόνα του γραφήματος και των ισοσταθμικών καμπυλών της συνάρτησης αλλά και τη γεωμετρική σχέση ανάμεσα στις ισοσταθμικές καμπύλες και στο γράφημα της συνάρτησης. Tο πεδίο ορισμού A της f βρίσκεται στο xy-επίπεδο και το γράφημά της, το G f, είναι συνήθως μια επιφάνεια στον χώρο και πάνω από το A (πάνω, όπου οι τιμές z της f είναι 0, και κάτω, όπου οι τιμές z είναι 0). Κάθε ισοσταθμική καμπύλη A c περιέχεται στο A, δηλαδή είναι στο xy-επίπεδο, και ακριβώς από πάνω της, στον χώρο, και σε ύψος z = c από το xy-επίπεδο βρίσκεται μια παράλληλη καμπύλη η οποία περιέχεται στο γράφημα της f. Αν πάρουμε την ένωση όλων αυτών των παράλληλων καμπυλών των ισοσταθμικών καμπυλών θα σχηματιστεί η επιφάνεια/γράφημα της f. Παράδειγμα. Το γράφημα G f της πραγματικής συνάρτησης με τύπο f(x, y) = ax + by είναι το επίπεδο στον R 3 με καρτεσιανή εξίσωση z = ax + by ή, ισοδύναμα, ax + by z = 0, δηλαδή είναι το επίπεδο που περιέχει το σημείο (0, 0, 0) και είναι κάθετο στο διάνυσμα (a, b, 1). Για κάθε c R το ισοσταθμικό σύνολο A c της f είναι η ευθεία στο xy-επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση ax + by = c. Στον χώρο, ακριβώς πάνω από αυτήν την ευθεία και σε ύψος z = c από το xy-επίπεδο βρίσκεται μια παράλληλη ευθεία η οποία περιέχεται στο επίπεδο/γράφημα της συνάρτησης. Η ένωση όλων (δηλαδή για όλες τις τιμές του c) αυτών των παράλληλων ευθειών σχηματίζει το επίπεδο/γράφημα της συνάρτησης. Παράδειγμα. Το γράφημα G f της πραγματικής συνάρτησης με τύπο z = f(x, y) = x 2 + y 2 είναι το παραβολοειδές εκ περιστροφής στον R 3 με καρτεσιανή εξίσωση z = x 2 + y 2. Αν c < 0, το ισοσταθμικό σύνολο A c της f είναι κενό. Αν c = 0, το ισοσταθμικό σύνολο A c αποτελείται από ένα μόνο σημείο, το (0, 0). Για κάθε c > 0 το ισοσταθμικό σύνολο A c είναι ο κύκλος στο xy-επίπεδο με καρτεσιανή εξίσωση x 2 + y 2 = c, δηλαδή ο κύκλος με κέντρο το (0, 0) και ακτίνα c. Στον χώρο, ακριβώς πάνω από αυτόν τον κύκλο και σε ύψος z = c > 0 από το xy-επίπεδο βρίσκεται ένας παράλληλος κύκλος ο οποίος περιέχεται στο παραβολοειδές εκ περιστροφής. Η ένωση όλων (δηλαδή για όλες τις θετικές τιμές του c) αυτών των παράλληλων κύκλων μαζί με το σημείο (0, 0, 0) σχηματίζει το παραβολοειδές εκ περιστροφής, δηλαδή το γράφημα της f. Αν x R n και r > 0 η μπάλα με κέντρο x και ακτίνα r είναι το σύνολο των σημείων y του R n σε απόσταση από το x μικρότερη από r. Την μπάλα αυτή συμβολίζουμε B r (x), οπότε B r (x) = {y R n y x < r}. Αν n = 3, τότε η έννοια της μπάλας όπως την ορίσαμε ταυτίζεται με τη γνωστή έννοια της μπάλας στο χώρο. Αν n = 2, τότε η έννοια της μπάλας όπως την ορίσαμε ταυτίζεται με τη γνωστή έννοια του δίσκου στο επίπεδο. Ενώ, αν n = 1, η έννοια της μπάλας όπως την ορίσαμε ταυτίζεται με τη γνωστή έννοια του διαστήματος στην ευθεία. Αν A R n και x A είπαμε ότι το x είναι εσωτερικό σημείο του A αν υπάρχει κάποιο δ > 0 (ίσως αρκετά μικρό) ώστε η μπάλα B δ (x) να περιέχεται ολόκληρη στο A ή, ισοδύναμα, ώστε κάθε y το οποίο απέχει από το x λιγότερο από δ να περιέχεται στο A: B δ (x) A [ y x < δ y A ]. 19

21 Αν A R n και x A είπαμε ότι το x είναι συνοριακό σημείο του A αν για κάθε δ > 0 (οσοδήποτε μικρό) η μπάλα B δ (x) τέμνει και το A αλλά και το συμπληρωματικό σύνολο του A ή, ισοδύναμα, ώστε για κάθε δ > 0 υπάρχουν σημεία του A και σημεία έξω από το A τα οποία απέχουν από το x λιγότερο από δ. Είπαμε ότι ένα A R n ονομάζεται ανοικτό αν όλα τα σημεία του είναι εσωτερικά σημεία του ή, ισοδύναμα, κανένα σημείο του δεν είναι συνοριακό σημείο του. Είπαμε ότι ένα A R n ονομάζεται κλειστό αν, εκτός από τα εσωτερικά σημεία του, περιέχει και όλα τα συνοριακά σημεία του: A ανοικτό το A περιέχει όλα τα εσωτερικά σημεία του και κανένα συνοριακό σημείο του A κλειστό το A περιέχει όλα τα εσωτερικά σημεία του και όλα τα συνοριακά σημεία του Παράδειγμα. Tα σημεία που βρίσκονται μέσα σε ένα δίσκο στο επίπεδο είναι τα εσωτερικά του σημεία και τα σημεία που βρίσκονται στην περιφέρεια του δίσκου είναι τα συνοριακά του σημεία. Άρα ένας δίσκος χωρίς κανένα από τα περιφερειακά του σημεία είναι ανοικτός ενώ ένας δίσκος με όλα τα περιφερειακά του σημεία είναι κλειστός: ανοικτός δίσκος: {(x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r 2 0} κλειστός δίσκος: {(x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 r 2 0} Ένας δίσκος ο οποίος περιέχει κάποια, αλλά όχι όλα, από τα περιφεριακά του σημεία δεν είναι ούτε ανοικτός ούτε κλειστός. Παράδειγμα. Tα σημεία που βρίσκονται μέσα σε μια μπάλα στον χώρο είναι τα εσωτερικά της σημεία και τα σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια της μπάλας είναι τα συνοριακά της σημεία. Άρα μία μπάλα χωρίς κανένα από τα επιφανειακά της σημεία είναι ανοικτή ενώ μία μπάλα με όλα τα επιφανειακά της σημεία είναι κλειστή: ανοικτή μπάλα: {(x, y, z) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < r 2 0} κλειστή μπάλα: {(x, y, z) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 r 2 0} Μια μπάλα η οποία περιέχει κάποια, αλλά όχι όλα, από τα επιφανειακά της σημεία δεν είναι ούτε ανοικτή ούτε κλειστή. Παράδειγμα. Tα σημεία που βρίσκονται μέσα σε ένα διάστημα στην ευθεία είναι τα εσωτερικά του σημεία και τα άκρα του διαστήματος είναι τα συνοριακά του σημεία. Άρα ένα διάστημα χωρίς κανένα από τα άκρα του είναι ανοικτό ενώ ένα διάστημα με τα δύο άκρα του είναι κλειστό: ανοικτό διάστημα: {x x x 0 < r 0 } κλειστό διάστημα: {x x x 0 r 0 } Ένα διάστημα το οποίο περιέχει μόνο ένα από τα δύο άκρα του δεν είναι ούτε ανοικτό ούτε κλειστό. 20

22 5η εβδομάδα. Ορίσαμε την έννοια του ορίου συνάρτησης: f : A R m, A R n, όπου το σύνολο A αποτελείται από ένα ανοικτό υποσύνολο του R n μαζί με κάποια (μπορεί κανένα, μπορεί όλα, μπορεί μόνο μερικά) από τα συνοριακά του σημεία. Αν το x 0 είναι εσωτερικό σημείο ή συνοριακό σημείο του A (δεν είναι ανάγκη να ανήκει στο A) και αν y 0 R m, λέμε ότι το όριο της f στο x 0 είναι το y 0 και συμβολίζουμε αν x x 0 f(x) = y 0 για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε : x A, 0 < x x 0 < δ f(x) y 0 < ϵ. Σε απλοϊκή γλώσσα: αν το x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και πλησιάζει το x 0, παραμένοντας διαφορετικό από το x 0, τότε το y = f(x) (το οποίο είναι στον R m ) πλησιάζει το y 0. Στην περίπτωση m = 1, δηλαδή όταν η f είναι πραγματική, λέμε ότι το όριο της f στο x 0 είναι το + και συμβολίζουμε x x 0 f(x) = + αν για κάθε M > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε : x A, 0 < x x 0 < δ f(x) > M. Σε απλοϊκή γλώσσα: αν το x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και πλησιάζει το x 0, παραμένοντας διαφορετικό από το x 0, τότε το y = f(x) (το οποίο είναι στον R) απομακρύνεται προς το +. Ομοίως, πάλι στην περίπτωση m = 1, λέμε ότι το όριο της f στο x 0 είναι το και συμβολίζουμε x x 0 f(x) = αν για κάθε M > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε : x A, 0 < x x 0 < δ f(x) < M. Σε απλοϊκή γλώσσα: αν το x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και πλησιάζει το x 0, παραμένοντας διαφορετικό από το x 0, τότε το y = f(x) (το οποίο είναι στον R) απομακρύνεται προς το. Αν το x 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού A της f και αν y 0 = f(x 0 ), τότε έχουμε την έννοια της συνέχειας. Λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 αν δηλαδή αν f(x) = f(x 0 ), x x 0 για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε : x A, x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ϵ. 21

23 Σε απλοϊκή γλώσσα: αν το x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και πλησιάζει το x 0 τότε το y = f(x) (το οποίο είναι στον R m ) πλησιάζει το f(x 0 ). Αναφέραμε διάφορες ιδιότητες τον ορίων και της συνέχειας. 1. Αν f, g : A R m και υπάρχουν τα όρια x x0 f(x), x x0 g(x) τότε υπάρχει και το όριο x x0 (f(x) ± g(x)) και (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x). x x 0 x x 0 x x 0 (Αυτήν την ιδιότητα την αποδείξαμε.) Αναλόγως, αν οι f, g είναι συνεχείς στο x 0 τότε και οι f ± g είναι συνεχείς στο x Αν f : A R m και υπάρχει το όριο x x0 f(x) και αν λ R τότε υπάρχει και το όριο x x0 λf(x) και λf(x) = λ f(x). x x 0 x x 0 Αναλόγως, αν η f είναι συνεχής στο x 0 και αν λ R τότε και η λf είναι συνεχής στο x Αν f, g : A R (προσέξτε: m = 1) και υπάρχουν τα όρια x x0 f(x), x x0 g(x) τότε υπάρχει και το όριο x x0 f(x)g(x) και f(x)g(x) = f(x) g(x). x x 0 x x 0 x x 0 Αναλόγως, αν οι f, g είναι συνεχείς στο x 0 τότε και η fg είναι συνεχής στο x Αν f, g : A R (προσέξτε: m = 1) και υπάρχουν τα όρια x x0 f(x), x x0 g(x) και αν g(x) 0 για κάθε x A και x x0 g(x) 0 τότε υπάρχει και το όριο x x0 (f(x)/g(x)) και ( ) f(x)/g(x) = f(x) / g(x). x x 0 x x 0 x x 0 Αναλόγως, αν οι f, g είναι συνεχείς στο x 0 και g(x) 0 για κάθε x A τότε και η f/g είναι συνεχής στο x Αν f, g : A R m και υπάρχουν τα όρια x x0 f(x), x x0 g(x) τότε υπάρχει και το όριο x x0 f(x) g(x) και x x 0 f(x) g(x) = x x 0 f(x) x x 0 g(x). Αναλόγως, αν οι f, g είναι συνεχείς στο x 0 τότε και η f g είναι συνεχής στο x Αν f, g : A R 3 (προσέξτε: m = 3) και υπάρχουν τα όρια x x0 f(x), x x0 g(x) τότε υπάρχει και το όριο x x0 f(x) g(x) και x x 0 f(x) g(x) = x x 0 f(x) x x 0 g(x). Αναλόγως, αν οι f, g είναι συνεχείς στο x 0 τότε και η f g είναι συνεχής στο x Αν f : A B, όπου A R n και B R m, και g : B R k και υπάρχει το όριο x x0 f(x) = y 0 και το όριο y y0 g(y) και αν f(x) y 0 για x κοντά στο x 0 τότε υπάρχει και το όριο x x0 g(f(x)) και g(f(x)) = g(y). x x 0 y y 0 Αναλόγως, αν η f είναι συνεχής στο x 0 και η g είναι συνεχής στο y 0 = f(x 0 ) τότε και η g f είναι συνεχής στο x Έστω f : A R m και έστω f 1,..., f m : A R οι συντεταγμένες συναρτήσεις της f. Επίσης έστω y 0 = (y 01,..., y 0m ). Τότε f(x) = y 0 f i (x) = y 0i, i = 1,..., m. x x 0 x x 0 22

24 Αναλόγως, η f είναι συνεχής στο x 0 αν και μόνο αν κάθε f i είναι συνεχής στο x 0. Αφού ξεκαθαρίσαμε ότι x x 0 x i x 0i, i = 1,..., n, όπου x = (x 1,..., x n ) και x 0 = (x 01,..., x 0n ), είδαμε διάφορα παραδείγματα ορίων και συνέχειας. 1. Κάθε συνάρτηση οι συντεταγμένες συναρτήσεις της οποίας είναι απλοί συνδυασμοί πολυωνυμικών, ρητών, εκθετικών, τριγωνομετρικών συναρτήσεων των συντεταγμένων της ανεξάρτητης μεταβλητής x = (x 1,..., x n ) είναι συνεχής. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f(x, y) = xy, f(x, y) = (xe x+y, sin(x 2 + y)), f(x, y) = (x 2, xy, e sin(xy) ), f(x, y) = (1/(xy), x 2 + y), f(x, y, z) = (x/y, x 2 sin(e y )), f(x, y, z) = 1/(x 2 + y 2 z 2 ) είναι όλες συνεχείς συναρτήσεις (στα αντίστοιχα πεδία ορισμού τους). 2. Είδαμε ότι sin(x 2 + y 2 ) (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 1 με δύο τρόπους. Πρώτος τρόπος. Χρησιμοποιήσαμε το ότι (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 sin t ) = 0 και το ότι t 0 t = 1 και τον κανόνα ορίου σύνθετης συνάρτησης. Δεύτερος τρόπος. Χρησιμοποιήσαμε τους τύπους αλλαγής σε πολικές συντεταγμένες x = r cos θ, y = r sin θ και γράψαμε και είδαμε ότι sin(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = sin(r2 ) r 2 (x, y) (0, 0) r 0 +. Μελετήσαμε μερικές τεχνικές εύρεσης ορίου ή απόδειξης μη-ύπαρξης ορίου. Πρώτη τεχνική. Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι x x0 f(x) = 0, γράφουμε 0 f(x)... g(x), όπου ξεκινάμε από την παράσταση f(x) και, εφαρμόζοντας κατάλληλες ανισότητες προς τα πάνω, φτάνουμε κάποια στιγμή σε μια απλούστερη παράσταση g(x) η οποία εμφανώς έχει όριο 0 στο x 0. Κατόπιν εφαρμόζουμε το γνωστό κριτήριο παρεμβολής. Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι x x0 f(x) = y 0, εφαρμόζουμε το προηγούμενο για να δείξουμε το ισοδύναμο x x0 (f(x) y 0 ) = 0 γράφοντας 0 f(x) y 0... g(x) κλπ. Δεύτερη τεχνική. Μπορούμε να κάνουμε αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες, αν είμαστε στον R 2, ή σε σφαιρικές συντεταγμένες, αν είμαστε στον R 3, με τους γνωστούς τύπους: x = r cos θ, y = r sin θ x = ρ cos θ sin ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos ϕ. Χρησιμοποιούμε τις ισοδυναμίες: (x, y) (0, 0) r 0+ 23

25 (x, y, z) (0, 0) ρ 0+ οι οποίες προκύπτουν από τις σχέσεις: r = x 2 + y 2 και ρ = x 2 + y 2 + z 2. Τρίτη τεχνική. Το ότι ισχύει x x0 f(x) = y 0 σημαίνει ότι το f(x) τείνει στο y 0 όταν το x πλησιάζει στο x 0 ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο το x πλησιάζει στο x 0. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου συμβαίνει το εξής. Όταν το x πλησιάζει το x 0 από μια συγκεκριμένη κατεύθυνση (π.χ. κινούμενο πάνω σε μια συγκεκριμένη ημιευθεία με κορυφή το x 0 ) το αντίστοιχο f(x) τείνει σε κάποιο όριο ενώ όταν το x πλησιάζει το x 0 από μια συγκεκριμένη κατεύθυνση διαφορετική από την προηγούμενη (π.χ. κινούμενο πάνω σε μια συγκεκριμένη ημιευθεία με κορυφή το x 0 διαφορετική από την προηγούμενη ημιευθεία) το αντίστοιχο f(x) τείνει σε κάποιο όριο διαφορετικό από το προηγούμενο όριο. Τότε το συμπέρασμα είναι ότι το x x0 f(x) δεν υπάρχει. 3. Έχουμε ότι Αυτό προκύπτει από την ανισότητα (x,y) (0,0) x 2 0 = x 2 + y 2 x 2 x 2 + y 2 = 0. x x x 2 + y 2 x διότι x 0+ όταν (x, y) (0, 0). Επίσης προκύπτει με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες: x 2 x 2 + y 2 = r2 cos 2 θ r διότι r 0+ και το cos 2 θ είναι φραγμένο. 4. Έχουμε ότι Αυτό προκύπτει από την ανισότητα (x,y) (0,0) x 2 y 0 = x 2 + y 2 Επίσης, με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες: 5. Έχουμε ότι Αυτό προκύπτει από την ανισότητα xyz 0 = x 2 + y 2 + z 2 = r cos 2 θ 0, x 2 y x 2 + y 2 = 0. x 2 y x 2 + y 2 y. x 2 y x 2 + y 2 = r3 cos 2 θ sin θ r 2 = r cos 2 θ sin θ 0. (x,y,z) (0,0,0) x y z x 2 + y 2 + z 2 ( Επίσης, με αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες: xyz x 2 + y 2 + z 2 = 0. x 2 + y 2 + z 2 ) 3 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2. xyz x 2 + y 2 + z 2 = ρ3 cos θ sin θ sin 2 ϕ cos ϕ ρ 2 = ρ cos θ sin θ sin 2 ϕ cos ϕ 0, διότι ρ 0+ και το cos θ sin θ sin 2 ϕ cos ϕ είναι φραγμένο. 24

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων:, Ιδιότητες ριζών:, ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ,,,, Ταυτότητες: αβ α 2αββ αβ 2αββ αβαβ α β αβ α 3α β3αβ β αβ α 3α β3αβ β ΠΡΟΣΟΧΗ!,,,,,, Όταν υψώνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων 2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και η σφαίρα του Riemann............ 0

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα