ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ"

Transcript

1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών αντίστοιχα Ας είναι τώρα ένας φυσικός αριθμός με Το Καρτεσιανό γινόμενο R R R R το οποίο όπως γνωρίζουμε αποτελείται από όλες τις διατεταγμένες αριθμών συμβολίζουμε με R και έτσι έχουμε άδες πραγματικών R R (1) Μετατρέπουμε τώρα το σύνολο R σε R ορίζοντας το άθροισμα των στοιχείων του και από την ισότητα και το γινόμενο του πραγματικού αριθμού και του στοιχείου R από την ισότητα (2) (3) Στη συνέχεια ονομάζουμε σημεία τα στοιχεία διανυσματικού χώρου R απόσταση των δυο σημείων του και την Ευκλείδεια απόστασή τους και δεχόμαστε σαν (4) Τη δυάδα R δηλ το διανυσματικό χώρο R εφοδιασμένο με την απόσταση δυο σημείων του ονομάζουμε Ευκλείδειο χώρο διαστάσεως ή διάστατο Ευκλείδειο χώρο Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε τον διάστατο Ευκλείδειο χώρο (απλά) με R Παρατηρούμε ότι αν στον τύπο (4) θέσουμε : (α) τότε παίρνουμε

2 2 παίρνουμε δηλ τον τύπο που μας δίνει την απόσταση των σημείων και του πραγματικού άξονα ( της πραγματικής ευθείας ) (β) Αν στον τύπο (4) θέσουμε τότε παίρνουμε παίρνουμε δηλ τον τύπο που μας δίνει την απόσταση των σημείων και του Καρτεσιανού επιπέδου του επιπέδου δηλ στο οποίο έχουμε εκλέξει ένα ορθογώνιο σύστημα Καρτεσιανών συντεταμένων (γ) Αν στον τύπο (4) θέσουμε τότε παίρνουμε τον τύπο παίρνουμε δηλ τον τύπο που μας δίνει την απόσταση των σημείων και του χώρου του χώρου δηλ στον οποίο έχουμε εκλέξει ένα ορθογώνιο και δεξιόστροφο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Έτσι ο Ευκλείδειος χώρος R ταυτίζεται: (α) Για με τον πραγματικό άξονα (β) Για με το επίπεδο το επίπεδο δηλ στο οποίο έχουμε εκλέξει ένα ορθογώνιο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων (γ) Για με το χώρο δηλ με το συνήθη χώρο στον οποίο έχουμε εκλέξει ένα τρισορθογώνιο και δεξιόστροφο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Τέλος τονίζουμε ότι για R δεν υπάρχει αντίστοιχη γεωμετρική εικόνα του χώρου 111 ΠΡΟΤΑΣΗ Η Ευκλείδεια απόσταση δυο σημείων και του χώρου R έχει τις ιδιότητες : για κάθε Απόδειξη (Ι) Παρατηρούμε ότι είναι και ότι (5)

3 3 κάθε για (ΙΙ) Επειδή για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει έχουμε δηλ και από την ανισότητα αυτήν παίρνουμε ή 112 ΠΟΡΙΣΜΑ Για το τυχαίο σημείο και το σημείο του χώρου R έχουμε για κάθε 113 ΟΡΙΣΜΟΙ Ας είναι ένα σημείο του Ευκλείδειου χώρου R και (> 0) ένας θετικός πραγματικός αριθμός Το σύνολο R των σημείων του χώρου R των οποίων η απόσταση από το σημείο είναι μικρότερη του λέγεται κυκλική γειτονία του σημείου ή (απλά) γειτονία του σημείου και συμβολίζεται με Με το συμβολισμό αυτόν έχουμε Όταν δεν είναι αναγκαίο να αναφερόμαστε στο θετικό τότε συμβολίζουμε την γειτονία του σημείου ( απλά) με Ɲ( 114 Παρατηρήσεις : (α) Η γειτονία του σημείου ( του χώρου R (δηλ της πραγματικής ευθείας) είναι το ανοικτό διάστημα R

4 4 (β) Η γειτονία του σημείου ( του χώρου R (δηλ του επιπέδου R είναι το εσωτερικό μέρος του κυκλικού δίσκου με κέντρο το σημείο και ακτίνα ο κυκλικός δηλ δίσκος στον οποίο δεν περιλαμβάνονται τα σημεία της περιφέρειάς του (Σχ 1) R Ɲ(δ) ( Σχ 1 Η γειτονία του σημείου ( του επιπέδου Σχ 2 Η γειτονία του σημείου ( του χώρου (γ) Η γειτονία του σημείου ( του χώρου R (δηλ του χώρου R είναι το εσωτερικό μέρος της σφαίρας με κέντρο το σημείο ( και ακτίνα της σφαίρας δηλ στην οποία δεν περιλαμβάνονται τα σημεία της εξωτερικής της επιφάνειας (Σχ 2) 115 ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση R (6) λέγε λ θί η είω R Τη ή ης η ης 6 ί β λίζ ε ε ή πλ ε ζ ε π θ ης λ θί ς 5 Τη λ θί 5 β λίζ ε ύ ε R ή ε Λέ ε η λ θί γ λί ε η εί R γ - φ ε

5 5 (7) δηλ αν για κάθε υπάρχει θετικός ακέραιος ( ο οποίος εξαρτάται γενικά από τον ) τέτοιος ώστε να είναι 116 ΠΡΟΤΑΣΗ Η ακολουθία σημείων του χώρου R όπου συγκλίνει στο σημείο αν και μόνο αν οι αριθμητικές ακολουθίες συγκλίνουν αντίστοιχα στους αριθμούς για κάθε Με άλλα λόγια Απόδειξη Υποθέτουμε πρώτα ότι είναι και θεωρούμε Σύμφωνα με τον Ορισμό 124 υπάρχει τότε ακέραιος Αλλά επειδή ( Πρότ 111) είναι και άρα είναι Υποθέτουμε τώρα ότι είναι και θεωρούμε Τότε για τον θετικό υπάρχει δείκτης τέτοιος ώστε για να είναι για κάθε δηλ τέτοιος ώστε (8) Τέλος αν πάρουμε σαν θετικό τον μεγαλύτερο από τους δηλ τον τότε για επαληθεύονται όλες οι ανισότητες (8) και σύμφωνα με την Πρότ 111 είναι Επομένως τότε και άρα είναι ί 117 ΟΡΙΣΜΟΙ Ας είναι ένα μη κενό υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου R Ένα σημείο του χώρου R λέγεται εσωτερικό σημείο του συνόλου αν

6 6 υπάρχει γειτονία του η οποία περιέχεται εξ ολοκλήρου στο δηλ αν υπάρχει τέτοιος ώστε να είναι Ένα σημείο του χώρου R λέγεται σημείο συσσωρεύσεως του συνόλου όπου R αν υπάρχει ακολουθία σημείων του η οποία να συγκλίνει στο σημείο και της οποίας όλα τα σημεία να είναι διαφορετικά από το Το σύνολο των σημείων συσσωρεύσεως ενός συνόλου όπου R συμβολίζεται με ( τονούμενο) Ένα σύνολο όπου R λέγεται ανοικτό αν όλα τα σημεία του είναι εσωτερικά και λέγεται κλειστό αν περιέχει όλα τα σημεία συσσωρεύσεώς του Ένα ανοικτό σύνολο όπου R λέγεται ανοικτή περιοχή αν δύο οποιαδήποτε σημεία του μπορεί να ενωθούν με τεθλασμένη γραμμή η οποία να περιλαμβάνεται εξ ολοκλήρου στο Το σύνολο όπου είναι ανοικτή περιοχή λέγεται κλειστή περιοχή 119 Παραδείγματα (ανοικτών κλειστών συνόλων και περιοχών) 1) Στην πραγματική ευθεία όλα τα ανοικτά διαστήματα (α β) όπου α β R είναι ανοικτά σύνολα αλλά και ανοικτές περιοχές και όλα τα κλειστά διαστήματα β είναι κλειστά σύνολα αλλά και κλειστές περιοχές Τα άκρα α β του ανοικτού διαστήματος (α β) είναι σημεία συσσωρεύσεώς του 2) Στο επίπεδο : Κάθε γειτονία R ενός σημείου ( R είναι ανοικτό σύνολο αφού κάθε σημείο της είναι εσωτερικό αλλά και περιοχή του επιπέδου R Τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου του κύκλου δηλ με κέντρο το σημείο και ακτίνα είναι όλα σημεία συσσωρεύσεως της γειτονίας Ο κυκλικός δίσκος είναι κλειστό σύνολο αλλά και κλειστή περιοχή του επιπέδου Όλα τα υποσύνολα του R της μορφής

7 7 όπου α β γ δ R και είναι περιοχές και λέγονται ανοικτές ορθογώνιες περιοχές) Όλα τα υποσύνολά του R της μορφής όπου α β γ δ R και είναι κλειστές περιοχές και λέγονται κλειστές ορθογώνιες περιοχές) Το δεύτερο τεταρτημόριο στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα σημεία του αρνητικού ημιάξονα και του θετικού ημιάξονα δηλ το υποσύνολό του είναι ανοικτή περιοχή του επιπέδου R Το δεύτερο τεταρτημόριο στο οποίο περιλαμβάνονται τα σημεία του αρνητικού ημιάξονα αλλά δεν περιλαμβάνονται τα σημεία του θετικού ημιάξονα δηλ το υποσύνολό του R δεν είναι ούτε ανοικτό ούτε κλειστό σύνολο ( άρα δεν είναι και περιοχή ) 3) Στο χώρο : Όλα τα υποσύνολά του της μορφής όπου α β γ δ R και ε < ζ είναι ανοικτές περιοχές και λέγονται ανοικτά παραλληλεπίπεδα Όλα τα υποσύνολά του της μορφής όπου α β γ δ R και ε < ζ είναι κλειστά σύνολα και λέγονται κλειστά παραλληλεπίπεδα 12 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 121 ΟΡΙΣΜΟΣ Ας είναι και S ένα μη κενό υποσύνολο του χώρου R Μια μονότιμη απεικόνιση ( μονοσήμαντη αντιστοιχία)

8 8 R (1) λέγεται πραγματική συνάρτηση ανεξάρτητων πραγματικών μεταβλητών Σε ότι ακολουθεί για λόγους οικονομίας χώρου θα ονομάζουμε τις πραγματικές συναρτήσεις ( πραγματικών μεταβλητών (απλά) συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Η ισότητα (2) (όπως και στις συναρτήσεις μιας μεταβλητής) λέγεται τύπος της συνάρτησης (1) Συχνά την τιμή της συνάρτησης στο σημείο συμβολίζουμε με δηλ δεχόμαστε ότι για κάθε σημείο 122 Παρατήρηση Όταν μας δίνεται ο τύπος μιας συνάρτησης αλλά δεν μας δίνεται το πεδίο ορισμού της τότε σαν πεδίο ορισμού της δεχόμαστε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο η παράσταση έχει έννοια πραγματικού αριθμού 123 Παράδειγμα Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων (α) (β) Λύση (α) Επειδή η παράσταση έχει έννοια πραγματικού αριθμού μόνο όταν η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επειδή πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ο κυκλικός δίσκος R του επιπέδου R δηλ ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το σημείο και ακτίνα 2 ο οποίος είναι βέβαια κλειστό σύνολο (Βλέπε 115) β) Υπενθυμίζουμε πρώτα ότι θετικό ημιεπίπεδο της ευθείας ( της ευθείας δηλ με εξίσωση όπου ) λέγεται το ημιεπίπεδο σε κάθε σημείο του οποίου είναι και αρνητικό ημιεπίπεδο λέγεται εκείνο σε κάθε σημείο του οποίου είναι Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι το θετικό (αντ αρνητικό) ημιεπίπεδο της ευθείας είναι εκείνο στο οποίο άγεται από σημείου της το διάνυσμα ( ) (αντ το διάνυσμα ( ) ) Για τις ανάγκες της παραγράφου αυτής θα συμβολίζουμε με ( αντ ) το θετικό (αντ το αρνητικό) ημιεπίπεδο μιας ευθείας του επιπέδου και με το σύνολο των σημείων της ευθείας

9 Σχ 3 Σχ 4 Ονομάζουμε (αντίστοιχα ) την ευθεία του επιπέδου με εξίσωση ( αντ και παρατηρούμε ότι επειδή ( και ή ( και και επειδή ( και ) ( και έχουμε ή Τέλ ς επε ή η εί επ πέ γ π ί ύε β ί- π ω η ε θεί θε ης η επίπε ε η εί επ πέ γ π ί ύε β ί π ω η ε θεί η ης η επίπε Σ πε ί ύ ης η ης εί ύ λ 13 ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 131 ΟΡΙΣΜΟΣ Ας είναι R ) ένα σημείο συσσωρεύσεως του και R μια συνάρτηση μεταβλητών με πεδίο ορισμού το Λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο τον πραγματικό αριθμό στο σημείο συσσωρεύσεως του (ή ισοδύναμα ότι η τιμή της συνάρτησης τείνει (πλησιάζει) προς τον πραγματικό αριθμό καθώς το σημείο τείνει προς το σημείο συσσωρεύσεως του ) και γράφουμε ή

10 10 αν για κάθε θετικό αριθμό (οσονδήποτε μικρό) υπάρχει θετικός αριθμός ( ο οποίος γενικά εξαρτάται από τον ) τέτοιος ώστε να είναι για κάθε σημείο που επαληθεύει τη διπλή ανισότητα 0 < Με άλλα λόγια λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο τον πραγματικό αριθμό στο σημείο συσσωρεύσεως του αν για κάθε σημείο ) 1 0 < (7) 132 Παράδειγμα Να δειχτεί ότι για τη συνάρτηση δυο μεταβλητών R R όπου ισχύει 5 Απόδειξη Παρατηρούμε πρώτα ότι για όλα τα R είναι 5 ότι δηλ είναι R (8) το σημείο του επιπέδου με συντεταγ- Παρατηρούμε στη συνέχεια ότι αν ονομάσουμε μένες τότε 3 Επομένως αν πάρουμε τότε και σαν συνέπεια 0 < (9) 1 Τέτοιος ώστε

11 11 Έχουμε δείξει ότι για τον θετικό ισχύει η σχέση (9) και άρα είναι 133 Παράδειγμα Να δειχτεί ότι για τη συνάρτηση τριών μεταβλητών R R όπου έχουμε Απόδειξη Θεωρούμε θετικό και θα προσπαθήσουμε να βρούμε τον αντίστοιχο θετικό που επαληθεύει την (7) για τα σημεία και Παρατηρούμε πρώτα ότι είναι 2 (10) Εκλέγουμε σαν θετικό τον και παίρνουμε (11) Τότε ( Πρότ 113 ) επειδή είναι έχουμε και Αλλά και άρα δηλ Από τις (11) και (12) προκύπτει ότι (12) (13) Εκλέγουμε σαν θετικό τον μικρότερο από τους θετικούς και δηλ θέτουμε και παρατηρούμε ότι και ( 2 ) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει

12 12 Τέλος και άρα Έχουμε δείξει ότι για κάθε θετικό υπάρχει θετικός τέτοιος ώστε 0 < ότι δηλ είναι 134 ΟΡΙΣΜΟΙ Ας είναι R ) ένα σημείο συσσωρεύσεως του και R μια συνάρτηση μεταβλητών με πεδίο ορισμού το Λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο το στο σημείο συσσωρεύσεως του (ή ισοδύναμα ότι η τιμή της συνάρτησης τείνει στο καθώς το σημείο τείνει στο σημείο συσσωρεύσεως του ) και γράφουμε ή αν για κάθε θετικό αριθμό (οσονδήποτε μεγάλο) υπάρχει θετικός αριθμός ( ο οποίος γενικά εξαρτάται από τον ) τέτοιος ώστε να είναι για κάθε σημείο που επαληθεύει τη διπλή ανισότητα 0 < Με άλλα λόγια λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο το στο σημείο συσσωρεύσεως του αν για κάθε σημείο ) : 0 <

13 13 Ανάλογα λέμε ότι η συνάρτηση έχει όριο το στο σημείο συσσωρεύσεως του αν για κάθε σημείο ) : 0 < 135 ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Υποθέτουμε ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου του επιπέδου R είναι συνεχείς συναρτήσεις της ίδιας ανεξάρτητης μεταβλητής ότι δηλ είναι (14) Το σύνολο των σημείων R του επιπέδου R είναι (Βλέπε Σελ60) μια καμπύλη της οποίας παραμετρικές εξισώσεις είναι οι (14) Όταν η παράμετρος μεταβάλλεται τότε το σημείο κινείται επί της (κατά μήκος της) καμπύλης Ένα σημείο του επιπέδου είναι σημείο της καμπύλης αν υπάρχει τιμή της παραμέτρου τέτοια ώστε να είναι και 136 ΟΡΙΣΜΟΣ Ας είναι μια συνάρτηση δυο μεταβλητών της οποίας το πεδίο ορισμού R περιέχει όλα τα σημεία της παραπάνω καμπύλης Tο όριο oνομάζουμε όριο της συνάρτησης κατά μήκος της καμπύλης όταν 137 ΘΕΩΡΗΜΑ Ας είναι R όπου R μια συνάρτηση δυο μεταβλητών και μια καμπύλη του επιπέδου η οποία έχει τις ιδιότητες : (α) όλα τα σημεία της ανήκουν στο σύνολο (β) για τις συναρτήσεις και ισχύουν (γ) περνά ( η καμπύλη ) από το σημείο Αν υπάρχει το όριο και είναι ίσο με τότε υπάρχει και το όριο της συνάρτησης όταν το σημείο κινούμενο επί της καμπύλης τείνει προς το και ισούται με δηλ τότε είναι και

14 ΠΟΡΙΣΜΑ (Σπουδαίο στις εφαρμογές) Ας είναι R όπου R μια συνάρτηση δυο μεταβλητών και δυο καμπύλες οι οποίες έχουν τις ιδιότητες της καμπύλης είναι του παραπάνω Θεωρήματος Αν και τότε δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης όταν 139 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης όταν Λύση Υπενθυμίζουμε πρώτα ότι στον συμβολισμό του ορίου μιας συνάρτησης εννοούμε πάντοτε ότι είναι Παρατηρούμε στη συνέχεια ότι η καμπύλη (ευθεία) περνά από το σημείο (00) και ότι σαν παραμετρικές της εξισώσεις μπορούμε να πάρουμε τις και Το όριο της συνάρτησης κατά μήκος της ευθείας είναι το Ανάλογα το αντίστοιχο όριο της συνάρτησης είναι το κατά μήκος της παραβολής

15 15 Τέλος επειδή είναι το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει 1310 ΘΕΩΡΗΜΑ (Οι ιδιότητες των ορίων των συναρτήσεων μιας μεταβλητής μεταφέρονται και στις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών) Ας είναι R και δυο συναρτήσεις R τέτοιες ώστε να είναι και όπου R είναι σημείο συσσωρεύσεως του και οι είναι πραγματικοί αριθμοί ή Τότε είναι : (1) (2) (3) εφόσον είναι (4) όπου εφόσον είναι R (5) όπου 1311 ΟΡΙΣΜΟΙ Ας είναι R R μια συνάρτηση δύο μεταβλητών ένα σημείο συσσωρεύσεως του και ας συμβολίσουμε με ή (απλά) με το όριο της τιμής καθώς το και το κρατείται σταθερό

16 16 Υποθέτουμε τώρα ότι το παραπάνω όριο υπάρχει για κάθε Τότε το όριο αυτό είναι προφανώς συνάρτηση μόνο της μεταβλητής δηλ υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε να είναι Το όριο της συνάρτησης καθώς το εφόσον βέβαια υπάρχει λέγεται διπλό όριο της συνάρτησης στο σημείο Με εναλλαγή των ρόλων των μεταβλητών στον παραπάνω ορισμό έχουμε το διπλό όριο της συνάρτησης στο σημείο Τα δυο αυτά διπλά όρια συμβολίζουμε με το πρώτο και με το δεύτερο Παράδειγμα Να βρεθούν τα διπλά όρια της συνάρτησης στην αρχή (00) του συστήματος συντεταγμένων του Καρτεσιανού επιπέδου Λύση Παρατηρούμε πρώτα ότι στο διπλό όριο απαιτείται να υπάρχει το όριο για κάθε δηλ απαιτείται να υπάρχει το όριο 3 Επιστρέφοντας στο παράδειγμά μας έχουμε και άρα το διπλό όριο της στο σημείο είναι το 5 Ανάλογα βρίσκουμε ότι ( 3 ) Στο όριο αυτό το θεωρείται σταθερό

17 και άρα το διπλό όριο της στο σημείο είναι το Σημειώνουμε ότι υπάρχουν και τα δύο διπλά όρια στο σημείο που δόθηκε και ότι αυτά δεν είναι ίσα (μεταξύ τους ) της συνάρτησης 1313 ΘΕΩΡΗΜΑ Ας είναι R R μια συνάρτηση δύο μεταβλητων και ένα σημείο συσσωρεύσεως του Αν : (Ι) υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο σημείο (ΙΙ) υπάρχουν και τα δύο διπλά της όρια της στο σημείο και τότε τα δύο διπλά όρια της είναι ίσα μεταξύ τους δηλ τότε είναι 1311 ΠΟΡΙΣΜΑ Ας είναι R R μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και ένα σημείο συσσωρεύσεως του Αν υπάρχουν τα διπλά της όρια και και είναι διάφορα μεταξύ τους τότε δεν υπάρχει το όριο της καθώς το 1312 ΟΡΙΣΜΟΣ Ας είναι R και R μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών Η συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο συσσωρεύσεως του αν : (i) το σημείο ανήκει στο πεδίο ορισμού της δηλ αν (ii) υπάρχει το όριο = R (iii) το παραπάνω όριο ισούται με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο δηλ

18 18 είναι Η συνάρτηση λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισμού της αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο συσσωρεύσεως του 1313 Παρατήρηση Επειδή οι παραπάνω συνθήκες (i) και (ii) περιλαμβάνονται στην (iii) στην πράξη λέμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο αν είναι Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση δυο μεταβλητών εί ε ής η ή του συστήματος συν/νων στο επίπεδο R Λύση Για να βρούμε το όριο της παράστασης (α) καθώς παρατηρούμε ότι είναι αφού είναι και και άρα έχουμε (β) Πήραμε σιωπηρά υπόψη μας ότι (β) προκύπτει ότι είναι (Βλέπε Πρότ 111) Από τις (α) και Θεωρούμε τώρα θετικό και εκλέγουμε σαν θετικό τον Τότε = για όλα τα σημεία Σύμφωνα με τον Ορισμό 131 είναι

19 19 και άρα η συνάρτηση εί ε ής η εί 14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των αντίστροφων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (α) (β) (γ) : R R ( Απάντηση : (α) (β) : (γ) : R (δ) : R ( Βλέπε Βιβλιογραφία Σελ 84 ) Άσκηση 2 Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των παρακάτω συναρτήσεων δύο μεταβλητών στα σημεία που γράφονται δίπλα ( ) : (ii) : (iii) : (iv) : Λύση (i) Στο σημείο έχουμε και άρα ( )

20 20 (ii) Στο σημείο έχουμε και άρα (iii) Στο σημείο έχουμε και άρα (iv) Στο σημείο έχουμε και άρα στο σημείο έχουμε και άρα Τέλος ανάλογα βρίσκουμε ότι = 2 Άσκηση 3 = Μια συνάρτηση δυο μεταβλητών λέγεται ομογενής βαθμού όπου αν ισχύει για όλα τα R (α) Να δειχτεί ότι μια ομογενής συνάρτηση βαθμού μπορεί να πάρει τη μορφή όπου είναι συνάρτηση μόνο του πηλίκου Λύση Θέτοντας στην (1) έχουμε διαδοχικά ή π είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής Άσκηση 4 Ο ορισμός της ομογενούς συνάρτησης δυο μεταβλητών επεκτείνεται και σε συνάρτηση τριών μεταβλητών

21 21 Μια συνάρτηση τριών μεταβλητών λέγεται ομογενής βαθμού όπου αν ισχύει για όλα τα R (β) Να δειχτεί ότι μια ομογενής συνάρτηση τριών μεταβλητών βαθμού μπορεί να πάρει τη μορφή όπου είναι συνάρτηση των δυο μεταβλητών και (Απόδειξη : Επαφίεται στον αναγνώστη γιατί χρησιμοποιεί την ίδια τεχνική με εκείνην της προηγούμενης Άσκησης) Άσκηση 5 Οι μεταβλητές συνδέονται με τις σχέσεις όπου να εκφραστεί απ ευθείας (χωρίς δηλ άλλες ενδιάμεσες μετα- Να εξεταστεί αν μπορεί η βλητές) σαν συνάρτηση : (α) των μεταβλητών και (β) των μεταβλητών Λύση (α) Επειδή η ισότητα γράφεται διαδοχικά Στην τελευταία σχέση η και εκφράστηκε σαν απ ευθείας συνάρτηση των μεταβλητών (β) Θέτοντας στην ισότητα έχουμε ή Τέλος θέτοντας στην τελευταία ισότητα έχουμε τη ζητούμενη έκφραση Άσκηση 6

22 22 Οι μεταβλητές συνδέονται με τις σχέσεις και όπου λογάρ του με βάση το επέ ς λ γ Να εκφραστεί η σαν απ ευθείας συνάρτηση των Λύση Επειδή και έχουμε = Ακόμη επειδή έχουμε = και άρα Άσκηση 7 Να γραφεί η συνάρτηση σαν σύνθετη συνάρτηση των με ένα (μόνο) ζεύγος ενδιάμεσων μεταβλητών Λύση Θέτοντας και έχουμε ή όπου

23 23 Από τις ισότητες και η εκφράζεται σαν σύνθετη συνάρτηση των με ενδιάμεσες μεταβλητές τις Άσκηση 8 Η περιοχή του επιπέδου σχήματος παραλληλογράμμου περιορίζεται από τις ευθείες και σ αυτήν δεν περιλαμβάνονται τα συνοριακά της σημεία Να γραφεί η περιοχή σαν σύνολο σημείων με χρήση ανισοτήτων Λύση Η περιοχή είναι το σύνολο των εσωτερικών σημείων του παραλληλογράμμου του Σχ (5) Επειδή το τυχαίο σημείο της περιοχής βρίσκεται μεταξύ των ευθειών y 3 1 O 2 Σχ 5 b Σχ 6 και η τεταγμένη του επαληθεύει τη διπλή ανισότητα Ακόμη επειδή το σημείο βρίσκεται και μεταξύ των ευθειών και 2 η τετμημένη του μεταβάλλεται από την τετμημένη του ως την τετμημένη του Με άλλα λόγια στην περιοχή το μεταβάλλεται από 1 έως 3 και για μια τιμή του το μεταβάλλεται από έως 2 Επομένως είναι R Άσκηση 9 Όπως είναι φανερό κάθε παραβολή χωρίζει το επίπεδου το σε δύο τμήματα Το τμήμα προς το οποίο η παραβολή στρέφει τα κοίλα της λέγεται εσωτερικό της παραβολής και το τμήμα προς το οποίο η παραβολή στρέφει τα κυρτά της λέγεται εξωτερικό της παραβολής Να δειχτεί ότι για κάθε σημείο εσωτερικό της παραβολής (αντ (1) ισχύει (i) (αντ ) αν είναι

24 24 (ii) (αντ εί 0 ενώ οι παραπάνω ανισότητες αντιστρέφονται όταν το σημείο της παραβολής (1) είναι εξωτερικό Λύση (i) Θεωρούμε την παραβολή και υποθέτουμε ότι είναι Επειδή από την εξίσωσή της έχουμε η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα θετικά Το γράφημά της δίνεται στο Σχ 6 όπου θεωρήθηκε ότι είναι Για το τυχαίο εσωτερικό σημείο της παραβολής έχουμε όπου είναι η τετμημένη του σημείου της παραβολής Αλλά (2) επε ή εί η εί ης π β λής έ ε ή (3) Απ ς π ύπ ε εί θέλ ε είξ ε Α εί ε Η π ε ξη γ η π β λή εί λ γη επ φίε γ η Άσκηση 10 Η περιοχή του επιπέδου περιορίζεται από τις παραβολές και και σ αυτήν περιλαμβάνονται τα συνοριακά της σημεία τα οποία είναι σημεία της παραβολής αλλά δεν περιλαμβάνονται εκείνα τα οποία είναι σημεία της παραβολής Να γραφεί η περιοχή σαν σύνολο σημείων με χρήση ανισοτήτων Λύση Το σύστημα των εξισώσεων των δυο παραβολών έχει δυο πραγματικές λύσεις ) και ) και άρα οι δυο παραβολές έχουν δυο κοινά σημεία (00) και Η γραφική παράσταση των παραβολών δίνεται στο Σχ 7 και η περιοχή είναι το τμήμα του επιπέδου το οποίο ανήκει στο εσωτερικό και των δύο παραβολών H τετμημένη τoυ τυχαίου σημείου της περιοχής μετα-

25 25 βάλλεται από (σημείο έως (σημείο ) και για μια τιμή του μεταξύ των και η τεταγμένη του μεταβάλλεται από την τεταγμένη του σημείου της παραβολής ως την τεταγμένη του σημείου της παραβολής Τέλος σημειώνουμε ότι τα σημεία του τόξου της παραβολής περιλαμβάνονται στην περιοχή ενώ τα σημεία του τόξου της παραβολής δεν περιλαμβάνονται στην περιοχή Επομένως είναι Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Άσκηση 11 Λύση Επειδή ο λογάριθμος ενός αριθμού είναι πραγματικός αριθμός μόνο όταν αυτός είναι θετικός το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο R των σημείων του επιπέδου Οxy Ακόμη εξ αιτίας του ότι είναι R Τέλος επειδή (Βλέπε Άσκ 9) οι συντεταγμένες ενός σημείου R επαληθεύουν την ανισότητα αν και μόνο αν το είναι εσωτερικό σημείο της καμπύ-

26 26 λης (παραβολής) το σύνολο ταυτίζεται με το εσωτερικό της παραβολής (Βλέπε Σχ 8) Άσκηση 12 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (α) (β) Λύση (α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R δηλ είναι το κοινό μέρος του θετικού ημιεπιπέδου της ευθείας και του θετικού ημιεπιπέδου της ευθείας στο οποίο περιλαμβάνονται τα σημεία των δύο ευθειών δηλ το σύνολο (Σχ 9) Τα κάθετα πάνω στις και διανύσματα είναι αντίστοιχα τα (1 2) και (12) (Σχ 9) Επομένως είναι το εσωτερικό της κοίλης γωνίας και τα σημεία των δύο ημιευθειών και (β) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R δηλ είναι το κοινό μέρος του θετικού ημιεπιπέδου της ευθείας και του θετικού ημιεπιπέδου της ευθείας στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα σημεία των δύο ημιευθειών και δηλ το σύνολο Επομένως είναι το εσωτερικό της κοίλης γωνίας (Βλέπε Σχ 10) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Άσκηση 13

27 27 Λύση Επειδή (Βλέπε Άσκηση 1) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο είναι το R Επειδή ή και ) ή και ) και R R όπου είναι η ευθεία με εξίσωση έχουμε R όπου είναι η κοίλη γωνία και είναι η κοίλη γωνία (Σχ 11) Ανάλογα διαπιστώνουμε ότι είναι R όπου είναι η ευθεία με εξίσωση είναι η κοίλη γωνία και είναι η κοίλη γωνία (Σχ 12)

28 28 Το κοινό μέρος των δύο περιοχών και είναι οι δύο κατακορυφήν γωνίες και στις οποίες περιέχονται και οι πλευρές τους εκτός του σημείου Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Άσκηση 14 Λύση Επειδή και και 0 το πεδίο ορισμού της συνάρτησης R είναι (Βλέπε Άσκηση 9) το εξωτερικό μέρος της παραβολής το οποίο βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο Όλα τα συνοριακά σημεία της περιοχής δηλ τα σημεία του τόξου της παραβολής και τα σημεία του θετικού ημιάξονα περιλαμβάνονται σ αυτήν Η γραφική παράσταση της περιοχής δίνεται στο Σχ 14 Άσκηση 15 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο R

29 29 Επειδή τα σημεία του βρίσκονται επί της παραβολής και (Άσκηση 9) στο εσωτερικό αυτής και επειδή τα σημεία του βρίσκονται και στο εσωτερικό του κύκλου Στο Σχ 15 της παρα- είναι το σκιασμένο τμήμα του επιπέδου στο οποίο περιλαμβάνεται το τόξο βολής αλλά δεν περιλαμβάνεται το τόξο του κύκλου Άσκηση 16 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Λύση Παρατηρούμε πρώτα ότι και ότι είναι στις παρακάτω δύο περιπτώσεις (α) και (β) : (α) και (β) και Στην περίπτωση (α) τα σημεία κύκλου του επιπέδου βρίσκονται επί της περιφέρειας του και στο εξωτερικό αυτού και στο εξωτερικό του κύκλου

30 30 ενώ στην περίπτωση (β) βρίσκονται επί της περιφέρειας του κύκλου και στο εσωτερικό αυτού και στο εσωτερικό του κύκλου Επειδή κανένα εσωτερικό σημείο του κύκλου δεν ανήκει στον κυκλικό δίσκο στην περίπτωση (β) δεν υπάρχουν σημεία του επιπέδου που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης φ είναι το κοινό εξωτερικό μέρος των δύο κύκλων στο οποίο περιλαμβάνονται τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου ( το σκιασμένο τμήμα στο Σχ 16 δηλ είναι το σύνολο Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης R Άσκηση 17 Λύση Επειδή και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι η τομή των δύο υποσυνόλων R και R Η τομή των δύο αυτών υποσυνόλων είναι το σύνολο R δηλ ο κύκλος (εννοείται η περιφέρεια του κύκλου ) και άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι η περιφέρεια του κύκλου Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Άσκηση 18 Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου R για τα οποία έχουμε και Επειδή τα σημεία του επιπέδου R για τα οποία έχουμε βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου και πάνω στην περιφέρειά του και επειδή

31 31 τα σημεία του επιπέδου R για τα οποία έχουμε είναι τα εξωτερικά σημεία του κύκλου πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ο δακτύλιος R μεταξύ των δύο κύκλων στον οποίο περιέχονται μόνο τα σημεία του μεγάλου κύκλου (Βλέπε Σχ 17) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Άσκηση 19 Λύση Επειδή συνάρτησης είναι το σύνολο το πεδίο ορισμού της R Ακόμη η καμπύλη είναι έλλειψη η οποία έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες συντεταγμένων και για ένα σημείο του επιπέδου έχουμε αν και μόνο αν αυτό βρίσκεται στο εσωτερικό της έλλειψης (να δειχτεί!) και άρα το σύνολο αποτελείται από όλα τα σημεία της έλλειψης και τα εσωτερικά της σημεία δηλ είναι ο ελλειπτικός δίσκος της (Βλέπε Σχ 18) Άσκηση 20 Να υπολογιστεί το όριο

32 32 Λύση Πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος του οποίου ζυτούμε το όριο επί την συζυγή παράσταση του παρονομαστή έχουμε Επειδή στο συμβολισμό εννοούμε ότι είναι και επειδή στο τελευταίο κλάσμα επιτρέπεται η απλοποίηση με το όταν παίρνουμε το όριο του κλάσματος καθώς Έτσι έχουμε Άσκηση 21 Να υπολογιστεί το όριο Λύση Παρατηρούμε αρχικά ότι είναι = θεωρούμε θετικό παίρνουμε σαν θετικό τον και ονομάζουμε και τα σημεία του επιπέδου με συντεταγμένες και (00)Τότε επειδή είναι από τη σχέση π ύπ ε εί Επ έ- έ ως ηλ γ θε θε υπάρχει θετικός τέτοιος ώστε

33 33 Σύμφωνα με τον Ορισμό 131 είναι Άσκηση 22 Να υπολογιστεί το όριο Λύση Πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος επί την συζυγή παράσταση του αριθμητή έχουμε = (1) Π η ύ ε η έ ε ω ύ ή εω β έλ ς ης η ς π εί Ά η η Σύ φω ε Θε η 1310 εί έ ε = 0 Άσκηση 23 Να δειχτεί με μετασχηματισμό του κλάσματος σε πολικές συντεταγμένες ότι είναι

34 34 Λύση Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου του επιπέδου εκφράζονται σαν συναρτήσεις των πολικών του συντεταγμένων από τις ισότητες π (Βλέπε Σελ Από τις ισότητες (1) παίρνουμε (1) (2) Όπως εί φ ε ε η ίζ ς η η η ης π ί ς ζη ύ ε ε π λ ές ε γ έ ες έ ε ) (3) Α η επε ή ύε έ ε Τέλ ς επε ή π και είναι ίσα μεταξύ τους υπάρχει και το όριο (3) και είναι ίσο μ αυτά (Βλέπε 5 δηλ είναι Σελ Άσκηση 24 Να υπολογιστεί με χρήση του συμπεράσματος της Άσκησης 23 το όριο Λύση Επειδή και υπάρχουν τα δύο όρια

35 35 4 και Ά σύμφωνα με το Θεώρημα 1310 έχουμε = 1 Άσκηση 25 (α) Να δειχτεί ότι = 1 (β) Να υπολογιστεί το όριο Λύση (α) Όταν τότε το κλάσμα τείνει στην απροσδιόριστη μορφή Εφαρμόζοντας τον κανόνα του έχουμε (β) Θέτουμε και λογαριθμίζοντας τα μέλη της ισότητας αυτής έχουμε (1) Επειδή σύμφωνα με την (α) είναι γράφουμε γράφουμε δηλ τον σαν γινόμενο των συναρτήσεων και Παρατη- ρούμε ακόμη ότι σύμφωνα με την Άσκηση 21 υπάρχει και το και είναι ίσο με 0 και άρα είναι 4 Είναι (Βλέπε Σελ 5

36 36 Τέλος Άσκηση 26 (α) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση μπορεί να τείνει προς οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό όταν (β) Να βρεθούν δύο μονοπάτια τα οποία να περνούν από το σημείο και τέτοια ώστε να είναι και Λύση Το όριο της συνάρτησης κατά μήκος της ευθείας ( R ) η οποία περνά από το σημείο είναι το = Επειδή για τυχαίο πραγματικό το κλάσμα άρα και το όριο παίρνει οποιαδήποτε πραγματική τιμή εκτός της τιμής (β) Για τον πραγματικό αριθμό έχουμε και για τον έχουμε Επομένως τα ζητούμενα μονοπάτια είναι οι ευθείες και

37 37 (α) Να δειχτεί ότι Άσκηση 27 (β) Να δειχτεί ότι Λύση (α) Επειδή όταν τότε το κλάσμα τείνει στην απροσδιόριστη μορφή εφαρμόζοντας τον κανόνα του έχουμε Με νέα εφαρμογή του ίδιου κανόνα έχουμε και άρα (β) Με μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες ( ) έχουμε και επειδή έχουμε Παρατηρούμε τώρα ότι θέτοντας έχουμε και σύμφωνα με την (α) είναι (1) Τέλος επειδή για κάθε γωνία με είναι

38 38 άρα είναι και και σαν συνέπεια δηλ είναι Άσκηση 28 Να δειχτεί ότι η συνάρτηση ή είναι συνεχής στο σημείο Λύση Παρατηρούμε ότι είναι και ότι Ακόμη παίρνοντας υπόψη μας ότι είναι και το Πόρισμα 112 έχουμε δηλ έχουμε (1) όπου και (00) H ανισότητα (1) ισχύει και για ή αφού τότε έχουμε Υποθέτουμε τώρα ότι μας δίνεται θετικός Εκλέγουμε σαν θετικό τον και τότε

39 39 R Άρα είναι και η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο ( Για την ακρίβεια η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το επίπεδο) Άσκηση 29 Δίνεται η συνάρτηση (α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της (β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τα διπλά της όρια στο σημείο (γ) Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο σημείο Λύση (α) Το πεδίο ορισμού της είναι το R R Επειδή το σύνολο των σημείων του επιπέδου R είναι παραβολή το περιέχει όλα τα σημεία του επιπέδου εκτός από εκείνα της παραβολής c (β) Έχουμε και Αλλά επειδή είναι και δεν υπάρχει το και σαν συνέπεια δεν υπάρχει και το διπλό όριο της συνάρτησης στο σημείο Για το διπλό όριο της συνάρτησης έχουμε

40 40 και Επομένως το διπλό όριο της συνάρτησης υπάρχει και είναι ίσο με 0 (μηδέν) (γ) Επειδή το όριο της συνάρτησης κατά μήκος του μονοπατιού (ευθεία) το οποίο περνά από το σημείο είναι το = ενώ το όριό της κατά μήκος του μονοπατιού από το σημείο είναι το (ευθεία) το οποίο επίσης περνά = σύμφωνα με το Πόρ 138 δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης Άσκηση 30 καθώς Να εξεταστεί αν υπάρχουν τα διπλά όρια και το όριο της συνάρτησης στο σημείο Λύση Έχουμε και

41 41 Ακόμη και Επομένως υπάρχουν και τα δύο διπλά όρια της στο σημείο και είναι ίσα μεταξύ τους Για να βρούμε αν υπάρχει ή όχι το όριο της στο σημείο παρατηρούμε ότι το όριο αυτό κατά μήκος του μονοπατιού (ευθεία) το οποίο περνά από το έχουμε ενώ κατά μήκος του μονοπατιού (ευθεία) έχουμε το οποίο περνά και αυτό από το Επειδή τα δύο όρια και είναι διάφορα μεταξύ τους σύμφωνα με το Πόρ 138 δεν υπάρχει το Άσκηση 31 Να εξεταστεί αν μπορεί να οριστεί η συνάρτηση δυο μεταβλητών

42 42 στην αρχή επίπεδο R του συστήματος συντεταγμένων έτσι ώστε να είναι συνεχής σε όλο το Λύση Επειδή η συνάρτηση ορίζεται σε κάθε σημείο του επιπέδου και επειδή αυτή είναι πηλίκο δυο πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι και συνεχής σε κάθε Μένει επομένως να την ορίσουμε στο σημείο έτσι ώστε αυτή να είναι συνεχής και στο Για το σκοπό αυτό μετασχηματίζουμε την παράσταση σε πολικές συντεταγμένες θέτοντας συνθ ημθ Τότε έχουμε και θ η θ θ η θ Ακόμη και άρα θ η θ (1) Επειδή είναι έχουμε άρα έχουμε και Τέλος επειδή είναι και υπάρχει το και είναι ίσο με μηδέν Εξαιτίας της (1) είναι τότε και Επομένως θέτοντας έχουμε και και άρα η συνάρτηση ή είναι συνεχής σε όλο το επίπεδο R

43 43 Άσκηση 32 Να εξεταστεί αν μπορεί να οριστεί η συνάρτηση δυο μεταβλητών στο σημείο έτσι ώστε αυτή να είναι συνεχής και στο Λύση Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο σημείο και καταλήγουμε σε άτοπο Εφόσον η είναι ε ής θα έχουμε (1) Κάνοντας μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες ( όπως και στην προηγούμενη Άσκηση) βρίσκουμε ότι (2) Αποδεικνύουμε τώρα ότι είναι (3) Θεωρούμε θετικό αριθμό οσονδήποτε μεγάλο και εκλέγουμε σαν θετικό τον Τότε και άρα είναι Εξαιτίας των (1) (2) και (3) έχουμε άτοπο αφού το δεν είναι πραγματικός αριθμός ( αλλά ένα σύμβολο) Άσκηση 33 Να εξεταστεί αν μπορεί να οριστεί η συνάρτηση δυο μεταβλητών

44 44 στην αρχή επίπεδο R του συστήματος συντεταγμένων έτσι ώστε να είναι συνεχής σε όλο το Λύση Ελέγχουμε πρώτα αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης καθώς To όριο της κατά μήκος του μονοπατιού το οποίο περνά από την αρχή είναι το και το όριό της κατά μήκος του μονοπατιού αρχή είναι το το οποίο περνά κι αυτό από την Επειδή τα δυο αυτά όρια είναι διάφορα μεταξύ τους σύμφωνα με το Πόρ1311 δεν υπάρ- χει το όριο της συνάρτησης καθώς Επομένως το ζητούμενο εγχείρημα δεν είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί Άσκηση 34 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το όριό της όταν και να εξεταστεί αν υπάρχει Λύση Πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο R Για να εξετάσουμε την ύπαρξη του ορίου της συνάρτησης καθώς επιλέγουμε τα δυο μονοπάτια και τα οποία περνούν από το σημείο και ανήκουν (πλην του σημείου τους ) στο και βρίσκουμε τα όρια και Έχουμε

45 45 και = Επειδή είναι δεν υπάρχει ( σύμφωνα με το Πόρ131) το όριο της συνάρτησης όταν Άσκηση 35 Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης καθώς Λύση Έχουμε όπου και (Πήραμε σιωπηλά υπόψη μας ότι και ότι ) Από τη σχέση προκύπτει αμέσως ότι είναι Άσκηση 36 Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης όταν

46 46 Λύση Όπως εργαστήκαμε και στην Άσκηση 34 επιλέγουμε δυο μονοπάτια τα και τα οποία περνούν από το σημείο και βρίσκουμε τα όρια και Έχουμε = = και Τέλος επειδή είναι δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης όταν Μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση Άσκηση 37 όπου και στο σημείο έτσι ώστε να είναι συνεχής σ αυτό ; Λύση Παρατηρούμε ότι είναι και στη συνέχεια επιλέγουμε τα μονοπάτια και τα οποία περνούν από την αρχή Γι αυτά έχουμε και Επειδή τα δυο αυτά όρια δεν είναι ίσα μεταξύ τους δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης όταν ( και άρα δεν είναι δυνατό το ζητούμενο εγχείρημα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Α Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών Σύνολα Σελ. 40 Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0. Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα